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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la educación superior universitaria Instituto Universitario de Tecnología Industrial ``RODOLFO LOERO ARISMENDI`` Sede. Maturín. Edo – Monagas. 2DQ

Profesora: Yandira Reina

Bachilleres: Cynthia Hadad C.I: 25274838 Nahomys Cabello C.I: 27121292

Maturín Agosto de 2018

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono y un plano que no pasa por su vértice. Las curvas resultantes se denominan: elipse, hipérbola, parábola. Sus gráficas son:

ELIPSE

HIPERBOLA

PARABOLA

Si el plano pasa por el vértice del cono, la intersección puede ser: un único punto (el vértice), la recta generatriz del cono o dos rectas que se cortan en el vértice. Estas secciones degeneradas no se consideran secciones cónicas. Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

TIPOS En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:    

β < α : Hipérbola (naranja) β = α : Parábola (azulado) β > α : Elipse (verde) β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)

Y β= 180º : Triangular Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:    

Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice). Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono). Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. Cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

La ecuación general para cualquier sección cónica es Donde A, B, C, D, E y F son constantes. Al cambiar los valores de alguna de las constantes, la forma de la cónica correspondiente también cambiara. Es importante conocer las diferencias en las ecuaciones para ayudarnos a identificar rápidamente el tipo de cónica que está representada por una ecuación dada. Si B 2 – 4 AC es menor que cero, si una cónica existe, está puede ser un círculo o una elipse. Si B 2 – 4 AC es igual a cero, si una cónica existe, será una parábola. Si B 2 – 4 AC es mayor que cero, si una cónica existe, será una hipérbola. ELIPSE Es una curva plana, cerrada y con dos ejes de simetría cuyos puntos cumplen la condición de que la suma de distancias a dos interiores llamados focos es constante. El valor de dicha suma es igual a la del diámetro mayor, conocido como 2a. Elementos de la elipse. o Eje mayor: se llama también eje real o diámetro mayor y se representa como 2a. La suma de distancias de un punto cualquiera de la elipse a ambos focos es igual a su longitud. o

Eje menor: es perpendicular al eje mayor en su punto medio O y se representa como 2b. Recibe también el nombre de eje imaginario.

o

Focos: Son dos puntos fijos de referencia y equidistan del centro O de la elipse.

o

Distancia focal: Es la magnitud existente entre los focos y se representa como 2c.

o

Radios vectores: Son los segmentos que unen un punto de la elipse con ambos focos. La suma de sus distancias es igual a 2a (diámetro mayor).

o

Circunferencia principal: Tiene como centro el de la elipse y su diámetro es 2a. De modo que pasa por los extremos del eje mayor de la elipse. Existe una afinidad entre esta circunferencia y la elipse cuyo eje es el diámetro mayor. La dirección de esta afinidad es perpendicular a ese diámetro.

o

Circunferencia focal: Es la que tiene como centro uno de los focos y como diámetro 2a (eje mayor). Existen pues dos circunferencias focales.

o

Diámetros conjugados: Cualquier segmento que una dos puntos de la elipse pasando por el centro O se considera diámetro. Se llaman diámetros conjugados a todo par de diámetros que cumplen con la condición de que

cualquier recta secante a la elipse y paralela a uno de ellos queda dividida en dos partes iguales por el otro. Los ejes de la elipse son los únicos diámetros conjugados que son perpendiculares entre si. o

Excentricidad: La excentricidad de la elipse se define como el cociente entre la semidistancia focal (c) y el semieje mayor (a). La cantidad resultante siempre es menor a la unidad. Cuanto más cerca está el foco del centro de la elipse, más se asemeja la elipse a una circunferencia. Si c es nula la excentricidad es cero y la curva ya no es una elipse, sino una circunferencia. En cambio, si la excentricidad se acerca a uno la elipse se va alargando hasta convertirse en una parábola.

PARÁBOLA. La parábola es una curva plana, abierta y simétrica cuyos puntos equidistan de una recta (directriz) y de un punto (foco). Tiene un eje perpendicular a la directriz. La parábola es simétrica respecto a ese eje, en el que están situados tanto el foco como el vértice. El vértice, como punto de la curva que es, equidista del foco y la directriz. Por lo tanto estará situado a la mitad del segmento que une el foco con la directriz.

Elementos de la parábola. Circunferencia principal: es una circunferencia de radio infinito, puesto que es allí donde está el centro de la curva. Queda representada como una recta tangente a la parábola por el vértice.

Circunferencia focal: Es también una circunferencia de radio infinito. Es por ello que se representa como una recta coincidente con la directriz de la parábola.

Radios vectores: unen un punto de la curva con el foco y la directriz. Ambos segmentos de unión tienen siempre la misma medida.

Parámetro: Se conoce como parámetro, tanto en la parábola como en la elipse y la hipérbola, a la longitud de la cuerda perpendicular al eje por el foco. Se representa como 2p. La mitad de esta longitud coincide con la distancia entre el foco y la directriz

HIPÉRBOLA. La hipérbola es una doble curva abierta con dos ejes de simetría cuyos puntos cumplen la condición de que su diferencia de distancias a los focos es una constante conocida como 2a.

Elementos de la hipérbola.

Eje mayor: La diferencia de distancias de un punto cualquiera de la curva a los focos es una medida constante e igual al eje mayor, la distancia entre los vértices, conocido también como eje real y se representa como 2a.

Eje menor: se representa como 2b, es perpendicular al eje mayor en su punto medio. Su medida se obtiene del triángulo rectángulo que posee como un cateto la distancia a y como hipotenusa la distancia c. Conocido también como eje imaginario.

Focos: son dos puntos de referencia situados en el eje mayor que equidistan del centro de la hipérbola.

Distancia focal: es la distancia existente entre los dos focos y se representa como 2c.

Radios vectores: son los segmentos que unen cada uno de los puntos de la hipérbola con los focos.

Circunferencia principal: es aquella que tiene como centro el de la hipérbola y como radio a.

Circunferencia focal: es aquella que tiene como centro uno de los focos y como radio 2a. Puesto que la hipérbola tiene dos focos también tiene dos circunferencias focales.

Asíntotas: son las dos rectas tangentes a la curva en los puntos situados en el infinito. Pasan por el centro de la hipérbola y son simétricas entre sí. ECUACIONES: Si desarrollamos:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

El radio cumple la relación:

Ecuación Reducida de la Circunferencia:

Parábola: La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.

La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito. También podemos decir que la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Plano cartesiano sobre una parabola:

Hipérbole: La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica. A >B

La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.

También podemos decir que la Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante (ver figura).

Circulo: Un círculo, en geometría elucídela, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centrado, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio.

TRANSLACIÓN DE EJES Cambio de los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje permanece paralelo a su posición original. Una vez que el origen de un sistema de ejes x e y se cambia al punto O´(xo, yo) en el sistema original, es necesario dar a cada punto p(x, y) en el sistema original un nuevo conjunto de coordenadas p´(x´, y´) en el nuevo sistema, de acuerdo con las siguientes relaciones: x = x´ + xo y = y´ + yo El propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva para procesamiento posterior. Por ejemplo, un círculo con centro en (1, 2) y un radio r = 3, se puede describir por medio de la siguiente ecuación: (x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 32 Cuando los ejes de referencia se cambian a O´(1, 2), el mismo círculo se puede describir como:

[(x´+1) - 1] 2 + [(y´+2) - 2] 2 = 32 o (x´) 2 + (y´)2 = 32 Como se muestra, es definitivamente más fácil trabajar con la ecuación en el nuevo sistema.