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Matemáticas II. Ejercicios de repaso FUNCIONES DE DOS VARIABLES Derivadas parciales. Encuentre las cuatro derivadas parciales de segundo orden de la siguiente función: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 2 2

Derivadas parciales. Para la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦 determine 𝑓𝑥𝑦

Optimización sin restricciones. Robertson Controls fabrica dos modelos básicos de termostatos, uno mecánico

estándar y uno electrónico de lujo. Los ingresos mensuales de Robertson (en cientos de dólares) son: 1 1 1 𝑟(𝑥, 𝑦) = − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑥𝑦 + 20𝑥 + 60𝑦 2 4 8

donde 𝑥 (en cientos de unidades) denota el número de termostatos mecánicos fabricados, y 𝑦 (en cientos de unidades) el número de termostatos electrónicos que fabrica cada mes. El costo mensual de la fabricación de estos termostatos es: 𝑐(𝑥, 𝑦) = 7𝑥 + 20𝑦 + 280 en cientos de dólares. Encuentre el número de termostatos de cada modelo que fabricaría Robertson al mes para maximizar sus utilidades. ¿Cuál es la utilidad máxima? Optimización restringida. Encuentre el mínimo de la función z = f ( x, y ) = 2 x 2 + 4 y 2 − 3 xy − 2 x − 23 y + 3 sujeto a

x + y = 15 Resuelva las siguientes integrales:

∫ (2 x

2

INTEGRACIÓN INDEFINIDA

)

+ b − 6 dx

∫ 8a x

2 7

dx

∫ x(2 + x ) dx 2

∫x

2

x −1 dx − 2x − 6

x2 +1 ∫ x − 1 dx 3 x ∫ x e dx 2

1

∫ ( x − 1)

∫x

2

2

dx

2x + 1 dx − 5x + 6

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Ejercicio con condiciones iniciales. Encontrar la función G tal que G ' ' ( x) = 6 x − 1 ; G ' (0) = 1 , G (1) = 0 Problema con condiciones iniciales. Cannon Precision Instruments fabrica un flash electrónico automático con circuitos Thyrister. La utilidad marginal vinculada con la producción y venta de estos flashes electrónicos es: 𝑃′ = −0.004𝑥 + 20

Dólares/unidad/mes cuando el nivel de producción es 𝑥 por mes. El costo fijo de Cannon por la producción y venta de estos flashes electrónicos es de $16,000 por mes. ¿A qué nivel de producción Cannon obtiene una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad mensual máxima?

INTEGRACIÓN DEFINIDA

Resuelva las siguientes integrales:

∫ (2a + 1) da 1

4

0

∫ (− x 3

0

2

+ x − 1) dx

∫ (x − 2)(x + 1) dx 0

−2

2

1  ∫ − 2  3 t − 2  dt 1

Si

∫ (3x 4

1

2

+ bx + 5) dx = 92 , encontrar el valor de b

Área bajo la curva. Trace la gráfica y determine el área de la región limitada por la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −

2𝑥 y las rectas 𝑦 = 0, 𝑥 = −1 y 𝑥 = 1.

Área entre curvas. Escriba una expresión en términos de integrales definidas que calculen el área de la región

sombreada de la siguiente gráfica:

Área entre curvas. Determine el área de la región completamente comprendida por las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 6𝑥 + 5 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 5

Excedente de los consumidores y de los productores. Suponga que la función de demanda para cierto producto es 𝑞

𝑞 = 400 − 𝑝2 y que la función de oferta es 𝑝 = + 5. Determine el excedente de los productores y de los 60 consumidores bajo equilibrio del mercado. 2/2