• Author / Uploaded
• Ken Rojas Fuentes

Citation preview

1

III. TECNICAS MATEMATICAS ESPECIALES El problema de diseño o funcionamiento de una planta de proceso químico está en función de un modelo matemático, el beneficio del riesgo y el valor del riesgo, estos índices son función de un numero de variables de proceso independientes. Estas variables han de controlarse de forma que el valor del riesgo sea máximo. Si se supone fijada la producción de una planta dada, las variables pueden considerarse de dos tipos: a) Aquellas que implican gastos de funcionamiento tales como mano de obra, servicios y materias primas. b) Aquellas que implican la inversión de grandes sumas de dinero en instalación y equipo. El tema está dirigido hacia el problema de optimización y su formulación aplicada a una variedad de problemas de procesos químicos, utilizando el modelo simplificado desarrollado. La economía moderna de procesos químicos es bastante compleja, implican muchas variables, y con frecuencia se requieren técnicas matemáticas especiales con el objeto de proporcionar una respuesta útil a un problema de optimización. Es importante saber las condiciones que la función debe reunir para que existan máximos y mínimos. 3.1. FUNCIONES DE UNA VARIABLE.- Uso del cálculo diferencial 3.1.1. FUNCIÓN LINEAL Si una función es una línea recta, es decir, existe una relación lineal entre costo y variable independiente, puede existir un máximo o un mínimo solo en los límites de la variable (fig. 4.1-Happel). f(c) = mx + b 3.1.2. FUNCION NO LINEAL Existen varias condiciones para encontrar un valor máximo o un mínimo. a) La función debe ser continua en la región considerada. b) La función debe ser derivable en la región. c) La primera derivada debe ser cero en algún punto en la región, el valor puede ser un máximo o un mínimo. d) Si la primera derivada es igual a cero, de acuerdo con (c), en algún punto de la región, alguna derivada superior deberá ser distinta de cero en el mismo punto. e) La segunda derivada no nula debe ser par. Es decir, si la segunda derivada no nula es dnc/dxn, n debe ser par. f) Si la segunda derivada no nula es positiva, la función tiene un mínimo; si la segunda derivada no nula es negativa, la función tiene un máximo. 3.2. FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE.- Uso de la derivada parcial. Cuando interviene más de una variable independiente por ejemplo en la determinación de la rentabilidad.

2

Así para un sistema de u,v,w,……,z variables independientes, el valor del riesgo (W) será una función de estas variables. W = F(u,v,w,….,z) a) la derivada de esta expresión conduce a una serie de derivadas parciales: ∂W/∂u, ∂W/∂v, …….. b) Haciendo estas derivadas parciales igual a cero, se obtendrá el mismo número de ecuaciones simultáneas que variables implicadas. c) Para el caso de una función de dos variables, W=f(x,y) en un punto donde x = a, y = b, tendrá un valor máximo f(a,b) si se cumplen las siguientes condiciones: ∂W/∂x = ∂W/∂y = 0 ∂2W/∂x2 < 0,

ó

dW = 0

∂2W/∂uy2 < 0

∂2W/∂x2. ∂2W/∂uy2 < (∂2W/∂x∂y)2

(son negativos) valor máximo.

Análogamente si: ∂2W/∂x2 > 0

y

∂2W/∂y2 > 0

∂2W/∂x2. ∂2W/∂uy2 > (∂2W/∂x∂y)2

(son positivos) existirá un mínimo.

Pero si: ∂2W/∂x2. ∂2W/∂uy2 = (∂2W/∂x∂y)2 Entonces el punto correspondiente será un punto de silla de montar, es abierto y el valor puede ser máximo, mínimo o ninguno de los dos. Ejemplos: 1) Considerando la función correspondiente al trabajo teórico de la compresión adiabática en dos etapas (V=10 pie 3 gas; k=1,4 para el aire) W = (k/k-1)P1V1[ (P2/P1)k-1/k – 2 + (P3/P2)k-1/k] Determinar si esta función tiene un máximo o un mínimo con respecto a P2, si P1=14,7 psia y P3=114,7psia. a) ¿Es la función continua en la región P1 a P3? b) ¿Es la función derivable con respecto a P2 en la región P1 a P3? c) ¿Es cero la primera derivada en algún punto en la región entre P 1 yP3? 2) Considere la compresión adiabática reversible en tres etapas de un gas desde una presión inicial P1 a una presión final P4. Si se supone que los costos fijos correspondientes a los compresores son esencialmente independientes de la presión entre etapas empleada, entonces la operación óptima implica la determinación de las presiones entre etapas para las que las necesidades totales de energía sean mínimas (nota: un cálculo independiente indica que, para el resultado óptimo es deseable

3

refrigerar entre etapas para volver a la temperatura de entrada). Si el gas entra a la temperatura T1 y se enfría hasta T1 entre etapas el trabajo total viene dado por: W = nRT1(k/k-1)[ (P2/P1)k-1/k + (P3/P2)k-1/k + (P4/P3)k-1/k - 3] 3.3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN IMPLICANDO RESTRICCIONES En los métodos desarrollados hasta ahora se han supuesto que las variables controlables pueden cambiarse sin restricciones, pero, en la práctica esto no es posible frecuentemente, y las variables pueden asumir valores solamente dentro de intervalos determinados por conceptos tales como limitaciones de equipo, seguridad de las operaciones, y limitaciones en la disponibilidad de las materias primas, donde estos límites definen un área dentro de la que debe establecerse el óptimo. Por consiguiente, en muchos problemas de optimización en procesos químicos se requieren hallar valores extremos de una función objetivo. En muchos problemas de optimización en procesos químicos se requieren hallar valores extremos de una función objetivo, ejemplo; H=f(x,y,z), donde las cantidades x,y,z no son las tres variables independientes, sino están sujetas a alguna restricción Ø(x,y,z) = 0, los cuales se pueden resolver por dos métodos: 3.3.1. Por el método de la gradiente Consiste en resolver la ecuación Ø(x,y,z)=0 para una de las variables en términos de las otras dos, es decir: z = h(x,y); entonces, H = f[x,y,h(x,y)] De modo que los puntos críticos están dados por una gradiente; Vh(x,y)=0 si; ∂2H/∂x2 < 0 es un máximo; y ∂2H/∂x2 > 0 es un mínimo relativo. 3.3.2. Método de Lagrange de multiplicadores indeterminados La condición para el máximo o mínimo de una función es: W = f(x,y,z) dW = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz = 0………….(α) La diferencial total de la condición restrictiva es: Ø(x,y,z) dØ = (∂Ø/∂x)dx + (∂Ø/∂y)dy + (∂Ø/∂z)dz = 0………..(β) La ecuación de la condición restrictiva se multiplica por un factor indeterminado λ, un multiplicador de Lagrange, este producto se adiciona entonces a la ecuación (α):

4

[(∂f/∂x) + λ(∂Ø/∂x)]dx + [(∂f/∂y) + λ(∂Ø/∂y)]dy + [(∂f/∂z) + λ(∂Ø/∂z)]dz = 0 Si se asigna un valor a λ que hace lo siguiente: (∂f/∂x) + λ(∂Ø/∂x) = 0 (∂f/∂y) + λ(∂Ø/∂y) = 0 (∂f/∂z) + λ(∂Ø/∂z) = 0 Ø(x,y,z) = 0 Se satisface la condición para un máximo o un mínimo. λ = (∂f/∂x)/(∂Ø/∂x) = (∂f/∂y)/(∂Ø/∂y) = (∂f/∂z)/(∂Ø/∂z) Si: λ = + (es un mínimo); λ = - (es un máximo). SIGNIFICADO DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE Al utilizar el método de multiplicadores de Lagrange nos da una información útil de optimización. Supongamos que: M=F(a,b); es el valor extremo de una función, donde: Z=F(x,y) en (a,b); sujeto a la restricción Ø(x,y)=k ó

Ø(x,y) - k=0

Al formar la función H, según los multiplicadores de Lagrange se tiene: H(x,y) = F(x,y) + (-λ)[ Ø(x,y) - k] En (a,b) resulta: M=F(a,b) - λ[ Ø(x,y) - k]……………(1) Tal que: (∂F/∂x)(a,b) = λ(∂Ø/∂x)(a,b) (∂F/∂y)(a,b) = λ(∂Ø/∂y)(a,b) Ø(a,b) = k Por consiguiente, al variar M, a, b, λ, Ø(a,b), también varían, es decir, dependen del valor de k. Derivando la ecuación (1) con respecto a k, se tiene: (∂M/∂k)=(∂/∂k)[F(a,b)] - λ(∂/∂k)[Ø(a,b)] - Ø(a,b)(∂λ/∂k) + (∂/∂k)(λk)………(2) Pero en virtud de la regla de la cadena, se tiene:

5

(∂/∂k)[F(a,b)] = (∂F/∂x)(a,b)(∂a/∂k) + (∂F/∂y)(a,b)(∂b/∂k) (∂/∂k)[Ø(a,b)] = (∂Ø/∂x)(a,b)(∂a/∂k) + (∂Ø/∂y)(a,b)(∂b/∂k) (∂/∂k)(λk) = λ + k(∂λ/∂k) Reemplazando estos valores en (2) resulta: (∂M/∂k) = [(∂F/∂x)(a,b)-λ(∂Ø/∂x(a,b)](∂a/∂k)+[(∂F/∂y)(a,b)-λ(∂Ø/∂y(a,b)](∂b/∂k)+λ De donde: λ = ∂M/∂k Porque las expresiones de los corchetes son iguales a cero, por tanto, el multiplicador de Lagrange λ es la razón de cambio de valor óptimo de M con respecto a k. PROBLEMAS 1. Se desea construir una celda electrolítica de forma rectangular sin tapa de 16 pie3 de capacidad. El costo del material para la base es de $ 18/ pie2, para las caras frontal y su opuesta es de $ 8/pie 2 y para las caras laterales es de $ 6/pie 2. Encontrar las dimensiones de la celda electrolítica de tal forma que el costo de los materiales sea mínimo. 2. Un fabricante tiene 8 000 dólares para gastarlos en desarrollo y promoción de un nuevo producto. Estima que si gasta X miles de dólares en desarrollo i Y miles de dólares en promoción podrá vender aproximadamente: [320Y/(Y+2)] + [160X/(X+4)] unidades del producto a un precio de 150 dólares por unidad. Determinar: a) la forma en que debe asignar los 8 000 dólares para elevar al máximo su utilidad si el costo de fabricación es de 50 dólares por unidad, y calcular cuánto es dicha utilidad. b) Suponga que el fabricante decide gastar 9 000 dólares en lugar de 8 000 dólares en desarrollo y promoción de su producto. Estime en qué forma afectará este cambio su utilidad máxima posible. 3. Una determinada industria produce dos tipos de artículos A y B en cantidades X i Y respectivamente cada unidad del tipo A se vende a $ 520 y cada unidad del tipo B a $ 100, siendo la función costo C(X+Y)=100XY+20X2+7. Encontrar los valores de X i Y para los cuales es máximo la utilidad del industrial y cuanto es dicha utilidad sabiendo

6

que esta función utilidad está definida sobre el conjunto X≥0, Y≥0, 2X+Y≤5. 4. Una fábrica de telas produce dos tipos de tela a un costo promedio de $ 50 y $ 60 el metro respectivamente. Si el precio de venta del primer tipo es $ X por metro y el segundo tipo $ Y por metro, el número de metros que pueden ser vendidos tanto del primero como del segundo tipo cada semana, están dadas por las fórmulas: N 1=250(Y-X), N2=32 000 + 250(X-2Y) respectivamente. ¿A qué precios debería venderse cada tipo de tela, a fin de que el beneficio sea máximo? 5. Un fabricante de licor produce dos tipos de vino (seco y semiseco) ambos a un costo de $ 200 la docena, estima que si vende el vino seco a $ X la docena y semiseco a $ Y la docena podrá vender; 4 000-5X+40 la docena de vino seco, y 2 000+60X-70Y la docena de vino semiseco cada semana. Cuanto debe cobrar por los vinos para elevar al máximo su utilidad. 3.4.

PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal trata de la determinación de la solución óptima de un problema donde la función objetivo, el modelo del proceso, y las restricciones son todas relaciones lineales. El mejor ejemplo de una función que no pasa a través de un máximo o un mínimo, es una línea recta, en todos estos casos la solución óptima tendrá lugar en los valores límite de las variables, que se denominan restricciones de las variables, en casos sencillos puede utilizarse un método numérico o gráfico, en casos más complejos se necesita un procedimiento de tanteo sistemático utilizando computadores de elevada velocidad. Algunas ventajas de la programación lineal:   

Son ecuaciones algebraicas lineales y pueden resolverse por métodos sencillos, o por programas de computador bien conocidos. La solución de la programación lineal siempre encuentra el óptimo económico. Para desviaciones pequeñas de la linealidad, el sistema puede considerarse como lineal, y el problema resolverse mediante la técnica de programación lineal.

Algunas desventajas:  Puede manejar solo problemas lineales. Muchos problemas industriales son no lineales.  Un problema práctico de programación lineal puede consumir grandes cantidades de tiempo de computador.

7





Un programa típico lineal, calculado sobre un computador, continuara a investigar el óptimo incluso aunque la mejora de una iteración a la siguiente sea muy ligera y no valga la pena su localización. Resolverá problemas de una naturaleza estática.

El método más ampliamente aplicable de programación lineal es el método simplex, aconsejable para problemas de mezclado y distribución implicando diferentes productos, operaciones y suministros de alimento, donde las necesidades de rentabilidad pueden reducirse a una formulación matemática.