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Preguntas Repaso Parcial I

U. Nacional

Febrero 6 de 2019

(U. Nacional)

Febrero 6 de 2019

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Preguntas de repaso para el primer parcial de Matemáticas Especiales Segundo semestre de 2018 Tiempo Total = 1 hora Número de preguntas 14 Todas las preguntas tienen el mismo valor En cada pregunta escoja solo una opción entre cuatro

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Las siguientes preguntas hacen referencia a una cuerda de longitud L y densidad lineal ρ, la cual se encuentra atada en sus extremos, y sujeta a una tensión …ja T . En el instante t = 0, la cuerda se encuentra en reposo y toma la forma de la función f (x ). Denotemos por u (x, t ) la función que representa la forma que asume la cuerda en el instante t. Una porción de cuerda, entre x y x + h, se muestra a continuación, donde Th (x, t ) y Tv (x, t ) denotan las tensiones horizontales y verticales en el punto x, y en el instante t.

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1. Si cada punto de la cuerda solo se mueve verticalmente, entonces es cierto que: a. En algún instante t > 0 la cuerda deberá retornar a su posición incial f (x ). b. La velocidad en dirección vertical de cada pequeña porción de cuerda permanece constante. c. Th (x, t ) cos θ (x, t ) Th (x + h, t ) cos θ (x + h, t ) = 0. d. Ninguna de las anteriores.

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Respuesta: (c)

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2. Bajo las hipótesis enunciadas en el problema anterior es cierto que: a. La función u (x, t ) es una suma …nita de funciones un (x, t ) = bn sin(nπx /L) cos(λn t ), con λn = cnπ/L, bn = constante, n 1. b. u (x, t ) = f (x )G (t ), donde f (x ) representa la forma inicial de la cuerda y G (t ) es una cierta función, con G (0) = 1. 2 c. Th (x + h, t ) Th (x, t ) ' (ρh) ∂∂xu2 (x, t ), para todo x, t. 2 d.Tv (x + h, t ) Tv (x, t ) ' (ρh) ∂∂tu2 (x, t ).

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Respuesta: (d)

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3. Una cuerda de longitud π, tensión T y densidad ρ se pone a vibrar, p partiendo del reposo. Sea c = T /ρ. Suponga que su forma inicial está dada por la función f (x ) = sin(x ). a. La función u (x, t ) = sin(x ) cos(ct ) representa la vibración de la cuerda. ∞

b. La función u (x, t ) = ∑

n =1

cuerda. ∞ c. u (x, t ) = ∑

n =1

1 n

1 n

sin(nx ) cos(nct ) repesenta la vibración de la

sin(nπx ) cos(nπct ) repesenta la vibración de la cuerda. ∞

d. u (x, t ) = 4π 2 ∑

n =1

1 n2

sin(nx ) cos(nct ) repesenta la vibración de la

cuerda.

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Respuesta: (a)

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4. Sea f (x ) = x, de…nida para L < x < L como 1, si 0 < x < L f (x ) = . Si la función se extiende de manera 1, si L