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• Omar Cabrera

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Matemáticas III Tercer semestre

Dirección y realización del proyecto                    

Matemáticas III

Planeación y coordinación !  "#     $%& 

Tercer semestre

Metodología y estrategia didáctica ' '  %  ( )   *&  + #  $%& 

ISBN: 978-607-8378-90-6

Agradecimientos a ',+  * -.   ',, /& +

DERECHOS RESERVADOS

5ª edición Agosto de 2014 Impreso en México

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto de la presente obra, bajo cualquier forma electrónica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

' )&0   -,  +*   La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser                   

permita a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos propuestos. Es importante saber que la EMS en el país está compuesta por una serie de subsistemas que operan de manera independiente, sin correspondencia a un panorama                 

encontrar los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y lograr entre todos reglas claras de operación. Es importante para el desarrollo de la EMS que docentes y estudiantes conozcan los ejes que la regulan, cómo opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir una actitud que nos permita coadyuvar en este esfuerzo. Los subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus estructuras, los cua                ción a la que atiende ( jóvenes entre los 15 y 21 años, aproximadamente) adquiriera conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfactoria, ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera más general, en la vida. En esta misma línea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS: de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como ciudadanos                rán su desarrollo personal, una serie de actitudes y valores que tengan un impacto positivo en su comunidad y en el país en su conjunto. Es en este contexto que las autoridades educativas del país han propuesto la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos consisten en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a través de mecanismos que permitan articular los diferentes actores de la misma en un Sistema Nacional de Bachillerato dentro del cual se pueda garantizar, además, el tránsito de estudiantes,         Lo anterior será posible a partir del denominado Marco Curricular Común (MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competencias, y que incluye: competencias genéricas, competencias disciplinares (básicas y extendidas) y competencias profesionales (básicas y extendidas). Esta estructura permite observar de manera clara los componentes comunes entre los diversos subsistemas, así como aquellos que son propios de cada uno y que, por consiguiente, los hacen distintos. Lo anterior muestra cómo la RIEMS respeta la diversidad del nivel educativo del país, pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, conformado por las distintas instituciones y subsistemas que operan en nuestro país.   1 #   

    

   - 

Competencias genéricas Competencias disciplinares básicas Competencias disciplinares extendidas Competencias profesionales básicas Competencias Profesionales extendidas

Competencias profesionales extendidas

3

4

Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes                 mas de estudio y se adapta a sus objetivos; no busca reemplazarlos, sino comple       !  "    " #  

pertinente el currículo de la EMS. Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachillerato gene         $%%   &   "       tudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genéricas, competencias disciplinares básicas y extendidas, además de competencias profesionales básicas. Las competencias genéricas son las que todos los bachilleres deben estar en    '         # 

él; les capacitan para continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de sus

 *

            cazmente en los ámbitos social, profesional y político. Dada su importancia, dichas    +          

del egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se listan las once competencias genéricas, agrupadas en sus categorías correspondientes: +   &   2 1)

Se conoce y valora a sí mismo, y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2)

Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3)

Elige y practica estilos de vida saludables.

+  8* &  4)

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

 2  : 8 #&  5)

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6)

Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,     

      # 

$*   )&-& 7)

Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

>  )&> # 8)

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

  * *>     9)

Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conocimientos, habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo                 &

contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden ser básicas o extendidas. Las competencias disciplinares básicas procuran expresar las capacidades que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y programas de estudio que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares básicas dan sustento a la &        +    

de egreso de la EMS y pueden aplicarse en distintos enfoques educativos, contenidos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: Matemáticas, Ciencias Experimentales (Física, Química, Biología y Ecología), Ciencias Sociales y Humanidades (Historia, Sociología, Política, Economía, Administración, Lógica, Ética, Filsofía y Estética) y Comunicación (Lectura y Expresión oral y escrita, Literatura, Lengua extranjera e Informática). *-        $" /// "      

objetos de estudio de dos ramas de la matemática que son la base del componente de formación básica, el álgebra y la geometría, mediante la modelación algebraica de las relaciones y formas geométricas que ha explorado desde otros puntos de vista; así como reconocer, a partir de registros algebraicos, formas geométricas como las rectas y las circunferencias, con otras formas nuevas como la parábola y la elipse.       Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estableció una estrategia que permite integrar los elementos del programa de la asignatura, con los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes. 4          #     

ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, sino que debe adaptarlo a las características propias del contexto en el que se desarrollan las sesiones de aprendizaje. La estrategia consta de seis pasos o etapas, que deberán conocerse en las primeras sesiones para su mejor desarrollo. Los pasos se listan y describen a continuación: B Dinamización y motivación B Contextualización B Problematización B Desarrollo de criterios B Síntesis de resultados de aprendizaje B Realimentación B Evaluación de la competencia

5

 &  -& # -

6

Es indispensable que el facilitador tenga evidencia de los aprendizajes previos que el alumno ha adquirido y considere que a partir de los mismos se desarrollarán los nuevos.  8  - En el desarrollo de competencias se hace necesario el aprendizaje contextual, es decir, presentar elementos a través de escenarios que            y se localiza en el eje horizontal. El segundo elemento, llamado  , se localiza en el eje vertical. Estos elementos o parejas ordenadas se representan con letras mayúsculas y se les llama puntos. Por ejemplo: A(3, 4), B(–6, 7), etcétera.

17

Matemáticas III

Actividad de aprendizaje 1 1. En una granja, los cerditos pesan 3.6 kilogramos al nacer y al primer mes alcanzan un peso de 9.1 kilogramos. Supongamos que el incremento del peso se mantiene constante. Completa la siguiente tabla con los datos del incremento de peso responde en tu cuaderno las preguntas que se formulan a continuación: , 

 

L& M* N

0 1 2 3 4 5 N W%" ~       [ >N W%          [ 2. Sitúa en un plano cartesiano las parejas ordenadas de dicha problemática. 3. Investiga en cualquier bibliografía complementaria los siguientes conceptos: B Geometría analítica B Principales problemas de la geometría analítica  &*E Determina el valor de las incógnitas en cada inciso, considerando que las parejas ordenadas son iguales. N (2,4) = (x – 1,4) >N (–4,12) = (2x + 6,4y –2) N (3,1) = (x + y,x – y) + - Del primer inciso tenemos que, como las parejas ordenadas son iguales, entonces sus elementos han de ser iguales, de donde se determina que 2 = x – 1, y despejando resulta que x = 3. Del segundo inciso se desprende que –4 =2x +6 y que 12 = 4y – 2. Despejando 7 2

en ambas tenemos que x = –5 y que y  . Para el último caso, se tiene un sistema de ecuaciones lineal de dos incógnitas, ⎧⎪ x + y = 3 . Al solucionarlo mediante cualquiera de los métodos disponi⎩⎪ x − y = 1

como sigue ⎨

bles se obtendrán los valores desconocidos, a saber: x = 2 y que y = 1.

18

Bloque I. Reconoces lugares geométricos

 &*F

€          \   

  

las parejas ordenadas que describen sus vértices. B

8

A

C

6

D

4

F

G -8

2

g

0 -6

-4

-2

0

2

-2

E

4

6

Figura 1.3

+ - Al localizar cada uno de estos puntos y describir primero las abscisas y después las ordenadas, tenemos la siguiente tabla: 

  

A

(–8,6)

B

(–4,8)

C

(2,6)

D

(6,4)

E

(2,–2)

F

(–2,2)

G

(–8,0)

Actividad de aprendizaje 2 Reunidos en equipos de tres integrantes, realicen lo siguiente: Encuentren y traigan el mapa del estado de Yucatán, tracen los ejes cartesianos, suponiendo que el origen se encuentra en la capital del estado; investiguen las ciudades que conforman el estado, ubíquenlas en el mapa y completen la siguiente tabla:    Mérida

1>  - (0, 0)

Valladolid

19

Matemáticas III Con la actividad anterior introdujimos los elementos de un sistema de coordenadas de forma empírica. Ahora comencemos a plantear de manera formal algunos de los conceptos matemáticos referentes a las coordenadas.

Ejes coordenados rectangulares El*   (o sistema de coordenadas rectangulares cartesianas) se obtiene al trazar dos rectas perpendiculares llamadas ejes coordenados (o simplemente ejes), los cuales se cortan en un punto llamado origen. La recta horizontal se denomina eje X y la vertical, eje Y. Las rectas dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. N ( 4 , − ) = (5 x − 6, 4 − 2 y ) 7 N

9 ( 3 −1 , − ) = (2 x − 3 y , y − 4 x ) 3

5. €     ? 14 12 10 8 6 4 2 0

0

2

4

5

7

10

Figura 1.5

N Obtén una lista de puntos coordenados que la represente. >N K            6. Representa en tu cuaderno cada uno de los siguientes puntos coordenados en un sistema de ejes: N(3,7) )N (

>N(–5,6)

14 12 , ) 3 3

N ( 

N(0,5)

N(5,0)

8 ,  16 ) 6

N(0,–5)

N (  3 27 , 8 )

N ( , 2 )

7. Un compañero camina desde la plaza de tu comunidad (que se encuentra localizada en el origen de un plano cartesiano imaginario) 3 cuadras al norte, 4 al   ‡   ˆ       Š   W +   

 '[            

21

Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2

&*     % 

Se expresa 4. Escucha, y comunica. interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

0      &* O

$ > 4.1Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

P #   



 

8  

Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.

Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

0    &% 

&*      *        & &  

22

P #      &* O

0  

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

/ 

características de un sistema de coordenadas rectangulares.

/ 

características del sistema de ejes coordenados rectangulares y parejas ordenadas.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, "   

o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación.

Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.

Aplica las características de los pares ordenados en situaciones de   "

económica, "

etcétera.



 

8  

Bloque I. Reconoces lugares geométricos

1 %&   

, &  F

C

0    &% 

&*      *        & &   8. Interpreta tablas, "   

diagramas y textos con símbolos matemáticos y  

P #      &* O

0  

Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas.

Reconoce las características de las parejas ordenadas en un sistema de ejes coordenados.



 

8  

Empleo las características de las parejas ordenadas en un sistema de ejes coordenados.

Observaciones:

Sesión B. Lugares geométricos Problematización     +  "      "

Para comenzar, realiza lo siguiente: Reúnanse en equipos, describan y representen en su cuaderno, mediante            &      

situaciones: 1. La trayectoria que forma una piedra que está atada a un hilo y que se hace girar. 2. El camino que lleva un chorro de agua que sale de una manguera que apunta hacia arriba con 45 grados de inclinación, medido respecto a la horizontal. 3. El trayecto que toma una bala al dispararse hacia una pared que se encuentra a 50 m. 4. N 4        '

 W + ' " 

 [ 3. A Pedro se le toma la temperatura durante su consulta médica y el doctor le pide a la enfermera que se le indique en grados Fahrenheit. Si la fórmula de conversión es ºF = 9/5 ºC + 32. N W@ "  J    \_˜ %[ >N W@ "  %    ‹ˆ_˜ J[ 4. Una pelota es lanzada hacia arriba a una velocidad de 24 m/s, su altura en metros, al cabo de un tiempo, t, está dada por h(t)=24t – 5t2. ¿A los cuántos segun

 "     ]_Š‡    [ 5. Una manguera lanza el chorro de agua con una velocidad de 36 m/s. ¿A los cuántos segundos alcanza una altura de 63 metros, si su ecuación está dada por h(t) = 36t – 5t2[

31

Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2 Se expresa y comunica.

&*     %  4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

$ > 4.1Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

0      &* O

P #   



 

8  

Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.

Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

0    &% 

&*      *        & &   2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

P #      &* O

0  

/ 

características de un sistema de coordenadas rectangulares.

/  

dadas en conjuntos de parejas ordenadas presentadas en forma "  + 

situaciones reales. Asocia un conjunto de parejas ordenadas con un lugar geométrico y viceversa. Distingue una expresión algebraica como un lugar geométrico.

32



 

8  

Bloque I. Reconoces lugares geométricos

1 %&   

, &  F

C

0    &% 

&*      *        & &  

P #      &* O

8. Interpreta tablas, "   

diagramas y textos con símbolos matemáticos y  

Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas.

0  



 

8  

Reconoce parejas de datos que pertenecen  & " 

lugares geométricos y las que corresponden a puntos de intersección. Z  "

un lugar geométrico correspondiente a una expresión algebraica.

Observaciones:

Realimentación Ahora se presenta una serie de ejercicios y situaciones que te servirá para reforzar lo aprendido en este bloque. 1. Halla el valor de cada una de las variables en cada inciso. N (–4, 2) = (3z – 11, 2k) 5 2

>N (2, ) = ( x − 6 y , 4 − 2 y + x ) N (–4, 7y) = (x2 + 4x, 2y2 – 4) 2. Representa el polígono irregular y determina su área si las coordenadas de sus vértices son los puntos: A(–8, –6), B(–6, 6), C(0, –5), D(4, 0), E(3, 3) y F(3, –5). 3. N Un cuadrado de 5 cm de lado N Un hexágono regular (Puedes orientarte usando trigonometría). 5. Encuentra y representa el lugar geométrico de todos los puntos cuyas abscisas exceden a la ordenada en 2 unidades. 6. !  "          

a los puntos A(–1, 2) y B(3, 3). 7. !  "   +       

siempre el doble de las abscisas. 8.                 ’“ 

        W"   "   +

                "  [ 9. ¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de las abscisas y las    \[ 10. Para cada una de las siguientes ecuaciones determina el valor de la ordenada y del punto (x, y) que se determina según la tabla.

x

y

(xMy)

–3 –2

N 2x – 3y + 1 = 0 ++++++

–1

>N x2 + 2y - 1 = 0

0

N x + 2y2 – 1 = 0

1

N x2+y2–3 = 0

2

Evaluación de la competencia

3

Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2

&*     % 

Se expresa 4. Escucha, y comunica. interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

34

$ > 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

0      &* O Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.

P #   



 

8  

Bloque I. Reconoces lugares geométricos

Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

0    &% 

&*      *       & &   2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

P #      &* O / 

características de un sistema de coordenadas rectangulares.

0  



  8  

/    

sistema de ejes coordenados rectangulares y parejas ordenadas. /    

conjuntos de parejas ordenadas    & " 

numérica de situaciones reales. Asocia un conjunto de parejas ordenadas con un lugar geométrico y viceversa. Distingue una expresión algebraica como un lugar geométrico.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos +  " 

analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación.

Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.

Aplica las características de los pares ordenados en situaciones    " 

" +

8. Interpreta tablas, "   

diagramas y textos con símbolos matemáticos y  

Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas.

Reconoce las características de las parejas ordenadas en un sistema de ejes coordenados. Emplea las características de las parejas ordenadas en un sistema de ejes coordenados. Reconoce parejas de datos que   & "

de lugares geométricos y las que corresponden a puntos de intersección. Z  "  

geométrico correspondiente a una expresión algebraica.

Observaciones:

35

Bloque II

Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos Desempeños del estudiante al concluir el bloque B /         B Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos. B Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos rectilíneos y polígonos.

Objetos de aprendizaje B Segmentos rectilíneos: dirigidos y no dirigidos B Distancia entre dos puntos B Perímetro y área de polígonos B Punto de división de un segmento B Punto medio

Competencias genéricas y atributos 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, "  " 

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Š] /             +   tad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

Competencias disciplinares básicas B Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. B Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

36

B Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

37

Matemáticas III Dinamización y motivación 0Realiza lo que se pide a continuación. 1. ¿Cuál es la distancia recorrida de un automóvil, si lleva una velocidad constante  ˆ— ~™     ]  [ 2. W%"     " [ 3. ¿Cuál es el resultado de

144 [

4. Resuelve el siguiente binomio al cuadrado:

3 5 x− 2 4

2

5. W%"   "   "   \   ‡[ 6. Calcula el área del trángulo si sus tres dimensiones son 8.5 y 3 cm, respectivamente. 2 7. Resuelve (1 − 2) + 3 − ( − 4 )

2

8. Resuelve lo siguiente:

−3+

1 6 3

9. K           ’? w‡—|  w–6,0). 10. Halla el valor de X y de Y por determinantes del siguiente sistema: x − 2 y = 10 2x + 3 y = − 8

%           &    +

nivel de comprensión te encuentras en estos momentos de acuerdo con la tabla      #      0&* ?  &    "     "   cación breve sin profundizar en las respuestas y argumentos, pues algunos de los conceptos tratados en estas preguntas se analizarán en este bloque y nos servirán      Con base en tus resultados, socialicen sobre los alcances logrados, las fortalezas y debilidades que presentan, así como las estrategias que emplearán para mejorar su rendimiento y alcanzar un mejor nivel.

38

Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

Contextualización En una comunidad del estado de Yucatán, un padre de familia está ahorrando para construuir un pie de casa, el señor se percata de que se enfrenta a varios problemas; su hijo, que actualmente cursa el bachillerato, se percata de esta situación, en una plática, su mamá comenta que hay que tramitar el derecho de construcción ante las autoridades correspondientes. La situación económica no es muy buena, por lo que se toman la tarea de investigar costos del material que se requiere para su construcción. El joven llega a la escuela y comenta a sus amigos su problema un compañero le dice que sería bueno que ubicaran primero la zona de construcción, si la base será cuadrada o rectangular, qué altura tendrá, y el diseño del techo de la casa, es decir, que estudien la  "

Figura 2.1

B W`+          [ B W`+  "   "   [ B W%"          k   '    [ B W`+        '    [ Expón la solución en plenaria.

Sesión A. Segmentos rectilíneos y distancia entre dos puntos Problematización Un hacendado desea fraccionar un terreno para su venta en lotes, para ello requiere conocer la longitud de cada uno de sus lados, así que contrata los servicios de un topógrafo, quien le ayuda a trasladar a un plano los vértices del terreno que servirán para determinar la distancia o longitud de cada uno de sus lados y, por lo tanto, del perímetro.

39 Figura 2.2

Matemáticas III Para llegar a tales conclusiones, el topógrafo emplea ciertos procedimientos matemáticos simples pero circulares, que le permiten indirectamente medir las longitudes, ángulos, elevación del terreno y su área. El topógrafo sólo ha colocado en un mapa los vértices del terreno dando origen al siguiente modelo: 5

4

3

2

1 1:10m 0 -3

-2

0

-1

1

-1

2

3

4

Figura 2.3

€      k       

siguientes preguntas: B W%"         [ B W%"   "   [ B W`+       ?—      [ B 4        W"  "[ WZ +[

Desarrollo de criterios

Segmentos dirigidos En la asignatura de Física, el maestro te explicó que para que se puediera calcular la distancia recorrida de un automóvil, avión, tractor, bicicleta, motocicleta, etc étera; es de suma importancia considerar sus velocidades y el tiempo recorrido. Ésta, como otras situaciones, se ha solucionado calculando distancias que re         "      

  ?               " 

que si un derechohabiente requiere de una consulta médica urgente, depende de su              + " 

De esta forma analizamos el comportamiento de los segmentos rectilíneos presentados en diferentes casos, así como para distinguir cuando se hace dirigida o no dirigida.

40

Una línea recta es     cuando consideramos su dirección o sentido; hacia un extremo es positiva y al opuesto negativa. Si sobre la recta marcamos dos puntos, digamos A y B, a la porción o parte comprendida entre los puntos se le llama  &    , si no consideramos su sentido le llamaremos  & . Cuando en un segmento sólo nos interesa la distancia entre los puntos extremos sin importar su dirección, es decir, su longitud, estaremos hablando de su # >, que es el valor del propio número cuando es positivo y su simétrico cuando es negativo.

Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

Para reforzar estos hechos proponemos otra actividad integradora.

Actividad de aprendizaje 1 En forma individual y como actividad extraclase, investigua tres ejemplos de la vida cotidiana que involucren a los segmentos dirigidos. Si formalizamos las conclusiones y utilizamos la notación matemática, tendre            @  †   ción horizontal, habría que realizar una operación de resta en sus abscisas, lo cual denotaremos como sigue: d = AB = AB = x 2 − x1 = x1 − x 2 0

A

(0,0)

El valor absoluto se representa con el símbolo | |. Indica que se debe pasar el número resultante a valor positivo. Ejemplo: |-5|=|5|=5.

B

(X1,0)

(X2,0)

Figura 2.4

En la práctica, para determinar la longitud de un segmento horizontal restaremos la abscisa del punto de la izquierda de la abscisa del punto de la derecha. Si el segmento está determinado por N y M, en posición vertical, la resta se "             "

esta situación se describe así: d = NM = NM = y 2 − y1 = y1 − y 2 La distancia de un segmento vertical es la ordenada de arriba, menos la ordenada del punto de abajo.

Distancia entre dos puntos

y (0,y2)

Has calculado anteriormente longitudes de segmentos en su forma horizontal y vertical, pero al igual te percataste que existen otras posiciones del segmento (oblicuas o inclinadas) cuando se conocen sus puntos y se trazan en el plano cartesiano y hallaste su distancia, ¡vaya que fue un reto para solucionarlo! Ahora descubrirás cómo calcular la distancia cuando un segmento no es vertical ni horizontal, a esta distancia la llamaremos distancia entre dos puntos. Deducción:

N

(0,y1)

M

(0,0)

O

Figura 2.5 y

B(x2,y2)

y2

BC= y 2 - y 1

y1

A(x1,y1)

x1

C(x2, y1) AC= x2 - x1 x2

Figura 2.6

41

Matemáticas III Aplicando el teorema de Pitágoras, el cual señala que la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de longitud de la hipotenusa, comúnmente conocido como c2=a2+b2, se obtiene: 2

(

) + (y 2

AB = x 2 − x1

Puede demostrar que: ( x1 − x 2 )2 = ( x 2 − x1 )2

(x

d = AB =

Donde resulta

2

− x1

2

− y1

)

) +(y

2

2

2

− y1

)

2

También es posible usar la fórmula: d = AB =

(x

1

− x2

) +(y 2

1

− y2

)

2

Donde se invierten los términos de las diferencias cuadráticas. Puedes demostrar que: 2

a − b = (a − b)

Por lo tanto, la fórmula para encontrar la distancia entre los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es: 2 2 d = x 2 − x1 + y 2 − y 1

(

) (

)

2

Consideremos algunos ejemplos de aplicación.  &*D K  +       Zw] |  `wˆ Š|

+ - Z       

    

P(–2, 1)=(x1, y1) y que Q(6, 7)=(x2, y2). y 8 7 Q(6,7) 6 5 4 3 2 1

P(-2,1)

0 -3

-2

x

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

Figura 2.7

-2

Se tendrá que:

42

( )

2

(

)

2

( )

2

(

)

2

( )

2

PQ =

⎡6 − −2 ⎤ + 7 − 1 ⎣ ⎦

PQ =

⎡6 − −2 ⎤ + 7 − 1 ⎣ ⎦ 2

PQ = ⎡⎣6 + 2⎤⎦ + 6 PQ = 64 + 36

Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

PQ  100 PQ  10

 &*E Calcula las coordenadas del punto que equidista de los puntos A(1, 2), B(5, 4)  %w\ _|   "     + - Consideremos a D(x, y) como el punto equidistante de A, B y C. De acuerdo con la condición tenemos que: DA  DB  DC

Igualando y usando la fórmula de distancia entre dos puntos se tiene: DA  DB

( x − 1) + ( y − 2) 2

2

=

( x − 5) + ( y − 4 ) 2

2

Elevando al cuadrado ambos lados:

( x − 1) + ( y − 2) = ( x − 5) + ( y − 4 ) 2

2

2

2

Efectuando operaciones: x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4 = x 2 − 10 x + 25 + y 2 − 8 y + 16

4 ? 1)

8x + 4y = 36

Por otra parte, igualamos y usamos la fórmula de distancia de nuevo y tendremos: DB  DC

( x − 5) + ( y − 4 ) 2

2

=

( x − 3) + ( y − 8 ) 2

2

Elevando al cuadrado ambos lados:

( x − 5 ) + ( y − 4 ) = ( x − 3) + ( y − 8 ) 2

2

2

2

Efectuando operaciones: x 2 − 10 x + 25 + y 2 − 8 y + 16 = x 2 − 6 x + 9 + y 2 − 16 y + 64

4 ? 2)

–4x + 8y = 32

De las ecuaciones (1) y (2) formamos un sistema como el siguiente: ⎧ 8 x + 4 y = 36 ⎪ ⎨ ⎪ −4 x + 8 y = 32 ⎩

43

Matemáticas III Resolviéndolo por cualquiera de los métodos conocidos, obtendremos que la solución será x = 2; y = 5. N (–5, –10), (4, 5) N

1 2 4 3

1 1 , 2 3

N (–4, 6), (–2, –1) N

(3

) (

2,2 8 , −5 2, − 8

)

2. Comprueba que el punto A(5, 3) equidista de los puntos B(–1, 2) y C (6, –3). 3. Determina si los vértices F(2,–4), G(1,3) y H(–ˆ]|   "  " 

      K     4. Si la abscisa de un punto M es la mitad de su ordenada y su distancia al punto N (–1, 3) es de cinco unidades, halla las coordenadas de M (dos soluciones). 5. Demuestra que los puntos A(0, 4), B(3, –2), C(–2, 8) y D(5, –4) son colineales. 6. Un triángulo isósceles tiene por base el segmento que une los puntos M(6, 1) y žw ]| 4       ‡ W"  

      [

Compruébalo "

Área de un polígono usando sus coordenadas Del triángulo anterior calculaste las distancias determinadas de un punto a otro punto y llegaste a la conclusión de que el cálculo de sus dimensiones representa al triángulo isósceles. Para determinar su área, conociendo los datos anteriores, utilizas la fórmula de Herón vista previamente en el semestre anterior, ahora se te presenta otro método para determinar el área usando sus coordenadas transfor"              no. Se te presenta a continuación fórmula para determinar el área de un polígono dadas sus coordenadas. x 1 1 A  x2 2 x3

y1 1 y2 1 y3 1

45

Matemáticas III Consulta bibliografía de matemáticas, sugerida por tu docente para ampliar tus conocimientos y aplicaciones de los determinantes.

Se consideran las coordenadas de los vértices de un triángulo isósceles F(2, -4),G(1,3) y H(-6,2) en sentido antihorario, obtenemos: A=

2 −4 1 1 1 1 2 1 3 1= ⎡ ⎣ (2)(3) + (1)(2) + (−6) (−4 ) − (2)(2) − (−6)(3) − (1) (−4 )⎤ ⎦= (50) = 25u 2 2 2 −6 2 1

Actividad de aprendizaje 3 Se te ofrece realizar los siguientes ejercicios en tu libreta: 1. K    "         

+

los puntos: N A(2,4), B(3,–1) y C(–3,2). >N A(–4,4), B(1,7), C(4,5) y D(2,–2) N A(–3,6), B( 5,7), C(7,0), D(6,–3) y E(–4,4)

Síntesis Resuelve los siguientes ejercicios en tu libreta: 1. K          ? N A(–2, 5), B(–1, –4) y C(3, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo e isósceles. >N A(–4, 3), B(10, 1), y C(–2, –3) son los vértices de un triángulo rectángulo. 2. Demuestra que el triángulo de vértices (10, 5), (3, 2) y (6, –5) es rectángulo y halla su área. 3. La Cooperativa Pesquera Mina de Oro, del puerto de Santa Clara, se dedica al buceo       %        

boyas y con la ayuda de un localizador GPS, las cuevas donde mayores capturas   4           ]—  

usando la distancia entre puntos, que éstos son colineales. 8 y

Santa Clara

7 6

C

5

B

4 3 2

A

1

x

0 0

46

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Figura 2.10

Discute en grupo tus conclusiones acerca de lo que obtuvieron.

Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

4. En un mapa se encuentran localizadas las localidades P, H, M y B con sus respectivas coordenadas. M(0, 0), P(23.4, 12.4), M(–34.5, –3,5) y B (123.4, –24.6). Determina las distancias entre ellas y decide cuáles son las dos ciudades más cercanas entre sí, suponiendo que se puede viajar en línea recta de una a la otra. 5. Don Jesús tiene un terreno rectangular para la siembra de elotes y desea saber cuánto miden sus diagonales si los vértices del terreno son (–60, 40), (–60, –40), (60, 40), (60, –40). Calcula cuánto miden las diagonales del terreno de don Jesús . 6. Un ingeniero traza un plano para la construcción de un centro comercial en un terreno poligonal, si los vértices del terreno son (–5, 4), (5, 4), (11, –2), (–6, –2), calcula el área de construcción.

Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2 Se expresa y comunica.

&*     %  4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

$ > 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

0      &* O

P #   



 

8  

Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.

Aprende de forma autónoma.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Š] /

las actividades que le resultan de menor y mayor interés   

reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

/

actividades de acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. / 

reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.

47

Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

00$* **    &  2  *2

&*      *      & &  

P #      &* O

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos rectilíneos y polígonos.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos.

0   Analiza la noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su utilidad para el cálculo de perímetros y áreas de polígonos en situaciones reales. Comprende la noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su utilidad para el cálculo de perímetros y áreas de polígonos en situaciones reales. / 

características de un segmento rectilíneo. Reconoce la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano como la longitud de un segmento. Ubica las coordenadas de los extremos de un segmento rectilíneo.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Observaciones:

48

/ 

características de un segmento rectilíneo.

Representa segmentos rectilíneos en el plano cartesiano a partir de las coordenadas de sus extremos y viceversa.



 

8  

Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

Sesión B. División de un segmento en una razón dada Problematización El derrotero de la ruta Chicxulub-Uaymitum es de 9 kilómetros, a lo largo de los cuales se quiere poner 6 paraderos. ¿En qué posiciones se deben ubicar para que se encuen          [

Desarrollo de criterios En Geometría analítica compararemos segmentos. La idea básica es saber cuántas veces cabe un segmento en otro, pudiendo enfocarla de dos formas: una es comparar una parte del segmento con el resto y la otra, comparar una parte del segmento con el todo. Aunque las fórmulas resulten diferentes, según el planteamiento, el resultado                k

la razón dada. Consideremos que P es un punto sobre un segmento que lo divide en dos. B P A

Figura 2.11

            

AP con respecto al segmento PB . Comparando sus longitudes por cociente obtenemos que: r

AP PB

-           @         Z*           Z      † 

que el segmento es dirigido. K   @wx1, y1) y B(x2, y2|     AB , siendo P(x, y) el punto de división, con lo cual determinaremos las ecuaciones que permiten hallar las coordenadas del punto de división de un segmento. y

X 0

A

P

B

Figura 2.12

49

Matemáticas III Donde A’, P y B son las proyecciones de los puntos A, P y B sobre el eje X. Sabemos, por el teorema de Tales de Mileto, que varias rectas paralelas determinan segmentos proporcionales en cualquier transversal que las corte, con lo cual tenemos que: AP A ′P′ r= = PB P ′B′ Siendo A′P′ = x − x1 y P′B′ = x 2 − x Si realizamos las sustituciones respectivas obtenemos que: r = AL resolver para x , la ecuación resulta:

(

x − x1 x2 − x

)

r x 2 − x = x − x1 Multiplicando la r rx 2 − rx = x − x1 , despejando la x:

(

x1 + rx 2 = x 1 + r

x1 + rx 2 = x + rx

Donde r ≠ −1

)

x=

x1 + rx 2

(1 + r )

Si proyectamos sobre el eje Y, al realizar los pasos anteriores obtenemos: y1 + ry 2

y=

(1 + r )

En resumen, para calcular las coordenadas del punto que divide a un segmento formado por los puntos P1(x1, y1 y P2(x2, y2), de acuerdo a una razón dada r, se emplean las ecuaciones: y + ry 2 x + rx 2 y= 1 x= 1 donde r ≠ −1 1+r 1+r

(

)

(

)

Un caso particular se da cuando las coordenadas a localizar corresponden al punto medio que divide a un segmento, lo cual sucede cuando la razón de división es igual a 1. x + rx 2 Con lo anterior tenemos que al sustituir en las relaciones x = 1 , 1+r y1 + ry 2 y considerando r  1 , obtenemos: y= 1+r x + (1) x 2 x= 1 1+1

(

(

)

(

y=

)

y1 + (1) y 2

(1 + 1 )

y + y2 y y= 1 son las ecuaciones 2 2 para determinar coordenadas del punto medio de un segmento con extremos P1(x1, y1 y P2(x2, y2).

S      x =

50

)

x1 + x 2

Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

Para denotar la razón de un punto que divide a un segmento de recta, se utili2 a za la fracción o la notación a : b (que se lee a es b), por ejemplo 3 o 2 : 3. b También hay que considerar que un segmento proviene de una recta y que ésta se prolonga hacia sus extremos; por lo tanto, el punto que divide a un segmento            +       

tres condiciones si consideramos en todas ellas que r 

AP

:

PB

1. P está antes que A, entonces r resulta   # y mayor que –1, es decir, –1N P(0,2); Q(–3,–3) N R(9,1); S(2,–5) N D(a,2a+1); E(2a,1–a) 2. Determina el lugar geométrico, sobre el plano, de todos los puntos que equidistan     ? N A(0,0); B(5,7) >N P(2,3); Q(1,5) 3. Los extremos de un segmento están dados por los puntos A(1,1) y B(3,y+1). ¿Cuál debe ser el valor de y para que la longitud del segmento AB sea  ‡  [

4. Encuentra el perímetro y área del siguiente triángulo: P

2

Q

1

0 -3

-2

0

-1

1

2

-1

-2

Figura 2.19

R

5. @    @ †  %          " 

que se forma: C

3

A

2

1

0 -3

-2

-1

0

1

2

B

Figura 2.20

59

Matemáticas III 6. Encuentra el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que su distancia al punto A(–1,2) es siempre 5 unidades. 7.    J  K    ? A

4

3 F 2

1 G

0 -4

-3

-1

0

1

2

3

4 B

-1

5

-2

Figura 2.21

-3

8. Dos puntos del lugar geométrico 3x - y + 2 = 0 tienen por abscisas x = 2 y x= – 1. Determina las coordenadas del punto medio del segmento que se obtiene con dichos puntos. 9. Encuentra la longitud del segmento ED    ? A

4 D es punto medio de AB 3 2 D

1 0 -4

-3

-2

0

-1

1

2

3

4

5

6

-1 -2 E

B

-3

Figura 2.22

10.      Z" 

     nan los vértices de triángulos rectángulo o no. N (2,3); (3,4); (7,0) >N (–3,2); (3,1); (4,7) N (–2,–3); (5, 0); (1,7) 11. En cada pareja de puntos siguiente, determina las coordenadas del punto P( x , y ) que divide al segmento AB en la razón dada. N A(0,0); B(7,0); r =

3 4

>N A(–3,2); B(2,4); r =

60

1 4

N A(–4,–2); B(–2,6); r = 4

Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

12. Determina la razón por la cual el punto G(5,1) divide al segmento AB de coordenadas A(–4, –5) y B(8,3). 13. Demuestra si las siguientes tercias de puntos son colineales: N P(–2,3); Q(4,5); R(6,6) >N P(–2,3); Q(4,5); R(2,4) N P(6,6); Q(4,5); R(2,4) 14. Determina el área y perímetro de los triángulos ABC, ABE y BCE según la si ? 4

E 3 I

B

2

D

1 0 -1

C

-2

A

Figura 2.24 -3

Evaluación de la competencia Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2 Se expresa y comunica.

Aprende de forma autónoma.

&*     % 

$ >

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Š] /

las actividades que le resultan de menor y mayor interés   

reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

0      &* O

P #   



 

8  

Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /   

acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. /  

ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.

61

Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

00$* **    &  2  *2

&*      *       & &  

P #      &* O

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos rectilíneos y polígonos.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos.

0   Analiza la noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su utilidad para el cálculo de perímetros y áreas de polígonos en situaciones reales. Comprende la noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su utilidad para el cálculo de perímetros y áreas de polígonos en situaciones reales. /   

de un segmento rectilíneo. Reconoce la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano como la longitud de un segmento. Ubica las coordenadas de los extremos de un segmento rectilíneo.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Observaciones:

62

/ 

características de un segmento rectilíneo.

Representa segmentos rectilíneos en el plano cartesiano a partir de las coordenadas de sus extremos y viceversa.



 

8  

63

Bloque III

Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico Desempeños del estudiante al concluir el bloque B Reconoce la recta como lugar geométrico. B Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta. B Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y ejercicios

Objetos de aprendizaje B Línea recta B !

B Pendiente y ángulo de inclinación de una recta B Ángulo formado por dos rectas B Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Competencias genéricas y atributos B Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, ma"  "  B Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones B Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. B /             +

         &   

obstáculos.

64

Competencias disciplinares básicas B Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. B Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques B Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. B Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéri  "    

    

  temático y el uso de la tecnología de wla información y la comunicación B /    "          "   

65

Matemáticas III Dinamización y motivación Resuelve los siguientes ejercicios, realizando las operaciones necesarias: 1. Calcula el valor de las siguientes funciones trigonométricas sin utilizar calculadora  tan 45o=

> tan 60o=

2. Si la tan =–1, hallar el valor del angulo 

2 3 – 5 4 3. ¿Cuál es el valor de

[ 7 5

4. Dada las siguientes formulas, hallar lo que se indica  h = v0t +

> h=

gt2 , despejar g 7

vf + v0 2

t, despejar vf

0&* : tu profesor sólo examinará tus soluciones y dará, de forma "   +      ž  "      

respuestas y argumentaciones, pues algunas de ellas se analizarán a lo largo de        "   

66

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Contextualización Gabriela y Ligia fueron de excursión al cerro de la Ermita de Tekax, Yucatán. Al subir, Gabriela le comentó a su compañera que les costó trabajo llegar a la cima. Si la pendiente, es aproximadamente de 25% y la altura del cerro es de 80 m, ¿cuántos metros   [ W%"   "       [ W%"  

      +[

Sesión A. Pendiente de una recta Problematización La máxima inclinación recomendada para una autopista es de 12%. ¿Cuántos metros horizontales tomará a la autopista Mérida – Cancún, con una inclinación máxima para  ]]_ [

Desarrollo de criterios

Inclinación de la recta    "        k      %  

idea comenzaremos el estudio formal de conceptos que te ayudarán a entender las características de las rectas y sus elementos para describir su lugar geométrico. Ade"   "      "     +                "  

inclinación y pendiente. Ahora imaginemos lo que sucede con un volquete al descargar la carga que contiene su caja. Conforme va cambiando el ángulo de inclinación, también lo hacela posición de la caja. De manera análoga sucede con las rectas; la posición de una recta depende del ángulo de inclinación que tenga.

Figura 3.1

El     -es el que se forma con el eje X del plano cartesiano y la recta girando en sentido contrario a las manecillas del reloj.

67

Matemáticas III Observa los siguientes ejemplos de ángulos de inclinación, en los que puedes notar que éstos se comprenden entre 0° hasta 180°:

1

B α= 45º

0 0

-1

2

1

3

4

-1

1 135º α= B

0 -1

0

2

1

3

-1

Figuras 3.2 y 3.3

Pendiente de la recta Normalmente cuando trabajamos con rectas se emplea el concepto matemático de pendiente, más que su ángulo de inclinación. El ángulo de inclinación se utiliza para calcular el valor de la pendiente. La*   es la razón de cambio entre dos puntos cualesquiera de la recta.

E 5

4

y B β= 45º

3

x 2

y A

1

α= 45º

x

0 -1

68

0

1

2

3

4

5

6

7

Figura 3.4

@          si conocemos el ángulo de inclinación de la recta y trazamos rectas paralelas al eje X que pasen por dos puntos

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

cualesquiera, el ángulo correspondiente que se forma no cambia y forma triángulos rectángulos, entonces la razón de cambio y/x está dada por la función trigonométrica tangente. Podemos expresar la fórmula para la pendiente en términos del ángulo de inclinación como m  Tan . Donde & es la *   y T es el     -. Gracias a la trigonometría, sabemos que la tangente de un ángulo agudo w—˜ ¦ § ¦ ‹—¨|        "    w‹—¨ ¦ § ¦ _—¨|    ©

unos ejemplos para comprender mejor esto.

Se puede usar otra variable para representar el ángulo de inclinación; por  ? ª 

fórmula será m = Tanβ .

 &*D Si conocemos el ángulo de inclinación de la recta, entonces sólo es necesa    &             

correspondientes ángulos de inclinación, además de cómo calcular la pendiente a partir de ésta.

1 1

B 0 -1

α = 45º 0

2

1

α= B

0 3

-1

4

0

1

2

135º 3

x

-1

-1

Figura 3.6

Figura 3.5

m  Tan

m  Tan

m  Tan 45

m = Tan135°

m 1

m = −1

2

1

0 -2

-1

0

1

2

Figura 3.7

Para cualquier recta horizontal paralela al eje X, su ángulo de inclinación es cero ( = 0°) y si lo sustituimos en la fórmula obtenemos: m = Tan0° = 0

69

Matemáticas III Para toda recta horizontal, su pendiente vale cero, es decir, m  0.

2

1

0 1

0

-1

Figura 3.8

-1

Ahora analicemos qué pasa con las rectas cuyo ángulo de inclinación es  = 90°; por la trigonometría sabemos que la Tan‹—˜   "  Entonces no podemos calcular la pendiente de rectas verticales, cuya ecuación se describe con la forma x  k , donde k es un número real. Para este ejemplo, la ecuación de la recta sería x  1 .  &*E Si la pendiente de una recta es m  3 , ¿cuál es el ángulo de inclinación de la [ €  "          w\]| + - Tenemos la fórmula m  Tan . Al sustituir el valor de la pendiente tenemos que: Tan  3

Al aplicar la función inversa de la tangente nos queda:  = Tan−1 3

 = 60° Entonces el ángulo de inclinación de la recta con pendiente igual a J    "   2

(3,2)

1

60º β

0 0

1

2

3

Figura 3.9

70

3 es 60°.

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

 &*F Si la pendiente de una recta es m = − 3 , ¿cuál es el ángulo de inclinación de  [ + - Si comparamos este ejemplo con el anterior, podríamos pensar que se trata del mismo pero en realidad son diferentes, ya que la pendiente es negativa. Recordemos que una pendiente negativa le corresponde a una recta con un ángulo de inclinación obtuso. Tenemos la fórmula m  Tan

Recuerda que un ángulo negativo nos indica que está girando en el mismo sentido a las manecillas del reloj, entonces lo que podemos hacer es sumar 180º al ángulo.

Al sustituir el valor de la pendiente tenemos que: Tan = − 3

Al aplicar la función inversa de la tangente nos queda:  = Tan−1 − 3

De donde: 180º + (–60º) = 180º - 60º = 120º Así que el ángulo de inclinación de la recta con pendiente igual a  3 es 150°. Cuando conocemos las coordenadas de dos puntos que están en la recta, entonces podemos expresar a la pendiente de otra forma. B 4

3

2 A 1

45º

0 0

2

1

3

4

5

6

Figura 3.10

-1

Recordemos que la pendiente es la razón de cambio entre los puntos. (x2, y2)

(y2 – y1) (x1, y1)

 (x2 – x1)

(y2, y1) Figura 3.11

71

Matemáticas III m  Tan y − y1 Tan = 2 , entonces : x 2 − x1 y − y1 m= 2 x 2 − x1 Esta fórmula se conoce como *   *. Apliquémosla en los siguientes ejemplos:  &*H Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (–2, 3) y B (2, 1). + - Tomamos el punto A como x2, y2 y el punto B como x1, y1, entonces, al sustituir en la fórmula: m=

y 2 − y1 x 2 − x1

Queda de la siguiente manera: m=

3 −1 2 1 = =− −2 − 2 −4 2

Si tomamos los puntos al revés, que A sea x1, y1 y B, sea x2, y2, al sustituir en la fórmula nos quedaría: m=

1−3 −2 1 = =− 2 − ( −2) 4 2

Si observamos de las dos formas nos da el mismo resultado, entonces no importa cual es (x1, y1) o (x2, y2) al momento de tomar los puntos para sustituir en la fórmula. 4      como el lugar geométrico de todos los puntos que tienen la misma pendiente y pasan por un punto dado.

Actividad de aprendizaje 1 Resuelve en tu libreta los siguientes ejercicios: 1. Halla la pendiente de la recta (sin utilizar calculadora) cuyo ángulo de inclinación es:  ª = 1500 >  = 900

72

 = 1800

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

2. €  "             "  

inclinación, utiliza un transportador para ayudarte y recuerda que el ángulo de inclinación se mide con respecto al eje x:   =450 , (1,2) >  = 1250, (1,–1)   = 00, (1,2) 3. El ángulo de inclinación de una recta L es  = 1160 34' y un punto de ella es R = (–4,–2). Hallar el punto donde corta al eje Y.

4. Calcula el valor de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos:  (2,3), (–1,7) > ( –1,–2), (3,–4) 

1 1 1 1 , , , 2 3 4 5

5. Utilizando pendientes, prueba que los puntos A (–4,–2), B (–1,1) y C (3,5), son colineales. 1 6. Una recta de pendiente pasa por el punto (1,5). La abscisa del otro punto por 2 donde pasa la recta es –4. Halla su ordenada.

7. Si la pendiente de una recta L es 3 y un punto de ella es M(2,–5). Halla el punto N de L que tiene como abscisa 4.

8. Una recta de pendiente 1 pasa por el punto (2,1) y por los puntos A y B . Si la ordenada de A es –3 y la abscisa de B es 4, ¿cuál es la abscisa de A y cuál es la   †[

Síntesis Aplica lo aprendido en los siguientes ejercicios los conceptos vistos: 1. Los gastos por exportación de energéticos que tiene un país en millones de pesos, entre 2010 y 2014, están expresados en la tabla siguiente: Año Millones de pesos

2010

2011

2012

2013

2014

85

115

145

175

205

 €      "     '      portación. > Cuál es el ángulo de inclinación para el comportamiento de los gastos por exportación de petróleo en el lapso 2010-2014.  Supongamos que el gasto se mantiene lineal, ¿cuál será el gasto para el ' ]—Š[

73

Matemáticas III 2. El peso promedio que tienen los cerdos de una granja del interior del estado de Yucatán a un mes de nacido es 12 kg y ocho meses después, 72 kg. Supongamos que el peso guarda una relación lineal con la edad en meses:  W%"  

               [ > W%"   "    [  %   "          3. Alexandra compra una computadora por $6 500. Supongamos que la computadora tiene una depreciación anual de $700 para los primeros 5 años. Encuentra la tasa de depreciación que tiene dicho equipo durante los primeros cinco años. 4. El ingeniero Jesús estima que una máquina para asfaltar carreteras se deprecia de manera constante en la razón de $18 000 por año. Si el valor de desecho de dicha maquinaria está contemplado en $12 000, al cabo de veinte años, ¿cuál fue 

    [ 5. Supón que has estado viajando en auto de Mérida a la ciudad de Cancún. Después de 2 horas de partir de Mérida has recorrido 80 km y después de 4 horas has recorrido en total 220 km. Determina cuál es la velocidad que has mantenido de las 2 hasta las 4 horas de viaje.

Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2 Se expresa y comunica.

&*     %  4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

$ > 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

0      &* O Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.

74

P #   



 

8  

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

000$*   &   & &% 

&*      *       & &   2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

P #      &* O Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución de problemas y ejercicios.

0  



 

8  

Establece la relación entre la pendiente de una recta y el ángulo de inclinación que forma con el eje X. Obtiene el ángulo de inclinación de recta con respecto al eje X a partir de su pendiente y viceversa. Determina la pendiente de una recta a partir de las coordenadas de dos puntos. Utiliza la noción de pendiente en la solución de problemas reales.

8. Interpreta tablas, "   

diagramas y textos con símbolos matemáticos y  

Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta. Reconoce la recta como lugar geométrico.

Reconoce la relación que hay entre el ángulo de inclinación y la pendiente. Analiza las características de la pendiente para rectas con diferentes ángulos de inclinación. Comprende el   

pendiente de una recta.

Observaciones:

75

Matemáticas III

Sesión B. Rectas paralelas y perpendiculares Problematización A nuestro alrededor podemos observar la aplicación de las rectas paralelas y perpendiculares; por ejemplo, las cuerdas de una guitarra o los postes de una palapa son paralelos entre sí; un muro es perpendicular al suelo, etcétera. Comenta con tus compañeros y sugiere otras situaciones en las que se observe paralelismo y perpendicularidad entre ellos.

Desarrollo de criterios

Propiedades de las rectas Las rectas *            

ni se cortan. Las rectas * *    son las que se cortan formando ángulos de 90º entre sí. 2

2

1 1

0 0

1

0

2

1

0

-1

3

2

-1

Figura 3.12. Rectas paralelas y rectas perpendiculares.

En las rectas paralelas se cumple que las pendientes son iguales, mientras que en las rectas perpendiculares son recíprocas y con signo contrario. 2

2

m1 1

1

m2

0

0 0

0 1

2

3

Se cumple que -1

76

m2

m1

-1

m 1 = m2

Figuras 3.13 y 3.14

1

2

Se cumple que: m1=o bien: m1∙ m2 = -1

3

1 m2

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

 &*D Determina si las rectas formadas por los siguientes puntos son paralelas o perpendiculares: N A(–2, 4), B(2, 1) y C(–2, 3), D(2, 0) + - Como queremos comprobar si las rectas son paralelas, basta ver si sus pendientes son iguales. Al aplicar la fórmula para calcular la pendiente: y − y1 , sustituyendo los valores de los puntos A y B. m= 2 x 2 − x1 4 −1 3 3 = =− −2 − 2 −4 4 Al sustituir los valores de los puntos C y D. 3−0 3 3 mCD = = =− −2 − 2 −4 4 Podemos ver que las dos pendientes son iguales, entonces se cumple la propiedad del paralelismo mAB = mCD @            mAB =

>N A(–2,4), B(2,1) y C(2,4), (–1,0) + - Al aplicar la fórmula para calcular la pendiente: y − y1 m= 2 x 2 − x1 Al sustituir los valores de los puntos A y B. 4 −1 3 3 mAB = = =− −2 − 2 −4 4 Al sustituir los valores de los puntos C y D. 4−0 4 = 2 −1 3 Podemos ver que las dos pendientes son recíprocas y con signo contrario, entonces se cumple la propiedad de la perpendicularidad: mCD =

mAB ® mCD = –1  &*2

D=(-15 5)

Demuestra que A(–2,3), B(2,1), C(3,3) y D(–1,5) son los vértices de un rectángulo. + -

c

d

4

A=(-2,3)

3

{     \‡ ‰ 

un rectángulo tiene los lados opuestos paralelos y los consecutivos perpendiculares.

C=(3,3)

2 b

a

B=(2,1)

1

0 -3

-2

-1

Figura 3.15

0

1

2

3

4

77

Matemáticas III Para demostrar que es un rectángulo trabajaremos con las pendientes. Será un rectángulo si el producto de las pendientes de dos lados consecutivos es igual a –1. mAB =

3 −1 2 1 = =− −2 − 2 −4 2

mDA =

mDC =

5−3 2 = =2 −1 + 2 1

5−3 2 1 = =− −1 − 3 −4 2

mCB =

3−1 2 = =2 3−2 1

Al multiplicar las pendientes de los lados consecutivos AB y AD; CB y DC, tenemos: ⎛ 1⎞ mDC >mDA = ⎜ − ⎟ ( 2 ) = −1 ⎝ 2⎠

⎛ 1⎞ mAB >mBC = ⎜ − ⎟ ( 2 ) = −1 ⎝ 2⎠

Así que los puntos sí son los vértices de un rectángulo.

Ángulos entre dos rectas Consideremos dos rectas l1 y l2 no paralelas con ángulos de inclinación  y , respectivamente,        ? y 6 5

l2

l1

4 3 2

f(x)=-0.6x+2

γ

f(x)=0.7x+1

1

-3

-2

x

β

α -4

-1

1

2

3

4

5

-1 -2

Figura 3.16

Las rectas se cortan, ya que no son paralelas por tanto determinan dos ángu          

      "  

encontrar el valor del otro. Nombremos al ángulo determinado por las rectas l1 y l2, como    

podemos ver que =+(ya que es ángulo exterior de un triángulo con ángulos interiores opuestos dados por  y ), de modo que - y por tanto se tiene la relación: tanγ = tan(β -α )=

tanβ - tanα 1  tanα tanβ

Es decir, el ángulo entre las rectas y, con lado inicial, cumple la relación:

78

tan  =

m2 − m1 1 + m1 m2

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Donde m1 y m2 son las pendientes de l1 y l2 , respectivamente. Z         "        

de problema, ya que de darse tal situación sabemos que se trata de dos rectas perpendiculares y por tanto, el ángulo entre éstas es recto. Además, al ser un ángulo positivo y menor de 180°, es decir, podemos ver la expresión obtenida al despejar: ⎛ m − m1 ⎞  = tan−1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 1 + m1 m2 ⎠ Lo anterior determina de manera única su valor.  &* Determina el tipo de triángulo determinado por las rectas 4x+3y-31=0, y-1=0 y 4x-3y-1=0, así como la medida de su menor ángulo interior. + - Nombremos a las rectas 4x+3y-31=0, y-1=0, 4x-3y-1=0 por l1, l2 y l3 respectivamente. De las ecuaciones de l1, l2 y l3 obtenemos sus pendientes, las cuales son m1=-4/3, m2=4/3 y m3=4/3, respectivamente. @              +

ángulo es el que estamos estimando, pero lo haremos de otra manera para aprovechar el hecho de que conocemos las pendientes: primero recordemos que si una recta tiene pendiente cero se trata de una recta horizontal; si la recta tiene pendiente positiva entonces la recta tiene una inclinación hacia la derecha y mientras más grande es el valor de su pendiente, más se aproxima a una recta vertical.Por último, si la recta tiene una pendiente negativa entonces tiene una inclinación hacia la izquierda y mientras más negativa se aproxima más a una recta vertical. Estas obser       +         

  "    "   &         Así podemos ver que: tan  =

tan  =

tan  =

m3 − m2 1 + m3 m2 m2 − m1 1 + m1 m2

m1 − m3 1 + m1 m3

=

4 3

=

4 3

=

24 7

De las dos primeras ecuaciones podemos concluir que   , por tanto, el triángulo es isósceles. Concluye el ejemplo determinando la medida del menor ángulo interior.

79

Matemáticas III

Actividad de aprendizaje 2 Resuelve los siguientes ejercicios en tu libreta: 1. Para las rectas R1 y R2 que pasan por los siguientes puntos, determina si las pendientes son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.  R1 (–4,5) y (–5,1), R2 (4,3) y (3,–1) > R1 (–2,3) y (4,0), R2 (3,3) y (1,–1) 2. Demuestra que los puntos (–3,–5), (–2,2) y (5,1) son los vértices de un triángulo rectángulo. 3. Si tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos (–3,1), (2,1) y (3, 4). Si la abscisa del cuarto vértice es –2, halla su ordenada 4. Los puntos (–2,–2), (2,2) y (6,–2) son vértices de un triángulo isósceles. Hallar uno de los ángulos iguales. 5. Demuestra que los puntos A (–3,2), B (2,3), C (4,5) y D (–1,4) son los vértices de un    œ   "       "     6. Si dos rectas se cortan y forman un ángulo de 135°, sabiendo que la recta inicial 1 tiene una pendiente de     

         

2

Síntesis Resuelve los siguientes ejercicios en tu libreta: 0 Un camión de la compañía Sureste se desplaza en línea recta y sus terminales de partida y llegada se ubican en D (–2,2) y E (8,3). Otro camión de la compañía Noreste tiene el mismo desplazamiento lineal y sus terminales de partida y llegada se ubican en A (–2,2) y B (8,–1) respectivamente. Determina si las trayectorias de los dos camiones son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas. 00 Don Omar tiene un terreno rectangular para la siembra de cítricos, si los vértices del terreno son (–60,40), (–60,–40), (60,40), (60,–40). Realiza lo siguiente:  Calcula la pendiente de los extremos consecutivos del terreno de don Omar. > Determina si los dos extremos consecutivos del terreno son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas. 000 Un arquitecto realiza un plano para la construcción de una unidad deportiva en un terreno que tiene forma poligonal, si los vértices del terreno son A (–5,4), B (5,4), C (11,–2), D (–6,–2). Calcula el ángulo interior formado por los extremos de los segmentos AB y AD.

80

0I En el aeropuerto de la ciudad de Mérida, Yucatán la torre de control registra la posición de un avión en el punto P (–2,5), suponiendo que mantiene esa trayectoria pasará por Q (6,–3).Inmediatamente la torre de control detecta otro avión en R (–5,–6) y se estima que en 15 minutos, a la misma altitud, encontrará en ángulo recto la trayectoria del primer avión. Calcula la pendiente de ambas trayectorias.

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

I Un ingeniero representó un terreno en el plano cartesiano, como se ve en la  \Š       '       %

tus conocimientos adquiridos hasta ahora, ayúdale a demostrarlo y calcula el área del terreno. C=(2,2)

2 c D=(-3,1)

1 b 0

-3

-2

0

-1

1

2

3

4

d B=(3,-1)

-1

A=(-2,-2) -2

a

Figura 3.17

Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2 Se expresa y comunica.

Aprende de forma autónoma.

&*     % 

$ >

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Š] /

las actividades que le resultan de menor y mayor interés   

reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

0      &* O

P #   



 

8  

Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /   

acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. /  

ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.

81

Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1  %&   

, &  F

C

000$*   &   & &% 

&*      *        & &  

0  

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y/o ejercicios.

Reconoce las características de las rectas paralelas y perpendiculares.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y/o ejercicios.

Determina si existe paralelismo y perpendicularidad entre dos o más rectas a partir de sus pendientes.

Observaciones:

82

P #      &* O

Caracteriza las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas.

Utiliza pendientes para demostrar paralelismo y perpendicularidad  

geométricas.



 

8  

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Sesión C. La recta como lugar geométrico Problematización Supongamos que eres un vendedor de discos y tus ventas se presentan en la  "?

Ganancias de las ventas 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 10

20

30

40

50

Figura 3.18 Ganancias obtenidas por cantidad de discos vendidos.

1. Genera una tabla de correspondencia entre las ventas y las ganancias. 2. W%"         +[ 3. W      "      ]\—  

 [ W%

 [ En grupos de cuatro integrantes, resuelvan la problemática, comenten los resultados al grupo y, formulen conclusiones.

Desarrollo de criterios

Ecuación de la recta punto–pendiente La expresión algebraica que representa a una recta está dada por un punto por donde      w| @       

geométrico de todos los puntos que tienen la misma pendiente. Entonces si conocemos un punto (x1,y1), tomamos un punto cualquiera sobre la recta (x,y), y sustituimos en la fórmula de la pendiente dados dos puntos, obtenemos:

m=

y − y1 x − x1

Al despejar el denominador, nos queda de la siguiente forma:

m( x − x1 ) = y − y1

83

Matemáticas III Al aplicar la propiedad simétrica:

y − y1 = m( x − x1 ) A esta ecuación se le conoce como ecuación de la recta punto–pendiente.  &*D Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,2) y tiene un ángulo de inclinación de 45º. Para poder aplicar la ecuación punto–pendiente, primero tenemos que encontrar el valor de la pendiente dado el ángulo de inclinación de 45º. + - En la sesión A aplicamos la fórmula m = tanα . Por lo cual, m = tan45º y así tendremos que m  1. Ya que conocemos el valor de la pendiente, sustituimos en la ecuación de la recta punto-pendiente: y − y1 = m( x − x1 )

Donde m=1, x1 = 3, y1 = 2. Sustituimos: y − 2 = 1( x − 3) , multiplicando: y −2 = x −3 @   +            " ? y −2− x +3 = 0 Al sumar los términos semejantes para obtener la ecuación: x − y −1 = 0 Esta es la ecuación, en forma general, de la recta que pasa por (3,2) y tiene un ángulo de inclinación de 45º. Ordena la ecuación de manera que el signo de la variable x sea positivo.  &*E Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,–1) y tiene una pendiente igual a 3/2. + - Para este ejemplo, como ya conocemos el valor de la pendiente, no es necesario calcularlo, sólo hay que sustituir en la ecuación punto–pendiente. Al sustituir en la ecuación: y − ( −1) =

84

3 ( x − 2) 2

(

Al quitar el denominador de la pendiente: 2( y + 1) = 3 x − 2

)

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Al efectuar las multiplicaciones: 2 y + 2 = 3 x − 6 Si dejamos los términos en un mismo lado de la igualdad: 2 y + 2 − 3x + 6 = 0 Al sumar los términos semejantes: 2 y − 3x + 8 = 0 La ecuación de la recta que buscamos es 3 x − 2 y − 8 = 0.  &*F Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–1,2) y B(3,1). + - Para este ejemplo tenemos que calcular la pendiente dados dos puntos. m=

y 2 − y1 x 2 − x1

Al sustituir los valores de los puntos A y B, sean x1=–1, y1=2, x2=3 y y2=1. 1−2 −1 1 = =− 3 − ( −1) 4 4 Al tener el valor de la pendiente, podemos calcular la ecuación de la recta, para ello escogemos un punto de los dos que tenemos para sustituir en la ecuación, no importa cuál se elija, la ecuación será la misma. m=

Donde m = –¼, al trabajar con el punto (–1,2), x1 = –1, y1 = 2 Al sustituir en la ecuación: 1 ( x − (−1)) 4 Al quitar el denominador de la pendiente: y −2 = −

(

)

(

4 y − 2 = −1 x + 1

)

@ &          "    

la recta que buscamos es x+4y-7=0.

Ecuación de la recta pendiente–ordenada al origen Ya sabemos que para encontrar la ecuación de una recta necesitamos un punto por donde pase y su pendiente. Un caso particular es cuando el punto conocido tiene la forma (0,b). Donde b es la ordenada al origen. Si sustituimos este punto en la ecuación punto–pendiente obtenemos:

( ) y − b = m ( x − 0)

y − y 1 = m x − x1 y − b = mx

85

Matemáticas III Al despejar la variable y: y = mx + b La ecuación anterior se conoce como ecuación de la recta pendiente–ordenada al origen. Cuando conocemos la intersección de una recta con el eje y junto con su pendiente, podemos expresar su ecuación con base en estos dos parámetros. y 3

m=

1 2

m 2

b

A

1 y= 2 x+2

1

b=2

x 0 -1

Figura 3.18

0

1

Figura 3.19 m= 1 y b=2 2

Dada una ecuación podemos realizar cambios en la forma de la recta, así como   "     "      &*H Dada la ecuación 2 x − 3 y + 15 = 0 N Expresar en su forma pendiente–ordenada al origen. >N /  " m y b. N €  "    + - Para cambiar su forma a la de pendiente–ordenada al origen, sólo tenemos que despejar la variable y de la ecuación. Pasamos todos los términos que no tengan la variable y al otro lado de la igualdad. −3 y = −2 x − 15

86

Despejamos la y, el –3 divide a cada uno de los términos del otro lado de la igualdad. 2 y = x +5 3 Por lo tanto: 2 m  ,b  5 3

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Z   " ecordemos que la pendiente es la razón de cambio Δy 2 = , donde Δy = 2 y Δx = 3 son los Δx 3 desplazamientos que hay que realizar para encontrar otro punto por donde pasa la 2 recta con pendiente m  . 3 Localizamos la ordenada al origen b = 5, que corresponde a la coordenada (0, 5) en el plano cartesiano y realizamos los desplazamientos de la pendiente, Δx = 3; por ser positivo, el desplazamiento será hacia la derecha y para Δy = 2, por ser              \]—? entre dos puntos de una recta, es decir, m =

y

Δy=2 (0,5) Δx=3 b=5 x

Figura 3.20

Finalizamos trazando la recta de los puntos ya obtenidos.

B

7

6

5

Δy = 2 A

Δx = 3 4

   x – 3y + 15 = 0.

 &*Q Dada la ecuación 2 x − 3 y + c = 0, determina el valor de c, sabiendo que la recta tiene una ordenada al origen igual a 2. Para este problema primero tenemos que pasar la ecuación a su forma pendiente–ordenada al origen. 2 c Al despejar queda de la siguiente forma: y = x + . 3 3 Así que podemos realizar la siguiente igualdad: 2 

c . 3

87

Matemáticas III Y encontramos el valor de c:

()

c=2 3 =6 Al conocer el valor de c, la ecuación es 2 x − 3 y + 6 = 0 .   " "   “  

   ]      w—]|

Actividad de aprendizaje 3 Resuelve en tu libreta los siguientes ejercicios: 1. Obtén la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es de 135° y pasa por los puntos (2,3). 2. Obtén la ecuación de la recta que tiene pendiente m y pasa por el punto A:  m =–6, A (–3,–6) 7 , A (–2,5) 5 3. Halla la ecuación de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos y traza  "? > m =

 (1,4), (2,–1) > (–2,–3), (–7,–4) 4. Halla la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen, cuya pendiente es paralela a una recta que pasa por los puntos (3,2), (7,4) y cuya intercepción con el eje Y es –4. 5. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento A (–2,–3), B (4,–1) 6. Dado un triángulo cuyos vértices son A (–2,–2), B (2,2) y C (6,–2), halla la ecuación de la recta que pasa por el vértice B y es paralela al lado opuesto AC.

Síntesis Reunidos en equipos, resuelvan los siguientes problemas:  En el mundial de Brasil 2014, Neymar anotó 4 goles en los primeros tres partidos, este jugador mantuvo ese ritmo durante todos los 7 juegos. Expresa el número de goles (y), que anota el jugador, en términos del número de juegos (x) en que participó. > Sugelly adquiere un equipo de cómputo por $6 000. Después de 5 años el equipo se ha deteriorado y carece de valor alguno. Escribe una ecuación lineal que dé su valor (V) durante los siete años de uso.  Freddy recibe de su hermano un préstamo sin intereses de $4 000. Se compromete a pagar $500 cada trimestre hasta liquidar su deuda. Expresa la cantidad de dinero (y) recibida en términos del tiempo (x) en meses.

88

 Al año de nacido unniño pesó 5 kg y ahora, a los tres años, pesa 9 kg. Si su peso tiene un comportamiento lineal con respecto a los años, traza la grá         wy) con respecto a los años (x) y determina la ecuación que describe el comportamiento de los años.

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

 Organizados en equipos resuelvan el problema: en una granja los cerditos al nacer pesan 3.6 kg y ocho meses después, 44.5 kg. Expresa la función lineal del peso con la edad en meses. ¿A qué edad pesarán 65 ~[ 4   ˆ— ~ W+   ' [ ) Organizados en equipos resuelvan el problema: para medir la temperatura se utilizan los grados Fahrenheit (F) y los grados Celsius (C). La relación entre estas dos escalas es la siguiente: a 0º C se le asocian 32º F y a 100º C se le asocian 212º F. Encuentren la relación lineal que las relaciona. ¿Cuánto    ƒˆ¨ %  ¨J[ W%"    ‹_¨ J  ¨%[

Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2 Se expresa y comunica.

Piensa crítica y # 

&*     % 

$ >

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

0      &* O

P #   



 

8  

Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /   

información. @     

la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etc.).

5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

/ 

problema. Establece supuestos de solución. Aplica el método   

método pertinente para probar los supuestos.

89

8

Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

000$*   &   & &% 

&*      *       & &   1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos,algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

P #      &* O Reconoce la recta como lugar geométrico.

0   Reconoce la recta como lugar geométrico. /  &   mentos requeridos para la ecuación de la recta en sus formas: pendiente y ordenada al origen. /   

mínimos para trazar una   

/  # 

los parámetros m y b de la ecuación de la recta en el plano.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y ejercicios.

Determina la ecuación de     "  

de su pendiente y uno de sus puntos o bien, dos de sus puntos.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución roblemas y ejercicios.

Anticipo el comporta "   

partir de la variación de los parámetros m y b.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, "    

variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación.

Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y ejercicios.

Integra los elementos necesarios para el trazo de una recta en la escritura de su ecuación.

Observaciones:

90

Escribe la ecuación y la "    

su forma pendiente y ordenada al origen, a partir de dichos elementos y viceversa.



 

8  

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Realimentación Le cada una de las cuestiones planteadas a continuación y escribe en el paréntesis de la izquierda, la letra de la opción que corresponda a la respuesta. 1. ( ) Encuentra la pendiente ordenada al origen de la siguiente recta: (2x + 3y) –1= 0. 2x + 1   3 > 

–3x –1   2

8x +1

 

3

6x +2 4

2. ( ) Determina el valor de la constante C en la ecuación 3x + 2y + c= 0, sabiendo que se tiene ordenada al origen igual a 3.  C = 4 3. (

> C = –6

 C = 8

 C = –3

) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de

las rectas 

2 2 x + ; x + 3y, y es paralela a la recta –2y + 5x= 9. 3 3

2x – 4y – 6 0

>2x + 8y + 3= 0

2x – 5y + 6= 0

2x+2y – 4= 0

4. ( ) Un bebé al nacer (0 años) pesó 3.5k y a los 4 años pesa 16k. Si su peso tiene un comportamiento lineal con respecto a los años, determina la ecuación que describe su comportamiento. 3.125x – y +3.5 0

3.5x + y – 3.5= 0

>–3.125x + y– 3.5= 0

–3.5x– y – 3.5= 0

5. (

) Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3,4), (1,–2). 2 5  m=4   3 2 ) Halla el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (2,3)

m=4 6. ( y (1, 4).

a=135o

> 

> a=130o

 a=145o

a=120o

7. ( ) Una recta de pendiente –2 pasa por el punto (2,7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6, ¿cuál es la abscisa de A y cuál la ordenada de B[  A = (4,3); B= (6,1) > A = (4,-3); B= (6,-1)

 A = (- 4,-3); B= (-6,-1)  A = (4,3); B= (6,-1)

8. ( ) Una recta L1 pasa por los puntos (3,2) y (–4,-6), y otra recta L2 pasa por el punto (-7, 1) y el punto A, cuya ordenada es – 6. Halla la abscisa del punto A, sabiendo que L1 es perpendicular a L2.  Abscisa = –2 > Abscisa = 1

 Abscisa = –3  Abscisa = 4)

91

Matemáticas III 9. (

) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto B (1,5) y pendiente 2.  2x+ y – 3 = 0 > 2x+ 2y + 3 = 0

 2x+ y + 3 = 0  2x– 2y – 3 = 0

10. ( ) Halla la ecuación de la recta dada su pendiente –6 y ordenada al origen 2. 5  30x+ 5y + 2 = 0  30x+ 5y – 2 = 0 > 30x – 5y + 2 = 0  30x– 5y – 2 = 0 11. ( ) Halla la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 e intersección con el eje Y es –2.  –3x – y – 2 = 0 > 3x +y + 2 = 0 12. (

 3x – y + 2 = 0  –3x– y + 2 = 0

) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (–5,2) y (3,2).  y + 3 = 0 >y +2 = 0

 y – 2 = 0  y – 3 = 0

Evaluación de la competencia Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2 Se expresa y comunica.

92

&*     %  4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

$ > 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

0      &* O Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.

P #   



 

8  

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

 2

&*     % 

Piensa crítica y 5. Desarrolla #  innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

$ > 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

0      &* O

P #   



 

8  

/   

información. @     

la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etcétera).

5.4 Construye / 

hipótesis y diseña y problema. aplica modelos para Establece supuestos probar su validez. de solución. Aplica el método   

método pertinente para probar los supuestos. Aprende de forma autónoma.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Š] / 

actividades que le resultan de menor y mayor +   

reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

/

actividades de acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. / 

reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.

93

Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

000$*   &   & &% 

&*      *       & &   1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

P #      &* O Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y ejercicios. Reconoce la recta como lugar geométrico.

0   Reconoce las características de las rectas paralelas y perpendiculares. Caracteriza las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas. Reconoce la recta como lugar geométrico. /  &   

requeridos para la ecuación de la recta en sus formas: pendiente y ordenada al origen. /    

     

/  #  

parámetros m y b de la ecuación de la recta en el plano.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y/o ejercicios.

Establece la relación entre la pendiente de una recta y el ángulo de inclinación que forma con el eje X. Obtiene el ángulo de inclinación de recta con respecto al eje X a partir de su pendiente y viceversa. Determina la pendiente de una recta a partir de las coordenadas de dos puntos. Utiliza la noción de pendiente en la solución de problemas reales. Determina si existe paralelismo y perpendicularidad entre dos o más rectas a partir de sus pendientes. Utiliza pendientes para demostrar paralelismo y perpendicularidad   + 

94

Determina la ecuación de la    "    

pendiente y uno de sus puntos o bien, dos de sus puntos.



 

8  

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

1 %&   

, &  F

C

000$*   &   & &% 

&*      *       & &  

P #      &* O

0  

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y ejercicios.

Anticipo el comportamiento "      

variación de los parámetros m y b.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, "   

o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación.

Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y/o ejercicios.

Integra los elementos necesarios para el trazo de una recta en la escritura de su ecuación.

8. Interpreta tablas, "   

diagramas y textos con símbolos matemáticos y  

Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta.

Reconoce la relación que hay entre el ángulo de inclinación y la pendiente.

Reconoce la recta como lugar geométrico.



 

8  

      " 

una recta en su forma pendiente y ordenada al origen, a partir de dichos elementos y viceversa.

Analiza las características de la pendiente para rectas con diferentes ángulos de inclinación. %    

pendiente de una recta.

Observaciones:

95

Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta Desempeños del estudiante al concluir el bloque B Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta. B Transforma ecuaciones de una forma a otra. B Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

Objetos de aprendizaje B Ecuaciones de la recta ³ Pendiente y ordenada al origen ³ Punto-pendiente ³ Dos puntos ³ Simétrica B Ecuación general y normal de una recta B Distancia de una recta a un punto B Distancia entre dos rectas paralelas

Competencias genéricas y atributos B Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, "  "

B Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones B /             + 

        &  

y obstáculos.

Competencias disciplinares básicas B Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. B Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

96

97

Matemáticas III Dinamización y motivación Responde cada uno de los siguientes ejercicios, realizando las operaciones necesarias y representa el resultado correspondiente: 1. W%"        @  † k   ƒ[ 3 2 B

1

A

0 -1

1

0

2

4

3

Figura 4.1

-1

2. W@ "        @w^]\|[ 2x − 3 y + 2 = 0 2x − 3 y − 2 = 0 2x + 3 y − 5 = 0 2x + 3 y + 5 = 0

3. ! "          "   ƒ] 1 0 -1

0

2

1

3

4

-1

-2 -3

Figura 4.2

-4

4. !   "            

encuentra con respecto a los puntos (-1,0) y (0,4). 5 4 3 2 1 0

98

-4

-3

-2

0

-1 -1

1

2

Figura 4.3

Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

5. %       ?  La distancia que hay de la recta al origen del plano. > El ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje X. Compara con tus compañeros el procedimiento que seguiste para responder los ejercicios además de tus resultados. 0&* : el profesor sólo examinará tus soluciones y explicará rápida  +      ž "         

          "        "  

del trabajo. {                   

retomaremos este aspecto importante de tus avances.

Contextualización La importancia de una representación matemática de la recta se debe a sus aplicaciones de en la vida cotidiana y en su transversalidad a otras ramas, como la estadística, el comercio, la física, etcétera. En este bloque se pretende establecer una       "         

alternativas de solución a problemas relacionados con ella. +  - Un poste de luz de 6 m de altura está sujeto por un cable de tensión en la parte superior, también a un punto en la acera de la calle a una distancia de 3.5 m de la base del poste. Si te encuentras a una distancia de 1.5 m de la base del poste, justamente debajo del cable de tensión, y según tu estatura, ¿cuál es la distancia mínima entre          [ W`+          

   Š [

Sesión A. Ecuación de la recta en su forma simétrica Problematización La empresa Mirador organiza banquetes para graduaciones. Si el banquete para 200 personas cuesta $30 000 y para 500 personas $50 000, encuentra la ecuación     & +           En las sesiones anteriores analizaste los elementos que integran a una recta, tales como su inclinación o pendiente, un punto en particular llamado ordenada al origen, y estableciste una ecuación algebraica de la forma y=mx+b, la cual se nombró ecuación ordinaria de la recta, ésta es una representación de ella para poder gra        @         

que la representa y, de igual forma, si conoces los elementos que la integran, puedes hallar su ecuación en la forma ordinaria.

99

Matemáticas III Comenzamos el tema con la siguiente pregunta: B W          [ B WZ              "

si conozco otros elementos que no sean su pendiente y su ordenada al [

Recuerda que por dos puntos dados se puede trazar una línea recta y solo una.

Z          "   

a una línea recta. {      " 

están establecidos los elementos que ya conoces, pendiente y ordenada al origen de la recta, pero vemos dos puntos que  '    "     

recta corta con los ejes del plano cartesiano; les llamaremos los puntos de intersección de la recta con los ejes.

4 3

B

2 1 0

4   " 

de la siguiente manera: para la intersec–3 –2 –1 0 ción en el eje X el punto tendrá como –1 coordenada los valores (x,0) y para el eje –2 Y tendrá como coordenadas los valores (0,y). Si conocemos los puntos en los que –3 la recta se corta con los ejes, entonces   "     siano, por que debemos ser capaces de utilizar los puntos para establecer la ecuación de la recta.

A 1

2

3

4

Es importante tener en cuenta que como los elementos que ahora estamos utilizando son las intersecciones con los ejes y no la pendiente y ordenada al origen de la recta, la ecuación de la recta tiene que ser “diferente” a la ecuación ordinaria, dado que utilizamos elementos diferentes. Sin embargo, cualquiera que sea la forma de la ecuación, ésta nos representará a la misma recta. La pregunta a responder ahora es la siguiente: ¿Qué forma tendrá la ecuación de la recta si conocemos sus intersecciones    [ Para resolver esta pregunta realicemos el siguiente análisis matemático.

Desarrollo de criterios Consideremos que los puntos de intersección de la recta a los ejes X y Y sean (a,0) y (0,b), respectivamente, y utilicemos la ecuación punto-pendiente de la recta con di  * "       "   y-y1=m(x-x1). Resolvemos: Al sustituir (a,0) y (0,b) en la fórmula de m =

100

m=

b−0 b =− 0−a a

y 2 − y1 x 2 − x1

, tenemos que:

Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Sustituyamos el valor de la pendiente encontrada y utilicemos el punto (a,0) para determinar cuál será la ecuación de la recta:

(

)

b x − a despejemos el valor de a y tendremos: a a y − 0 = −b x − a y −0 = −

(

)

(

)

ay = −bx + ab ay + bx = ab dividamos todo entre ab ay bx ab + =

    ? ab ab ab x y + =1 a b W`+         [        méntalas con tus compañeros y docentes. ¿Se dieron cuenta de que la ecuación obtenida al utilizar como datos las coordenadas de los puntos que representan las intersecciones de la recta con los    &      [ 4    siones mencionaste que en la ecuación aparecen los valores que corresponden a las intersecciones de la recta con los ejes del plano cartesiano, los cuales se encuentran debajo de las variables que nos representan a los ejes, es decir, la recta se corta en el eje X en el valor de a y en la ecuación; además, se encuentra debajo de la variable x. El mismo resultado se obtiene para la variable y. Observamos también que la ecuación está igualada a la unidad. Esta ecuación recibe el nombre de  -        )&  &% , la cual está formada por los valores en los que la recta pasa por los ejes coordenados. Observa que si conocemos las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados, hallaremos su ecuación en la forma simétrica. De forma recíproca, si conocemos la ecuación de la recta en su forma simétrica, estableceremos cuáles son las coordenadas de los puntos en los que la recta se corta con los ejes en el plano cartesiano. Veamos los siguientes ejemplos:  &*D Los puntos de intersección de la recta con los ejes son (2,0) y (0,-3). Encuentra su ecuación en la forma simétrica. + - Teniendo en cuenta los valores de los puntos, observamos que la recta se corta en el valor 2 al eje X y en el valor –3 al eje Y; por lo tanto, la forma simétrica de la recta será la siguiente: y x x y + = 1 de donde se obtiene que: − = 1 2 −3 2 3  &*E x y Dada la ecuación de la recta en su forma simétrica + = 1 ¿cuáles son los 3 5 ,           [

101

Matemáticas III + - Recordemos que los valores que se encuentran debajo de las variables x y y son aquellos que pertenecen a los puntos de intersección de la recta, por lo tanto, las coordenadas de dichos puntos serán (3,0) y (0,5). Pero ¿cuál es una de las aplicaciones que nos aporta la forma simétrica de la    [              &    "  "       Z            y=3x –1, seguramente tendrás que realizar una tabla de datos, es decir, una tabulación, en la que otorgues los valores a x para obtener los de y y así formar los puntos que representarás en el plano. Al unirlos formarás la línea recta como se presenta a continuación: 8

8 Recuerda que la tabulación consiste en sustituir los valores dados en el lugar de x y resolver la ecuación.

6



-2

-7

-1

-4

0

-1

4 2 0

1

2

2

5

3

8

-4

-6

0

-2

2

4

-2

Figura 4.5 Línea recta trazada utilizando los valores obtenidos en la tabulación.

-4 -6 -8

4            

dos de sus puntos. Por lo tanto, si conocemos los puntos de intersección de la recta           &   

  

encontramos en la forma simétrica de la ecuación de la recta. Veamos otro ejemplo.  &*F K       ?

x y + =1 4 2

+ - Z         

                     

Los valores de las coordenadas son aquellos que se encuentran debajo de las variables que representan a los ejes X y Y, por lo tanto tendemos que los puntos de intersección son (4,0) y (0,2). Ahora los representamos en el plano y trazamos una línea recta que los una. 3

3

2

2

1

1

0

0 -2

102

-1

0

1

2

3

4

-2

-1

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

Figura 4.6 Representación de los puntos de intersección (4,0) y (0,2) en el plano cartesiano.

1

2

3

4

Figura 4.7 Recta que pasa por lo puntos de intersección (4,0) y (0,2).

Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Actividad de aprendizaje 1 Resuelve en tu libreta los siguientes ejercicios: 1. Escribe la ecuación de la recta en forma simétrica, si interseca a los ejes X y Y en a y b, respectivamente, de los siguientes incisos:  a= 7, –5 > 

1 2   2 3

2. Una recta corta a los ejes X, Y en los puntos (3,0) y (0,–4). Halla su ecuación en su & +    " 3. Dadas las siguientes ecuaciones de la línea recta: ³ 3x –4y –12=0

³ 3  –x

³ 3y –8=2y

³ 9y –4+36

Encuentra lo siguiente:  Su forma simétrica

> €  "    

4. En cada inciso encuentra la ecuación en forma simétrica, si las coordenadas por donde pasa la recta son:  (3, 3), (5, –3) 1 –1 , ) 4 3  (2p, 0), (0, –3p) > (2, –5), (

 ( 3, 3), (1, –

27 )

5. K          "  & +? 

1 –1 – =1 7 3 3



x y – =1 5 4

–x y  –x + y =1 + =1 2 3 3 2 3 6. Halla la ecuación de una recta en su forma simétrica si tiene de pendiente 4 y pasa por el punto (2,3). >

7. {+   +     "     

3 2 1

–2

2

4

–1 –2 –3

103

Matemáticas III Sintesis Organizados en equipos de tres integrantes, resuelvan los siguientes problemas: 1. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,2) y cuya ordenada al origen es el doble de la abscisa al origen. 2. Una recta cuya ordenada al origen es tres unidades menos que su abscisa, forma un triángulo con los ejes coordenados de área 40u2. Determina la ecuación en su forma simétrica. y x + =1 , donde los años están representados por (x) y los mi3. La ecuación 100 100 les de árboles talados por año por (y), forma parte de un reporte sobre la tala de árboles de manera inmoderada en México. El estudio alerta sobre el riesgo de una devastación ecológica.  W%" "        [ > W + '  "     "  [  €  " 4. La tabla modela el viaje que tiene la familia Manzanero de regreso a casa al concluir sus merecidas vacaciones. .L8N

   V -& LN

0

250

3

100

5

0

 €  " > W@ +       

[  W%"         [  Escribe un modelo algebraico en la forma simétrica que relacione distancia y tiempo de viaje. 5. Un pequeño fabricante de celulares observa que si produce x celulares en un mes, su costo de producción está modelado por y = 500x + 30 000.  Obtén la ecuación en su forma simétrica. > €  "

6. Si un camión de pasajeros inicia su recorrido desde la terminal hasta su destino, ubicado a 250 km de distancia, y lo recorre en 5.4 horas, escribe un modelo matemático que presente la situación. Determina la distancia del camión de la terminal después de 2.4 horas de viaje. ¿Cuál será su velocidad promedio duran   [

104

Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2 Se expresa y comunica.

&*     %  4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

$ > 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

0      &* O

P #   



 

8  

Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.

Piensa crítica y # 

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

/   

información. @     

la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etc.).

105

Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

0I1    )&   -  

&*      *       & &   2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

P #      &* O Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta. Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

Transforma ecuaciones de una forma a otra. Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana

0  



 

8  

Reconoce las características de la recta en su forma simétrica y sus intersecciones con los ejes coordenados. Utiliza las intersecciones con los ejes coordenados de una recta, para determinar su ecuación en la forma simétrica y viceversa. Relaciona la ecuación de la recta en su forma simétrica con las otras formas de representar a la recta.

Observaciones:

Sesión B. Ecuación general de la recta Problematización En un videoclub se rentan consolas de videojuegos. Al término del primer mes, la renta es de $30. Si la renta promedio al día es de 90 videojuegos y cuando es de $35, la renta disminuye a 45 videojuegos. Determina la ecuación general que relacione el precio de renta con número de videojuegos rentados.

Desarrollo de criterios 106

Así como podemos representar a la recta en su forma simétrica, existen otras maneras de hacerlo, una de ellas es la que se relaciona con una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Recuerda que en pasados semestres estudiaste estas ecuaciones y

Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

su forma de solución; junto con tu profesor analizaron el comportamiento de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que representaban a dos rectas en el plano, las cuales podían cortarse en un punto, en varios puntos o no cortarse,            !          e    . Utilizaban dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que formaban un sistema y cada una representaba a una recta. Las ecuaciones tenían la forma Ax+By+C”—         &    

recta llamada )&    , en donde los valores de A, B y C son números reales. Conviene hacerse la siguiente pregunta: ¿la forma ordinaria, simétrica y general        [ 

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Š] /

las actividades que le resultan de menor y mayor interés   

reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

0      &* O /  

de información. @     

la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etcétera). /

actividades de acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. / 

reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.

112

P #   



 

8  

Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

0I1    )&     

&*      *       & &   2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

P #      &* O Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta. Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana. Transforma ecuaciones de una forma a otra. Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

0  



  8  

Reconoce las características de la recta en su forma general y su relación con una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. Desarrolla la ecuación general de la recta partir de las formas pendiente y ordenada al origen y viceversa. Establece una relación entre las formas pendiente y ordenada al origen, simétrica y general de la recta.

Observaciones:

Sesión C. Forma normal de la ecuación de la recta Problematización Ahora estudiaremos la última forma de representar una recta, la cual se nombra como )&&   -  . Ésta se relaciona con otros elementos que se encuentran en una recta. Así como en la forma ordinaria utilizábamos la pendiente con uno de sus puntos y en la forma simétrica, los puntos de intersección de la recta, ahora nos basaremos en otros elementos: un # & a la recta. Dicho vector tiene la característica de ser perpendicular a la recta, proviene del origen y tiene un ángulo de inclinación con

Es indispensable recordar que un vector no es un segmento de recta, pues posee longitud, dirección y sentido.

4

3

2

u

1

α

0 -2

0

-1

1

2

3

4

-1

 tor normal a una recta.

113

Matemáticas III respecto a la parte positiva del eje X, que se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj. Este vector tiene una longitud que se mide desde el origen hasta la recta w   ƒ‹| 4           W%       "       

 

  [ ‰          

Desarrollo de criterios {            

 Consideremos que el ángulo de inclinación del vector normal con una recta tiene por medida m    y la longitud del vector es r=3, tenemos que colocar al

          ’     

    ƒ— 2

1

0 -1

-2

u 0

2

1

3

-1

Figura 4.10

-2

Ahora gira el vector 45º en dirección contraria a las manecillas del reloj, tomando como base el eje X. 3

2

u

1

0

α 45º

-1

-2

0

2

U 1

3

2

-1

Figura 4.11

Finalmente, traza una recta que pase por el extremo del vector y que sea perpendicular a él. Ésta será la recta que nos dé la solución al problema. 4

3

2

u

1

0 -2

114

45º 0

-1 -1

1

2

3

4

Figura 4.12

Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

             " 

de inclinación y la longitud del vector normal a ella. La forma que tiene la ecuación                ?

x cos + ysen − r = 0 Donde  es el ángulo de inclinación del vector normal a la recta y es un ángulo positivo menor de 360º, y r es la longitud del vector normal a la recta y número positivo. Esta forma se conoce como  -&  . Sin embargo, recordando que una misma recta puede representarse utilizando los elementos que nos den datos, la cuestión ahora será: ¿Cómo hallamos la ecuación en la forma normal si no conocemos el ángulo       

    [ @"   &

            Ax+By+C=0, y a partir                  

forma normal. Dichas expresiones son las siguientes:

cos

=

A ± A +B 2

2

sen =

B ± A +B 2

2

y r=

−C ± A2 + B2

.

Donde el signo de los radicales es: ± Contrario al signo de C si Cµ— Igual al de B si C=0. Igual al de A si C=B=0. Por lo que para pasar de la forma general Ax+By+C=0 a la forma normal  ”—         ? A ± A +B 2

2

x+

B ± A +B 2

2

y+

C ± A2 + B2

=0

Observa que para pasar de la forma general a la normal basta con dividir cada una de las partes de la ecuación de la forma general por el valor obtenido de ± A2 + B2 , de esta manera encontraremos una ecuación equivalente a la forma nor-

mal de la ecuación de la recta a partir de la ecuación en su forma general. Además, esta forma normal nos ayuda a encontrar cuáles serán los valores para el ángulo de inclinación y la longitud del vector normal a la recta. Para comprender los resultados obtenidos, analicemos los siguientes ejemplos.  &*D Dada la ecuación de una recta en su forma general 3 x + 4 y − 7 = 0 , escribirla a su forma normal. + - Sabemos que para pasar de la forma general a la forma normal basta encontrar el valor de ± A2 + B2 y dividir cada uno de los términos de la forma general entre dicho valor. Para nuestro ejemplo   y    tenemos que

115

Matemáticas III + A2 + B2 =

(3) + ( 4 ) 2

normal nos quedará

2

= 9 + 16 = 25 = 5 , por lo tanto la ecuación en la forma

3 4 7 x+ y − =0. 5 5 5

 &*E Dada la ecuación de una recta en su forma general+8=0, pásala a la forma normal y encuentra los valores del ángulo de inclinación y la longitud del vector normal a la recta. + - Se aplica un procedimiento similar al ejemplo anterior para pasar la ecuación a la forma normal, es decir, se divide cada término entre el resultado del valor ± A2 + B2 , para éste Repasa los signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.

ejemplo A=5, B= –6 y C=8, entonces − A2 + B2 = − 5

La ecuación en la forma normal quedará: −

61

(5) + ( −6 ) 2

6

x+

61

y−

2

8 61

= − 25 + 36 = − 61

=0

Ahora para determinar cuáles son los valores del ángulo de inclinación y de la longitud 

             cientes de la ecuación de la recta en su forma general y normal, es decir, utilizaremos las propiedades: A B −C y r= cos  = sen = 2 2 2 2 ± A +B ± A +B ± A2 + B2 De donde podemos deducir: cos  =

También se pudo utilizar la relación ⎛ 6 ⎞ o α = Sen−1 = ⎜ ⎟ = 50.19 ⎝ 61 ⎠

pero, como estamos en el segundo cuadrante, este ángulo se mide a partir del eje X negativo.

A ± A +B 2

Asimismo, r =

2

=−

5

, que sen =

61

−C

−8

2

=

± A +B 2

2

=

6 61

.

8

= 1.02 . 61 − 61 ± A +B Por lo tanto, ya que el coseno es negativo y el seno es positivo, el vector está en el segundo cuadrante. 2

=

B

−1 Además el ángulo será  = cos ( −

5 61

) = 129.8o contado desde el eje positi-

vo X. Observa que está en el segundo cuadrante. %           Al utilizar la propiedad que obtuvimos en la forma normal, la cual nos da como resultado la distancia de la recta al origen, nos ayudará a determinar la distancia a la cual se encuentran dos rectas paralelas en el plano cartesiano.

116

Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Actividad de aprendizaje 3 Realiza los siguientes ejercicios: 1. En cada inciso determina la ecuación de la recta en la forma normal, si  r = 4 , m < α

60

> r = 1, m < α = 135  r = 3 , m


4 x + 3 y = 12



5y



x

25 5

0 0

3. Halla la forma normal de la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,3), (5, 2). 4. Halla la forma normal de la ecuación de la recta que es paralela a la recta 4x 3y + 12 = 0 y pasa por el punto (3, 3). 5. Halla la distancia comprendida entre las rectas paralelas:  3x 4y + 6 = 0 y 6x 8y 9 = 0 > 13x y + 2 = 0 y 26x 2y 10 = 0

Actividad de aprendizaje 4 Resuelve en tu libreta los siguientes ejercicios: 1. Halla la distancia de la recta dada al punto señalado:  3x 5y + 6 = 8

(6, 6)

> 4x 3y + 12 = 0

( 4, 4)

 x 5y = 0

(2, 4)

2. Halla la distancia del origen a la recta 3x 2y + 9 = 0. 3. Dados los siguientes puntos . Halla la distancia   Z          @  †    " 4. La distancia dirigida de la recta 3x + 4y 10 = 0 al punto Q es –6. Si la ordenada de Q es 2, halla el valor de su abscisa. 5. Si la distancia dirigida de la recta 2x + 5y 10 = 0 al punto P es –3, y la abscisa de P es 2, halla su ordenada. 6. Determina el valor de K para que la distancia del origen a la recta 3x + 2k 7 = 0 sea 3.

117

Matemáticas III Síntesis Organizados en equipos de cuatro integrantes, resuelvan los siguientes problemas: 1. Una compañía de gaseosas en el 2005, su primer año de operaciones, obtuvo una ganancia de $150 000. En 2010 ganaron $235 000. Si el aumento de las ganancias permanece constante, expresa en su forma normal la ecuación de las ganancias. 2. Un avión despega del punto (–3,8) formando un ángulo de 45° con la horizontal. Expresa en la forma normal la ecuación de su trayectoria de despegue. 3. Un meteorito se mueve siguiendo la trayectoria 7x –3y –13=0, mientras se acerca a una sonda espacial estacionada en (0,0). Si no varía su curso.  W%"      [ >      W +   w~|  "   [ 4. Un avión antes aterrizar pasa por los puntos (2,5) y (6,1) y otro avión pasa por los puntos (1,3) y (4,0). Si la torre de control está ubicada en el punto (0,0). ¿a qué            [ 5. Halla la ecuación de la paralela a la recta 4x 3y 15 = 0 y distante 5 unidades de ella. 6. Abner tiene un terreno en forma de triángulo cuyos vértices son A(–2,–2), B(2,2) y C(6, –2). Halla la longitud de la altura del vértice B sobre el lado AC. 7. Supón que un submarino ubicado en las coordenadas (6,2) detecta un barco enemigo que tiene una trayectoria representada con la ecuación de la recta 12x 5y + 10 = 0. El capitán desea saber en qué tiempo hará contacto con un misil que viaja a una velocidad de 150 km/h disparado hacia el navío enemigo. La distancia calculada la puedes suponer en kilómetros (recuerda la expresión  dt ). 8. Un atleta salta con garrocha desde el punto T(1,7) y cae del otro lado de la barra en el punto B(5,3). Si los postes de la barra están situados en A(1,3) y B(7,9).  W@ +                   [ > W@ +            [

118

Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2 Se expresa y comunica.

Piensa crítica y # 

Aprende de forma autónoma.

&*     % 

$ >

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Š] /

las actividades que le resultan de menor y mayor interés   

reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

0      &* O

P #   



 

8  

Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /   

información. @     

la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etcétera). /  

de acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. / 

reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.

119

Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

0I1    )&   -  

&*      *        & &  

P #      &* O

0  

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta.

/  

de una recta en su forma normal.

Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

Determina la ecuación de la recta en su forma normal a partir de la forma general y viceversa.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Transforma ecuaciones de una forma a otra.

Establece la relación entre la forma general y normal de una recta.

Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

Emplea la ecuación normal de la recta en la realización de ejercicios y en el cálculo de distancias de una recta al origen, entre rectas paralelas y de un punto a una recta.



 

8  

Observaciones:

Realimentación Resuelve los siguientes problemas y escribe dentro del paréntesis la letra que corresponda a la solución correcta. 1. ( ) Encuentra la ecuación de la recta en forma simétrica, si las coordenadas por donde pasa son (0,6), (–5,8).

120



x y + =1 6 15

>

x y + =1 15 6



x 6

y 15

1



x 15

y 6

1

Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

2. (

) Dada la ecuación en forma simétrica  2x 5y 10 = 0

 2x 5y 10 = 0

> 2x 5y 10 = 0 3. (

 2x 5y 10 = 0

) Obtén los valores de m y de b, de la ecuación 3 x + y +

3 2

3, b =

 m

3 = 0. 2

3, b =

 m

3 2

> m = 3, b = 4. (

x y + = 1 , su ecuación desarrollada es: 5 2

 m  3, b 

3 2

3 2

) Determina la ecuación de una recta en su forma normal, donde =60o y

r  25 .

5. (

 0.5x 0.87y 5 = 0

 0.5x 0.87y 5 = 0

> 0.5x 0.87y 5 = 0

 0.5x 0.87y 5 = 0

) Dada la ecuación x y 15 = 0, escríbela en su forma normal y además en-

cuentra los valores de r y . 

1 2

x+ 1

>

2 

1 2



1 2

6. (

7. (

1 2

1

x

2

1

x

2

x

y+

1 2

y y

y

15 2

= 0; = 135º ; r = 10.61

15 2

15 2 15 2

0; = 135º ; r = 10.61

= 0; = 136º ; r = 11 = 0; = 136º ; r = 11

) Halla la distancia a la recta 5x 3y = 1, dado el punto (4, 2).  d=4.1

 d=4.5

> d=4.63

 d=4.65

) Halla la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3 x + 4 y + 6 = 0

y 6x 8y 12 = 0.  d 

6 5

 d 

12 5

> d 

13 5

 d 

7 5

121

Matemáticas III Evaluación de la competencia Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2 Se expresa y comunica.

Piensa crítica y # 

Aprende de forma autónoma.

&*     % 

$ >

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Š] /

las actividades que le resultan de menor y mayor interés   

reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

0      &* O Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /   

información. @     

la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etcétera). /

actividades de acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. / 

reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.

122

P #   



 

8  

Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

0I1    )&   -  

&*      *       & &   2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

P #      &* O

0  

Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta.

Reconoce las características de la recta en su forma simétrica y sus intersecciones con los ejes coordenados.

Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

Utiliza las intersecciones con los ejes coordenados de una recta, para determinar su ecuación en la forma simétrica y viceversa.



  8  

Reconoce las características de la recta en su forma general y su relación con una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. Desarrolla la ecuación general de la recta a partir de las formas pendiente y ordenada al origen y viceversa. /    

recta en su forma normal. Determina la ecuación de la recta en su forma normal a partir de la forma general y viceversa.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Transforma ecuaciones de una forma a otra. Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana

Relaciona la ecuación de la recta en su forma simétrica con las otras formas de representar a la recta. Establece una relación entre las formas pendiente y ordenada al origen, simétrica y general de la recta. Establece la relación entre la forma general y normal de una recta. Emplea la ecuación normal de la recta en la realización de ejercicios y en el cálculo de distancias de una recta al origen, entre rectas paralelas y de un punto a una recta.

Observaciones:

123

Bloque V

Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia Desempeños de estudiante al concluir el bloque B /     &        

la circunferencia. B Reconoce los diferentes tipos de ecuaciones de la circunferencia y las trasforma de una forma a otra. B Aplica los elementos y ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

Objetos de aprendizaje B Circunferencia ³ Rectas y segmentos : radio, diámetro, cuerda, secante y tangente B Ecuaciones de la circunferencia ³ Ecuación canónica ³ Ecuación ordinaria ³ Ecuación de la circunferencia conocido tres puntos ³ Ecuación general de la circunferencia

Competencias genéricas y atributos B Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados B Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. B Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

124

B Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, mate"  " 

B Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. B Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. B /             +   tad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

Competencias disciplinares básicas B Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. B Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. B Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. B /    "          "   

125

Matemáticas III Dinamización y motivación 0Completa los siguientes enunciados: 1. Escribe tres diferentes usos de la circunferencia en objetos o herramientas que se utiliza en la vida cotidiana. 2. W`+      "[ 3. W`+   [ 4. Escribe la diferencia entre circunferencia y círculo. 5. Escribe sobre la línea el nombre de los elementos de la circunferencia:

00Responde cada uno de los siguientes ejercicios realizando las operaciones necesarias. 1. El extremo de un segmento es el punto (–3,–2) y su punto medio (0,2). Encuentra su otro extremo. 2. Hallar la distancia que existe entre el siguiente par de puntos (–2, 3) y (6,–5). 3. Hallar la distancia de la recta 3 x + 4 y + 5 = 0 al punto señalado A(2,–3). 4. Escribe el resultado de los siguientes productos notables: 

(x

2y)

2

7 2

2 > ( x  )

5. Factoriza la siguiente expresión algebraica: x2 8x 16. 6. 4     ?



48

>

325 9

7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de orden 3×3: 3x 2y 4z = 6 2x 3y 5z = 3

126

x y z = 5

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Contextualización Desde tiempos inmemorables, las formas circulares han atraído al hombre, no sabemos si porque guarda alguna relación con el Sol o estas formas por sí mismas le resulten atractivas. Si nos trasladamos al ambiente de nuestro hogar, y particular               +

en un vaso, la tapa de una botella, en un frasco, en el sartén, etcétera; sin embargo, su utilidad no se reduce en ese ámbito, ya que abarca diversas áreas de la actividad del hombre como son: Arquitectura, Astronomía, Economía, Física, Ingeniería y muchas más.              &rencia resulta considerable y esto lleva a estudiar situaciones empleando cualidades y particularidades de la circunferencia. +  - Un grupo de apicultores tiene que ubicar sus colmenas lejos de la población, el problema es que en la zona existen pequeñas rancherías y para que las autoridades competentes les permitan establecerlas, les piden como requisito elaborar un cro   &  "      #  " 

abejas en su vuelo circular. Se sabe por experiencia que las abejas recorren aproximadamente unos 3 kilómetros a la redonda de su ubicación. Reúnete en equipos de 3 con tus compañeros de clase y ayuda a los apicultores a contestar las preguntas que les presentan. Si el punto donde se establecerán es el que se marca en el plano, donde los puntos R representan los ranchos y el punto A la ubicación de las colmenas:

y 8

R1 6

R2 5

N ¿Cuál es el campo de acción de las abejas marcado      [

5

R6

A

4

R5

3

>N ¿Alguna de esta rancherías queda comprendidas   

     [ N ¿Qué ecuación ordinaria de la circunferencia modela   

     [

R5

2

R3 1

R7

R4

0 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 10

11

12

13

-1

Figura 5.36.

Sesión A. Las cónicas: la circunferencia como lugar geométrico Problematización Un helicóptero que espera instrucciones de aterrizaje, se mantiene sobrevolando la ciudad de Mérida, Yucatán, a una distancia constante de 6 km de la torre de control. W%"    +     [ W%" ~    

    [

127

Matemáticas III Desarrollo de criterios En nuestra vida hemos visto cómo las curvas nos resultan útiles para describir trayec                k   

para facilitarnos el trabajo o nuestra forma de vida. Como ejemplos, podemos pensar en la trayectoria que sigue nuestro planeta alrededor del Sol, que es llamada elíptica; en las llantas de una bicicleta, que son circulares; en los arcos del palacio municipal de tu localidad, las cuales describen parábolas, etcétera. Es bastante amplio el uso que le hemos dado a las secciones cónicas. A continuación las estudiaremos mediante los cortes de un plano en un cono.

Secciones cónicas Las secciones cónicas, como ya hemos mencionado antes, provienen de los cortes de un cono por un plano y se expresan algebraicamente mediante la siguiente ecuación general de segundo grado. Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 A continuación se muestran los cortes del cono para obtener las diferentes secciones cónicas: N Cuando el plano corta horizontalmente al cono, podemos observar que se forma la circunferencia.

Figura 5.4.

>N Cuando el corte del plano es paralelo a la generatriz del cono, podemos observar que se forma la elipse.

Figura 5.5.

128

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

N Cuando el plano corta verticalmente al cono, podemos observar que se forma la parábola.

Figura 5.6.

N Cuando tenemos dos conos unidos por el vértice y se realiza un corte

          + 

Figura 5.7.

Z             

           @  % w    

términos cuadráticos), los cuales nos indican qué tipo de sección cónica representa la ecuación. Estudiaremos las ecuaciones de cónicas con B=0. Se tienen las siguientes reglas generales para determinar la cónica a partir de   @  †? B Si A y C tienen signos iguales, se trata de una elipse. B Si A y C son iguales, representa una circunferencia. B Si A o B es cero, pero no simultáneamente, es decir, tiene un solo término cuadrático, entonces representa a una parábola. B Si A y C tienen signo contrario, representa a una hipérbola.

129

Matemáticas III          ?  -

+  -- C  *  

2x 2 + 5 y 2 − 7x + 4 y − 8 = 0

Elipse

x 2 + y 2 + 4 x + 6 y − 21 = 0

Circunferencia

2 x 2 − 3x + 2 y = 0

Parábola

3 x 2 − 9 y 2 − 5 x + 7 y − 12 = 0

Hipérbola

P/$W                diente a cada una de las cónicas. La circunferencia es un caso particular de una elipse.

Actividad de aprendizaje 1 Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Z      +      -

+  -- C  *  

2x 2 − 5 y 2 − 7x + 4 y − 8 = 0 y 2 + 4 x + 6 y − 21 = 0 2 x 2 + 2 y 2 − 3x + 2 y + 5 = 0 3x 2 + 5 y 2 + 8 x − 2 = 0 −3 x 2 − 3 y 2 + 16 = 0 2. Realicen lo siguiente en equipos de 4 integrantes: N Arroja sobre una pared el haz de una luz de una linterna, de modo que la línea que limita la parte iluminada sea, sucesivamente, una elipse, una parábola y una hipérbola. Tómale una foto a cada una de estas formas, imprímelas y pégalas en tu cuaderno. >N Ata un lápiz en el extremo de una cuerda y en el otro extremo una tachuela clavándola en el centro del cartón .Tensa la cuerda y traza con el lápiz una vuelta completa. 3. De manera individual, investiga lo siguiente: N Los ángulos trazados en una circunferencia

130

>N Las propiedades de una circunferencia

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

La circunferencia como lugar geométrico Hasta ahora ya vimos las diferentes secciones cónicas que se pueden trazar por los cortes de un cono. En este bloque las estudiaremos a todas, pero en el siguiente vamos a estudiar en particular a la circunferencia como lugar geométrico. Imaginemos que un grupo de estudiantes rodean a un alumno formando un circulo a su alrededor, de tal manera que hay la misma distancia del estudiante que  "      " '  %        

a la circunferencia como: El lugar geométrico de todos los puntos que están a una misma distancia       , y a la distancia constante se le llama  de la circunferencia. {         Circunferencia

Recuerda que el radio es una distancia y no un segmento de recta.

Centro

Radio

Figura 5.8.

Podemos observar que los dos elementos necesarios para trazar una circunferencia son el centro y su radio. Veamos algunos ejemplos.  &*D €  "   &    @ w]\|     ƒ + - Z   &         *

para nuestro ejemplo el centro es el punto A (2,3) y el radio r=4. Lo primero que tenemos que hacer es localizar el punto A en el plano cartesiano. En seguida, el radio nos indicará el tamaño de la circunferencia (recordando que el radio es la distancia que hay del centro a cualquier punto sobre la circunferencia). Así   &      ?      k  

el valor del radio para encontrar puntos por donde pasa la circunferencia. H

7

6

Centro 5

Puntos por donde pasa la circunferencia

4 3

I

A

G

2

131

1

0 -3

-2

-1

0 -1

1

2

J

3

4

5

6

7

Figura 5.9.

Matemáticas III Luego trazamos una curva por los puntos por donde pasa la circunferencia y    "   &    @w]\|     ƒ H

7

6

c

5

4

I

A

3

G

2

1

0 -3

-2

-1

0 -1

1

2

3

4

5

6

J

Figura 5.10.

4   "           

centro y radio de una circunferencia.

Sesión B.Ecuación de la circunferencia con centro en el origen Problematización W€               &           " '    [ W%"  

&      [ W%           

"  

[

Desarrollo de criterios

La ecuación de la circunferencia con centro en el origen Después de haber trabajado con el lugar geométrico de la circunferencia, cuando se conocen el centro y el radio, estamos en condi       &cia con centro en el origen, para ello vamos a     ‡

132

Como notarás, los puntos O, P y C forman un triángulo rectángulo, el segmento OC corresponde al cateto adyacente x y el segFigura 5.11

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

mento PC, el cateto opuesto y, el segmento OP es la hipotenusa r, (todo esto considerando como ángulo agudo del triangulo el ángulo  C (–3,–3), r= 10 2. Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia, dadas las siguientes condiciones:  C (–4,3), y pasa por (0,0). > Los extremos de un diámetro son (–3,5) (7,–3). 3. Una circunferencia de r = 10 pasa por el origen, si la abscisa de su centro, que está en el tercer cuadrante, es –6. Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia. 4. Obtén la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (–3,4) y es tangente al eje Y. 5. Una circunferencia que pasa por (2,0) es tangente al eje Y. Halla su ecuación si su centro está en el primer cuadrante y pertenece a la recta x – y – 1 = 0. 6. Una circunferencia tiene su centro en el punto C(–1,–2) y es tangente a la recta 4x + 5y – 20 = 0. Halla su ecuación. 7. Una circunferencia tiene radio 5 y su centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0 y 2x + 7y ´ ‹ ” — W%"   [ 8. La intersección de las rectas 7x – 9y –10 = 0 y 2x - 5y + 2 = 0 es el centro de la circunferencia que pasa por el punto (7,–5). Determina su ecuación ordinaria. 9. Una circunferencia cuyo diámetro mide a es tangente al eje X en el origen. ¿Cuál   [

139

Matemáticas III

Sesión D. Ecuación general de la circunferencia Problematización Javier se prepara para su examen de CENEVAL y encuentra un reactivo que plantea la situación siguiente: la suma de los cuadrado de los precios de dos artículos, más el doble del precio del primero, más el cuádruplo del precio del segundo es igual a ——    W%"         [ € & 

ecuación general a su forma ordinaria.

Desarrollo de criterios En esta sesión estudiarás otra forma de representar una circunferencia de manera analítica, considerando una ecuación a la cual llamaremos ecuación general de la circunferencia. En la sesión anterior se determinó que la ecuación de una circunferencia, con centro fuera del origen C(h,k) y radio r, tiene la forma (x – h)2 + (y – k)2 = r2 y, para poder obtenerla, recordemos que necesitamos conocer el centro y el radio de la circunferencia como datos esenciales. A esta ecuación la llamaste ecuación ordinaria de la circunferencia. Lo que haremos a continuación será desarrollar la ecuación ordinaria para poder obtener la ecuación en la forma general, recuerda que en el Bloque IV estudiaste a la ecuación general de la recta, la cual estaba desarrollada e igualada a cero. Utilizaremos el mismo criterio para obtener la ecuación general de una circunferencia, veamos a continuación cuál será el resultado que vamos a obtener al llevar a cabo dicha tarea y a descubrir cuál será la ecuación de la recta en su forma general. Consideremos la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria (!)2+( k) =r , ahora desarrollemos los binomios al cuadrado que se encuentran en la ecuación, lo cual nos dará despejamos para igualar a cero y ordenamos términos para obtener: 2

2

x 2 + y 2 − 2hx − 2ky + h2 + k 2 − r 2 = 0 realicemos los siguientes cambios de

variable: Recuerda que al desarrollar un binomio al cuadrado obtenemos como resultado lo siguiente (a±b)2=a2±2ab+b2

D = −2h,

E = −2k

y

F = h2 + k 2 − r 2

y sustituimos en la ecuación para obtener: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

La cual será   -    )   .

Realicemos ahora unos ejemplos para determinar la ecuación general de una circunferencia para comprender más el concepto.  &*D Determinar la ecuación general de la circunferencia, si su ecuación ordinaria es

( x − 3) + ( y + 2 ) 2

140

2

=8.

+ - Para determinar la ecuación general tenemos que desarrollar los binomios al

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

cuadrado que se encuentran en la ecuación y despejar para igualar a cero, por lo tanto tendremos:

( x − 3) + ( y + 2 ) 2

2

= 8 desarrollamos binomios cuadrados.

x 2 − 6 x + 9 + y 2 + 4 y + 4 = 8 despejamos para igualar a cero y escojamos

términos: x 2 + y 2 − 6 x + 4 y + 9 + 4 − 8 = 0 reducimos términos y obtenemos la ecuación

general, la cual será: x2 + y 2 − 6x + 4 y + 5 = 0

 &*E Determina la ecuación general de la circunferencia, cuyo centro es el punto C(–2,–1) y su diámetro es d=10. + - Para determinar la ecuación de la circunferencia en su forma general, necesitamos la ecuación en la forma ordinaria; por lo tanto, primero tendremos que encontrarla. Recordemos que para determinar la ecuación ordinaria necesitamos conocer el centro y radio de la circunferencia. En nuestro ejemplo conocemos el centro, el cual es C(-2,-1) y el diámetro d=10 de donde se deduce que el radio es r=5, al sustituir dichos valores en la ecuación ordinaria obtendremos:

( x − h) + ( y − k ) 2

( x + 2) + ( y + 1) 2

2

= r2

2

= 25

Ahora desarrollemos los binomios al cuadrado en la ecuación ordinaria: x 2 + 4 x + 4 + y 2 + 2 y + 1 = 25 despejamos para igualar a cero y escoramos

términos: x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 4 + 1 − 25 = 0

Reducimos términos y obtenemos la ecuación general, la cual será: x 2 + y 2 + 4 x + 2 y − 20 = 0

Después de realizar los ejemplos, podrás observar que el procedimiento para hallar la ecuación general de una circunferencia es relativamente sencillo. En la sesión anterior vimos que la ecuación ordinaria de una circunferencia se obtiene si conocemos su centro y radio; por lo tanto, si conocemos la ecuación determinaremos los valores de éstos. Hasta ahora, en esta sesión, hemos visto que si conocemos la ecuación en su forma ordinaria, podemos obtener la ecuación en su forma general; la cuestión a resolver ahora es la contraria. Si conocemos la ecuación en la forma general, ¿podemos hallar la ecuación    &[ N x2 + (y + 3)2 = 25 2. En cada uno de los incisos, obtén la forma ordinaria de la circunferencia al completar los binomios, así como su centro y radio: N x2+y2+2x –8y–8=0 >N x2+y2+4x–10y+4=0 N 3x2+3y2+18x+12y–36=0 N x2+y2–6x–55=0 3. Prueba que una circunferencia cuyo centro es el punto C(3,2) es concéntrica con la circunferencia x2 + y2 – 6x – 4y +9=0. 00                 quen sus resultados . 1. Demuestra que las circunferencias 4x2+4y2-16x+12y+13=0 y 12x2+12y248x+36y+55=0 son concéntricas. 2. Demuestra que las circunferencias x2 + y2 - 8x – 10y + 25=0 y x2+y2+4x+6y–23 = 0 son tangentes. 3. Una circunferencia tiene su centro en el punto (–2,3), si es tangente a la recta 20x – 21y – 42 = 0, encuentra su ecuación general. 4. Halla la ecuación general de una circunferencia que pasa por los puntos A(–3,3) y B(1,4), y su centro está sobre la recta 3x – 2y – 23 = 0. 5. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de un diámetro de la circunferencia x2 + y2 + 10x – 4y + 11 = 0 si uno de sus extremos es (–_‡|[

6. ¿Para qué valores de  la recta y = x + a es tangente a la circunferencia x2 + y2 + 2y ” [

144

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Sesión E. Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia Problematización Habrás observado que en una cancha de básquetbol el área de los tres segundos está delimitada por rectas tangentes al círculo de tiros libres. Si los puntos de tangencia son (-2,0), (2,0) y (0,2), determina la ecuación que describe a la circunferencia asociada al área de tiros libres.

Desarrollo de criterios    k     "        

determinar una circunferencia con algunos de sus elementos o parámetros, tales           

ecuación general. En la ecuación de la forma orA dinaria, en la que se involucra el centro y el radio, C #  " h, k y r. En la ecuación general los valores de los términos D, E y F, en ambos casos, podemos observar que son   los pará  #       

ecuaciones. A continuación, analizaremos los procedimientos para aplicar lo antes mencionado en la solución de problemas.

B C

Un caso en el que la ecuación general nos Figura 5.42 ayuda es aplicarla para obtener la ecuación de una circunferencia dados tres puntos por los que pasa ya que, como vimos, son tres los parámetros que intervienen tanto en la forma ordinaria como en la general. Es necesario conocer al menos tres puntos por los cuales debe pasar la circunferencia para encontrar sus parámetros. Resolvamos el siguiente ejemplo para determinar cómo hallaremos la ecuación de una circunferencia conocidos tres puntos por los cuales pasa.  &*D Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,1), B(3,5) y C(-1,5).

Recuerda que si la representación "   

geométrico pasa por un punto P(x,y), entonces dicho punto pertenece al lugar geométrico, por lo tanto, satisface su ecuación.

+ - Hasta el momento, conocemos dos formas de determinar la ecuación de una circunferencia: la forma ordinaria y la general. Para este ejemplo es preferible tra      &       "    &

x2+y2+Dx+Ey+F=0, bastará con encontrar los valores de D, E y F para solucionar el problema. Sustituiremos los valores de cada uno de los puntos en la ecuación.

145

Matemáticas III Para el punto A(1,1) obtenemos, al sustituir, en la forma general: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

(1 ) + ( 1 ) 2

2

+ D (1 ) + E (1 ) + F = 0

1 + 1 + D + E + F = 0 reducimos términos y despejamos para obtener: D + E + F = −2

Para el punto B(3,5), obtenemos: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

( 3 ) + (5 ) 2

2

+ D ( 3 ) + E (5 ) + F = 0

9 + 25 + 3D + 5E + F = 0 reducimos términos y despejamos para obtener: 3D + 5E + F = −34 Para el punto C(-1,5) obtenemos: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

( −1 ) + (5 ) 2

2

+ D ( −1 ) + E (5 ) + F = 0

1 + 25 − D + 5E + F = 0 reducimos términos y despejamos para obtener: −D + 5E + F = −26 Observamos que al sustituir cada uno de los puntos en la ecuación general de la circunferencia obtuvimos como resultado una ecuación lineal con tres incógnitas, por lo tanto se forma un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. El problema se reduce a darle solución al sistema. Para dar solución a un sistema de tres ecuaciones lineales con 3 incógnitas, se utilizan varios métodos, entre los que resaltan el de suma y resta, igualación, sustitución, método de Kramer, etcétera. Es importante que repases el procedimiento que se llevaba a cabo en cada uno de los métodos, ya que los necesitarás como herramienta de apoyo.

146

El sistema que se forma es el siguiente: D + E + F = −2

(I)

3D + 5E + F = −34

(II)

−D + 5E + F = −26

(III)

Para nuestro ejemplo resolvemos el sistema utilizando el método de suma y resta. Primero eliminamos F en las ecuaciones I y II: −1 ( D + E + F = −2 )

3D + 5E + F = −34 obtenemos: −D − E − F = 2 3D + 5E + F = −34 2D + 4E = −32 D + 2E = −16 Llamémosle a esta nueva ecuación IV.

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Segundo, eliminamos F en las ecuaciones I y III: −1 ( D + E + F = −2 ) −D + 5E + F = −26 obtenemos: −D − E − F = 2 −D + 5E + F = −26 −2D + 4E = −24 −D + 2E = −12 A esta otra ecuación la llamaremos V. Resolvemos ahora las ecuaciones obtenidas IV y V que forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: Eliminamos E en ambas ecuaciones: D + 2E = −16 −1 ( −D + 2E = −12 ) obtenemos: D + 2E = −16 D − 2E = 12 2D = −4 −4 D= 2 D = −2 Sustituimos el valor D=-2 en la ecuación IV: D + 2E = −16 y despejamos para obtener el valor de E: D + 2E = −16 −2 + 2E = −16 2E = −16 + 2 2E = −14

−14 2 E = −7 E=

Ahora sustituimos los valores D=-2 y E=-7, en la ecuación I: D+E+F=-2 y despejamos para obtener el valor de F: D + E + F = −2

–2– 7 + F=–2 D + E + F = −2

F = −2 + 2 + 7 F =7

147

Matemáticas III Los valores encontrados son D=-2, E=-7 y F=7 y sustituimos dichos valores en la ecuación general para obtener la ecuación de la circunferencia. x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 obtenemos x 2 + y 2 − 2 x − 7 y + 7 = 0

Otro procedimiento que se utiliza para dibujar una circunferencia es mediante un compás, donde el punto de apoyo del compás sirve para determinar el centro de la circunferencia y, con una abertura que determina el radio, se gira completamente hasta formar una circunferencia. Las observaciones anteriores nos ayudarán a comprender que para formar una circunferencia es importante tener en cuenta un punto, como el centro de ella y un segmento de recta, la cual nos servirá como el radio de la circunferencia.

Actividad de aprendizaje 5 Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 1. En cada uno de los siguientes incisos halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados en su forma ordinaria: N (–3,1), (0,2) y (4,–5) >N (0,0), (2,0) y (0,1) N (–4,2), (0,1) y (4,2) 2. Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por A(3,–8), B(–3,10) y C(–7,2). Además prueba que es concéntrica con la circunferencia x2+y2–6x–4y+9=0. 3. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de intersección de las rectas 3x – y = 7, x – 2y = 4 y 2x + y = 8.

Síntesis Organizados en equipos de cuatro integrantes, resuelvan cada uno de los siguientes problemas propuestos: 1. Un satélite registra la trayectoria de un ciclón. Si el centro del ciclón está en C(0,0) y cada anillo concéntrico de la imagen del satélite tiene 2 unidades de ancho, determina la ecuación de la tercera circunferencia que encierra la mayor parte del ciclón. 2. El conserje de la escuela usa un aspersor que lanza el rocío en forma circular alcanzando hasta un diámetro de 10 metros. Si el aspersor se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas, determinen la ecuación de la circunferencia que describe el rocío del riego. 3. Un camión del Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán se encuentra a 500        %    _——     portiva. ¿Qué tan próxima o qué tan alejado podría estar la unidad deportiva del    %{†@“[

148

4. Mediante un sistema de navegación por radio, una embarcación turística se mueve de una isla (A) a la costa (B), conservando perpendiculares sus distancias a dos faros situados, uno en cada sitio, en los puntos de coordenadas A(0,10) y B(0,10), respectivamente. N Encuentra la ecuación que describe su trayectoria entre la isla y la costa. >N W%"      [

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

5. El servicio sismológico del observatorio de Tacubaya detecta en la ciudad de México un sismo con origen en las costas de Colima, cuyas ondas se extienden en la zona delimitada por la circunferencia x2 + y2 = 5802. Si la ciudad de México se encuentra ubicada en el punto (650,90). Según lo establecido, ¿le afectará el       $+[ 6. Un molino de viento tiene aspas de 5 m de largo y se ubica sobre una torre que tiene 10 metros de alto y 6 m de diámetro en su base. Si colocamos un sistema de referencia en el centro de la base de la torre, ¿cuál será la ecuación general de  &         [

7. ¿En qué sitio debe ubicarse una plaza comercial para que esté a igual distancia de una escuela (E), una gasolinera (G) y una iglesia (I), cuyas coordenadas de ubicación son E(8,3), G(1,12) e I(–]Š|   [ N Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos E(8,3), G(1,12) e I(–2,7). >N W@ +   "   +   [

Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2 se expresa y comunica.

&*     %  4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

$ > 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

0      &* O

P #   



 

8  

Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.

149

Matemáticas III  2 Piensa crítica y # 

&*     %  5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

$ > 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

0      &* O /   

información. @     

la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etcétera).

Aprende de 7. Aprende por forma autónoma. iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

/ 

problema.

Š] /

las actividades que le resultan de menor y mayor interés   

reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

/

actividades de acuerdo a sus intereses.

Establece supuestos de solución. Aplica el método   

método pertinente para probar los supuestos.

Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. / 

reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.

150

P #   



 

8  

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

I$*   &      )   

&*      *       & &   1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

P #      &* O

0  



 

8  

/  &

Reconoce las curvas que se tipos de rectas y obtienen al realizar cortes a segmentos asociados a un cono mediante un plano. la circunferencia /     

Distingue los diferentes una circunferencia con centro tipos de rectas y en el origen, a partir de su segmentos asociados a ecuación. la circunferencia Determina los elementos de una circunferencia a partir de su ecuación. Determina la expresión algebraica de una circunferencia con centro en el origen. Reconoce la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen a partir de la medida de su radio y las coordenadas de su centro. Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia a partir de las coordenadas de su centro y la longitud de su radio. Reconoce la forma general de la circunferencia. Obtiene la forma general de la circunferencia al desarrollar la forma ordinaria o viceversa. Obtiene de la forma general de la circunferencia los parámetros de esta. /  #

de los parámetros D,E Y F de la ecuación general en el discriminante, paradeterminar una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico.

151

Matemáticas III 1 %&   

, &  F

C

I$*   &      )   

&*      *       & &   2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

P #      &* O Reconoce los diferentes tipos de ecuaciones de la circunferencia y las transforma de una forma a otra. Aplica los elementos y ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

0   Determina los elementos mínimos para trazar una circunferencia. Resuelve problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de circunferencias con centro en el origen. Obtiene la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria con la menor cantidad de elementos , como las coordenadas de su centro y las coordenadas de los extremos de uno de sus diámetros o su centro y un punto que pertenezca a la misma. Resuelve problemas que permiten escoger la forma más conveniente de representar la circunferencia de acuerdo a la situación. Determina la ecuación de una circunferencia cuando conozco tres de sus puntos; los cuales pueden darse de distintas formas.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Aplica los elementos y ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

Analiza la forma de secciones cónicas en su entorno. Modela situaciones contextualizadas, hipotéticas o reales por medio de la ecuación de la circunferencia. Modela problemas que permiten escoger la forma más conveniente de representar la circunferencia de acuerdo a la situación.

152

Explica los efectos "    

una circunferencia al sufrir cambios los parámetros h, k, r de su ecuación.



 

8  

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

1 %&   

, &  F

C

I$*   &      )   

&*      *       & &   8. Interpreta tablas, "   

diagramas y textos con símbolos matemáticos y  

P #      &* O

0  



 

8  

/  &

Reconoce a la circunferencia tipos de rectas y como lugar geométrico. segmentos asociados a Traza circunferencias la circunferencia. conociendo los elementos Distingue los diferentes mínimos de una tipos de rectas y circunferencia. segmentos asociados a Comprende conceptos la circunferencia. geométricos como el que una tangente a la circunferencia resulta perpendicular a uno de sus radios y calculo su radio como la distancia de un punto a la recta tangente. Resuelve ejercicios que involucran la ecuación o la "   &

Determina el lugar geométrico que representa una ecuación de la forma. /  # 

los parámetros h, k, r de la ecuación de la circunferencia en su comportamiento "

Observaciones:

Realimentación Lee cuidadosamente cada una de los problemas planteados a continuación y escribe en el paréntesis de la izquierda, la letra de la opción que corresponda a su respuesta. Analiza todas las posibles respuestas antes de elegir la que consideres acertada. 1. (

) Obtén la ecuación de la circunferencia con centro en el origen que pasó por ⎛ 3 −21 ⎞ el punto ⎜ , ⎟. ⎝2 5 ⎠ N x2 + y2 – 34 = 0

N x2 - y2 - 34 = 0

>N x2 + y2 + 34 = 0

N x2 - y2 + 34 = 0

153

Matemáticas III ) Determina la ordenada de un punto de la circunferencia x2 + y2 = 2 sabiendo 3 que su abscisa es . 4

2. (

N

y

20 4

N

y

23 4

>N

y

18 4

N

y

13 4

3. ( ) Determina la ecuación de la circunferencia en su forma general, si los puntos (-2,4), (4,5) son los extremos de su diámetro. N x2 + y2 – 2x – 9y + 12 = 0 >N x2 – y2 + 2x + 9y – 12 = 0 N x2 + y2 – 2x + 9y + 12 = 0 N x2 + y2 + 2x + 9y + 12 = 0 4. ( ) Calcula la ecuación de la circunferencia en forma general, si su centro es C(3,5) y es tangente a la recta 2x – 4y – 6 = 0. N 4x2 + 4y2 + 24x + 40y + 36 = 0 >N 4x2 + 4y2 + 24x – 40y – 100 = 0 N 4x2 + 4y2 – 24x – 40y – 69 = 0 N 4x2 – 4y2 – 24x + 40y + 69 = 0 5. ( ) Calcula el centro y el radio de la siguiente circunferencia x2 + y2 + 14x – 10y + 2 = 0. N C(–7,–5); r=72 >N C(–7, 5); r  72 N C(7, 5); r  72 N C(7, –5); r=72 6. ( ) Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,–4), B(4,5), C(3,–2). N x2 + y2 + 7x + 5y – 44 = 0 >N x2 + y2 - 7x - 5y + 44 = 0 N x2 + y2 + 7x + 5y – 44 = 0 N x2 + y2 + 7x + 5y + 44 = 0 7. (

) Obtén la forma ordinaria de la circunferencia x2 + y2 + 4x - 8y – 8 = 0. N (x - 2)2 + (y + 4)2 = 26 >N (x + 2)2 + (y – 4)2 = 28 N (x + 2)2 + (y + 4)2 = 26

154

N (x – 2)2 + (y - 4)2 = 28

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Evaluación de la competencia Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas  2 Se expresa y comunica.

Piensa crítica y # 

Aprende de forma autónoma.

&*     % 

$ >

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o " 

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

0      &* O

P #   



  8  

Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /   

información. @     

la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etc.).

5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

/   

Š] /

las actividades que le resultan de menor y mayor interés   

reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

/  

de acuerdo a sus intereses.

Establece supuestos de solución. Aplica el método   

método pertinente para probar los supuestos.

Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. / 

reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.

155

Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&   

, &  F

C

I$*   &      )   

&*      *       & &   1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

P #      &* O / 

diferentes tipos de rectas y segmentos asociados a la circunferencia. Distingue los diferentes tipos de rectas y segmentos asociados a la circunferencia.

0   Reconoce las curvas que se obtienen al realizar cortes a un cono mediante un plano. /     

una circunferencia con centro en el origen, a partir de su ecuación. Determina los elementos de una circunferencia a partir de su ecuación. Determina la expresión algebraica de una circunferencia con centro en el origen. Reconoce la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen a partir de la medida de su radio y las coordenadas de su centro. Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia a partir de las coordenadas de su centro y la longitud de su radio. Reconoce la forma general de la circunferencia. Obtiene la forma general de la circunferencia al desarrollar la forma ordinaria o viceversa. Obtiene de la forma general de la circunferencia los parámetros de esta. /  # 

los parámetros D, E Y F de la ecuación general en el discriminante, para determinar una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico.

156

   8  

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

1 %&   

, &  F

C

I$*   &      )   

&*      *       & &   2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

P #      &* O Reconoce los diferentes tipos de ecuaciones de la circunferencia y las transforma de una forma a otra. Aplica los elementos y ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

0  

   8  

Determina los elementos mínimos para trazar una circunferencia. Resuelve problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de circunferencias con centro en el origen. Obtiene la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria con la menor cantidad de elementos, como las coordenadas de su centro y las coordenadas de los extremos de uno de sus diámetros o su centro y un punto que pertenezca a la misma. Resuelve problemas que permiten escoger la forma más conveniente de representar la circunferencia de acuerdo a la situación. Determina la ecuación de una circunferencia cuando conozco tres de sus puntos; los cuales pueden darse de distintas formas.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Aplica los elementos y ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

Analiza la forma de secciones cónicas en su entorno. Modela situaciones contextualizadas, hipotéticas o reales por medio de la ecuación de la circunferencia. Modela problemas que permiten escoger la forma más conveniente de representar la circunferencia de acuerdo a la situación.    & " 

se dan en una circunferencia al sufrir cambios los parámetros h, k, r de su ecuación.

157

Matemáticas III 1 %&   

, &  F

C

I$*   &      )   

&*      *       & &   8. Interpreta tablas, "   

diagramas y textos con símbolos matemáticos y  

P #      &* O / 

diferentes tipos de rectas y segmentos asociados a la circunferencia. Distingue los diferentes tipos de rectas y segmentos asociados a la circunferencia.

0   Reconoce a la circunferencia como lugar geométrico. Traza circunferencias conociendo los elementos mínimos de una circunferencia. Comprende conceptos geométricos como el que una tangente a la circunferencia resulta perpendicular a uno de sus radios y calculo su radio como la distancia de un punto a la recta tangente. Resuelve ejercicios que involucran la ecuación o la "   &

Determina el lugar geométrico que representa una ecuación de la forma. /  # 

los parámetros h, k, r de la ecuación de la circunferencia    "

Observaciones:

158

   8  

Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Notas

159

Bloque VI

Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola Desempeños del estudiante al concluir el bloque B /        "  B ‰        "  B @         "        

     

Objetos de aprendizaje B N wy  |2 ” ]wx  \|

N wx ´ \|2 ” ˆwy  |



F œ      "   &   w]|      

   w]]|  w]ƒ| H œ      "  

+ w]\|  & w\| Q    &      "  

+ w]|  

    ]      G N W%"         [ N W%"   "             [

Desarrollo de saberes         &    " 

               &      

 &  

       ©    &            

   @  %   + 

  Ax2 ´ %y2 ´ !x ´ y ´ J ” — ‰   @ ” —  % ” —         

   "     &     "  ? œ  ? %y2 ´ !x ´ y ´ J ” — ©  ? @x2 ´ !x ´ y ´ J ” —

Transitar entre las formas ordinarias y generales de las parábolas $           &     

 " 

186

 &*D    "  wy  ]|] ”  ]wx  |   &  

Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

Solución   &              

  +     y 2 − 4 y + 4 = −12x + 12 Z             + ? y 2 − 4 y + 4 + 12x − 12 = 0 Z k    +  ? y 2 − 4 y + 12x + 4 − 12 = 0 Œ        " ? y 2 + 12x − 4 y − 8 = 0 

 &*E    "  x2  ˆx  ]y  ‡ ” —   &  Solución Z          + "   +   x x 2 − 6x = 12y + 51 4      &           +       

  

x 2 − 6x + 9 = 12y + 51 + 9 ‰     +  

  +

  

 

  

+  

    

      ‰

   

      

   

   

   

 

x 2 − 6x + 9 = 12y + 60 J   +       +  

 & ( x − 3)2 = 12y + 60 J   +       +  & k ( x − 3)2 = 12( y + 5) !   &           &  ( x − h)2 = 4 p( y − k )  &*F €  "   "  y 2 + 4 x + 8 y − 20 = 0  Solución ž   

+   " p      &  LR 

 

187

Matemáticas III Z        &           y 2 + 4 x + 8 y − 20 = 0 y 2 + 8 y = −4 x + 20 y 2 + 8 y + 16 = −4 x + 20 + 16 y 2 + 8 y + 16 = −4 x + 36 ( y + 4 )2 = −4( x − 9) @            "            ] 4         "   

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Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas Categoría Z   

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190

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Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

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Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1  %&  curricular

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191

Matemáticas III 1  %&  curricular

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Sesión E. Ecuación de la parábola dados tres puntos Problematización /                 

          4       

               w^ˆƒ| w]ƒ|  wˆŠ|

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 W`+   [

192

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195

Matemáticas III Realimentación @             "  &

      

D %       & 

+   "  y2–12x=0. E  "  

+  V w——|   x=–2 W%"    

 [ F W%"    "     "  x2–12y=0[

Figuras 6.25 y 6.26

Figuras 6.27 y 6.28

N ( −2, 0 )

N ( 2, 0 )

N ( 0, −2 )

E W%"    

+   "  x 2 + 4 x + 2 y − 3 = 0 [ ⎛7 ⎞ ⎛ 7⎞ N ⎜ 2, ⎟ >N ⎜ , 2 ⎟

2 ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠

196

⎛ 7⎞ N ⎜ −2, ⎟

2⎠ ⎝

⎛ 7 ⎞ N ⎜ − , −2 ⎟ 2 ⎝ ⎠

F W%"         "  y 2 + 16 x − 14 y + 33 = 0 [ N x  — >N x  \

N x = −‡

N x  ‡

Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

H W%"         "  y 2 + 16 x − 14 y + 33 = 0 [ N 16 >N 12

N 12

N 16

Q W%"                

  "  y 2 + 16 x − 14 y + 33 = 0    2 x − y + 3 = 0 [ N 3 2 >N 4 5

N 3 5

N 20 5 G W%"  

  "       " 

x2 + 6x + 2 y + 4 = 0 [ 5 5 N  >N \

N

2

2 Y W%"        &   "   

N \

 x 2 − 6 x + 12 y + 33 = 0 [ N F ( 3, 6 )



>N F ( −3, −6 )



N F ( 3, −6 )



N F ( 6, −3)

⎛ 1 ⎞ Z W%"     "          ⎜ − , −2 ⎟ [ 3 ⎝ ⎠ 

N y 2 + 12 x = 0

>N y 2 − 12 x = 0

N x 2 + 12 y = 0

N x 2 − 12 y = 0

k W%"      "  y 2 − 12 x − 6 y − 15 = 0 [ N x = −2



>N x  2



N y  \



N

y = −\

DJ W%"     

     "  y 2 + 4 x + 2 y − 19 = 0

     \[ N]



>N\





Nƒ



N‡

DD W%"      "   & F ( 6, −2 )   x − 2 = 0 [ 2 N y − 8 x + 4 y + 36 = 0

2 >N y + 8 x − 4 y − 36 = 0

2 N y − 4 x + 8 y + 36 = 0

2 d) y − 4 x + 8 y + 16 = 0

DE œ       "          

 ( 4 , 5 ) ; ( −2, 11 ) ; ( −4 , 21 )  !     

+   "  N ( 2, 3)



>N ( 3, 2 )



N (1, 3)



N ( 2, 4 )

DF 4     "   3 x − 4 y + 5 = 0   &  F ( 6, 2 )  W"  

  

+   [ N



>N]



N\



N‡

DH W%"  

  " 

       " 

x 2 − 6 x − 12 y − 51 = 0 [ N$"   \

N$ /  \

>N$"   ‡

N$   ‡

197

Matemáticas III DQ %       W"      & [ y 3 2 1 x

0 -7

-6

-5

-4

-3

-2

0

-1

1

2

3

4

5

6

7

-1 -2 -3

Figura 6.29

A.

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199

Matemáticas III 1 %&  curricular

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   "   

 

200

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Regular Bueno

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Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

1 %&  curricular

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Bloque

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   "  € "      

+ 

{   ?

201

Matemáticas III

Notas

202

Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

Notas

203

Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse Desempeños del estudiante al concluir el bloque B /           B ‰           B @                   

    

Objetos de aprendizaje B    B          B         

      

       B         

    & 

          B       

Competencias genéricas y atributos B            

           B         ·   "  " B !               +    

B { &          B %      '        

   Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.   

                          

204

Competencias disciplinares básicas  %      "       +     +      

   "        +  &   ] J        "    & &  \             

             _ /    "          "

  

205

Matemáticas III Dinamización y motivación 0‰         D    &               

 

  E    &  &     00 ‰            D œ    k k      k ?

 ]_  \‡ > \ˆ  Šƒ E 4     ?

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