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Taller – Unidad 7

Alejandra Acosta Jaramillo

Ejercicio 1: Un microorganismo tiene un crecimiento exponencial que se describe por la siguiente ecuación diferencial:

Donde k es un parámetro semiempírico que tiene un valor de 0.693 (en unidades consistentes). Si pasada 1 hora de cultivo se tienen 345 individuos, determine cuánto tiempo (horas) debe transcurrir para garantizar que la población será de ≥≥ 2000 individuos. Se utilizó Euler teniendo las siguientes condiciones iniciales

x1 t0 x0 k

2000 1 345 0,693

h Etapas 0 1 2 3

t (Horas) 1 1,01 1,02 1,03

0,01 x 345 347,38392 349,760525 352,129909

1173 1174 1175 1176

12,73 12,74 12,75 12,76

1997,65357 1998,73413 1999,81443 2000,89446

Obteniendo asi un tiempo aproximado de 12,76h Ejercicio 2: Dada la siguiente ecuación diferencial, determine qué valor debe tomar x dentro del intervalo [-5≤ x≤-1], de modo que se obtenga el mayor valor posible de la variable y. Considere que para x = -5, y = 0.1:

Se tienen los siguientes valores

iniciales:

Taller – Unidad 7

Alejandra Acosta Jaramillo

Etapa 0 1 2 3

h x -5 -4,99 -4,98 -4,97

0,01 y dy/ dx 0,1 148,213159 1,58213159 143,77216 3,01985319 139,434675 4,41419995 135,198487

67 68 69 70 71

-4,33 -4,32 -4,31 -4,3 -4,29

37,4465169 37,4570294 37,4597751 37,4549845 37,4428828

1,05125276 0,27456942 -0,4790613 -1,2101753 -1,919297

Se obtuvo que en ese intervalo analizado, el mayor valor de y es 37,4597751. Ejercicio 3: Dada la siguiente ecuación diferencial, responda qué valor debe tomar x dentro del intervalo [-0.5≤ x≤ -0.1], de modo que y = 50. Considere que para x = -0.5, y = 0.5:

Se tienen los siguientes valores iniciales:

Etapa 0 1 2 3

h x -0,5 -0,499 -0,498 -0,497

0,001 y dy/ dx 0,5 6,83540431 0,5068354 6,89855085 0,51373396 6,96236376 0,52069632 7,02685129

348 349 350 351 352

-0,152 -0,151 -0,15 -0,149 -0,148

48,0080287 48,9986717 50,0158465 51,0604413 52,1333805

990,642957 1017,17479 1044,59489 1072,93911 1102,24499

Se obtuvo que el valor de x debe tomar es -0,15 aproximadamente. Ejercicio 4:

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Dada la siguiente ecuación diferencial, cuyo intervalo de interés es [1≤≤ t ≤≤ 10] y sabiendo que y(1)= 0.2. Responda: Se tienen los siguientes valores iniciales:

Etapa 0 1 2 3

h t 1 1,01 1,02 1,03

0,01 y dy/ dt 0,2 0,96937457 0,20969375 0,9793625 0,21948737 0,98907495 0,22937812 0,99849204

a) ¿Para qué valor de t se obtiene el menor valor de y?

527 528 529 530 531

6,27 6,28 6,29 6,3 6,31

-0,2100579 -0,2101574 -0,2101815 -0,21013 -0,2100031

-0,0099558 -0,0024048 0,00514456 0,01269439 0,02024688

El menor valor de y es -0,2101815. b) ¿Cuál es el valor de y(8)?

698 699 700 701 702

7,98 7,99 8 8,01 8,02

0,8630635 0,86777888 0,87234894 0,87677637 0,88106395

0,47153825 0,45700594 0,44274286 0,42875749 0,41505716

El valor de y(8) es 0,87234894. c) Si se requiere y = 0.4, ¿qué valor o valores debe tomar t?

20

1,2

0,40872429 1,09364449

413

5,13

0,40678715 -1,0731051

645

7,45

0,4078652 1,07918517

Se obtuvo que t debe tomar valores de 1,2 , 5,13 y 7,45 para que y = 0,4.