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IIS400 SISTEMAS ESTOCASTICOS TAREA - 1 PROBLEMAS DE PROBABILIDADES 1. Suponga que una persona selecciona al azar de una población en que. El 90% es diestro. El 60 % tiene ojos azules. El 40 % tiene cabello rubio. Si solo el 70% de los rubios tiene ojos azules Defina los eventos A: la persona seleccionada es diestra B: la persona seleccionad tiene ojos azules C: la persona seleccionada tiene el cabello rubio Bajo el supuesto que A, BC son independientes ¿Cuál es la probabilidad de que? a) La persona seleccionada tenga ojos azules y pelo rubio b) La persona seleccionada sea diestra con ojos azules y pelo rubio c) La persona seleccionada tiene ojos azules o pelo rubio 2. Hay tres dados en una caja uno balanceado, el segundo solo resulta 6 cuando se tira y el tercero solo resulta 1 o 6 cuando se tira. Si se saca un dado al azar de la caja se tira y resulta 6 ¿Cuál es la probabilidad de que se halla seleccionado el dado balanceado? 3. Un bus lleva n pasajeros y hace tres paradas. Si se supone que cada pasajero a bordo puede bajarse en cualquier parada y que actúa independiente de los otros pasajeros. ¿Cuál es la probabilidad que en la primera parada se bajen k pasajeros? Si 4 pasajeros toman diariamente el bus en la semana con la excepción del domingo en que solo lo hacen 2 de los 4. y en un cierto DIA se observa que nadie baja en la primera parada ¿Cuál es la probabilidad de que ese día sea domingo? 4. El equipo de de basketball de Temuco juega la serie final con Valdivia. El primero de los equipos en ganar tres partidos gana la serie. En base a resultados anteriores se estima que la probabilidad que Temuco le gane un juego a Valdivia es de 0,6. a. ¿Cuál es la probabilidad que Temuco gane la serie? b. Si ambos han ganado un juego ¿Cuál es la probabilidad que Temuco gane la serie? c. Si ambos equipos han ganado 2 juegos ¿Cuál es la probabilidad que Temuco Gane la serie? 5. Tres cajas de idéntica apariencia contienen algunas de las siguientes monedas: Caja A: Contiene 2 monedas de $50 Caja B. Contiene 1 moneda de $50 y 2 de $10 Caja C: Contiene una moneda $ 60 y una de $10 Si se selecciona al azar una caja y una moneda y resulta ser de $ 50 pesos ¿Cuál es la que la caja seleccionada contenga al menos 1 moneda de $ 10?

probabilidad

6. Renato y Pablo juegan el siguiente juego. En cada ronda Renato lanza 2 monedas balanceadas y Pablo 3 monedas balanceadas. Si algunos de los jugadores saca más cara que el otro gana el juego y se lleva todas las monedas. Si ambos jugadores sacan el mismo número de caras hay empate y se juega otra rueda de desempate. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos. a. Renato gana el primer juego b. El primer juego es un empate c. Pablo gana tres ondas d. Renato gana el juego 7. Considere el problema de diagnosticar una enfermedad fatal que se presenta estadísticamente 1 entre 100.000 personas. Suponga que se dispone de un test con un 90% de confiabilidad para determinar la presencia de la enfermedad y de un 99% para determinar la ausencia de la enfermedad. a. ¿Cuál es la proporción de la población que el test detectará como enfermo? b. Si el test lo detecta enfermo ¿Cuál es la probabilidad que efectivamente se encuentre enfermo? 8. El gerente de un restaurante que solo da servicios mediante reservas sabe por experiencia que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas y solo dispone de 20 mesas ¿Cuál es la probabilidad que todas las personas que llegan tengan una mesa disponible? 9. Un avión de alto rendimiento contiene tres computadoras idénticas. Se utiliza únicamente una para operar el avión; las dos restantes son repuestos que pueden activarse en caso que el sistema primario falle. Durante una hora de operación la probabilidad de falla de cualesquiera de las computadoras es de 0, 0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente a. ¿Cuál es el tiempo promedio para que fallen las tres computadoras? b. ¿cuál es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas? 10. Una familia tiene tres hijos. Determinar todas las posibles permutaciones, con respecto al sexo de los hijos. Bajo suposiciones adecuadas, ¿Cuál es la probabilidad de que, exactamente dos de los hijos tengan el mismo sexo?, ¿Cuál es la probabilidad de tener un varón y dos mujeres?, ¿Cuál es la probabilidad de tener tres hijos del mismo sexo 11. En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% de la población lee A, el 20% lee B y el 15% lee C; el 12% lee A y B, el 9% lee A y C, el 6% lee B y C y finalmente, el 3% lee A, B y C. Se pide: a) Porcentaje de personas que leen al menos uno de los tres periódicos. b) Porcentaje que leen sólo A. c) Porcentaje que leen B ó C, pero no A. d) Porcentaje de personas que leen A, o no leen ni B ni C.

12. En un jurado compuesto por tres personas hay dos miembros que toman la decisión correcta, cada uno con probabilidad p; el tercer miembro lanza una moneda al aire cada vez que tiene que tomar una decisión. Las decisiones se toman por mayoría. Debido al curioso comportamiento del tercer miembro se decide formar otro jurado que, puesto que debe estar formado por un número impar de miembros, está formado por uno cualquiera de los otros dos componentes. ¿es ahora mayor la probabilidad de que el jurado tome la decisión correcta? 13. Una población está formada por tres grupos étnicos: A(30%), B(10%) y C(60%). Los porcentajes del carácter ”ojos claros” son respectivamente, 20%, 40% y 5%. Calcular: a) La probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga los ojos claros. b) La probabilidad de que un individuo de ojos oscuros sea de A. c) Si un individuo elegido al azar tiene los ojos claros, ¿a que grupo es más probable que pertenezca? 14. Una prueba de diagnóstico para un cierto tipo de cáncer tiene probabilidad 0.96 de resultar positiva si el paciente tiene cáncer. El 95% de los individuos sin cáncer dan prueba negativa. Se elige un individuo al azar en una población de personas de las cuales el 0.5% tienen dicho tipo de cáncer (prueba sistemática en enfermedad de poca incidencia). Si sabemos que el individuo ha dado resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cáncer?. 15. Tres presos A, B y C esperan la libertad condicional. El juez ha decidido dar la libertad a dos de ellos, y los presos lo saben aunque no saben los nombres. El preso A, se ha enterado de que un guardián amigo suyo sí conoce los nombres; sin embargo, A no quiere preguntar directamente a su amigo si él saldrá en libertad y prefiere pedirle que le diga el nombre de otro de los dos presos B y C que vaya a salir libre. Al meditar sobre la cuestión, A observa que, antes de preguntar su probabilidad de salir libre es 2/3 y que si su amigo le contesta por ejemplo, “B saldrá en libertad”, su probabilidad de salir bajará a ½. ¿Tiene razón?. 16. Considere el siguiente experimento aleatorio: "Se lanzan dos dados balanceados y se obtiene la suma de los puntos de las caras superiores". Calcular la probabilidad de los siguientes eventos: A: La suma de los puntos es un número par B: La suma de los puntos es un número menor que 10 Determinar si los eventos anteriores son independientes 17. Un fondo para el desarrollo de la pequeña industria fue constituido para canalizar inversiones privadas al apoyo de pequeñas industrias. En una ciudad determinada, suponga que se encuentran cuatro agencias de este fondo y suponga también que dos industrias pequeñas solicitan un préstamo a estas agencias, de manera independiente. La probabilidad de que las industrias soliciten el préstamo a las agencias A, B, C y D es de 0.3, 0.1, 0.2 y 0.4, respectivamente. a) Encuentre la probabilidad de que ambas industrias soliciten su préstamo en la misma agencia. b) Encuentre la probabilidad de que las dos industrias soliciten su préstamo en distintas agencias. 18. Se lanza una moneda con probabilidad de 2/3 de que el resultado sea cara. Si aparece una cara, se extrae una pelota, aleatoriamente de una urna que contiene dos pelotas rojas y tres verdes. Si el resultado es sello se extrae una pelota, de otra urna, que contiene dos rojas y dos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una pelota roja? 19. La probabilidad de que un vuelo de programación regular llegue a tiempo a su primera escala es igual a 0.83. Si llegó a tiempo, la probabilidad que llegue a tiempo a su segunda escala es de 0.9, y si llegó a tiempo a sus dos escalas la probabilidad que llegue a tiempo a su destino final es de 0.97. Calcular la probabilidad que el avión llegue a tiempo a sus dos escalas y a su destino final. 20. Los usuarios de internet utilizan distintos buscadores para obtener información de interés. Una encuesta reciente estima que el 20% de la población utiliza el Google, el 16% utiliza Yahoo, el 14% utiliza Altavista, el 8% utiliza Google y Yahoo, el 5% utiliza Google y Altavista, el 4% utiliza Yahoo y Altavista y el 2% utiliza los tres buscadores. a. ¿Qué porcentaje de la población se estima que usa al menos uno de los 3 buscadores en internet? b. ¿Qué porcentaje de la población se estima que usa Google o Altavista? c. ¿Qué porcentaje de la población se estima que usa Altavista o Yahoo? d. Si un usuario utiliza Yahoo, ¿cuál es la probabilidad que también use Google? 21. Un cierto sistema está formado por los subsistemas S1, S2 y S3. Se sabe que no pueden fallar simultáneamente dos o más subsistemas y que la probabilidad de que falle S1 es dos veces la probabilidad de que falle S2, en tanto que la probabilidad de que falle S3 es un tercio de la probabilidad de que falle S2. Determine la probabilidad de falla de cada subsistema. 22. Una tarjeta de red está compuesta por dos circuitos principales que funcionan en forma independiente. La probabilidad de que el primer circuito funcione normalmente durante 3 años es de 0.9 y la probabilidad de que el segundo circuito funcione normalmente durante 3 años es de 0.85. La tarjeta puede funcionar si al menos uno de los circuitos principales funciona normalmente. Calcular la probabilidad de que la tarjeta de red funcione normalmente durante 3 años. 23. En un departamento industrial laboran 15 personas de las cuales 9 son hombres y 6 son mujeres. El jefe de este departamento debe elegir 3 personas para integrar una comisión de servicio. Calcular la probabilidad que:

a) b) c) d)

las tres personas sean mujeres. las tres personas sean hombres. dos personas sean hombres y una persona mujer. el primero sea hombre, la segunda mujer y el tercero hombre.

24) El 5% de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricación se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control? 25) Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes B 1, B2 y B3. El 50% del total se compra a B1 mientras que a B2 y B3 se les compra un 25% a cada uno. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es 5, 10 y 12% respectivamente. Si los circuitos se almacenan en la planta sin importar quién fue el proveedor: a) Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta contenga un circuito defectuoso. b) Sin un circuito no está defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor B2? 26) Un inversionista está pensando en comprar un número muy grande de acciones de una compañía. La cotización de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de gran interés para el inversionista. Con base en esta información, se observa que la cotización se relaciona con el producto nacional bruto. Si el PNB aumenta, la probabilidad de que el valor de las acciones aumente es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.2. Si el PNB disminuye, la probabilidad es de sólo 0.1. Si para los siguientes seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, el PNB aumenta, es el mismo y disminuye, respectivamente, determinar la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses. 27) Con base en varios estudios una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de descubrir petróleo, las formaciones geológicas en tres tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado sitio, al que se le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que le petróleo se encuentra en un 40% de formaciones de tipo I, en un 20% de formaciones del tipo II y en un 30% de formaciones del tipo III. Si la compañía no descubre petróleo en ese lugar, determínese la probabilidad de que existe una formación del tipo II. 28) Un examen de revalidación de Licenciatura consta de 14 temas. Se eligen dos al azar y el alumno deberá escoger uno para contestarlo. Calcular la probabilidad de que a un alumno que ha preparado 5 temas, le toque al menos uno que sabe. ¿Cuál es el número mínimo de temas que debe preparar para que tenga una probabilidad superior a ½ de superar el examen? 29) Los cuatro grupos sanguíneos se reparten, en una población, según los siguientes porcentajes: A (43%), B (8%), AB (4%), O (45%). Teniendo en cuenta las incompatibilidades que existen entre los grupos, calcular la probabilidad que dadas dos personas X e Y elegidas al azar, X pueda recibir sangre de Y, suponiendo que a población es muy grande. 30) La cuarta parte de una población ha sido vacunada contra una enfermedad infecciosa. En el transcurso de una epidemia de dicha enfermedad, se constata que entre los enfermos hay un vacunado por cada 4 no vacunados. a) ¿Es de alguna eficacia la vacuna? b) Si se sabe que la epidemia afectó a uno de cada 12 vacunados, ¿cuál era la probabilidad de caer enfermo para un individuo no vacunado? 31) Supongamos que tenemos tres tarjetas de las cuales una tiene ambas caras rojas, otra ambas caras blancas y la tercera una cara blanca y otra roja. Se extrae una al azar, y se coloca sobre la mesa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la cara de arriba sea roja? b) Si la cara de arriba es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la de abajo también lo sea? 32) En la serie mundial de béisbol, dos equipos A y B juegan una serie de partidos uno contra otro y el primer equipo que gana un total de tres partidos es el ganador de la serie mundial. Si la probabilidad de que el equipo A gane un partido contra el equipo B es 1/3. a) Describa el espacio muestral de este experimento. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie mundial? c) Si la probabilidad de que el equipo A gane cualquier partido es p (0 < p < 1). ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario jugar los 5 partidos para determinar al ganador de la serie? d) Si la serie termina en el cuarto juego, ¿cuál es la probabilidad de que el ganador sea el equipo B? 33) Una red consta de un TRANSMISOR, un MODEM y un PC. La probabilidad de que el TRANSMISOR envíe un bit igual a 1 es 0.56. Por razones de inferencia el MODEM recibe con error esta señal, de tal manera que si se le envió un 1 la probabilidad que reciba un 1 es de 0.95; mientras que la probabilidad que reciba un 0 si se le envió un 0 es de 0.91. Se sabe además que el MODEM envía la información al PC de manera que la probabilidad de enviar un 1 habiendo recibido un 1 es de 0.98 y la probabilidad de enviar un 0 habiendo recibido un 0 es de 0.94. a) Encontrar la probabilidad de que el MODEM envíe un 0 al PC. b) Dado que el MODEM envió un 1, encuentre la probabilidad de que el TRANSMISOR haya enviado un 0.

c) Si el PC recibe 8 bits (1 byte), calcule la probabilidad de que 4 de sus 8 bits sean 0 si cada bit se recibe en forma independiente. 34) Suponga que 13 cartas se seleccionan al azar de un mazo de naipes honesto de 52 cartas. a) Si Ud. sabe que a lo menos un As ha sido seleccionado, ¿Cuál es la probabilidad que a lo menos dos Ases han sido seleccionados? b) Si Ud. sabe que el As de corazones ha sido seleccionado, ¿cuál es la probabilidad que a lo menos dos ases han sido seleccionados? 35) El siguiente esquema se utiliza como modelo para procesos de contagio:  1 De una urna con b fichas blancas y n fichas negras, se extrae una ficha al azar.  2 Se anota el color y se devuelve a la urna, junto a con otras 2 adicionales, del mismo color. a) Calcule la probabilidad de que se extraigan tres fichas negras seguidas. b) Calcule la probabilidad de obtener exactamente dos fichas negras en las primeras tres extracciones. 36) La mastitis es una enfermedad que afecta a las vacas que están produciendo leche. Para un productor de leche es muy importante detectar una enfermedad tempranamente. Un grupo de investigadores desarrolló un examen para este efecto con una confiabilidad del 90 %, es decir, de 100 vacas con la enfermedad el examen detecta 90 vacas enfermas. De las vacas libres de mastitis un 99% de los exámenes se consideran libres de la enfermedad y un 1% se diagnostican como mostrando mastitis, se seleccionan al azar una y se le somete al examen que arroja como resultado que sí posee la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad que la vaca tenga realmente mastitis? 37) Ante las especulaciones de dopping en cierto equipo de fútbol, se ha decidido realizar un test para detectar la presencia de fármacos de abuso común como cocaína, metadona y anfetaminas. Se sabe que un futbolista bajo el efecto de las drogas aumenta su chance de convertir goles. Los investigadores realizaron el test al equipo completo obteniendo las probabilidades indicadas en la siguiente tabla: Test positivo Test Negativo Droga presente 0.10 0.20 Droga ausente 0.05 0.65 a) Si un futbolista resulta con test de dopping positivo, ¿cuál es la probabilidad de que sea acusado injustamente? b) Suponga que la probabilidad de convertir un gol en condiciones normales es p, la cual se incrementa en un 20% bajo los efectos del dopping. Se convirtió un gol. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido convertido por un futbolista bajo los efectos del dopping? c) Determine la probabilidad de que un futbolista en condiciones normales deba realizar 4 lanzamientos al arco para convertir su primer gol. 38) Una urna contiene m fichas rojas y n fichas negras. Se revuelven bien estas fichas y se extraen una a una de la urna todas las fichas. a) Calcule la probabilidad de que las dos primeras fichas sean de distinto color. b) Calcule la probabilidad de que haya dos negras entre las tres últimas fichas. c) Suponiendo m = n = 3 calcule la probabilidad de que la última ficha negra sea la cuarta. 39) Un lote de 10 artículos buenos, 4 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se eligen dos artículos sin sustitución, encuentre la probabilidad de que: a) Ambos sean buenos b) Ambos tengan defectos graves c) A lo menos uno es bueno d) A lo más uno es bueno e) Ninguno tiene defectos graves f) Ninguno es bueno 40) Se colocan 7 bolas diferentes en 7 urnas aleatoriamente. Calcular la probabilidad de los siguientes eventos: a) Las 7 bolas están en una misma urna. b) Cada bola está en una urna diferente. c) Una urna contiene exactamente 3 bolas. d) Una urna contiene más de una bola. e) La tercera urna contiene 1, 2 ó 3 bolas. f) La primera urna contiene por lo menos 3 bolas. 41) Se construye un dado de manera que el uno y el dos ocurren con el doble de frecuencias con que se presenta el cinco, el cual ocurre con una frecuencia tres veces superior al tres, cuatro y seis. Si se lanza una vez encuentre la probabilidad de que: a) El número sea par. b) El número sea mayor que cuatro. c) El número sea un cuadrado perfecto. 42) Suponga que se tiene una caja con 20 fusibles, de los cuales 5 son defectuosos, se eligen 4 al azar. Calcular la probabilidad de que: a) Dos sean defectuosos. b) A lo más dos sean defectuosos. 43) En un grupo de doce personas, cinco tienen ojos azules, cuatro negros y tres verdes. Si se eligen al azar tres personas, calcular la probabilidad de: a) los tres tengan ojos azules

b) los tres tengan ojos de distinto color c) nadie tenga lo ojos negros d) al menos dos tengan ojos verdes 44) En un examen un estudiante debe responder verdadero o falso, para cada una de las seis preguntas. Suponga que en vez de leer y tomar una decisión antes de responder, él decide responder al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de tener al menos una respuesta correcta? b) ¿Cuál es la probabilidad de tener cinco o seis respuestas correctas? 45) Suponga que un dado equilibrado se lanza seis veces en forma independiente. a) Calcule la probabilidad de que todos los resultados sean diferentes. b) Calcule la probabilidad que la suma de las 6 caras sea un número par. c) Si los primeros 3 lanzamientos fueron números impares, ¿cuál es la probabilidad que la suma de las 6 caras sea par? d) Si la suma de las 6 caras fue par, ¿cuál es la probabilidad de que los 3 primeros lanzamientos sean números impares? 46) Una partida de artículos tiene el 2% de las unidades con peso defectuoso (y quizás también con color defectuoso), el 5% de las unidades con color defectuoso (y quizás también con peso defectuoso) y el 1% tiene defectuoso el peso y color. Una unidad es seleccionada al azar del lote. ¿Cuál es la probabilidad que la unidad sea defectuosa? Observación: la expresión ”selección al azar” significa que la selección es realizada de tal forma que es razonable asignar la misma probabilidad a todos los resultados posibles. 47) En un torneo de fútbol dos equipos A y B juegan entre sí una secuencia de partidos. El primer equipo que gana un total de cuatro partidos se titula campeón del torneo. Si la probabilidad de que el equipo A gane cualquier partido contra B es 1/3, ¿cuál es la probabilidad de que el equipo A sean campeón? Nota: asuma que los equipos no pueden empatar. 48) En la fabricación de baldosines de cerámica se ha detectado que pueden presentarse dos tipos de fallas A y B; A con probabilidad 0.15 y B con probabilidad 0.08. Suponiendo independencia entre los dos tipos de falla, calcule la probabilidad de que un baldosín: a) no tenga ambas fallas b) no tenga fallas c) tenga una sola falla 49) Un sistema electrónico avisa peligro solamente cuando dos de sus tres componentes (A, B, C) fallan. Suponga que la probabilidad que falle A es 0.1, que falle B es 0.15 y que falle C es 0.2. Asuma, además que la falla de C es independiente de las otras dos, mientras que la probabilidad de que falle B sabiendo que ha fallado A es 0.5. Calcular la probabilidad de que el sistema avise peligro. 50) Una caja contiene 6 caramelos de menta y 4 de limón. Se extrae uno al azar: Si es de menta, se lo reemplaza por dos de limón, y viceversa. Luego se vuelve a extraer un caramelo. Calcule la probabilidad de que: a) el segundo caramelo extraído sea de menta. b) el primero sea de menta, si el segundo es de limón. 51) En un proceso de producción un 10% de los ítemes son de baja calidad y un 90% de alta calidad. Suponga que hay independencia entre la calidad de los diversos ítemes. a) Calcule la probabilidad de que los dos primeros ítemes sean de baja calidad y los tres siguientes de alta calidad. b) Recalcule la probabilidad anterior si se sabe que de los 5 primeros ítemes, hay exactamente 2 de baja calidad. 52) Hay un conjunto de cinco instrumentos, de los cuales inicialmente 2 son nuevos y 3 son usados. Estos instrumentos se utilizan en 3 ocasiones distintas. En cada una se selecciona uno de los cinco instrumentos al azar y se repone (si era nuevo pasa a ser usado en lo sucesivo). Calcule la probabilidad de que al final de las tres ocasiones no quede ningún instrumento nuevo. 53) Una caja contiene 5 fichas blancas y 10 negras, se lanza el dado y luego se sacan de la caja (sin reposición) tantas fichas como puntos se obtienen en el dado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todas las fichas sean blancas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el dado haya mostrado un 3 si todas las fichas sacadas fueron blancas? 54) Se lanza una moneda con probabilidad 1/2 que el resultado sea cara. Si aparece una cara, se extraen dos fichas secuencialmente y al azar, de una urna que contiene dos fichas rojas y tres verdes. a) ¿Cuál es la probabilidad que la primera ficha sea roja? b) ¿Cuál es la probabilidad que las fichas extraídas sean de distinto color? 55) Se tiene dos monedas M1 y M2 iguales en apariencia, pero las probabilidades de obtener cara al lanzar cada una de ellas son 1/2 y 1/4 respectivamente. Para el primer lanzamiento se elige una moneda al azar. En cada uno de los lanzamientos siguientes se utiliza la misma moneda del lanzamiento anterior si se ha obtenido cara, en caso contrario se cambia la moneda. Calcule la probabilidad de que: a) en el segundo lanzamiento se utilice la moneda M1 b) se obtenga cara en el tercer lanzamiento

56) Se dispone de tres dados A, B y C. El dado A es equilibrado, mientras que B está cargado a favor de los números impares y C lo está a favor de los números pares. Sea p > 1/2 (resp. q < 1/2) la probabilidad de obtener un número impar al lanzar el dado B (resp. el dado C). El experimento consiste en elegir uno de los dados de acuerdo al siguiente mecanismo que se indica a continuación y luego lanzarlo tres veces (siempre el mismo dado). El mecanismo de selección consiste en lanzar una moneda no equilibrada D (con probabilidad de cara 1/3) y seleccionar el dado A si sale cara; de salir sello se elige B o C con igual probabilidad. a) Calcule la probabilidad de que en el primer lanzamiento del dado aparezca un número par. b) Calcule la probabilidad condicional de que el dado A haya sido seleccionado en la primera etapa si los dos primeros números obtenidos son impares. c) Calcule la probabilidad de obtener un número impar en el tercer lanzamiento si se ha obtenido un número impar en los dos anteriores. 57) En una industria, las unidades son producidas por tres líneas: H 1, H2 y H3 en proporciones 25:35:40. Un 5%, 4% y 2% de las unidades producidas por cada línea, respectivamente, son defectuosas. Las unidades son mezcladas y enviadas a los compradores. a) Determine la probabilidad que una unidad escogida al azar sea defectuosa. b) Si un cliente encuentra una unidad defectuosa, determine la probabilidad que se haya producido en la línea H1. 58) Un dado A tiene cuatro caras rojas y dos caras blancas, por otra parte un dado B tiene dos caras rojas y cuatro caras blancas. Una moneda es lanzada una vez. Si el resultado es cara, el juego continua con el dado A; si es sello, el dado B es usado. a) Demuestre que la probabilidad que salga una cara roja es ½. b) Si en los primeros dos lanzamientos aparece la cara de color rojo. ¿Cuál es la probabilidad que en el tercer lanzamiento la cara sea roja?. c) Si el rojo aparece en los dos primeros lanzamientos, ¿Cuál es la probabilidad que se haya usado el dado A? 59) Durante el mes de noviembre la probabilidad que llueva es de 0.3. El Real Madrid gana un juego en un día con lluvia con probabilidad 0.4, y en un día sin lluvia con probabilidad 0.6. Si ganan un juego en noviembre, ¿cuál es la probabilidad de que llueva ese día? 60) Cierto experimento consiste en lanzar un dado equilibrado dos veces, independientemente. Dado que los dos números son diferentes, ¿cual es la probabilidad condicional de que a) por lo menos uno de los números sea seis? b) la suma de los dos números sea ocho? 61) Considere una urna que contiene doce fichas de las cuales ocho son blancas. Una muestra de cuatro fichas es elegida sin reemplazo. a) Calcule la probabilidad de que la primera y la tercera ficha extraída sean blancas. b) Calcule la probabilidad de que exactamente tres de las fichas sean blancas. c) ¿Cuál es la probabilidad condicional de que la primera y la tercera ficha extraída sean blancas, dado que la muestra contenía exactamente tres fichas blancas? d) Repita lo anterior suponiendo que después de cada extracción la ficha se restituye a la urna. 62) Tres cajas A, B y C contienen instrumentos nacionales (N) e importados (I). La composición de A, B y C es 2N y 4I, 8N y 4I, y 1N y 3I respectivamente. Se selecciona al azar un instrumento de una caja elegida al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un instrumento nacional? b) Si el instrumento seleccionado es nacional, calcule la probabilidad de que provenga de la caja A. c) Con las mismas cajas, suponga que se selecciona un instrumento al azar de cada una de las cajas y que exactamente dos de ellos resultan ser nacionales. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de ellos provenga de la caja A? 63) Una compañía de seguros clasifica a las personas en una de tres categorías: bajo riesgo, riesgo medio y alto riesgo. Sus registros indican que la probabilidad que las personas tengan un accidente durante el año son 0.05, 0.15, 0.30 respectivamente. Si el 20% de la población es de bajo riesgo, el 50% de riesgo medio, y el 30% de alto riesgo, ¿cuál es la proporción de personas que tienen accidentes en un año fijo? Si la póliza tomada por A no tuvo accidentes en 1992, ¿Cuál es la probabilidad que esta persona haya sido de bajo riesgo? 64) Suponga que un dado insesgado es lanzado una vez. Si sale un número impar una moneda honesta es lanzada repetidamente; si sale un número par una moneda sesgada con probabilidad de obtener cara p1/2 es lanzada repetidamente (los lanzamientos de la moneda son independientes en cada caso). Si los n primeros resultados son caras, ¿cuál es la probabilidad de que una moneda insesgada haya sido usada? 65) Una jaula A contiene cinco aves blancas y siete aves negras. La jaula B contiene tres blancas y doce negras. Se lanza una moneda al aire. Si el resultado es cara, entonces un ave de A es seleccionada, mientras que, si el resultado es sello se selecciona un ave de la jaula B. Suponga que el ave seleccionada es blanca. ¿Cuál es la probabilidad que la moneda haya mostrado cara? 66) Hay tres monedas en una caja. Una de ellas tiene dos caras, la otra es normal y la tercera muestra cara con probabilidad 75 %. Se eligió una de las tres al azar, se lanza y se observó cara, calcule la probabilidad que esta sea la moneda de dos caras.

67) Una aerolínea sabe que el 5% de los pasajeros que hacen reservaciones para cierto vuelo no aparecen. Luego, su política consiste en vender 52 pasajes, cuando el avión sólo tiene capacidad para 50. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pasajeros que lleguen al aeropuerto tengan asiento?