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PRESENTACIÓN

En una sociedad cada vez más competitiva, necesitamos formar a los nuevos ciudadanos de manera integral, en este contexto, el proceso educativo es un evento de singular importancia en el que la sinergia de profesores y estudiantes es fundamental, siendo vital el uso de material educativo. El Centro de Estudios Preuniversitario de la Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco, con la finalidad de contribuir con sus estudiantes, ha convocado a sus profesores para elaborar un texto que permita facilitar a los estudiantes el aprendizaje de los conocimientos, que son exigidos para su acceso a la Educación Superior. Tenemos la firme convicción de que el material presentado contribuirá en la preparación de los estudiantes en su propósito de acceder a su profesionalización. El personal Directivo, Docente y Administrativo del CEPRU-UNSAAC expresa su felicitación a los estudiantes, que a través de nuestra institución han logrado ingresar a la Tricentenaria UNSAAC, y compromete sus mayores esfuerzos para que nuestros estudiantes logren prepararse adecuadamente para que en futuro próximo inmediato sean distinguidos antonianos.

EL DIRECTOR

II

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

CEPRU AUTORIDADES -UNSAAC: RECTOR

Dr. Germán Zecenarro Madueño Dr.

VICE RECTOR ACADÉMICO

Pompeyo Cosio Cuentas

VICERRECTORA DE

Dra. Gladys Georgina Concha Flores

INVESTIGACIÓN

DIRECTORIO -CEPRU: DIRECTOR

MSc. Víctor Ayma Giraldo

COORD. ACADÉMICO

MSc. Luis F. Medina Suyo

COORD. ADMINISTRATIVO

Dr. Renné Wilfredo Pérez Villafuerte

COORD. DE CONTROL Y SEGUIMIENTO

Ing. Pablo Apaza Huanca

DOCENTES COORDINADORES -ASIGNATURAS GRUPO C: COMPETENCIA LINGÜÍSTICA

Mg. Roxssana Elvira Arredondo García

ARITMÉTICA

Lic. Mario Palomino Lezama

ÁLGEBRA

Dra. Paulina Taco Llave

FILOSOFÍA – LÓGICA

Mg. Anny Yudith Rivera Vargas

ECONOMÍA

Lic. Pedro Francisco Villanueva Tapia

HISTORIA

Lic. Cristobal Triveños Zela

EDUCACIÓN CÍVICA

Abg. Leonidas Nuñez Alvarez

GEOGRAFÍA

Lic. Maxwell Samuel Rado Cuchills

PERSONAL ADMINISTRATIVO: Lic. Lourdes Arredondo Zárate CPC. Manuel Román Arenas Prof. Américo Farfán Portocarrero DIAGRAMACIÓN: Ing. Dany Jorge Cañihua Florez Ing. Paola Ly Triveño Ramos EQUIPO DE IMPRESIONES-CEPRU: Tec. Wilder Mora Carrillo

Sr. Genaro Anaya Álvarez

Sr. Pedro Checya Bonifacio

Sr. Wilbert Gamero Handa

Sra. Justina León Barrientos

Sra. Elisea Garay Castillo

JEFATURA DEL TÓPICO-CEPRU: Lic. Rosa Farfán Aller

Ciudad Universitaria de Perayoc, Av. de la Cultura 733, Cusco. Se prohíbe la reproducción total o parcial del presente material educativo.

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARI O UNSAAC

ASIGNATURA

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE COMPETENCIA LINGÜÍSTICA

TEMA Nº 1.- EL LENGUAJE HUMANO ..........................................................................................................Pág. 03 TEMA Nº 2.- LA FONOLOGÍA ........................................................................................................................Pág. 08 TEMA Nº 3.- LA FONÉTICA.............................................................................................................................Pág. 12 TEMA Nº 4.- LA SÍLABA .................................................................................................................................Pág. 16 TEMA Nº 5.- EL ACENTO ...............................................................................................................................Pág. 21 TEMA Nº 6.- LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN...............................................................................................Pág. 25 TEMA Nº 7.- EL SUSTANTIVO........................................................................................................................Pág. 30 TEMA Nº 8.- EL PRONOMBRE ......................................................................................................................Pág. 35 TEMA Nº 9.- EL VERBO ..................................................................................................................................Pág. 40 TEMA Nº10.- EL ADJETIVO ...........................................................................................................................Pág. 46 TEMA Nº 11.- EL ARTÍCULO ........................................................................................................................Pág. 51 TEMA Nº 12.- LOS CONECTORES LÓGICOS ............................................................................................Pág. 57 TEMA Nº 13.- LA SINTAXIS ............................................................................................................................Pág. 64 TEMA Nº 14.- LA ORACIÓN GRAMATICAL ................................................................................................Pág. 68 TEMA Nº 15.- EL TEXTO..................................................................................................................................Pág. 72 TEMA Nº 16.- LA LECTURA ............................................................................................................................Pág. 80

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |3

EL LENGUAJE HUMANO Facultad exclusivamente humana la cual posibilita simbolizar y expresar lo que se piensa, siente, etc.

CARACTERÍSTICAS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Universal Racional Aprendido Multiforme Convencional Simbólico Sistemático Cultural

PLANOS DEL LENGUAJE

VARIACIONES LINGÜÍSTICAS

1.

Lengua

1.

Dialecto

2.

Habla

2.

Sociolecto

3.

Idiolecto

EL LENGUAJE CIENTÍFICO

CARACTERÍSTICAS 1. 2. 3. 4. 5.

Precisión Objetividad o neutralidad Universalidad Concisión Claridad

FORMAS

1. 2. 3. 4.

Informe científico Monografía Artículo científico Ensayo

NIVELES

1.

Léxicosemántico

2.

Morfosintáctico

3.

Estilístico

FUENTE: Elaboración propia.

1.1. 

 





 

EL LENGUAJE HUMANO El lenguaje es: La lingüística, que es el estudio científico del lenguaje humano, lo define como la facultad que los hombres tenemos de poder comunicarnos; y para esto, a lo largo de la historia, los seres humanos hemos ido desarrollando diferentes sistemas tanto lingüísticos como no lingüísticos; lo que hace que el lenguaje presente muchísimas manifestaciones distintas en las diversas comunidades: las lenguas o idiomas son las más comunes, pero también están otras que varían según el código y el canal que se esté utilizando;1 así, podemos tener un lenguaje auditivo, uno visual, uno táctil, uno olfativo, uno de las banderas; a los que añadiríamos, el mímico de los sordomudos, el código morse, el de los ciegos o sistema braille, el de las flores, etc.2 Una facultad exclusivamente humana la cual posibilita simbolizar y expresar lo que se piensa, siente, etc. Cualquier sistema o código (palabras, representaciones gráficas, luces, colores, íconos, banderines, indicios, gestos, símbolos, etc.) que el hombre en general utiliza para expresar sus pensamientos, sentimientos, necesidades, conocimientos, proyectos, intereses, etc. Un método exclusivamente humano y no instintivo, de comunicar ideas, emociones, deseos por medio de un sistema de símbolos producidos de manera deliberada. Estos símbolos son ante todo auditivos y producidos por los órganos del habla.3 Descartes, sobre el lenguaje, dice: “El Lenguaje es privativo del ser humano al igual que el pensamiento y constituye un medio para expresarse libremente y para responder en forma adecuada a nuevas situaciones”. Un instrumento, herramienta o medio (lingüístico o no lingüístico) de comunicación entre los hombres. 4 Un sistema de comunicación mediante el cual los individuos de una misma comunidad nos relacionamos y entendemos.5

1

Ya lo dijo Saussure, el lenguaje es “heteróclito y multiforme”, 52, 53. 2 Si bien el lenguaje se compone de lengua y habla (Saussure), no podemos decir “lenguaje español” ni “lenguaje francés”, sino lengua española y lengua francesa, 3 Edward Sapir, El Lenguaje- Introducción al estudio del habla (México: Fondo de Cultura Económica, 1974) ,10-31. 4 Mauricio Swadesh, El Lenguaje y la vida humana, 14-16. 5 Margarita E. LLambias Lozano, Comunicación I (Lima-Perú: Ediciones Jurídicas), 47.

respectivamente.

4| CEPRU2015 

Una facultad propiamente humana que permite la comunicación. Así mismo, es un fenómeno no instintivo, complejo, multiforme, heterogéneo, físico, fisiológico, psíquico individual y social al mismo tiempo. 6 NOTA: Solo el lenguaje articulado o hablado: oral y escrito, constituyen el objeto de estudio de la lingüística.

1.2.

CARACTERÍSTICAS A. UNIVERSAL: Porque todos los seres humanos lo utilizan en su interrelación, lo que significa que los habitantes de todos los continentes de nuestro planeta poseen y utilizan el lenguaje para comunicarse. B. MULTIFORME: Porque el lenguaje se manifiesta de muchas maneras o formas (diversas clases de lenguaje). por ejemplo de forma oral, escrita, gestual, cromática, musical, icónica, etc. C. RACIONAL: Puesto que hacemos uso de nuestra inteligencia y de la razón o raciocinio para comunicarnos. Los hombres construimos y transmitimos los mensajes utilizando el razonamiento. D. APRENDIDO: Puesto que constituye un legado cultural y se adquiere en la sociedad a través de la experiencia. E. CONVENCIONAL: Quiere decir que el lenguaje no es producto individual, por el contrario es el resultado del trabajo comunitario o grupal y para ello es necesario que los integrantes de dichos grupos se pongan de acuerdo o realicen convenios o pactos. F. SISTEMÁTICO: El lenguaje funciona de acuerdo a ciertas normas o reglas que contribuyen a la producción de mensajes de forma ordenada. En el caso del lenguaje oral y escrito tienen una gramática que lo sistematiza. G. CULTURAL: En sentido amplio, cultura es todo aquello que el hombre ha creado tanto en el plano material como en el inmaterial. En consecuencia el lenguaje es una creación humana y con él se puede seguir generando más cultura en todos los ámbitos. H. SIMBÓLICO: El lenguaje es representativo, quiere decir que una palabra, sea oral o escrita, representa o significa algo.

1.3.

PLANOS DEL LENGUAJE A. LA LENGUA  Es el sistema convencional de signos orales, sonidos articulados o palabras que posee una comunidad lingüística para hacer posible la comunicación entre sus integrantes.  Es un código constituido por signos lingüísticos (palabras) y por reglas gramaticales, cuyo conocimiento comparten los hablantes que en ella se expresan oralmente o por escrito.  Es un conjunto de signos convencionales adoptados por los miembros de un grupo social para ejercitar con ellos la facultad universal del lenguaje.  La LENGUA no es más que una determinada parte del lenguaje aunque esencial. Es a la vez un producto social de la facultad del Lenguaje y un conjunto de convenciones necesarias adoptadas por el cuerpo social para permitir el ejercicio de esa facultad en los individuos.7 NOTA: La lengua presenta básicamente cuatro niveles: fonológico, morfológico, semántico y sintáctico. B. EL HABLA  Es el uso oral e individual que cada persona hace de su lengua. En su caracterización intervienen la edad, el sexo, el estado de ánimo, la ocupación y tantos otros factores porque por ejemplo hay diferencias y de hecho se puede distinguir el habla de un varón, de una mujer, de un adulto, de un niño, de un sano, de un enfermo, etc.  No existe lengua sin habla ni viceversa, pues están unidos íntimamente. Recordemos que lengua y habla son dos planos del lenguaje articulado.  Es un acto individual de voluntad e inteligencia, utiliza el código de la lengua para expresar su pensamiento personal. Saussure concluye: “El habla es la que hace evolucionar a la lengua las impresiones recibidas y habla oyendo a los demás, son las que modifican nuestros hábitos lingüísticos. Hay interdependencia de lengua y habla, aquella es a la vez el instrumento y el producto de esta”.

1.4.

DIFERENCIAS ENTRE LENGUA Y HABLA8 LENGUA Sistema. Porque es estructurada y debidamente organizada. Código. Conjunto de elementos que se combinan siguiendo ciertas reglas para dar a conocer algo. Social o colectiva. Utilizada en una comunidad lingüística, un país o un conjunto de ellos. Psíquica, mental o ideal. Pues se halla en las estructuras mentales de los usuarios. Más o menos fija. Conserva sus estructuras fundamentales, a pesar de que por naturaleza cada lengua es evolutiva, cambiante o diacrónica. Perdurable. Porque las lenguas se transmiten de generación en generación proporcionándole duración o larga vida. Latente. Porque aparentemente está inactiva, se halla en forma de conocimiento (teoría) a nivel mental.

HABLA Realización. Viene a ser la materialización de la lengua o del sistema a través de la articulación. Utilización. Hablar es hacer uso del código o sistema de signos. Individual. Cada persona utiliza una lengua de manera propia. Es un sello particular que posee cada individuo al pronunciar. Fisiológica y física. Cuando hablamos entra en funcionamiento nuestro aparato fonador. Libre. Las personas hablamos de manera espontánea, voluntaria y de acuerdo a nuestras necesidades, intereses, gustos, proyectos, etc. Momentánea. Efímera, pues la cadena sonora se percibe únicamente al momento de la pronunciación. Patente. Porque es perceptible, audible, observable (práctica) a nivel concreto o de pronunciación.

1.5.

LAS VARIACIONES LINGÜÍSTICAS La variación de una lengua se manifiesta a través del habla, ya que la lengua como sistema es homogénea, y más bien la variación se evidencia en la forma cómo cada hablante la usa o realiza. Se produce por diversos factores que a continuación estudiaremos. a) EL DIALECTO. Se denomina también variación diatópica, en este caso la lengua varía en el eje horizontal, por factores regionales, geográficos o territoriales.

6 Instituto Nacional de Investigación y Desarrollo de la Investigación INIDE, Lengua Española II (Lima: Ministerio de Educación, 1980) 7 Ferdinand de Saussure, Curso de Lingüística General (Perú: Editorial VLACABO e.i.r.l., 1998), 52. 8 Eugenio Magallanes, Lenguaje y Comunicación (Lima-Perú: Editorial San Marcos, 1998), 79-81.

La variedad dialectal se evidencia en 5 aspectos:  Lexicológico: Cuando se dan variaciones en el vocabulario de una región respecto a otra zona. Ejemplo:  Casaca (Perú)  Chamarra (México)  Semántico: Cuando una misma palabra expresa, en otras regiones, significados diversos. Ejemplo:  Graciosa: mujer bonita (Ica)  Graciosa: mujer con buen sentido del humor (Cusco)  Morfológico: Cuando se aprecian diferencias en la estructura interna de las palabras. Ejemplo:  Ratico (Venezuela)  Ratito (Perú)  Sintáctico: Cuando la variación se da en la estructura de la oración. Ejemplo:  Vivo al frente de la casa de tu amigo  De tu amigo en frente de su casa vivo.  Fonético: relacionado con la entonación y pronunciación. Ejemplo:  Yama (Costa del Perú)  Llama (sierra del Perú) b)

EL SOCIOLECTO. Se le denomina también variación diastrática. El sociolecto se ubica en el eje vertical. De acuerdo con los niveles socioculturales se subdivide en:  Acrolecto. Nivel sociolectal de los sectores altos, educados o cultos.  Mesolecto. Nivel sociolectal de los sectores medios.  Basilecto. Nivel sociolectal de los sectores socioculturales bajos, aquellos que no han tenido acceso a la educación formal.

c)

1.6.

    1.7.

EL IDIOLECTO. Llamado también variación diafásica. Es la variación que sufre determinada lengua a nivel individual, es decir, cada persona tiene su forma peculiar de hablar de acuerdo con las circunstancias, fases o contextos en los que se halla. Se ubica en la intersección de los ejes horizontal y vertical. EL LENGUAJE CIENTÍFICO El lenguaje científico es utilizado en el contexto de la investigación científica, allí donde los científicos al descubrir objetos les atribuyen nuevas terminologías dando origen a tecnicismos en la mayoría de los casos desconocidos por el común de la población. Por tanto, es más difícil expresarlo por escrito que en forma verbal, por lo que la exactitud es una condición. Pertenece a este nivel la terminología técnica y específica que cada ciencia y cada profesión emplea para designar utensilios, objetos, procesos y operaciones. Aunque este lenguaje es de uso exclusivo de especialistas, acaba siendo utilizado con el tiempo por el común de la gente. Por ejemplo: En la lingüística: ablativo, afasia, anáfora, cognado, morfosintaxis, neutralización, pluscuamperfecto, sincretismo, tema, rema, grafema, diasistema, alófono, etc. En las matemáticas: ángulos complementarios, ángulo inscripto, ángulo obtuso, ángulo recto, ángulos suplementarios, axioma, diagonal, dividendo, media, mediana, mediatriz, moda, múltiplo, paralelas, perímetro, permutación, poliedro, polinomio, potencia, probabilidad, producto, etc. En el cine: montaje, doblaje, encuadre, fotograma, plano medio, gran angular, etc. En la navegación: proa, popa, babor, estribor, cabo, mesana, trinquete, vela, timón, ancla, etc. CARACTERÍSTICAS DEL LENGUAJE CIENTÍFICO

a) PRECISIÓN. La precisión científica exige una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto de términos científicos y los elementos del conjunto de nociones, definiciones o conceptos. Tal monorreferencialidad no se cumple en el lenguaje común, en el que puede darse la sinonimia (dos o más términos tienen igual significado) y la polisemia (una misma palabra tiene múltiples significados). En el lenguaje científico se tiende a una fidelidad absoluta al lenguaje literal entendido como opuesto al lenguaje figurado. El precio a pagar por esta precisión absoluta es la falta de brillantez literaria, ya que la necesidad de utilizar siempre el mismo término para referirse a un concepto hace que este se repita una y otra vez en los textos científicos. En un texto normal, en cambio, se buscan equivalentes de cada palabra para no caer en la repetición. b) OBJETIVIDAD Y NEUTRALIDAD. El lenguaje científico está libre de las acepciones, connotaciones o matices afectivos, tan frecuentes en los mensajes del lenguaje común y literario. Pero donde más se revela la neutralidad del lenguaje científico es en la impersonalidad de su exposición, conseguida sobre todo por procedimientos sintácticos: ausencia de formas correspondientes a la segunda persona del singular o del plural, escaso empleo de la primera persona del singular, uso muy frecuente del plural de modestia en la primera persona del plural, empleo, a veces abusivo, de verbos impersonales y de la voz pasiva para eludir la presentación del sujeto de la oración, utilización de imperativos que evitan la apelación directa a la 2ª persona (consideremos, supongamos o definamos). Todo ello encierra el deseo latente de objetivizar cuanto se expone, minimizando o anulando el posible error, fallo o ilusión personal. En definitiva, se pretende sobre todo conseguir la mayor credibilidad y despertar la confianza por parte del lector u oyente. c)

UNIVERSALIDAD. El lenguaje científico es utilizado por la comunidad científica internacional. Por eso, para acuñar un nuevo término hay que atenerse a unas normas terminológicas establecidas, lo que obliga, en muchas ocasiones, a sustituir algunos términos excesivamente particulares o idiosincráticos de una lengua por otros más comprensibles. Esta universalidad tiene enormes ventajas, incluso económicas como en el caso de la aplicación del Sistema Internacional de unidades (SI), las normas DIN, los símbolos de los elementos químicos, la nomenclatura química IUPAC, etc.

d) CONCISIÓN. Se supone que el lenguaje científico tiende a expresar las ideas con el menor número de palabras, huyendo de la retórica o adornos literarios. De ahí la particular propensión a sustituir frases enteras por una única palabra o expresión como por ejemplo raíz cuadrada, combustión, centro de gravedad, radiografía, etc. e)

CLARIDAD. El autor intenta que su mensaje sea comprendido y sacrifica a ese propósito su elegancia estilística.

1.8.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

1.9.

FORMAS DEL LENGUAJE CIENTÍFICO O TIPOS DE TEXTOS CIENTÍFICOS Los textos de temática científica presentan mayor dificultad en la comprensión lectora porque en muchos de ellos se incluyen tecnicismos y explicaciones complejas, por lo que son especialmente cuidadosos con el orden expositivo y la coherencia lógica de lo expuesto, y su terminología específica hace que se usen palabras especializadas propias del ámbito de una disciplina. EL INFORME CIENTÍFICO. El informe científico es un documento en el que se hacen públicos los resultados y conclusiones científicas alcanzadas en relación al problema que dio origen a la investigación de un modo claro, ordenado y estructurado facilitando la comprensión del lector/a. La forma más usual es la tesis de investigación académica. LA MONOGRAFÍA. La monografía es el estudio minucioso, exhaustivo y riguroso sobre un tema o investigación en particular donde se utilizan diversas fuentes por uno o varios autores. En la búsqueda de una monografía se utilizan variadas fuentes primarias y secundarias que encauzan la información adquirida utilizando un fichero para la ordenación bibliográfica en orden cronológico. EL ARTÍCULO CIENTÍFICO. Un artículo científico es un informe escrito y publicado que describe resultados originales de investigación. Esta breve definición debe matizarse, sin embargo, diciendo que un artículo científico debe ser escrito y publicado de cierta forma y teniendo en cuenta la práctica editora, ética científica e influencia recíproca de los procedimientos de impresión y publicación. EL ENSAYO CIENTÍFICO. El ensayo académico es un tipo de composición escrita en prosa que de forma breve, analiza, interpreta o evalúa un tema. En otras palabras, intenta resolver un problema por medio de argumentos. Este tipo de texto trata de responder un interrogante (no necesariamente demostrar una hipótesis), trata de respaldar una tesis por medio de la argumentación o exposición. Este tipo de texto, motiva el pensamiento crítico e independiente de quien escribe, ya que incita al investigador a buscar un problema y su posible solución, así como un análisis profundo e individual de algún tema en particular.9 PONENCIA. Son los textos breves que se destinan a la lectura y discusión colectiva; presentados ante algún evento científico: Seminario, congreso, simposio, etc. TESINA. El texto científico sirve para designar trabajos de corta o mediana extensión, presentados para su evaluación académica.10 NIVELES DEL LENGUAJE CIENTÍFICO

a) NIVEL LÉXICO-SEMÁNTICO. El léxico del lenguaje técnico-científico se caracteriza por ser siempre monosémico, esto es, que tiene un solo significado fijo. La terminología es muy específica, de ahí el abundante uso de tecnicismos, es decir, de palabras especializadas propias del ámbito de una disciplina. Estos se crean mediante diferentes procesos de formación de palabras. Pueden ser préstamos, especialmente del latín (latinismos), del griego (helenismos) o de otras lenguas (extranjerismos), como sucede con: virus, higiene, cloro, chip, software o átomo. También son frecuentes los términos nuevos que se forman por derivación (creación de palabras a partir de prefijos y sufijos) y composición (a partir de bases léxicas de la lengua común). Ejemplos: hidrato, aeropuerto, fibroma, parabrisas, telepatía, etc. b) NIVEL MORFOSINTÁCTICO. Los rasgos morfosintácticos del lenguaje científico y técnico, apoyan su concepción de objetividad y claridad. Por este motivo son frecuentes las estructuras oracionales enunciativas o explicativas. Se prefiere el uso de la tercera persona verbal, haciendo referencias al hablante a través del plural de modestia. El tiempo más adecuado es lógicamente el presente. c)

NIVEL ESTILÍSTICO. A pesar de que la lengua de la ciencia y la tecnología tiene como objetivo principal el de comunicar sin más, sí se ha esforzado por atenerse a una serie de preocupaciones estilísticas y respeto por las normas. En general la concepción expositiva de los textos acoge expresiones ordenadas y lineales, para precisar y delimitarla información. Aunque se use como base un lenguaje ordinario, esto no impide que nos encontremos con textos amenos o elegantes. EJERCICIOS

1.

2.

3.

La forma del lenguaje científico que se refiere al estudio recto y riguroso sobre un tema particular, utilizando fuentes bibliográficas, es: a) La monografía b) El ensayo c) El informe d) El articulo e) La exposición Se denomina variación diastrática, porque: a) Se representa el basilecto y acrolecto b) Está de acuerdo al nivel psíquico - físico c) Influye en el estado de ánimo y el nivel social d) Se presenta en las capas sociales y culturales e) Está en un estrato cultural y psíquico La forma del lenguaje científico que se refiere al estudio recto y riguroso sobre un tema particular, utilizando fuentes bibliográficas, es: a) La monografía b) El ensayo

c) d) e)

El informe El articulo La exposición

4.

Se denomina variación diastrática, porque: a) Se representa el basilecto y acrolecto b) Está de acuerdo al nivel psíquico - físico c) Influye en el estado de ánimo y el nivel social d) Se presenta en las capas sociales y culturales e) Está en un estrato cultural y psíquico

5.

La neutralidad del lenguaje científico se revela en la……………….……. de una exposición: a) Honestidad b) Personalidad c) Rigurosidad d) Imparcialidad e) Subjetividad

9 Socorro Fonseca, Alicia Correa, María Ignacia Pineda, Francisco Lemus, Comunicación oral y escrita (México: Editorial PEARSON EDUCACIÓN S.A. de C.V. 2011), 35010Santos F. Ludeña Segovia, Comunicación 3 (Arequipa- Perú: Ediciones independencia 2015), 171-172.

6.

7.

El concepto El sistema convencional de signos orales de una comunidad lingüística cambia, evoluciona en el tiempo y espacio. Se refiere a la característica de la lengua denominada: a) Perdurable b) Latente c) Colectiva d) Diacrónica e) Sistémica El ejemplo Con su padre, Carlos, salió apurado, pertenece a la variación lingüística denominada: a) Fonética

b) c) d) e) 8.

358.

Semántica Lexicología Sintáctica Morfológica

En la expresión La fidelidad absoluta al lenguaje literal, se aplica una característica del lenguaje científico, denominada: a) Concisión b) Claridad c) Precisión d) Neutralidad e) Objetividad

9.

La expresión La utilización de gran variedad de bibliografía, que encauzan la información técnica, se refiere a: a) El ensayo científico b) El informe científico c) El artículo científico d) La monografía e) La composición académica

10. El enunciado En los textos de temática científica, el tiempo debe estar en presente, corresponde al nivel: a) Léxico – Semántico b) Morfológico – Fonológico c) Fonomonemático d) Morfosintáctico e) Estilístico 11. La expresión Cuando se trata de resolver un problema a través de argumentos, fundamentos; característica que corresponde a la forma del lenguaje científico denominada: a) Artículo Científico b) Informe científico c) Tesis d) Ensayo e) Monografía 12. La expresión En su caracterización interviene el estado de ánimo, trabajo, edad y otros factores, se refiere a: a) El Lenguaje b) El habla c) El idioma d) La lengua e) El código 13. El lenguaje científico-técnico para la formación de sus términos requiere de préstamos del latín, griego y ciertos extranjerismos; característica se refiere al nivel: a) Léxico-semántico b) Estilístico-literario c) Morfosintáctico d) Fonético-fonológico e) Ortográfico-ortológico 14. El lenguaje es: a) El uso oral y personal de la lengua española b) Un sistema de signos orales usados por los peruanos c) La forma correcta de hablar una determinada lengua d) Cualquier código que utiliza el hombre para comunicarse e) Cualquier código lingüístico que usa el hombre de manera cotidiana

15. La definición El lenguaje es el resultado del trabajo comunitario, para ello los integrantes de dichos grupos se ponen de acuerdo, a qué característica del lenguaje corresponde: a) Universal b) Multiforme c) Racional d) Aprendido e) Convencional 16. El lenguaje humano es sistemático por ser: a) Un acuerdo de ciertas reglas o normas lingüísticas b) El resultado de las normas generales del código civil

c) Se manifiesta de muchas maneras o formas d) El resultado del trabajo comunitario e) Parte de la creación humana 17. A medida que los años pasan, el hombre crea tanto en el plano material como espiritual, corresponde a la característica del lenguaje denominada: a) Sistemático b) Cultural c) Racional d) Simbólico e) Universal 18. La lengua es: a) El uso del sistema de signos de la lengua b) Cuando entra en funcionamiento nuestro aparato fonador c) Un código constituido por signos lingüísticos y por reglas gramaticales d) La manera espontánea y voluntaria de hablar de una persona e) Cuando se percibe al momento de la pronunciación 19. Las características del habla son: a) Universal, multiforme, aprendido y convencional b) Grupal, homogéneo, perdurable y latente c) Concreto, universal, aprendido y psíquico d) Individual, libre, patente y momentáneo e) Precisión, objetividad, concisión y claridad 20. El dialecto es: a) La lengua del grupo dominante en términos políticos y económicos b) Cuando una lengua varía en el uso de un lugar geográfico a otro c) La manera de hablar una lengua en el nivel superestándar d) La forma perfeccionada de hablar de un grupo humano e) El tecnicismo de una carrera profesional o ejercicio técnico 21. La diferencia entre el modo de hablar de los peruanos y los argentinos se debe a que ambos manejan diferentes: a) Lenguas b) Léxicos c) Dialectos d) Lenguajes e) Idiomas 22. El ejemplo, Si el Presidente de la República se encuentra en una reunión con los ministros por la mañana, pero por la tarde en la fiesta de piñata de su hijo Samín donde dialoga con sus amistades, la variación lingüística que se aprecia, es el: a) Dialecto b) Sociolecto c) Acrolecto d) Mesolecto e) Idiolecto 23. El léxico y el uso de la lengua por los sectores altos, educados o cultos de una determina sociedad, corresponde al: a) Acrolecto b) Mesolecto c) Basilecto d) Dialecto e) Idiolecto

LA FONOLOGÍA Estudia los sonidos ideales o fonemas, dando importancia a su valor diferencial o distintivo y a la función que desempeñan dentro de una lengua.

UNIDADES

1.

Fonemas

2.

Rasgos distintivos

CLASIFICACIÓN DE LOS FONEMAS

VOCÁLICOS

1. 2. 3. 4.

Por el grado de apertura de la boca (modo de articulación) Por la posición horizontal de la lengua (punto de articulación) Por el grado de sonoridad (timbre de voz) Por el grado de vibración de las cuerdas vocales

CONSONÁNTICOS

1. 2. 3.

Por el punto articulación Por el modo articulación Por el grado de vibración

de de

FUENTE: Elaboración propia

2.1

LA FONOLOGÍA Es parte de la Lingüística que estudia los sonidos ideales11 o fonemas, dando importancia a su valor diferencial o distintivo y a la función que desempeñan dentro de una lengua.

2.2

UNIDADES DE LA FONOLOGÍA12 El fonema es la unidad abstracta carente de significado de la lengua que sirve de modelo imaginario o tipo ideal de los elementos fónicos para la comunicación. Los fonemas, entonces, son las unidades fonológicas más pequeñas en que se puede dividir un conjunto fónico13, su característica principal es la capacidad para diferenciar significados; por ejemplo, no es lo mismo ‘caro’ que ‘carro’ o que ‘cabo’, todas están dentro del campo ‘ca _ o’, pero cambian su significado al cambiar los fonemas. El fonema no es un signo lingüístico, sino una unidad de una sola cara, ya que solo tiene significante y carece de significado. Sin embargo, sirve de base para la creación de unidades significativas del nivel superior, puesto que reúne los rasgos distintivos que permiten diferenciar los significados y construir los significantes de una lengua determinada. Un rasgo distintivo puede definirse como cada uno de los elementos constitutivos de un segmento cuya modificación puede dar lugar a un contraste significativo como en: /peso/, /beso/, /keso/, /yeso/, /seso/. NOTA: En el Español existen 24 fonemas, de los cuales 19 son consonánticos y 5 vocálicos.

2.3       

CARACTERÍSTICAS DE LOS FONEMAS Son unidades de estudio de la fonología. Son unidades mentales, ideales, abstractas. Son limitados o finitos. Constituyen la imagen mental o la huella psíquica del sonido. Carecen de significación por sí solos. Se representan entre dos barras oblicuas: / / Tienen valor diferencial o distintivo en los signos lingüísticos.

2.4

CLASIFICACIÓN DE LOS FONEMAS VOCÁLICOS Y CONSONÁNTICOS

2.4.1. LOS FONEMAS VOCÁLICOS Son fonemas que en su pronunciación no sufren obstáculos en la cavidad bucal, cuando estos sonidos se producen, salen directamente al exterior. Los fonemas vocálicos pueden funcionar por sí solos como palabra y como sílaba y constituye el núcleo silábico.

11

Georges Mounin, Diccionario de Lingüística (España: Editorial Labor, S.A, primera edición, 1979), 80. 12RAE - Nueva gramática de la lengua española-Fonética y Fonología (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2011), 54-56. 13Antonio Quilis y José A. Fernández, Curso de fonética y fonología españolas (Burgos-España: Talleres Gráficos ALDECOA. S.A., 1979, Quinta edición), 9.

CLASIFICACIÓN a) POR EL GRADO DE ABERTURA DE LA BOCA (modo de articulación) Cerradas: /i/, /u/ Semiabiertas: / e /, /o / Abierta: /a/ b) POR LA POSICIÓN HORIZONTAL DE LA LENGUA, (punto de articulación) Anteriores o palatales: /i/, /e/ Central o palatal: /a/ Posteriores o velares: /u/, /o/ c) POR EL GRADO DE SONORIDAD (timbre de voz) Agudas: /i/, l e I Intermedio: /a/ Graves: /u/, /o/ d) POR EL GRADO DE VIBRACIÓN DE LAS CUERDAS VOCALES Sonoros: /i/, /u/, /e/, /o/, /a/

Anteriores

Central

Posteriores

Palatales

Palatal

Velares

ALTAS

/i/

MEDIAS

/u/

/e/

BAJA

Semiabiertas (MEDIA)

/o/

Abierta (MÁXIMA)

/a/

Agudos

Intermedio

Cerradas (MÍNIMA)

MODO DE ARTICULACIÓN

PUNTO DE ARTICULACIÓN

Por el grado de abertura de la boca

Por la abertura entre lengua y paladar

TRIÁNGULO VOCÁLICO (F. Hellwag, 1781)

Graves

GRADO DE SONORIDAD (timbre de voz)

2.4.2. LOS FONEMAS CONSONÁNTICOS Son los fonemas que en su realización sufren interrupciones significativas en la cavidad bucal. Estos fonemas por sí solos no pueden funcionar como palabras ni sílabas ni mucho menos constituir núcleo silábico.

a)

CLASIFICACIÓN POR EL PUNTO DE ARTICULACIÓN. Es el encuentro de un órgano activo con otro pasivo para la producción de un determinado fonema, y son:  Bilabiales. Cuando en la fonación intervienen ambos labios formando los fonemas: / p / , / b / , / m /  Labiodental. Interviene el labio inferior y los dientes (incisivos superiores): /f /  Interdental. Se produce cuando el ápice de la lengua se introduce ligeramente entre los incisivos superiores e inferiores: /z/  Dentales. Cuando el ápice de la lengua toca o se apoya en la cara anterior de los incisivos superiores: / t / , / d /  Alveolares. Se produce este fonema cuando el ápice de la lengua se dirige hacia los alvéolos: / s / , / n / , / l / , / r / , /rr/  Palatales. Cuando el predorso o dorso de la lengua se dirige hacia el paladar medio: / ch /, /II/, /y/, /ñ/  Velares. Cuando la raíz o base de la lengua se dirige hacia el velo del paladar (úvula): /k / , / g / , / j /

b)

POR EL MODO DE ARTICULACIÓN. Se considera a la forma o manera en que se articulan los fonemas.  Oclusivas. Cuando al emitir los fonemas el paso del aire encuentra una oclusión o cierre momentáneo precipitándose luego al exterior con una breve explosión: / p / , / b / , / d / , / t / , / k / , / g /  Fricativas. Cuando al emitir los órganos articulatorios reducen el canal por donde pasa el aire. Luego por la estrechez del canal, el aire pasa friccionando o rozando las paredes internas de la boca: /f / , / z/ , / s / , / y/ , / j / .  Africada. Es aquella que resulta de la combinación de la oclusiva con la fricativa produciendo el sonido: /ch/  Laterales. Cuando en el proceso de fricción el aire no sale por el centro de la boca sino por los costados o carrillos: /l/, /II/  Nasales. Cuando la mayor proporción de los sonidos salen por la cavidad nasal: /m/, /n/, /ñ/  Vibrantes. Cuando al emitir los fonemas, un órgano activo elástico (glotis, úvula, velo del paladar, lengua, etc.) vibran obstruyendo y abriendo el paso del aire repetida y rápidamente: /r/, /rr/

c)

POR EL GRADO DE VIBRACIÓN. Son:  Sonoras. Cuando las cuerdas vocales vibran notoriamente: /b/, /d/, /g/, /y/, /l/, /ll/, /r/, /rr/, /n/, /ñ/, /m/  Sordas. Cuando las cuerdas vocales no vibran: /p / , / t / , / k / , / z / , / f / , / s / , / c h / , / j /

10 | C E P R U 2 0 1 5

CUADRO DE LOS FONEMAS CONSONÁNTICOS (Quilis y Fernández)

Punto Art. BILABIALES Modo de art.

OCLUSIVO S

LABIODENTAL ES

INTER DENTA L

DENTALES ALVEOLARES

PALATALES

VELARES CUERDAS VOCALES

/p/

/t/

/k/

Sordos

/b

/d/

/g/

Sonoros

/j/

Sordos

/f/

/z/

/s/

FRICATIV OS

/y/ /ch/

AFRICAD A

Sonoros Sordos Sonoros Sordos

NASALES /m/

/n/

/ñ/

Sonoros Sordos

LATERAL ES

/l/

/II/

Sonoros Sordos

VIBRANT ES

/r/ /rr/

Sonoros

EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

5.

Los fonemas consonánticos bilabiales son: a) /p/, /b/, /k/, /g/ b) /p/, /b/, /m/ c) /t/, /d/, /m/ d) /k/, /g/, /j/ e) /m/, /b/, /k/ Los fonemas consonánticos / b /, / s /, / k / por el grado de vibración de las cuerdas vocales, son: a) Bilabial, fricativo y velar b) Oclusivos y fricativos c) Bilabial, alveolar y velar d) Sonoro y sordos e) Sonoros y orales La palabra PARQUE, por el punto de articulación presenta vocales: a) Central y palatal b) Central y posterior c) Central, posterior y anterior d) Anterior, intermedio y posterior e) Abierta, cerrada y semiabierta Los fonemas consonánticos velares son: a) /k/, /g/ b) /p/, /b/, /t/, /d/ c) /k/, /g/, /j/ d) /s/, /m/, /n/ e) /ch/, /g/, /k/ Por el modo de articulación, en la palabra FAMILIA, los fonemas consonánticos son: a) Oclusivos y laterales b) Sordos y sonoros c) Fricativo, nasal y lateral

d) e)

Fricativos, bilabial y alveolar Labiodental, nasal y lateral

6.

Por el punto de articulación, en la palabra COMPETENCIA, los fonemas consonánticos son: a) Velares, nasal, dental y bilabial b) Sordos y sonoros c) Velar, nasales, oclusivos y fricativos d) Velares, bilabiales, dental y nasal e) Velar, bilabiales, dental y alveolares

7.

Por el punto de articulación, en la palabra VOCES, los fonemas consonánticos son: a) Bilabial y alveolares b) Bilabial, velar y alveolar c) Oclusivo y fricativo d) Oclusivo, velar y alveolar e) Bilabial y fricativos

8.

Los fonemas consonánticos alveolares son: a) /l/, /s/, /r/ b) /s/, /n/, /r/, /rr/ c) /ll/, /r/, /rr/, /n/ d) /r/, /rr/, /n/, /l/, /s/ e) /r/, /rr/, /l/, /s/

9.

Por el velo del paladar, en la palabra ABAD, los fonemas consonánticos son: a) Sonoros b) Oclusivos c) Nasales d) Orales e) Bilabial y dental

/n/,

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

El fonema es una unidad abstracta carente de significado: a) Del habla b) De la articulación c) Del lenguaje d) De la fonética e) De la lengua El fonema consonántico / ch / por el modo de articulación es resultado de: a) La combinación de la fricativa con la oclusiva b) La combinación de la oclusiva con la fricativa c) La combinación de la nasal con la fricativa d) La combinación de la oclusiva con la bilabial e) La combinación de la fricativa con la lateral La característica que no corresponde al fonema, es: a) Una unidad mental y limitada b) Una unidad concreta e ilimitada c) La huella psíquica del sonido d) Una unidad psíquica y abstracta e) Tiene un valor distintivo Por el grado de vibración de las cuerdas vocales, en la palabra EUCALIPTO, los fonemas vocálicos son: a) Sordos b) Nasal y oral c) Orales d) Sonoros e) Agudos y graves Por el timbre de voz, en la palabra ESTADO, los fonemas vocálicos son: a) Palatal, central y velar b) Semiabiertas y abierta c) Sonoros d) Aguda, intermedio y grave e) Nasal y oral Por el punto de articulación, en la palabra JUEZ, los fonemas consonánticos son: a) Fricativos b) Palatal y dental c) Velar e interdental d) Fricativo y velar e) Sordo y sonoro Por la vibración de cuerdas vocales, en la frase LA MAÑANA, los fonemas consonánticos son: a) Sordos b) Sonoros c) Nasales d) Lateral y nasales e) Alveolares, bilabial y palatal Por el punto de articulación, en la palabra CONVIVENCIA, los fonemas consonánticos son: a) Velar, nasal, bilabial y alveolar b) Velar, alveolar, dental y velar c) Alveolar, dental y nasal d) Velar, bilabiales y nasal e) Velar, alveolares y bilabiales Por el modo de articulación, en la palabra CHINCHAY, los fonemas consonánticos son: a) Africadas y nasal b) Palatales y nasal c) Africada, nasal y palatal d) Africada, alveolar y palatal e) Africada, nasal y fricativo La palabra que solo tiene sonido fricativo es: a) Juan b) Vaso c) José

d) e) 20.

Franco María

El fonema / s / tiene las características de ser: a) Fricativo, sonoro y oral b) Alveolar, fricativo, sordo y oral c) Alveolar, africada, sordo y fricativo d) Sordo, orla, alveolar y africada e) Oral, sonoro, palatal y fricativo

21. Los fonemas consonánticos alveolares son: a) /b/ b) /f/ c) /y/, /ch/, /ñ/, /ll/ d) /t/, /d/ e) /s/, /l/, /r/, /rr/, /n/ 22.

/p/,

Los sonidos /b/, /ñ/, /n/ por el grado de vibración de las cuerdas vocales son: a) Sordos b) Sonoros c) Bilabiales d) Oclusivos e) Fricativos

23. Los fonemas vocálicos anteriores son: a) /a/, /e/, /o/ b) /i/, /u/ c) /a/, /e/ d) /o/, /u/ e) /e/, /i/ 24.

Los fonemas consonánticos /p/ y /d/ por el modo de articulación, son: a) Bilabiales b) Dentales c) Fricativos d) Alveolares e) Oclusivos

25.

En la palabra mita, los fonemas vocálicos por el punto de articulación, son: a) Intermedio y central b) Velar y palatal c) Anterior y central d) Central y posterior e) Cerrada y abierta

26.

La palabra quena, por el punto de articulación presenta fonemas vocálicos: a) Anterior y central b) Velar, palatal y central c) Velar, central y palatal d) Agudo e intermedio e) Palatal y velar

27.

Al pronunciar las vocales, las cuerdas se encuentran cerradas; por lo que hay mayor vibración, por ello son: a) Ocasionalmente libres b) Generalmente trabadas c) Independientes por excelencia d) Eventualmente dependientes e) Sonoras por excelencia

28.

El fonema /k/ por el punto y modo de articulación, es: a) Fricativo - alveolar b) Alveolar - africada c) Velar - nasal d) Alveolar - fricativo e) Velar – oclusivo

29. Los fonemas consonánticos palatales son: a) /y/, /ch/, /ñ/, /ll/ b) /p/, /t/, /k/ c) /y/, /j/, /k/, /ll/ d) /s/, /n/, /ñ/, /l/ e) /k/, /j/, /ñ/, /ll/

12 | C E P R U 2 0 1 5

LA FONÉTICA Estudia los mecanismos de producción, transmisión y percepción de la señal sonora que constituye el habla.

DIVISIÓN GENERAL

DIVISIÓN DE LA FONÉTICA EN

DE LA FONÉTICA

UNIDADES

FUNCIÓN DEL OBJETO DE ESTUDIO

1.

F. Articulatoria

2.

F. Acústica

3.

F. Perceptiva

1. 2. 3.

F. General F. Descriptiva Ortología, ortoepía ortofonía

1. 2.

u

Elementos segmentales Elementos suprasegmental

FUENTE: Elaboración propia

3.1 LA FONÉTICA La fonética es la disciplina que estudia los mecanismos de producción, transmisión y percepción de la señal sonora que constituye el habla14 y sus componentes sonoros. Estos sonidos del habla son sin lugar a duda el elemento primordial del sistema de comunicación humana15. (Rama de la lingüística)  Estudia al significante del signo lingüístico en el plano del habla, es decir a los sonidos articulados (fonos).  Investiga, desde el punto de vista físico y fisiológico, cómo se producen los sonidos articulados: pone su atención en los aspectos fónicos del habla. A la Fonética le interesa más el aspecto material de las unidades fónicas; por eso, dirige su atención al funcionamiento del aparato fonador: respiración, fonación, articulación y estudia las propiedades físico-acústicas del sonido.  La Fonética investiga la sustancia de los sonidos articulados, es decir, estudia la estructura material de los sonidos.  Sirve de base para la determinación de los rasgos distintivos16 3.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS SONIDOS ARTICULADOS O FONOS  Tienen valor desde un punto de vista físico y fisiológico.  Son unidades de estudio de la fonética.  Los fonos se representan entre corchetes.  Son ilimitados.  Son unidades concretas.  Se materializan. DIVISIÓN GENERAL DE LA FONÉTICA17 FONÉTICA ARTICULATORIA FONÉTICA ACÚSTICA (Fisiológica) Estudia la producción de los sonidos del habla mediante la acción del aparato fonador y de los órganos articulatorios.

(Física) Analiza las características físicas de las ondas sonoras que conforman los sonidos de la lengua.

FONÉTICA PERCEPTIVA (Auditiva) Estudia cómo se perciben las ondas. También se ocupa de investigar cómo segmentan, procesan e interpretan los oyentes los sonidos que reciben.

DIVISIÓN DE LA FONÉTICA EN FUNCIÓN DEL OBJETO DE ESTUDIO18 FONÉTICA GENERAL Se basa en el análisis de los mecanismos de producción y de las estrategias de percepción presentes en todas las lenguas del mundo.

FONÉTICA DESCRIPTIVA PROPIAMENTE DICHA Se ocupa de describir los sonidos particulares de las lenguas naturales. Estas pueden adoptar una perspectiva sincrónica o diacrónica (fonética histórica).

ORTOLOGÍA (ORTOEPÍA U ORTOFONÍA) Rama de la fonética que establece las normas convencionales de pronunciación de una lengua.

3.3 UNIDADES DE LA FONÉTICA19 a) ELEMENTOS SEGMENTALES O SONIDOS DEL HABLA - Se ocupa la fonética segmental. - Se define de acuerdo con los criterios articulatorios, acústicos y perceptivos. - Se representan mediante corchetes [ ]

-

Se clasifican en vocales y consonantes.

14 RAE- Nueva Gramática de la lengua española- Fonética y Fonología (España: Espasa Libros, S. L., 2010), 5. 15 Fernando Trujillo Sáez, Antonio González Vázquez, Pablo Cobo Martínez, Elisabet Cubillas Casas, Nociones de Fonética y Fonología para la Práctica Educativa (España: S.L.L. 2002), 32. http://www.editorial-geu.com 16 Universidad Complutense de Madrid, Relación entre Fonética y Fonología (Editorial Jakobson, 2007), 31. 17RAE - Fonética y Fonología, 24-32. 18RAE - Fonética y Fonología, 24. 19RAE - Fonética y Fonología, 24.

Lozano Impresores

b) ELEMENTOS SUPRASEGMENTALES - Corresponden a los elementos fonéticos cuyos efectos repercuten sobre varios segmentos, como la entonación, que comprende todos los sonidos de un enunciado. - La disciplina que se ocupa de estos elementos (acento, ritmo y entonación) es la Prosodia. Los sonidos que se han venido denominando semivocales (vocal i y u al final de un diptongo. Aire, aceite, causa, feudo) y semiconsonantes (vocales i , u en principio de diptongo o triptongo, como en piedra, hielo, huerto, apreciáis, y más propiamente cuando en dicha posición se pronuncian con sonido de duración momentánea, improlongable, abertura articulatoria creciente y timbre más próximo a la consonante que a la vocal), se agrupan, en la tradición académica reciente, bajo la denominación de vocales marginales o satelitales. 3.4 FONÉTICA ARTICULATORIA O FISIOLÓGICA Estudia la producción de los sonidos del habla desde el punto de vista fisiológico; es decir, describe qué órganos orales intervienen en su producción, en qué posición se encuentran y cómo esas posiciones varían los distintos caminos que puede seguir el aire cuando sale por la boca, nariz, o garganta, para que se produzcan sonidos diferentes. Los sonidos del habla se producen mediante la acción coordinada del conjunto de estructuras anatómicas que constituyen el Aparato Fonador y Resonador, por ello estudia cómo se generan los sonidos del habla. Los órganos que lo integran, cumplen también otras funciones fisiológicas vinculadas a la respiración y alimentación. Se relaciona con el emisor. 3.4.1 PARTES DEL APARATO FONADOR Estas son bien diferenciadas en la laringe:20 a) LA CAVIDAD INFRAGLÓTICA O SUBGLÓTICA. Proporciona el flujo de aire necesario para la producción del sonido. Está conformada por el diafragma, los pulmones, los bronquios, la tráquea y la zona subglótica de la laringe. b) LA ZONA GLÓTICA. Aquí se produce la fonación y está constituida por dos pliegues vocales denominados cuerdas vocales. La laringe está formada por nueve cartílagos de formas diferentes, aunque en el proceso de fonación se suelen considerar únicamente cuatro:  El primero de ellos es el cartílago cricoides, tiene forma de anillo de sello, más ancho en su parte posterior que en la anterior y constituyen la base de la laringe, sobre él están situados y articulados el cartílago tiroides y los dos cartílagos aritenoides.  El cartílago tiroides tiene la forma de un libro abierto hacia atrás; en su borde anterior se encuentra una saliente que se denomina nuez, manzana o bocado de Adán.  Los aritenoides son dos cartílagos en forma triangular. Como se indica, desde la parte más saliente de los aritenoides hasta la cara interna del cartílago tiroides se extienden los pliegues vocales. c)

LAS CAVIDADES SUPRAGLÓTICAS. Aquí se articulan los sonidos o fonos. i. En la Cavidad Faringea (Orofaríngea). Se distinguen a su vez tres zonas:  La laringofaringe o hipofaringe, que es la zona de la faringe que conecta con la laringe.  La orofaringe o protofaringe, que está en contacto con la cavidad oral.  La rinofaringe, también denominada como cavum o epifaringe, limita con la cavidad nasal.

Figura 1. Cavidades supraglóticas http://www.editorial-geu.com

ii. La Cavidad Oral. Está conformada por los órganos articulatorios fijos y móviles.  Los fijos o pasivos son los incisivos superiores e inferiores, el maxilar superior, los alvéolos y el paladar duro.  Los móviles o activos son los labios, el maxilar inferior, el paladar blando o velo del paladar, con la úvula y la lengua. iii. La Cavidad Nasal: Se considera como órgano fijo, en donde la articulación consiste en un conjunto de movimientos que tienen lugar en las cavidades supraglóticas durante la producción de los sonidos del habla. 3.5 FONÉTICA ACÚSTICA

Figura 2. El Aparato Fonador Fonética y Fonología, RAE 2011, Pág. 7

Estudia cómo se generan las ondas de transmisión de los sonidos. Se encarga de la estructura física de los sonidos del habla, es decir de analizar las propiedades físicas, lo cual permite distinguir unos de otros. Se ocupa de la medición científica de las ondas sonoras que se crean en el aire al momento de hablar. El sonido es la sensación percibida por el oído cuando las partículas de un medio elástico, que funcionan como transmisor, sufren cambios de presión provocados por el movimiento vibratorio de un cuerpo denominado fuente de sonido. El aire es el medio usual de transmisión del sonido; sin embargo, las ondas sonoras pueden transmitirse también a través del agua. Las ondas sonoras se producen cuando la fuente de sonido entra en vibración y las partículas de aire se ven sometidas alternativamente a:21  Fases de compresión. Tiempo durante el cual la presión soportada es máxima.  Fases de rarefacción. Tiempo el cual la presión es mínima. Se relaciona con el canal. La onda sonora se caracteriza mediante tres parámetros: Duración, frecuencia y amplitud. 22

20RAE - Nueva gramática de la lengua española-Fonética y Fonología, 26-31. 21RAE - Fonética y Fonología, 32. 22RAE- Nueva gramática de la lengua española-Fonética y Fonología, 33.

DURACIÓN

FRECUENCIA

AMPLITUD

Depende de la RAPIDEZ del movimiento, es decir, de cuántos movimientos o ciclos se realizan mediante un tiempo determinado. La unidad de medida es el HERCIO (Hz), que equivale a un ciclo por segundo, es decir, a una fase de compresión y una fase de rarefacción que dura un segundo.

Depende del TIEMPO mediante el cual se prolonga el movimiento vibratorio. La unidad de medida de una onda sonora es el MILISEGUNDO (ms).

Depende de la FUERZA del movimiento vibratorio, fruto de las variaciones en la presión ejercida sobre las moléculas de aire. Cuando la presión es fuerte, la amplitud es grande. La unidad de medida es el DECIBELIO (dB), unidad que relaciona la amplitud del movimiento vibratorio con la intensidad del sonido.

La frecuencia de la onda sonora es más grave o baja cuanto menor es el número de ciclos por segundo, y más aguda o alta cuanto más elevado sea el número de ciclos por unidad de tiempo.

𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝐻�

= 𝑠−1

𝑠

= Figura 3.

Fórmula de la frecuencia http://www.editorial-geu.com.

Figura 4.

Figura 5.

Ondas sonoras

Ondas sonoras - Frecuencia 23

Figura 6.

Ondas sonoras24

https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#imgdii=wnC9QZo2eQidDM%3A%3BwnC9QZo2eQidDM%3A%3BqVvHCNutmz4vwM%3A&imgrc=wnC9QZo2eQidDM%3A

Figura 7.

Ondas sonoras25

Nota: Las ondas sonoras pueden ser simples y complejas.

Onda simple Onda compleja Figura 8.

Ondas sonoras26

23 https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#tbm=isch&q=ondas+sonoras+fisica&imgdii=wnC9QZo2eQidDM%3A%3BwnC9QZo2eQidDM%3A%3BeEKRIp9yxYqymM%3A& grc=wnC9QZo2eQidDM%3A 24 https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo-

im

6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#imgdii=wnC9QZo2eQidDM%3A%3BwnC9QZo2eQidDM%3A%3BqVvHCNutmz4vwM%3A&imgrc=wnC9QZo2eQidDM%3A https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#tbm=isch&q=ondas+sonoras+fisica&imgrc=4wgKn3bIGmWEOM%3A 26 http://www.editorial-geu.com. 25

EJERCICIOS

1.

La materialización de un fonema en el acto del habla se denomina: a) Fonema b) Monema c) Sonido articulado d) Morfema e) Sema

2.

La fonética articulatoria centra su estudio en: a) La transmisión del sonido a través del aire o de otros medios b) El funcionamiento de los órganos bucales para la producción del sonido c) La manera cómo afecta al oído del receptor cada una de las palabras pronunciadas d) Aquellos instrumentos que miden el funcionamiento del oído e) El sonido abstracto o ideal de una determinada lengua grecolatina

3.

La fonética…………….. se encarga estructura…………….. de los sonidos del habla: a) Acústica – mental b) Articulatoria – física c) Perceptiva – segmental d) Descriptiva – física e) Acústica – física

de

11.

Las a) b) c) d) e)

12.

Las ondas sonoras se clasifican en: a) Fonética y fonología b) Simples y complejas c) Fonos y alófonos d) Articulatoria y acústica e) Fonema y fonos

13.

En la cavidad glótica ocurre un fenómeno muy importante. Consiste en la producción del sonido producido por la salida del aire expulsado desde los pulmones y por la vibración de los pliegues vocales, este fenómeno se llama: a) Articulación b) Respiración c) Fonación d) Inspiración e) Espiración

14.

La a) b) c) d) e)

la

vocales o sonidos articulados vocálicos se pronuncian: Sin interrupción en la cavidad bucal Con intervención de los dientes Con intervención de los maxilares Con apoyo de las consonantes Con la intervención de los órganos articulatorios de la boca

fonética analiza los aspectos…… y……. de los……… Distintivo – diferencial – fonemas Semántico – acústico – sonidos articulados Fisiológico – físico – sonidos articulados Físico – fisiológico – sonidos ideales Distintivo – diferencial – sonidos ideales

4.

La afirmación correcta respecto a la fonética es: a) Estudia a los sonidos ideales b) Se representan entre barras / / c) Estudia a los sonidos articulados d) Estudia el valor distintivo de los fonemas e) La vocal asume la función margen silábico

15.

5.

La fonética…….……… estudia las ondas sonoras, mientras que la fonética….………… se ocupa de la segmentación de los sonidos: a) General – descriptiva b) Perceptiva – acústica c) Articulatoria – ortología d) Descriptiva – perceptiva e) Acústica – perceptiva

La fonética estudia del aspecto material o articulado de las unidades: a) Fónicas o fonos b) Fonémicas c) Grafémicas d) Fonológicas e) Sintácticas

16.

La unidad básica de estudio de la fonética es: a) El fono b) La escritura c) La palabra d) El fonema e) El aire

17.

Los fonos son sonidos pertenecientes al plano: a) De la lengua b) De la semántica c) De la fonología d) Del habla e) Del idioma

18.

Cuando los sonidos son descritos según su producción por el aparato fonador y su emisión hacia el receptor, se está ante una perspectiva: a) Generativa b) Fonológica c) Sintáctica d) Morfológica e) Fonética

19.

La……… estudia los sonidos articulados, mientras que la………… se ocupa de las representaciones abstractas, psíquicas o mentales de los sonidos: a) Fonología – Fonética b) Fonética – Morfología c) Fonética – Fonología d) Fonética – Ortografía e) Fonética – Gramática

20.

Las a) b) c) d) e)

6.

7.

8.

9.

10.

La parte de la Lingüística que estudia la pronunciación de los sonidos desde el punto de vista acústico y articulatorio, es la: a) Lingüística b) Fonética c) Gramática d) Fonología e) Ortografía Las unidades segmentales y suprasegmentales son estudiados por la: a) Grafemática b) Fonología c) Fonética d) Ortografía e) Ortología La fonética que estudia cómo segmentan y perciben las ondas es: a) General b) Descriptiva c) Articulatoria d) Acústica e) Perceptiva La fonética articulatoria se relaciona con: a) El canal b) El referente c) El mensaje d) El emisor e) contexto La alternativa correcta respecto a los fonos, es: a) Tienen valor desde un punto de vista distintivo y diferencial b) Tienen valor desde un punto de vista físico y fisiológico c) Se producen sin los contactos entre los órganos d) Son nasales según el modo de articulación e) Se presentan entre barras oblicuas

vocales o sonidos articulados vocálicos se pronuncian: Sin interrupción en la cavidad bucal Con intervención de los dientes Con intervención de los maxilares Con apoyo de las consonantes Con la intervención de los órganos articulatorios de la boca

LA SÍLABA Una unidad estructural que actúa como principio organizador de la lengua.

CONSTITUYENTES

1. 2. 3. 4.

LA SÍLABA Y EL ACENTO

CLASES DE SÍLABAS

SILÁBICOS Núcleo Inicio Coda Rima

1. 2. 3. 4.

S. abierta o libre S. cerrada o trabada S. tautosilábica S. heterosilábica

SECUENCIA VOCÁLICA

1.

1. 2.

S. tónicas S. átonas

PRINCIPIOS DE ORDENACIÓN DE LOS SEGMENTOS

Diptongo

2.

Triptongo

3.

Hiato

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Vocal silábica Vocal satélite Aproximantes Líquidas Nasales Fricativas Africada Oclusivas

FUENTE: Elaboración propia

LA SÍLABA La sílaba es una unidad estructural que actúa como principio organizador de la lengua. Se compone de un conjunto de segmentos sucesivos agrupados en torno al segmento de máxima sonoridad o máxima abertura oral. Este segmento constituye su núcleo y, en español, es siempre vocálico. Cada núcleo de máxima sonoridad identifica una sílaba. Los segmentos que se agrupan con el núcleo en la sílaba forman sus márgenes. La palabra pan, por ejemplo, se estructura como un vocablo monosilábico: la vocal /a/ constituye el pico de sonoridad, y las consonantes /p/ y /n/ son los márgenes consonánticos anterior y posterior del núcleo silábico. En la forma verbal oía, las tres vocales forman tres picos de sonoridad máxima y se organizan en tres sílabas distintas: /o – í – a/. Los sonidos contiguos a los núcleos se agrupan a partir del contraste perceptivo que resulta de su concatenación en la secuencia.27

4.1.

FACTORES QUE INFLUYEN EN LA ASOCIACIÓN DE SEGMENTOS DE UNA SÍLABA 1. Las características generales fonéticas y fonológicas de los sonidos. 2. Su mayor o menor abertura oral. 3. La posición que ocupa en la secuencia.

4.2.

CONSTITUYENTES SILÁBICOS28

4.3.

a) EL NÚCLEO (N), denominado CUMBRE, PICO o CENTRO. Ej.: a – la

clo – a – cas

o–í–a

a – pre – ciáis

b) INICIO (I) o ATAQUE (CABEZA o ABERTURA). El margen silábico anterior, y los segmentos que se hallan en esta posición son segmentos en posición explosiva (anterior). Ej.: Cla – ro

be – so

c)

pe – so

pron – to

CODA (C). El margen silábico posterior, y los segmentos que se presentan en esta posición son segmentos en posición implosiva (posterior). Ej.: mal – dad co – men pa – red vals puen – te

27

RAE - Ortografía de la lengua española (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 284. RAE - Ortografía de la lengua española, 289.

28

d) RIMA SILÁBICA (R). El núcleo y la coda pueden agruparse en un único constituyente, cuya composición es determinante para algunos investigadores en la asignación del acento léxico.

Ơ (sílaba)

I [nicio]

R[ima]

N[úcleo]

C[oda]

Figura 9.

Figura 10.

Figura 11.

Estructura de la sílaba29

Estructura silábica de la palabra vals [‘bals]30

Estructura silábica de la palabra cloacas [klo.’a. kas]31

CLASES DE SÍLABAS a) SÍLABAS ABIERTAS O LIBRES. Las sílabas que están desprovistas de coda (CCV, CV, V). Ej.: pri – ma – ve – ra pi – za – rra ca – mi – sa me – sa

4.4.

b) SÍLABAS CERRADAS O TRABADAS. Las sílabas que poseen coda(VCC, VC, CVC, CCVC, CCVCC, CVVC, CVCC, VVC) Ej.: cris – tal cons – tar al pas – tel – mas pin – tar trans – por – tar c)

SÍLABAS TAUTOSILÁBICOS. Cuando dos elementos pl, pr, cl, cr, fl, fr, bl, br, gl, gr, tl, tr). Ej.: plo – mo clo – ro cre – cer fle – ma fru – ta blan – co hioi – des

contiguos pertenecen a la misma sílaba (diptongos, triptongos y las combinaciones: bru – ma glo – bo gru – ta A – tlán – ti – co tru – cha ar – ma – rio vien – to

d) SÍLABAS HETEROSILÁBICOS. Si dos segmentos consecutivos se integran en sílabas diferentes (hiato). Ej.: ma – íz o – í – do es – pon – tá – ne – o es ve – he – men – te ba – – pí – a úl al – co – hol le – o 29

RAE - Ortografía de la lengua española, 289. 30 RAE - Ortografía de la lengua española, 290. 31 RAE Ortografía de la lengua española, 290.

ai – re puer – ta au – la pei – ne cam – biáis

4.5.

SECUENCIAS VOCÁLICAS: DIPTONGOS, TRIPTONGOS, HIATOS 32 Dentro de una misma palabra es posible encontrar secuencias de dos, tres, cuatro y hasta de cinco vocales seguidas, que pueden agruparse en la pronunciación de diferentes maneras, formando o no partes de las mismas sílabas.

4.5.1. DIPTONGOS Son secuencias de dos vocales que se pronuncian en la misma sílaba. En español, los diptongos pueden estar constituidos por las siguientes combinaciones vocálicas: a) Una vocal abierta (a, e, o) precedida o seguida de una vocal cerrada átona (i, u): vien – to vio ai – re an – cia – no cuan – to hay cua – tro pien sue – lo de – béis – so an – ti – guo boi – na b) Dos vocales cerradas distintas (i, u): ciu – dad lin – güís – ti – ca muy

es – toy au – lli – do Eu – ge – nio es – ta – dou – ni – den – se

ca – suís – ti – ca rui – do

4.5.2. TRIPTONGOS Son secuencias de tres vocales pronunciadas dentro de la misma sílaba. En español tienen necesariamente que estar constituidos por una vocal abierta (a, e, o) precedida y seguida de una vocal cerrada átona (i, u): U – ru – guay con – fiéis es – tu – diáis am – pliáis a – tes – ti – güéis miau viei – ra a – pre – ciéis ra – dioi – só – to – po a – go – biáis 4.5.3. HIATOS Son secuencias de dos vocales que se pronuncian en sílabas distintas. En español, constituyen hiatos desde el punto de vista articulatorio las siguientes combinaciones: a) Una vocal cerrada tónica (i, u) seguida o precedida de una vocal abierta átona (a, e, o): Po – dí – a Pun – tú – e Rí – o Flú – or Des – ví – e Ra – íz Pú – a Re – ír b) Dos vocales abiertas (a, e, o): ca – er a – ho – go c)

4.6.

Dos vocales iguales: al – co – hol I – sa – ac ve – he – men – te

ro – er te – a – tro

bar – ba – co – a bo –a

al – ba – ha – ca re – e – le – gir chi – i – ta

lo – or Ro – ci – i – to du – un – vi – ra – to

LA SÍLABA Y EL ACENTO: SÍLABAS TÓNICAS Y SÍLABAS ÁTONAS Dependiendo de sí en la palabra de la que forman parte se pronuncian con acento o sin él, se distinguen dos tipos de sílabas: a) Sílabas tónicas. Las que portan el acento léxico o primario. Ej.: car – te – LE – ra a – MI – go a – ZÚ – car pre – si – DEN – te es – pon – TÁ – ne – o BRÚ – ju – la b) Sílabas átonas. Las que carecen de acento léxico. Ej.: RE – loj A – ni – LLO VEN – ta – NA plá – TA – NO

4.7.

mó – VIL AN – dén

PRINCIPIOS DE ORDENACIÓN DE LOS SEGMENTOS EN LA SÍLABA “En el dominio de la sílaba, los sonidos se organizan de acuerdo con la ESCALA UNIVERSAL DE SONORIDAD. Como se observa en la figura, esta escala establece que las vocales silábicas son las unidades más perceptibles, por ser las más abiertas. Siguen, en orden decreciente de sonoridad, las vocales satélites o marginales (tradicionalmente llamadas semivocales y semiconsonantes), los elementos aproximantes, los líquidos, los nasales y los obstruyentes; dentro de estos últimos, las consonantes fricativas son más perceptibles que las consonantes africadas y oclusivas debido a su mayor abertura”33

Vocales silábicas

Vocales satélites

+ PERCEPTIBLE

Aproximantes

Líquidas

RAE - Ortografía de la lengua española, 196-200. RAE - Ortografía de la lengua española, 287. RAE - Ortografía de la lengua española, 287.

Nasales

Escala universal de sonoridad

Figura 12.

32 33 34

E – go – ís – ta Ta – húr Fe – ú – cho Fi – no – ú – grio

Escala universal de sonoridad34

Fricativas

Africada

- PERCEPTIBLE

Oclusivas

“El núcleo silábico es el segmento caracterizado por la máxima sonoridad y la máxima abertura oral y, como ya se ha señalado, en español es siempre vocálico. El resto de los elementos que se integran en una misma sílaba debe presentar un grado de sonoridad menor que el núcleo, de forma que la sílaba puede estar compuesta por una sola vocal, o bien por una vocal y otros elementos (vocales satélites o marginales y consonantes aproximantes, líquidas, nasales, fricativas, africada u oclusivas). Existen, además, principio que condicionan la posición y la combinación de los segmentos en la sílaba, pues, en general, la sonoridad de estos disminuye progresivamente desde el núcleo hacia los márgenes”35 La disminución gradual de sonoridad desde el núcleo silábico hacia los márgenes se produce tanto hacia el margen anterior como hacia el margen posterior.

Ejemplo:

Tran s

Margen silábico explosivo (sonoridad decreciente)

4.8.

t=

oclusivo (segmento menos perceptible) r = consonante líquida (segmento más perceptible) a = núcleo (totalmente perceptible) n = nasal (segmento más perceptible) s= fricativo (segmento menos perceptible)

– por – te

Margen silábico implosivo (sonoridad decreciente)

N

TIPOS DE SÍLABAS36 Los sistemas fonológicos se describen tanto por los segmentos que los forman y sus características como por las posibilidades de combinación, que se establecen entre ellos. Nota: Se usan las abreviaturas (V) para vocal silábica, (C) para consonante y (S) para vocal satélite o marginal.

V

ala

a-la

CV

pisa

pi-sa

SV

hiere

h i e-re

VC

as

as

VS

hoy

ho i

CVC

mal

Mal

CVS

soy

so i

SVC

huésped

CCV

plato

pla – to

CSV

tiene

VCC

instaurar

t i ene ins-tau-rar

VSC

austral

CCVC

tren

Tren

CCVS

pleito

ple i -to

CCSV

industria

CSVC

viento

v i en-to

CSVS

buey

Bue i

CSVSC

cambiáis

CVCC

constar

cons – tar

CVSC

veinte

ve i n-te

CCVCC

transportar

CCVSC

claustro

CCSVC

industrial

hués-ped

aus-tral

in-dus-tr i a

cam-b i á i s

trans – por – tar

claus-tro in-dus-tr i al Figura 13.

35 36 37

NOTA: Las palabras que tienen dos sílabas tónicas se denominan DITÓNICAS y son los adjetivos adverbializados que terminan en MENTE, y las palabras compuestas mediante guion o sin guion. Casualmente, físico-químico, casaquinta.

RAE - Ortografía de la lengua española, 287. RAE - Ortografía de la lengua española, 293. RAE - Ortografía de la lengua española, 293-294.

Tipos de sílabas en el dominio de la palabra37

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 21 EJERCICIOS 1.

A la separación de denomina: a) Hiato b) Diptongo c) Triptongo d) Coda e) Cabeza

2.

vocales contiguas se

11.

La palabra pensar presenta sílabas: a) Cerradas b) Abiertas c) Libres d) Incomplejas e) Ascendentes

Las sílabas que terminan en vocal, es decir sin coda, se denominan: a) Cerradas b) Trabadas c) Abiertas d) Tónicas e) Átonas

12.

El es: a) b) c) d) e)

3.

Las palabras lentamente, ágilmente son………… porque poseen…………… a) Abiertas sílabas directas b) Ditónicas dos acentos c) Alternas sílabas cerradas d) Abiertas sílabas idénticas e) Cerradas sílabas cerradas.

13.

El enunciado La ciudad de Ayacucho se transforma en un sensible espacio religioso durante la semana santa, presenta la siguiente cantidad de diptongos: a) 5 b) 8 c) 3 d) 6 e) 4

4.

La palabra perdiz tiene sílabas: a) Abiertas b) Libres c) Cerradas d) Incomplejas e) Mixta

14.

La es: a) b) c) d) e)

5.

6.

7.

8.

9.

10.

La secuencia de palabras que presentan únicamente diptongos, es: a) León, búho, poeta, caoba b) Miau, huayno, eucalipto, piojo c) Canoa, oído, caudales, cueva d) Juguete, aguinaldo, quena, guitarra e) Iguana, ambiguo, ahijada, prohibir Cuando dos segmentos consecutivos se integran en sílabas diferentes, se denominan: a) Tautosilábicos b) Heterosilábicos c) Homosilábicos d) Intrasilábicos e) Rimas silábicas Las palabras grúa, ahora, reemplazar, tiito son: a) Hiatos b) Diptongos c) Triptongos d) Tautosilábicos e) Átonos El grupo de palabras constituidos solo por sílabas libres o abiertas son: a) Máscara, cartuchera, cuaderno, pistola b) Puerta celular, lápiz, duerme c) Libro, mochila, sílaba, brújula d) Estudiante, cantante, primavera e) Discos, silla, árbol, partir Las sílabas que carecen de acento, se denominan: a) Átonas b) Tónicas c) Abiertas d) Cerradas e) Diptongos La palabra que presenta diptongo, es: a) Rehúye b) Geografía c) Bloque d) Lingüística e) Azahar

grupo de palabras que presenta solo hiato acentual, Destruir, frío, aún Ataúd, búho, María Dios, cueva, viuda Ahora, paisaje, cuadro Día, puente, hueco

palabra que no presenta ningún tipo de diptongo, Cuidado Avión Violín Murciélago Querubín

15.

La alternativa correcta respecto al diptongo, es: a) Un triptongo puede tener dos vocales fuertes b) Un diptongo homogéneo está formado por una vocal débil y otra fuerte c) Un hiato solo se forma a partir de dos vocales fuertes d) Una vocal fuerte y una débil jamás se separan e) N.A

16.

La palabra que presenta el ordenación CVC se aprecia en: a) Óptica b) Cuaderno c) Soy d) Sol e) Cuerno

17.

Un constituyente silábico es: a) El diptongo b) La coda c) El hiato d) El triptongo e) La sílaba

18.

Las sílabas que poseen coda se denominan: a) Cerradas b) Tautosilábicas c) Heterosilábicas d) Abiertas e) Tónicas

19.

Las palabras cuadro, cueva y piojo; presentan diptongos: a) Descendentes b) Acentuales c) Homogéneos d) Crecientes e) Decrecientes

20.

Cada núcleo de máxima sonoridad, identifica una: a) Sílaba b) Inicio c) Ataque d) Coda e) Rima silábica

principio

de

EL ACENTO La mayor prominencia con la que se emite y percibe una sílaba con respecto a las de su entorno.

1.

Acento gráfico tilde Acento prosódico

2.

REGLAS DE ACENTUACIÓN GRÁFICA

FUNCIONES DEL ACENTO

CLASES DE ACENTO

1. 2. 3.

o

F. Contrastiva F. Distintiva F. Culminativa

REGLAS GENERALES 1. P. Monosilábicas 2. P. Polisilábicas  Agudas  Graves o llanas  Esdrújulas  Sobresdrújulas

REGLAS ESPECIALES

1. 2. 3. 4.

Tilde diacrítica monosílabos Acentuación palabras con hiato Tilde diacrítica pronombres relativos Acentuación palabras compuestas

FUENTE: Elaboración propia

5.1

EL ACENTO El acento consiste en la mayor prominencia con la que se emite y percibe una sílaba con respecto a las de su entorno. En concreto, el acento pone de relieve una determinada sílaba, formada, por lo general, por uno o más fonemas, con respecto a las demás sílabas de una palabra. Ejemplos. 

5.2



constituCIÓN

SÍlaba



voCAblo

EL ACENTO GRÁFICO O TILDE El sistema de acentuación gráfica está constituido por un signo diacrítico, denominado tilde (´), acento gráfico u ortográfico. Ejemplos. 



VolveRÉ

LÍder



SÍMbolo

No todas las palabras tónicas se escriben con una tilde sobre su sílaba tónica. Son las reglas de acentuación gráfica las que determinan la presencia o ausencia de tilde. 5.3

EL ACENTO PROSÓDICO Al pronunciar aisladamente cualquier palabra polisílaba, no todas las sílabas que la componen se emiten y se perciben con el mismo relieve. Una de ellas destaca en el conjunto y resulta más perceptible que las demás. Esa diferencia en la pronunciación de una determinada sílaba, que establece un contraste entre ella y el resto de las que integran la palabra, recibe el nombre de acento. La marca acentual se determina de manera relativa por el contraste que se produce entre la pronunciación de unos segmentos de la cadena hablada y otros. Es un rasgo prosódico que remarca un sonido o grupo de sonidos en la palabra.

5.4

FUNCIONES DEL ACENTO DEL ACENTO PROSÓDICO38

a) FUNCIÓN CONTRASTIVA (Eje sintagmático) Se realiza en el interior de la cadena hablada y permite establecer un contraste o diferenciación entre unidades lingüísticas acentuadas e inacentuadas. Ejemplo: Físi–ca (en una palabra) Tónica

átona

átona

DUERmo tan BIEN como SUEño. (También en oraciones) b) FUNCIÓN DISTINTIVA (Eje paradigmático) Permite diferenciar palabras que solo se distinguen fónicamente entre sí por la presencia o ausencia de tonicidad. En la lengua española, el acento tiene valor fonológico, porque establece diferencias significativas entre las palabras. Por ejemplo: pú-bli-co (sustantivo), pu-bli-co (verbo), pu-bli-có (verbo) re-vól-ver (sustantivo), re-vol-ver (verbo) can-to (substantivo), cantó (verbo) 38

RAE- Ortografía de la lengua española (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 193.

de de en de

22 | C E P R U 2 0 1 5 c)

FUNCIÓN CULMINATIVA Esta función se pone de manifiesto en la cadena hablada y es la que permite percibir los diferentes grupos acentuales que componen el discurso. Estos grupos acentuales están constituidos siempre por una sílaba tónica y la sílaba átona de su entorno que se apoya en ella, y que pueden formar parte o no de la misma palabra. Ejemplo: Si te aCUERdas, Díselo. En el ejemplo existen dos grupos acentuales: en el primero las sílabas átonas si, te, a y –das se pronuncian apoyadas en la sílaba tónica CUER; y en el segundo, las sílabas átonas –se- y –lo se apoyan en la sílaba tónica DÍ.

5.5

REGLAS DE ACENTUACIÓN GRÁFICA39 REGLAS GENERALES  LA ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS MONOSILÁBICAS Las palabras de una sola sílaba nunca se acentúan gráficamente, salvo en los casos de tilde diacrítica. Así estos monosílabos no tiene tilde: mes, bien, sol, ve, ya, son, fe, fue, etc.  LA ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS POLISÍLABAS Se aplican en función de sí son agudas, llanas, esdrújulas o sobresdrújulas.

5.6

ACENTUACIÓN GENERAL 5.6.1. ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS AGUDAS (OXÍTONAS). Son aquellas cuya última sílaba es tónica. a) Las palabras agudas llevan tilde cuando terminan en los grafemas consonantes “n” o “s” o en cualquier vocal. Por ejemplo: Razón, compás, comité, iglú, además, mirarán b) No llevan tilde en los siguientes casos: - Cuando terminan en grafema consonante distinto de “n”, “s” o en vocal: Amistad, trigal, escribir, actriz, bondad, considerar - Cuando terminan en consonantes dobles: Zigzags, mamuts, confort - Cuando terminan en el grafema “y”: Virrey, convoy, carey, caray, Paraguay, bocoy, estoy, tepuy, cocuy 5.6.2.

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS GRAVES O LLANAS (PAROXÍTONAS). Son aquellas cuya penúltima sílaba es tónica. a) La palabras llanas se escriben con tilde en los siguientes casos: - Cuando terminan en un grafema consonántico distinto de “n”, “s” o vocal: Ángel, tórax, lápiz, tóner, inútil, azúcar, Tíbet, crómlech, referéndum - Cuando terminan en consonantes dobles o triples: Bíceps, fórceps, récords, cíborg, wéstrn, clárens - Cuando terminan en el grafema “y”: Yóquey, yérsey, póney No llevan tilde: compost, tuaregs, piolets

b) Las palabras graves no llevan tilde cuando terminan en las consonantes “n”, “s” o en vocal. Por ejemplo: Margen, crisis, lata, libro, tribu, resta, callejeros, hacen, bici, parque

5.7

5.6.3.

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS ESDRÚJULAS (PROPAROXÍTONAS). Son aquellas cuya antepenúltima sílaba lleva tilde. Ejemplos: Análisis, rápido, tónica, pacífico, génesis, válvula, cóselo, hábitat

5.6.4.

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS SOBRESDRÚJULAS (SUPERPROPAROXÍTONAS): Son aquellas cuya preantepenúltima lleva tilde. Por ejemplo: Recítaselo, recógemelo, leyéndosela, dígansenoslo, propóngasemelo, imagíneselas

LA ACENTUACIÓN ESPECIAL40 5.7.1 LA TILDE DIACRÍTICA EN PALABRAS MONOSILÁBICAS La regla de acentuación gráfica de las palabras monosílabas prescribe que estas se escriban sin tilde. Constituyen una excepción a esta regla general en un grupo de palabras monosílabas tónicas de uso frecuente que se oponen a otras formalmente idénticas, pero de pronunciación átona. Tienen la misma escritura pero cumplen distinta función gramatical y poseen significados distintos. Tenemos: TÚ= pronombre personal (2da P.G.) Tú eres mi mejor amigo. TU= adjetivo posesivo. Tu casa es bonita. Él= Pronombre personal (3° P. G.) Él es el alumno que ganó el premio. EL= Artículo determinante. El profesor no vino hoy. MÍ = pronombre personal (1° P.G) A mí me gusta el orden. MI = adjetivo posesivo. Sust. (Nota musical). Mi mochila está rota. Empieza en mi menor. SÍ = Adverbio de afirmación, Pronombre personal (3° P.G). Adverbio sustantivado. Sí, comprendí todo. Volvió en sí después de un minuto. SI = Conjunción condicional. Sustantivo (nota musical) Si estudias ingresarás a la universidad.

39 40

RAE - Ortografía de la lengua española, 231-241. RAE - Ortografía de la lengua española, 242-275.

TÉ = Sustantivo. El té se enfría, apúrate. TE = Pronombre personal (2da P. G.) Te invito al teatro, querida amiga. DÉ =Forma del verbo dar. Dé gracias a que estoy de buen humor. DE = Preposición. Sustantivo (letra) Ella es de Puerto Maldonado. Borra la letra “de”. SÉ = Forma del verbo ser – saber. Sé que puedo mejorar en todo. SE = pronombre personal (3° P.G) Se cayó del tercer piso. MÁS = Cuantificador (adverbio, adjetivo o pronombre. Él quiere más tiempo para estudiar. Canta más bien que mal. MAS = conjunción adversativa equivalente a pero. Fuimos al estadio, mas no ingresamos.

5.7.2

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE PALABRAS CON HIATO Las palabras con hiato se acentúan gráficamente según las siguientes pautas: a) Las palabras con hiato llevan siempre tilde en la vocal cerrada, con independencia de las reglas generales de acentuación. Ejemplos: Serías, sabías, mío, actúe, búhos, oído, sabíais, desvíen, cacatúa, reído (llevan tilde a pesar de ser llanas terminadas en –n, -s o vocal) Raíz, oír, baúl, Raúl, maíz, reír, oír, laúd, tahúr (se tildan aun siendo agudas terminadas en consonantes distintas de n o s) b) Las palabras que incluyen cualquier otro tipo de hiato se someten a las reglas generales de acentuación. Así: Jaén, traerás, acordeón, peleó, Noé, rehén o chií (lleva tilde por ser voces agudas terminadas en –n, -s o vocales) Caer, baobab, soez o alcohol (no llevan tilde por ser agudas terminadas en consonante distinta de n o s) Bóer, Sáez o afrikáans (se acentúan gráficamente por ser palabras llanas terminadas en consonantes distintas de n o s, o en dos consonantes) Paella, vean, ahora, anchoa, museo, poetas o chiitas (se escribe sin tilde por terminar en –n,-s o vocal) Aéreo, línea, océano, caótico, coágulo, teórico, héroe o zoólogo (llevan tilde por ser esdrújulas)

5.7.3

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS CON DIPTONGO Las palabras que contienen diptongos ortográficos se acentúan gráficamente según las reglas generales de acentuación. Así: Sainz, cian, veis, pie, soy, dio, truhan, dual, fue, cruel, muon, siux, hui (no llevan tilde por ser monosílabas) Nupcial, bailar, Javier, posterior, autor, deshuesar, feudal, rehuir, ciudad, pierrots, tuaregs, virrey o estoy (no lleva tilde por ser agudas terminadas en consonantes distintas de n o s, en más de un grafema consonántico o en –y) Rufián, bonsái, habláis, recién estéis, desvió, averigüé, licuó, derruí o interviú (lleva acento gráfico por ser agudas terminadas en –n,-s o vocal) Reinan, aguantan, clientas, contabais, peinasteis, huerto, ingenuas, inocuo, fortuito, incluido o diurno (no lleva tilde por ser llanas terminadas en –n,-s o vocal) Estiércol, máuser, huésped, médiums, sóviets o yóquey (lleva tilde por terminar en consonante distinta de n o s, en más de un grafema consonántico o en –y) Diálogo, ciénaga, áulico, demiúrgico o lingüística (se acentúan gráficamente por ser esdrújulas)

5.7.4

TILDE DIACRÍTICA EN QUÉ, CUÁL, QUIÉN, CÓMO, CUÁN, CUÁNTO, CUÁNDO, DÓNDE, Y ADÓNDE La palabras tónicas qué, cuál, quién, cómo, cuán, cuánto, cuándo, dónde y adónde se escriben con tilde diacrítica para diferenciarlas de sus homónimas átonas. Como ocurre en todos los casos de tilde diacrítica, estas formas tónicas son palabras que no deberían tildarse según las reglas generales de acentuación; la función de la tilde no es identificar la posición de la sílaba tónica, sino prevenir su confusión con aquellas otras formalmente idénticas, pero de pronunciación átona y distinto valor y función.

a)        

ESCRITURA CON TILDE. Estas palabras se escriben con tilde cuando pertenecen a la clase de los interrogativos o exclamativos. ¿Qué animal es aquel? ¡Qué calor! ¿Cuál es tu nombre? ¿Quién te ha hecho esto? ¡Quién pudiera volver a ser joven! ¿Cómo te olvidaste? ¡Cómo te agradezco que hayas venido! ¿Cuán firme es tu determinación?

NOTA: los interrogativos y los exclamativos pueden ir precedidos por una preposición sin dejar de ser tónicos ni de escribirse con tilde.  ¿Por qué ha dicho eso?  ¡Con qué poco te conformas!  ¿Hasta cuándo estás dispuesto a seguir? Así mismo, existen interrogativas y exclamativas indirectas: Preguntó qué tenía qué hacer para ir al centro. Aún no ha decidido con quién asociarse. Dime cuánto vas a tardar. Me preocupa cómo encontrar financiación. Mira qué fácil. Hay que ver cuánto has crecido. Es indignante cómo lo tratan. b)

ESCRITURA SIN TILDE. Estas mismas palabras se escriben siempre sin tilde en los casos siguiente: Cuando funciona como relativos Ha colocado en el jarrón las flores que trajiste. Conozco a la chica con quien trabajas. Sigue ahí donde lo dejaste. Cuando funciona como conjunción Insistió en que debíamos continuar. Miente tanto como habla. La casa estaba en un lugar tan apacible cuanto bello.´ Cuando funciona como preposición Te digo como amigo. Mis padres se vinieron a Madrid cuando el terremoto de Lisboa. Se detuvo a descansar donde el obelisco. Llevaba el pelo como mal peinado.

5.7.5 ACENTUACIÓN GRÁFICA DE FORMAS O EXPRESIONES COMPLEJAS a) PALABRAS COMPUESTAS Escritas en una sola palabra se someten a las reglas de acentuación como si fueran voces simples:  Hinca + pie = hincapié (con tilde por ser palabra aguda terminada en vocal)  Veinte + dos = veintidós (con tilde por ser palabra aguda terminada en -s)  Balón + cesto = baloncesto (sin tilde por ser palabra llana terminada en vocal)  Arco + iris = arcoíris (con tilde por contener un hiato)  Tío + vivo = tiovivo (sin tilde por ser palabra llana terminada en vocal)

b) ADVERBIOS TERMINADOS EN –MENTE Los adverbios de este tipo se forman por la adición a un adjetivo del elemento compositivo –mente. Estas palabras presentan de manera excepcional dos sílabas tónicas, la del adjetivo base y la de la terminación.  Integra + MENte = INtegraMENte  TranQUIla + MENte = tanQUIlaMENte  Cortés + mente = fortésmente  Fácil + mente = fácilmente  Rápida + mente = rápidamente  Normal + mente = normalmente  Breve + mente = brevemente c) FORMAS VERBALES CON PRONOMBRES ENCLÍTICOS Cuando los pronombres átonos (me, te, se, lo/s, la/s, le/s, nos, os) van pospuestos al verbo, se escriben unidos a este formando una sola palabra gráfica. El acento prosódico de la palabra resultante coincide con el de la forma verbal, único elemento tónico presente en estas formas complejas:  DI + me = Dime  arrepinTIENdo + se = arrepinTIÉNdose  leER + os + lo = leÉRoslo  COma + se + lo = CÓmaselo EJERCICIOS 1.

La palabra monosílaba que en algunos casos se tilda y en otros no, es: a) Me b) Vio c) Fue d) Ti e) Si

2.

En la oración Él guardó esas fotografías en el recámara, la palabra que pertenece a la acentuación dierética, es: a) Él b) Guardó c) Esas d) Fotografías e) Recámara

3.

4.

5.

6.

En la oración Sé más solidario, nunca piensas en mí, las palabras con tilde diacrítica son respectivamente: a) Pronombre – conjunción – sustantivo b) Artículo – adverbio – pronombre c) Verbo– adverbio – pronombre d) Pronombre – adverbio – preposición e) Artículo – conjunción – preposición La palabra que pertenece a la acentuación dierética, es: a) Canción b) Pensar c) Peón d) Día e) Caimán En la expresión Quiero una taza de té , la palabra diacrítica es: a) Pronombre b) Sustantivo c) Conjunción d) Adverbio e) Adjetivo En la expresión El joven movio la cabeza en señal de negativa, el nunca antes habia oido semejante barbaridad, la cantidad de acentos gráficos que falta en el texto es: a) b) c) d) e)

7.

La palabra MI lleva tilde cuando es: Conjunción Pronombre adverbio circunstancial preposición En la expresión Inés había alquilado dos automóviles para la ocasión, la cantidad de palabras que pertenecen a la acentuación general son: a) b) c) d) e)

La palabra SI no lleva tilde cuando es: a) Preposición b) Interjección c) Pronombre d) Adverbio e) Conjunción

12.

Las palabras razón, ángel, péndulo y dígasele presentan acentuación: a) Distintiva b) Dierética c) Enfática d) Diagráfica e) General

11.

El grafema o representación gráfica del acento se denomina: a) Acento prosódico b) Sílaba atona c) Sílaba tónica d) Acentuación e) Tilde

13.

0 1 2 3 4

La palabra que debe presentar tilde, es: a) Grave b) Crater c) Virtud d) Vergel e) Suave

14.

Las palabras paroxítonas son: a) Entrégaselo, dígamelo, llévenselo b) Brújula, árboles, máxima, espíritu c) Árbol, ángel, baile, trampa d) Profesor, malestar, cantidad, veloz e) Dios, tren, fe, paz, dio, vio, fue

15.

Las palabras panel, oración, pared son: a) Paroxítonas b) Sobreproparoxítonas c) Oxítonas d) Proparoxítoas e) Graves

16.

La tilde que se usa para disolver los diptongos y formar hiatos acentuales, es : a) Diagráfica b) Enfática c) Dierética d) Diacrítica e) Tópico o general

17.

La oración que requiere de dos tildes, es: a) Ella tiro los papeles aqui b) El encontro sus calcetines en el cajon c) Soñe con la pelicula de accion d) El viernes vendran los italianos e) Revisaran las fallas del motor

10.

El acento que es eminentemente oral y no presenta ningún rasgo gráfico, tradicionalmente se llama: a) Ortográfico b) Vírgula c) Átono d) Prosódico e) Virgulilla

1 5 4 3 2

a) b) c) d) e)

8.

9.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 25

LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN

USO DE LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN

FUNCIONES

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

A. Indicar los límites de la unidades lingüísticas B. Indicar la enunciados

modalidad

de

los

C. Indicar la omisión de una parte del enunciado

8.

El punto La coma El punto y coma Los dos puntos Los paréntesis Las comillas Los signos de interrogación y exclamación Los puntos suspensivos

FUENTE: Elaboración propia

6.1.

FUNCIONES DE LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN41

A. INDICAR LOS LÍMITES DE LAS LINGÜÍSTICAS

Busca entre sus pertenencias. Tal vez encuentres algo que nos interese. Señorita, venga un momento, por favor. Se lo suplico. —¿Qué deseas? —me dijo. Luego se fue.

6.2. (1)

B. INDICAR LA MODALIDAD DE LOS ENUNCIADOS

UNIDADES

C. INDICAR LA OMISIÓN DE UNA PARTE ENUNCIADO

Quien emite un mensaje puede presentar su contenido como una información sin más (modalidad enunciativa), como una pregunta (modalidad interrogativa), como la expresión de una emoción (modalidad exclamativa) o como el intento de influir sobre el que escucha (modalidad imperativa). Hace calor, ¡Hace calor!, ¿Hace calor?

Se presentó con un semblante... / Se presentó con un semblante. Hace un frío... / Hace un frío.

USOS DE LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN EL PUNTO (.) 42 Uso del punto en: a) Abreviaturas Sra., pág., etc., EE.UU., ej. b) Fechas y horas 20.08.15 18.30 NUNCA SE ESCRIBE PUNTO AL FINAL DE: a) Títulos y subtítulos de libros, artículos, capítulos, obras de arte, etc. Nueva gramática de la lengua española El Señor Presidente Cien años de soledad b) Nombres de autor en cubiertas, portadas, prólogos, firmas de documentos, etc. “Riego y Aviraneta afirmaron que no había tal; que existía el contacto entre España y el resto de Europa; que así se había podido dar en España, antes que en otra nación europea, unas Cortes como las de Cádiz…” Pío Baroja

c)

41 42

Dedicatorias Para William A mi amado, sin cuya ayuda esta obra no hubiera sido posible A mis padres, a mi esposo, a mis hijos

RAE - Ortografía de la lengua española (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 282-285. RAE - Ortografía de la lengua española, 292-299.

DEL

26 | C E P R U 2 0 1 5 d) Pies de imagen, cabecera de cuadros y tablas

Perro y gato e)

Eslóganes Madre de Dios, paraíso natural Turismo en Cusco, vívelo en directo

f)

Enumeraciones en forma de lista La capital del Perú es: a) Lima b) Cusco c) Trujillo d) Arequipa e) Tacna

g) Direcciones electrónicas www.minedu.gob.pe (2)



43

LA COMA (,) 43 Usos de la coma a) Coma incidental La creatividad, como se ha explicado, es muy importante. La casa, abandonada, se convirtió rápidamente en refugio de vagabundos. Su hermano, al parecer, es piloto. Mi hija, como tú sabes, es una magnífica entrenadora. Los niños, que estaban en el patio, se echaron a correr. Como todos saben, el volcán Misti está en Arequipa. b) Coma vocativa Eduardo, no quiero que salgas tan tarde. Has de saber, prima querida, que tu padre era un gran amigo mío. Estoy a sus órdenes, mi general. Usted, aproxímese inmediatamente. c) Coma hiperbática Se arrepentirá, estoy segura, de su comportamiento. Es, sin lugar a dudas, un gran maestro. Por las mañanas, trabaja en la Universidad y, por las tarde, se dedica a realizar investigaciones de su especialidad. En el Perú, hace ya mucho tiempo que en la prensa especializada se trata este asunto. En mayo de 1990, Arequipa se convirtió en tierra de nadie. d) Coma en miembros yuxtapuestos Salieron a la calle, cerraron la puerta y subieron calle arriba. Corrían, tropezaban, avanzaban sobre él. e) Coma enumerativa Es un muchacho muy introvertido, estudioso y de buena familia. No te vayas sin correr las ventanas, apagar la luz y cerrar bien la puerta. f) Coma conjuntiva coordinada y subordinada Parece el perro del hortelano: ni come ni deja comer. Organizaremos la reunión, bien en tu casa, bien en la de mi madre. Era famoso por su expresión, así como por sus ideales. Tengo que estudiar biología, así como competencia lingüística. Ella siempre llega tarde a clases, es decir, no escucha toda la explicación de la maestra. Iré a la fiesta, pero no sé la hora. No ha dicho la verdad, porque me ha guiñado el ojo. Salió con ropa impermeable, porque llovía bastante. Algo le pasa, pues tiene mala cara. Tienes que estudiar, para que te quede claro. Si vas a viajar hoy, no dejes de comunicarme. Aunque no lo permitas, saldré a la calle. Quisieron que hable todo lo que sabía. No lo hice, así que me forzaron. Terminé la tarea, entonces me voy a jugar. Llegaron a tal grado de confianza, que no necesitaba hablarse. Son bienvenidos, siempre que vengan pacíficamente. Arreglaré la habitación, en caso de que decidas quedarte. g) Coma elíptica Su hija mayor es rubia; el pequeño, moreno. Jesús es todo amor; Judas, un traidor. h) Coma en datación de cartas y documentos (entre el lugar y la fecha) Cusco, 08 de noviembre de 2015 En Perú, a 30 de noviembre de 2015

RAE - Ortografía de la lengua española, 306.

(3)

(4)

(5)

EL PUNTO Y COMA (;)44 a) Punto y coma en oraciones yuxtapuestas El trabajo dignifica al hombre; el ocio es origen de todo mal. Ángel estudia administración de empresas; César prefiere, economía. Los modestos siempre son aceptados; los soberbios son repudiados. Puede irse a casa; ya no hay nada más que hacer. Lo hizo por el bien de su familia; no puede reprochársele nada. b) Punto y coma enumerativo Cada grupo irá por un lado diferente: el primero, por la izquierda; el segundo, por la derecha, y el tercero, de frente. c) Punto y coma conjuntivo Visitó muchos países, conoció a mucha gente; pero jamás habló de ello. Siempre hablábamos de cosas muy interesantes, a veces, aburridas; pero siempre hablábamos. Los invitados, sus padres, acudieron pronto; mas no te hallaron. No vivió mucho tiempo en aquella ciudad tan lejana; pero, mientras estuvo allí, disfrutó de todo lo que le ofrecía. Los hijos, nietos y sobrinos no lo hacen por capricho; sino que es una necesidad para ellos. d) Punto y coma ante conectores Trajeron los cuadernos, cartulinas, lápices y borradores; sin embargo, falta que nos entreguen los plumones, los lapiceros y las reglas. Javier con mucho esfuerzo, logró reunir ciento cincuenta dólares; sin embargo, esta cantidad es insuficiente para comprar este televisor. Se había trasladado a una ciudad en la que no conocía a nadie; así pues, tuvo que esforzarse por establecer nuevas relaciones. Todas las mercancías que llegaban tenían que pasar un estricto control; por tanto, se distribuían con mucho retraso. LOS DOS PUNTOS (:) 45 a) Dos puntos en enumeraciones Ayer compré dos libros: uno de Rodrigo Gonzáles Ochoa y otro de Graciela Reyes. Las regiones del Imperio Incaico fueron cuatro: Antisuyo, Collasuyo, Chinchaysuyo y Contisuyo. b) Dos puntos en discurso directo Cerró los ojos y pronunció: "La verdad, no debí mentir” Una noche, cuando me disponía a acostarme, Iskra me preguntó: -¿Por qué te casaste conmigo, Dennys? c) Dos puntos en oraciones yuxtapuestas  Causa-efecto o viceversa Se ha quedado sin trabajo: no podrá ir de vacaciones este verano. Se encontraba muy agotado: había jugado demasiado.  Conclusión, consecuencia o resumen de la oración anterior El arbitraje fue injusto y se cometieron demasiados errores: al final se perdió el partido. Se sacó la suerte, montó una buena empresa, fue presidente de la Sociedad Internacional: era todo un hombre afortunado.  Verificación o explicación de la oración anterior, que suele tener un sentido más general El chiriuchu es un plato típico del Cusco: tiene cuy, gallina, queso, torreja, tostado, entre otros.  Oposición Bethoben no es una persona: es mi perro. d) Dos puntos en conectores discursivos ¿Recuerdas lo que te conté de Nancy? Pues bien: ha vuelto a las andadas. Nunca me ha molestado colaborar. Dicho de otro modo: me gusta ayudar a los demás. La voz carbunclo se emplea con dos sentidos, a saber: ‘piedra preciosa’ y ‘enfermedad del ganado’. Ha dicho que se iba. Más aún: ha amenazado con no volver jamás. No se preocupe. Ahora buen: sigue doliéndole, vaya al médico. e) Dos puntos en escritos específicos (cartas y documentos administrativos) Estimado amigo: Querido hermano: Recordada tía: Muy señor mío: f) Dos puntos en textos jurídicos y administrativos, como decretos, sentencias, bandos, edictos, certificados, etc.; va escrito enteramente en mayúsculas CERTIFICA: Que María del Carmen Oliva de la Flor Pérez ha seguido estudios de… CONSIDERANDO: Que el artículo 27 de la Constitución... LOS PARÉNTESIS. ( )46 a) Paréntesis para aislar incisos Las asambleas (la última duró casi cuatro horas sin ningún descanso) se celebran en el salón de actos. Alguien (y no quiero señalar) ha hecho trampa. b) Paréntesis para aislar otros elementos intercalados El año de su nacimiento (1616) es el mismo en que murió Cervantes. Toda su familia nació en Cusco (Perú). c) Paréntesis en obras teatrales (para encerrar acotaciones del personaje) DIEGO. (Golpeando con el bastón en el suelo). ¡No os hagáis ilusiones de que vais a poder conmigo! ÁNGEL. No, no; si estáis inmutada. (Ya preso en la red está) ¿Se os pasa?» RAMIRO. (con voz enojada). ¿¡Quién es, a estas horas!? LAURA. Soy yo; abre. (como imaginaba, le sorprende mi visita) d) En la reproducción de citas textuales Pensé que él no alcanzó a ver mis lágrimas […] por la oscuridad en que nos encontrábamos.

44 45

RAE - Ortografía de la lengua española, 349-353. RAE - Ortografía de la lengua española, 254-264.

46

RAE - Ortografía de la lengua española, 364-370.

(6)

(7)

(8)

LAS COMILLAS (“ ”) 47 a) Comillas en citas César, antes de pasar el Rubicón, dijo: “¡La suerte está echada!” “Sobreviven los que se adaptan mejor al cambio”, dijo Darwin. b) Comillas en reproducción de pensamientos «Si es deshonroso no defenderse con el cuerpo, más lo es no valerse de la razón y de la palabra, específicas del hombre» ARISTÓTELES “No tengo nada que perder”, pensó MANUELA. c) Comillas en el marcado del carácter especial de una palabra o expresión Siempre dice que las «tortas» de esa pastelería están riquísimas. Parece que últimamente le va muy bien en sus «negocios». d) Comillas en usos metalingüísticos La palabra «cándida» lleva tilde por ser esdrújula. En la oración «Me gusta tu vestido» el sujeto es «tu vestido». e) Comillas en expresiones denominativas (títulos y apodos) Su artículo « Importancia del lenguaje en la comunicación humana» se publicó en el diario El Cusco el día 28 de octubre. Escribió el artículo “El léxico de hoy” para el libro El lenguaje en los medios de comunicación, obra en la que participaron varios autores.  Suelen escribirse entre comillas los apodos y alias que se intercalan entre el nombre de pila y el apellido: Ernesto “El Che” Guevara es recordado por muchos. LOS SIGNOS DE INTERROGACIÓN Y EXCLAMACIÓN. (¿?) (¡!) 48 a) Como en indicadores de modalidad, para enmarcar las construcciones interrogativas y exclamativas directas ¿Qué quieres? Pedro, ¿cuántos años llevas trabajando aquí? ¡Qué nombre tan bonito! ¡Me ha traído un regalo! b) Pueden omitirse los signos en títulos de obras, un capítulo o cualquier otra sección de un texto Cómo escribir bien español Qué es lo “moderno” en lexicografía c) En exclamativas o admirativas Pueden estar constituidas por interjecciones (¡Ay!), locuciones o grupos interjectivos (¡Ni modo!; ¡Caramba con el niño!), onomatopeyas (¡Chist!), vocativos (¡Niños!, cállense o grupos sintácticos y oraciones (¡Qué casa!; ¡Fantás- tico lugar!; ¡Cuánto me he emocionado!; ¡Es impresionante!; ¡Con lo amable que parecía!). d) En los vocativos Martha, ¿sabes ya cuándo vendrás? ¿Sabes ya cuándo vendrás, Martha? e) En los enunciados aseverativos que preceden a los apéndices confirmativos El jueves 11 es su onomástico, ¿no? No les interesa lo que estoy expresando, ¿verdad? f) Si concurren varias preguntas o exclamaciones ¿Quién era? ¿De dónde vino? ¿Te dijo a quién buscaba? ¡Cállate! ¡No quiero volver a escucharte! ¡Márchate! LOS PUNTOS SUSPENSIVOS (…) 49 a) Para indicar la suspensión u omisión en el discurso El caso es que si lloviese… Mejor no pensar en esa posibilidad. Estoy pensando que… aceptaré; en esta ocasión debo arriesgarme. b) Para indicar la suspensión del discurso con fines expresivos (duda, temor o vacilación) El niño dice que él no ha roto el jarrón… Te llaman del hospital… espero que sean buenas noticias. Quería preguntarte…, bueno…, que si quieres ir conmigo a la fiesta. c) Para señalar la omisión de parte del texto (interrupción voluntaria porque se sobrentiende lo omitido) A pesar de que prepararon cuidadosamente la expedición, llevaron materiales de primera y guías muy experimentados… Bueno, ya se sabe cómo acabó la cosa. A quien madruga…, así que dense prisa. Y en mitad de la fiesta, se subió a una mesa y comenzó a recitar: “Con diez cañones por banda…”. d) Para insinuar, evitando su reproducción, de expresiones o palabras malsonantes o inconvenientes ¡Qué hijo de … está hecho! Vete al d… no aguanto más. e) Se emplea al final de enumeraciones en lugar de etcétera Puedes hacer lo que quieras: leer, ver televisión, oír música… f) Entre corchetes o entre paréntesis, para indicar la supresión de una palabra o un fragmento en medio de una cita textual “Fui don Quijote de la Mancha y soy agora [(…)] Alonso Quijano el Bueno” (Cervantes Quijote II). EJERCICIOS

1.

En la expresión Eran las diez de la noche, piloteaba mi nave, era mi taxi un Volkswagen del año sesenta y ocho. Las unidades lingüísticas limitadas por comas que contiene es: a) Una oración b) Dos frases c) Tres oraciones d) Tres frases e) N.A.

2.

La oración que presenta incorrecta puntuación, es: a) Ella es una mujer trabajadora, amorosa, hogareña: una mujer ideal b) Quillabamba, ciudad del eterno verano c) Por tus hombros, tus cabellos discurren d) Mi santo fue el 11-06-2015 e) Son la 12.30 hrs

3.

Expresión donde el signo de puntuación indica omisión de una parte del enunciado, es:

47 RAE - Ortografía de la lengua española, 380387. 48 RAE - Ortografía de la lengua española, 387-394. 49 RAE - Ortografía de la lengua española, 394-400.

a) b) c) d) e) 4.

b) “La vida es sueño” fue escrita por Pedro Calderón de la Barca c) En “El sueño del celta” Mario Vargas Llosa habla de la explotación d) Para “Evita” de “Corazón Serrano”, justicia piden sus seguidores e) Todas las anteriores

A Dios rogando y con el mazo… Nueva Gramática de la Lengua Española Manuel trabaja en Cusco y María lo hace en Arequipa Sra. de las cuatro décadas Silencio absoluto

El uso de las comillas es incorrecto en: a) “Vamos a calentar el Sol” es una obra de José Mauro de Vasconcelos

5.

En la expresión Estoy a sus órdenes, mi general, la coma es usada:

a) b) c) d) e) 6.

En vocativo En elipsis En caso incidental En situación interjectiva En atributo

En la expresión Pero el cadáver, ¡ay!, siguió muriendo, la coma es: a) En vocativo b) En elipsis c) Incidental d) Interjectiva e) En atributo

7.

En la expresión Al fin de la batalla, vino un hombre y le dijo: no mueras te amo tanto, la coma es usada: a) En atributo b) En objeto directo c) En circunstancial d) En predicativo e) En agente

8.

La coma conjuntiva copulativa “y” que tiene valor adversativo se presenta en: a) Brasil fue humillado, y quedó fuera del mundial b) Perú no fue al mundial, y aún no tiene un buen equipo c) Los adolescentes son inconscientes, y muy distraídos d) Estudiaba de día y de noche, hasta los feriados y domingos, y no ingresó e) N. A.

9.

La coma coordinada copulativa está presente en: a) Luchaba ora con la espada, ora con la pluma. b) Saldré a bailar bien con Raquel, bien con María Fernanda c) Brasil quedó fuera del mundial, sin embargo sigue siendo un grande del fútbol d) Parece el perro del hortelano: no come ni deja comer e) Lo vi abrazando y besando a una humilde muchacha, es de clase muy sencilla, lo sé por su facha

10.

11.

La coma coordinada conjuntiva en locuciones se presenta en: a) No hizo nunca los deberes que le encargué ni recogió su ropa del tendedero b) Tú tienes que estudiar lingüística, así como anatomía c) El Cusco es nuestra hermosa ciudad, y debemos honrarla siempre d) Se reunieron en el parque, e hicieron un bonito día al aire libre e) Juventud divino tesoro, ya te vas para no volver

12.

La coma condicional se presenta en: a) No te perdono, así llores todo el día b) Iré a pasear, aunque no tenga permiso c) No fuimos al mundial de Brasil, porque no tenemos dinero d) Serán bienvenidos, siempre que vengan pacíficamente e) Tienes que estudiar, para que te quede claro

13.

El punto y coma en oraciones compuestas yuxtapuestas se presenta en: a) Brasil se quedó en casa; pero no en el mundial b) Argentina fue campeón en 1978 y en México; Perú se prepara para intentarlo c) El Cusco es ciudad cosmopolita, pero Arequipa, ciudad industrial d) Los jugadores entrenaron bien; entonces, salen a ganar e) Robaron en el banco; por tanto, serán enjuiciados

14.

El punto y coma adversativa se presenta en: a) Los peruanos atraviesan una profunda crisis; por lo tanto, el trabajo no es bien pagado b) Los peruanos atraviesan una profunda crisis social; siempre salen adelante c) Los peruanos atraviesan una gran crisis; o están en una bonanza económica d) Los peruanos atraviesan una profunda crisis moral; mas luchan por salir adelante e) Ninguno

15.

Los dos puntos yuxtapuestos se presenta en: a) La selección de Costa Rica jugó muy bien: fue la sorpresa del mundial b) Los comerciantes arrojaron de todo: piedras, ladrillos, botellas, basura c) Me dijo: me llamo Norma mientras cruzaba la pierna d) Visto el expediente, se resuelve: e) El alcalde de Wanchaq certifica:

16.

El a) b) c)

17.

Las comillas en cita textual se presenta en: a) “Sobreviven los que mejor se adaptan al cambio”, dijo Charles Darwin b) Ahí viene el “Chanconcito” del salón c) La palabra “inefable” significa indefinido d) Leyó Los Jefes de Mario Vargas Llosa cuando era adolescente e) Los “teutones” ganaron limpiamente el partido de la final de futbol mundial

18.

La omisión permitida de signos de interrogación se presenta en: a) Dónde nos vemos b) Cómo escribir bien en Español c) Cómo has cambiado, Pelona d) Viva el Perú e) Cuánto

19.

La expresión que debe exclamación, es: a) Silencioso b) Animales hermosos c) Qué hermosa d) Que buscas siempre e) Donde nos vemos

20.

La expresión que debe escribirse con puntos suspensivos, es: a) Márchate de inmediato b) Oh, vida cruel c) A caballo regalado d) Chist e) Pedro, ¿me amas?

La coma causal se presenta en: a) Si vas a viajar hoy, avísame b) Avísame, si vas a viajar hoy c) Iré a pasear, aunque no tenga permiso d) No fuimos al mundial de Brasil, porque no tenemos dinero e) Tienes que estudiar, para que te quede claro

paréntesis en acotación de obras para teatro está en: Nación en Cusco (Perú) Ser o no ser (…) Romeo: (Tomando a Julieta de la cintura) Te amo, vida mía d) Los periodistas (varones y mujeres) fueron desalojados del local e) Internet (red mundial de ordenadores) está siendo mal usado

llevar

signos

de

30 | C E P R U 2 0 1 5

EL SUSTANTIVO

FUNCIONES DEL SUSTANTIVO

CRITERIOS

1. 2. 3.

Semántico Sintáctico

1.

Morfológico

Como núcleo sujeto 2. Como núcleo de la aposición 3. Como núcleo vocativo 4. Como núcleo del O.D. 5. Como núcleo del O.I. 6. Como núcleo Circunstancial 7. Como núcleo Agente 8. Como núcleo Atributo 9. Como núcleo Predicado nominal 10. Como núcleo Modificador indirecto

GÉNERO DEL SUSTANTIVO

NÚMERO DEL SUSTANTIVO

del 1. 2. del

3. 4.

del 5.

S. Heterónimos S. de Terminación variable S. Comunes en cuanto al género S. Polisémicos, homónimos y diferencia de género S. Epicenos

1. 2. 3.

Reglas generales para la formación del plural El plural de los compuestos El plural de los nombres propios

del del del del

FUENTE: Elaboración propia 7.1.

CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. El sustantivo es la palabra (categoría gramatical) con el que designamos a los seres y objetos de la realidad, tengan esta existencia independiente (concreta) o existencia dependiente (abstracta). Ej.: Mujer, perro, silla, división, caridad, amor, fiesta, garúa, velocidad, pecado, etc. B. CRITERIO MORFOLÓGICO. El sustantivo es una palabra variable porque presenta accidentes gramaticales de género (masculino y femenino) y número (singular y plural) Ej.: vecino, vecina, vecinos, vecinas. C. CRITERIO SINTÁCTICO. El sustantivo es la palabra que desempeña la función privativa del núcleo del sujeto o sintagma nominal. Ej.: Aquellas mujeres están muy felices.

7.2.

FUNCIONES DEL SUSTANTIVO 1. Como núcleo del sujeto

6.

Los estudiantes están alegres. 2. Como núcleo del modificador indirecto (MI) Las hermanas de Pedro estudian muy lejos. 3. Como núcleo de la Aposición Tu amiga, la profesora, escribirá una novela. 4. Como núcleo del vocativo Jóvenes, estudien bastante. 5. Como núcleo del complemento directo (CD)

Como núcleo del complemento indirecto (CI) Ella compró un libro para su hijo.

7.

Como núcleo del complemento circunstancial (CC) Ellos trabajan en una fábrica. Mi amiga viajará con su familia.

8. Como núcleo del atributo Ese hombre es un buen arquitecto. 9.

Como núcleo del predicado nominal

Aquella mujer, una buena madre.

Ese hombre trajo hermosas flores. 7.3.

EL GÉNERO. CARACTERIZACIÓN50

7.3.1. SUSTANTIVO HETERÓNIMOS Expresa la diferencia gramatical masculino/femenino y, simultáneamente, la oposición de sexo ‘varón’/’mujer’ (personas) o ‘macho’/ ‘hembra’ (animales) a través de términos con diferente raíz.

50

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 81 – 126.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 31 padre / madre hombre / mujer padrino / madrina caballo / yegua toro / vaca El género se manifiesta en sus combinaciones con determinantes, cuantificadores, adjetivos y participios: Nuestro querido padre / nuestra querida madre. 7.3.2. SUSTANTIVOS DE TERMINACIÓN VARIABLE Manifiestan Las diferencias de género y de sexo por medio de morfemas en palabras de la misma raíz: niño / niña gato / gata actor / actriz barón / baronesa zar / zarina En estos nombres, el género se refleja así mismo en las combinaciones con determinantes, cuantificadores, adjetivos y participios: Algunos niños arequipeños Varias niñas cusqueñas La desinencia más común del femenino es la –a: Muchacho / muchacha Lobo / loba León / leona Pero existen otros morfemas que marcan el género, generalmente en los nombres de personas: -esa: alcalde/alcaldesa, duque/duquesa, príncipe/princesa -isa: papa/papisa, profeta/profetisa, sacerdote/sacerdotisa -triz: actor/actriz, emperador/emperatriz -ina: héroe/heroína, zar/zarina 7.3.3. SUSTANTIVOS COMUNES EN CUANTO AL GÉNERO Pueden ser masculinos o femeninos sin que su forma se vea modificada. Su género (y, por consiguiente, el sexo del referente) puede manifestarse a través de la concordancia con adjetivo y determinantes: el cónyuge/la cónyuge el pianista/la pianista este testigo/esta testigo el artista/la artista el profesional/la profesional estudiante aplicado/estudiante aplicada A.

GRUPOS DE NOMBRES COMUNES EN CUANTO AL GÉNERO. Según la terminación se clasifican en varios grupos:

A.1. ACABADOS EN –A: Astronauta, autodidacta (autodidacto), burócrata, cabecilla, centinela, demócrata, guardia, homicida, jerarca, políglota (polígloto), psicópata, turista, vigía, artista, automovilista, dentista, pianista, taxista, violinista. NOTA: El sustantivo modista generó la forma -anómala morfológicamente, pero ya extendida-modisto (varón). A.2. TERMINADOS EN –E: Conserje, cónyuge, detective, extraterrestre, hereje, intérprete, partícipe, pobre, amante, cantante, cliente, delincuente, estudiante, gerente, informante, intendente, manifestante, narcotraficante, penitente, presidente, representante, traficante, viajante. Pueden ser comunes: Cacique, jefe, sastre (masculino) Cacica, jefa, sastra (femenino) A.3. LOS QUE ACABAN EN -I (tónica o átona) O EN –Y: Ceutí, maniquí, marroquí, pelotari, yóquey. Algunos terminados en -o: Contralto, modelo, sabelotodo, soprano, testigo. A.4. QUE TERMINAN EN CONSONANTE–r, -s, -t: Mártir, prócer, lavacoches, papanatas, pelagatos, pívot, auxiliar, titular, bachiller, canciller, mercader. A.5. LOS PROCEDENTES DE ADJETIVOS QUE TERMINAN EN -AL Comensal, corresponsal, heterosexual, homosexual, industrial, profesional, colegial, zagal, concejal, fiscal y otros. B.

CAMBIOS DE CLASE: profesiones, títulos y actividades

B.1. Muchos sustantivos de persona con masculino en -o que designan cargos, títulos, empleos, profesiones y actividades diversas presentan el femenino en -a: Abogada, arquitecta, bióloga, candidata, catedrática, diputada, física, ginecóloga, ingeniera, licenciada, matemática, ministra, música, odontóloga, torera, bedela, edila, fiscala, jueza o médica. B.2. Se consideran comunes en cuanto al género los sustantivos que designan grados de la escala militar, cualquiera que sea su terminación: el soldado / la soldado un teniente / una teniente el cabo / la cabo el sargento / la sargento el comandante / la comandante NOTA: en muchos países se emplea capitana para designar al femenino de este grupo militar. B.3. Otros tratamientos, admiten los dos géneros, según haga referencia a un hombre o a una mujer: Su Alteza llegó a la hora. (varón o mujer) Su Excelencia ha sido muy (generoso/generosa) conmigo. Su Majestad era partidario de abandonar Marruecos a su suerte.

7.3.4. LOS SUSTANTIVOS AMBIGUOS EN CUANTO AL GÉNERO Son nombres de terminación invariable que pueden usarse como masculino o femenino, pero sin experimentar cambios de significado. Esta ambigüedad de género se da sobre todo en singular y, a menudo, es propia de algunas variedades geográficas, así como de ciertos registros y niveles de lengua. el mar/la mar el linde/ la linde el vodka/la vodka el el estambre/la estambre azúcar/la azúcar el el interrogante/ la interrogante dote/ la dote 7.3.5. SUSTANTIVOS POLISÉMICOS, HOMÓNIMOS Y DIFERENCIA DE GÉNERO Varios términos homos o polisémicos se diferencian en su significado y también en su género: el cometa – la cometa el el capital-la capital el editorial – la editorial el clave-la clave final – la final el cólera - la cólera el el mañana – la mañana el frente-la frente el orden – la orden coma - la coma el corte el parte – la parte - la corte el margen – la margen el cura - la cura el pendiente-la pendiente 7.3.6. LOS SUSTANTIVOS EPICENOS Son los sustantivos de un solo género que designan seres vivos (animales, plantas, personas), pero que no poseen ninguna marca formal que permita determinar su sexo. Todos ellos pueden ser modificados por los términos macho y hembra, que especifican el sexo que corresponde a la entidad designada. 7.3.6.1. TIPOS DE NOMBRES EPICENOS a)

perdiz, rata, sapo, tiburón, víbora, La ardilla macho (macho-hembra) El tiburón hembra es muy peligroso El tiburón hembra es muy peligrosa (incorrecto)

b)

Los sustantivos epicenos son nombres de plantas (macho y hembra): Acebo, ruda, datilera, espárrago, mamón, ombú, palmera, plátano, sauce, etc. Ej.: Ombú macho/ ombú hembra

c)

Los sustantivos epicenos son nombres de personas (varón y mujer/ masculino y femenino): Víctima, criatura, rehén y vástago, personajes, etc. Personajes (femeninos o mujer) Víctima (masculino o varón) EN ENUNCIADOS: Personaje varón de la comedia/ personaje mujer de la comedia Personaje masculino de la comedia/ personaje femenino de la comedia NOTA: Es incorrecto decir La víctima (macho-hembra) El personaje (macho- hembra)

EL NÚMERO. CARACTERIZACIÓN51 Se presenta en dos formas: SINGULAR (árbol, casa, puerta, ventana) PLURAL (árboles, casas, puertas, ventanas)

7.4.

7.4.1.

a) b) c) d)

e) f)

7.4.2.

a)

51 52 53

Los sustantivos epicenos son nombres de animales (en su mayoría): Búho, camaleón, cebra, culebra, hiena, hormiga, jirafa, liebre, mosca, rinoceronte, lechuza, etc. Ejs.: La avispa (macho-hembra) El hipopótamo (macho-hembra) Un tiburón (macho-hembra)

REGLAS GENERALES PARA LA FORMACIÓN DEL PLURAL52 Los nombres terminados en vocal átona y en -á, -é, -ó tónicas hacen el plural en -s: Casas, mamás, papás, calles, yanquis, libros, tribus, sofás, cafés Las terminadas en -í, -ú tónicas tienden a admitir las dos variantes de plural: Al(h)elíes o al(h)elís, bisturíes o bisturís, esquíes o esquís, jabalíes o jabalís maniquíes o maniquís, rubíes o rubís; bambúes o bambús, gurúes o gurús, tabúes o tabús, manís o maníes. Los nombres acabados en las consonantes -L, -N, -R, -D, -Z, -J hacen el plural en -es: Cónsules, mieles, leones, caracteres, tutores, paredes, peces, relojes, especímenes, regímenes. Los nombres terminados en -S, -X que son agudos o monosílabos hacen también el plural en –es: Autobuses, compases, reveses, toses, boxes, faxes. Permanecen invariables los restantes: Las dosis, las síntesis, las tesis, los lunes, los tórax, los clímax, los bíceps, los fórceps. El plural los nombres terminados en -Y se añade -es: Ayes, bueyes, convoyes, leyes, reyes, con la excepción de algunos sustantivos no totalmente castellanizados: jerséis (o yerseis). Los sustantivos acabados en otras consonantes añaden -s para formar el plural: Acimut/acimuts o azímut/azimuts; cenit/cenits o zenit/zenits; mamut/mamuts; tic/tics; tictac/tictacs; zigurat/zigurats, clubs (clubes), albums (álbumes) EL PLURAL DE LOS COMPUESTOS53 Los compuestos (sustantivo+sustantivo, sustantivo+adjetivo, verbo+sustantivo) que constituyen una sola palabra hacen el plural como si se tratara de palabras simples, lo que equivale a decir que se pluraliza solamente el segundo elemento. Bocacalles (incorrecto = bocascalles) Casatiendas, cumulonimbos Aguafuertes, cañabravas, caraduras, cubalibres, tiovivos; buenaventuras, cortometrajes, purasangres, quintaesencias un rapapolvo/varios rapapolvos un ganapán/unos ganapanes un tragaluz/ unos tragaluces REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 127. REA - Morfología sintaxis I, 130. REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 152-160.

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |

33 NOTA: + No se dice, pues, carasduras ni tiosvivos. +Se registran ciertas vacilaciones a la hora de tomar como base el singular o el plural. El DRAE recoge, por ejemplo, los singulares el guardabosque, el marcapaso o el pararrayo, junto con el guardabosques, el marcapasos, el pararrayos. b)

Cuando los dos sustantivos se escriben separados pero constituyen una unidad léxica en la que el segundo elemento aporta información determinativa, solo se marca el plural en el primero: Años luz, buques escuela, cafés teatro, ciudades dormitorio, globos sonda, hombres rana, muebles bar, niños prodigio, operaciones retorno, peces espada, sofás cama.

c)

Los sustantivos macho y hembra no se pluralizan tampoco cuando modifican a otro sustantivo: Las panteras macho, las avestruces hembra.

d)

Se pluraliza solo el segundo elemento en los compuestos formados por dos adjetivos, se escriban separados por guion o unidos en una sola palabra, como: Conversaciones árabe-israelíes Factores político-económicos Condiciones espaciotemporales Consecuencias político-económicas EL PLURAL DE LOS NOMBRES PROPIOS54 Los nombres propios no tienen plural; sin embargo, cuando se asimilan (en mayor o menor medida) a los comunes. Siguen entonces las reglas de estos, como: Las celestinas, los donjuanes, las magdalenas, los quijotes. Nunca más volverá a haber en Nicaragua Adolfos Díaz, Emilianos Chamorro, José Marías Moncada, Anastasios Somoza en el poder (Ramírez, Alba)

7.4.3.

a)

b)

Se emplean solo en plural los nombres propios de ciertas: CORDILLERAS: Los Alpes, los Andes, los Apeninos, los Pirineos ARCHIPIÉLAGOS: Las Antillas, las Azores, las Baleares, las Canarias, las Cíes, las Filipinas, los Galápagos PAÍSES: Emiratos Árabes Unidos, Estados Unidos, Países Bajos ALGUNAS CIUDADES: Aguascalientes, Buenos Aires, Ciempozuelos, Iquitos EJERCICIOS

1.

2.

3.

4.

5.

6.

La oración que lleva sustantivo como núcleo del complemento directo, es: a) Ellas trabajan en el hospital b) Dejé los libros aquí c) Eva estudia demasiado d) Tus amigos están alegres e) La casa de mi tía es amplia Los sustantivos yerno / nuera son: a) Polisémicos b) Ambiguos c) Epiceno d) Heterónimos e) Contables Los sustantivos ambiguos se encuentran en la serie de palabras: a) Armazón, cometa , estambre b) León, cónyuge, artista c) Tizne, mar, calor d) Zarina, margen, lobo e) Azúcar, tilde, modelo Los accidentes gramaticales del sustantivo son: a) Género y persona b) Número y persona c) Tiempo y modo d) Género y número e) Modo y aspecto La oración que lleva un sustantivo como núcleo del complemento indirecto, es: a) Este cuento fue leído por el niño b) Tus vecinos son artistas c) Aquí está su vestido, señorita d) Llevé panes a mi prima Rina e) Nosotros iremos con el profesor

a) b) c) d) e)

Alcalde Sauce Lobo Soldado León

7.

El sustantivo inadecuadamente pluralizado, es: a) Mieles b) Mamutes c) Reveses d) Álbumes e) Lápices

8.

La oración que lleva un sustantivo como núcleo del complemento circunstancial, es: a) Pedrito vive muy lejos b) El tío de mi amiga es bueno c) Luis fue a trabajar con su madre d) El profesor salió muy temprano e) Ese ejercicio parece sumamente difícil

9.

El a) b) c) d) e)

10.

El sustantivo es núcleo del predicado nominal, en: a) Pedro, Pablo y Juan trabajan mucho b) Arequipa, la ciudad blanca, es hermosa c) Ella compró panes; Ana, chocolates d) Esas niñas, sumamente traviesas e) Fuertemente, ella abrazó a su novio

11.

El sustantivo desde el punto de vista semántico es: a) Representa conceptualmente seres y objetos de la realidad que tengan existencia dependiente o independiente.

El sustantivo epiceno es:

sustantivo que forma su femenino con el artículo, es: Cometa Cusqueño Guitarrista Tilde Cóndor

54REA - Morfología sintaxis I, 160-163.

b) c) d) e) 12.

Desempeña la función privativa de núcleo del sujeto Presenta variaciones morfémicas Forma grupos nominales Se conceptualiza dentro de un contexto o conversación

La oración que lleva sustantivo como núcleo del objeto directo, es: a) Paola y Mateo juegan en el parque

b) c) d) e) 13.

Estacioné la moto ahí Eduardo trabaja demasiado Tu hermana está cansada El bosque de los pinos es encantador

Los nombres de terminación invariable que pueden usarse como masculino o femenino, sin cambiar su significado, se denominan sustantivos: a) Ambiguos en cuanto al género

34 | C E P R U 2 0 1 5 b) c) d) e)

14.

15.

16.

17.

18.

Polisémicos, homónimos y Epicenos Comunes en cuanto al género N.A.

diferencia

de género

Los sustantivos jinete / amazona son: a) Polisémicos b) Ambiguos c) Epiceno d) Heterónimos e) Contables Los sustantivos ambiguos se encuentran en la serie de palabras: a) Armazón, dote, estambre b) León, cónyuge, artista c) Actor, mar testigo d) Zarina, margen, lobo e) Azúcar, margen, modelo El nombre propio tiene valor: a) Genérico b) Denominativo c) Enumerativo d) Abstracto e) Argumental El a) b) c) d) e)

sustantivo, desde el punto de vista morfológico, es: Determinativo Invariable Variable Individual Polisémico

La oración que lleva un sustantivo como núcleo del complemento indirecto, es: a) Mariana escucha las noticias en la radio b) Di una maceta a la tía Antonia c) Los hermanos son pintores d) Le pido, señor mío, que espere un momento e) Ustedes vayan con el coordinador

a) b) c) d) e)

Bocascalles Ganapanes Cubaslibres Guardaspolvos Aguasfuertes

23.

El sustantivo que forma su femenino con el artículo, es: a) Delator b) Cónyuge c) Coyote d) Cólera e) Mar

24.

Los sustantivos gurú y bisturí se pluralizan: a) Agregando solo el morfema “s” b) Agregando solo el morfema “es” c) Admite las dos variantes del plural d) Anteponiendo el articulo e) N.A

25.

El sustantivo ambiguo es: a) Cometa b) Editorial c) Mañana d) Interrogante e) Parte

26.

El sustantivo que admite los dos géneros, es: a) Sargento b) Comandante c) Cacique d) Excelencia e) N.A

27.

Los sustantivos comunes de dos, son: a) Joven, dentista, artista, periodista b) Margen, tilde, tizne, azúcar c) Llama, delfín, jirafa, cocodrilo d) Varón, toro, yerno, caballo e) Cometa, cura, papa, crisis

28.

En la oración Nuestra Flor de María, la amiga de José, viajó a Italia. El sustantivo que cumple la función de núcleo del sintagma nominal, es: a) María b) Flor c) Nuestra d) Flor de María e) Amiga

19.

El sustantivo epiceno es: a) Tortuga b) Tigre c) Gato d) Jefa e) León

20.

El sustantivo inadecuadamente pluralizado, es: a) Mieles b) Mamuts c) Compases d) Álbumes e) Pezes

29.

El sustantivo desde el punto de vista sintáctico es: a) La palabra que funciona como adverbio b) La palabra que desempeña la función privativa de núcleo del sujeto c) El conjunto de palabras de terminación invariable d) Una palabra variable e) La palabra que indica posesión

El sustantivo cumple la función de núcleo del sujeto, en: a) Nosotros fuimos a ver las danzas cusqueñas b) Ellos participarán en un concurso internacional c) Tú y ella son perseverantes en el estudio d) Algunos llegaron temprano al CEPRU e) Escribirán poemas, aquellos jóvenes románticos

30.

En la oración Nuestra Flor de María, la amiga de José, viajó a Italia. El sustantivo que cumple la función de núcleo de la aposición, es: a) María b) Italia c) José d) Flor de María e) Amiga

31.

El sustantivo que cumple la función de núcleo del sujeto está en la oración: a) Casandra estudia la lección. b) Ella estudia Competencia Lingüística. c) Iremos al cine después del paseo. d) Ninguno vino a clases. e) Estuvo lloviendo a cántaros.

32.

El sustantivo cumple la función de núcleo del sujeto, en: a) Nosotros fuimos a ver las danzas cusqueñas b) Ellos participarán en un concurso internacional c) Tú y ella son perseverantes en el estudio d) Algunos llegaron temprano al CEPRU e) Escribirán poemas, aquellos jóvenes románticos

21.

22.

El plural de los sustantivos compuestos, se manifiesta correctamente en:

EL PRONOMBRE

CRITERIO

1.

Semántico

2.

Sintáctico

3.

Morfológico

RELACIONES ANAFÓRICAS Y CATAFÓRICAS DE LOS PRONOMBRES

CLASIFICACIÓN DEL PRONOMBRE

1.

Construcciones anafóricas

1.

P. Personales

2.

P. Demostrativos

2.

Construcciones catafóricas

3.

P. Posesivos

4.

P. Indefinidos

5.

P. Numerales

6.

P. Relativos

7.

P. Interrogativos

8.

P. Exclamativos

FUENTE: Elaboración propia

8.1.

CRITERIOS

A. CRITERIO SEMÁNTICO. Indica la existencia de seres sin nombrarlos directamente. El pronombre es una palabra que carece de significado preciso o exacto. Tiene significado ocasional, adquiere sentido dentro de un contexto o conversación, o sea, es una palabra no-connotativa, pues no señala cualidades o características del sustantivo. Ejemplos:  Estos estudiantes son más esmerados que aquellos.  Ellos están estudiando; nosotros estamos componiendo. A.1. EL PRONOMBRE ES UNA PALABRA NO-DESCRIPTIVA Porque señala al ser sin conceptuarlo y sin dar referencia de sus peculiaridades, ejemplo: “Ese se cayó”. A.2. EL PRONOMBRE TIENE SIGNIFICACIÓN OCASIONAL Porque es una palabra de significación vacía cuando no integra un contexto, esto es, si los pronombres se encuentran de manera aislada, no tienen significado definido, fijo y estable. A.3. EL VALOR REFERENCIAL DEL PRONOMBRE Así, cuando el pronombre se carga de significado, adquiere un valor referencial. Ejs.: Vi esa hermosa casa y la alquilé. B. CRITERIO MORFOLÓGICO. El pronombre es una palabra variable porque varía en su forma para expresar accidentes gramaticales de género, número, persona y caso. Ejemplos:  Mi idea es más moderna; la tuya, antigua.  Mis ideas son más modernas; las tuyas, antiguas  Yo estudio.  Tú estudias.  Él estudia.  Ella estudia.

PERSONA GRAMATICAL CASO

Primera persona

Segunda persona

Nominativo o recto

Yo, nosotros, nosotras - Yo no lo sabía. - Nosotros ganaremos. - Nosotras somos sinceras.

Tú, vos, vosotros, vosotras - Tú no estabas allí. - Vosotros siempre tenéis razón.

Acusativo (OD)

Dativo (OI)

Preposicional u oblicuo (TERMINAL)

Me, nos - No me entienden. - Todos nos miraron.

Te, os - Te querré siempre. - Os ayudaréis. - Te adoro.

Me, nos - Me duelen las muelas. - Nos van a arreglar la casa.

Te, os - Te contaré una historia de amor. - Os darán una oportunidad.

Mí, conmigo Nosotros, nosotras - No te olvides de mí. - Vendrás conmigo. - Vivió con nosotros. - No te vayas nosotras.

sin

Ti, vos, contigo Vosotros, vosotras - Lo compré para ti. - Quiero hablar contigo. - Iré con vos. - No me iré sin vosotras.

Tercera persona Él, ella, ello, ellos, ellas - Él no ha venido. - Ella ha mejorado. - Ellas son bellas. Lo, la, se, los, las, se - No lo necesito. - Recógela. - Aquel hombre se veía perdido. - Esas notas ya las he leído. - Ambos se miraron. Le, se, les, se - Le presté mi bicicleta. - Se lo conté todo a mi amigo. - Les ofrezco mi casa. Él, ella, ello, sí, consigo Ellos, ellas, sí, consigo - Confiaba en él. - Pensaré en ello. - Piensa demasiado en sí mismo. - Lleva los papeles consigo. - La cometa planeaba ondulante sobre ellos. - No dan más de sí.

C. CRITERIO SINTÁCTICO. El pronombre es una palabra, que dentro de un contexto determinado, puede funcionar como sustantivo (núcleo del sujeto) como adjetivo (modificador directo) o como adverbio (circunstancial del verbo). Ejemplos: 

Estos niños son más traviesos que aquellos.



Los tuyos parecen más locuaces que mis amigos.



Mi vecino trabaja allá.

Pron. (adj.)

Pron. (sust.)

Pron. (sust.)

Pron. (adj.) Pron. (adv.)

8.2.

RELACIONES ANAFÓRICAS Y CATAFÓRICAS DE LOS PRONOMBRES55 Los pronombres personales intervienen en las relaciones de correferencia, en el sentido de que se refieren a seres mencionados en el discurso. El orden en que se establece habitualmente la correferencia es:

a) CONSTRUCCIONES ANAFÓRICAS. En el cual primero aparece el antecedente y luego, el pronombre o la expresión nominal que recoge su referencia; es decir, se da cuando el pronombre asume el significado de un ANTECEDENTE, palabra anteriormente mencionada en el contexto. Ejemplos. “Al fondo, dando el pecho a su pequeñuelo, la madre lo miraba sonriente” Antecede

 

Significa “pequeñuelo” por su antecedente.

Me pidió el boleto y se lo di. Los niños habían llegado oportunamente; pero no los vimos.

b) CONSTRUCCIONES CATAFÓRICAS. Donde primero aparece el pronombre y después el consecuente o subsecuente; es decir, se produce cuando el pronombre puede asumir el significado de un sustantivo o de un sintagma todavía no mencionado. Ejemplos: - No lo busques… Pedro no vale Significa

- Esto ganamos: tres mil soles Significa

  8.3.

La secretaria le dio un mensaje; sin embargo Carlos no dijo nada. Lo dejaste salir de pronto; ya volverá ese hombre.

CLASIFICACIÓN DEL PRONOMBRE56 A. PRONOMBRES PERSONALES Son las palabras que identifican a las tres personas gramaticales que intervienen en el diálogo.

55 REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010) ,1201-1206. 56Leonardo Gómez Torrego, Análisis Morfológico – Teoría y práctica (España: Editorial SM Internacional, 2011), 130-150.

Persona

Número

Género

singular Primera

Caso

Caso preposicional

Nominativo yo

Caso acusativo

mí, conmigo

masculino

nosotros

femenino

nosotras

me

plural

nos

singular Segunda

tú, usted

ti, contigo

masculino

vosotros / ustedes

femenino

vosotras / ustedes

te

os

plural

singular Tercera

Caso dativo

masculino

él

lo

le, se

femenino

ella

la

le, se

lo

le, se

neutro

ello, sí, consigo

masculino

ellos

los

les, se

femenino

ellas

las

les, se

plural

A.1

LOS PRONOMBRES ÁTONOS EN RELACIÓN CON EL VERBO57 Los pronombres átonos son: me, se te, le, les, la, las, lo, los, nos, os. Al carecer de acento, los pronombres átonos se apoyan fonéticamente el verbo contiguo, por lo que se llaman también pronombres clíticos. a) PROCLÍTICO. Precede al verbo y por separado.  Lo trajeron desde un pueblo lejano.  Se la dieron.  El juez nos interrogó minuciosamente.  Te admiro cada vez más.  La nombró.  Nos vendió.  Se le informó.  Se me presentó. b) ENCLÍTICO. Se pospone al verbo fusionándose; es decir, formando con él una sola palabra.  Dijéronnos.  Contósele.  Adviérteselo.  Sácale.  Nombrola.  Vendionos.  Informósele.  Explíquemelo ahora mismo. c) LOS PRONOMBRES PERSONALES REFLEXIVOS58 En el predicado, dan referencia de la misma persona que funciona como sujeto de la oración. Sintácticamente pueden funcionar como CD y CI: Adriana se peina. CD

N

Tú te afeita el bigote. CD

N

Yo me baño. CD

N

d) LOS PRONOMBRES PERSONALES RECÍPROCOS Semánticamente, indica intercambio mutuo de acciones. Ángel y Teresa se aman. Morfológicamente, son formas plurales porque responden a varios sujetos realizados de la acción verbal: Tú y yo nos saludamos. Tú y yo nos escribimos. e) LOS PRONOMBRES CUASIREFLEJOS Eliana se cayó. Ella se durmió sola. B. PRONOMBRES DEMOSTRATIVOS. Son determinantes, pronombres o adverbios. Identifican a algo o alguien estableciendo la distancia con relación al hablante. Establecen la ubicación de los seres respecto a las tres personas que intervienen en el diálogo, o sea determinan la relación de distancia que guardan con las tres personas gramaticales. 57REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 1183-1211. 58Los pronombres reflexivos y recíprocos son una variedad de los pronombres personales. Solo aquere su valor reflexivo o recíproco en la oración (salvo las formas sí y reflexivos).

consigo que siempre son

Cerca de mí (1ra P.G.)

FUNCIÓN Sustantivo y adjetivo

Lejos de mí y de ti (3ra P.G.)

este, esta estos, estas

ese, esa esos, esas

esto

eso

aquello

ahí

allí, allá

Sustantivo Sustantivo y adverbio

Cerca de ti (2da P.G.)

aquí, acá

aquel, aquella aquellos, aquellas

 Esta historia es antigua, pero esa es moderna.  Esto es para ti. C.P PRONOMBRES POSESIVOS. Son aquellas que indican posesión o pertenencia de los seres señalando a las tres personas gramaticales que intervienen en el diálogo, o sea, nombran al objeto a través del poseedor. 1° P.G.

    

Para un solo poseedor

mío, mía, mí/ míos, mías, mis

Para varios poseedores

nuestro, nuestra, nuestros, nuestras

2° P.G. tuyo, tuya, tu/ tuyos, tuyas, tus

vuestro, vuestra, vuestros, vuestras

3° P.G. suyo, suya, su/ suyos, suyas, sus

suyos, suyas, sus

Nuestro país es multilingüe; el tuyo, no. Mi prima es morena; la tuya es rubia. Estas monedas no son nuestras. Nuestro hermano es más inteligente que el vuestro. Las mías son más grandes que tus manos.

D. PRONOMBRES INDEFINIDOS. Son cuantificadores, proporcionan una referencia vaga, imprecisa, indefinida de los seres.

Uno, algo, nada, nadie, alguien, mayoría, minoría, quienquiera, varios, muchos, tantos, demás, alguno, ninguno, cualquiera, poco, todo, otro, unos, tal, cual, medio, tanto, cuanto, bastante, demasiado.    

Alguien llamó anoche. Muchos son los llamados; pocos, los escogidos. Nadie vino a ayudarte. Otro resolvió el ejercicio.

E. PRONOMBRES NUMERALES. Son aquellas palabras que indican cantidad, orden, repetición, división y distribución de los seres. a.

Cardinales: Indica cantidad exacta y proporcionan la medida numérica.  Traje cinco para todos

b. Ordinales: Expresa el lugar que ocupa una determinada unidad de una serie. Indica orden, ubicación o sucesión numérica.  Los últimos serán los primeros. c.

Múltiplos: Indica multiplicación o repetición.  Ahora pagarás el doble; mañana, el triple.

d. Partitivos: Indican la parte o fracción de un ser.  Comí solo la mitad. F. PRONOMBRES RELATIVOS. Encabezan una proposición subordinada y hacen referencia a un sustantivo antecedente. Son: Que, (la) cual, (el) cual, (los) cuales, (las) cuales, quien, quienes, cuyo, cuya, cuyos, cuyas.       

Vino el comerciante a quien vimos en la oficina del director. El libro que se publicó ayer es muy didáctico. Quien siembra viento, cosecha tempestad. La que me dio es mi amiga. El periodista quien propaló la noticia es cusqueño. Quien dio la noticia es mi amigo. La que me llamó es mi hermana.

G.P ONOMBRES INTERROGATIVOS. Son los mismos pronombres relativos; pero estos expresan pregunta o interrogación. En este casos llevan acento enfático y se presentan entre signos de interrogación cuando la pregunta es directa. Tenemos: Qué, cuál, quién, quiénes, cuánto, cómo, dónde.  ¿Dónde naciste?  ¿Qué necesitas?  ¿Cuándo llagaste?  ¿Cómo estudias? H. PRONOMBRES EXCLAMATIVOS. Son los pronombres relativos que expresan asombro, admiración o exclamación. Tenemos: Qué, cuánto, cómo, quién...  ¡Quién diría!  ¡Qué no ocurrió!  ¡Quién lo hubiera creído!  ¡Qué será de ti!

EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

La oración que presenta pronombre construcción anafórica, es: a) No le hables, Pedro es malo b) Arnaldo es infiel, ¿lo perdonarás? c) La vi llorando a Karla d) La niña está llorando sin consuelo e) Tú, Karen, eres muy linda

b) c) d) e)

con

La, los, lo, las, le, les Mío, tuyo, suyo, nuestro, vuestro Que, quien, cual, quienes Qué, quién, cuál, dónde, cómo

12.

En la expresión Si nos preguntan algo, yo contestaré, los pronombres son: a) Demostrativos b) Posesivos c) Relativos d) Numerales e) Personales

13.

En la expresión Ustedes no se vayan sin nosotros; la parte subrayada presenta el pronombre en caso: a) Nominativo b) Acusativo c) Dativo d) Preposicional e) Proclítico

14.

La expresión que presenta el pronombre con función sustantiva, es: a) Pocos alumnos aprobaron el examen b) Varios vecinos protestan en la calle c) Mi vecino trabaja allá d) Alguien llamó ayer e) Otro obrero resultó herido

15.

En la oración Alicia les lleva muchos caramelos, el pronombre funciona como: a) Modificador directo b) Complemento indirecto c) Complemento directo d) Complemento circunstancial e) Sujeto

16.

La expresión que presenta el pronombre con función adjetiva, es: a) Nuestro país es multilingüe, el vuestro no b) Ella duerme conmigo todas las noches c) Todo esto es para ti d) Aquellos ganaran el concurso e) Ese es el hombre de quien te hablaron

17.

El pronombre, de acuerdo al criterio sintáctico, funciona como: a) Adjetivo, modificador indirecto b) Sustantivo, núcleo del sujeto c) Sustantivo, núcleo del predicado d) Adverbio, predicativo e) Verbo, modificador directo

La a) b) c) d) e)

18.

En la oración Quiero saber quién tuvo la culpa, se registra pronombre: a) Demostrativo b) Posesivo c) Interrogativo d) Indefinido e) Personal

En la oración Aquel compró un departamento elegante; la palabra subrayada funciona como pronombre: a) Adjetivo b) Sustantivo c) Adverbio d) Personal e) Indefinido

19.

En la oración Los triunfos son para nosotros; el pronombre está en caso: a) Nominativo b) Dativo c) Acusativo d) Preposicional e) Complemento directo

20.

En la oración La acosaban porque era muy atractiva; la palabra subrayada, es pronombre: a) Demostrativo b) Numeral c) Interrogativo d) Personal e) Posesivo

21.

La oración Juan se peina sin mirarse en el espejo, el pronombre personal subrayado funciona como: a) Núcleo del predicado verbal b) Complemento indirecto c) Complemento directo d) Complemento circunstancial e) Predicativo

En la oración Los compró en el mercado de polvos celestes; la palabra subrayada, pronombre, cumple la función de: a) Núcleo del sujeto b) Complemento circunstancial c) Complemento directo d) Complemento indirecto e) Modificador directo La oración que presenta pronombre construcción catafórica, es: a) Me pidió el boleto y se lo di b) Al Perú, lo debemos amar y respetar c) Lo dejaste salir; ya volverá ese hombre d) Anabel es mi amiga, ella me respeta e) Ustedes cantaron toda la noche

con

La es: a) b) c) d) e)

oración con pronombre personal en segunda persona,

De a) b) c) d) e)

acuerdo al criterio morfológico, el pronombre presenta: Flexiones de tiempo, persona, género y caso Flexiones de género, número, persona y modo El sustantivo como núcleo del sujeto Flexiones de género, número y persona Flexiones de género, número, persona y caso

El profesor nos castigó en la salida Ayer te vimos en la Plaza Mayor Después del accidente volvió en sí Vive conmigo ella, tu hermana Yo le presté un libro de Aritmética

En la expresión No sé lo que me pasa, solo pienso en ti; el pronombre subrayado está en caso: a) Dativo b) Nominativo c) Proclítico d) Preposicional e) Acusativo

La oración que presenta un pronombre exclamativo, es: a) ¡Qué mujer! b) ¡Qué ruido! c) ¡Qué barbaridad! d) ¡Qué dices! e) ¡Qué tontería! La a) b) c) d) e)

expresión que presenta el pronombre personal LO, es: Lo mejor vendrá más tarde, pensó Lo efímero no es importante, dice mi abuela Lo malo pasará muy pronto, comentan ellas Lo bueno debe ser duradero, desea mi vecina Lo amaré como a nadie, dijo ella

La serie de pronombres relativos, que funcionan como nexo de la proposición subordinada, es: a) Muchos, pocos, varios, cierto, alguien, nadie

oración que presenta pronombre en caso dativo, es: Me besó sorpresivamente en la calle Tú no sabes amar ni ser amada Nos van a comprar un automóvil Quiero bailar contigo en la fiesta Yo te amo mucho aunque no lo parece

40 | C E P R U 2 0 1 5

EL VERBO

ACCIDENTES GRAMATICALES DEL VERBO

CRITERIOS

1. 2. 3.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Semántico Sintáctico Morfológico

Número Persona Tiempo Modo Aspecto Voz

FORMAS VERBALES

1. 2.

1. 2. 3.

Raíz verbal Desinencia

CLASIFICACIÓN DEL VERBO

POR SU FUNCIÓN O PREDICACIÓN a) Copulativos b) No copulativos CRIT ER I O S  T r an sitivo  Intransitivo  Reflexivos o reflejos  Cuasireflejos  Impersonales 2. POR SU FORMA O CONJUGACIÓN a) Regulares b) Irregulares c) Defectivos e incompletos d) Unipersonales o terciopersonales

PERÍFRASIS VERBAL

P. V. del Infinitivo P. V. del Gerundio P. V. del Participio

LOS VERBOIDES

1.

1. 2. 3.

V. del Infinitivo V. del Gerundio V. del Participio a. Activo b. Pasivo  Regular  Irregular

FUENTE: Elaboración propia

9.1. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. Es la palabra que expresa una acción, un proceso o un estado con la posibilidad de expresarlos en distintos tiempos. Ejemplos: Ella camina por la pradera. (Acción) Karen está feliz. (Estado) El postulante es estudioso. (Existencia) Jesús nos amó a todos. (Pasión) Aquel obrero duerme muy poco. (Inacción) Andrea vive en San Jerónimo. (Proceso) B. CRITERIO MORFOLÓGICO. Es una palabra variable, pues presenta accidentes gramaticales de número, persona, tiempo, modo y aspecto (la gramática tradicional considera la voz y no el aspecto) C. CRITERIO SINTÁCTICO. Es la palabra independiente que funciona como núcleo del predicado verbal, ya sea simple compuesto o perifrástico. Ejemplos: Yo amo a mi madre. (Verbo simple) N.P

Adolfo ha comprado un libro de gramática española.

(Verbo compuesto)

N.P

Alicia tiene que viajar mañana. N.P

(Perífrasis verbal)

9.2. LOS ACCIDENTES GRAMATICALES DEL VERBO59 A. EL NÚMERO. Expresa la cantidad de personas que realizan o reciben la acción del verbal. Número singular (una sola) Número plural (dos o más) Ejemplos: SINGULAR

PLURAL (nosotros) cantamos, (vosotros) cantáis, (ellos) cantan

(yo) canto, (tú) cantas, (él) canta B. LA PERSONA. Señala si la acción verbal es realizada o recibida por la persona. Quien habla (1ra P.G.) A quien se habla (2da P.G.) De quien se habla (3ra P.G.)

trabajo, trabajamos trabajas, trabajáis trabaja, trabajan

C. EL TIEMPO. Indica la época o momento en que se realiza la acción verbal. TIEMPOS VERBALES

TIEMPOS FUNDAMENTALES Pasado (pretérito) Presente Futuro Ejemplos: Salté, salto, saltaré

(La Gramática Estructural contempla)

 

Tiempo simple Tiempo compuesto



TIEMPO SIMPLE. Una sola palabra expresa la significación del verbo: el verbo principal o conjugado. Ejemplos: Ana preparó asado de cordero. La secretaria redacta documentos oficiales. Pedro come pastel de choclo.



TIEMPO COMPUESTO. Dos palabras expresan la significación del verbo: el verbo auxiliar haber más el verbo principal en participio pasivo. Ejemplos: Mónica ha viajado a Huancayo. Ella ha leído una novela indigenista. Habíamos pensado en el problema toda la noche. Alfredo ha escrito una carta.

D. EL ASPECTO. Señala si la acción verbal está: Concluida (aspecto perfectivo) o en ejecución (aspecto imperfectivo). Ejemplos: Juan condujo el ómnibus. (Aspecto perfectivo) Juan conduce el ómnibus. (Aspecto imperfectivo) E. EL MODO. Señala la actitud o intención del hablante. Existen cuatro modos verbales: a) Modo indicativo. Se suele usar para presentar un hecho como real y objetivo. El hablante ve los hechos como seguros. Ejemplos: La Tierra gira alrededor del Sol. España participará en los mundiales de atletismo. b) Modo subjuntivo. Se suele usar para presentar un deseo, un hecho posible o un hecho irreal. El hablante no ve los hechos como reales. Ejemplos: ¡Ojalá llueva! Me hubiera gustado ser invisible. Queremos que Manuel escriba poemas. Tal vez viajen a Juliaca. c) Modo imperativo. Se usa para dar órdenes o para pedir algo al oyente. Existen formas imperativas para la 2ª persona del singular y para la 2ª persona del plural, tanto con las formas de tuteo o voseo como con las de respeto. También pertenece al imperativo la 1ª persona del plural. Ejemplo: Permanezca sentado. Cerrad la ventana. Baja el volumen. Mantengamos la calma. Venid conmigo. Cierra la puerta. * LA VOZ. Es el fenómeno morfosintáctico que indica: - Si el sujeto realiza la acción verbal (voz activa) o - La recibe (voz pasiva) NOTA: La voz es considerada como accidente verbal solo por la Gramática Tradicional, no por la Gramática Estructural. Ejemplos: El profesor asesora a los alumnos. (Voz activa) Los alumnos son asesorados por el profesor. (Voz pasiva) Ese muchacho lee El Quijote. (Voz activa) El Quijote es leído por ese muchacho. (Voz pasiva) El fuego devoró la madera. (Voz activa) La madera fue devorada por el fuego. (Voz pasiva)

59

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010) ,181-196.

42 | C E P R U 2 0 1 5 9.3. FORMAS VERBALES O CARACTERÍSTICAS60 El verbo admite formas distintas y resulta de combinar la raíz verbal con las desinencias. Las formas verbales tienen: 9.3.1. La raíz verbal (radical, lexema). Es la parte más importante de la palabra porque informa la acción y el estado del que trata. Resulta de quitar al infinitivo su terminación: ar, er, ir. Ejemplo: cont- ar, beb- er, viv- ir 9.3.2.

Las desinencias. Son las terminaciones de carácter gramatical que se añaden a la raíz para obtener distintas formas verbales. Informan sobre persona, número, tiempo y modo de la forma verbal. Ejemplo: Cont- aban, beb- ían, viv- imos a. La vocal temática (VT). Es el constituyente flexivo que distingue las conjugaciones junto a la raíz. (1ª conjugación en a; 2ª conjugación en e; 3ª conjugación en i) b. Morfema de tiempo y modo (TM). Indica cuándo se realiza una acción. c. Morfema de persona (P). Se refiere a si la acción la realiza el hablante, el oyente o un tercero. d. Morfema de número (N). Nos permite saber si es plural o singular. COMPONENTES DE LAS FORMAS VERBALES Desinencias Raíz o lexema (radical)

1ª Conjugación (vocal temática)

saltsaltsaltsaltsalt- salt-

9.4.

-a-a-a-a-a-a-

Pretérito imperfecto -ba-ba-ba-ba-ba-ba-

Persona

-s -mos -is -n

Número 1ª 2ª 3ª

Singular

1ª 2ª 3ª

Plural

PERÍFRASIS VERBAL61 Es la combinación de un verbo auxiliar y un verbo auxiliado, construido en forma no personal, sin dar lugar a dos predicaciones distintas y funcionan en la oración como un solo núcleo del predicado. 9.4.1. PERÍFRASIS DE INFINITIVO Verbo auxiliar + infinitivo Verbo auxiliar + nexo + infinitivo      

Obligación o necesidad: He de ir al colegio, tengo que ir, debo ir Posibilidad: Puedo ir, debo de ir Principio de acción verbal: Voy a estudiar, me pongo a estudiar, empiezo a estudiar, me echo a leer Terminación de acción: Dejo de trabajar, acabo de trabajar, termino de trabajar Aproximación: Viene a costar diez nuevos soles Repetición: Vuelvo a trabajar.

9.4.2. PERÍFRASIS DE GERUNDIO Verbo auxiliar + gerundio  Duración o progresión: Estoy comiendo, anda tonteando, voy tirando, lleva estudiando, sigue estudiando  Aproximación: Viene tardando dos horas 9.4.3. PERÍFRASIS DE PARTICIPIO Verbo auxiliar + participio  Terminación de acción: Lleva hechos tres ejercicios.  Aproximación: Te tengo dicho que te calles. 9.5.

LOS VERBOIDES (FORMAS VERBALES NO PERSONALES)62 Se denominan verboides porque tienen forma de verbos, pero no funcionan como tales y adoptan las funciones de:  Infinitivo (sustantivo)  Gerundio (adverbio)  Participio (adjetivo) 9.5.1. 



9.5.2. 

60 61 62

EL INFINITIVO. Es la forma sustantiva del verbo y cumple la función de núcleo del sujeto. Simple: sus terminaciones son: ar, er o ir. Amar, beber, vivir. Ejemplos: El amar es maravilloso. El beber calma la sed. El vivir en paz es tarea de todos. Compuesto: se forma con verbo auxiliar haber más participio. Haber amado, haber bebido, haber vivido. Ejemplos: El haber amado fue lo mejor. El haber vivido contigo fue fascinante. EL GERUNDIO. Es la forma adverbial del verbo y cumple la función de circunstancial (expresa la acción en desarrollo) Simple: Termina en: ando o iendo. Bebiendo, Amando, viviendo. Ejemplos: Ella vive amando. Eliseo trabaja acarreando agua. Él sueña viviendo feliz.

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 188-196. REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 2105-2213. REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 1961-2100.



9.5.3.

Compuesto: Se forma con verbo auxiliar habiendo más participio. Ejemplos: Habiendo sufrido ahora vive tranquilo. Habiendo concluido mi trabajo, comí la cena. Habiendo bebido bastante, me iré. EL PARTICIPIO. Es la forma adjetiva del verbo. Existen dos clases de participios: activo y pasivo. a) El participio activo: termina en "ante", "iente" o "ente". Ejemplos: Amante, participante, sonriente, oyente, saliente, obediente. También se considera el participio activo terminado en: “ador”, “edor”, “idor”. Ejemplos: Creador, amador, gobernador, hacedor, oidor. b) El participio pasivo. adopta las siguientes terminaciones:  Participio pasivo regular, termina en: ado(s), ada(s), ido(s) o ida(s). Ejemplos: Niño amado, momento vivido, automóvil vendido, princesa amada, mochila perdida. La policía encontrará a los rehenes atados. Un edificio custodiado por la policía. El libro traducido se perdió. 

9.6.

Participio pasivo irregular, termina en: cho(s)(a)(s), to(s)(a)(s), so(s)(a)(s), jo(s)(a), vo(s)(a). Ejemplos: Cliente satisfecho, documento escrito, libro impreso, postizo fijo

CLASIFICACIÓN DEL VERBO 9.6.1. POR SU FUNCIÓN O PREDICACIÓN (CRITERIO SINTÁCTICO) A. VERBOS COPULATIVOS. Son aquellos que sirven de enlace, nexo o cópula entre el sujeto y el PREDICATIVO (sustantivo o adjetivo).Estos verbos carecen de significación concreta o real, o sea no dan el sentido completo a la oración. Tenemos: SER y ESTAR, aunque también funcionan como verbos copulativos: quedar, parecer, permanecer, resultar, constituir, yacer, soler, semejar, etc. Ejemplos: Alejandro es abogado. Mi compañero está alegre. Aquel animal parece muy salvaje. B. VERBOS NO COPULATIVOS. Son aquellos que poseen significación real o concreta. Por sí solos conforman un predicado. Pueden ir acompañados de modificadores o prescindir de ellos. Se les denominan también verbos predicativos. Estos verbos se subdividen de !a siguiente manera: B.1. VERBOS TRANSITIVOS. Son aquellos que presentan complemento directo (CD) y pueden transitar de la voz activa a la voz pasiva. Ejemplos: Mi vecina lava su ropa. V.TR.

CD

Cayetana trajo noticias buenas. V.TR.

CD

Arnaldo escribe hermosas poesías. V.TR.

CD

La novia cuenta las estrellas. V.TR.

CD

Todos nosotros los aplaudimos por lo presentado. CD

V.TR.

B.2. VERBOS INTRANSITIVOS. Son aquellos que no tienen complemento directo (CD). Ejemplos: Mi vecina lava en el río. V.INTR.

Tú lees con tus padres. V.INTR. Ella trabaja en el municipio. V.INTR.

Roberto viajará a Tarapoto. V. INTR.

B.3.

VERBOS REFLEXIVOS O REFLEJOS. Son aquellos cuya acción verbal se refleja o recae sobre el mismo sujeto que la realiza, utilizan los pronombres personales: me, te, se; funciona como objeto directo u objeto indirecto. El carácter reflexivo del verbo se comprueba si este acepta el refuerzo "mismo" o “misma". Ejemplos: Yo me baño. (a mí mismo) CD

Tú te CD

Ella se

V.REF

peinas. lava las manos.

CI

B.4.

(a ti mismo)

V.REF V.REF

(a sí misma)

CD

VERBOS CUASI-REFLEXIVOS, CUASI-REFLEJOS O REFLEXIVOS DE FORMA. Son aquellos que a pesar de utilizar los pronombres personales: me, te, se, nos, (os), estos no funcionan como CD ni como CI, sino como signos del cuasi-reflejo. (dan énfasis) Además estos verbos no aceptan el refuerzo "mismo" o "misma". Ejemplos: Yo me voy. V.C-R.

Tú te ríes. V.C-R

Ella se durmió. V.C-R.

Nosotros nos fuimos por la carretera. V.C-R.

B.5.

VERBOS RECÍPROCOS. Son aquellos que tienen dos o más núcleos en el sujeto (o un sujeto en número plural) que ejercen una acción verbal mutua entre ellos mismos. Estos verbos utilizan como objeto directo u objeto indirecto, los pronombres personales: se, nos, (os).

Acepta el refuerzo "mutuamente", “el uno al otro”, “entre sí” o "recíprocamente". Ejemplos: Tú y yo nos amamos. CD

V. REC.

Ellos se cuentan chistes. CI

V.REC.

CD

Frank y Alex se dictan las respuestas. OI

B.6.

V.REC.

CD

VERBOS IMPERSONALES. Son aquellos cuyo sujeto se desconoce o no se precisa con exactitud. Además estos verbos no pueden conjugarse con ninguna persona gramatical. Los verbos impersonales o formas no personales del verbo pueden ser de cuatro tipos: a) Verbos que se refieren a fenómenos de la naturaleza: Llovió en Cusco. V.IMP.

Nevó en Chicón. V.IMP.

b)

Los verbos haber, hacer, ser y estar en algunos casos: Hubo protesta. V.IMP.

Hizo frío. V.IMP.

Es muy tarde. V.IMP.

Está garuando. V.IMP.

c)

Verbos personales empleados en tercera persona plural que actúan como impersonales porque no se conoce o no se quiere dar a conocer el sujeto: Cuentan que viajaste a Europa. V.IMP.

Tocan el timbre. V.IMP.

d)

Verbos impersonales por efecto del signo de impersonalidad pronominal "se". Se traspasa local comercial. V.IMP.

Se reciben pensionistas. V.IMP. Se necesita ama de casa. V.IMP.

9.6.2. POR SU FORMA O CONJUGACIÓN (CRITERIO MORFOLÓGICO) A. VERBOS REGULARES. Son aquellos que al ser conjugados no se alteran sus raíces, solamente su terminación. Amar = amo, amas, ama, amamos, amáis, aman, amé, amaste, amo, amaron, etc. Cantar = canto, cantas, canta, cantamos, cantáis, cantan, canté, cantaron, cantarás, etc. Comer = como, comes, come, comemos, coméis, comen, comí, comiste, etc. B. VERBOS IRREGULARES. Son aquellos en cuya conjugación aparecen alteraciones en la raíz, en la terminación o en ambos a la vez. Soñar = soñamos, soñaste, soñaría, sueño, sueñas, sueñan, etc. Rogar = rogaré, rogamos, ruegas, ruego, ruegan, rogaron, etc. Dormir = dormimos, dormiste, dormí, duermo, duermes, etc. Existen verbos que tienen más de una raíz: Ser = soy, era, fui, seré. Ir = voy, iba, fui, iré C. VERBOS DEFECTIVOS. Son aquellos que presentan un cuadro flexivo incompleto, o sea no se conjugan completamente. Carecen de algunos tiempos, números, y personas. Esto se debe al propio significado del verbo que haría ilógico el uso de algunas formas verbales. Ejemplos: Abolir, transgredir, acontecer, atañer, concernir, aterirse, balbucir, blandir, despavorir, embaír, empedernir, incoar, incumbir, manir, soler, preterir, etc. Ramón Castilla abolió la esclavitud. V.DEF.

D. VERBOS UNIPERSONALES O TERCIOPERSONALES. Son aquellos verbos defectivos que solo pueden conjugarse en la tercera persona gramatical. Corresponden a este grupo todos los verbos onomatopéyicos de animales, objetos, fenómenos de la naturaleza (menos onomatopeyas humanas). Ejemplos: Aullar, bramar, cloquear, crepitar, croar, chirriar, graznar, ladrar, relinchar, retumbar, etc. El perro ladra. V.U-T

La ametralladora traquetea. V.U-T.

9.7.

VERBOS AUXILIARES Son aquellos que sirven de ayuda para expresar la significación de los demás verbos. Estos son: ser, haber y estar. a) SER: Sirve para formar la voz pasiva. Gianmarco interpreta un tema nuevo. (V. activa) N

Un tema nuevo es interpretado por Gianmarco. N

b) HABER: Sirve para formar los tiempos compuestos. Jugué tenis con Fredy. (T. simple) N

He jugado tenis con Fredy.

(T. compuesto)

V.aux.

c)

ESTAR: puede actuar como auxiliar de un gerundio. Estoy amando apasionadamente. V. aux. Gerundio

Están preparando el almuerzo. V. aux. Gerundio.

(V. pasiva)

EJERCICIOS

1)

En la oración Me comprenderás, el verbo es: a) Recíproco b) Reflexivo c) Cuasi – reflexivo d) Transitivo e) Defectivo

2)

Los términos frito y bendito, son: a) Gerundio compuesto b) Participio pasivo irregular c) Infinitivo compuesto d) Participio regular e) Verboide infinitivo

3)

La oración Yo te voy a amar siempre, el núcleo del predicado verbal es: a) Verboide infinitivo simple b) Participio pasivo c) Perífrasis verbal d) Verboide gerundio compuesto e) Verbo simple

4)

La oración que tiene verbo copulativo, es: a) Carmen está en el patio b) Aldo está caminando c) Ella trabaja en el municipio d) Yo soy profesor e) Ellos estudian aritmética

5)

En la oración Bailar constituye un ejercicio físico, la palabra subrayada es un verboide: a) Infinitivo compuesto con función de verbo b) Participio con función de adjetivo c) Gerundio simple con función de adverbio d) Infinitivo simple con función de sustantivo e) Gerundio compuesto con función de adverbio

6)

La oración La concursante cantó un hermoso tema andino, el verbo presenta aspecto: a) Imperfectivo b) Potencial c) Indicativo d) Durativo e) Perfectivo

7)

La serie de participios activos es: a) Amando – soñando – veraneando – viviendo b) Participar – correr – poner – disolver c) Presidente – amante – sobreviviente – oyente d) Mutilado – diseñado – leído – tachado e) Dicho – escrito – compuso – propuso

8)

La oración Juan se peina sin mirarse en el espejo, el verbo funciona como: a) Núcleo del predicado verbal b) Núcleo de predicado nominal c) Objeto directo d) Circunstancial e) Predicativo

9)

El verbo intransitivo se aprecia en: a) Anita canta una hermosa melodía b) Llamaran al presidente c) La profesora explica en el aula d) El pollino pateó al campesino e) Yo escribo poemas durante la noche

10)

El gerundio compuesto se presenta en: a) Haber amado fue lo mejor b) El alumno ha resuelto los ejercicios c) Querer es poder d) Habiendo aprobado se fue a Lima e) Ella vive amando intensamente

11)

La acción verbal en aspecto perfectivo está en a) Todos los ambientes serán saneados

b) Los alcaldes favorecen a los transeúntes c) Se dará cumplimiento inmediato a la resolución d) Los usuarios preguntan sobre la avalancha de lodo e) Andrés resolvió todos los ejercicios matemáticos 12)

La oración en tiempo compuesto es: a) Ella quiere viajar a Santiago de Chile b) Cuando estaba lloviendo, se produjo el accidente c) Todos decidieron caminar para colaborar con la naturaleza d) Está escrito en la Ley Sagrada: La Biblia e) Nosotros hemos saludado esa buena acción

13)

En la expresión Algunos desalentaron a los participantes. La raíz del verbo es: a) Alentar b) Desalent c) Alent d) Alentaron e) Dsalentar

14)

En el enunciado El narrador término subrayado es: a) Participio Activo b) Infinitivo Compuesto c) Participio Pasivo d) Gerundio Compuesto e) Participio Pasivo Irregular

15)

En la oración Los obreros han salido a protestar, El núcleo del predicado verbal es: a) Verbo simple b) Infinitivo c) Participio simple d) Verbo compuesto e) Gerundio compuesto

16)

El verbo irregular es: a) Salta b) Lloro c) Comen d) Somos e) Amarán

17)

La oración con verbo copulativo es: a) Ojalá esté contento en ese lugar b) Los amigos han viajado muy lejos c) Todos cuentan historias de amor d) Los docentes conversan con sus alumnos e) Esa mujer está demasiado preocupada

18)

La oración con verbo intransitivo es: a) Nosotros leemos buenos libros b) Ellos ayudan a los necesitados c) Tú te afeitas todos los días d) Ella se fue sin despedirse e) Mi prima estudia en el ICPNA

19)

La oración con verbo irregular es: a) Ellos comían asado de cordero b) Alguien recibió un premio fabuloso c) Escuchaba con entusiasmo la melodía d) Los extraterrestres sí existen e) Yo voy temprano a la universidad

20)

El verbo SER funciona como auxiliar en: a) La universidad es un centro de superación b) Esa enseñanza será la mejor del país c) La juventud es el tesoro de un país d) Ella fue corriendo por la calle e) El texto fue analizado por mi compañero

es mi amigo, el

46 | C E P R U 2 0 1 5

EL ADJETIVO

CRITERIOS

1. 2. 3.

CLASIFICACIÓN DEL ADJETIVO

Semántico Sintáctico Morfológico CALIFICATIVOS

CLASES

1. 2. 3.

DETERMINATIVOS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

GRADOS

Especificativos Explicativos Epítetos

1. 2. 3.

G. Positivo G. Superlativo G. Comparativo

Demostrativos Posesivos Indefinidos Numerales Relativos Interrogativos Exclamativos Gentilicios

FUENTE: Elaboración propia

10.1. A.

CRITERIOS CRITERIO SEMÁNTICO. Los adjetivos “aportan contenidos que se predican de un nombre o de un grupo nominal. A menudo denotan cualidades, propiedades, tipos y relaciones, pero también cantidades, referencias de tiempo o de lugar, entre otras nociones.”63 Es decir, el adjetivo agrega información a los sustantivos. Dicha información puede cualidades, características, tipos, relaciones, cantidad, referencias de tiempo o de lugar, entre otras nociones. Por ejemplo: Significados ADJETIVOS SUSTANTIVOS ADJETIVOS de cualidad

señorita

de propiedad

computadora

de tipo

reloj

de relaciones

Política

de cantidad

numerosos

libros

de tiempo

actual

director

de lugar

paseo

referirse a

inteligente moderna solar (relacionada con la pesca)

pesquera

campestre

Además, se dice también que el adjetivo es la clase gramatical que modifica al sustantivo ya sea calificándolo o determinándolo. Ejemplo: esas

morenas

sus

amables

algunas

vanidosas

cuyas

cusqueñas

cuántas

dos DETERMINAN posesión ubicación cantidad imprecisión interrogación

63

bonitas dedicadas SUSTANTIVO

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 69.

CALIFICAN cualidades característica defectos virtudes procedencia

B.

CRITERIO MORFOLÓGICO. El adjetivo “se caracteriza por presentar flexión de género y número. En este sentido son palabras variables. En ellas el género y número no son inherentes, ya que no poseen significado propio. Por el contrario su finalidad es mostrar la concordancia con el nombre.”64 Es decir, el género y número del adjetivo se determina por el género número del sustantivo. Flexivo de género

lexema

esest-

Flexivo de número

lexema

-s -s

librcas-

-o -a ADJETIVO

Flexivo de género

Flexivo de número

lexema

-s -s

nuev nuev

-o -a SUSTANTIVO

Flexivo de género

-o -a ADJETIVO

EL ADJETIVO ES UNA PALABRA DE INVENTARIO ABIERTO El adjetivo es considerado, lexicológicamente, de inventario abierto, pues su vocabulario va en aumento continuamente. Ejemplo: SUSTANTIVOS Nuevos Adjetivos Jóvenes cibernautas Contraseña crackeada Sociedad globalizada documento escaneado C.

CRITERIO SINTÁCTICO. El adjetivo funciona como modificador directo del sustantivo, como predicativo o atributo del verbo copulativo, y como núcleo del predicado nominal. Ejemplos: a) Como modificador directo M.D. del sustantivo: b) Como predicativo o

Algunos

atributo:

Algunas

alumno s

M.D.

Mi

Como núcleo del predicado

nominal:

estudiosas M.D.

antoniano s

están

M.D.

verbo

Pvo.

es

veloz

verbo

Atrib.

N

caballo

M.D.

c)

niñas

N

blanco

N

Este

M.D.

M.D.

gato

preocupados

cenizo

N

M.D.

,

coma

muy Adv. M.D.

fino Adj. N

El adjetivo “es el núcleo de los grupos adjetivales, que funcionan como modificadores del sustantivo…”65.

10.2.

El

vecino El abogado

Art .

sustantivo

compró hizo verbo

la art.

SUSTANTIVOS casa una propuesta

más

GRUPOS ADJETIVALES linda llena de complejidades.

sustantivo

adverbio

adjetivo

Prep.

N

M.D.

N

E

sustantivo

GRADOS DE SIGNIFICACIÓN DE ADJETIVO CALIFICATIVO Los adjetivos calificativos pueden expresar las cualidades o estados en distintos grados de intensidad. Los grados son:

A. GRADO POSITIVO. Expresa una cualidad que se atribuye a un ser o a un objeto (sustantivo) tal cual es. Mujer hermosa B. GRADO COMPARATIVO. Nombra la cualidad del sustantivo estableciendo una comparación. Presenta tres formas: a) Comparativo de superioridad Esta mujer es más hermosa que aquella. b) Comparativo de igualdad Esta mujer es menos hermosa que aquella. c) Comparativo de inferioridad Esta mujer es tan hermosa como aquella. C. GRADO SUPERLATIVO. Nombra a la cualidad en su grado máximo. Puede ser de dos formas: C.1.

Superlativo Absoluto. dimensiona la cualidad en sumo grado, sin establecer ninguna comparación. El grado superlativo absoluto puede ser de dos tipos: a) Grado superlativo absoluto perifrástico. El adjetivo en grado positivo “es modificado por adverbios como: muy, extremadamente, sumamente, extraordinariamente, notablemente, excesivamente, etc., o por expresiones adverbiales como: en grado sumo, en extremo, en alto grado, etc.” Mujer muy hermosa Mujer extremadamente hermosa Mujer sumamente hermosa Mujer excesivamente hermosa b) Grado superlativo absoluto sintético. Tiene dos formas: 1ra. Forma. Si el adjetivo termina en re o ro, se le añade “érrimo(a)”. Ejemplos:

pobreel sufijo “ísimo”.paupérrimo Se exceptúan: ilustre y diestro que añaden libre libérrimo pulcro pulquérrimo áspero aspérrimo 64REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 69. 65REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 69.

salubre íntegro mísero acre

salubérrimo integérrimo misérrimo acérrimo

Flexivo de número

-s -s

2da.Forma. Si el adjetivo tiene otras terminaciones, se le añade el sufijo “ísimo(a)”. Ejemplos: Mujer hermosísima. amable sagrado amabilísimo nuevo bueno grave fuerte sacratísimo sabio pequeño loable noble valiente gravísimo magnífico frío benévolo fiel loabilísimo nobilísimo valentísimo benevolentísimo fidelísimo

C.2.

novísimo bonísimo fortísimo sapientísimo pequeñísimo magnificentísimo frigidísimo

Superlativo Relativo. Maximiza o minimiza la cualidad en relación a todos de una misma clase o especie. Ejemplos: a) G.S.R. DE SUPERIORIDAD. Ejemplo: Esta mujer es la más hermosa del Cusco. b) G.S.R. DE INFERIORIDAD. Ejemplo: Esta mujer es la menos hermosa del Cusco.

D. COMPARATIVOS Y SUPERLATIVOS IRREGULARES EN ESPAÑOL Existen en español unos cuantos adjetivos que forman el comparativo y el superlativo en forma irregular, es decir, cambiando de radical. FORMAS ESPECIALES O IRREGULARES ADJETIVOS SINCRÉTICOS COMPARATIVO (superioridad)

POSITIVO bueno(a)

mejor peor

malo(a) alto(a) bajo(a) grande

(superior)66 (inferior) mayor menor

pequeño(a)

SUPERLATIVO (absoluto) óptimo (a) pésimo (a) supremo (a)sumo (a) ínfimo (a) máximo (a) mínimo (a)

Podemos decir que estas son formas sintéticas, en general propias del lenguaje culto, para expresar los grados. Sin embargo, se puede dar a entender lo mismo también en forma analítica, así: Este arbusto es mayor que ese. sustantivo

adjetivo

(Forma sintética)

Este arbusto es más alto que ese. sustantivo

Ejemplos: 10.3.

adv. adjetivo

(Forma analítica)

Este libro es mejor que el otro. La película "Hombre Araña 3" es peor que "Hombre Araña 2". La selección peruana es superior a la chilena. Los jugadores brasileños fueron inferiores a los bolivianos. Esta silaba tiene mayor fuerza de voz que la otra. “Equis” es menor que “ye”

CLASIFICACIÓN DEL ADJETIVO

10.3.1. ADJETIVOS CALIFICATIVOS Los adjetivos calificativos son palabras que expresan cualidades o estados del sustantivo al cual modifican. Ejemplo: Mañana lluviosa. Los adjetivos calificativos tienen los siguientes usos: a) ADJETIVO CALIFICATIVO ESPECIFICATIVO. Es el adjetivo que modifica al sustantivo indicando una cualidad; sirve para precisar de qué sustantivo se trata, para especificarlo. Ejemplos: Hombre bueno, mujer pobre, alumno grande. b) ADJETIVO CALIFICATIVO EXPLICATIVO. En las construcciones explicativas, el adjetivo calificativo aparece entre pausas concordando con un sustantivo. Suelen aportar una explicación i justificación. Ejemplos: Los jugadores, contentos con el resultado, lo celebraron juntos. Contentos con el resultado, los jugadores lo celebraron juntos. Las nubes, grises y espesas, amenazaban lluvia. Grises y espesas, las nubes amenazaban lluvia. Los estudiantes, que no eran tontos, advirtieron el engaño. c)

ADJETIVO CALIFICATIVO EPÍTETO. Es el adjetivo que señala una cualidad propia del sustantivo y sirve para dar énfasis a la expresión, tiene la intención estética y poética. Ejemplos: duro mármol, blanca nieve, árido desierto, verde prado, ardoroso estío, roja sangre, negro carbón, frío hielo, verde hierba

10.3.2. ADJETIVOS DETERMINATIVOS Los adjetivos determinativos precisan la extensión o relación respecto al sustantivo. Los adjetivos determinativos se consideran en la actualidad como determinantes. Son de las siguientes clases: a) ADJETIVOS DEMOSTRATIVOS: Los adjetivos demostrativos modifican al sustantivo indicando la distancia de los seres en general en relación al hablante y son:

66

1ra. PG.

este, esta, estos, estas

2da. PG.

ese, esa, esos, esas

3ra. PG.

aquel, aquella, aquellos, aquellas

Los adjetivos (superior) e (inferior) no sincréticos, en latín son comparativos, en español no.

Ejemplos: Pamela analizó esa obra. Ricardo compró aquel ramo. Aquellos momentos nunca volverán. Ese diente de oro. b) ADJETIVOS POSESIVOS. Los adjetivos posesivos modifican al sustantivo indicando posesión o pertenencia. PERSONA

PARA UN SOLO POSEEDOR

1ra. P.G. mío(s) tuyo(s) mía(s) tuya(s) 2da. P.G. suyo(s) suya(s) 3ra. P.G. Ejemplos: mi barrio, tu ideal, nuestros orígenes, su madre, vuestras ilusiones. c)

PARA VARIOS POSEEDORES mi(s) tu(s) su(s)

nuestro(s) vuestro(s) suyos

nuestra(s) vuestra(s) suyas

ADJETIVOS NUMERALES. Modifican al sustantivo indicando cantidad y número exactos. Comprende:  Cardinales.- expresan cantidad exacta: cinco delincuentes, tres soles.  Ordinales.- Expresan orden o sucesión: segundo nivel, sexto grado, undécimo lugar.  Múltiplos.- Indican multiplicación, repetición: doble baile, triple vacuna.  Partitivos.- Indican división o fracción de la unidad (estos adjetivos van acompañados del sustantivo “parte” a excepción de medio, mitad y tercio): media manzana, cuarta parte, novena parte. En algunos casos, se forma añadiendo el sufijo “avo”: onceavo u onzavo, doceavo o dozavo, etc.  Distributivos. Indican distribución. Los adjetivos distributivos son: sendos, sendas, cada, ambos. Ella escribió sendas cartas a sus amigos. El auxiliar dio sendos comunicados a los alumnos. Cada loco con su tema.

d) ADJETIVOS INDEFINIDOS. Modifican al sustantivo señalando número indeterminado, manera vaga e imprecisa. Los principales son: alguno (s), varios, ningún(o), cierto, unos, pocos, mucho(s), cuantos, etc. Ejemplos: Algunos alumnos aprobaron el examen. Cierto día llegaron al Perú hombres barbudos. e)

ADJETIVOS RELATIVOS. Se refieren a un sustantivo ya mencionado en la oración. El adjetivo relativo es “cuyo” y sus variantes cuya, cuyos, cuyas. Ejemplos: El nuevo congresista, cuyo rostro apenas había visto, pronunció un discurso. La alumna cuya nota es la más alta estudia con métodos modernos.

f)

ADJETIVOS INTERROGATIVOS. Modifican al sustantivo en preguntas directas e indirectas.  Preguntas directas: (con signos de interrogación) ¿Qué libro estudias? ¿Cuántos años tienes? ¿Cuál dirección buscas?  Preguntas indirectas: (sin los signos de interrogación). Quisiera conocer qué problema tienes. No sé qué producto compró.

g) ADJETIVOS ADMIRATIVOS O EXCLAMATIVOS. Modifican al sustantivo al expresar admiración o asombro. Ejemplos: ¡Qué belleza! ¡Cuánta fruta! ¡Cuánto tiempo perdiste! h) ADJETIVOS GENTILICIOS. Indican origen o procedencia. Ejemplos: Danza cusqueña Automóvil francés Jugador chalaco EJERCICIOS 1.

Semánticamente el adjetivo es: a) Es modificador directo o predicativo b) Varía en género y número c) Solo califica cualidades de un sustantivo d) Determina procedencia, cualidad, origen, tipo de un sustantivo e) Aporta contenido que se predica de un nombre

2.

En la oración Es un buen tipo mi viejo, el adjetivo calificativo funciona como: a) Predicativo del verbo copulativo b) Modificador directo del sustantivo viejo c) Modificador directo del sustantivo tipo d) Grupo adjetival e) Determinante

3.

La expresión en que se ha agregado un sufijo a un adjetivo para formar su grado superlativo absoluto sintético, es: a) Volverán muy felices a las clases b) Has desarrollado muy buen gusto c) Estas mucho más bella que nunca d) Bellísima sirena, la de mi sueño e) Ollanta Humala y Nadine Heredia son demasiado indolentes

4.

La oración con adjetivo explicativo es: a) ¡Quiero el helado grande! b) Muy grande te quedó el cargo c) Juan está leyendo un libro muy interesante d) Es todo un lujo, el agua caliente e) Buena moza, la que llevé al río

5.

La opción sin epíteto es: a) Las verdes praderas b) La obscura noche c) El sempiterno hielo d) El cálido sol e) La blanca luna

6.

En la oración Los enanitos verdes se alegraron cuando la bella durmiente dejó la casa rebosante de alegría, marque la opción con un grupo adjetival que funciona como modificador de un sustantivo: a) verdes b) bella durmiente c) durmiente d) rebosante de alegría e) de alegría

50 | C E P R U 2 0 1 5 7.

La oración Mi jefe es flexible comprensivo con sus trabajadores, presenta el grado: a) Comparativo b) Superlativo absoluto c) Superlativo relativo d) Positivo e) Comparativo

8.

La oración con adjetivo interrogativo es: a) Me preguntó qué haríamos hoy b) Cuánto cobras, le preguntó el cliente c) Para quién trabajó toda la noche d) No sé cuándo volverás a mi lado e) Pregúntale, en qué lugar se enamoró de ti

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

En la expresión Lo que quiero decir es que hay enunciados cuyo sentido principal es ofrecer información, el termino subrayado es: a) Adjetivo relativo b) Adjetivo numeral c) Adjetivo indefinido d) Pronombre relativo sustantivado e) Adjetivo demostrativo La opción con adjetivo numeral es: a) De todos los pastelillos, me comí dos b) Para no engordar solo como la mitad c) Tú sube en el ascensor, nos vemos en el quinto d) Estaba muy irritado, rompió dos vasos e) A ti te dio mucho; a mí, solo el doble de mi sueldo La oración que presenta grado superlativo del adjetivo, es: a) Los países europeos celebraron un acuerdo supranacional b) La liebre es más ágil que el zorro c) El alcalde de aquel pueblo es integérrimo d) Juan es menos estudioso que su hermano e) El profesor de filosofía enunció proposiciones apodícticas La oración que presenta concordancia entre sustantivo y adjetivo, es: a) Hay golpes tan fuertes que hacen sufrir al hombre b) Madre e hijos estaban preocupados por los resultados del examen de admisión c) Buscaré informaciones en los periódicos d) Trabajar y amar es vivir venturosamente e) Ahora no tengo soledad que me devore el alma En la expresión La roja sangre de sus héroes, inspira la peruanidad, el termino subrayado corresponde a un adjetivo: a) Demostrativo b) Posesivo c) Epíteto d) Indefinido e) Explicativo La afirmación adecuada respecto al adjetivo, es: a) Posee accidente gramatical de persona b) Posee accidente gramatical de tiempo c) Solo califica a los seres o sustantivos propios d) Determina de vez en cuando e) Modifica al nombre o sustantivo La oración con adjetivo superlativo absoluto es: a) Tiene ojos nigérrimos como la noche b) Cuanto más pobre, más estudioso c) Carlos es flaco y José, muy gordo d) Rojo como la sangre, blanco como la nieve e) Los muchachos aplicados estudian demasiado La alternativa que presenta adjetivo indefinido es: a) Los alumnos son estudiosos b) Algunos estudiantes aprobaron el año c) Ella juega en el campo d) Ocupó el primer puesto e) Les dieron sendos premios

17.

La expresión que presenta adjetivo en grado superlativo absoluto sintético, es: a) El libro de Rubén es extremadamente interesante b) Mi tío Ismael es muy sapientísimo c) María Esther es la menos agraciada del grupo d) Miguel es excesivamente pulquérrimo e) Los abuelos de Inés son benevolentísimos

18.

La oración que presenta adjetivo indefinido, es: a) Tanto imploró que todos le perdonaron b) Carlos escribe en la biblioteca cada mañana c) Algunos jóvenes viajaron a Francia súbitamente d) Hermosas chompas teje Estela para sus pequeños hijos e) Trabajan arduamente esos obreros chiclayanos

19.

El enunciado con adjetivo superlativo perifrástico, es: a) Esas manzanas son deliciosas b) Laura es más inteligente que Mery c) Rosa es sumamente estudiosa d) Ella es tan buena como Luisa e) Ese lobo es ferocísimo

20.

La oración que presenta adjetivo indefinido, es: a) Muchos piensan que la vida es fácil b) Se realizaron quince experimentos c) Este día es significativo para nosotros d) Cierto día cosecharon en abundancia e) ¡Qué prueba interesante!

21.

El enunciado que presenta adjetivo gentilicio, es: a) Una veintena de voluntarios trabajan denodadamente b) Tenía todas las características de un líder c) Mi hermano consiguió ingresar a la universidad d) Los damnificados nipones suman varios millares e) Esos muchachos trabajan arduamente

22.

La oración que presenta adjetivo sustantivado, es: a) Vinieron diez hombres rebeldes b) Lo triste fue perderte c) Los ricos comen bien d) Vienes el viernes e) Tengo un televisor americano

23.

El enunciado Pisaré las tristes calles y en una hermosa plaza recordaré nuestros buenos momentos. La cantidad de adjetivos es: a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 1

24.

El a) b) c) d) e)

25.

Los adverbios que intervienen en la formación del grado comparativo del adjetivo son: a) Muy, suavemente b) Más, menos, tan c) Que, como d) Mucho, también e) Menos, demasiado

26.

En la oración Ningún hombre debe ser indiferente en su entorno ni a su realidad, la palabra subrayada es: a) Pronombre indefinido b) Adjetivo indefinido c) Adjetivo relativo d) Adverbio de cantidad e) Adjetivo posesivo

adjetivo calificativo en grado superlativo absoluto es: Tiene más problemas que sus amigos Es tardísimo para eso Esos niños están hambrientos Ese gobernante es peor que el anterior Regresa lo más rápido que puedas

EL ARTÍCULO

CRITERIOS

CLASIFICACIÓN

FUNCIONES Y VALORES DEL ARTÍCULO

1. 2.

1. 2. 3.

Semántico Sintáctico

Determinado Indeterminado Neutro

EL ARTÍCULO COMO

HIATO EN LOS ARTÍCULOS

SUSTANTIVADOR POR EXCELENCIA

EL ADVERBIO

CRITERIOS

CLASIFICACIÓN

APÓCOPE DEL

FRASES O

ADVERBIO

LOCUCIONES ADVERBIALES

1. 2. 3.

Semántico Sintáctico Morfológico

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Adv. de lugar Adv. de modo Adv. de cantidad Adv. de tiempo Adv. de orden Adv. de afirmación Adv. de negación Adv. de duda

FUENTE: Elaboración propia

EL ARTÍCULO 11.1. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. Según la Nueva gramática de la lengua española, el artículo “es una clase de palabra de naturaleza gramatical que permite delimitar la denotación del grupo nominal del que forma parte, así como informar de su referencia”67. Así mismo, es una palabra que carece de significado propio; no tiene significado ni contenido pues siempre va antes del sustantivo. Ejemplos: - El estudiante – Un amigo - Los estudiantes – Unos amigos - La cámara - Las cámaras B. CRITERIO MORFOLÓGICO. Es una palabra variable, ya que tiene morfemas flexivos o accidentes de género y número, los cuales deben concordar con el sustantivo. Ejemplos: - El artista - Un artista - La artista - Una artista - Los artistas - Unos artistas - Las artistas - Unas artistas

67

REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 263.

52 | C E P R U 2 0 1 5 NÚMERO

GENERO: MASC.

SINGULAR PLURAL

GENERO: FEMEN.

GENERO: NEUTRO

el

la

lo

los

las

-

C. CRITERIO SINTÁCTICO. Es un determinante que funciona como modificador directo del sustantivo, el artículo siempre antecede al sustantivo. -La casa -Los árboles F/S.

M/Pl.

-Los amigos de Inés compraron unos muebles ayer. -La casa y el colegio están cerca de un grifo junto a los manantiales. -Hoy he recibido la carta enviada por mi prima desde Suecia. 11.2. CONTRACCIÓN GRAMATICAL DEL ARTÍCULO El único artículo que se puede contraer es El, esto solo ocurre cuando se une o se amalgama a las preposiciones “a” y “de”, es decir, se llama contracción gramatical, a la fusión de dos vocales en una sola sílaba. PREPOSICIÓN a de

+ + +

ARTÍCULO el el

= = =

CONTRACCIÓN al del

USO Él va al campo. Él viene del sur.

Según la REA, las formas contractas o amalgamadas del artículo son llamadas también CONGLOMERADOS68. Nota 1. Las contracciones se usan solo ante sustantivos comunes. Si el artículo es parte integrante de la expresión denominativa, no debe contraerse, ejemplo: La soledad de El Escorial La pintura de El Greco Una página de El Quijote NOTA 2. Cuando el artículo no está integrado al topónimo se usa la contracción, ejemplos: Un viaje al Río de la Plata (Topónimo) La provincia del Chaco (Topónimo) NOTA 3. Si el artículo forma parte del topónimo entonces no procede la contracción, ejemplos: Ellos vienen de El Salvador. Viajaremos a El Cairo. 11.3. CLASIFICACIÓN DEL ARTÍCULO Para la RAE, este es el paradigma de los artículos69 A. ARTÍCULO DETERMINADO. Llamado también determinante o definido, hace referencia a un sustantivo conocido por el hablante y el oyente. MASCULINO FEMENINO NEUTRO el la lo los

las

Singular

-

Plural

Ejemplos:  La casa tiene el techo rojo y las ventanas grandes.  Las rosas están en el rosal. Dice la RAE: “En, Hoy he recibido la carta, el grupo nominal está introducido por el artículo determinado o definido. Se expresa de este modo que la carta de la que se habla se supone identificable por el oyente”70. B. ARTÍCULO INDETERMINADO. Llamado también indeterminado o indefinido, hace referencia a un ser no conocido o entidades no mencionadas previamente. MASCULINO

FEMENINO un

una

unos

unas

Ejemplos: Un día les contaré una historia fantástica. Unos admiradores de unas bellas damas, conquistaron sus corazones. En un rincón había un violín. ARTÍCULO NEUTRO. “LO” Llamado también genérico, sirve para sustantivar a los adjetivos convirtiéndolos en sustantivos abstractos. Ejemplos: Lo bueno supervive Lo importante es primero Lo malo se acaba Lo justo es un valor NOTA 1. Gramaticalmente se considera al artículo neutro como masculino singular, para efectos de concordancia. Ejemplos: -Lo bello es admirado. Masc./Sing.

-Lo bueno debe ser imitado. Masc./Sing.

68 69 70

REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 267. REA - Morfología sintaxis I, 265. REA - Morfología sintaxis I, 263.

Singular Plural

11.4. FUNCIONES Y VALORES DEL ARTÍCULO A. OBSERVACIONES DEL ARTÍCULO A.1.El artículo determinado actúa como PRESENTADOR del sustantivo. Ejemplos: “Historia del hombre abunda en hechos heroicos”. (poco viva) “La Historia del hombre abunda en los hechos heroicos”. (más viva/más concreta) A.2. El artículo indeterminado “un” y sus variantes sirven para destacar la calidad y el valor, para dar mayor énfasis a la expresión. Ejemplos: -Eres amor (frase fría) – Eres un amor (frase enfática) -Ese amigo tuyo es idiota (Frase fría) – Ese amigo tuyo es un idiota (frase enfática) A.3. El artículo funciona como desambiguador de género y número de algunos sustantivos. Ejemplos: -El dentista (Masc.) -La tesis (singular) -La dentista (Femen.) -Las tesis (plural) A.4. Cuando dos o más adjetivos calificativos modifican a un sustantivo, entonces el artículo debe preceder solo al primer adjetivo. Ejemplos: -El débil y el triste mendigo durmió en el piso (incorrecto) -El débil y triste mendigo durmió en el piso (correcto) A.5. Es opcional el uso del artículo en ciertos nombres de países o ciudades. Ejemplos: -Perú/El Perú -Japón/El Japón -Cusco/El Cusco -Argentina/La Argentina *No acepta artículo: Bolivia, Chile, Colombia, Panamá. 11.5. HIATO EN LOS ARTÍCULOS. Sabemos que el artículo concuerda en género y número; pero, por razones de eufonía (armonía de sonidos), los sustantivos femeninos que empiezan con “a” o “ha” tónicas deben de estar precedidos por el artículo el, solo en número singular. En el plural acepta el artículo que le corresponde. Ejemplos: -El ánfora/Las ánforas -El águila/Las águilas -El ala/ Las alas -El arpa/Las arpas -El aula/Las aulas -El aspa/Las aspas

-El agua/Las aguas -El hada/Las hadas -El alma/Las almas -El arma/Las armas -El hacha/Las hachas

11.6. COMO SUSTANTIVADOR UNIVERSAL. El artículo es sustantivador universal porque cuando a una palabra de categoría gramatical distinta al sustantivo, se le antepone el artículo, este determina la función de la palabra (la convierte en sustantivo). Ejemplos: -El inteligente superó a todos en la competencia. -El fumar es dañino para la salud. Adj. Sustantivado

v. sustantivada

-El bien debe estar por encima del mal.

-El mío es más colorido que el tuyo.

Adv. Sustantivado

Pronomb. Sustantivada

-El ¡ay! Asustó a la familia.

-El pero debe ser superado.

Interj. Sustantivada

Conjunc. Sustantivada

-El porqué será explicado oportunamente. Conjunc. Sustantivada. -El pro y el contra deben ser analizados. Preposic. Preposic. Sustantivada.

-El vestido de rojo es el bombero. Frase sustantivada

-La que acaba de llegar es mi prima. Proposic. Sustantivada

EJERCICIOS 1.

En la oración Un amigo es el que está en todo momento el que te levanta cuando estás decaído, se aprecia: a) Un artículo indeterminado b) Un artículo neutro c) Dos artículos indeterminados d) Un pronombre indefinido e) Un adjetivo indefinido

2.

La contracción del artículo es incorrecta en: a) La delegación mañana se va a El Cairo b) La entrada al templo fue clausurada c) No podía encontrar el párrafo de El Lazarillo de Tormes d) La primicia provenía del Comercio e) Hemos comprado productos del mercado

3.

El artículo determinado se aprecia en: a) Tú me lo pediste y te lo traje b) Les llamará la semana siguiente c) Ellos quieren que lo haga d) La dejé de amar poco a poco e) No las dejes partir

4.

Sintácticamente, el artículo desempeña la función privativa de: a) Núcleo del modificador directo b) Núcleo del modificador indirecto c) Modificador directo d) Modificador indirecto e) Presentador del sustantivo

9.

La es: a) b) c) d) e)

10.

5.

El uso incorrecto del artículo se ve en: a) La apendicitis b) El agua c) La áspid d) El hacha e) La araña

6.

En la expresión Entonces lo seguí con la mirada. Las palabras subrayadas son respectivamente: a) Adjetivo - artículo b) Pronombre – adjetivo c) Artículo – artículo d) Pronombre – artículo e) Pronombre – pronombre

7.

El artículo y el …………… modifican al sustantivo: a) Adverbio b) Pronombre c) Sustantivo d) Verbo e) Adjetivo

8.

La expresión No lo he visto desde la última sesión que tuvimos en el CEPRU. Presenta…..artículos: a) Dos b) Tres c) Cuatro d) Cinco e) Seis

cantidad de artículos de la gramática española, Dos Tres Seis Nueve Diez

Se aprecia una contracción gramatical del artículo en:

a) b) c) d) e) 11.

Él día que nos conocimos fue hermoso De aquí a la eternidad, te amaré Ante lo dicho no hay vuelta atrás Del otro lado del río viene mi amada Le daré todo mi amor y comprensión

La alternativa que presenta un artículo neutro, es: a) El hombre nace bueno, la sociedad lo corrompe b) Sombríos pensamientos lo asaltaban con frecuencia

c) Lo malo es que no hay nada que comer d) Lo compré en el mercado e) Le expliqué todo con claridad

a)

“Paco Yunque” cuento que remarca las diferencias sociales y económicas b) Ayer se publicó en “El Peruano” un Decreto Supremo c) En la novela “Los Miserables” se aprecia la oposición entre el bien y el mal d) De una u otra manera los animales sirven al hombre e) La novela del “Lazarillo de Tormes” es anónima

12.

La oración que presenta un artículos determinado, es: a) Vicente se lava rápidamente b) Recupera las llaves del portero c) Enrique y yo nos mirábamos d) Tú y yo haremos un gran negocio e) Nos la vendió a buen precio

13.

La oración que tiene contracción gramatical mal utilizada, es:

14.

El enunciado que presenta el artículo con función de modificador del sustantivo, es: a) Nos saludamos frecuentemente b) El juguete es muy barato c) Ustedes van a vestirse inmediatamente d) Ellos lucharon por la libertad e) Los que me entrevistaron fueron amables

15.

En la oración Deslizó una indirecta que motivó en el adversario un enfado que no pudo disimular. La cantidad de artículos que presenta la oración anterior, es: a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 1

16.

En la oración Un descanso reparador será necesario para el fatigado. La cantidad de artículos que presenta la oración, es: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5

EL ADVERBIO 11.7. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. Es una clase de palabras que agrega significados y aporta ideas al verbo, adjetivo y otro adverbio. Ejemplos: -Nosotros estudiamos bastante para el examen. -Ellos corren lentamente. v.

adv.

v.

adv.

-Salió de la casa muy contento. adv.

adj.

-Llegaste demasiado tarde a mi vida. adv.

adv.

B. CRITERIO MORFOLÓGICO. Es una palabra invariable, carece de accidentes gramaticales, tiene ausencia de flexión. Ejemplos: -Yo nunca jamás me olvidaré de ti. -Nosotros nunca jamás nos olvidaremos de ti. C. CRITERIO SINTÁCTICO. Tiene una relación de modificación con grupos sintácticos, correspondiente a distintas categorías gramaticales. En efecto, los adverbios modifican principalmente a los verbos, a los adjetivos y también a otros adverbios. Ejemplos:  MODIFICA A UN VERBO: Paseas tranquilamente. v.

Ella estudió apenas.

adv.

v.

 MODIFICA A UN ADJETIVO: Sumamente satisfecho de los resultados. adv.

adv.

MODIFICA A OTRO ADVERBIO: Irremediablemente y lejos de su patria.



Ella es tan diplomática.

adj.

adv.

adv.

El camina despacio.

adv.

v.

El ingeniero es muy eficiente.

adj

Muy bella. adv.

adv.

11.8. CLASIFICACIÓN DEL ADVERBIO71 Existen muchos criterios para clasificar los adverbios, pero los fundamentales son los siguientes: a)

ADVERBIOS DE LUGAR: Indican situación, lugar, espacio, orientación, ubicación. Ejemplos: Arriba, abajo, alrededor, afuera, dentro, adentro, adelante, debajo, fuera, junto, cerca, lejos, atrás, detrás, delante, encima, aquí, allá, ahí, dondequiera, acá, adonde, donde, adónde, dónde, etc.

71

adv.

-Arriba, siempre arriba, dijo: Jorge Chávez. -Jóvenes delante está su porvenir. -Junto a ti está tu madre. -Alrededor de tu vida, están tus objetivos. -Aquí están los mejores.

Leonardo Gómez Torrego, Análisis Morfológico – Teoría y práctica, (Madrid: Editorial SM Internacional, 2011), 234

adv.

adj.

Vivimos tan cerca y no nos vemos. adv. adv.

b)

ADVERBIOS DE TIEMPO: Indican período, época, ciclo, sucesos. Ejemplos: Después, después, siempre, pronto, aún, todavía, mientras, hoy, ayer, anoche, anteayer, mañana, ya, ahora, recién, -Estarás para siempre en mi corazón. cuando, cuandoquiera, recientemente, previamente, inmediatamente, -Mañana será mejor. antes, enseguida, posteriormente, simultáneamente, temporalmente, -Pronto daremos el siguiente examen. actualmente, antiguamente, recientemente, brevemente, largamente, -Inmediatamente volveremos a clases. cotidianamente, habitualmente, semanalmente, esporádicamente, -El Perú después será campeón. frecuentemente, bienalmente, diariamente, semanalmente, etc. -Todavía estás en mi corazón.

c)

ADVERBIOS DE MODO: Indica maneras, costumbres, modalidades, procedimientos, etc. Ejemplos: Regular, despacio, aprisa, ordenadamente, tranquilamente, así, bien, mal, apenas, tal, -Rosa trabaja bien. mejor, peor, deprisa, tranquilamente, -Las tortugas caminan despacio. -Carlos apenas pudo hablar. inconscientemente, plácidamente, etc. -El atleta daba sus saltos aprisa. -El niño duerme plácidamente en los brazos de su madre.

d)

ADVERBIOS DE CANTIDAD: Indica parte, porción, trozo. etc. Ejemplos: Poco, menos, mucho, tanto, tan, cuan, cuanto, algo, demasiado, bastante, -Mis amigos están muy preocupados por ti. medio, más, casi, mitad, harto, muy, -Tu casa es muy hermosa. suficientemente, nada, suficiente, -Te esperé demasiado. considerablemente, extremadamente, -Tanto tiempo disfrutamos de este amor. escasamente, notablemente, -Casi perdí la vida por ti. etc.

e)

ADVERBIOS DE ORDEN: Indica ordenación, agrupación, organización, sucesión. Ejemplos: -Primeramente habló el director y seguidamente el profesor. -Últimamente estoy llegando puntual. -Finalmente aprobé el examen.

Primeramente, últimamente, seguidamente, finalmente, etc. f)

ADVERBIOS DE AFIRMACIÓN: Indica certeza, aseveración, confirmación, ratificación, aserción. Ejemplos: -Ciertamente volveré por ti. Sí, claro, ciertamente, seguramente, seguro, -Seguramente estaremos viajando pronto. efectivamente, indudablemente, positivamente, -Indudablemente lograremos nuestro ingreso. etc. -Los resultados fueron valorados positivamente. -Efectivamente fue elegido el candidato.

g)

ADVERBIOS DE NEGACIÓN: Señala objeción, impugnación, refutación, contradicción. Ejemplos: No, nunca, jamás, nada, tampoco, negativamente, contradictoriamente.

-No viajes, tampoco me dejes. -No, nunca, jamás te perdonaré. -Con nada me conformo.

h)

ADVERBIOS DE DUDA: Señala inseguridad, incertidumbre, titubeo, vacilación. Ejemplos: -Quizás viajes en lancha. Quizás, a lo mejor, quién sabe, acaso, tal vez, -A lo mejor vuelves a soñar. etc. -Quién sabe si nos volvamos a encontrar. -Tal vez viaje.

i)

ADVERBIOS TERMINADOS EN “MENTE” La mayoría son adverbios de modo, formados por un adjetivo más el sufijo “mente”. Fácilmente, lentamente, felizmente, claramente, silenciosamente, útilmente, etc.

rápidamente, suavemente, verdaderamente,

-Retorné rápidamente. -Llegué temprano felizmente. -La exposición estuvo claramente. -Verdaderamente este trabajo es excelente. -Lentamente llegaron los invitados.

11.9. FRASES O LOCUCIONES ADVERBIALES Las frases adverbiales son expresiones fijas constituidas por varias palabras que equivalen a un solo adverbio, ejemplos: A más no poder, al máximo, a mares, a todo pulmón (cantidad), de vez en cuando, a menudo, a diario, a la vez, para siempre, a veces (tiempo), a gatas, a escondidas, a pies juntillas, a dos carrillos, punto a punto (modo). LOCUCIONES ADVERBIALES PAUTAS SINTÁCTICA “prep. + sust. sing.”

EJEMPLOS DE LOCUCIONES a bocajarro, a gusto, de día, de reojo, en secreto, sin duda

“prep. + sust. pl.”

a trozos, a pedazos, a cachos

“prep. + sust. (lat.)”

ex aequo, in memoriam, in situ

“prep. + grupo nominal”

a fuerza, al azar, a primera vista

a grito pelado, a salto de mata

“prep. + adj./part.”

a diario, en serio

a ciegas, a oscuras

“prep. + art. + adj.”

a la larga

a lo grande

correlación de prepos.

de un momento a otro, de ahora en adelante, de vez en cuanto

grupos nominales

una barbaridad, una eternidad

esquemas coordinados

más tarde o más temprano, ni más ni menos

-Resolvió el problema de matemáticas en un dos por tres. -Lucharé a brazo partido. -Esta parrillada está a pedir de boca. -Camina con pies de plomo. -Esa pareja pelean como perro y gato. -La madre la defendió a capa y espada.

a gatas, a saltos, a tientas

horrores, montones

-Trabajaremos el día viernes de sol a sol. -Ella propaló la noticia a los cuatro vientos. -Él es un hombre a carta cabal. -Todo el plan resultó a las mil maravillas. -Se puso a buen recaudo.

de una vez, de un trago

acto seguido

11.10.

APÓCOPE DEL ADVERBIO Se define apócope a la pérdida o desaparición de uno o varios fonemas o sílabas al final de algunas palabras. En español, se apocopan tanto adjetivos como adverbios, sustantivos, verbos y determinantes, ejemplos: Mucho-muy Tanto-tan/ Cuanto-cuán

Esto sucede cuando precede a un adjetivo o a un adverbio, pero no ante más, menos y peor: -“muy bajo, muy temprano”

Los dos pierden la sílaba final ante adjetivos o adverbios: “tan bonito, cuán cercano” Pero no ante una forma verbal, aunque en el lenguaje coloquial se haga a veces: “tan es así, tan era cierto” Las firmas correctas son: “tanto es así, tanto era cierto”

NOTA: De acuerdo con el criterio de su naturaleza gramatical, los adverbios pueden ser LÉXICOS y GRAMATICALES. Léxicos cuando son de inventario abierto como adrede, bien deprisa, regular temprano y la mayor parte de los terminados en mente. Los adverbios gramaticales son de inventario cerrado. Entre estos tenemos a: - Demostrativos (aquí, ahora, así, etc.) - Identificativos o referenciales (antes/ después; delante/ detrás; encima/ debajo, etc.) - Cuantificativos (muy, algo, demasiado, etc.) - Relativos (cuando, cuanto, como, donde, etc.) - Interrogativos (cuánto, cuándo, cómo y por qué) - Exclamativos (cuánto, cuándo, cómo y por qué) - De foco o focales (no, también, solo, incluso, precisamente, concretamente) EJERCICIOS 1.

Un adverbio modifica a otro adverbio en: a) Los coches iban despacio b) Viene allí lejos c) Aquello era realmente bello d) Mis amigos eran poco estudiosos e) Camina lentamente con su padre

10.

El adverbio modifica a un adjetivo en: a) Ella habla muy bien b) El jardín es muy hermoso c) Llegó muy tarde d) Estuvo tan lejos e) Vive tan lejos

2.

La alternativa que presenta dos adverbios, es: a) Búscalo encima de la mesa b) Posiblemente deba operarme c) Aquí llueve a cántaros d) Antes era distinto, ahora es complicado e) Quiero que lo hagas mejor tu trabajo

11.

Un adverbio modifica a un adjetivo en: a) Raúl vive bastante lejos b) Quedó medio loca con tantos problemas c) Muy pronto saldrá el sol d) Tengo poco dinero e) Me conformo con poco

3.

Los adverbios únicamente de modo son: a) Ahora – siempre – nunca - jamás b) Despacio – así – mal - regular c) Allí – no – quizá - nunca d) Seguro – si – mañana - no e) Pronto – ahora – antes – hoy

12.

La relación incorrecta de la clase de adverbio es: a) Hoy – tiempo b) Nunca - negación c) Aquí – lugar d) Junto – modo e) Sí – afirmación

4.

La oración que presenta adverbio de modo, es: a) Ese chico habla demasiado b) Nos gusta mucho viajar c) Siempre vamos a nadar los martes d) Finalmente llegó a tiempo e) Nunca se nos olvida llevar la radio

13.

Los adverbios únicamente de tiempo son: a) Delante – recién – aquí – allí b) Cerca – lejos – encima – abajo c) Aquí – pronto – siempre – nunca d) Quizá – como – sí – nunca e) Pronto – ahora – antes – hoy

5.

La a) b) c) d) e)

14.

La a) b) c) d) e)

6.

La alternativa que presenta adverbio, es: a) Otros vienen b) Van muchos c) Mucho gana d) Llevan regalos e) Algunos vendrán

15.

La alternativa que presenta adverbio de duda, es: a) Muchos postularon b) Algunos escriben c) Llevan paquetes d) Aquellos jóvenes hábiles e) Quizá vayamos al cine

7.

La alternativa que presenta adverbio, es: a) No es tan difícil saberlo b) Habló para todos c) Perdí porque no entrené d) Ella buscaba problemas e) Cristina jugó y ganó

16.

La alternativa que presenta adverbio de cantidad, es: a) Eres poco hablador b) Mañana viaja a Chile c) Muy pronto saldrá el Sol d) Luis y María leen con esmero e) Tu hermana llegará pronto

8.

Las palabras ciertamente y contradictoriamente son adverbios de: a) Modo - tiempo b) Afirmación - negación c) Lugar - orden d) Tiempo - modo e) Orden - Tiempo

17.

La alternativa correcta respecto al adverbio, es: a) La busqué abajo de la cama b) Caminaba adelante tuyo c) Estaba atrás de ti d) Mujer media loca e) caminaba detrás de ti

18.

9.

El adverbio de orden es: a) Rápidamente b) Indudablemente c) Positivamente d) Negativamente e) Seguidamente

La oración que presenta adverbio de tiempo, es: a) Nunca resultó lo nuestro b) Viven aquí c) Ayer vinieron d) Trabaja mucho e) Llegó lentamente

alternativa que presenta adverbio de tiempo, es: Ayer llegué a clase muy pronto Este árbol es muy alto María canta tan bien Aquí arriba colocaré el libro Quizá vuelva con él

oración que presenta solo adverbios de lugar, es: Ahora caminaremos rápido Quizá viaje a Trujillo Allá, lejos, alrededor de la fogata cantábamos No siempre dices la verdad Finalmente pudieron terminar su trabajo

LOS CONECTORES LÓGICOS

LA CONJUNCIÓN

CRITERIOS

1. 2. 3.

PREPOSICIONES USADAS

a, ante, bajo, cabe, con, contra, de, desde, en, entre, hasta, hacia, para, por según, sin, sobre, tras

Semántico Sintáctico Morfológico

CLASIFICACIÓN

CRITERIOS

1. 2. 3.

Semántico Sintáctico Morfológico

PREPOSICIONES ARCAICAS

so, cabe

1.

COORDINATES a) Copulativas b) Disyuntivas c) Adversativas

2.

SUBORDINANTES a) Causales b) Ilativas c) Concesivas d) Condicionales e) Comparativas f) Consecutivas g) Finales

PREPOSICIONES INCORPORADAS LOCUCIONES

durante, mediante, pro, vía, versus

CONJUNTIVAS

FUENTE: Elaboración propia

LA PREPOSICIÓN72 12.1.

CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. No tiene significación por sí sola; es decir, las palabras que relaciona son las que determinan el sentido de esta categoría (su significado es de carácter contextual). B. CRITERIO MORFOLÓGICO. No sufre variaciones formales, esto es, carece de morfemas. C. CRITERIO SINTÁCTICO. Funciona como conectivo, conector o nexo subordinante, es decir, puede enlazar un elemento sintáctico cualquiera como un sustantivo o elemento de valor equivalente. Ejemplo: El reloj sin correa estaba en uno de esos cajones. Sus utilidades son los siguientes: a) En el sujeto: Encabeza al modificador indirecto. b) En el predicado: Hay dos preposiciones POR y DE que encabezan al agente, solo en voz pasiva. La casa de Patricia fue construida por los albañiles Mod. Ind.

c)

Agente

En el complemento régimen: Constituye un elemento argumental. Contar con su amistad. Su madre confiaba en el futuro. Comp. de Régimen

12.2.

Comp. de Régimen

PREPOSICIONES USADAS a

de

hacia

según

ante

desde

hasta

sin

bajo

en

para

sobre

con

entre

por

tras

contra

72

REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 2223-2266.

PREPOSICIONES ARCAICAS cabe

so

PREPOSICIONES INCORPORADAS durante

mediante

pro

LISTA DE PREPOSICIONES 1.

A Dirección: Vamos a las fiestas de Belén. Lugar: La cevichería está a dos cuadras del mercado. Tiempo: Nos vemos a las dos de la tarde. Modo: Vamos a pie. Finalidad: Vine a que la escuches. Distancia: De aquí a la universidad hay cinco cuadras. Complemento directo: He visto a tu hijo. Complemento indirecto: Se lo dije a Manuel.

2.

Ante Significa "delante" o "en presencia de": El profesor habló ante los alumnos.

3.

Bajo Situación inferior: Estamos pasando bajo el puente. Subordinación: Andrés está bajo las órdenes de su jefe.

4.

Con Compañía de personas: Los abuelos fueron con sus nietos al zoológico. Unión de cosas: Dame un té con leche. Medio para conseguir alguna cosa: Con mucho estudio puedes conseguir la beca. Simultaneidad o concurrencia: Viajé con mucha lluvia.

5.

Contra Oposición: Mi equipo juega contra el equipo de mi esposo. Ubicación: Se apoyó contra la pared. Destino o término: Se estrelló contra un árbol.

6.

De Posesión o pertenencia: El departamento de mi amiga tiene una vista preciosa. Origen o procedencia: Yo soy de Perú. Material: Esta blusa es de seda. Tiempo: Nos vemos en mi casa a las 5 de la tarde. Tema o asunto: Me gustan las películas de acción. Contenido: Un vaso de agua. Destino o propósito: Traje de ceremonia.

7.

Desde Principio de tiempo: Pueden comenzar a venir desde las 9 de la noche. Principio de lugar: Tardo 20 minutos desde mi casa hasta mi trabajo.

8.

En Tiempo: Estamos en diciembre. Lugar: Ellos estudian español en Canadá. Medio: Ella va a su trabajo en automóvil. Precio: Lo negoció en 300 dólares.

9.

Entre Situación en medio de cosas o personas: El instituto de español está entre el banco y el restaurante. Situación en medio de acciones (infinitivo): Entre nadar y correr, prefiero nadar. En el interior de algún conjunto: Entre la gente.

10.

Hacia Indica dirección: Este es el camino hacia el cerro San Cristóbal. Indica una tendencia: Francisco tiene una inclinación hacia el arte. Tiempo: Llegaremos hacia las tres.

11.

Hasta Término de lugar: Conduciré hasta la montaña. Término de acción: Viajaré por Argentina hasta conocer mi país completamente. Término de tiempo: Nos quedaremos en la fiesta hasta las cinco de la mañana.

12.

Para Finalidad: Este informe es para mi jefe. Tiempo: El vestido estará listo para esta noche. Dirección: En una hora vamos para Valparaíso. Aptitud o capacidad: Eres bueno para todo. Utilidad: Un remedio para la artrosis. Orientación: Estudia para contador. Destinatario: Lo compré para mi hermano.

vía

versus

13.

Por Lugar: Caminan por la avenida principal. Causa: Brindemos por Daniel, se lo merece. Medio: Mandamos las postulaciones por correo electrónico. Modo: Por la fuerza no conseguirás nada. Complemento agente: Fue rescatado por los bomberos. Finalidad (búsqueda): Preguntó por su hija. Sustitución (equivalencia): Salúdale por mí. Precio: Compró la bicicleta por 200 soles.

14.

Según Para establecer relaciones de cosas: Según nuestras normas, no puedes fumar aquí. Según mi profesor, el estudio debe ser constante.

15.

Sin Denota carencia o privación de algo o de alguien: Sin los instrumentos necesarios, el médico logró atender el parto. Cuando una cosa o persona no está: Angélica quiere un café sin azúcar.

16.

Sobre Lugar: El examen está sobre la mesa. Tema o asunto: Háblame sobre tu vida en Venezuela. Sentido figurado: Creía estar sobre el bien y el mal. Aproximación: Andaba sobre los cuarenta años.

17.

Tras Orden de secuencia: Ella estuvo toda la mañana tras su hija. Tras la tormenta, viene la calma.

18.

CABE Junto a: Mi casa está cabe el parque.

19.

SO Bajo: Prohibido arrojar basura so pena de arresto y multa.

Los casos denominados arcaizantes:

NOTA: Las preposiciones CABE “junto a” y SO “bajo”, son palabras en desuso en el español actual y solo aparecen esporádicamente en los textos literarios. A esta lista ya conocida se incluyen también:

12.3.

20.

Mediante Medio: Lograremos mejores resultados mediante estas reglas.

21.

Durante Tiempo: ¿Qué vas a hacer durante la noche?

22.

Versus Contra: Este fin de semana se juega la final del fútbol peruano: Cienciano versus Real Garcilaso. Frente a: En nuestra sociedad hallamos importantes divisiones, por ejemplo en lo social, rural versus lo urbano; en lo económico la pobreza versus la riqueza.

23.

Vía El lugar por el que se pasa: El tren va a Machupicchu vía Ollantaytambo. A través de…: Los trámites para la matrícula son vía Internet.

24.

Pro En favor de…: Es una pollada pro salud.

LOCUCIONES PREPOSITIVAS73 Concepto. Son agrupaciones de palabras que adquieren conjuntamente el sentido y el funcionamiento gramatical de las preposiciones. TIPOS DE LOCUCIONES PREPOSITIVAS 

Preposición + sustantivo + preposición

   

de acuerdo con, a fin de, a cerca de, a causa de, a excepción de, a favor de, a finales de, a fuerza de, a raíz de con motivo a, con rumbo a, con cargo a de conformidad con, de parte de, en compañía de, en medio de, en torno a, en vez de en relación de, con relación a, por causa de, por culpa de, a través de

Sustantivo + preposición Participio + preposición

   

alrededor de, respecto de apunto de debido a relacionado con

Preposición + infinitivo + preposición



a partir de

  

en lo referente a a lo ancho de a lo largo de

Preposición preposición

+

lo

+

adjetivo

+

La profesora explica a través de mapas conceptuales.

73

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 2276.

60 | C E P R U 2 0 1 5 EJERCICIOS 1.

Semánticamente, la preposición: a) Es una palabra invariable b) Funciona como nexo subordinante c) Tiene variaciones formales d) No posee significado lexical e) No tiene significado contextual para

despejarme,

la

11.

La preposición en incorrectamente utilizado es: a) Se le notaba en la manera de moverse b) Viajó en tren hasta Machupicchu c) Viajamos en la noche d) Vivo en Cusco e) Estamos en casa de mis padres

12.

Las preposiciones son: a) Que, hasta, donde b) Cuyo, so, ante c) Debajo, cabe, por d) Sobre, según, luego e) Con, mas, pero

2.

En la oración Salí preposición indica: a) Destino b) Finalidad c) Utilidad d) Tiempo e) Dirección

3.

La oración que contiene preposición con significado de modo, es: a) La mujer conversa con sus amigos b) La mujer toma café con leche c) La mujer con trenzas d) Conversaba con mucha alegría e) Distribuía las carta a pie

13.

En la oración Juana prepara los chicharrones más ricos a dos cuadras del mercado central, la preposición indica: a) Compañía b) Subordinación c) Tiempo d) Modo e) Dirección

4.

La a) b) c) d)

14.

Una preposición señala tiempo en: a) Ana Cecilia tiene una peluquería a tres cuadras del Estadio Garcilaso b) Estudiaremos en la UNSAAC c) Ella llega al colegio en bus d) Nos vemos en la puerta de la universidad en la tarde e) Conversaremos sobre temas de psicología

15.

5.

La oración Desde la tribuna voy gritando yo, alentado a mi equipo a ganar: ¡Una barra por el PERÚ! La cantidad de preposiciones es: a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 1

Sintácticamente, la preposición: a) Existen preposiciones con significado gramatical b) Hay preposiciones con significado léxico c) Encabeza al modificador indirecto y complemento agente d) No sufre variaciones formales e) No encabeza la voz pasiva

16.

6.

La preposición que no indica posición, es: a) Bajo b) Ante c) Sobre d) Hacia e) Tras

Se observa locuciones prepositivas en: a) Salí a caminar en compañía de mi madre b) Ella sufrió durante toda su vida por lo cual luchó a brazo partido c) Todos acordaron en salir de vacaciones d) La que acaba de llegar es mi prima e) La compañía de bomberos abre un nuevo local

7.

El enunciado en el que está mal usada la preposición hasta, es: a) Hasta los operadores de limpieza ganan más que él b) Hoy trabajaré hasta la medianoche c) El avión saldrá hasta mañana en la tarde d) Se consagraron desde la ciudad de Cusco e) Hasta Ecuador

17.

El enunciado que presenta preposición con significado funcional, es: a) Muy temprano salió a caminar b) Sobre aquellos problemas ya no volvieron a conversar c) Desde ese año ella ya no salía a bailar d) Bajo presión trabajas bien e) Desde que nací fui feliz

8.

La a) b) c) d) e)

18.

Las palabras so y cabe son: a) Locuciones prepositivas b) Preposiciones arcaizantes c) Conjunciones coordinantes d) Conjunciones subordinantes e) Conjunciones ilativas

9.

La oración que señale la locución prepositiva es: a) Habla con tus cinco sentidos b) No tiene nada que ver con relación a ese asunto c) Hablábamos sobre temas actuales d) De tanto en tanto, nos visitaba mi tío e) Acaso vuelva más tarde

19.

10.

El a) b) c) d) e)

El enunciado En la casa de un rico mercader, rodeado de comodidades, vivía no hace mucho tiempo un perro al que se le había metido en la cabeza convertirse en un ser humano, y trabajaba con ahínco en esto. La cantidad de preposiciones son: a) Diez b) Once c) Ocho d) Siete e) Nueve

20.

La afirmación Existen más preposiciones que conjunciones en el español, es: a) Verdadera b) Falsa

expresión que contiene locución prepositiva, es: Repitió el tema al pie de la letra Defendía a su cliente a capa y espada Mario llegó a mediados de octubre Ya te relajaste lo suficiente, de manera que empieza a trabajar e) Saltó varios metros, sin embargo no logró el primer puesto

preposición por, que señala circunstancial de causa es: Se fue por ahí Estudia por las noches Viajaremos por tren Vendí mi auto por mil soles No llegó por el desborde del río

enunciado con la preposición por, que indica modo, es: Lo compré por dos mil soles Lo hago por obediencia Lo hace por amor al prójimo Fue transmitido por radio María pasó por la calle

LA CONJUNCIÓN 12.4.CRITERIOS74 A. CRITERIO SEMÁNTICO. La conjunción es una palabra que carece de significado lexical. La relación conjuntiva establecida puede expresar: unión, oposición, consecuencia, etc. B. CRITERIO MORFOLÓGICO. La conjunción es una palabra que carece de accidentes gramaticales, en consecuencia es invariable. C. CRITERIO SINTÁCTICO. La conjunción es una palabra que funciona como nexo coordinante, o sea enlaza elementos de igual valor sintáctico. También funciona como nexo subordinante. Cultivan naranjas y limones. sust

sust.

Ese niño es delgado, pero resistente. adj.

adj.

¿Quién participará: él o ella? pron.

pron.

Ni hablas ni escuchas. verb.

verb

Empezarás ahora o nunca. adv.

adv.

Él no es de la capital, sino de provincia. construc.

construc.

Son muy belicosos aunque no lo parecen. proposición 12.5.

proposición

CLASES DE CONJUNCIONES75

12.5.1.

a)

CONJUNCIONES COORDINANTES Se distinguen tres tipos de conectores según el significado con que matizan la relación de los elementos que unen: copulativas, disyuntivas y adversativas. CONJUNCIONES COPULATIVAS: y, e, ni: Sirven para unir dos o más elementos que podrían ir separados. Juan y Pedro vinieron a verme. Él y ella escaparon de casa. Se escribe e cuando la siguiente palabra empieza por el fonema /i/: Inteligente e instruido. Fernando e Isabel; madre e hija. La conjunción ni, también implica adicción pero es negativa: No quería ni esto ni lo otro. Ni Juan ni Pedro vinieron a verme. Nunca escribe ni llama. (puede aparecer ante el segundo miembro). Jamás hablaba (ni) de su familia ni de su trabajo. (puede aparecer ante cada uno de los miembros).

b)

CONJUNCIONES DISYUNTIVAS: o, u, o bien: tiene un valor de alternativa. Se escribe u cuando la siguiente palabra empieza por el fonema /o/: O vienes o te quedas. Compraré manzanas o naranjas. No sé si ir al cine o al teatro.

c)

CONJUNCIONES ADVERSATIVAS: pero (mas), sino, aunque: frente a las copulativas y disyuntivas, que admiten varios enunciados, las adversativas confieren dos enunciados y señalan que están contrapuestos. El conector pero indica restricción, y sino expresa incompatibilidad. Exige que el segmento precedente conlleve una negación y cuando el segundo es una oración suele aparecer sino que. El conector mas es poco frecuente en lengua hablada, es equivalente a pero. Escribo novelas, pero no poemas. No fui yo, sino mi hermano. Acudí pronto, mas no te hallé. Es antiguo, aunque eficaz.

12.5.2.

CONJUNCIONES SUBORDINANTES Las conjunciones subordinantes unen siempre proposiciones:

a) CONJUNCIONES CAUSALES: Porque, como, pues. Estudio, porque quiero aprobar. Como quiero aprobar, estudio. b) CONJUNCIONES CONDICIONALES: Si, como, cuando. Si no estudias, no aprobarás. Como no me escuches, no ingresarás en la universidad. Cuando tú lo dices, será verdad. c) CONJUNCIONES CONCESIVAS: Aunque, si bien, así. Aunque estudió tanto, no aprobó. Si bien no nos parece la mejor solución, la aceptaremos. d)

74 75

CONJUNCIONES FINALES: Para que. Toca el piano, para que vean lo bien que lo haces.

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 2395-2473. Leonardo Gómez Torrego, Análisis Morfológico – Teoría y práctica, (Madrid: Editorial SM Internacional, 2011), 250-256.

62 | C E P R U 2 0 1 5 e) CONJUNCIONES COMPARATIVAS: Como, que. No es tan listo como dicen. Miente más que habla. Toca el piano como un profesional. Más gente que antes. No hace tanto frío como había imaginaba. f)

CONJUNCIONES CONSECUTIVAS: Que, tal... que…, tanto…que, tan…que. Hacía mucho frío que no se podía salir de casa. Se comportó muy mal, de tal manera que hubo que expulsarlo. El Sol es tan brillante que no se puede mirar.

g)

CONJUNCIONES ILATIVAS: Luego, con que, conque. Es tarde, conque apúrate. Pienso, luego existo.

12.6.LOCUCIONES CONJUNTIVAS Las locuciones conjuntivas son grupos de palabras que se comportan como una sola conjunción. TIPOS DE LOCUCIONES CONJUNTIVAS COORDINANTES

COPULATIVAS

así como, etc.

DISYUNTIVAS

bien… bien…, ya… ya…

ADVERSATIVAS

sin embargo, no obstante, en cambio, por otra parte, mientras que, excepto a, etc.

SUBORDINANTES CAUSALES CONDICIONALE S

ya que, a causa de, debido a, dado que, puesto que, visto que, etc. siempre que, en caso de que, con tal que, a no ser que, siempre y cuando, en cuanto, a condición de que, con tal de, con tal de que, solo si, si es que, a menos que, en tanto que, etc.

ILATIVAS

por tanto, así pues, pues bien, por ende, por lo tanto, en conclusión, así es que, así que, por eso, por ello, por consiguiente, en efecto, en el momento que, etc.

CONCESIVAS

pese a, a pesar de, a pesar de que, si bien, aun cuando, por más que, por mucho que, ahora que, bien que, mientras que, etc.

COMPARATIVAS

al igual que, análogamente, así mismo, más que, tanto como, etc.

CONSECUTIVAS FINALES ACLARATIVAS

de tal manera que, de modo que, de modo que, a medida que, de forma que, de manera que, etc. a fin de que, antes que, antes de que, etc. es decir, esto es, vale decir, en otras palabras, etc.

No vas a ningún lado, a menos que te portes bien. En cuanto se duerma salgo a pasear. En el momento que salió, me sorprendió por atrás. Aun cuando te vayas, te seguiré amando (conjunción concesiva reemplazable por aunque) En tanto que lo intentes, lograrás tus objetivos (condicional). A pesar de que te lo advertí, no me hiciste caso (concesiva). Antes que los niños jueguen, acondicionaremos el patio. Antes de que oscurezca, dormirá.

EJERCICIOS 1.

La alternativa se muestra la equivalente a pero, es: a) Cantas o bailas b) Ni canta ni baila c) Saluda, pero rápido d) Abunda el colibrí o la paloma torcaza e) Trabaja, no obstante es lenta

conjunción

2.

En la oración Yo lo haría si pudieras ayudarme. La conjunción subrayada puede reemplazarse por: a) Por lo tanto b) Sin embargo c) O d) Siempre y cuando e) No obstante

3.

Las conjunciones como, aunque y pero son: a) Condicional, concesiva e ilativa b) Causal, consecutiva y disyuntiva c) Comparativa, consecutivas y adversativa d) Condicional, concesiva y adversativa e) Condicional, ilativa y adversativa

4.

La oración que presenta conjunción subordinante concesiva, es:

7.

La oración Le diré, aunque a nadie le guste. Presenta conjunción denominada: a) Copulativa b) Concesiva c) Disyuntiva d) Causal

a) b) c) d) e) 5.

En la expresión Aquel hombre me hizo recordar mis días pasados con ustedes, porque era bueno. Presenta conjunción denominada: a) Causal b) Copulativa c) Disyuntiva d) Condicional e) Concesiva

6.

Una de las siguientes oraciones presenta conjunción subordinante causal: a) Solo tú y yo, lo sabemos b) Lo hicimos, sin embargo no estamos contentos c) Vine, ya que me llamaste d) Tú eres como la paloma e) Ella habla mientras tú duermes

e)

8.

Trabaja, pero no exageres Yo lo sabía y por eso me quedé callado Ya está avisado, por lo tanto, no te quejes Es tan alto como tú Aunque me cueste la vida, sigo pensando en tu amor

Adversativa

aLa) pAartrítcícuulola que relaciona construcciones de igual bva) loArdsivnetárbciotico, es:

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |

63Ilativa

c) Pronombre d) Preposición e) Conjunción 9.

b) c) d) e)

Dada las siguientes proposiciones. I. No te vi pues no llevo lentes II. Si te parece, nos encontraremos hoy III. No puedo ir hoy, porque tengo trabajo pendiente IV. Tienes una queja, pues dímelo Las alternativas que contiene conjunciones causales es: a) Solo I b) Solo III c) II y IV d) I y III e) I, III y IV

10. Relaciona correctamente. I. Aunque te arrepientas nunca te perdonaré II. No fui al cine sino al teatro III. Si estudiaras más, te iría mejor en todo IV. Yo no quiero ni contigo ni con nadie A) CONJUNCIÓN COORDINANTE B) CONJUNCIÓN SUBORDINANTE La secuencia correcta es: a) IA, IB, IIIA, IVB b) IB, IIA, IIIB, IVA c) IA, IIA, IIIB, IVB d) IB, IIB, IIIA, IVA e) IB, IIA, IIIA, IVB 11.

La relación incorrecta es: a) Pero – adversativa b) Que – copulativa c) Tanto… que – consecutiva d) Pues – ilativa e) Aunque - causal

12.

Sintácticamente, la conjunción: a) Es una palabra que carece de significado lexical b) Funciona solo como nexo coordinante c) Funciona como nexo coordinante subordinante d) Expresa oposición, unión, consecuencia e) Es invariable

13.

Comparativa Causal Concesiva

14.

La oración que presenta conjunción causal, es: a) No comprendo el porqué de tu actitud b) No comprendo por qué te pones así c) No fui a la fiesta porque no tenía dinero d) ¿Por qué no viniste? porque no tenía ganas e) Al final optaron por que no se presentasen

15.

La oración que presenta conjunción condicional, es: a) Juan no es tan bueno como dicen b) Como un gran artista presentó diversos cuadros c) Como no asistas al CEPRU, no ingresarás d) Le atrae tanto el estudio como los deportes e) Vendía mascotas como si fueran juguetes

16.

El enunciado que presenta conjunción copulativa, es: a) Continuó con sus peros, sin embargo nadie lo escuchó b) No hizo los deberes ni recogió su ropa c) Creo que es hora de retirarse o continuar con la reunión d) He caminado por todo el mundo, nadie lo impidió e) Perdí mi turno, entonces supe que Juana solo sonreía

17.

La expresión Le atrae la literatura como la matemática. Presenta conjunción: a) Condicional b) Causal c) Comparativa d) Consecutiva e) Adversativa

18.

El enunciado Porque me interesa oír su opinión, lo recibí. Presenta conjunción: a) Condicional b) Ilativa c) Comparativa d) Causal e) Concesiva

19.

Morfológicamente, la conjunción: a) Carece de significado lexical b) Puede expresar: unión, oposición, consecuencia, etc. c) Es una palabra que no posee accidentes gramaticales d) Enlaza elementos del mismo valor sintáctico e) Funciona como nexo

20.

El enunciado que posee conjunción coordinante, es: a) Espero que no se haya ido dado que se lo previne b) Lorena es estudiosa como María c) Debería guardar reserva una vez que se lo hayamos explicado d) Ni tú ni nadie puede detenerlo e) Nadie sabe si vendrá

y

La expresión La chica de Arequipa que tenía casaca azul salió temprano aunque se despertó tarde, presenta conjunción: a) Consecutiva

LA SINTAXIS Sintagma

CLASES DE SINTAGMAS

SINTAGMA

SINTAGMA

NOMINAL

1. 1. 2. 3.

SINTAGMA

VERBAL

Núcleo Modificadores a) M. directo b) M. indirecto Aposición a) Explicativo b) Especificativo

2.

ADJETIVAL

Monovalentes a) Objeto directo b) Objeto indirecto c) Circunstancial d) Agente e) Complemento de régimen Bivalentes a) Atributo b) Predicativo c) Predicado nominal

SINTAGMA ADVERBIAL

SINTAGMA REPOSICIONAL

CLASES DE SUJETO

POR LA PRESENCIA DEL SUJETO

1. 2.

S. Expreso S. Tácito

1. 2.

POR LA CANTIDAD DE

POR LA PRESENCIA DE

NÚCLEOS

SUBORDINADOS

S. Simple S. Compuesto

1. 2.

S. Incomplejo S. Complejo

FUENTE: Elaboración propia sobre la base del Análisis Sintáctico – Teoría y práctica de Leonardo Gómez Torrego

13.1. CONCEPTO. Sintaxis es un término de origen griego que significa “orden o disposición”; como disciplina lingüística estudia las relaciones entre los elementos de una frase y las frases entre sí, y las funciones que desempeñan cada una de las palabras dentro de una expresión lingüística. La sintaxis como parte de la gramática de una lengua está encargada de estudiar a las oraciones gramaticales y a todos sus elementos constitutivos que lo conforman. La unidad básica de la sintaxis es el sintagma. EL SINTAGMA. Es una unidad sintáctica básica formada por una palabra o conjunto de palabras dotados de sentido que posee valor funcional dándoles a cada elemento una relativa autonomía sintáctica y semántica frente a otro sintagma. La sábana. La sábana bordada. La sábana bordada con hilos. La sábana bordada con hilos de oro.

13.2. CLASES DE SINTAGMAS Existen varias clases de sintagmas: 13.2.1.

SINTAGMA PREPOSICIONAL.- Aparecen tanto en el SN como en el SV; su estructura es una preposición seguida de un sustantivo o adjetivo que completa el significado de un SN o un SV. Las lindas playas de la Costa Verde ofrecen una grata estadía a los limeños en el verano.

13.2.2.

SINTAGMA ADJETIVAL.-Es cuando un adjetivo es modificado internamente por un adverbio que funciona como modificador directo del SN. Un problema muy difícil se solucionó. Los hombres flacos, altos, enfermos andan lentamente.

13.2.3.

SINTAGMA ADVERBIAL.- Aparecen en el SV como circunstanciales. El ejército viaja fuertemente armado. Traemos cuanto podemos.

13.2.4.

SINTAGMA NOMINAL (SN). Denominado también frase nominal, grupo nominal, sujeto; está formado por un sustantivo, adjetivo, pronombre, verbo o cualquier otra palabra que funciona como tal, que constituyen su núcleo y todas las palabras que se agrupan en torno a él. Las niñas Las niñas gordas Las niñas gordas con enfermedad

13.2.4.1. ESTRUCTURA DEL SINTAGMA NOMINAL. El SN está constituido por núcleo y complementos. A. NÚCLEO DEL SN. El núcleo del SN siempre va a ser un sustantivo o cualquier otra palabra que se sustantive, que funcione como un sustantivo que van a sufrir variaciones de género y número. El cobrador insolente Aquella vieja casona B. COMPLEMENTOS DEL SN. Denominados también subordinados o modificadores que dependen del núcleo y giran alrededor de él como son: modificador directo, modificador indirecto y la forma declarativa: aposición. a) MODIFICADOR DIRECTO (MD) Es el elemento que se une al núcleo del SN sin la presencia de un enlace, pueden anteponerse o posponerse al núcleo; las palabras que funcionan como M.D son los artículos y adjetivos. Los modificadores directos pueden funcionar como construcción endocéntrica (N +M.D). Hombre alto. La casa blanca. Dos hermosas mujeres flacas. b) MODIFICADOR INDIRECTO (MI) Es el elemento que se une al núcleo del sintagma nominal mediante la presencia de un enlace que son preposiciones; recibiendo el nombre de término las palabras que conforman la estructura de dicho modificador; al cual se puede denominar construcción exocéntrica. Una lágrima en la mejilla. Los hijos sin padres viven tristes. c) APOSICIÓN (AP) Es otro modificador del SN que tiene el mismo valor que el núcleo del SN porque puede conmutarse con el núcleo del SN; designa de otra manera al mismo ser que se menciona en el núcleo del SN; ortográficamente siempre está encerrado entre comas; semánticamente son sinónimos. San Martín, el libertador, murió en la pobreza. El libertador, San Martín, murió pobre. 13.2.4.2.

CLASES DE SUJETO (1) Por la presencia del sujeto a) SUJETO EXPRESO. Aparece escrito en la oración. El profesor felicita a Juan. b) SUJETO TÁCITO. No aparece escrito en la oración pero se sobrentiende. Felicitó a Juan. Tiene cólico. (2) Por la cantidad de núcleos a) SUJETO SIMPLE.-En su estructura existe un solo núcleo. El campesino trabaja en la chacra. b) SUJETO COMPUESTO. En su estructura existe dos a más núcleos. Carlos, Julio y Juan viven juntos. (3) Por la presencia de subordinados a) SUJETO INCOMPLEJO. El sujeto no tiene elementos subordinados al núcleo. Vallejo escribió muchas obras. b) SUJETO COMPLEJO. El sujeto tiene elementos subordinados al núcleo. El lujoso automóvil de Pedro chocó con un poste.

13.2.5.

SINTAGMA VERBAL (SV). Denominado también frase verbal, grupo verbal o predicado; es un sintagma que generalmente tiene como núcleo a un verbo que concuerda con el núcleo del SN de la oración; por eso el SV viene a ser el comentario, la descripción o explicación del SN. El electricista hace una instalación trifásica. El director revisó minuciosamente las aulas.

13.2.5.1. ESTRUCTURA DEL SINTAGMA VERBAL A. EL NÚCLEO DEL SV.- Es el verbo que funciona como el elemento principal del SV que subordina a las demás palabras. El verbo es tan fundamental en la oración que podemos llegar a prescindir de todos los demás elementos excepto de él; su función depende del tipo de predicado. B. COMPLEMENTOS DEL SV. Denominados también subordinados o modificadores, que son las demás palabras que giran alrededor del núcleo; puede ser un sintagma adverbial o un sintagma preposicional, que constituyen una referencia dependiendo sintácticamente de él. Los complementos o modificadores son de dos clases:

a)

MODIFICADORES MONOVALENTES. Son los que pueden modificar o ampliar al núcleo del SV, ellos son: objeto directo, indirecto, circunstancial y agente a.1.

a.2.

a.3.

a.4.

a.5.

b)

Complemento Directo (C.D.) Es un sintagma constituido por una o varias palabras que se subordinan al núcleo del SV, que recae de manera directa la acción del verbo; el verbo que lleva es transitivo porque la acción del verbo transciende a un objeto, en algunos casos cuando se refiere a sustantivos propios el O.D lleva la preposición “a”; también el objeto directo puede ser sustituido por las formas pronominales (me, te, se, lo, la, le, las, les, los, nos, os). El vecino arrojó la basura en la pista. El vecino lo arrojó. Julio ama a Julia. Complemento Indirecto (C.I.) Es un sintagma formado por una o varias palabras que se subordinan al núcleo del SV; el verbo son todos los demás verbos menos el transitivo; generalmente encabezado por la preposición “para” o por la preposición “a” cuando este acompaña a un sustantivo propio, los cuales pueden ser sustituidos por los pronombres arriba indicados. Juan recibió una tarjeta para Susana. Juan le recibió una tarjeta. Luisa llevó un pan a Luis. Complemento Circunstancial (C.C.) Son sintagmas subordinados al verbo, constituidos por un adverbio o encabezados por una preposición que modifica en la significación del verbo. En el plano semántico los circunstanciales complementan el significado del verbo haciendo alusión al tiempo, lugar, modo, compañía, cantidad, causa, finalidad, etc. de la acción verbal; no pueden ser sustituidos por ningún pronombre. Miguel camina lentamente en la playa. Los alumnos olvidaron sus cuadernos en la carpeta. Complemento Agente (C.A.) Es un modificador del verbo de las oraciones en voz pasiva, en el plano semántico señala al ser que realiza la acción verbal, generalmente encabezado por la preposición “por”; se reconoce mediante el procedimiento de conmutación, pues al transformar la oración de pasiva a activa desempeña la función de sujeto. La ciudad es ensuciada por los transeúntes. Los transeúntes ensucian la cuidad. Complemento de régimen (C.R.) 76 Llamado también regido es un complemento del verbo introducido por una preposición y exigido por él. Sin dicho complemento explícito o implícito la oración resulta agramatical o cambia del significado. Ejemplo: Ese trabajo adolece de inconsistencia. El éxito dependerá de su esfuerzo. Yo me inclino por el azul.

MODIFICADOR BIVALENTE77 b.1.

Predicativo (PVO) Es la función por la que una palabra o un grupo sintáctico de palabras complementa a un verbo pleno y se predica del sujeto o del complemento directo de ese verbo.78 El predicativo en algunos casos se puede eliminar, ya que no siempre se necesario para el verbo. Ejemplo: Los jugadores salieron cansados del entrenamiento. predicativo

Paula llegó muy contenta a casa. predicativo

Susana recibió ilusionada la noticia. predicativo

Me devolvió sucias las botas. Predicativo

O.D.

Mila encontró al bebé

despierto.

O.D. b.2.

predicativo

Atributo (ATRIB.) Es la función por la que una palabra o un grupo de palabras complementan al sujeto de la oración a través de un verbo copulativo (ser, estar, parecer) o semicopulativo (permanecer, quedarse, ponerse…)79 El mes de abril es lluvioso. atributo

Yo soy médico. atributo

Víctor está enfermo. atributo

Alejandro parece cansado. atributo

Sonia llegará a ser una gran novelista. atributo

13.2.5.2.

TIPOS DE PREDICADO (1) PREDICADO NOMINAL.- En este tipo de predicado el núcleo es un sustantivo, adjetivo o adverbio. Ese joven, un buen médico. Aquellas niñas, muy hermosas. Esas flores, allá. (2) PREDICADO VERBAL.- En este tipo de predicado el verbo tiene significado pleno, por tanto es el núcleo del predicado que puede funcionar solo o acompañado de otros elementos que puede sufrir variaciones en su número, tiempo, persona, modo y aspecto. El portero cerró la puerta.

76El complemento de régimen o regido también se denomina a veces objeto preposicional, complemento preposicional y suplemento. 77Leonardo Gómez Torrego, Análisis Sintáctico – Teoría y práctica (España: Editorial SM Internacional, 2011), 116-129. 78 Los gramáticos que consideran el atributo como toda función gramatical que complementa a la vez a un nombre y a un verbo que lo necesita definen el predicativo como una función gramatical que complementa a la vez a un nombre y a un verbo que no lo necesita. Ejemplo: Alberto volvió contento del examen. = ж Alberto volvió del examen. 79 En un sentido más amplio, también se considera atributo cualquier elemento gramatical que complementa a la vez a un nombre (en función de sujeto o de complemento directo) y a un verbo que lo necesita, aunque el verbo no sea copulativo. Ejemplo: María se puso nerviosa. = ж María se puso. Noto a tu hija muy cansada. = ж Noto a tu hija.

EJERCICIOS b) La hermosa niña de ojos azules lloró inconteniblemente c) Sandra reprobó este semestre con notas muy bajas d) Juan fue invitado para la fiesta de Andrés e) Ernesto salió a pasear por los parques de la vieja ciudad

1.

La unidad básica de la sintaxis es: a) Modificador b) Núcleo c) Sintagma d) Sustantivo e) Verbo

2.

El sintagma: a) No posee valor funcional b) Otorga a cada categoría gramatical en la oración autonomía completa c) Es una unidad semántica básica d) Está formado solo por una palabra e) Es una palabra o conjunto de palabras que tienen valor funcional

3.

El a) b) c) d) e)

4.

El sintagma nominal está compuesto por: a) Núcleo y modificadores b) Sustantivo y artículo c) El núcleo, determinantes y aposición d) Determinantes, núcleo y complementos e) MD, MI y N

5.

6.

7.

8.

9.

núcleo de la frase nominal es: El adjetivo El verbo Articulo Adverbio Cualquier categoría gramatical sustantivada

El enunciado que posee sujeto es: a) Habrá muchos heridos b) En la mañana tuvieron que arduamente c) Se necesita trabajadora del hogar d) Llovió demasiado anoche en el Cusco e) Hacen tatuajes esos turistas mexicanos

12.

El enunciado que presenta complemento indirecto, es: a) César es ingeniero de sistemas b) Alejandro el grande conquistó centenares de pueblos para su imperio c) Miguel camina parsimoniosamente en la playa d) María olvidó el regalo para su madre e) Ojalá no llueva

13.

Se observa el sintagma preposicional en: a) Las montañas del sur peruano ofrecen una grata estadía en la primavera b) Una muchacha muy alegre llegó de lejos c) Las campañas grandes se realizan cada año en ese Centro Comercial d) Los jóvenes armados fueron a la guerra e) Aportamos cuanto tenemos

14.

Se identifica la presencia del complemento agente en: a) Salimos a caminar por la calle Maruri b) Andrés y sus amigos fueron reclutados por las Fuerzas Armadas c) Un problema se solucionó por la paciencia que tuvieron los científicos d) Ellos lucharon por una causa justa e) Manuel trabaja por su sueldo

15.

El a) b) c) d) e)

16.

El enunciado que presenta predicado nominal, es: a) Mi mamá cocinó tallarín con pollo b) Ítalo toca la guitarra cada mañana c) Se necesita empleada del hogar d) Nosotros, los ciudadanos exigimos nuestros derechos e) Juan, un excelente médico

17.

La expresión Elaboran grandes proyectos de mucha envergadura presenta: a) Sujeto tácito b) Predicado nominal c) Oración simple d) Modificador bivalente e) Circunstancial

18.

El enunciado que presenta un modificador bivalente, es: a) Carlos, un buen ingeniero b) Raquel resuelve los ejercicios c) La profesora es buena d) Esas flores, allá e) Anabel trabaja mucho

19.

El sintagma que presenta aposición, es: a) Varios tiburones furiosos atacaron la costa Norte de nuestro país b) La semilla de bambú pareciera ser infértil durante los siete primeros años c) La casona blanca pereció bajo el incontrolable fuego d) La muchacha que tenía el bikini amarillo bailó bajo el agua e) Arequipa, Ciudad Blanca, es la tierra de Mariano Melgar

20.

El enunciado que presenta CD, es: a) Max vendió bastante b) Luisa llevó la guitarra c) Esas flores, allá d) Yo soy un hombre sincero e) Un problema muy difícil de resolver

trabajar

El enunciado que presenta sujeto simple es: a) Aquel muchacho y su amigo viajaron por muchos países b) No conocían como se realizaban los festivales en Arequipa c) Raquel e Inés realizaron muchas actividades d) La señora muy atenta y su hija llegaron del Norte del Perú e) El Rector de la UNSSAC es el un docente muy bueno La aposición del sintagma nominal: a) Se une al núcleo mediante un nexo o enlace b) Funcionan como modificador directo c) Recibe el nombre de término d) Tiene el mismo valor que el núcleo e) Es la forma aclarativa El enunciado que presenta sujeto complejo, es: a) David, Kevin y Arnold viven juntos b) El profesor Wálter felicitó al alumno que ingresó c) Ella salió a trotar en la mañana d) José Santos Chocano escribió muchas obras literarias e) Él trabaja con madera fina en su taller El núcleo del grupo verbal: a) Concuerda con el núcleo del sujeto b) Realiza la función de predicado c) Tiene la presencia de enlaces d) Designa de otra manera al sujeto e) Coincide con los circunstanciales

10.

La estructura del sintagma verbal está constituida por: a) Núcleo y determinantes b) Núcleo y modificadores monovalentes y bivalente c) Núcleo y subordinados d) Algunos casos se refieren a los sustantivos e) Funciona como estructura principal del predicado

11.

Se encuentra complemento directo en: a) Conocieron muchos países cuando viajaron al extranjero

sintagma adverbial está presente dentro del sintagma: Nominal Preposicional Adjetival Verbal Oracional

|

LA ORACIÓN GRAMATICAL La oración es unidad de predicación, segmentos que normalmente ponen en relación un sujeto con un predicado verbal.

CLASIFICACIÓN

POR SU ESTRUCTURA SINTAGMÁTICA

1.

2.

POR LA CANTIDAD DE VERBOS O PROPOSICIONES

1. 2.

O. Unimembre - O. U. con verbo - O. U. sin verbo O. Bimembre

POR SU NATURALEZA O LA ACTITUD DEL HABLANTE

1. 2. 3. 4. 5. 6.

O. Simples O. Compuestas a) O.C. Coordinadas - Conjuntivas - Yuxtapuestas b) O.C. Subordinadas

O. Enunciativa O. Desiderativa O. Dubitativa O. Interrogativa O. Imperativa O. Exclamativa

FUENTE: Elaboración propia

14.1.CONCEPTO - La oración es unidad de predicación, segmentos que normalmente ponen en relación un sujeto con un predicado verbal. - La oración gramatical es la expresión de un juicio o pensamiento completo. La parte de la Gramática de la Lengua que estudia las oraciones se denomina Sintaxis. - “Es una unidad sintáctica que se corresponde con la estructura gramatical constituida básicamente por un sujeto y un predicado”. - La oración posee significado completo porque comunica un mensaje. Para que tenga sentido completo es necesario la presencia de un verbo (real o sobrentendido)80. - La oración es la palabra o conjunto de palabras que tiene sentido completo, entonación, verbo conjugado y autonomía sintáctica, que trata de reflejar el hecho. Es el fragmento más pequeño del discurso que comunica una idea completa y posee independencia (es decir, podría sacarse del contexto y seguir comunicando) 14.2.CARACTERÍSTICAS  Posee sentido completo, es decir comunica una idea.  Tiene una curva de entonación, de acuerdo con la clase de oración.  Está dotado de verbo conjugado.  Presenta autonomía sintáctica. 14.3. CLASIFICACIÓN DE LA ORACIÓN 14.3.1. POR SU ESTRUCTURA SINTAGMÁTICA A. ORACIONES UNIMEMBRES81. Son aquellas oraciones que no poseen sujeto ni predicado, pero gozan de sentido completo autonomía sintáctica. Constituyen un enunciado unitario y carecen de división sintáctica. Existen dos tipos de oraciones unimembres: a) ORACIONES UNIMEMBRES SIN VERBO O CONTEXTUALES. Son expresiones de cualquier tipo que adquieren valor oracional en un determinado contexto o circunstancia; se le considera como oraciones elípticas, porque expresan un pensamiento en el menor número de palabras. Por ejemplo: INTERJECCIONES ¡Socorro! ¡Uf! ¡Vaya! ¡Auxilio! ¡Bah! ¡Jesús!

EXCLAMACIONES ¡Qué rico! ¡Cuánta pobreza! ¡Maldita sea! Muchas gracias. ¡Vaya qué hermoso! ¡Qué remedio!

80Araus Gutiérrez y otros, Introducción a la Lengua Española (Madrid: Editorial Universitaria Ramón Araces S.A., 2011), 21. 81Dante Sinfuente Palma, Nueva gramática del español y su uso del lenguaje (Perú: Centro de Investigación y Estudios DSP, 2011), 389.

b) ORACIONES UNIMEMBRES CON VERBO82. Son oraciones que presentan verbos impersonales que carecen de sujeto. Existen dos formas: FORMA IMPERSONAL PROPIA O NATURAL

Son oraciones que no presentan sujetos y se refieren a los fenómenos de la naturaleza. Ejemplos: - Llovió torrencialmente en la ciudad. - Graniza y llueve en la sierra peruana. - Amanece con un sol radiante. - Solea intensamente a medio día.

FORMA PERSONAL IMPROPIA O GRAMATICAL

Son oraciones que no precisan al sujeto y tienen verbos impersonales, como: haber, ser, hacer y estar. Ejemplos: Hubo protestas en la región. Habrá mejores artistas. Es tarde para arrepentirse. Se ofrecen muchas vacantes en la UNSAAC.

B. ORACIONES BIMEMBRES83. Estas oraciones presentan la dualidad de dos elementos o miembros constituyentes de la oración, como son: el SUJETO y el PREDICADO. Estas oraciones se presentan con dos tipos de sujetos: el sujeto expreso y el sujeto tácito. a) Sujeto expreso o explícito. Es el sujeto que se manifiesta en la oración. Ejemplos:  Los jóvenes inteligentes estudian continuamente. S



P

El estudioso viajó a la selva peruana. S

b)

P

Sujeto tácito o implícito. Presenta al sujeto de manera sobrentendida. Ejemplos:  (Ellos) Ingresaron a la universidad en primeros lugares S



S

14.3.2. A.

P

(Él) Viajó a la selva peruana. P

POR LA CANTIDAD DE VERBOS O DE PROPOSICIONES ORACIONES SIMPLES 84  Son aquellas que presentan un solo verbo principal o conjugado (ya sea simple o compuesto).  Estas oraciones no presentan proposiciones de ningún tipo en su estructura.  Pueden tener sujeto simple o compuesto. Por ejemplo: - El estudiante resolvió la prueba. - El profesor y el estudiante dialogaron amenamente. - La joven estudiosa ha ingresado a la universidad. - Los estudiantes han estudiado para el examen.

B.

   

ORACIONES COMPUESTAS 85 Estas oraciones se presentan a través de nexos dos o más verbos principales o conjugados. Asimismo estas oraciones pueden presentar dos o más proposiciones coordinadas o subordinadas. Además señalan dos o más ideas. Este tipo de oraciones presentan NEXO o ENLACE y pueden ser coordinantes o subordinantes. B.1. ORACIÓN COMPUESTA COORDINADA. Son oraciones que en su estructura presentan proposiciones que poseen el mismo valor sintáctico, entre ellos tenemos: TIPO DE NEXO COORDINADOS YUXTAPUESTA. Carecen de nexo y se encuentran separados por signos de puntuación.

B.2.   

ORACIÓN COMPUESTA COORDINADA Los estudiosos merecen premio; los holgazanes deberán ser castigados.

COPULATIVA Los nexos son: y, e, ni

Margot resuelve problemas y Vanesa analiza las oraciones. Doris estudia enfermería e Irene dibuja con acuarelas.

DISYUNTIVA Los nexos son: o, u

¿Estudias inmediatamente o te quedas sin vacaciones? ¿Vamos a bailar a mi casa o prefieres ver películas?

ADVERSATIVA Los nexos son: pero, mas, sino, sin embargo, no obstante.

Mabel ingresó en primer lugar, pero no avisó a nadie. Leímos la relación de ingresantes, sin embargo no hallamos su nombre.

ORACIÓN COMPUESTA SUBORDINADA Es la relación de dependencia estructural que se establece entre dos constituyentes sintácticos. Una proposición subordinada es por tanto una proposición que depende de otro constituyente al que complementa o modifica. La subordinación se establece a través de un elemento de nexo o enlace (una conjunción subordinante o un relativo) Las clases de oraciones subordinadas son: a) Proposición subordinada sustantiva. Cumple todas las funciones propias del sustantivo. Se presenta en los siguientes casos:

82Roberto

Rosadio Bernal, Morfosintaxis I (Perú: Universidad Inca Garcilaso de la Vega, Fondo Editorial, 2012), 30. 83Manuel Seco, Diccionario de dudas y dificultades (Madrid: Editorial Espasa Calpe, 2010) 84Santiago Revilla de Cos, Gramática Española Moderna (México D.F, Mc Graw Hill , 2012) 85Dante Sinfuente Palma, Nueva gramática del Español y su uso del lenguaje, 417.

70 | C E P R U 2 0 1 5 CLASES

EJEMPLOS

Sustantivas del sujeto

Me encantaría que ingreses en la universidad.

Sustantivas de objeto directo

Te aconsejamos que estudies los libros nuevos.

Sustantivas del objeto indirecto

Regalan diccionarios a quienes compran novelas.

Sustantivas de complemento preposicional

Me alegro de que hayas ingresado a la universidad.

Sustantivas de complemento agente

Fue entrevistada por quien la perseguía.

Complemento circunstancial

Estudia con el que se sienta a su lado,

Complemento de un sustantivo

He visto la foto de quien él sabe.

Complemento de un adjetivo

Estoy harta de que me engañen.

Complemento de un adverbio

Estuvo cerca de que le dieran el primer lugar.

b) Proposición subordinada adjetiva. Está proposición subordinada modifica a un sustantivo que se encuentra en cualquier parte de la oración, es decir, funciona como adjetivo. Se presenta en los siguientes casos: CLASES Prop. subordinada adjetiva especificativa Prop. subordinada adjetiva explicativa c)

EJEMPLOS La novela que leíste ayer está malograda. Los estudiantes, que estaban aburridos, no ingresaron a la “U”.

Proposición subordinada adverbial. Está proposición subordinada modifica a un verbo principal (función propia del adverbio), se le reconoce como complemento circunstancial. Se presenta en los siguientes casos: CLASES EJEMPLOS De lugar

Nos encontraremos donde ustedes digan.

// Está en donde ustedes lo dejaron. De modo

Investigaré según me dicte mi instinto. Condicional

Si saben todo de mí no puedo hacer nada contra ellos. Concesiva Continúan llamando a pesar de que no les hice caso. Causal Duermo durante el día porque trabajo de noche. Cantidad Traerá cuanto dinero obtenga de sus negocios. FinalidadMargot

vino para que le prestaras una novela. 14.3.3.

POR SU NATURALEZA. Las oraciones por su naturaleza se presentan de acuerdo a la actitud que muestra el hablante86. A. ORACIONES ENUNCIATIVAS, ASEVERATIVAS O DECLARATIVAS. El hablante afirma o niega hechos o ideas, presenta los enunciados como si se tratase de algo objetivo. Ejemplos: o El internet facilita el acceso a la gran cantidad de información. o Hoy hace calor. o Tu prima nunca viene al CEPRU. o Los domingos no trabajamos. B. o o o o

ORACIONES DESIDERATIVAS. El hablante manifiesta un deseo. Ejemplos: Me gustaría verte. ¡Quién pudiera estar allí! Quisiera viajar durante las vacaciones. ¡Qué te vaya bien, amigo mío!

C. o o o

ORACIONES DUBITATIVAS. El hablante expresa duda o probabilidad. Ejemplos: Tal vez tengas razón. Puede que el libro esté sobre la mesa. Quizá lleguemos antes del anochecer.

D. ORACIONES INTERROGATIVAS. El hablante expresa una pregunta, pueden ser directas o indirectas; parciales o totales. Ejemplos: o ¿Quieres acompañarme a la biblioteca? o ¿Cuál es tu nombre? o ¿Te gusta el teatro? o Cuéntame, qué ha pasado. o Dónde te escondes amada mía. E. o o o o

ORACIONES IMPERATIVAS O EXHORTATIVAS. Expresa mandato, orden o ruego. Ejemplos: Abre la ventana. No te muevas de donde estas, por favor. No digáis mentiras, Jaime. Debes ponerte el casco para conducir la moto.

F. o o o o

ORACIONES EXCLAMATIVAS. El hablante expresa diferentes estados de ánimo. Ejemplos: ¡Qué alegría de verte! ¡Qué animal! ¡Alto! ¡Cuántos libros tiene ella!

86Roberto Rosadio Bernal, Morfosintaxis I, 91.

EJERCICIOS

1.

La expresión El abuelo no le contestó a su nieto, por su naturaleza, es una oración: a) Enunciativa b) Desiderativa c) Interrogativa d) Exhortativa e) Exclamativa

2.

La expresión Quisiera estar con toda mi familia ahora, por su naturaleza, es una oración: a) Exclamativa b) Desiderativa c) Exhortativa d) Enunciativa e) Dubitativa

3.

La expresión ¡Cuánta alegría!, sintagmática, es una oración: a) Simple b) Bimembre c) Unimembre sin verbo d) Unimembre con verbo e) Simple con verbo

4.

La expresión Ven y dime que aún me amas mucho, por su naturaleza, es una oración: a) Exhortativa b) Exclamativa c) Desiderativa d) Dubitativa e) Enunciativa

5.

6.

7.

8.

9.

10.

por

su estructura

La expresión Hubo protestas en Ministerio de Cultura, por su estructura sintagmática, es una oración: a) Bimembre con verbo b) Compuesta c) Unimembre con verbo d) Unimembre sin verbo e) Bimembre con sujeto tácito La oración simple con predicado nominal es: a) Ella no está aquí, sino allá b) Viene ahora c) Estudia y canta d) Los cóndores, los dioses del cielo e) Algunos hombres de la tierra La oración Los estudiosos merecen holgazanes ser castigados, es compuesta: a) Conjuntiva b) Subordinada c) Coordinada conjuntiva d) Coordinada yuxtapuesta e) Subordinada sustantiva

premio;

La oración Prometieron muchos cambios, las cosas continúa igual, por la cantidad de proposiciones, es: a) Compuesta coordinada yuxtapuesta b) Compuesta subordinada adjetiva c) Compuesta subordinada sustantiva d) Compuesta coordinada conjuntiva e) Simple con sujeto tácito recibieron

las

Coordinada conjuntiva

11.

La oración compuesta subordinada adverbial es: a) Allá tienes que ganar ahora b) Cuando tú vuelves, te lo contaré c) ¿Cuándo llegó? d) Daba consejos a todos e) Amablemente escuchó la maestra

12.

La oración compuesta subordinada adjetiva es: a) Los estudiantes que están casados no asistieron b) Las mujeres son diosas terrenales c) Ella es amable, generosa y estudiosa d) Los estudiosos triunfan e) Bastante amable y generosa

13.

La oración Martín salió anoche con quien tú sabes, es compuesta: a) Coordinada sustantiva b) Subordinada adjetiva c) Subordinada sustantiva d) Subordinada adjetiva e) Coordinada adjetiva

14.

La oración compuesta subordinada adverbial, es: a) Compra regalos para quien ama b) ¿Cuándo terminan la tarea? c) Ese quien te saludó trabaja aquí d) Estudiamos toda la noche e) Fabiola trabaja desde cuando tuvieron los hijos

15.

La oración compuesta coordinada adversativa es: a) Trabaja con que tienes que aprovechar b) Estudia que estudia c) ¿Estudias o viajas? d) Te hubiésemos llamado pero allí no había teléfono e) Te necesitamos todos

16.

La oración compuesta coordinada es: a) Todos somos culpables, no puedes excluirte b) Comiendo todo el día c) Carlos y María viajarán d) Abrazó a quien perdonó e) Lo ubicamos todos

17.

La expresión Codifican todos los libros de la biblioteca, por su estructura sintagmática, es una oración: a) Unimembre b) Bimembre con sujeto expreso c) Compuesta coordinada d) Bimembre con sujeto tácito e) Unimembre con verbo impersonal

18.

La oración Los televisores que vendían antes no captan todos los canales, es compuesta: a) Coordinada conjuntiva b) Subordinada sustantiva c) Subordinada adverbial d) Subordinada adverbial de modo e) Subordinada adjetiva

19.

La es: a) b) c) d) e)

los

La oración gramatical es una de las siguientes: a) El color de tus ojos b) Muy alegremente c) Interpreta el texto d) Bastante y sumamente humilde e) Los tres niños rubios

La oración Quienes me estiman invitaciones ayer, es compuesta: a) Subordinada adverbial b) Subordinada adjetiva c) Coordinada sustantiva d) Subordinada sustantiva

e)

20.

oración La gente paga sus deudas como puede, Simple Compuesta subordinada adjetiva Compuesta subordinada sustantiva Compuesta subordinada adverbial Simple con sujeto expreso

La oración Quien estudia conscientemente construye su futuro, es: a) Simple son sujeto tácito b) Simple con sujeto expreso c) Compuesta subordinada sustantiva d) Compuesta coordinada yuxtapuesta e) Compuesta subordinada adjetiva

72 | C E P R U 2 0 1 5

EL TEXTO Unidad lingüística comunicativa fundamental producto de la actividad verbal humana que posee siempre carácter social.

ESTRUCTURA INTERNA DEL TEXTO

1.

Idea a) I. Principal b) I. Secundarios

2.

Tema a) Principal b) Secundarios

3.

CLASES DE TEXTO

PROPIEDADES DEL TEXTO

1.

Título

2.

P. Constitutivas a) Según la estructura del texto - Coherencia - Cohesión b) Según la pragmática del texto - Intencionalidad - Aceptabilidad - Informatividad - Situacionalidad - Intertextualidad P. Regulativas a) Eficacia b) Efectividad c) Adecuación

1.

2.

3.

Por su forma a) T. Narrativo b) T. Descriptivo c) T. Argumentativo d) T. Expositivo e) T. Dialogal Por su estructura a) T. Analizante b) T. Sintetizante c) T. Centrado d) T. Paralelo e) T. Encuadrado Por su contenido a) T. Informativo b) T. Científico c) T. Filosófico d) T. Humanístico e) T. de crítica literaria

FUENTE: Elaboración propia

15.1.CONCEPTO El texto tiene su origen en el latín textus que quiere decir “tejido” y se define como una unidad semántico estructural; es decir, de contenido y forma, que tiene como base al párrafo, cuyo ordenamiento es fundamental para establecer la intencionalidad de uno o más mensajes que a su vez tienen coherencia y relación con respecto a un tema o asunto. Se puede conceptuar entonces como la unidad de contenido y forma, de extensión variable, constituida por una o más frases u oraciones. Enrique Bernárdez afirma que “el texto es la unidad lingüística comunicativa fundamental, producto de la actividad verbal humana que posee siempre carácter social. Está caracterizado por un cierre semántico y comunicativo, así como por su coherencia profunda y superficial, debido a la intención comunicativa del hablante de crear un texto íntegro, y a su estructura mediante dos conjuntos de reglas: las propias del nivel textual y las del sistema de la lengua”.87 Pérez, Ollé y Vega, sostienen que “un texto puede ser breve, compuesto por una palabra o ser extenso. Lo importante es que sea un todo comprensible y que tenga un propósito comunicativo”.88 Según Cassany “texto significa cualquier manifestación verbal y completa que se produzca en una comunicación”.89 El texto tiene un carácter comunicativo, es decir, es una actividad que se realiza con una finalidad determinada como parte de su función social; un carácter pragmático, que se produce con una intención y en una situación concreta; y un carácter estructurado, es decir, constituido por una sucesión de enunciados u oraciones coherentes. 15.2.CARACTERÍSTICAS Las características fundamentales a destacar son:    

EL TEXTO Es una unidad comunicativa. Se produce con una intención. Está relacionado con el contexto o situación en que se produce. Está estructurado por reglas que le ayudan a mantener la coherencia y la cohesión.

El texto es la secuencia lingüística con sentido pleno que un hablante quiere comunicar. Constituye un acto de habla, o una serie de actos lingüísticos conexos realizados por un individuo en una situación comunicativa determinada. Halliday y Hasan afirman que la palabra texto es usada en lingüística para referirse a cualquier pasaje escrito o hablado de cualquier extensión que forme un todo unificado. 15.3.LA ESTRUCTURA INTERNA DEL TEXTO Se llama estructura interna a la organización de ideas del texto que el autor suele realizar, orientado por sus propósitos y de acuerdo a las exigencias del tema que aborda.

87

Enrique Bernárdez, Introducción a la lingüística del texto (Madrid: Arco Libros, 1987). 88Pérez Ollé y Vega, Claves de la conexión textual (Santiago de Chile: Salesianos, 2001). 89Daniel Cassany, Estudio de la lengua (Barcelona: Graó, 1993).

La organización de las ideas es un conjunto de relaciones, a través de las cuales se hace evidente el contenido del discurso. 15.3.1.

LAS IDEAS Llamamos idea a todo pensamiento o concepto que resulta de aplicar nuestro entendimiento a un objeto de conocimiento.

a)

LA IDEA PRINCIPAL Es la tesis o planteamiento central que el autor desarrolla conforme van discurriendo las ideas del texto. Dicha tesis puede consistir en la formulación de problemas, conceptos, definiciones, juicios de valor o críticas. Puede contener objetivos, intenciones, propósitos, propuestas científicas, preferencias artísticas, etc. Contiene el mensaje que se quiere transmitir al lector y es el núcleo del discurso en torno al cual giran las demás ideas. En un texto, pueden existir varias ideas, pero lo importante es descubrir aquella de mayor jerarquía, a fin de lograr una comprensión cabal del mismo. La idea principal está expresada de manera general, abstracta, conceptual o teórica.

b)

LAS IDEAS SECUNDARIAS Así, para entender el texto plenamente, es necesario identificar no solo la idea principal, sino también las ideas de menor jerarquía que contienen las características peculiares de la tesis del autor. Nos referimos a las llamadas ideas secundarias, las cuales cumplen diversas funciones en el contenido del texto. Por lo tanto, la tarea del lector consiste en descubrir las relaciones existentes entre la idea principal y las secundarias. Las ideas secundarias no están por casualidad en el texto; están presentes para servir de argumento a la idea central, para que esta sea digna de crédito, adquiera validez y sea de utilidad para resolver problemas concretos. En tal medida las ideas secundarias son muy importantes en la organización interna de un texto, ya que cumplen el papel de fundamentar y explicar con diversos recursos la idea principal, determinando sus alcances y límites. Las ideas secundarias sirven para fundamentar y explicar a través de la argumentación, la comparación, la ejemplificación, la reiteración, etc. La idea secundaria está expresada de manera específica, concreta, ejemplificada o práctica.

15.3.2.

EL TEMA Es aquello de lo que se habla en el texto. Es decir, el asunto descrito, explicado y desarrollado por diversos medios de exposición. El tema de un texto puede ser la libertad, la explotación, el amor, el conocimiento, la política, el deporte, la religión, etc.

15.3.3.

15.4.

EL TÍTULO Es una frase breve que sintetiza la idea central del texto, su sentido e intención es semejante a un nombre, pues identifica a la totalidad de lo expuesto. Además presenta un carácter informativo. En eso difiere del tema que es mucho más genérico. La manera de obtener el título es similar a la idea principal, pero la respuesta en este caso debe ser más sintética.

PROPIEDADES DEL TEXTO.90 Son todos aquellos requisitos que debe reunir un mensaje oral o escrito para que pueda ser considerado como texto. La presencia de ideas desordenadas no puede ser capaz de configurar un texto, puesto que no respeta la estructura adecuada de las ideas ni de los elementos gramaticales que permitan formar una unidad constitutiva. Podemos decir que cualquier texto, por ser un acontecimiento comunicativo, posee propiedades constitutivas y propiedades regulativas.

15.4.1.

PROPIEDADES CONSTITUTIVAS Es la facultad de disponer que un texto tenga unidad comunicativa. Es decir, forma parte para la composición o intercambio de información entre emisor y receptor, con el que debe presentar la coherencia y cohesión.

A.

PROPIEDADES DE LA ESTRUCTURA DEL TEXTO (INTERNAS) Se llaman así porque están centradas en el texto y actúan directamente sobre los materiales del texto. a)

LA COHERENCIA Es la propiedad del texto que relaciona la información relevante/irrelevante y establece, según Cassany: “Los datos pertinentes que se comunican y su distribución a lo largo del texto, esto es, permite organizar los datos y las ideas mediante una estructura comunicativa de manera lógica y comprensible” (en qué orden, con qué grado de precisión o detalle, con qué estructura). Por coherencia se entiende la conexión de las partes en un todo, la relación armoniosa entre conceptos, hechos e ideas que aparecen en un texto con sentido.

b)

LA COHESIÓN Es la propiedad del texto mediante la cual se establece una relación manifiesta entre los diferentes elementos del texto. Esta relación refleja el desarrollo informativo del texto, que se materializa en unidades sintácticas semánticas debidamente entrelazadas. Ahora bien, si esta característica proporciona la trabazón entre los constituyentes del texto, no garantiza por sí sola la coherencia de este: "los textos no se elaboran solo con medios lingüísticos, sino también con la ayuda de medios extralingüísticos". La cohesión textual se desarrolla en dos planos referidos a la organización intratextual: Plano macrotextual (orienta el significado global) y el plano microtextual (orienta la trabazón entre las palabras, oraciones).

B.

PROPIEDADES DE LA PRAGMÁTICA DEL TEXTO (EXTERNAS) Se llaman así porque están centradas en la relación que se establece entre emisor y receptor, en sus actuaciones. a)

90

LA INTENCIONALIDAD Se refiere a la intención comunicativa del hablante o escritor. Al iniciar una actividad de redacción se recomienda definir el propósito de nuestro escrito. Debemos preguntarnos: ¿Qué quiero conseguir con mi texto?, ¿cómo deseo que reaccionen mis lectores?, ¿qué quiero que hagan con mi texto?, ¿cómo puedo formular en pocas palabras mi propósito, etc.

Universidad de Piura, Comunicación: Nos comunicamos por medio de textos (Lima, Ministerio de Educación – DINFOCAD, 2000).

b)

LA ACEPTABILIDAD El receptor tiene la potestad de aceptar o no un texto, en función del tema, y de cómo se ha desarrollado el acto comunicativo, de la atractividad y utilidad que tenga el asunto para el lector.

c)

LA INFORMATIVIDAD Cualquier texto es informativo, puesto que se manejan datos, versiones de fuentes personales o bibliográficas y todo tipo de información que dé veracidad al texto.

d)

LA SITUACIONALIDAD Se refiere a todos aquellos factores o circunstancias que intervienen en todo acto comunicativo. Los textos se encuentran condicionados por una situación extraverbal concreta, es decir, por las circunstancias que rodean el acto comunicativo.

e)

LA INTERTEXTUALIDAD Enlaza todos aquellos factores que hacen depender el uso adecuado de un texto en relación con otros textos.

15.4.2.

PROPIEDADES REGULATIVAS Es el derecho o facultad de disponer medidas o ajustes que contribuyen a mantener la expectativa del lector a lo largo del texto; para lo cual se debe tener presente las siguientes propiedades: a)

LA EFICACIA Un texto es eficaz dependiendo del esfuerzo que el emisor procure para ser claro en su realización comunicativa.

b)

LA EFECTIVIDAD Un texto es efectivo si genera una fuerte impresión en el receptor durante la lectura y si logra sus objetivos. LA ADECUACIÓN Un texto es adecuado si hay equilibrio en el uso que se hace de un tipo de texto y en el modo en que se respetan las normas de la textualidad. También se dice que el texto es adecuado si está dirigido a un público específico (niños, jóvenes, mujeres, obreros, profesionales, etc.)

c)

15.5.

CLASES DE TEXTOS91

15.5.1. a)

POR SU FORMA TEXTO NARRATIVO Cuando la finalidad del texto es contar o narrar acontecimientos en los que intervienen personajes, tenemos un texto narrativo. Los hechos o acontecimientos que componen el texto narrativo se desarrollan en un tiempo y un espacio que pueden ser reales o virtuales. NARRAR es relatar unos hechos (reales o imaginarios) ocurridos en un tiempo y en un lugar determinado. La función lingüística que predomina en todo texto narrativo es la referencial. EJEMPL O: ''Un tigre que cuando cachorro había sido capturado por humanos fue liberado luego de varios años de vida doméstica. La vida entre los hombres no había menguado sus fuerzas ni sus instintos; en cuanto lo liberaron, corrió a la selva. Ya en la espesura, sus hermanos teniéndolo otra vez entre ellos, le preguntaron: -¿Que has aprendido? El tigre meditó sin prisa. Quería transmitirles algún concepto sabio, trascendente. Recordó un comentario humano: "Los tigres no son inmortales. Creen que son inmortales porque ignoran la muerte, ignoran que morirán." Ah, pensó el tigre para sus adentros, ese es un pensamiento que los sorprenderá: no somos inmortales, la vida no es eterna. -Aprendí esto- dijo por fin-. No somos inmortales solo ignoramos que alguna vez vamos a... Los otros tigres no lo dejaron terminar de hablar, se abalanzaron sobre él, le mordieron el cuello y lo vieron desangrarse hasta morir. Es el problema de los enfermos de muerte -dijo uno de los felinos-. Se tornan resentidos y quieren contagiar a todos”. El tigre enfermo, Marcelo Birmajer

b)

TEXTO DESCRIPTIVO Tradicionalmente se ha definido la descripción como una "pintura'' hecha con palabras. Y es así, pues, al describir, lo que intentamos es representar por medio de las palabras un objeto, un paisaje, una persona tal cual como si el lector la tuviera delante y la estuviera percibiendo con sus propios sentidos. DESCRIBIR es representar lingüísticamente la imagen de un objeto (sea este una persona, un animal, un ambiente, una cosa, etc.) EJEMPL O:

MÉXICO Y NUEVO MÉXICO ''El oeste de Texas divide la frontera entre México y Nuevo México. Es muy bella, pero áspera, llena de cactus, en esta región se encuentran la Davis Mountains. Todo el terreno está lleno de piedra caliza, torcidos árboles de mezquite y espinosos nopales. Para admirar la verdadera belleza desértica, visite el Parque Nacional de Big Bend, cerca de Brownsville. Es el lugar favorito para los excursionistas, acampadores y entusiastas de las rocas. Pequeños pueblos y ranchos se encuentran a lo largo de las planicies y cañones de esta región. El área solo tiene dos estaciones, tibia y realmente caliente. La mejor época para visitarla es de diciembre a marzo cuando los días son tibios, las noches son frescas y florecen las plantas del desierto con la humedad en el aire”. EL HOGAR “Un mundo se originaba en la casa paterna; más estrictamente, se reducía a mis padres. Este mundo me era muy familiar: se llamaba padre y madre, amor, severidad, ejemplo, colegio. Este mundo se caracterizaba por un tenue esplendor, claridad y limpieza; a él pertenecían las palabras suaves y amables, las manos lavadas, la ropa limpia y las buenas costumbres. Allí se cantaba el coral por las mañanas y se celebraba la navidad. En este mundo había líneas rectas y caminos que conducen al porvenir, estaban el deber, y la culpa, el remordimiento y la confesión, el perdón y los buenos propósitos, el amor y el respeto, la Biblia y la sabiduría. Uno tenía que quedarse dentro de este mundo para que la vida fuera clara, limpia, bella y ordenada”. MI MUJER “Mi mujer tiene cabellera de fuego, pensamientos de relámpago, cintura de reloj de arena, rostro angelical: es todo un bombón físico e intelectual”. 91

Universidad de Piura, Comunicación: Nos comunicamos por medio de textos.

c)

TEXTO ARGUMENTATIVO La argumentación es un tipo de exposición que tiene como finalidad confirmar o refutar una tesis, es decir, una idea que se quiere probar. Así, si se trata de confirmar, la argumentación debe aducir pruebas y razones que traten de refutarla se intentará demostrar la falsedad de una idea o lo inadecuado de una aplicación o de un razonamiento. ARGUMENTAR es aportar razones válidas para defender o refutar una opinión o idea. Su objetivo es convencer al receptor de algo. EJEMPL O: LA FELICIDAD “En todos los tiempos, en todas las culturas ha sido constante el anhelo del ser humano por alcanzar la felicidad. Todos aspiramos a la felicidad y la buscamos de mil maneras ¿lograremos encontrarla? Buscamos la felicidad en los bienes externos de las riquezas y el consumismo es la forma actual del bien máximo. Pero la figura del "consumidor satisfecho" es ilusorio: el consumidor nunca está satisfecho, es insaciable y, por tanto, no es feliz. Podemos buscar la felicidad en el triunfo, en los honores. Pero ¿no es todo eso sino vanidad, en definitiva nada o casi nada? Otro modo de búsqueda de la felicidad es la autocomplacencia, así, el goce del propio placer, el deseo de perfección o la práctica de la virtud. Aspiramos a la felicidad, pero aspirar no es lo mismo que “buscar” y, todavía menos, que “conquistar” ni fuera, ni dentro de nosotros mismos. La felicidad es un don, el don de la paz interior, espiritual, de la conciliación o reconciliación con todos y con todo y, para empezar y terminar, con nosotros mismos. Para recibir el don de la felicidad el talante más adecuado es, pues el desprendimiento: no estar prendido a nada, desprenderse de todo. La felicidad, como el pájaro libre, no está nunca en la mano, sino siempre volando, pero, tal vez, con suerte y quietud por nuestra parte, se pose por unos instantes sobre nuestra cabeza”. LA BUENA ALIMENTACIÓN “Algunos comen solo dulces y postres y eso no está nada bien. Hay que comer de todo. Comiendo solo dulces, se te estropearán los dientes y, además, abusar del azúcar no es bueno ni para tu estómago ni para tu salud en general. ¡Por si fuera poco, puedes engordar! Debemos seguir una alimentación variada, porque, de lo contrario nuestro crecimiento puede verse perjudicado. Nuestro cuerpo necesita diferentes sustancias, nutrientes y estas se hallan repartidas entre las diferentes clases de alimentos. Cada tipo de alimento nos aporta algo que nuestro cuerpo necesita, por eso debemos comer de todo. No comer algún tipo de alimentos puede producirnos problemas de salud, puesto que nuestro cuerpo puede estar falto de defensas o de vitaminas. Una mala alimentación puede producirnos enfermedades, problemas de obesidad o de falta de peso y un mal desarrollo. En definitiva, no hay ninguna duda: ¡no podemos permitirnos renunciar a ningún tipo de alimento!”.

d)

TEXTO DIALÓGICO Los textos dialógicos, llamados también textos conversacionales o dialogales, constituyen un tipo de composición en el que se manifiesta el intercambio comunicativo entre dos o más personas, ya sea este real o imaginario. El diálogo es, por excelencia, el modo de expresión propio del teatro. Sin embargo, se emplea igualmente en las novelas, en los cuentos, en algunos poemas, en ensayos filosóficos y otros tipos de textos. EJEMPL O: ESCENA I Gran plaza en el Cusco con el templo del Sol en el fondo. La escena tiene lugar ante el vestíbulo del templo. Vestidos característicos de la época incaica. (Salen OLLANTA, con manto bordado de oro y el mazo al hombro, y tras él, PIQUICHAQUI.) OLLANTA.- ¿Has visto, Piqui-Chaqui, a Cusi Ccoyllur en su palacio? PIQUICHAQUI.- No, que el Sol no permita que me acerque allá. ¿Cómo, no temes siendo hija del Inca? OLLANTA.- Aunque eso sea, siempre he de amar a esta tierna paloma: a ella sola busca mi corazón. PIQUICHAQUI.- ¡Creo que el demonio te ha hechizado! Estás delirando, pues hay muchas doncellas a quienes puedes amar, antes que llegues a viejo. El día que el Inca descubra tu pensamiento, te ha de cortar el cuello y también serás asado como carne. OLLANTA.- ¡Hombre!, no me sirvas de estorbo. No me contradigas, porque en este momento, te he de quitar la vida, destrozándote con mis propias manos. PIQUICHAQUI.- ¡Veamos! Arrójame afuera como un can muerto, y ya no me dirás cada año, cada día, cada noche: Piquichaqui, busca a Cusi Ccoyllur. OLLANTA.- Ya te digo, Piquichaqui, que acometería a la misma muerte con su guadaña; aunque una montaña entera y todos mis enemigos se levantaran contra mí, combatiría con ellos hasta morir por abrazar a Cusi Ccoyllur. PIQUI-CHAQUI.- ¿Y si el demonio saliera? OLLANTA.- Aun a él hollaría con mis plantas. PIQUI-CHAQUI.- Porque no veis ni la punta de sus narices, por eso habláis así. OLLANTA.- En hora buena, Piquichaqui, dime sin recelo: ¿Cusi Ccoyllur, no es una brillante flor? PIQUICHAQUI.- ¡Vaya! Estás loco por Cusi Ccoyllur. No la he visto. Tal vez fue una que entre todas las sin mancilla salió ayer, al rayar la aurora, hermosa como la Luna y brillante como el Sol en su carrera. OLLANTA.- Sin duda ella fue. He aquí que la conoces. ¡Qué hermosa! ¡Qué jovial! Anda en este instante y habla con ella, que siempre está de buen humor. PIQUICHAQUI.- No desearía ir de día al palacio, porque en él no se conoce al que va con quipe.

OLLANTA.- ¿Cómo, no me has dicho que ya la conoces? PIQUICHAQUI.- Eso he dicho por decir. Como las estrellas brillan de noche, por eso solo de noche la conozco. OLLANTA.- Sal de aquí, brujo, pues mi idolatrada Cusi Ccoyllur deslumbra al mismo Sol con su hermosura. Ella no tiene rival. PIQUICHAQUI.- Aguarda que ahora ha de salir un viejo o una vieja, que creo idóneos para llevar tus recados y hablar con ella; porque aunque soy un pobre huérfano, no quisiera que me llamaran rufián. e)

TEXTO EXPOSITIVO Un texto de este tipo se refiere a las exposiciones o definiciones que encontramos en libros, textos, manuales, tratados, conferencias de un determinado tema o materia, donde el emisor debe revelar la causa-efecto de la información que realiza, con plena seguridad de convencimiento a los receptores. La finalidad de los textos expositivos es la transmisión de información y se centran en el contenido, que el receptor debe percibir claramente. EJEMPL O: LOS FLAMENCOS “Los flamencos son aves gregarias altamente especializadas, que habitan sistemas salinos de donde obtienen su alimento (compuesto generalmente de algas microscópicas e invertebrados) y materiales para desarrollar sus hábitos reproductivos. Las tres especies de flamencos sudamericanos obtienen su alimento desde el sedimento limoso del fondo de lagunas o espejos lacustre-salinos de salares. El pico del flamenco actúa como una bomba filtrante. El agua y los sedimentos superficiales pasan a través de lamelas en las que quedan depositadas las presas que ingieren. La alimentación consiste principalmente en diferentes especies de algas diatómeas, pequeños moluscos, crustáceos y larvas de algunos insectos... Para ingerir el alimento, abren y cierran el pico constantemente produciendo un chasquido leve en el agua, y luego levantan la cabeza como para ingerir lo retenido por el pico. En ocasiones, se puede observar cierta agresividad entre los miembros de la misma especie y frente a las otras especies cuando está buscando su alimento, originada posiblemente por conflictos de territorialidad”. Los flamencos del Altiplano Boliviano, Omar Rocha

15.5.2. a)

POR SU ESTRUCTURA TEXTO ANALIZANTE Es aquel que empieza con la idea principal, la misma que es explicada, ampliada, profundizada o analizada en las siguientes oraciones que son las ideas secundarias. EJEMPL O: “Los inventos facilitan la vida del hombre. El teléfono permite comunicarnos a grandes distancias en un instante, el ascensor nos facilita la ascensión y el descenso evitando la fatiga, los ventiladores nos refrescan en lugares calurosos, el automóvil nos transporta a diversos lugares en forma rápida, la computadora hace que nuestras actividades profesionales, educativas y de todo tipo sean realizadas con mayor rapidez y precisión”.

b)

TEXTO SINTETIZANTE Es aquel que presenta la idea principal al final del párrafo, pues es la síntesis o resumen de los expresado anteriormente en las ideas secundarias que sirven de explicación anticipada o preparación para interpretar y comprender el mensaje total del texto. EJEMPL O: “Unos bebés lloran porque sienten hambre, sed o dolor; otros por aburrimiento. A veces, el motivo del llanto es el miedo al abandono pues, en esta etapa de su vida, separarse de su madre les puede generar un estado de tensión. En conclusión, los bebés lloran por diferentes razones”.

c)

TEXTO ENCUADRADO Es aquel que presenta la idea principal al inicio y al final del párrafo. Al medio van las ideas secundarias para cumplir su función ampliadora, profundizadora, ejemplificadora, etc. Algunos autores le llaman texto analizante-sintetizante. EJEMPLO: “Todo ser humano puede enviar mensajes a otro mediante la Internet. Los estudiantes se pueden comunicar mutuamente, los empresarios realizan transacciones comerciales, las parejas de enamorados se envían mensajes de amor, los profesionales interactúan entre ellos. En resumen, la comunicación mediante la Internet está al alcance de cualquier persona”.

d)

TEXTO CENTRADO Es aquel que presenta la idea principal al medio o centro del párrafo, o sea las ideas secundarias se hallan tanto al inicio como al final del párrafo. EJEMPL O: En el uso coloquial, a los lípidos se les llama incorrectamente grasas, ya que las grasas son solo un tipo de lípidos procedentes de animales. Los lípidos son un conjunto de moléculas orgánicas. Los lípidos cumplen funciones diversas en los organismos vivientes, entre ellas la de reserva energética (triglicéridos), la estructural (fosfolípidos de las bicapas) y la reguladora (esteroides).

e)

TEXTO PARALELO Es aquel que no presenta idea principal ni ideas secundarias, es decir todas tienen igual importancia. Aquí una idea se compara con otra, ya sea enfrentándolas directamente o por oposición de aspectos parciales de cada una de ellas. Las ideas tienen idéntica importancia, y ninguna de ellas mantiene relaciones de subordinación con respecto a las restantes. EJEMPL O: “El objetivo de la lingüística teórica es la construcción de una teoría general de la estructura de las lenguas naturales y del sistema cognitivo que la hace posible (es decir, las representaciones mentales abstractas que hace un hablante y que le permiten hacer uso del lenguaje). El objetivo es describir las lenguas caracterizando el conocimiento tácito que de las mismas tienen los hablantes y determinar cómo estos las adquieren. Ha existido cierta discusión sobre si la lingüística debe considerarse una ciencia social o más bien parte de la psicología. En las ciencias sociales la conciencia de los participantes es parte esencial en el proceso, sin embargo, parece que ni en el cambio lingüístico, ni en la estructura de las lenguas la conciencia de los hablantes juegue ningún papel relevante. Aunque ciertamente en áreas incluidas normalmente dentro de la lingüística como la sociolingüística o la psicolingüística la conciencia del hablante sí tiene un papel, sin embargo, esas dos áreas no son el núcleo principal de la lingüística teórica sino disciplinas que estudian aspectos colaterales del uso del lenguaje.

El objetivo de la lingüística aplicada es el estudio de la adquisición del lenguaje y la aplicación del estudio científico de la lengua a una variedad de tareas básicas como la elaboración de métodos mejorados de enseñanza de idiomas. Existe un considerable debate sobre si la lingüística es una ciencia social, ya que solo los seres humanos usan las lenguas, o una ciencia natural porque, aunque es usada por los seres humanos, la intención de los hablantes no desempeña un papel importante en la evolución histórica de las lenguas ya que usan las estructuras lingüísticas de manera inconsciente (esto es estudiado por Ferdinand de Saussure quien llega a la conclusión de que los cambios de una lengua se producen arbitrariamente por variaciones que el sujeto realiza y estos son involuntarios, y que la lengua varía en la historia y por eso plantea que el estudio de la lengua debe realizarse diacrónica y sincrónicamente. Saussure deja de lado la historia de las lenguas y las estudia sincrónicamente, en un momento dado del tiempo). En particular, Noam Chomsky señala que la lingüística debe ser considerada parte del ámbito de la ciencia cognitiva o la psicología humana, ya que la lingüística tiene más que ver con el funcionamiento del cerebro humano y su desarrollo evolutivo que con la organización social o las instituciones, que son el objeto de estudio de las ciencias sociales”. 15.5.3. a)

POR SU CONTENIDO TEXTO INFORMATIVO Es aquel que tiene por finalidad informar o hacer conocer algo de los acontecimientos de toda índole que se suscitan a nivel local, regional, nacional o mundial. Su uso se circunscribe particularmente al contexto periodístico. EJEMPLO: Nadine Heredia viaja a Brasil en el avión presidencial y con gran comitiva. Son 26 personas las que la acompañan en visita de dos días. Congresista Bruce subrayó que primera dama –que hoy fue recibida por Dilma Rousseff– no puede disponer de los activos del Estado para su uso y exigirá explicaciones al respecto. La primera dama no tiene ningún cargo dentro del Estado, no tiene remuneración y menos puede generar gastos. Como si fuera la presidenta. Nadine Heredia viajó a Brasil, donde hoy fue recibida por la mandataria Dilma Rousseff por espacio de 40 minutos, pero lo que llamó la atención es que lo hizo, no solo en el avión presidencial, sino que además partió acompañada por una comitiva de 26 personas, en un hecho inusual para una primera dama. Trascendió que la primera dama, en la cita que tuvo con Rousseff, le entregó un mensaje de su esposo, en el que este le reitera su invitación a asistir a las cumbres de América del Sur-Países Árabes (Aspa) y de la Unión de Naciones Suramericanas (Unasur), que se celebrarán en Lima este año.

b)

TEXTO CIENTÍFICO Es aquel cuyo contenido se refiere a la exposición de una investigación científica en el ámbito social, en el formal o en el fáctico. Tenemos textos científicos en los libros de Sociología, Lógica, Biología, etc. EJEMPLO: CLONACIÓN MOLECULAR “La clonación molecular se utiliza en una amplia variedad de experimentos biológicos y las aplicaciones prácticas van desde la toma de huellas dactilares a la producción de proteínas a gran escala. En la práctica, con el fin de amplificar cualquier secuencia en un organismo vivo, la secuencia a clonar tiene que estar vinculada a un origen de replicación; que es una secuencia de ADN. Transfección: Se introduce la secuencia formada dentro de células. Selección: Finalmente se seleccionan las células que han sido transfectadas con éxito con el nuevo ADN. Inicialmente, el ADN de interés necesita ser aislado de un segmento de ADN de tamaño adecuado. Posteriormente, se da el proceso de ligación cuando el fragmento amplificado se inserta en un vector de clonación: El vector se linealiza (ya que es circular), usando enzimas de restricción y a continuación se incuban en condiciones adecuadas el fragmento de ADN de interés y el vector con la enzima ADN ligasa. Tras la ligación del vector con el inserto de interés, se produce la transfección dentro de las células, para ello las células transfectadas son cultivadas; este proceso, es el proceso determinante, ya que es la parte en la que vemos si las células han sido transfectadas exitosamente o no. Tendremos que identificar por tanto las células transfectadas y las no transfectadas, existen vectores de clonación modernos que incluyen marcadores de resitencia a los antibióticos con los que solo las células que han sido transfectadas pueden crecer. Hay otros vectores de clonación que proporcionan color azul/ blanco cribado. De modo, que la investigación de las colonias es necesaria para confirmar que la clonación se ha realizado correctamente”.

c)

TEXTO FILOSÓFICO Es aquel cuyo contenido está referido a una expresión del campo de la filosofía, a su vez, toma las denominaciones pertinentes. Convoca abstracción y profundidad de pensamiento. EJEMPL O: “A menos- proseguí- que los filósofos reinen en las ciudades o que cuantos ahora se llaman reyes y dinastas practiquen noble y adecuadamente la filosofía, que vengan a coincidir una cosa y otra, la filosofía y el poder político, y que sean detenidos por la fuerza los muchos caracteres que se encaminan separadamente a una de las dos, no hay, amigo Glauco, tregua para los males de las ciudades, ni tampoco, según creo, para los del género humano: ni hay que pensar en que antes de ello se produzca en la medida posible ni vea la luz del sol, la ciudad que hemos trazado de palabra. Y he aquí lo que desde hace rato me infundía miedo decirlo: que veía iba a expresar algo extremadamente paradójico, porque es difícil ver que ninguna otra ciudad, sino la nuestra, puede realizar la felicidad ni en lo público ni en lo privado…”. La República, Platón

d)

TEXTO HUMANÍSTICO Texto en el que se habla de la actividad humana en su variedad y amplitud, vale decir, desde los aspectos cotidianos, sentimentales y artísticos, hasta todas aquellas manifestaciones consideradas en la “cultura general”, hábitos, usos, costumbres, mitos, etc. EJEMPL O: “Los jóvenes de hoy no quieren otra revolución que la de todos los días, la que les haga sentirse mejor en su piel, más cómodos, más asentados, más felices. Son presentistas, pero de ahí no se concluya que sean egoístas, por utilizar por comodidad de expresión un término moralista que a menudo se les aplica, demasiado rápidamente. En efecto, estos jóvenes no aceptan la injusticia, son solidarios, puntualmente solidarios es cierto, pero toda la sociedad lo es y, de hecho, son ellos (algunos, claro) los que no dudan en ”perder” uno o dos años de su vida para irse, por ejemplo, a América Latina en un programa de cooperación al desarrollo, o trabajar por implementar el 0,7 % en España, protagonizar en Euskadi la revuelta contra ETA y los suyos, acabar con el servicio militar obligatorio y demás alternativas paramilitares… Son los jóvenes los que en mayor grado aceptan al diferente, sea bajo la forma de singularidad sexual (así con los homosexuales), sea como consecuencia de haber contraído alguna enfermedad problemática (así como el sida), sea con los emigrantes, las gentes de otra raza, etc. Es verdad que hay un riesgo evidente de aumento de actitudes xenófobas en la sociedad española. También en su juventud, pero hay que añadir, a renglón seguido, que son los jóvenes los más receptivos, cuando no los propulsores de muchas políticas de

mestizaje social y cultural. Más aún, no creo equivocarme si digo que el gran dilema de conjugar el mantenimiento de la historia y la tradición, de la singularidad regional o nacional propias con la globalidad y uniformidad se va a resolver, en gran medida, en la práctica consuetudinaria de los jóvenes”. Javier ELZO, en Jóvenes españoles 99, Fundación Santa María

e)

1.

TEXTO DE CRÍTICA LITERARIA Es el texto que tiene su soporte en un texto de creación literaria, mediante una apreciación preferentemente objetiva en cuanto al contenido, pero también en cuanto a la forma, vale decir, género, estilo, corriente, etc. EJEMPLO: ¿Se imaginan que pasaría si todo el mundo empezara a quedarse ciego? Pues bien, precisamente es lo que intenta narrar José Saramago en Ensayo sobre la ceguera. Como bien dice su título, la novela es un experimento a través del formato novela de cómo afectaría la falta de un sentido (la vista) al conjunto de una sociedad. Con un inicio prometedor y bien narrado - que puede provocar que se sueñe con la novela y que suscite la extraña y asustadiza sensación de que uno se puede quedar ciego en cualquier momento mientras lee el libro- y un final desgarrador que suscita las emociones más fuertes que contiene la novela, no se entiende cómo, por el camino, Saramago escribió un desarrollo tan desordenado y pesado. El autor, como tiene acostumbrado a sus lectores, es un escritor de oraciones largas, poca puntuación, que no separa los diálogos y que puede convertir párrafos en páginas. Pese a este estilo narrativo que puede provocar en lectores no acostumbrados a su prosa que abandonen el libro a mitad o que se pierdan en su lectura, Ensayo sobre la ceguera es una novela que se ha de leer despacio y que, por momentos, puede llegar a resultar monótona. Sin embargo, una vez el lector ha atravesado ese tedioso tramo, se da cuenta que muchos momentos han impregnado su retina. Un ejemplo son: la difícil salida del centro donde recluyen a los ciegos o el momento en el que dos de las aún supervivientes se mojan con el agua de lluvia y se ponen a reír. Saramago usa una perfecta descripción para provocar recuerdos en imágenes imborrables y al mismo tiempo peca de insustancialidad en los diálogos y en el acercamiento a los personajes a lo largo de la novela”. EJERCICIOS “Una madre sigue teniendo confianza en sus hijos cuando todos los demás lo han perdido. Sus brazos siempre se abren cuando necesito un abrazo. Su corazón sabe comprender cuándo necesito una amiga. Sus ojos sensibles se endurecen cuando necesito una lección. Su fuerza y su amor me han dirigido por la vida y me han dado las alas que necesitaba para volar. Una madre es capaz de dar todo sin recibir nada”. El texto anterior, por su estructura, es: a) Analizante d) Paralelo b) Sintetizante e) Encuadrado c) Centrado

2.

”La vieja y taimada zorra estaba decepcionada. Durante todo el día había merodeado tristemente por los densos bosques, y subido y bajado a las colinas; pero. .. ¿de qué le había servido? No hallaba un solo bocado; ni siquiera un ratón de campo. Cuando lo pensaba -y se estaba sintiendo tan vacía por dentro que casi no podía pensar en otra cosa-, llegó a la conclusión de que nunca había tenido más hambre en su vida. Además, sentía sed…, una sed terrible. Su garganta estaba reseca. En ese estado de ánimo. Dio la vuelta a un muro de piedra y se encontró con algo que le pareció casi un milagro. Allí. Frente a ella, había un viñedo lleno de racimos de frescas y deliciosas uvas, que solo esperaban que las comiesen. Eran grandes y jugosas e impregnaban el aire con su fragancia. La zorra no perdió el tiempo. Corrió, dio un salto y trató de asir la rama más baja, con sus hambrientas mandíbulas… ¡pero no llegó a alcanzarla! Volvió a saltar, esta vez a una altura algo mayor, y tampoco pudo atrapar con los dientes una sola uva. Cuando fracasó por tercera vez, se sentó por un momento y, con la reseca lengua colgándole, miró las docenas y docenas de ramas que pendían fuera de su alcance. El espectáculo era insoportable para una zorra famélica, y saltó y volvió a saltar, hasta que sintió mareos. Necesitó mucho tiempo, pero, por fin, comprendió que las uvas estaban tan fuera de su alcance… como las estrellas del cielo. Y no le quedó más recurso que batirse en retirada. -¡Bah! -murmuró para sí- ¿Quién necesita esas viejas uvas agusanadas? Están verdes…, sí, eso es lo que pasa. ¡Verdes! Por nada del mundo las comería. -¡Ja, ja! -dijo el cuervo, que había estado observando la escena desde una rama próxima- ¡Si te dieran un racimo, veríamos si en verdad las uvas te parecían verdes!” El Texto anterior, por su forma, es: a) Descriptivo d) Expositivo e) Dialógico b) Argumentativo c) Narrativo

3.

Las propiedades internas del texto son: a) Coherencia y cohesión b) Coherencia e intencionalidad c) Cohesión y aceptabilidad

4.

d) Informatividad y situacionalidad e) Intertextualidad y cohesión

EL USO DE INTERNET EN LOS ADOLESCENTES Internet se ha convertido hoy día en una herramienta indispensable en la vida de las personas. Sería difícil, especialmente para los más jóvenes, concebir un mundo en el cual “no estemos conectados” Ingo Lackerbauer, en su libro "Internet", señala que la importancia de internet en el futuro desborda todo lo acontecido hasta ahora, se está convirtiendo en el "medio de comunicación global". No hace falta explicar con detalles los beneficios de este maravilloso invento tecnológico. Nos permite educarnos, conocer, disfrutar. Es decir, es una herramienta multiuso. Precisamente, es este uso el que puede volverse negativo. Estamos hablando de la adicción al internet. Muchos jóvenes pasan una gran parte del día navegando por páginas, publicando en las redes sociales, o viendo videos en youtube. Usar el Internet para el entretenimiento no es algo malo en sí. Lo malo es abusar. El mundo de la web está plagado de conocimientos muy útiles, lo ideal sería también utilizarse en esa faceta, y que no sea solo como manera de ocio. ¿Cuáles son los perjuicios que puede acarrear la adicción a internet? Debido a que el adolescente pasa un tiempo considerable frente al ordenador, una de las mayores consecuencias es la pérdida de una vida social activa. Es probable que pierda el contacto que tenga con sus amigos más cercanos, y pasé más tiempo con los amigos “virtuales”. El texto anterior, por su forma es: a) Argumentativo b) Descriptivo c) Dialógico

d) Narrativo e) Expositivo

5.

Las propiedades regulativas del texto son: a) Eficacia, efectividad y coherencia b) Eficacia, cohesión y aceptabilidad c) Intencionalidad, aceptabilidad e informatividad d) Eficacia, efectividad y adecuación e) N.A.

6.

La entrevista que un periodista hace a un candidato a la presidencia de la región, por su forma, es un ejemplo de texto: a) Científico b) Informativo c) Dialógico d) Descriptivo e) Argumentativo

7.

“Una cinta de las llamadas ´comerciales´ nunca deja de ser obra de arte, aunque lo sea -como un poema sublorquiano- por modo vulgar, fracasado o detestable. Yace en ella una fábula creada por la imaginación de un hombre, fábula convertida luego por otro en sucesión de efectos visuales y auditivos, interpretada plástica, expresiva y sonoramente por algunos más, y reducida, al fin, por la industria de un nuevo equipo, a la condición de imagen proyectable. Hay en el cine finas técnicas científicas y muy poderosos fines comerciales, pero la entidad comúnmente llamada "película" o "filme" -voz aprobada ya por la Real Academia Española- alberga siempre en su seno, para su gloria o su condenación, esa sutil criatura que solemos llamar "obra de arte". En ella tiene su verdadero principio de ordenación. La película es una obra de arte, óptima algunas veces, mediocre muchas más, mala y aun malísima no pocas”. El texto anterior, por su estructura, es: a) Analizante b) Sintetizante c) Centrado d) Encuadrado e) Paralelo

8.

La propiedad del texto consistente en desarrollar un tema de manera lógica, con un sentido determinado, es la: a) coherencia b) Cohesión c) Intencionalidad d) Intertextualidad e) N.A.

9.

“La globalización es un proceso económico, tecnológico, social y cultural a escala planetaria que consiste en la creciente comunicación e interdependencia entre los distintos países del mundo uniendo sus mercados, sociedades y culturas, a través de una serie de transformaciones sociales, económicas y políticas que les dan un carácter global. La globalización es a menudo identificada como un proceso dinámico producido principalmente por las sociedades que viven bajo el capitalismo democrático o la democracia liberal, y que han abierto sus puertas a la revolución informática, plegando a un nivel considerable de liberalización y democratización en su cultura política, en su ordenamiento jurídico y económico nacional, y en sus relaciones internacionales. Este proceso originado en la Civilización occidental y que se ha expandido alrededor del mundo en las últimas décadas de la Edad Contemporánea (segunda mitad del siglo XX) recibe su mayor impulso con la caída del comunismo y el fin de la Guerra Fría, y continúa en el siglo XXI. Se caracteriza en la economía por la integración de las economías locales a una economía de mercado mundial donde los modos de producción y los movimientos de capital se configuran a escala planetaria (Nueva Economía) cobrando mayor importancia en el rol de las empresas multinacionales y la libre circulación de capitales junto con la implantación definitiva de la sociedad de consumo. El ordenamiento jurídico también siente los efectos de la globalización y se ve en la necesidad de uniformizar y simplificar procedimientos y regulaciones nacionales e internacionales con el fin de mejorar las condiciones de competitividad y seguridad jurídica, además de universalizar el reconocimiento de los derechos fundamentales de ciudadanía. En la cultura se caracteriza por un proceso que interrelaciona las sociedades y culturas locales en una cultura global (aldea global), al respecto existe divergencia de criterios sobre si se trata de un fenómeno de asimilación occidental o de fusión multicultural. En lo tecnológico la globalización depende de los avances en la conectividad humana (transporte y telecomunicaciones) facilitando la libre circulación de personas y la masificación de las TICs y el Internet. En el plano ideológico los credos y valores colectivistas y tradicionalistas causan desinterés generalizado y van perdiendo terreno ante el individualismo y el cosmopolitismo de la sociedad abierta. Mientras tanto en la política los gobiernos van perdiendo atribuciones ante lo que se ha denominado sociedad red, el activismo cada vez más gira en torno a las redes sociales, se ha extendido la transición a la democracia contra los regímenes despóticos, y en políticas públicas destacan los esfuerzos para la transición al capitalismo en algunas de las antiguas economías dirigidas y la transición del feudalismo al capitalismo en economías subdesarrolladas de algunos países aunque con distintos grados de éxito. Geopolíticamente el mundo se debate entre la unipolaridad de la superpotencia estadounidense y el surgimiento de nuevas potencias regionales, y en relaciones internacionales el multilateralismo y el poder blando se vuelven los mecanismos más aceptados por la comunidad internacional. La valoración positiva o negativa de este fenómeno, o la inclusión de definiciones alternas o características adicionales para resaltar la inclusión de algún juicio de valor, pueden variar según la ideología del interlocutor. Esto porque el fenómeno globalizador ha despertado gran entusiasmo en algunos sectores, mientras en otros ha despertado un profundo rechazo (antiglobalización), habiendo también posturas eclécticas y moderadas”. El texto anterior, por su forma, es: a) Narrativo b) Descriptivo c) Expositivo d) Dialógico e) Argumentativo

10.

El texto que presenta la idea principal al inicio y al final del texto, se denomina: a) Analizante d) Encuadrado b) Sintetizante e) Paralelo c) Centrado

80 | C E P R U 2 0 1 5

LA LECTURA Un proceso complejo de carácter físico, fisiológico y mental, consistente en captar los rasgos gráficos o escritos para luego decodificarlo para la comprensión del mensaje, apreciar su contenido, integrar sus conocimientos a nuestro acervo cultural, reaccionar frente a lo propuesto por el autor y, sobre todo, aplicar los conocimientos adquiridos a través de la lectura a la solución de problemas teóricos o prácticos.

NIVELES DE COMPRENSIÓN LECTORA

1. 2. 3.

Nivel Literal Nivel inferencial Nivel crítico

ESTRATEGIAS PARA LA COMPRESIÓN DE LECTURA

1. 2. 3.

Previa a la lectura Durante la lectura Posterior a la lectura

TIPOS DE PREGUNTAS DE COMPRENSION LECTORA

1. 2.

Preguntas de retención Preguntas de comprensión a) Traducción b) Interpretación c) Extrapolación

FUENTE: Elaboración propia

16.1. CONCEPTO El proceso mental de percepción, comprensión y reacción. Un procedimiento que consiste en informarse del contenido de un texto. Un medio de comunicación entre el autor y el lector, comunicación que solo se logra si el lenguaje usado por el escritor es comprendido por el lector. Un proceso complejo de carácter físico, fisiológico y mental, consistente en captar los rasgos gráficos o escritos para luego decodificarlo para la comprensión del mensaje, apreciar su contenido, integrar sus conocimientos a nuestro acervo cultural, reaccionar frente a lo propuesto por el autor y, sobre todo, aplicar los conocimientos adquiridos a través de la lectura a la solución de problemas teóricos o prácticos. 16.2. NIVELES DE COMPRENSIÓN LECTORA92 A. NIVEL LITERAL (textual, lineal) El nivel literal es aquel donde el lector se somete estrictamente a los contenidos explícitos, sin entrar en más profundidades. Este nivel es conveniente para la lectura de textos que no requieren de interpretación, como puede ser el prospecto en el que se explica cómo funciona, por ejemplo, un electrodoméstico. En estos casos la persona que lee se ajusta a lo que dice el texto y hace aquello que en él se afirma, sin más. Salvo en casos tan concretos como este, es necesario trascender lo literal e ir al fondo de las ideas transmitidas en el escrito o, dicho de forma diferente, hay que pasar de leer palabras (nivel literal) a leer ideas (nivel simbólico). B. NIVEL INFERENCIAL (deductivo, extralineal) Buscamos relaciones que van más allá de lo leído, explicamos el texto más ampliamente, agregando informaciones y experiencias anteriores, relacionando lo leído con nuestros saberes previos, formulando hipótesis y nuevas ideas. La meta del nivel inferencial será la elaboración de conclusiones. Este nivel de comprensión es muy poco practicado en las instituciones educativas ya que requiere un considerable grado de abstracción por parte del lector. Favorece la relación con otros campos del saber y la integración de nuevos conocimientos en un todo. Este nivel puede incluir las siguientes operaciones:  Inferir detalles adicionales, que según las conjeturas del lector, pudieron haberse incluido en el texto para hacerlo más informativo, interesante y convincente.  Inferir ideas principales, no incluidas explícitamente.  Inferir secuencias, sobre acciones que pudieron haber ocurrido si el texto hubiera terminado de otras maneras.  Inferir relaciones de causa y efecto, realizando hipótesis sobre las motivaciones o caracteres y sus relaciones en el tiempo y el lugar. Se pueden hacer conjeturas sobre las causas que indujeron al autor a incluir ciertas ideas, palabras, caracterizaciones, acciones.  Predecir acontecimientos sobre la base de una lectura inconclusa, deliberadamente o no.  Interpretar un lenguaje figurativo, para inferir la significación literal de un texto. C. NIVEL CRÍTICO Emitimos juicios sobre el texto leído, lo aceptamos o rechazamos pero con fundamentos. La lectura crítica tiene un carácter evaluativo donde interviene la formación del lector, su criterio y conocimientos de lo leído. Los juicios toman en cuenta cualidades de exactitud, aceptabilidad, probabilidad. Los juicios pueden ser: 1. De realidad o fantasía: según la experiencia del lector con las cosas que lo rodean o con los relatos o lecturas. 2. De adecuación y validez: compara lo que está escrito con otras fuentes de información. 3. De apropiación: requiere evaluación relativa en las diferentes partes, para asimilarlo. 4. De rechazo o aceptación: depende del código moral y del sistema de valores del lector. La formación de seres críticos es hoy una necesidad vital para la escuela y solo puede desarrollarse en un clima cordial y de libre expresión, en el cual los alumnos puedan argumentar sus opiniones con tranquilidad y respetando a su vez la de sus pares. 92

Daniel Cassany, Estudio de la lengua (Barcelona: Graó, 1993).

16.3. DEFINICIÓN DE ESTRATEGIAS El término estrategia es más amplio y en él hallan cabida todas las demás. Las estrategias de aprendizaje vienen a ser los recursos que se deben manejar para aprender mejor; es decir, el conjunto de procedimientos necesarios para llevar a cabo un plan o una tarea. En término generales, las estrategias para comprender los textos son consideradas como un conjunto de procedimientos o procesos mentales empleados por un sujeto en una situación concreta de aprendizaje para facilitar la adquisición de conocimientos; es decir, un conjunto de planes u operaciones usadas por quien aprende algo para la obtención, almacenamiento, recuperación y uso de información. 16.3.1.

ESTRATEGIAS PREVIAS, DURANTE Y POSTERIORES A LA LECTURA93 El término estrategias se relaciona con términos como procedimiento, proceso, táctica, destreza, estilo, orientación, técnica, método; la distinción entre ellos, sus mutuas relaciones y parciales solapamientos depende en gran medida de las definiciones convencionales que establecen los diferentes autores. ESTRATEGIAS PARA LA COMPRENSIÓN DE LA LECTURA PREVIAS A LA LECTURA  Determinación del propósito.  Activación de conocimientos previos.  Elaboración de predicciones.  Formulación de preguntas. Hacer explícito el propósito de la lectura, conectar los conocimientos previos con el tema de la lectura y motivar a la lectura.

16.4.

DURANTE LA LECTURA  Determinación de las partes relevantes del texto.  Estrategias de apoyo al repaso (subrayado, apuntes, relectura)  Estrategias de organización (mapas conceptuales, estructuras textuales)  Estrategias de autorregulación y control (formulación y contestación de preguntas) PROPÓSITOS DE CADA MOMENTO Establecer inferencias de distintos tipo, revisar y comprobar la propia comprensión mientras se lee y aprende a tomar decisiones adecuadas frente a los errores o fallas de comprensión.

POSTERIOR A LA LECTURA  Identificación de ideas principales.  Elaboración de resúmenes.  Formulación y contestación de preguntas.  Formulación de conclusiones y juicios de valor.  Reflexión sobre el proceso de comprensión.

Recapitular el contenido, extender el conocimiento obtenido mediante la lectura.

resumirlo y que se ha

LA METACOGNICIÓN EN LA COMPRENSIÓN LECTORA Según Flavell la metacognición implica, todo conocimiento o actividad cognitiva que tenga la finalidad de regular algún aspecto o tarea relacionada con el conocimiento. Por tanto, a la metacognición se le denomina “el conocimiento sobre el conocimiento”. La metacognición permite planear de antemano y tomar decisiones fundadas en lo que respecta a la vida del hombre en general. Por tanto, sirve a las esferas del mundo mental íntimo del individuo, a su conexión con el mundo social y, finalmente, a su supervivencia en un plano más general. La metacognición es el proceso que implica internarse en los recursos personales que se poseen para acceder y valorar los aspectos estructurolingüísticos del texto objeto de lectura. La metacognición en el proceso lector adopta especificaciones en la medida del área o dominio del conocimiento a que se aplique y según los múltiples tipos de cognición que puedan darse dentro de cada dominio. Ejemplo: aprender a operar con las cuatro reglas aritméticas básicas, requiere procesos cognitivos distintos que para clasificar u ordenar períodos históricos, o para distinguir los valores literarios de un poema. Los factores claves en el proceso de metacomprensión son: El texto, la representación de la tarea, las estrategias movilizadas, las características del lector, control y procesos de autorregulación.

16.5.

TIPOS DE PREGUNTAS DE COMPRENSIÓN LECTORA94 En comprensión de lectura, tenemos las llamadas preguntas de retención y preguntas de comprensión. A. PREGUNTAS DE RETENCIÓN Las preguntas de retención corresponden al ámbito de la memoria. Con este tipo de interrogantes se trata de averiguar hasta qué punto el lector puede retener la información ofrecida en el texto. Ejemplo: Texto “¡Diablos! Si las últimas treinta o cuarenta novelas que he tratado de leer no las he terminado es porque deben tener algún defecto, algo que les impide colmar sus expectativas”. Julio Ramón Ribeyro. La tentación del fracaso (Diario)

Según el texto, las lecturas inconclusas del autor se deben a: a) A sus limitaciones académicas b) Al estilo particular de la prosa c) A la diversidad de los temas contenidos d) A que deben tener algún defecto e) Al exagerado gusto literario del autor B. PREGUNTAS DE COMPRENSIÓN Comprender significa abarcar. Con esta idea, estimulamos al estudiante a captar no solo las ideas del texto, sino también la esencia. La comprensión no implica repetición de la información, sino procesamiento y transformación de los datos en nuevas formas que tengan sentido para el lector. La comprensión es una puerta esencial hacia los niveles superiores de raciocinio. Si los estudiantes no comprenden una idea, entonces no podrán usarla para analizar ni resolver problemas, es decir, no podrán acceder a un proceso de nivel más alto. Una pregunta del nivel de comprensión requiere un grado mayor de participación activa por parte del estudiante. Al responder una pregunta de este tipo, el estudiante debe procesar la información para lograr una respuesta acertada. El estudiante debe expresar el contenido con sus propias palabras y organizar las informaciones sin salirse del marco referencial del texto.

93Santos F. Ludeña Segovia, Comunicación 3 (Arequipa- Perú: Ediciones independencia 2015) 94 Instituto de Ciencias y Humanidades, Propedéutica de Razonamiento Verbal (Perú: Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2008) ,445-524.

82 | C E P R U 2 0 1 5 Ejemplo: “Los quipus se referían a diversos asuntos de historia, leyes, ceremonias y cuentas de negocios. Y tan puntualmente que resulta admirable; y para diversos géneros de guerra, gobiernos, tributos, ceremonias, tierras, había diversos quipus o ramales, y en cada mano de estos, tantos nuditos o hilillos atados, unos colorados, otros verdes, otros azules, otros blancos”. En el texto se comprende que los quipus eran: a) Exactos b) Monocromos c) Secretos d) Incaicos e) Divertidos B.1. La COMPRENSIÓN comprende tres tipos de preguntas: a) LA TRADUCCIÓN En el marco de la comprensión de lectura, traducir consiste en poner la comunicación o información recibida en términos distintos a los originales. Implica expresar las ideas del autor con nuestras propias palabras. La habilidad para traducir una comunicación dependerá de la posesión de información previa. En tal sentido, es recomendable que el estudiante practique constantemente con lecturas de diversos temas. De este modo podrá acceder con mayor facilidad al mensaje del texto. Ejemplo: Texto “El principio de división del trabajo y de la especialización no permite al hombre desarrollar el repertorio variadísimo de sus posibilidades, sino que se limita a reclamar a su servicio zonas particulares, dejando inactiva las demás esferas vitales. Así, no solo se limita al cuerpo o al espíritu separadamente, sino que, dentro de una u otra esfera así acotada, por lo general, únicamente reclama determinadas funciones y facultades, con lo que las demás que integran el todo orgánico se ven obstaculizados y paralizados en su desarrollo vivo”. Con relación al texto citado, podemos formular la siguiente pregunta de traducción: En el texto, se comprende por esferas vitales a: a) Las funciones del organismo b) Las capacidades del hombre c) Las actividades desarrolladas d) Las técnicas para trabajar e) Las facultades intelectuales Con la expresión “esferas vitales” el autor se refiere al conjunto de todas las habilidades –sean estas físicas o intelectuales-, algunas de las cuales quedan inactivas, debido a que el principio de división del trabajo y de la especialización hace que solo se requiera de cada hombre una cualidad específica o particular, de acuerdo a la actividad que ha de realizar. En tal sentido, hablar de esferas vitales es hablar de las capacidades del hombre. Como se observa, para responder esta pregunta hemos requerido únicamente comprender el sentido de una expresión dentro del texto, esta es una característica típica de las preguntas de traducción. b)

LA INTERPRETACIÓN La interpretación consiste en hacer valoraciones de cada una de las ideas o unidades informativas para determinar la jerarquía de las mismas e identificar la idea central y las secundarias. De otro lado, gracias a la interpretación podemos hacer inferencias o deducciones, extraer conclusiones parciales y hacer generalizaciones a partir de un conjunto de datos particulares. También evaluar el nivel de importancia que confiere el autor a cada una de sus afirmaciones. La interpretación permite identificar la postura del autor, para lo cual no debemos rebasar los límites del texto. Para realizar una buena interpretación es necesario contar con ciertos conocimientos sobre el tema que se está tratando en el texto. Dichos conocimientos solo deben servir para orientar la interpretación, y no deben ser confundidos con las afirmaciones del autor. En todo momento la interpretación debe estar sujeta a lo que dice el autor. Las ideas o nuevas afirmaciones que se hacen deben extraerse directamente de las afirmaciones textuales. Ejemplo: “El alacrán tiene muy mala fama y en todas partes es considerado un animal muy peligroso. Pero no todas las especies de alacranes son iguales: unas son más venenosas que otras. Por ejemplo, en España, se encuentran algunas que son absolutamente inofensivas. Y en general, el alacrán europeo no es mortal ni mucho menos, aunque su picadura es muy dolorosa y va seguida de hinchazón, y a veces de fiebre. En los países tropicales, viven algunas especies más peligrosas, pues esas sí pueden llegar a causar la muerte. En Marruecos, existen varios alacranes cuyo veneno es tan tóxico como el de la serpiente cobra, ya que es capaz de matar a un perro en cinco o diez segundos. Pero la especie más terrible parece ser el “alacrán de las patas coloradas”, que habita en el norte de México, cuyo veneno es mortal no solo para los niños, sino también para los adultos”.

1. La idea principal del texto anterior, es: a) El veneno de los alacranes mexicanos es el que causa más muertes b) El alacrán es un animal muy venenoso, de picadura mortal c) Según su especie, los alacranes pueden ser inofensivos o venenosos d) En los países tropicales se encuentran las especies más peligrosas e) En España, los alacranes no asustan a nadie 2. Del texto anterior se deduce que probablemente la especie más terrible del alacrán se halla en:

a) b) c) d) e)

Europa África América Asia Oceanía

3. El mejor título para el texto sería: a) Alacranes españoles b) Los alacranes venenosos c) Los alacranes inofensivos d) Los alacranes e) Insectos peligrosos

c)

LA EXTRAPOLACIÓN La extrapolación consiste en la realización de predicciones basadas en la comprensión de los datos o condiciones descritas en el texto; es la formulación de hipótesis sostenibles sobre la base de las informaciones. Extrapolar es predecir la continuidad del discurso. La extrapolación requiere que el lector tenga capacidad suficiente para traducir, interpretar y ampliar las tendencias más allá del contenido del texto. Las preguntas de extrapolación precisamente miden todas estas habilidades. Veamos cuatro casos de extrapolación: PRIMER O Si los datos expuestos en el texto sufren modificaciones hipotéticas, la extrapolación consistirá en deducir las posibles consecuencias. Claro está que la información de los datos se puede realizar en distintas direcciones. Sin embargo, la forma más usual y simple es la variación de los datos en sentido contrario a lo señalado por el autor. “La adquisición de la mansión fue realizada recientemente” La compra de la casa no fue hecha hace años. SEGUND O Si los datos se refieren a una secuencia de períodos o etapas, la extrapolación implicará un intento de extender dicha secuencia a un período posterior, incluyendo a los que prosiguen a este. “En el gobierno de Alberto Fujimori se instauró e implementó decisivamente el neoliberalismo”. En los gobiernos de Toledo, García y Humala se afianzó y creció el neoliberalismo. TERCER O Si el texto se refiere a un tema en particular, la extrapolación puede representar el intento de extender las ideas a otro tema o situación en el cual es aplicable. Esto es más que una simple modificación de la forma de comunicación; es el traslado de los conceptos a otro tema distinto del original. “El Perú presenta crisis económica”. El Perú presenta crisis de valores. CUART O Si un texto hace referencia a un tema específico o particular, la extrapolación puede referirse al género del cual ha sido extraído dicho tema. De manera inversa, si los datos tienen que ver con una generalidad, la extrapolación puede aludir a un caso específico o particular. “La zona rural del Cusco es muy pobre”. El Perú muestra mucha pobreza en el campo. TEXTO “Antes de comenzar el examen del aspecto psicológico del egoísmo y del amor a sí mismo, debemos destacar la falacia lógica que implica la tesis de que el amor a los demás y el amor a uno mismo se excluyen recíprocamente. Si es una virtud amar al prójimo como a uno mismo, debe serlo también -y no un vicio- que me ame a mí mismo, puesto que también yo soy un ser humano. No hay ningún concepto del hombre en el que yo no esté incluido. Una doctrina que proclama tal exclusión demuestra ser intrínsecamente contradictoria. La idea expresada en el precepto bíblico ‘Ama a tu prójimo como a ti mismo’, implica que el respeto por la propia integridad y unicidad, el amor y la comprensión del propio sí mismo, no pueden separarse del respeto, el amor y la comprensión al otro. El amor a sí mismo está inseparablemente ligado al amor a cualquier otro ser”. En seguida, una pregunta de extrapolación: Si el hombre no se amara a sí mismo, entonces: a) No podría amar a los demás b) No caería en el egoísmo c) Respetaría a la sociedad d) Cumpliría con el precepto bíblico e) No respetaría la integridad personal EJERCICIOS

1.

2.

TEXTO 01 “En Estados Unidos hace años se detectaba un solo caso de cáncer a la piel por cada mil quinientos habitantes. Antes, la gente sana relacionada con la piel bronceada y la más elegante, presumía sus andanzas por los balnearios y las playas. Todo esto cambió. En lugar de tenderse en la playa, uno debe buscar un lugar sombreado, a donde los rayos del sol lleguen de manera indirecta. Además, conviene utilizar cremas protectoras, según lo sugiere el Instituto de Cáncer de Estados Unidos”. La idea central del texto anterior es: a) El índice de cáncer a la piel en Estados Unidos b) La prevención del cáncer a la piel en Norteamérica c) El cáncer a la piel un estudio estadístico d) El carácter dañino de los días soleados e) El cáncer y su proliferación en Norteamérica TEXTO O2 “Cuando un animal no tiene un enemigo natural -es decir un depredador-, se reproduce sin freno. Por lo general, es el ser humano quien genera el problema al llevar ejemplares del reino animal a lugares que les son extraños. En la actualidad, hay preocupación en Colombia, porque en la región cafetalera se ha reproducido mucho la rana toro o mugidora. Esta rana es originaria de Estados Unidos, de donde se importó hace trece años. Como en algunos lugares hay demanda de ranas, se le empezó a criar en cautiverio. Pero hace cinco años, ejemplares de este anfibio aparecieron en Caldas, donde se desperdigaron por toda la región”. A partir del texto se concluye fundamentalmente que: a) Los norteamericanos han introducido ranas en una región de Colombia donde la multiplicación ha sido vertiginosa b) Los animales se reproducen de una manera rápida si es que se extinguen sus depredadores o enemigos naturales c) Una especie de rana ha alcanzado niveles alarmantes de reproducción en una región de donde no es originaria d) El ser humano genera grandes problemas al alterar la forma de vida natural de especies animales silvestres e) La región cafetalera de Colombia presenta una gran proliferación de anfibios debido a causas desconocidas

TEXTO 03 “En la parte superior del cerro del Olimpo se realizaban los festines de los dioses griegos. El manjar era la ambrosía, un fruto amargo de una planta de hojas amarillas, pero que, para el caso, era divino. Hebe, la diosa de la Juventud, servía néctar en copas de oro puro y las Musas, acompañadas por Apolo a la lira entonaban cánticos. Para proteger la privacidad de tales festines, las puertas eran cuidadas por las Horas. En ese lugar jamás llovía y la temperatura era ideal”. 3.

Identifique la información incompatible con el contenido textual: a) La ambrosía era un alimento divino consumido en una ceremonia realizada en las cumbres del Olimpo b) Las Horas eran personajes míticos que se encargaban de la seguridad en las ceremonias desarrolladas en el Olimpo c) La diosa de la Juventud vivía en el Olimpo y era quien atendía a los comensales en la fiesta organizada en su honor d) Los dioses consumían un manjar amargo en ceremonias privadas realizadas en el cerro Olimpo e) Las Musas, participaban junto con Apolo, en los festines divinos donde se consumían manjares y se escuchaba música TEXTO 04 “El remedio contra el cambio y la extinción es la recurrencia: el pasado es un tiempo que reaparece y que nos espera al fin de cada ciclo. El pasado es una edad venidera. Así, el futuro nos ofrece una doble imagen: es el fin de los tiempos y es su recomienzo, es la degradación del pasado arquetipo y es su resurrección. El fin del ciclo es la restauración del pasado original y el comienzo de la inevitable degradación”.

4.

La tesis que se sustenta en el texto anterior es: a) El miedo al futuro no es tal, ya que existe la posibilidad de un estado de resurrección b) Los ciclos temporales se suceden de manera constante a pesar de la presencia humana c) La vida humana es cíclica y por ende supone un fin necesario para cada periodo d) La visión cíclica del tiempo permite afrontar el problema del cambio y la extinción e) El cambio y la extinción son problemas que preocupan debido a la doble imagen TEXTO 05 “El positivismo en Américalatina no fue la ideología de una burguesía liberal interesada en el progreso industrial y social como en Europa, sino de una oligarquía de grandes terratenientes. En cierto modo, fue una mixtificación, un engaño, más aun, un autoengaño. Al mismo tiempo, fue una crítica radical de la religión y de la ideología tradicional. El positivismo hizo tabla rasa lo mismo de la mitología cristiana que de la filosofía racionalista”.

5.

El mejor resumen del texto anterior es: a) El progreso social e industrial en Latinoamérica no fue posible debido a la importación del positivismo europeo b) El positivismo tuvo diferentes tratamientos en los continentes debido al protagonismo de la burguesía liberal c) La diferencia de Europa, en Latinoamérica, el positivismo sí pudo criticar la mitología cristiana y la filosofía racionalista d) Los grandes terratenientes utilizaron el positivismo para cuestionar la religión y la ideología tradicional e) El positivismo latinoamericano fue desnaturalizado, a nivel teórico y práctico, debido al sector social que lo adoptó TEXTO 06 “La moral para criadas sirve de punto de encuentro en la blandenguería ideológica y a la vez en el celo tardoinquisitorial a los curas tradicionales, modernos y posmodernos. Seamos éticos, porque si la ética no existe, todo está permitido. La ética en persona se aparece de vez en cuando a sus fieles y les permite descalificar con marcado sarcasmo la supuesta "ética" de sus adversarios. Hay éticos de la liberación de la muerte, éticos de la muerte, éticos negativos. Pero todo viene a ser moral para criadas, no se vayan ustedes a creer”.

6.

El texto anterior se centra básicamente en la: a) Blandenguería ideológica de la modernidad b) Imposibilidad de convivir al margen de la ética c) Incoherencia y falta de sustento de la moral de criadas d) Moral de criadas y la ética de sus adversarios ideológicos e) Descalificación de la moral por su carácter insustancial TEXTO 07 “Las mujeres en edad fértil que consumen éxtasis corren un riesgo mayor de morir que otros grupos de personas. La alta concentración de estrógenos en la sangre de las mujeres jóvenes impide que el organismo reaccione eficazmente ante la acumulación de líquido que se produce al tomar la droga. La parafernalia de la llamada droga del amor, se basa, sobre todo, en el baile desinhibido y continuo, lo que eleva la temperatura corporal; se bebe mucho más y las hormonas le indican al cuerpo que retenga líquido y beba más. Es un círculo vicioso cuya explicación se encuentra en el HMMA, un compuesto químico que el cuerpo produce a medida que asimila el éxtasis. El HMMA estimula la liberación de la hormona que nos conduce a beber. El desequilibrio resultante de la concentración de sodio puede resultar fatal”.

7.

La información incompatible con el texto anterior es: a) El consumo de éxtasis promueve el baile desinhibido y continuo b) Las mujeres son más propensas al consumo de drogas como el éxtasis c) No toda mujer padece por igual los efectos de la droga del amor d) El HMMA es un compuesto químico que se produce al consumir éxtasis e) En las mujeres jóvenes la concentración de estrógenos es considerable TEXTO 08 “¿Podría un videojuego llegar a ser considerado un deporte? En opinión de Marco Conti, médico deportivo, "determinados aspectos de los videojuegos pueden considerarse como deportes. Al igual que en otras disciplinas, también en este caso, es fundamental el entrenamiento para mejorar las prestaciones. Las sinapsis cerebrales de las nuevas generaciones son más reactivas que en las personas adultas, gracias a los videojuegos. De la misma forma que ocurre con la mayoría de deportes, también el videojuego puede resultar nocivo si es utilizado en exceso. Los videojuegos producen un sensible incremento de la tensión. Sin embargo, en contra de algunas informaciones, no pueden provocar la epilepsia por sí mismos. A lo sumo, pueden producir una chispa que la active en individuos ya predispuestos".

8.

A partir de la información brindada en el texto se puede concluir que: a) Las sinapsis cerebrales se ven estimuladas por la difusión de los videojuegos b) Los videojuegos no pueden provocar por sí solos enfermedades como la epilepsia c) En alguna medida los videojuegos son un deporte, pero deben ser adoptados con prudencia d) Los videojuegos son un deporte pero provocan enfermedades como la epilepsia e) Igual que otras disciplinas deportivas, los videojuegos no son altamente dañinos TEXTO 09 “La connotación no es otra cosa que la respuesta emocional que las palabras producen en el lector, es decir, el significado que sugieren, por contraste con su vr..: Jr literal. Quizá el objetivo más importante de una buena comunicación escrita sea para el escritor controlar la reacción que su escrito producirá en el lector. De ahí que al escribir sea tan importante conocer las connotaciones de las palabras que se utilizan. Una cuidadosa selección de voces con determinadas connotaciones puede añadir fuerza a un aspecto del escrito, teñirlo de un determinado matiz o cargar a la comunicación en general de un efecto emocional”.

9.

El objetivo del autor en el presente texto es: a) Contrastar las características de la connotación y denotación b) Fundamentar la relación existente entre la connotación y la respuesta emocional c) Explicar el significado de la connotación y su importancia en el arte de escribir d) Recomendar herramientas de redacción para futuros cultores de la literatura e) Aclarar el verdadero objetivo de una buena comunicación entre autor y lector TEXTO 10 “El empuje de los conquistadores españoles, después de trescientos años de lucha, los araucanos se replegaron hacia aquellas regiones frías. Contra los indios, todas las armas se usaron con generosidad: el disparo de carabina, el incendio de sus chozas, y luego, en forma más paternal, se empleó la ley y el alcohol. El abogado se hizo también especialista en el despojo de sus tierras, el juez los condenó cuando protestaron, el sacerdote los amenazó con el fuego eterno. La venta de aguardiente y las cantinas aumentaron de forma vertiginosa”.

10. La expresión que sintetiza el contenido textual es: a) De no haber sido por jueces y sacerdotes, la conquista de los araucanos hubiese resultado más difícil para España b) El sometimiento político y económico de los araucanos fue una tarea bastante difícil para los conquistadores españoles c) La conquista de los araucanos por los españoles se basó en la aplicación de las leyes y en el consumo exorbitante de alcohol d) Los araucanos se dedicaron al alcohol no por iniciativa propia, sino por el sometimiento de los conquistadores españoles e) En su afán de someter a los araucanos, los conquistadores utilizaron desde los medios más directos hasta los más sutiles TEXTO 11 “De la esencia del alma aristocrática forma parte el egoísmo, quiero decir, aquella creencia inamovible de que a un ser como "nosotros lo somos" tienen que estarle sometidos por naturaleza otros seres y tienen que sacrificarse por él. El alma aristocrática acepta este hecho de su egoísmo sin ningún signo de interrogación y sin sentimiento alguno de dureza, coacción, arbitrariedad, antes bien como algo que acaso esté fundado en la ley primordial de las cosas; si buscase un nombre para designarlo diría "es la justicia misma". En determinada circunstancia que al comienzo la hacen vacilar, esa alma se confiesa que hay quienes tienen idénticos derechos que ella: tan pronto como ha aclarado esta cuestión de rango, se mueve entre esos iguales, dotado de derechos idénticos, con la misma seguridad en el pudor y en el respeto delicado que tiene en el trato consigo mismo. Esa sutileza y autolimitación en el trato con sus iguales es una parte más de su egoísmo: se honra a sí mismo en ellos y en los derechos que ella les concede, no duda de que el intercambio de honores y derechos, esencia de todo trato, forma parte así mismo del estado natural de las cosas”. 11. El título más apropiado para el texto sería: a) El trato huraño nacido del aristócrata b) El alma aristocrática y la justicia c) El carácter del alma aristocrática d) Virtudes y defectos del aristócrata e) Justificación del alma aristocrática 12. Si adoptáramos la mentalidad aristocrática, afirmaríamos que: a) Todos hemos nacido para obedecer b) El sacrificio ajeno resulta innecesario c) Nuestro egoísmo merece ser cuestionado d) El altruismo es signo de arbitrariedad e) El aristócrata también posee esencia 13. La necesidad del sometimiento y el sacrificio de los demás, constituye para el alma aristocrática: a) Un signo excluyente de su esencia b) Una verdad absoluta

c) Signo de explotación arbitraria d) Un hecho injusto pero necesario e) Un hecho escasamente moral 14. El reconocimiento de iguales derechos en otros se presenta en el aristócrata: a) Como signo de humanismo b) Como una reacción ante el egoísmo c) De manera excepcional d) De manera inconsciente e) Para contrarrestar su egoísmo 15. Los aristócratas frente a sus iguales: a) Egoísmo acentuado b) Sutileza y autolimitación c) La esencia puramente egoísta d) Auténtica consideración e) Intercambio de honores y derecho

TEXTO 12 “Algunos padres decían que era una maestra excéntrica, otros afirmaban que era lunática por efecto del estudio exagerado, otros simplemente decían: es la mejor. Quise formarme un juicio propio así que un día decidí ingresar a su clase. Observé que todos los alumnos estaban trabajando, llenando una hoja de cuaderno con pensamientos e ideas. Empecé a leer algunos como: "no puedo llegar temprano al colegio", "no puedo entender este texto". Leí el del otro alumno y decía: "no puedo lograr usar palabras en vez de puños", "no puedo ser sincero". Caminé presuroso viendo lo que hacían uno por uno, todos describían oraciones describiendo cosas que no podían hacer. Entonces, decidí hablar con la maestra para ver qué pasaba, al acercarme noté que también ella hacía lo mismo. Estaba a punto de perder la paciencia cuando se escuchó: "entreguen sus hojas". Una vez recogidas las hojas de todos los alumnos la maestra añadió la suya y las introdujo en una caja. Luego salió al patio y los alumnos la siguieron en procesión. Con lampas y picos empezaron a cavar, hicieron un hoyo de dos metros y enterraron en él la caja. Entonces, escuché decir a la maestra: "amigos, estamos aquí reunidos para honrar la memoria de no puedo, mientras estuvo con nosotros afectó

la vida de todos, de algunos más que a otros. Acabamos de darle una morada definitiva. Lo sobreviven sus hermanos 'puedo', 'quiero' y 'lo haré ya mismo', no son tan famosos como su pariente, pero serán fuertes y poderosos con su ayuda amigos". 16. El texto argumenta a favor de: a) La maestra ideal b) La noción de maestra c) La importancia del optimismo d) Una didáctica peculiar e) La excentricidad de la maestra

c) Ratifique las especulaciones de los padres d) Conciba a la maestra como inepta para su hijo e) Se forme un concepto favorable de la maestra 19. El autor quiso emplazar en algún momento a la maestra porque: a) Suponía la deficiencia del contenido b) Deseaba corregir su método explicativo c) Estaba disconforme con la inscripción de oraciones d) Pensaba que estaba infundiendo pesimismo e) No entendía su método totalmente improductivo

17. La ceremonia encabezada por la maestra se caracteriza por ser: a) Símbolo de la demencia b) Principalmente académica c) Alegórica aunque innecesaria d) Peculiar y un tanto entretenida e) Simbólica y de contenido orientador 18. Posiblemente, la ceremonia observada hizo que el autor: a) Confirme su juicio sobre la maestra b) Aprenda a ser más comprensivo

20. La maestra aludida se destaca principalmente por: a) Su gran dinamismo b) Sus actitudes misteriosas c) La profundidad de sus contenidos d) Su estilo peculiar de enseñar e) Ser cuestionada por los padres

BIBLIOGRAFÍA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

BERNÁRDEZ, Enrique, Introducción a la lingüística del texto (Madrid: Arco Libros, 1987) CACERES CHAUPIN, José, Gramática Estructural- Gramática Descriptiva y Funcional (Lima- Perú: Edit. Martegraf) CASSANY, Daniel, Estudio de la lengua (Barcelona: Graó, 1993) DE SAUSSURE, Ferdinand, Curso de Lingüística General (Perú: Editorial VLACABO e.i.r.l., 1998) FERNANDEZ DE LA TORRIENTE, Gastón, Cómo escribir correctamente. FONSECA YERENA, Socorro, Comunicación Oral Fundamentos y práctica estratégica (México: Edit. PEARSON Educación, 2005) FONSECA, Socorro y otros, Comunicación oral y escrita (México: Editorial PEARSON EDUCACIÓN S.A. de C.V. 2011) GATTI MURRIEL, Carlos y WIESSE REBAGLIATI, Jorge, Elementos de la gramática española (Lima: Universidad del Pacífico, 1993) GÓMEZ TORREGO, Leonardo, Análisis Morfológico – Teoría y práctica (España: Editorial SM Internacional, 2011) GÓMEZ TORREGO, Leonardo, Análisis Sintáctico – Teoría y práctica (España: Editorial SM Internacional, 2011) GONZALES CRUZ, Eliana, Lengua Castellana I (Piura: Edit. Universidad 2003) GONZALEZ OCHOA, Rodrigo y Alma León M. Redacción, Composición y Estilo (México: Editorial Limusa, 2010) Instituto Nacional de Investigación y Desarrollo de la Investigación INIDE, Lengua Española II (Lima: Ministerio de Educación, 1980) LEON MEJIA, Alma B., Estrategias para el desarrollo de la Comunicación profesional (México: Edit. LIMUSA, S.A. Noriega Editores, 2002) LLAMBIAS LOZANO, Margarita E., Comunicación I (Lima-Perú: Ediciones Jurídicas) LLORENS CAMP, María José, Gramática Española (España: Edimap. Libros S.A., 1998) LUDEÑA SEGOVIA, Santos F., Comunicación 3 (Arequipa- Perú: Ediciones independencia 2015) MAGALLANES, Eugenio, Lengua Española (España: Editorial Edimap., 1997) MAGALLANES, Eugenio, Lenguaje y Comunicación (Lima-Perú: Editorial San Marcos,1998) MARSA, Francisco, Cuestiones de Sintaxis Española (Madrid. Edit. Ariel, 1984) MARTÍN VIVALDI, Gonzalo, Curso de Redacción – Teoría y Práctica de la Composición y el Estilo (Madrid-España: Edit. International Thomson Editores Spain Paraninfo S.A.- Edición XXXIII, 2000) 22. MIRANDA PODADERA, Luis, Curso de Lingüística General (Lima: U.N.M.S.M.1993) 23. MIRANDA PODADERA, Luis, Gramática Española - Cómo usar correctamente el idioma (Barcelona – España: Librería y Casa Editorial Hernando, 1998) 24. MIRANDA PODADERA, Luis, Gramática Española (España: Edit. Hernando, 1998) 25. MIRANDA ZAMBRANO, Elvio, Calidad para la enseñanza del Lenguaje. (Cusco-Perú: Editorial ALPHA. EIR Ltda., 1996) 26. MOUNIN, Georges, Diccionario de Lingüística (España: Editorial Labor, S.A, primera edición, 1979) 27. NIÑO ROJAS, Víctor Miguel, Semiótica y Lingüística - Aplicadas al español (Bogotá- Colombia: Ecoe ediciones.- Cuarta edición, 2004) 28. ORTIZ DUEÑAS, Teodoro, Gramática estructural, Ortografía, Redacción (México: Edit. Trillas, 1993) 29. PÉREZ, Ollé y Vega, Claves de la conexión textual (Santiago de Chile: Salesianos, 2001) 30. PINEDA R. Ignacia y LEMUS H. Francisco, Lenguaje y Expresión 1 Lectura y comunicación escrita (México: Edit. PEARSON Educación, 2004) 31. PINEDA R. Ignacia y LEMUS H. Francisco, Lenguaje y Expresión 2 Lectura y comunicación escrita (México: Edit. PEARSON Educación, 2004) 32. POTTIER, Bernard, Gramática del Español (Madrid: Colec. Aula Magna, 1971) 33. QUILIS, Antonio y José A. Fernández, Curso de fonética y fonología españolas (Burgos-España: Talleres Gráficos ALDECOA. S.A., 1979, Quinta edición) 34. RAMÍREZ, Luis Hernán, Introducción en la Gramática del Español Contemporáneo (Lima: Edic. Sagsa, 1984). 35. RAMIREZ, Luís Hernán, Nivel Sintáctico de la lengua española. 36. REVILLA DE COS, Santiago, Gramática Española Moderna (México D.F, Mc Graw Hill , 2012) 37. REVILLA DE COS, Santiago, Gramática Española Moderna (Interamericano de México: Edit. Mc.Graw-Hill/, 1988) 38. ROSADIO BERNAL, Roberto, Morfosintaxis I (Perú: Universidad Inca Garcilaso de la Vega, Fondo Editorial, 2012), 30 39. SAPIR, Edward, El Lenguaje- Introducción al estudio del habla (México: Fondo de Cultura Económica, 1974) 40. SECO, Manuel, Diccionario de dudas y dificultades (Madrid: Editorial Espasa Calpe, 2010) 41. SINFUENTE PALMA, Dante, Nueva gramática del Español y su uso del lenguaje, 417 42. SWADESH, Mauricio, El Lenguaje y la vida humana 43. TRUJILLO SÁEZ, Fernando, Antonio González Vázquez, Pablo Cobo Martínez, Elisabet Cubillas Casas, Nociones de Fonética y Fonología para la Práctica Educativa (España: Lozano Impresores S.L.L. 2002) ENCICLOPEDIAS 44. RAE - Nueva gramática de la lengua española-Fonética y Fonología (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2011) 45. RAE- Ortografía de la lengua española (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010) 46. REE- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010) 47. Universidad de Piura, Comunicación: Nos comunicamos por medio de textos (Lima, Ministerio de Educación – DINFOCAD, 2000) PÁGINA WEB 48. https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&s a=X&ei=i_ifVczfOMKWyAToOQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#tbm=isch&q=ondas+sonoras+fisica&imgdii=wnC9QZo2eQidDM%3A%3BwnC9QZo2eQidDM%3A %3BeEKRIp9yxYqymM%3A&imgrc=wnC9QZo2eQidDM%3A 49. https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&s a=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#imgdii=wnC9QZo2eQidDM%3A%3BwnC9QZo2eQidDM%3A%3BqVvHCNutmz4vwM%3A&imgrc =wnC9QZo2eQidDM%3A 50. https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&s a=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo- 6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#tbm=isch&q=ondas+sonoras+fisica&imgrc=4wgKn3bIGmWEOM%3A 51. http://www.editorial-geu.com.

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARI O UNSAAC

ASIGNATURA

ARITMÉTICA

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE ASIGNATURA : ARITMÉTICA

TEMA Nº 1.- TEORÍA DE CONJUNTOS ..................................................................................Pág. 03 TEMA Nº 2.- SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES .............................................................. Pág. 10 TEMA Nº 3.- SISTEMA DE NÚMEROS RACIONALES ............................................................. Pág. 16 TEMA Nº 4.- SISTEMA DE NUMERACIÓN.............................................................................Pág. 20 TEMA Nº 5.- DIVISIBILIDAD ...................................................................................................Pág. 24 TEMA Nº 6.- TEORÍA DE NÚMEROS PRIMOS .......................................................................Pág. 28 TEMA Nº 7.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍN

||

O COMÚN MÚLTIPLO....................... Pág. 31 IM

TEMA Nº 8.- RAZONES Y PROPORCIONES..........................................................................Pág. 33 TEMA Nº 9.- MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL ...............Pág. 37 TEMA Nº10.- REGLA DE TRES SIMPLE ..................................................................................Pág. 41 TEMA Nº 11.- REGLA DE INTERÉS SIMPLE Y DESCUENTO .................................................Pág. 44 TEMA Nº 12.- INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA ............................................................ Pág. 46 TEMA Nº 13.- INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES ..................................................Pág. 52

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA | 3

1.1 CONJUNTO Intuitivamente, se entiende como una agrupación, colección, equipo o familia de entes reales o abstractos, dichos entes se conocen como ELEMENTOS. Los conjuntos se suelen nombrar con letras mayúsculas del alfabeto: A , B , C , D , E ,… La teoría de conjuntos parte de algunos conceptos primitivos que son: conjunto, pertenencia y elemento. Ejemplo: V= {x / x es una vocal} V= {a, e, i, o, u} 1.2

H = {los días de la semana} J= {0; 1; 2; 3; 4; 5;……..; 50}

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Es una relación exclusiva sólo de elemento a conjunto .Si un elemento está en un conjunto, entonces diremos que pertenece ( caso contrario, diremos que no pertenece ( ) a dicho conjunto Ejemplo: A= {4,{5},{4,8}, {6}}

A

4A

5

{6} A

{4}

A

6

) a dicho conjunto; en

A

{4,8}A

OBSERVACIÓN: a. b. c.

1.3

a

Z se lee:

a pertenece a Z, a es elemento de Z, a es miembro de Z, a es un punto de Z

Sea “a” el elemento del conjunto A y B otro conjunto, puede cumplirse sólo una de las siguientes posibilidades: a  B ó a  B Siempre se cumple que:

a   a

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO a. Si se enumera o nombra cada uno de los elementos de un conjunto, se dice que dicho conjunto ha sido determinado por extensión. Esta forma también se conoce como FORMA TABULAR de un conjunto. Ejemplo: A = {4, 6, 8, 10, 12, 14} H = {Lun, Ma, Mi, Jue, Vie, Sab, Dom} b. Un conjunto se determina por comprensión, cuando se dá una o más características o propiedades que cumplan todos i cada uno de los elementos del conjunto. Esta forma también se llama FORMA CONSTRUCTIVA de un conjunto. Ejemplo: A = {2m /1< � < 8; � ∈ ℤ} OBSERVACIÓN: Cuando un conjunto está dado por comprensión, es posible expresarlo por extensión; pero cuando un conjunto está dado por extensión, no siempre es posible expresarlo por comprensión.

1.4

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO El cardinal de A viene a ser la cantidad de elementos diferentes dos a dos que posee se anota como n(A).  A={4;4;4;5;5;5;5,6,6;6;6;6}={4;5;6}; n(A)= 3  B={x/x es una vocal de la palabra ARITMÉTICA} n(B) = 3 OBSERVACIÓN: a. Para A y B dos conjuntos disjuntos n(AUB)=n(A)+n(B) b.

Para A y B dos conjuntos

n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩ �)

c.

Para los conjuntos A, B, y C

n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩ B)-n(A∩ C) n(B ∩ �) +n(A∩ � ∩ �)

2.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

2.1

Diagramas de VENN-EULER.- Una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las relaciones y las operaciones entre conjuntos, es el uso de los diagramas de Venn-Euler. Un conjunto se representa por medio de regiones cerradas. Ejemplo:

F = {a; e; i; n}

4| CEPRU2015 OBSERVACIÓN:

a.

Dos conjuntos A y B se pueden representar, a priori, de cinco maneras diferentes y sólo uno de ellos le corresponde, si se conocen sus elementos.

B

A

A

b. 2.2

A

B A

B

A

B

B

Lo curioso en estas representaciones ésta en que la primera genera a las demás, por lo que se ha hecho común su uso. Algo similar ocurre para el caso de tres conjuntos.

Diagramas Lineales.- Está dado para conjuntos comparables y consiste en segmentos de recta que ilustran la relación de comparación entre conjuntos.

E

A

U

U

D B

E

A

D

C B

C

 2.3

Diagramas de LEWIS CARROL.- Esta dado para representar a los conjuntos y sus complementos. Para un conjunto:

A

Para dos conjuntos:

A´

Para tres conjuntos:

A´

A

A

B

B

B´

B´

3.

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

3.1

Relación de inclusión.- Es una relación entre dos conjuntos i se suele anotar como:  dice que A es subconjunto de B, y se representa como si todo elemento de A es elemento de B.

A

A´ C

Sean los conjuntos A y B, se

B

OBSERVACIONES: a.

b. c. d. e.

A  B se dice que: A es subconjunto de B, A está incluido en B,

A está contenido en B, A es parte de B,

B contiene a A, B incluye a A

A B se escribe también como Si A € H entonces {A} H Si {m, n, t} A entonces m A Λ n A Λ t A Se dice que M no está incluido en N, se anota como M N. Si existe por lo menos un elemento de M que no pertenece a N. M = {a, e, b, o}, N = {a, e, i, o, u} luego M N

3.2

Subconjuntos propios.- Si el conjunto A está contenido en B, i si existe por lo menos un elemento de B que no pertenece a A, se dice que A es subconjunto propio de B. Si A B y A ≠ B entonces A es subconjunto propio de B Ejemplo: A = {2, 3, 4, 5} B = {2, 3, 4, 5, u}

B

A 2 3 4 5

u

Nro. de subconjuntos propios de A=2�(𝐴) -1 3.3

Relación de igualdad.- Si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B, y todos los elementos del conjunto B pertenecen también al conjunto A, entonces se dice que A B y B A A = B , estos dos conjuntos son iguales y se anota como A = B.

3.4

Conjuntos disjuntos.- Dos conjuntos son disjuntos (que se excluyen mutuamente) cuando no poseen elementos comunes. � ∩B=∅

A 3.5

B

Conjuntos comparables.- Dos conjuntos A y B son comparables, cuando solamente uno de ellos está incluido en el otro, es decir, o bien A⊂ B Ejemplo: A = { x / x es un mamífero } B = { x / x es un ballena }

⋁ B⊂�

Sabemos que � ⊂ � (toda ballena es mamífero), pero A B (no todo mamífero es ballena). Por lo tanto A y B son dos conjuntos comparables. NOTA: Si A = B; entonces A y B no son comparables. Ejemplo.- Si A = {1, 3, 5 } y B = {1, 5, 3}, entonces A y B no son comparables.

4.

CLASES DE CONJUNTOS

4.1

Conjunto finito.- Es aquel que consta de cierto número de elementos distintos, que al contarlos de uno en uno, este proceso tiene fin.

4.2

Ejemplo: B= {x ∈ ℕ / 4 < � < 9}; n(B)=6 Conjunto infinitoeste .- Se como conjunto infinitoson a aquel conjunto el cual, al efectuar el proceso de conteo de sus elementos noconoce tiene fin o que sus elementos imposibles desobre contarlos. Ejemplo:

M={X ∈ ℕ / X > 2}

5.

CONJUNTOS ESPECIALES

5.1

Conjunto vacío.- Llamado también como conjunto nulo, es aquel conjunto que no tiene elementos, se suele anotar como veces en la forma Ejemplo:

y algunas

H= {x∈ ℝ / √�2 + 16 = 0} PROPIEDADES:

, ,   A, para todo conjunto A 5.2

Conjunto Ejemplo: unitario.- Conocido también como conjunto singular o singletón, es aquel conjunto que tiene sólo un elemento. B = {x ∈ ℕ 4 < � < 6}; B={5}

A = {5;5;5;5;5} A={5} 5.3

Conjunto universal.- Un conjunto anotado por U, se llama conjunto universal del conjunto A (conocido también como conjunto referencial) si U es superconjunto de A. Un conjunto puede tener varios conjuntos universales por lo que no existe un conjunto referencial absoluto, sin embargo, las situaciones matemáticas referido a conjunto universal la plantean como único. Se conviene en representar al conjunto universal por medio de una región rectangular.

U B

5.4

Ejemplo: En geometría plana, el conjunto universal es el conjunto de todos los puntos del plano. En el estudio de triángulos, cuadriláteros, hexágonos, pentágonos, etc. el conjunto universal es el conjunto de polígonos. Conjunto potencia.Sea el conjunto A, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A, se llama conjunto de partes de A ó conjunto potencia de A, se anota como P(A) Nro. de subconjuntos de A=n [P(A)]=2�(𝐴) PROPIEDADES: e1) P (A) e2) P () e3) A P (A) e4) A = B P(A) = P(B)

5.5

e5) Si A B P(A) P(B) e6) n(P(A)) = n (2A) = 2n(A) e7) A y P(A) son disjuntos

Conjunto de conjuntos.Es aquel conjunto cuyos elementos son también conjuntos. A = {{2}, {3;4} ,{6;7}}

6.

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

6.1

Unión o reunión de conjuntos.- Dados dos conjuntos “A” y “B”, se llama reunión de éstos a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto “A” o al conjunto “B” o a ambos. Así por ejemplo; para: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, diremos que los conjuntos formados por {1; 2; 3; 4; 5} donde están todos los elementos de “A” y de “B”, se llama reunión de “A” con “B” y se simboliza: A B, y se lee “A unión B”. A B = {x/xA ∨ �B}

Notación:

Propiedades fundamentales de la reunión: 1. Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la reunión de ellos. 2. Conmutativa: A B = B A 3. Asociativa: (A B) C = A (B C) 4. Reflexiva: A A = A 5. De la inclusión: Si: A B, entonces: A B = B (ver gráfico) 6. Del elemento neutro: A = A A U = U

7.

Si (AUB)=

A=∅ ∧ B=

Representación Gráfica:

A

A

B x

x

B

B A x

x

x

x x







Conjuntos no disjuntos

Conjuntos disjuntos

Conjuntos comparables 6.2

Intersección.-La intersección de dos conjuntos cualesquiera “A” y “B” es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y “B”, es decir, está formado por todos los elementos comunes a “A” y “B”. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, observamos que los elementos 2 y 3 son comunes a ambos conjuntos. El conjunto formado por estos elementos, se escribe: AB y se lee: “A intersección B”. Notación: A B = {x/x A

x B}

Propiedades fundamentales de la intersección: 1.

Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la intersección de ellos.

2.

Reflexiva: A A = A

3.

Conmutativa:

A B = B A

4.

Asociativa:

(A B) C = A (B C)

5.

De la inclusión:

Si: A B, entonces: A B = A (ver gráfico)

6.

De la exclusión: Si: “A” y “B” son disjuntos entonces: A B = (ver gráfico)

7.

Del elemento neutro: A =  A U = A

Representación Gráfica:

A

B

A

B

B A x

x





Conjuntos no disjuntos

Conjuntos comparables

no hay x

 Conjuntos disjuntos

Propiedad Distributiva: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 6.3

Propiedad Absorción: A (A B) = A, puesto que: (A B) A A (A B) = A, puesto que: A (A B)

Diferencia.La diferencia de los conjuntos “A” y “B” es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A”, pero que no pertenecen a “B”. Se denota por: A – B, que se lee: “A menos B”, o también “A diferencia B”. Ejemplo.- Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5} Observamos que el elemento 1 está en el conjunto “A” pero no está en el conjunto “B”. Al conjunto formado por 1, se llama diferencia de “A” con “B”. Notación: A – B = {x/x A y x B} Representación Gráfica:

A

B

A

B A

x

B

B

x A 



Conjuntos no disjuntos

Conjuntos disjuntos





Conjuntos comparables

Conjuntos comparables

PROPIEDADE S 1.- A – A = ∅ 2.- A – ∅ = A 3.- A - B = (AUB) – B = A - (A B) 4.- Si B es subconjunto de A: B-A=∅ 6.4

5.- B (A - B) = ∅ Ó (A-B) ∩ B = ∅ Complemento. Sean los conjuntos A={a, b, c, d, e} y el conjunto B={a, c, e}, se observa que “B” es subconjunto de “A” y los elementos “b” y “d”, pertenecen al conjunto “A” y no pertenecen al conjunto “B”. Al conjunto formado por estos elementos: {b, d} se le llama complemento de “B” con respecto a “A” y se denota por: B c Luego, si “B” está incluido en “A”, la diferencia: “A - B” se llama complemento de “B” respecto a “A” Notación: B c = { x / x A y x B } B c = { x / x B } Observación: Si el complemento es respecto al conjunto universal U donde se cumple que: B U, entonces: Bc = B = {x / x U y x B } = U – B 6.

Del complemento: (A c) c = A A Ac = U A Ac = ; Uc = 

Propiedades en la diferencia de conjuntos: 1. Reflexiva: A A = A 2. Conmutativa: A B = B A 3. Asociativa: (A B) C = A (B C) 4. De la inclusión: Si: A B, entonces: A - B = (ver gráfico) A B = B – A 5. De la exclusión: Si: “A” y “B” son disjuntos, entonces: A–B=A A B = A B

7.

8.

9.

De la diferencia: A – B = A Bc A – B = B’ – Ac Leyes de Morgan: (A B)c = Ac Bc (AB)c = Ac Bc De Absorción: A (Ac B) = A B A (Ac B) = A B

Representación Gráfica:

x B

A B

U 



Complemento de “B” respecto a “A”

Complemento de “B” respecto a U

c = U;

8| CEPRU2015

6.5

Diferencia simétrica.- Se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al conjunto formado por la unión de “A - B” con “B - A”. Entonces, en A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, se observa que el elemento 1 pertenece al conjunto “A” pero no pertenece a “B” y los elementos 4 y 5 pertenecen al conjunto “B”; pero no pertenecen al conjunto “A”, entonces, al conjunto formado por 1; 4 y 5 se le llama diferencia simétrica de “A” y “B” y se denota por: A B. Notación: A B = {x/x (A - B) (B - A)} A B =(A - B) U (B - A) Representación Gráfica:

A

B

B A x

x

x

x

 Conjuntos no disjuntos





Conjuntos disjuntos

Conjuntos comparables

EJERCICIOS

1.

B = {� + 2/

A a, a ,   ,  

Si

2

∈

˄ 2 < � < 7}

b)11

a)

7.

Dado los conjuntos:

II.

aA b) aA

a)10

III.

c)

A = {�/� ∈ ˄ 6 < � < 20} 2𝑥+1 ∈ /2 < � < 9} B={ 2

IV.

d)

Calcule

V.

e)

¿Cuántas de las proposiciones siguientes son verdaderas?

I.

a)1 2.

aA A

 , c)3 ab)2 A d)4

e)Todos

c)12

4 ;

C b, a;a, b  ;  . Indicar el valor de las siguientes proposiciones:

P(B) P(C) n[P( A C)]A (C A) P( A)

I. II. III.

a)16

b)18

8.

Hallar la suma de los elementos del conjunto:

c)15

4

4

c)

3, 4

2, 1, d) 3 0 4. Determine por extensión el conjunto: e)

A = {2�/2� − 1 ∈

a ) 1, 2 d) 0,1

˄ � < 3/2}

b ) 0, 2 e)  

e)19

B = {6�/3� − 8 ∈

˄ � < 4}

a)20

b)6

c)50

d)60

9.

Si : A = {�/� ∈

e)42 ˄ 10 < � < 20}

a)52

b)53

10.

Sean: 𝑥+2

c)54

/0 < � < 7˄

2

3 2

B = {� /1 ≤

𝑥+3

d)55 𝑥+1

∈

e)56

}

2

≤2˄�∈ }

4

A = {�3 − 1/� ∈ ˄�3 = �} b)

d)20

+

B ;

A={

Determine por extensión el conjunto:

0,

e)14

B = {� + 5/� ∈ ˄ (√� + 15) ∈ �} ¿Cuál es la suma de los elementos de B?

a)VVV b)VFF c)VVF d)VFV e)FFF 3.

d)13

n( A) n(B) 

Si:

A a;a, b;a, b, c;2;

a)

𝑥+1

0,1, 2 c)

C  x / x A x B Hallar

n[P(C)]

a)0

b)1

11. A?

¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto

A = {�/� ∈ a)63

b)7

12.

Si

c)2

d)8

e)4

˄ − 7 < 4� + 1 < 21} c)15

d)31

e)3

U es el universo de los conjuntos

A B . Al simplificar

que

A, B

y

C

tal

ASIGNATURA: ARITMÉTICA | 5.

Determine la suma de elementos del conjunto:

A = {�3 + 1/� ∈ ˄ − 2 < � < 2} a)5 b)6 c)7 d)3 e)4 6.

Determine la suma de elementos del conjunto:

[� − 9 (�⋃�)]⋃(�⧍�), resulta:

A B c) A B a)

b) A d) A

c

B

e) B

13.

Al

simplificar:

c ( B) A (B c

A d) A B a)

14.

c

e)12600

26. A una fiesta asistieron 315 peruanos, de los cuales 100 hablan Alemán, 145 Inglés y 123 hablan solo Castellano. ¿Cuántas hablan dos idiomas? a)130 b)137 c)126 d)139 e)14

27.

c

c

( A B)  b) A B c c d) A B

c

c)

A)  ( A B) Se obtiene:  c b) B c) A e) A B

Al simplificar,

( A B) a) A B

d)8400

c

A , se obtiene: e)

( A B)

De 50 personas se sabe que:  5 mujeres tienen 17 años.

 16 mujeres no tienen 17 años.  14 mujeres no tienen 18 años.  10 varones no tienen 17 ni 18 años ¿Cuántos varones tienen 17 ó 18 años? a)10 b)12 c)13 d)14 e)19

c

A B

Sabiendo que: n( A B) 13 , n(P( A B)) 2 y n[P( A B)] 64 . El

15.

número de elementos del conjunto �⧍�, es: a)7 b)15 c)14 d)10 e)12

y además n[P( A B)] 256 , 16. Si A B  n( A) n(B) 1 , n( A B) 3 . Hallar n(B) . a)5 b)3 c)7 d)8 e)6

17.

Si un conjunto A tiene 18 elementos, otro conjunto B tiene

24 elementos. ¿Cuántos elementos tendrá A B tiene 15 elementos? , sabiendo que A B a)24 b)25 c)26 d)27 e)28 18.

S i

n( A B) 35

y El

28. Cien espectadores escuchan a tres cantantes, 40 aplauden al primero, 39 aplauden al segundo y 48 al tercero, 10 aplauden a los tres, 9 aplauden solo a los dos primeros, 19 aplauden solo al tercero, 21 espectadores no aplauden, ¿Cuántas personas aplaudieron por los menos a dos cantantes? a)19 b)21 c)38 d)42 e)27

29. De un grupo de 55 personas: 25 hablan inglés, 32 hablan francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo dos idiomas? a)20 b)25 c)30 d)27 e)22 30.

n( A) n(B) 48 .

En una encuesta a 60 personas se recogió la

siguiente información, 7 personas consumen el producto A y B, pero no C, 6 personas consumen los productos B y C, pero no A, tres personas consumen el producto A y C, pero no B, 50 personas consumen al menos uno de estos

número de elementos de �⧍� es: a)23 b)22 c)13 d)21 e)35

productos y 11 personas consumen el producto A y B. ¿Cuántas personas consumen solamente un producto? a)34 b)39 c)23 d)30 e)10

19.

31.

Si

n[P( A)] 128 n[P(B)] 16 n[P( A B)] , , 8 , Entonces calcular n[P( A B)] a)128 b)1024 c)64

d)32

e)256

21. Dados 3 conjuntos A, B y C tal que:, �(�⧍�) = 22, �(�⧍�) = 16, �(�⧍�) = 14

B C) n( A B C) 30

n( A C) .

B

a)2

c)8

b)4

d)16

.

e)32

22. De un grupo de 41 jóvenes, 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan. ¿Cuántos solamente estudian? a)7 b)8 c)9 d)10 e)11 23.

aprobaron

física,

46

química,

38

aprobaron

matemática, 7 aprobaron física y química, 8 aprobaron química y matemática, 10 aprobaron matemática y física y 12 no aprobaron ningún curso. ¿Cuántos aprueban al menos dos cursos? a)17 b)22 c)13 d)24 e)25

20. Sean dos conjuntos comparables, cuyos cardinales se diferencian en 3. Además la diferencia de los cardinales de sus conjunto potencia es 112. Indicar el número de elementos que posee el conjunto que incluye al otro. a)7 b)13 c)9 d)4 e)2

y n( A Calcular

De un total de 120 alumnos se observa lo siguiente:

45

De un grupo de 385 estudiantes, 1/3 de los que

32.

De un grupo de 80 alumnos  Todos los varones tienen más de 22 años.  Hay 49 mujeres y 25 son casadas.  16 alumnos casados tienen más de 22 años.  10 mujeres casadas tienen más de 22 años.  60 alumnos tienen más de 22 años. Si considerar a las mujeres mayores de 22 años, no se casaron x alumnos. Hallar x. a)25 b)30 c)35 d)40 e)45

33. Dado el diagrama lineal, indica la alternativa correcta:

a) C A b) W C

W

c) A X d) C W e) A B

X

A 34. Dados: A  5

Y

B

x 1/ x

C 16x

 x prefieren sólo fútbol, practican fútbol y natación, ½ de los que prefieren solo natación, practican fútbol y natación, y los que no practican ninguno de los dos deportes es igual

al número de los que los que practican un solo deporte (fútbol o natación). ¿Cuántos practican exactamente los dos deportes? a)210 b)105 c)70 d)175 e)35 24. A una fiesta de promoción asistieron 30 alumnos, de los cuales, 12 son varones y de estos 5 no están bailando. ¿Cuántas

x / x  ¿Cuántos elementos comunes tienen A

B 

2

 y B? mujeres no están bailando? (Se baila en pareja) a)9 b)10 c)13 d)12 e)11 25. En una ciudad se determinó que el 30% de la población no leen la revista A, que el 60% no lee B y que el 40% leen A o B pero no ambas. Si 2940 leen A y B.

¿Cuántas personas hay en la población? a)6000 b)3500 c)4200

a) 1 d) 4

b) 2 c) 3 e) Son disjuntos

35. Decir a que alternativa corresponde al área sombreada:

10 | C E P R U 2 0 1 5 a) (A B) C

¨ 10 aprobaron Matemática y Física. ¨ 7 aprobaron Matemática y Química. ¨ 9 aprobaron Química y Física. ¨ 17 aprobaron Matemática. ¨ 19 aprobaron Física. ¨ 18 aprobaron Química. ¿Cuántos alumnos rindieron los exámenes? a) 23 b) 32 c) 28 d) 26 e) 24

b) [A (B C)] [(B C) A]

c) (AB) C d) (A C) (B C) e) (B A)(A C) 36.

Decir a que alternativa corresponde al área sombreada:

38. Entre los habitantes de un distrito, se ha realizado una encuesta sobre el uso de ciertos artefactos y se ha obtenido los siguientes datos: – 80% tienen televisor. – 90% tienen radio – 60% tiene cocina a gas – 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores – 55% tienen los tres artefactos ¿Qué porcentaje de los encuestados poseen sólo uno de estos artefactos? a) 20% b) 22% c) 21% d) 25% e) 40% 39. De un grupo de 200 transeúntes se determinó lo siguiente: 60 eran mudos, 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos; de estos últimos, 20 eran mudos y 30 eran cantantes callejeros. ¿Cuántos de los que no son cantantes no eran mudos ni ciegos?

C

A B

a) (A C) B b) C (AB) c) (AB)  C

e) (AB) (B

C)

d) (AC) B

a) 10

37. En un colegio rindieron exámenes finales, siendo los resultados: 4 aprobaron los tres cursos.

b) 50

c) 30

d) 20

e) 40

2.1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES Se llama sistema de los números naturales al conjunto:

= {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ..... } ;

El cual está provisto de dos operaciones binarias llamadas

ADICIÓN

Y MULTIPLICACIÓN y además está dotado de dos relaciones, la relación de igualdad y la relación de orden menor que. 2.2.

ADICIÓN

A+B =S sumandos

suma

PROPIEDADES

a.

Propiedad de clausura o cerradura. La suma de dos números naturales es otro número natural.

a,b b.

b

c ; c

Propiedad asociativa. La forma de agrupar a los sumandos no altera la suma.

a; b ; c c.

a

se cumple:

se cumple:

a

(b

c)

(a

b)

c

Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo. (Elemento Identidad aditiva) Viene a ser el “0”, porque al sumarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural.

!0

0

tal que: a

0

a

a ,

a

d. e.

Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo. No se cumple.

f.

Propiedad de monotonía. Si en ambos miembros de una igualdad se suma el mismo número natural, entonces el resultado será otra igualdad.

Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma.

a,b

a; b ; c g.

se cumple: a

Si

a

b

b

b

a

a

c

b

c

Propiedad cancelativa. Si en ambos miembros de una igualdad existe un mismo sumando, podemos cancelarlo y resultará otra igualdad.

a; b ; c

Si

a

c

b

c

a

b

2.3. MULTIPLICACI ÓN PROPIEDADES

AxB=

A: multiplicando

P

B: multiplicador

a.

Propiedad de clausura: El producto de dos números naturales es otro número natural

b.

Propiedad Asociativa: La forma de agrupar a los factores no altera el producto.

a,b

a b

se cumple

a, b , c

c, c

se cumple:

a (b c)

(a b) c

c.

Propiedad de la existencia del elemento Neutro Multiplicativo: (Elemento identidad multiplicativo) Viene a ser el “1”, porque al multiplicarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural.

d. e. f.

Propiedad de la existencia del elemento inverso multiplicativo. No se cumple.

!1

a

tal que:

1

a

1

a ,

a a,b

Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.

se cumple:

a

b

b

a

Propiedad distributiva: La operación de multiplicación se distribuye respecto a la adición.

a, b , c

se cumple:

a×(b+c)= a×b + a×c (b+c)×a g.

b×a + c×a

Propiedad del elemento absorbente: Viene a ser el cero y es tal que:

a

se cumple:

a×0=0×a=0

2.4. RELACIÓN DE IGUALDAD Un número natural se puede representar de varias maneras diferentes, por ejemplo: 12 = 5+7 = 4 x 3 = 2 +10 = 6 x 2 = .....

PROPIEDADES

a

a,b

a) b)

a

c)

Si

d)

Si

a=b

e)

Si

a=b

f)

a b=axb

b

ó

a

b

Propiedad de dicotomía.

a, a a

b

b b=c

a

Propiedad

reflexiva.

Propiedad

simétrica.

Propiedad transitiva.

a=c

a×c =b×c , c

0

2.5. RELACIÓN MENOR QUE Sean a,b

,

a

n

b

, n

0/a n

b . Determina que el sistema de los números naturales sea ordenado

PROPIEDADES

a

b

b

a

b) a

b

a

b o´ a

b

b o´ a

b o´ a

b

a) c)

a

d)

Si

a

b

e)

Si

a

b

f) g)

Si a

c

Si

a c

b

c

a

a c b

c

b c

c

b c a

a

Propiedad de tricotomía Propiedad transitiva

si c

o

b

b si c

0

2. SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS Se llama sistema de los números enteros al conjunto: = {….;-4;-3;-2;-1;0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; … }

0 El cual está provisto de tres operaciones bien definidas llamadas ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN Y SUSTRACCIÓN; además está dotado de dos relaciones: la relación de igualdad y la relación menor que. 2.1 ADICIÓN

A+B =S sumandos

suma

Esta operación cumple todas las propiedades mencionadas en la adición de los números naturales, al que es necesario agregarle la Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo:

12 | C E P R U 2 0 1 5 Para cada a

, !

a

a

tal que:

( a)

a

a

0

PROPIEDADES a.

Propiedad de clausura o cerradura. La suma de dos números naturales es otro número natural. se cumple: a b c ; c a,b

b.

Propiedad asociativa. La forma de agrupar a los sumandos no altera la suma. a; b ; c se cumple: a (b c) (a b) c

c.

Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo. (Elemento Identidad aditiva) Viene a ser el “0”, porque al sumarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural. 0 0 a a , a !0 tal que: a

d. e.

Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo. No se cumple. Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma. se cumple: a b b a a,b

f.

Propiedad de monotonía. Si en ambos miembros de una igualdad se suma el mismo número natural, entonces el resultado será otra igualdad. a; b ; c Si a b a c b c

g.

Propiedad cancelativa. Si en ambos miembros de una igualdad existe un mismo sumando, podemos cancelarlo y resultará otra igualdad. a; b ; c Si a c b c a b

2.2 SUSTRACCIÓN Se verifica que: M - S = D

Si

2.3

M:

M - S=D

Minuendo S: Sustraendo

D:

Diferencia

 M=S+D   M - D=S  2M=M+S+D 



MULTIPLICACIÓN

AxB=

A: multiplicando B: multiplicador P: producto

P

Esta operación cumplen todas las propiedades mencionadas en la multiplicación de los números naturales. PROPIEDADES

a.

Propiedad de clausura: El producto de dos números naturales es otro número natural

a,b

b.

a b

se cumple

c, c

Propiedad Asociativa: La forma de agrupar a los factores no altera el producto.

a, b , c

se cumple:

a (b c)

(a b) c

c.

Propiedad de la existencia del elemento Neutro Multiplicativo: (Elemento identidad multiplicativo) Viene a ser el “1”, porque al multiplicarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural. !1 tal que: a 1 1 a a , a

d. e. f.

Propiedad de la existencia del elemento inverso multiplicativo. No se cumple. Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.

a,b

se cumple:

a

b

b

Propiedad distributiva: La operación de multiplicación se distribuye respecto a la adición.

a, b , c

se cumple:

a×(b+c)= a×b + a×c (b+c)×a g.

b×a + c×a

Propiedad del elemento absorbente: Viene a ser el cero y es tal que:

2.4 RELACIÓN DE IGUALDAD Un número natural se puede representar de varias maneras diferentes, por ejemplo: 12 = 2 +10 = 6 x 2 = ..... PROPIEDADES

g)

a,b

h)

a

i)

Si

j)

Si

k)

Si

a

b

ó

a, a a b b a a=b b=c a=c a=b a×c =b×c , c

a

b

Propiedad de dicotomía.

Propiedad reflexiva. Propiedad simétrica. Propiedad transitiva.

0

a

= 5+7 = 4 x 3

se cumple:

a×0=0×a=0

a

l) 2.5

f) a b = a x b

RELACIÓN DE ORDEN MENOR QUE

Sean a,b

a

b

c

tal que a c

ba

b si b

a

Esta relación establece que el sistema de los números enteros es ordenado y además, cumple con las propiedades dadas para la relación menor definida en el sistema de los números naturales. Ejemplos: 2b ; se cumple: si

ab

ba

xy

entonces x + y = 9

8.- En todo número de tres cifras: abc , donde a>c; se cumple: si abc

cba

9.- En todo número de cuatro cifras: abcd ; donde a > d; se cumple: abcd 2.9

xyz entonces y = 9 ; x + z = 9

dcba

pqrs donde: p + q + r + s = 18

COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)

El complemento aritmético de un número natural es otro número natural, que representa la cantidad que le falta a aquel para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de dicho número.



Para un número de una cifra: CA(a) = 10 – a



Para un número de dos cifras:



Para un número de “n” cifras:

CA( ab ) = 100 – ab =

CA(ab ... dc)

n

10

(9

a)(10

b)

ab ... dc

(9-a)(9-b) ... (9-d)(10-c) 2.10 UMAS NOTABLES

1.

1

2

3

4

5

2.

2

4

6

8

...

2n

n(n 1) 2 n (n 1)

3.

1

3

5

7

...

(2n

1) ...

4. 5.

...

12

22

32

42

52

3

3

3

3

3

1

2

3

4

n

...

5

n

2

2

n

1)(2n 6

n(n

n(n 1) 2

3

n

1)

2

2

6. 7. 8.

14

24

34

44

54

...

22

42

62

82

...

(2n)

12

32

52

72

...

(2n

9.

1 2

10.

2 3

1 2 3

3 4

2 3 4

4 5

...

3 4 5

n 2

n(n

4

2n(n 1)

2

n(n

1)(2n

1)(3n 30 1)

1)(2n 3 n(2n 1)(2n 3 1)

4 5 6

...

n(n

1)(n

2) 2)

n( n

n 1

11. a 1

1

a

1

a

2

a

3

a

4

...

a

n

a

1

no general: a (n

1)r n su ma de los pri me ros ntér mi no s: sn

12.

P r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a : t é r m i

1)

1)

1)(n 3

n(n

3n

ar

n 1

1)(n

2)(n 4

3)

2

(a1

an ) Progresión aritmética:

13.

término general: an

n

1

suma de los primeros n-términos:

sn a 1

a1

n

1

r

1

r

EJERCICIOS

d) FVFV

1.

Relacionar correctamente las siguientes proposiciones: I. La operación de la sustracción esta completamente definida en el sistema . II. En el sistema de los números enteros el elemento neutro aditivo es único. III. El conjunto de los números naturales respecto a la relación de orden (0 y d >0

4. PROPIEDAD DE DENSIDAD.- Esta propiedad dice que: “Entre dos números racionales distintos, existe por lo menos un número racional”

a c b ,d

p q

,

a / b p q

donde por ejemplo

1 a 2 b

p q

c d c d

5. El sistema de los números racionales es ordenado, infinito y denso, pero no es continuo. En la recta real, dado que entre dos números racionales existen infinitos números racionales, sin embargo, dejan algunos vacios que serán ocupados por los números irracionales. 1.NÚMERO FRACCIONARIO Un número fraccionario, conocido comúnmente como “fracción”, expresa una o varias partes de la unidad y tiene la siguiente forma:

a

donde : a

,b

0

b a : se llama numerador b: denominador “a” no es múltiplo de “b” Ojo: Ningún número entero es número fraccionario y viceversa.  ¿LA OPERACIÓN DE LA DIVISIÓN ESTA TOTALMENTE DEFINIDA o BIEN DEFINIDA EN EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES? Respuesta: NO.  ¿La división en el sistema de los números racionales menos el cero está bien definida? SI 2.1.

CLASIFICACIÓN: a. Por la naturaleza del denominador.-

1. a b

2. a b b.

Fracción decimal.

es fraccion decimal

n

b 10

Fracción común. n

es fraccion ordinaria o comun

b 10

Por la relación de sus términos.-

1. a

Fracción propia.

2. A

Fracción impropia.

es fraccion propia BB es fraccion impropia bb

a


3.

Fracción mixta. Dado una fracción impropia, viene a ser aquella que expresa la adición de un entero y una fracción propia. Así por ejemplo:

15 4 c.

3

3 4

3

3 4

Por grupos de fracciones.-

1.

Fracciones homogéneas. Son aquellas fracciones que presentan el mismo denominador.

e a c y son fracciones homogeneas , b b b a c Sí : k ; k Z entonces, b d

Propiedad:

a c son fracciones homogeneas b y d

2.

Fracciones heterogéneas. Son aquellas fracciones que presentan denominadores diferentes.

Son fracciones heterogéneas:

d.

9 11 21 13 7 , 5 , 4 , 10

Por divisores comunes entre sus términos.-

1.

Fracción reductible.- Son aquellas fracciones que tienen tanto en el numerador como en el denominador algún divisor en común diferente de la unidad, el cual puede ser simplificada. Ejemplo:

15

es fraccion reductible ya que :

15

3 5

3

35 35 7 5 7 2. Fracción irreductible.- Son aquellas fracciones en los cuales sus términos son primos entre sí. Ejemplo: 4/7 3. Fracciones equivalentes.- Son fracciones que expresan la misma parte de un todo, aún cuando sus términos sean diferentes. Ejemplo: 3/5 y 6/10 2.2.

OPERACIONES CON FRACCIONES a.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN * Fracciones homogéneas

3 4 9 6

b.

7 4 5 6

3

7 4 9 5 6

4 4 6

5

3

5

3x7

4x5

41

2 2 3

4 11 2

7 9 4

4x7 11x4 2x9 2x4

28 26 8

3 x 5 4 x 2

5

x

2

15 8

DIVISIÓN

3

5

3

2

6

3

4

2

4

5

20

10

PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES

a

1. Si f = 1 y f = 1

2.1.1

10

MULTIPLICACIÓN

3 4 c.

* Fracciones heterogéneas.

f f , m 1

+

+

2

NÚMERO DECIMAL NÚMERO DECIMAL EXACTO. Es aquella que presenta una cantidad limitada de cifras decimales. Origen.- Una fracción irreductible genera un número decimal exacto cuando al descomponer su denominador en sus factores primos se obtienen potencias de 2 y/o 5

Ejemplo:

17 40

17 3

2

0.425 5

71

71

71

100

20 5

4 5 5

71 22 52

0.71

Fracción Generatriz.- Es aquella fracción que se genera a partir del número decimal positivo y menor que 1, en cuyo numerador se ponen las cifras decimales como un número y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Ejemplo:

0.391

391

0.56742

1000

56742 100000

En general, se tiene:

abcd...z 1000...0

0.abcd...z n

cifras

n cifras

1.2

NÚMERO DECIMAL INEXACTO Son aquellos números que tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales. Entre estos tenemos: a) PERIÓDICO PURO

5

5

99

9 11

5

2

3

11

0.0505050505......

0.05

13 4

Origen.- Una fracción irreductible genera un número decimal inexacto periódico puro, cuando al descomponer su denominador en sus factores primos, se obtienen factores que no son potencias de 2 ni de 5 Ejemplo:

2

0.66666...

0.6

3 Fracción Generatriz: Es aquella fracción que se genera a partir del número decimal positivo y menor que 1, en cuyo numerador se pone las cifras de la parte periódica como un número y en el denominador tantos nueves como cifras tenga la parte periódica. Ejemplo:

37

0.37

0.483

99

483 999

En general:

abcd...z 999....9

0. abcd...z n

cifras

n

cifras

b) PERIÓDICO MIXTO Origen: Una fracción irreductible genera un número decimal inexacto periódico mixto, cuando al descomponer el denominador en factores primos se obtienen potencias de 2 y/o 5 y otro factor necesariamente diferente. Ejemplo:

7

7

44

2

2

0.15909090.....

0.1590

11

Fracción Generatriz: Es aquella fracción que se genera a partir del número decimal positivo y menor que 1, en cuyo numerador se pone el número formado por la parte no periódica seguida de la parte periódica menos la parte no periódica y en el denominador se colocan tantos nueves como cifras tenga la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. Ejemplos:

0.37

37 3

483 4

0.483

90

990

En forma general:

abcd...zαβδ...υ abcd....z 999....9 000....0

0. abcd...z αβδ.....υ n

cifras

m

cifras

m

cifras

n

cifras

n: número de cifras decimales exactas m: número de cifras decimales inexactas (periódicas) EJERCICIOS

1.

Hallar la suma de los términos de la fracción irreductible equivalente a: 1 1 1 1 1 1 F     56 72 90 110 132 156

a) 94

b) 95 c) 96

d) 97

e) 98

¿Qué fracción de lo que le falta debe recorrer para que le falte 9/16 de lo que le faltaba? A) 3/7 B) 3/9 C) 7/19 D) 7/9 E) 7/3

8.

¿Cuántas fracciones de la forma

2.

Si se quita 4 al denominador de una fracción cuyo numerador es 3, la fracción aumenta en una unidad. ¿Cuál es la fracción?

entero positivo existen, tal que sea mayor que

a)

que

b)

c)

d)

e)

Si: 0, a1 0, a 2 0, a3 1, 27 Hallar: a

3.

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

4.

La cantidad de fracciones propias irreductibles que existen tales que su denominador sea 56, es: A) 24 B) 25 C) 22 D) 26 E) 19

5.

El denominador de una fracción excede al numerador en una unidad. Si se agrega a ambos miembros de la fracción una unidad, la nueva fracción excede a la original en 1/72. ¿Cuál es la fracción original? A) 3/4 B) 4/5 C) 5/6 D) 6/7 E) 7/8 6. Se ha repartido una herencia entre tres personas; a la primera le tocó la cuarta parte; a la segunda 1/3 de la herencia y a la última 15000 soles ¿A cuánto asciende la herencia? A) 28000 B) 40000 C) 36000 D) 35000 E) 41000

7.

Una persona ha avanzado los 3/19 de su recorrido.

5 3

A) 201

n 144 1

con “n”

3

y menor

? B) 181 C) 180 D) 191

E) 190

9.

La suma de dos números racionales es 46/35 y su diferencia 4/35. Hallar el producto de dichos racionales. A) 4/7 B) 5/7 C) 7/3 D) 3/7 E) 2/7

10.

Un obrero es doble rápido que otro. Si juntos pueden hacer cierta obra en 8 dias, ¿cuanto tiempo le tomaría al primero hacerlo solo?. A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

11.

Hallar la diferencia entre los términos de una fracción equivalente a 2/5, sabiendo que La suma de dichos términos es 28. A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

12.

¿Cuántas fracciones impropias irreductibles de denominador 5 son menores que 8? A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32

13.

Hallar la suma de todos los valores de

sabiendo

que la fracción

a

ASIGNATURA: ARITMÉTICA | 21

es propia e irreductible.

23. Una varilla de a cm. de longitud se corta en 2 partes.

12

1

La par te me nor mi de

A) 18 B) 21 C) 24 D) 30 E) 32

del total, luego con la parte

4

) 3 0 D ) 3 5 E ) 4 0

14.

¿Cuánto le falta a 4/11 para ser igual a los 2/3 de los 5/7 de los 4/9 de los 6/11 de 7? A ) 2 / 3 B ) 4 / 3 C ) 2 / 9 D ) 4 / 9 E ) 1 / 9

17.

¿Cuál es la cantidad entera que debe agregarse al numerador y denominador de La fracción 4/7 para que La fracción resultante esté comprendida entre 0,7 y 0,75? A) 3 B) 4 C) 5 D)6 E) 7

18.

¿Cuántas fracciones equivalentes a 0,1363636... existen, tales que su numerador sea un número de dos cifras y su denominador un número de três cifras? A ) 2 4 B ) 2 5 C ) 2 9 D ) 3 0 E ) 3 6

15.

¿Cuántas fracciones equivalentes a 4/5 existen, tal que su numerador está comprendida entre 25 y 40 y su denominador entre 38 y 53 A ) 1 B ) 2 C ) A) 15 D) 18

B) 16 E) infinitas

C) 17

3 D )

19.

¿Cuántos decimales periódicos puros con dos cifras en el periodo hay entre 1/3 y 1/2.

4 E ) 5

16.

Al simplificar una fracción, se obtiene 1/7, sabiendo que La suma de los términos de la fracción es 40, La diferencia de los mismos es: A ) 2 0 B ) 2 5 C

20. Si s e c u m p l e :

20 | C E P R U 2 0 1 5 ma yo r se rep ite el pr oc edi mi ent o ¿C uá nto mi de el pe da zo má s lar go ?

o rest o, gan a 42 9 dól are s y de ést a ma ner a la pér did a que da red uci da a 1/5 del din ero ori gin al. ¿C uál es la fort una ? a )

a )

b )

c )

d )

7 0 0

e )

24. n jug ad or des pu és de ha ber per did o co nse cut iva me nte los 4/5 de su din ero , 2/7 del res to y 4/1 1 del nu ev

b )

U

6 0 0 c ) 6 0 5 d ) 7 0 1 e ) 7 2 9 25. esp ués de sac ar de un tan que 16 00 litr os

de agua, el nivel de la mism a desce ndió de 2

0 0 0 26. Cuan tas fracci ones compr endid as entre 19/43 y 23/29 son tales que sus términ os son númer os conse cutivo s a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

a 1 ¿Cuá ntos litros 5

3 h a b r á q u e a ñ a d i r p a r a l l e n a r e l t a n q u e ? a ) 3 2 0 0 4 8 0 0 2 4 0 0 0 d ) 1 6 0 0 0 e ) 1 2

27. Si

m p l i f i c a r :

 0 , 2 4 4     1 / 3   0 , 2 2 2 

 

x

11 / 4 3  0, 1 5 3 1 5 3 1 5 3 a )

1

 1  1 2 

1 ... 0, 989

11 1/ 35 0

b)

11 0/ 35 5 c) 10 1/ 30 5 d) 12 3/ 34 5

e)

10 0/ 33 7

28.0, 2

a09 . Hallar

a a .

6 1 2 2 0

37

n fr acc ion es Halle El valor de “n”.

A)2

27

B) 5 D)6

C)4 E)7

29. Hallar x+y, si:

1, xy 1, yx 2,888 A)10 C)14 D) 8

A) 96 B) 98 C) 102 D) 45 E) 68

B)12 E) 4

21. Hallar el valor de “P” al simplificar:



1  

1

1   P       . 1 1 1 .  .   . . .  1



1 

30. Si: 0, a1 0, a2 0, a3 

 

3

2

 

 49  9 9 

  A) 1 B) 1000 C) 500 D) 999 1201

22. Hallar “a + b”, si:

11 El valor de “a” es:

696 ..... 11 a b  0, 969

3

A ) 6

a) 5

b) 8 d) 7

c) 6 e) 9

B ) 4 C ) 5 D) 8

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

2.

NUMERACIÓ N.- Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números NÚMERO.- Es la idea asociada a una cantidad que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza NUMERAL.- Es la representación simbólica o figurativa del número. CIFRA O DÍGITO.Símbolos que convencionalmente se utilizará en la representación de los numerales. SISTEMA DE NUMERACIÓ N.- Es el conjunto de símbolos, reglas, principios, normas y convenios que permiten representar correctamente los números. PRINCIPIOS FUNDAMENTA LES. A. Del orden. Toda cifra que forma parte de un numeral posee un orden determinado de derecha a izquierda.

ASIGNATURA: ARITMÉTICA | 21

B. De la base. Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. NOTA.- En forma práctica la base nos indica de cuantos en cuanto estamos agrupando las unidades PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN

2

binario

0,1

3

ternario

0,1,2

4

cuaternario

0,1,2,3

5

quinario

0,1,2,3,4

6

senario

0,1,2,3,4,5

7

heptanario

0,1,2,3,………6

8

octanario

0,1,2,3,………7

9

nonario

0,1,2,3,………8

10

decimal

0,1,2,3,………9

11

undecimal

0,1,2,3,………9,(10)

12

duodecimal

0,1,2,3,………9,(10),(11)

n

enecimal

0,1,2,3,………,

 n 1

Nota a. En los sistemas de numeración mayores de 9 se utilizan convencionalismos. (10)  A (11)  B (12)  C b.

En todo sistema de numeración de base n la máxima cifra es la base menos 1, n 1

c.

Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero no negativo y menor que la base, es decir, en base “n”, se puede utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son: Cifra máxima

0, 1,2,3, ........, n 1 Cifras significativas Cifra no Significativa d.

e.

3.

A mayor numeral aparente le corresponde menor base. 32 40 44 7 200 4 1012 3 es decir, si 120n 45k 8       como: 120 > 45. Afirmamos: n < k Ningún numeral entero positivo de cualquier sistema podrá empezar en cifra cero.

ESCRITURA Y LECTURA DE UN NÚMERO EN CUALQUIER SISTEMA: Base (10): 624

: Seiscientos veinticuatro

Valor Absoluto = 8

Base ( 2) : 1010 (2) : Uno, cero, uno, cero en base dos. Base ( 9) : 357 (9) : Tres, cinco, siete, en base

VALOR ABSOLUTO DE UNA CIFRA (V.A): Es el valor que toma una cifra por su símbolo o figura. VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA (V.R): Es el valor que toma una cifra por la posición u orden que ocupa el número

3.1.

Valor Absoluto = 9

nueve.

85965

REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS Cuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas se representan mediante letras teniendo en cuenta que:  Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.  La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero.  Letras diferentes no necesariamente representan cifras diferentes, salvo lo indiquen.

Valor Relativo = 900

Valor Relativo = 80000

22 | C E P R U 2 0 1 5 Ejemplo:

ab : cualquier numeral de dos cifras NÚMEROS CAPICÚAS.- Llamados también Polindrómicos. Es aquél cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales, es decir se leen igual de izquierda a derecha o viceversa. aa

4.

:

11 ; 22 ; 33 ; .........

r e c o n o c e r

a ba :

101 ; 323 ; 585 ; .......

abba :

1001 ; 4664; 6776 ;..............0

CONVERSIÓN DE SISTEMAS CASO 1: “De base n a base 10” Ejemplo: convertir 123 en base 5 a base 10 1ER MÉTODO DESCOMPOSICIÓN POLINOMICA

5.2.

De base nk a base n  cifras 

2

1235 1 2 385 3 5

2DO MÉTODO HORNER

Las cifras de cada bloque se obtienen

mediante las divisiones sucesivas.



1235

Cada cifra del numeral genera un bloque de k-

1 5 1

2

3

5

35

7

38

 Si algún bloque no obtiene las cifras requeridas se completará con cero a la izquierda. Ejemplo : Exprese 5207(9) en base 3 Resolución : 9 = 32 (cada fila de base 9 origina 2

3ER MÉTODO FLECHAS



cifras en base 3)

1235  38



CASO 2 : “De base 10 a base “n” “ (n 0) MÉTODO DE DIVISIONES SUCESIVAS: Ejemplo: Exprese 196, en base 6. 196 524 6

196 4

6 32 2

5

2

0

7(9)

5 3 2 1 1 2

2 3 2 0 0 2

0 3 0 0 0 0

7 3 2 1 2 1

5207(9) = 12020021(3) PROPIEDADES a. Numeral de cifras máximas

6 5

10 178

9 CASO 3 “De base n a base m” Exprese

2145 en base 3.

-

se lleva a base 10

59 2

5. 5.1.

8 1

999 10 1

7778

8 1

n 1  n 1....n 1n



1

778

2

3

EN GENERAL:

2145 20123

3 19

99 10 1 3

Ejemplo:

2145 59

8 1

2

k n 1

"K "Cifras

3 6 0

b.

3 2

Numeral de bases sucesivas

BASES SUCESIVAS.

1a1a1a.

ka 1n

.. 1a 1n

Cambio de base especial

donde 1a desciende como subíndice y se repite k veces.

De base n a base nk  se forman grupos de k cifras, a partir del primer orden.  cada grupo así formado se descompone

1a1a1a. .

polinómicamente, dicho resultado es la cifra en la nueva base (nk)

ka 10

. 1a 1a

donde 1a desciende como subíndice y se repite k veces.

Ejemplo : Representar 10202112(3) a base 9 Resolución

10202112 = 3

10 1x3+0 3 675(9)

20 2x3+0 6

21 2x3+1 7

12 1x3+2 5(9)

1a1b1c.

a ..

1m(n)

b c ... m n

k

a1a 1a1.



.. a1

1.

a .n 

ak 1 a 1

(n)

EJERCICIOS

Dado el numeral capicúa (� − 1)(� + 1)(7 − �)(� + 2) Determinar “a x b”. a)18 b)12

c)15

d)14

e)10

a) 650 d) 900

b) 675 e) 420

c) 800

14. Se sabe que los numerales 30�(4); 2��(�); ��(�) están bien escritos y ”a”, “b” y “c” son cifras diferentes entre si. Determinar “a+b+c” a) 1

2. Hallar el valor de: “a + y -x” si

b) 3

c) 6

d) 7

e) 4

15. Determinar el valor de: ����(4) = ��0 a)6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

3. Si: ��+�� = 11(�� − ��) Determinar “ a + b” a) 10 b) 9 c) 12 d) 11 e) 18 4. Si los numerales están correctamente escritos, determinar “a+b”

E = 141414 a)20

148 14

b)24

c)28

d)32

e)34

16. Expresar en base 8 el mayor numeral de tres cifras de la base 5. a) 164(8) d) 172(8)

b) 174(8) e) 133(8)

c) 274(8)

143(�); �5(�); 6�3(7) a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 9 5. Al convertir (� − 3)�(� + 2)(7), al sistema quinario se obtiene un número capicúa de tres cifras. Dar como respuesta la suma de las cifras diferentes de dicho numero capicúa. a) 4

b) 5

c) 3

d) 7

e) 6

6. Expresar “M” en base once y dar la suma de sus cifras: M= 4x113 + 7x112 + 90 a)19 b)20 c)21 d)23 e)25 7. Expresar en base 8 el mayor numeral de tres cifras en base 5. a) 164(8)

b) 174(8)

c) 274(8)

17. Calcular el valor de “a+b” si se cumple que: �̅�̅ a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5

18. ¿Cuántos números de dos cifras existen tal que sumándole 9 se obtiene otro número con las mismas cifras pero en orden invertido?. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 19. Se tiene un número de 2 cifras, si se le agrega un dos a la izquierda del número se convierte en un número igual a 5 veces el número original. Hallar la suma de las cifras de dicho número. a) 6

d) 172(8) e) 133(8) 8. Determinar un numeral del sistema decimal que cumpla las siguientes condiciones. La primera cifra es el doble de la tercera y la segunda el triple de primera. Dar como respuesta la suma de las cifras del numeral. a)8 b)9 c)10 d)11 e)12 9. Si a un numeral de dos cifras del sistema decimal se le agrega la suma de sus cifras se obtiene 85, determinar el producto de sus cifras a)28 b)22 c)16 d)12 e)15 10. Determinar un numeral que al restarle el número que resulta de invertir el orden de cifras, se obtenga 72. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a)12

b)14

c)16

d)9

e)10

11. Calcular “a+b+n”, Si:

b)10

a) 500 d) 90

c)11

c)15

d) 10

e) 5

b) 200 e) 100

c) 10

21. El número de elementos del conjunto de los números de 4 cifras tales que las cifras que ocupan el orden impar (de derecha a izquierda) son mayores en dos que la cifra siguiente, es igual a: a) 81 b) 72 c) 63 d) 56 e) 84

22. Hallar la diferencia entre los valores de m, que verifican la relación: ̅̅ ̅ = 105 ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ (�+3) ̅ ̅ ̅ (4�) �(�+1)(�+2) a) 3 b) 7 c) 4 d) 9 e) 5

d)13

a) 14

e)14

d)16

b) 15

c) 22

d) 17

e) 11

24. Si el numeral 12100102010211(n) se expresa en base n3, la suma de cifras aumenta en 38. Calcule cuántos capicúas existen en base n.

436(7) = ���(8) b)14

c) 4

23. Si a un número de tres dígitos que empieza en 7 se le suprime este dígito, el número resultante es 1/26 del número original. ¿Cuál es la suma de los tres dígitos de dicho número?

12. Determinar “a+b+c”, Si :

a)13

b) 7

20. ¿Cuántos números capicúa de tres cifras hay?

11��(�) = 79(�2) a)9

9

̅ 7 = ��

a) 3

e)18

13. Cuantos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar. número resultante para, finalmente obtener el número 4051. Calcule la suma de cifras de dicho número inicial.

b) 7

c) 4

d) 6

e) 5

25. A un número de cuatro cifras se le agrega la suma de sus cifras, y se procede de la misma manera con el 28. Si

�̅�̅�̅�̅ =

2 �̅�̅

̅�̅�̅ a) 5

b) 7

c) 9

d) 11

Hallar: a+b+c+d

e) 13

26. Un número consta de dos dígitos cuya suma es 11. Si se intercambian sus cifras resulta un número que excede en 5 al triple del número primitivo. Hallar dicho número. a) 29

b) 19

c) 28

d) 27

B

1.3. DIVISOR.- Sea A un número entero y B un número entero positivo, se dice que “B es divisor de A” cuando A contiene B un número exacto de veces. Nota: - B es divisor de A - A es múltiplo de B - B es divisible entre B - B es factor de A Ejemplo: -24 6 0 -4 2. MULTIPLICIDAD DE NÚMEROS Se dice que un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B cuando el valor de A es igual al valor de B multiplicado por un número entero K. Es decir

A,K

y

30.

B

se tiene A

b) 7

B

K

1̅�̅4̅ = 504(�) d) 3 e) 4

c) 8

�̅�̅�̅�̅(�) = 303(5) Siendo a b ,c y d diferentes entre sí. Hallar c. b) 1

c) 2

d) 3

3. EQUIMÚLTIPL OS Son números que contienen{8, 16, 24, 32, … } pero como queremos hallar el mínimo valor de x entonces tomemos el mínimo valor de los múltiplos de 8 de donde:

x 8 2 x 6 . 4.

TEORÍA DE CONGRUENCIAS NÚMEROS CONGRUENTES.- Dos números A y B son congruentes con respecto a un módulo m denotado por A B (modulo m) cuando al dividir A y B entre el módulo m se obtienen el mismo resto, en caso contrario se dicen que son incongruentes. Ejemplo:

19 14 Módulo (5) es decir:

A

14 2 5 4 14 54 15

5 3

15

5

Donde 15 es el múltiplo y 5 es el divisor.

4



19 35 54

Ejemplo:

e) 4

OBSERVACIONE S: Los conceptos de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes; la divisibilidad se le estudia a partir de la división mientras que la multiplicidad se le estudia desde el punto de vista de la multiplicación. Un número negativo puede ser múltiplo de otro entero positivo. El cero es múltiplo de todo número entero positivo. El cero no es divisor de ningún número.

Nota: Si A es múltiplo B y A B K. Entonces podemos abreviar de la siguiente manera:

B

e) 18

Si:

a)0

1.2. MÚLTIPLO.- Sea A un número entero y B un número entero positivo, se dice que “A es múltiplo de B ” cuando al dividir A entre B se obtiene un cociente K entero y un resto cero(0). A B A B K 0 K y

a)6

c)234432

1.1. CONCEPTO.- La divisibilidad es la parte de la teoría de números que estudia las condiciones que deben reunir los números para ser divisible por otro.

A,K

a) 10 b) 11 c) 13 d) 15 Hallar el valor de a si:

e) 31

27. El número telefónico de Rosita es número capicúa de seis cifras. Si la primera cifra se multiplica por 11, al resultado se añade la segunda cifra; luego el nuevo resultado se multiplica por 11 y finalmente al resultado añadimos la tercera cifra, obtenemos 985. ¿Cuál es el número telefónico de Rosita? a)816618 b)789987 d)890098 e)245542

29.

19 

Ambos tienen un resto de 4. 5.

DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON k

   nr  nr k , k    

Divisor 5

Está

k

15

contenido

Contiene múltiplo

   k  nr  nr , k    , k par

 k nr   nr k , k    ,

c.

h.

k impar

Divisibilidad por 9. Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras que lo forman es múltiplo de 9.

Ejemplo: 

Hallar el resto de dividir 337543 entre 7.



Solución: 337 se puede expresar como

........ a b c d e f g h 9

48 7 1 que resulta de



543



337 71



543

i.

Divisibilidad por 10. Un número es divisible por 10 cuando acaba en cero.

abcdefg0 10

 543

543



135675 9 1 3 5 6 7 5 27 9

dividir 337 entre 7 y da como cociente 48 y como resto 1.

337 48 7 1 543 (71)



abcdefgh9 Cuando

71

j.

r 1

Divisibilidad por 11. Un número es divisible por 11 cuando la suma de los valores absolutos de las cifras que ocupan ordenes impares menos la suma de los valores absolutos de las cifras que ocupan ordenes pares es igual a cero o un número divisible por 11.  

abcdefgh11 Cuando



6.

REGLAS DE DIVISIBILIDAD Para saber si un número es divisible por otros o para descomponerlo en factores primos existen criterios de divisibilidad, que son reglas sencillas a utilizar para resolver este tipo de ejercicios. Éstas son: a. Divisibilidad por 2. Un número es divisible por 2, cuando de dicho número su última cifra es par o cero. 

abcd 2 b.



Cuando

d : 0,2,4

k.



abcdefgh13 Cuando

abcd 3 c.

h (3g 4 f e) (3d 4c b)

cuando

(3a ..) ... 13

a b c d 3

Divisibilidad por 4. Un número es divisible por 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un número divisible por 4 o también si el doble de la penúltima más la última cifras es múltiplo de 4. 



abcd 4 Cuando cd 00



l.

Divisibilidad por 25. Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 25. 



ó 2c d 4

ó

cd 4 .

d. Divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5, cuando de dicho número su última cifra es 5 o cero.

e.

Cuando

d:0

cuando la suma de los bloques separados de dos cifras de derecha a izquierda es múltiplo de 33. 

abcdef 33 



a b c d 3

abcdefgh7



Cuando

h 3g 2 f e 3d 2c b 3a .... 7 g. Divisibilidad por 8. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un número divisible por ocho o también cuando la suma del cuádruplo



Cuando



ef cd ab 33 . n.

Divisibilidad por 7. Un número es divisible por 7 cuando al multiplicar el número cifra por cifra de derecha a izquierda con los factores 1;3;2; -1; -3; -2; 1; 3; 2;… esto es: 

ó 75

ú 5.



abcd 6 Cuando d par y

Cuando

m. Divisibilidad por 33. Un número es divisible por 33

Divisibilidad por 6. Un número es divisible por 6, es divisible por 2 y por 3 a la vez. 

f.



abcd 25 cd 25, 50 00,



abcd 5

.







Divisibilidad por 13. Un número es divisible por 13 cuando al multiplicar el número cifra por cifra de derecha a izquierda con los factores1;-3;-4; -1; 3; 4; 1; -3; -4;… esto es:

ú 8.

Divisibilidad por 3. Un número es divisible por 3, cuando la suma de los valores absolutos de dicho número es múltiplo de tres. 



(h  f d b) ( g e c a) 0 ó 11

Divisibilidad por 45. Un número es divisible por 45 cuando se divisible por 5 y por 9 a la vez.

o. Divisibilidad por 99. Un número es divisible por 99 cuando la suma de los bloques separados de dos cifras de derecha a izquierda es múltiplo de 99. 



abcdef 99



Cuando







ef cd ab 99 .

de la antepenúltima cifra, doble de la penúltima cifra y la última cifra es

forman un número múltiplo de 125. p.

Divisibilidad por 125. Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8. 







abcd 25

bcd 000, ó125

Cuando

.

 

abcd 8 Cuando bcd 000 ó bcd 8

q.

Divisibilidad por 2n ó 5n. Un número es divisible por 2n ó 5n cuando sus últimas “n” cifras son ceros o

s.

Divisibilidad porpor 𝒏+��+en 𝒏. Un numeral � será divisible 1 sibase y solamente si, la en base suma de sus cifras de orden impar menos la suma de sus cifras de orden par es cero o múltiplo de



ó 4b 2c d 8 . forman un número múltiplo respectivamente. r.

de 2n ó 5n

Divisibilidad porpor 𝒏−��−en � será divisible 1 ,base si y 𝒏Un solo sinumeral la sumaendebase sus cifras resulte un múltiplo de � − 1.

�+1 EJERCICIOS

1.

En un colegio se matricularon 600 estudiantes. De los inscritos varones se ha podido observar que los 3/7 son alumnos de quinto año, los 4/9 alumnos de tercer año y los 2/5 alumnos de segundo año. ¿Cuántas mujeres se matricularon en el colegio? A) 238 B) 232 C) 236 252reunión de E) 285 EnD) una dos países a la cual asistieron 500 personas, se observa que del primer país 1/5 son economistas, 1/8 son ingenieros y los 1/7 son contadores. ¿Cuántas personas son del segundo país?

2.

A) 220 D) 255 3.

4.

B) 232 E) 185

C) 186

En un aula se observa que de 50 alumnos la séptima parte de las mujeres son estudiosas, también se pudo observar que la onceava parte de los varones no son deportistas ¿Cuántas mujeres hay y cuantos son deportistas? A) 22 y 24 B) 21 y 25 C) 28 y 20 D) 14 y 22 E) 15 y 22 En una reunión de profesionales hay 131 personas, la mayor parte son varones. Si la octava parte de los varones son ingenieros y la séptima parte de las mujeres son economistas, ¿Cuántos varones no son ingenieros?

grupos de 7 sobran 4. ¿Cuántas gallinas hay en corral si se añaden 2 más? A) 327 B) 363 C) 331 D) 367 E) 376

9. En un aula forman grupos de cinco alumnos para realizar un evento, faltando un alumno; pero si forman grupos de seis alumnos no sobran ni faltan alumnos. Halle la cantidad de alumnos del aula, si es mayor de 30 pero menor que 60. A) 28 B) 54 C) 66 D) 52 E) 64

10. Un pastor cuenta sus ovejas de 7 en 7, de 8 en 8 y de 4 en 4 y sobran respectivamente en cada caso 6, 7 y 3 ovejas. ¿cuál es el menor número de ovejas que cumplen tal condición? A) 57 B) 55 C) 56 D) 54 E) 75

11. Si a un número se le divide entre 11, se obtiene 7 de residuo y cuando se le divide entre 10, se obtiene 5 de residuo. ¿Cuál es el residuo de dividir el número entre 110? A) 97 B) 95 C) 96 D) 94 E) 98

12. Un libro tiene 930 páginas. Una persona rompe una hoja el 5.

6.

A) 12 B) 21 C) 30 D) 84 E) 96 Una compañía editora, mandó empacar un lote de libros, si lo hacen de 5 en 5, de 6 en 6, ó de 8 en 8 siempre sobran 3.Por lo que deciden empaquetarlo de 9 en 9, así no sobra ninguno. Si el número de libros pasa de100 y no llega a 400. ¿Cuántos libros son? A) 215 B) 218 C) 251 D) 219 E) 243 A un acto teatral ingresaron 1370 personas entre jóvenes y niños. El total de mujeres que ingresaron es 3/11 de los jóvenes; la cantidad de personas que usan anteojos es igual a los 2/7 de la cantidad de los jóvenes, y 1/3 de los jóvenes llegaron tarde. ¿Cuántas mujeres llegaron tarde, si son 1/5 del total de jóvenes que llegaron tarde, además la cantidad de niños es menor que el número de mujeres?

primer día, dos hojas el segundo día, tres hojas el tercer día, y así sucesivamente. ¿Qué caerá cuando rompa la ultima hoja si la primera la rompió un día martes? A) Lunes B) Martes D) Miercoles E) Jueves

13. Hallar el residuo de dividir: 155 A) 1

B) 2

C) 3

B) 57 E) 77

B) 5

C) 6

A) 2198 D) 2519

B) 2126 E) 2518

C) 2080

8. En un corral hay cierto número de gallinas que está comprendido entre 354 y 368.si las gallinas se agrupan de 2, 3, 4 ó 5 siempre sobra 1, pero si se acomodan en

8 E) 5

14. El resto que resulta al dividir 38

C) 76

7. Si a un número se le resta 1, resulta divisible por 2; si se le resta 2, resulta divisible por 3; si se le resta 3, resulta divisible por 4, y así sucesivamente. Por último si se le resta 9, resulta divisible por 10. ¿Cuál es el residuo de dividir éste número entre 2520?

154

D) 4

15. Calcular el resto de dividir 5 A) 67 D) 70

C) Viernes

602

D) 3 471

entre 9 es: A) 2 E) 4

entre 13.

A) 1

B) 5

16. Al dividir el número

(2401)

125

C) 8

2

D)10

entre 7, su residuo

es: A) 2 17. S i

N = 478 50 226

B) 0 80

C) 4 D) 5

x 337

70

x

E) 6 y r es el residuo de

dividir N entre 9. Hallar 3r A) 12 B) 10

C) 14 D) 15

E) 13

18. Cuando P se divide entre d se obtiene de residuo 18 y cuando Q se divide entre d se obtiene de residuo 4

E) 12

sabiendo que d divide a 72.Hallar el residuo de dividir Pn * Qn entre d. A) 3 D) 4

B) 2

= 4 ab +6, hallar: a+b+c+d

C) 0 E) 1

A) 8

0

0

19. Un número es 19 6 y otro número es 19 5

. Si el

primero se divide entre el segundo. ¿Cuál puede ser el mínimo valor positivo del cociente si la división es exacta? A) 2 D) 5

B) 8 E) 6

C) 3

B) 10

C) 12

D) 18

E) 15

30. Al dividir un número formado por 26 cifras p seguida de 26 cifras 4 entre 7, el resto fue 5. Hallar p. A) 2

B) 3 C) 4

D) 5

E) 6

31. Si el número de cinco dígitos ab1ba, donde a>b, es divisible entre 11, calcular el valor de (a-b).

20. ¿Cuántos valores toma, “m”, para que se cumpla la

A) 5

0

igualdad 3m4m 3 ? A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

21. La suma de los “n” primeros múltiplos de 5, mayores que 80, es 1075. Calcular “n”. A) 25 D) 10

29. Sabiendo que el numeral abcd es múltiplo de 15 y cd

B) 1

C) 15

B) 15 C) 10

33. La diferencia de B) 9

22. Entre 261 y 7214. ¿Cuántos números enteros

D) 6

E) 7

32. Un alumno del CEPRU perdió su carné y no se acordaba su código, pero recordó que era de cuatro cifras divisibles por 5, 9 y 11. Además la primera y última cifra eran iguales. ¿Cuál era el código de dicho alumno?, dar como respuesta la suma de sus tres últimas cifras. A) 13

B) 20 E) 12

C) 3

aba

C) 13 D) 6

D) 12 E) 16 y

babsiempre será divisible por:

A) 11

E) 8

terminados en 8 son divisibles por 7? A) 95 D) 92

B) 90 E) 99

34. Calcular el menor número de tres cifras mayor que 800 al cual si se le resta su complemento aritmético sea un

C) 98

0

177 . A) 810 D) 801

23. Hallar el valor de la cifra “x” si el número

2x6x8

B) 3 E) 8

C) 4

A) 5

numérico de x · y B) 2 E) 8

E) 30

37. Sabiendo que el número de la forma

0

B) 1 E) 5

C) 23 D) 32

C) 9

25. Calcular “a”, si 11aa 7 A) 0 D) 4

B) 3

36. ¿Cuántos números del 1 al 180 son múltiplos de 3 y 4 pero no de 7? A) 12 B) 10 C) 11 D) 9 E) 13

24. Si el número 8xyx5y es divisible entre 88, dar el valor A) 5 D) 3

C) 732

35. ¿Cuántos números de 3 cifras al ser divididas entre 4 y 7 dejan como restos 2 y 5 respectivamente?

es divisible entre 13

A) 2 D) 6

B) 723 E) 817

4p23q45

divisible por 99¿Cuál será el residuo de dividir dicho número entre 7? A) 2 B) 9 C) 4 D) 3 E) 5

C) 2

38. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 2 y 3 a la vez, pero no por 5?

26. Sabiendo que: 0

a0(a 1)(a 1) 19

A) 110 D) 124

B) 115 E) 150

C) 120

Hallar “a” 0

A) 7

B) 1

C) 2 D) 4

39. Si xy6yz 1375 entonces

E) 5

xyz es divisible entre:

0

27. Sabiendo que: 2x78 = 17 Hallar “x” A) 8

B) 1

C) 2 D) 4

E) 5 0

28. Sabiendo

que

determine a*b*c.

A) 15 B) 16 C) 17 D) 31 E) 19 40. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 8 pero no son múltiplos de 5? 0

0

abc = 8 , bca = 5

ab = 17

y

,

A) 97 D) 96

B) 91 E) 95

C) 90

41. Hallar el número de la forma: A) 8

B) 10

D) 11

E) 9

C) 16

x(x 1)(x 2)(x - 1)x A) 67856 D) 34523

42. ¿Cuántos números de 4 cifras terminados en 3 son divisibles por 13?

A) 88 D) 71

0

Si es 119 B) 78967 E) 23412

B) 98 E) 69

C) 70

es

43. Simplificar: 0

0

0

A) 8 D) 7

0

E (62) (64) (66) ..... (640)

B) 1 E) 5

C) 9

47. ¿Cuántos numerales de la siguiente sucesión 275*1, 275*2, 275*3,…, 275*100 son divisibles entre 200? A) 22 D) 25

B) 13 E) 12

C) 15

48. ¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir 0

A)

0

61

B)

0

D)

63

0

6 2

C)

E=2

6 4

6k+4

+2

A) 6 D) 3

0

E)

3k+1

+2

3

entre 7?

B) 5 E) 2

C) 4

6 49. ¿Cuál es el residuo de dividir AxB entre 5?

0

44. Si : a3ba3b...a3b = 36 calcule la suma de los valores

A = 4848 . .48

51 cifras

de ab A) 2

200 cifras B) 3 C) 4

B = 8484. . .84 300 cifras D) 5

E) 6

A) 136 B) 133 C) 138 D) 134 E) 139 45. Hallar el número capicúa de 4 cifras múltiplo de 75. A) 5525 D) 5775

B) 5115 E) 1221

C) 7557

46. Si el CA de aaaa es múltiplo de 7, determinar el valor de “a”

Los números primos se estudian a partir de la clasificación de los números enteros positivos de acuerdo a la cantidad de divisores que poseen. 1.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROSℤ+DE ACUERDO A LA CANTIDAD DE DIVISORES QUE POSEEN:

2.-El menor número primo es el número 2. 3.-En la serie de los números primos todos son impares excepto el primero. 4.-La serie de los números primos es ilimitada. 5.-Los únicos consecutivos son 2 y 3. 6.-Si N es primo, se cumple: 0

0

� > 2 ⟹ � = 41 ó 41

ℤ+ = {� , � , � , � , � , �,….} DIVISORES: 1: 1

0

2: 1; 2

� > 3 ⟹ � = 61 ó 61 7.- Los números 2 y 3 son los únicos números consecutivos primos

3: 1; 3 4: 1; 2; 4 ……………. 1.1. NÚMEROS SIMPLES.- Números ℤ+ que tienen a lo máximo dos divisores. 1.1.1. LA UNIDAD(1).- Es el único numero ℤ+que tiene un solo divisor y es el mismo. 1.1.2. NÚMEROS PRIMOS (PRIMOS ABSOLUTOS) Es aquel número que tiene como único divisores a la unidad y así mismo. Ejm. 2 , 3 , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43…… Divisores de 17: 1; 17 1.2. NÚMEROS COMPUESTOS.- Es aquel número ℤ+ que tiene más de 2 divisores. Ejm: 4, 6, 8, 9, 10,……… Divisores de 12: 1, 2, 4, 6, 12 OBSERVACIONES 1.-El 1 no es primo ni compuesto porque tiene un sólo divisor.

0

8.- Los números 3, 5 y 7 son los únicos impares consecutivos i PESI a la vez. 2.

NÚMEROS PESI (Primos relativos o coprimos) Son cuando dos o más númerosℤ+, admiten un único divisor común que es la unidad

D8 8, 4, 2,1 D5 5,1

Los.Nros : 8 y5

son PESI, pues tienen un divisor en común a la unidad. 2.1 NÚMEROS PESI 2 a 2 Son aquellos números ℤ+que al ser tomados de 2 en 2 resultan ser PESI

A 6 D6 : 6,3, 2,1

1º) Descomponemos N

B 25 D25 : 25,5,1

N 360

C 49 D49 : 49,7,1

3

2

N 2 3 5

OBSERVANDO: A ES PESI CON B A ES PESI CON C B ES PESI CON C

2º) Construimos la tabla:

Por tanto los tres números son PESI 2 a 2

3.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA (DESCOMPOSICIÓN CANONÍCA)

Todo numero ℤ+ > 1, se puede descomponer como producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos (esta descomposición es única).

20

21

22

23

1

1

2

4

8

3

3

6

12

24

9

9

18

36

72

5

5

10

20

40

5

15

30

60

120

5

45

90

180

360

NOTA De la tabla se tiene:

Consideremos la siguiente descomposición.

N 360 3

#�360 = (#𝐹𝑖���)�(#���𝑢����) =

2

N 2 3 5

=

Siendo: 2,3 y 5 números primos Luego en

(6)𝑋(4) = 24 1.3.

1

SN 

1

1

a 1 b 1 c 1  a1 . b1 . c 1 



general





a b c

*Calcular:

 

Si N

SUMA DE DIVISORES DE UN NÚMERO N: 

S360

 

N a b c

3

2

i)N 360 2 3 5



4

Con�, � � � divisores primos y �, � � � son los exponentes enteros positivos. 4. ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO ENTERO POSITIVO 1.1. CANTIDAD DE DIVISORES (1º FORMA)

3

2

2 1 3 1 5 1  . .  ii)S  N  2 1  3 1  5 1  S360 1170 12 4 ...90 180 360 NOTA SD(N) = SDcompuestos + SDsimples SD(N) = SDcompuestos + SDprimos + 1

# DN # DS # DC

# DS # DP 1

1.4.

SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE N:

# DN # DP # DC 1

S 1 

D12 12,6, 4,3, 2,1# D12 6

N

DP :3, 2# DP

*Hallar : S

2

DC :12,6, 4# DC 3

a b c

3

1 1

1

1

1 

1

1.5.

PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE N:

1)( 1) PN N

# DN 2

*P360 ? i) # D360 24 24

ii)PN 360 2 P36 360 12 4 ...90 180 360 12

2

i)N 2 3 5

1170 360



# DN (1) (  *Calcular : # D360 N 360



1

iii)S 360

S360 3,325 1...     90 180 360   2 4

(2º FORMA): Si N

1 360



# D12 2 3 1 6 

N

i)N 360 ii)S360 1170

Aplicando la formula se tiene:



sN

0

ii) # DN (3 1).(2 1).(1 1) # DN (4).(3).(2) # D360 24 1.2. “N ”

TA BLA DE LOS DI VISORES DE

*Elaborar la tabla de divisores del Nro 360

1.6. CANTIDAD DE FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMO EL PRODUCTO DE 2 FACTORES:

a)F N 

# DN ; 2

# DN : PAR *F24 4

b)F 

D

# DN 1 ;

#

ASIGNATURA: ARITMÉTICA | 31

: IMPAR

1.7. INDICADOR DE UN NÚMERO O FORMULA DE GAUSS Indica la cantidad de números PESI con el número N; pero menores que N.

N

N

* F1 00

(N) = a(-1) (a -1).b(1) (b -1). (-1) (c -1) c

 5 EJERCICIOS 1. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

13. Calcular la suma de cifras del valor de N, sabiendo que

N es y además de 9 tiene tres la 10 for k ma: 6. ¿Cuántas veces debe multiplicarse a 18 por sí misma, para que el resultado tenga 63 divisores compuestos? A) 8 B)4 C) 5 D)6 E) 10

I.- Todo número primo mayor que 2 es forma 

41 . II.- El número uno es primo absoluto. III.- El número de divisores de un numero N, es la suma de los divisores simples más los divisores compuestos. IV.Existe un numero primo que es par. V.los número s 13, 4, 12 son P.E.S.I 2 a 2. VI.- los divisores propios de un numero N, son todos los divisores de N menos él mismo. A) 6 D) 1 2.

B) 5 E) 3

¿Cuántos números primos son menores que 960 ?. A) 256 B) 221 C) 216 D) 208 E) 244

3.

¿Cuántos divisores impares tiene el número 3780? A) 16 B) 14C) 8 D) 10 E) 12 4.

¿Cuántos divisores de 39600 son divisibles por 3 pero no por 5 ? A) 12 B) 13 C) 20 D) 16 E) 15

5.

Determine el producto de los divisores múltiplos de 3 del número 180. A) 212.36.56 B) 210.36.56 C) 212.38.56 D) 26.36.56 E)N.A

7. Calcular la suma de divisores de un número “N”,

C)

30 | C E P R U 2 0 1 5 divisores más que el número 360 A) 12 B) 7

A )1 2 B) 5 C) 4

40 30  2 .5

A)

21. ¿ C B) u á C)418 n D) t o E) s

C) 10 D) 9 E) 15 14. Hallar la suma de los divisores de 540 que sean múltiplos de 6 A) 140 234 D) 103 15. Cuantos divisores tiene 3600, tales que sean múltiplos de 3 pero no de 5 A) 10 B) 20

16. Si:13x+2 – 13x tiene 43 divisore s compue stos. Hallar “x+8” A) 10 B) 8 C)16 D) 13 E) 12

18. ¿Cuant os rectáng ulos diferent es de área 112 m2 se pueden determi nar? A) 5 B) 7

8 Sabi endo que el prod ucto de los divis ores de un núm ero

q u e s u p r o d u

d i v i s o r e s p r i m o s

C) 6 D) 8 E) 4 19. Si 2m.32.5 m+1 , tiene 60 divisor es múltipl os de 10, Hallar el valor de “ 2m ” .

e l n ú m e r o � ̅ � ̅

A)20 C)8 E)16

� ̅ �

20 Halla

̅

a+b, ̅

�

sabiend

� ̅ s i

número

ab(2a) (2b)

�̅̅�̅ es

tiene 30 divisor es. A)

un numero primo

6

C)8 E)7 cto es :

18

9.

mayor que

PN

37 ? A) 3 B) 6 C) 8 D) 12 E) 5 esHa llar dic ho nú me ro e ind ica r co mo

22. S i :

6 �

x

tiene

B) 9 D)14 E)15

C)

Determinar el valor de “n - 2”, si se sabe número:

n

P 5.3

2184 A) 3 4 7 10.

B) 6 D) 5

tie ne co mo su ma de sus div iso res a C) E)

Si el número A = 42x3n tiene tres divisores menos que 900. Hallar dicho número y dar la suma de sus cifras. A) 15 B) 8 C)6 D) 9 E) 12

11.

Si el número 16a tiene “ p ” divisores ¿Cuántos divisores tendrá 256a ?. A) p-1 B) 3p-1 C) 3p+1 D) 2p-1 E) 3p

12.

¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 104 divisores compuestos? A) 5 8 10

B) 3 D) 9

divisores hallar el producto de �

77 respuesta suma de sus cifras A) 10 13

t i e n e

o que el 17. Hallar el valor de “ n ”, si el número es de la forma A= 2nx7, que tiene 48 números primos menores que A. s a b i e n d o

�

C) E)

x �? A) 13 B) 6 C) 8 D) 2 E) N.A. 23. sabiendo que un número �es de la forma 16 x 24 y además tiene 84 divisores más que el número 1440. Dar el valor de “ � “ A) 20 5 B) 6 C) 8 D) 12 E) 24. Hallar el valor de “ � ” si N = 198𝑝si se sabe que tiene 130 divisores compuestos A) 10 B) 6 D) 2 E) 8

C) 15

25. El � número N = 4�−2 . 4 , tiene 29 divisores hallar el valor de “ �”. A) 4 E) 7 26.

B) 1

C) 8 D) 2

� Si, .15 que tieneno 29130 divisores son primos hallar “ �”.

A) 3 B) 5 E) N.A

C) 1 D) 8

27. Cuantos rectángulos existen cuya superficie es 36 m2 y sus lados están expresados en números enteros, en metros. A) 5 28.

B) 6

B) 65

2

2�2 + 2� E) N.A 34 ¿Cuantos números enteros existen que sean primos relativos con A = 104, menores que A?

C) 8 D) 7 E) 5

A) 1000 2005

B) 1500

C) 1080

D)4000

E)

35. ¿Cuantas veces habrá que multiplicar por 8 al número 300 para que el producto tenga 123 divisores no primos?.

C) 18 D) 12 E) 25

Calcular la cantidad de divisores de 14! , que sean impares mayores que 10. A) 212

C) 1 D) 12 E) 20

4

Hallar el menor múltiplo de 6, sabiendo que tiene 15 divisores menos que 1800. Dar como respuesta la suma de sus cifras. B) 15

B) 5

33. Si: A = 12x122x123x124x…..x12n, y B= 18x182x183x184x…..x18n, ¿Cuántos divisores tendrá el 2número N = AxB (3�+2)2 2 (3� B) (2�2 + 2� + 2)2 C) D) A) +3�+2)

C) 8 D) 12 E) 7

B) 10

A) 13 31.

A) 13

Hallar el valor de “ � “, para que el número de divisores de N = 30� , sea el doble del número de divisores de M = 15 x 18� A) 13

30.

C) 18 D) 20 E) N.A

Cuál es el menor número de términos que debe tener la siguiente serie, para que la suma tenga 6 divisores N = 91+91+91+91+. . . . A) 3

29.

B) 10

32. Determinar el valor de “ � “ si N = 12� x 28 tiene 152 divisores compuestos.

A) 1

B) 6

C) 18 D) 10 E) 2

C) 88 D)210 E)211

1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) El MCD de dos o más números ℤ+, es aquel número ℤ+, que cumple las siguientes condiciones:  Es un divisor común de los números  Es el mayor de los divisores comunes

Nº

DIVISORES

8

1 ,

2 , 4 ,

8

12

1 , 2 , 3 ,

4 , 6

, 12

20

1 , 2 , 4 ,

5 , 10

, 20

Ejemplo: Calcular el MCD de 8, 12 y 20

 Los divisores comunes de 8, 12 y 20 son los divisores: 1; 2 y 4.

20 15 MCD

 El MCD de ellos es el divisor 4.

PESI

OBSERVACIÓN: El Número de divisores comunes es igual al número de divisores del MCD. Los divisores del MCD (4) son 1; 2 y 4 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) El MCM de dos o más números ℤ+, es aquel número ℤ+ que cumple dos condiciones:  Debe ser un múltiplo común a los números  Debe ser el menor de estos múltiplos comunes Ejemplo: Calcular el MCM (4; 6) � �:

4,8, ��, 16,20, ��, 28,32, ��, 40,44, ��, …

FORMA PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCD Y MCM. 1. DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA.

3

1

1

4

MCD (20; 15) = 5

y

MCM (20; 15) = 5x4x3 = 60

2. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA I)

Para el MCD: “Se consideran los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes”

II) Para el MCM: “Se consideran los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes” 3. D

: 6, ��, 18, ��, 30, ��, 42, ��, 54, ��, 66, …  Los Múltiplos comunes son 12; 24; 36;...

OBSERVACIÓN: Los Múltiplos comunes son también múltiplos del MCM

4

3

� �

 El MCM de ellos es el múltiplo 12.

5

DIVISIONES SUCESIVAS (ALGORITMO DE EUCLIDES) d

R q

� = �� + � q1

q2 Cociente

⟸ DIVIDENDO

D

d

r1 ⟸ Divisor

r1 MCD (D; d) = r1

0

⟸

Resto

32 | C E P R U 2 0 1 5 � � �

 MCD ( , PROPIEDADES :

, )=

�

×𝐝 𝐧𝐧𝐧𝐧

1. El MCD nunca es mayor que uno de los números.

8. MCD(A; B; E; F) =MCD [A; MCD(B, E, F)]

2. El MCM nunca es menor que alguno de los números. 3 . S i :

9. MCM (n A, n B, n C) = n[ MCM (A; B; C)]

o

A ( B B K

A B C

10.1 MCM ( , , ) = × MCM(A, B, C)

n n n

n

11. Para Dos números A y B. Se cumple:

⟹ MCD (A; B) = B

A

y

MCM (A, B) = A 4. Si A y B son PESI: ⟹ M C D

MCD PESI p q � = ���

( A ;

� y � =

B ) =

��� × �

1

��� =

M C M

��� × � × �

( A ,

� × � =

B )

��� × ��� 12. Dados los números: A = N a

= A x B

− 1 B = N b

5. Si MCD (A; B; C) = d �

B

= �;

= �;

�

�

=

− 1

� 𝒅𝒅𝒅

A= p.d q.d r.d

o

B= C=

Donde A,

B y C son

d ⟹ p, q y r son

PESI. 6. Si MCM (A; B; C) = m

mA   p ;

m

q ; B

m

r ⟹ p, q y r son

PESI.

C

C⟹ C N MCD 1 (A,

(a,b,c )

−

1

7 . S e

13.

M

M CD (b; d; f) MC D( a; c; e)

a c e



M C

14.

M C D (; ;) = b d f

M ( 5 2 0 ; 1 3 0 ) A ) 5 1 9 C ) 5 1 8

cocientes sucesivos: 3;2;5y3. Halle el mayor de los números si su MCM es ̅�̅3̅�̅2̅�̅. Dé la suma de cifras del

B)520.

D)521 E)522 ¿Cuántos pares de números cumplen la condición de que su MCD sea 36 y su MCM sea 504? A)2.

MCM(b; d; f)

4. E J E R C I C I O S 1.

B)1 C)4

Si el M C D( A; B; C) =1 20, ¿C uá nto s div iso res co mu ne s tie ne n A, B y C? A)16.

2 5 2 0

2 1 0 0 )

D ) 4 2 1

M C D ( 8 4 0 ;

6.

C a l c u l a r e l M C

C ) 2 8 0 D ) 9 4 0 E ) 9 3 0

E ) 1 5 2 2

E ) 4 2 2 3.

B ) 9 2 0 .

C ) 1 5 1 8 D ) 1 5 2 1

C ) 4 1 8

C

A ) 9 5 0

B ) 1 5 3 6 .

B ) 4 2 0 .

D)17 E)18

e l

A ) 1 5 1 9

A ) 4 1 9

C)14

a l c u l a r

E)0 Calcule AxB si MCM(42A;6B)=8 064 y MCD(77A;11B)= 88.

5.

;

B)15

2.

D)3

resultado. A)16 B)15. C)14 D)17 E)18 8. Al hallar el MCD de dos números por el Algoritmo de Euclides, se obtuvo como cocientes sucesivos:1;2;1y3. Calcule dichos números si la diferencia de ellos es 48. A)180 y132. B)190 y145 C)195 y130 D)205 y140 E)210 y 131 9. La suma de dos números es 1200, al Hallar el MCD por el Algoritmo de Euclides se obtuvieron los siguientes cocientes:3, 3 y 2. ¿Cuál es el mayor de los números?

7.

10.

Halle el MCD(119;68) por el método del Algoritmo de Euclides. A)16 B)15 C)14 D)17. E)18 Al calcular el MCD de dos números por el Algoritmo de Euclides se obtuvieron por

Se desea diseñar una caja cúbica de volumen

32 | C E P R U 2 0 1 5 A)60. B)65 C)64 D)67 E)68 11.

Si es N un nú me ro ent ero po siti vo, y � � � �

( ;

4�

; 3�

)

= 72 0 2

H al la r N . A ) 6 0.

3

, B ) e x p r e s a d a e n

D ) 6 7 E ) 6 8 12.

Calcule la suma de dos números PESI, tal que su diferencia es 7 y su MCM sea 330. A)30 B)37. C)34 D)31 E)32 14. Se sabe que A=12nx10 y B=10nx12, además A y B poseen 20 divisores comunes. Hallar � =n. A)2.

C)4 �

� =D)3 E)0 � =

c i f r a s , d e l M C D ( A

B)1 C)4 D)3 E)0 16.

15.

Halle el valor de n en los números: N1=45x60n y N2=45nx60, si

2

Al calcular el MCD de los números A y B, mediante el Algoritmo de Euclides: ̅( 2 � ) � � ( ) ̅( ) 0 ( ) ( 2 � − 2 )

33 3 … 3(4 20 cifr as

)

�

=

l a s

A)2.

B)1

l a

d e

se sabe que el MCM de dichos números es 12 veces su MCD

13.

Ha l l e

s u m a

B)25 C)24 D)21

E)22

l a B a s e B i n a r i a , s i :

B ) 6 5 C ) 6 4

A)20.

7

7

7

…

7(

8)

20 cifras

mínimo

para almacenar jabones cuyas dimensiones por los Se obtuvo por lados son 10cm, cocientes sucesivos 12cm y 15 cm. 2;3;4;2y3 en ese Calcule cuántas de orden. Determinar estas cajas se a2+b2 si la tercera necesitarán para división se hizo por empaquetar un lote exceso. de 7200 jabones, si se desea que la A)70 B)88 caja contenga, la C)77 D)99 menor cantidad de E)90. jabones y no sobre espacio vacío

3 3

A R I T M É T I C A | 33 17.

El MCM de cuatro números consecutivos es 5460. Calcular la suma de los 4 números, si el menor de dichos números es múltiplo de 3. A)38 B)54. C)58 D)60 E)52

18.

Se sabe que la diferencia entre el MCM y el MCD de tres números es axbxc, donde: a,b y c forman una progresión aritmética creciente de razón 10 y en ese orden. Calcular el mayor valor de ellos, si se �11

sabe que � = 78 y además la diferencia entre el mayor y el intermedio es 26, y del mayor con el menor es 65. A)90 B)65 C)105 D)93 E)91. Se sabe que la diferencia entre el MCM y el MCD de tres números es 897, que la diferencia entre el mayor y el intermedio es 26 y que la diferencia entre el mayor y el menor es 65. Dar como respuesta la suma de dichos tres números A)184 B)183 C)182. D)179 E)176 20. Se calcula el MCD de los números: 1̅�̅6̅ y �̅�̅�̅ mediante el Algoritmo de Euclides y se obtienen 4 cocientes iguales que suman 8. Si la penúltima división se realizó por exceso. Calcular a+b A)4 B)6 C)7 D)5. E)8

A)1350. B)1332. C)1380 D)1300 E)1360 25. Si se cumple: ���( ̅�̅�̅,(̅2̅�̅)̅0̅ ) = 120 ���( �̅�̅,(̅2̅�̅)̅0̅ ) = �2 Hallar a+b+c. A)6

26. Dados tres números: A,B y C, se cumple: MCD(A,B)=17;MCD(A,C)=17; MCD(B,C)=17;MCM(A,B,C)=1785 y A+B+C=255.

19.

21.

Indicar el mayor de dichos números A)125. D)120

Hallar en qué cifra termina el MCM de los números: A=7862-1; B=71293-1 A)6 B)7 C)8 D)4. E)5

28.

Sabiendo que la suma del MCD y el MCM de dos números es 703. Hallar la suma de estos números. Si se sabe además que el MCD es el mayor posible y los números no son divisibles entre sí. A)327 B)409 C)407. D)410 E)411

29.

Tres corredores A;ByC parten juntos de un mismo punto de un círculo de 3600m de longitud, la velocidad de A, B y C es 75m/min., 50 m/min. Y 1 m/seg. Respectivamente. ¿Dentro de cuánto tiempo volverán a pasar juntos por la línea de partida? A)750 B)720. C)780 D)740 E)730

��� [ 13𝐾5𝐾 ; ; 8𝐾 Calcular k + 1. A)6 22.

14

] = 520

B)4 C)8. D)9 E)7

Para dos números se sabe que la suma de su MCD y su MCM es 770 y diferencia de los mismos es 700. Hallar la suma de los dos números. Sabiendo que no son divisibles entre sí A)350. B)320 C)280 D)300 E)360

23.

Al multiplicarse dos números por un tercero se obtiene que su MCD es M1 y cuando se dividen por dicho tercer número, el MCD es M2. Hallar el MCD de dichos números. A)

√

�

B)

�

1

2

�2

�1

C)

D)

� 1

�1

30. Si: A-B=5 y el MCM(A,B)=150. Hallar A+B A)50 B)51 C)52 D)53 E)55. Si: A = amx(a+1)2nxb7 B=(a+1)nxam+1x72 Si A y B tienen 20 divisores comunes, ¿Cuántos divisores impares tiene A, sabiendo que es mínimo? A)50

B)56. C)52 D)53

E)55

�2 E)

�2

24.

7

B)123 C)118 E)119.

27.

Si se cumple:

7

B)4 C)8 D)9 E)5.

√� � . 1

2

El MCD de (̅�̅+̅1̅)̅(̅�̅+̅3̅)̅(̅�̅+̅5̅) y el que resulta al invertir el orden de ello es 36. Hallar la suma de dichos números

Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división, lo cual nos induce a señalar que se tiene dos clases de razón. Razón aritmética Es la que se obtiene mediante la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades de la otra. Ejemplo: Los automóviles A y B se desplazan con velocidades de 24 m/s y 20 m/s respectivamente, comparemos sus velocidades:

Valor de Razón Aritmética 24m/s – 20m/s

=

la razón 4m/s

Antecedente Consecuente Interpretación: La velocidad del automóvil “A” excede en 4 m/s a la velocidad del automóvil “B” Razón Geométrica Es la que se obtiene mediante la división y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contienen la unidad de referencia.

34 | C E P R U 2 0 1 5 [Suma de extremos] = [suma de medios] Dependiendo del valor que asumen los términos medios las proporciones aritméticas presentan dos tipos.

Ejemplo: Los edificios M y N tienen una altura de 48 m y 36 m respectivamente, comparemos sus alturas (en ese orden):

1.

Razón Geométrica  Antecedente 

48m

Consecuente 

36m

4 3

Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo: Halle la cuarta diferencial de los precios de tres artículos que son: S/. 50, S/.34 y S/.29 S/. 50 - S/.34 = S/.29 - S/ d





Las alturas de los edificios M y N son entre sí como 4 es a 3 porque:

cuarta diferencial luego: d = 13 NOTA Convencionalmente se asumen los términos de la proporción aritmética en el orden como se presenta en el texto



Altura de M: 4(12m) Donde: 12m es la unidad de referencia.



Valor de la razón Interpretación:

MAGNITUD

CANTIDADES

X

a yb RAZÓN

Aritmética

Geométrica

a

a–b=R

K b

Términos a: antecedente b: consecuente R y K: valores de las razones NOTA: Cuando en el texto se mencione solamente razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón PROPORCIÓN Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. Proporción aritmética Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones aritméticas. Ejemplo: Se tiene cuatro artículos cuyos precios son: S/.15, S/.13, S/.9, S/.7. Los cuales se comparan mediante la sustracción del siguiente modo: S/.15–S/.13 = S/.2 S/.15 - S/.13 = S/.9 - S/.7 S/. 9 –S/.7 = S/.2

Términos Médios

Interpretación: El precio S/. 15 excede a precio de S/. 13 tanto como el de S/. 9 excede al de S/.7. Ejemplo: Forme una proporción aritmética con las edades de 4 alumnos y que son: 15 años, 17 años, 18 años y 14 años. T. Extremos i) 18 años - 15 años = 17 años - 14 años

2do  

3er

igualdad se obtiene lo siguiente: Extremos Medios * 18 años+14 años = 17años+15 años 32 años = 32 años



Ejemplo: Forme una proporción aritmética continua con los volúmenes de 4 recipientes y que son: 19 cm3, 15 cm3 y 11cm3. Ejercicios: 1. Calcule la media diferencial de las temperaturas 35º y 17º 2. Halle la tercera diferencial de los pesos 41 kg. y 35 kg. Resumiendo PROPORCIÓN ARITMÉTICA Discreta Continua Extremos Extremos a a – b = b - c

– b = c - d

Medios

Medios

b: media diferencial de a y c c: Tercera diferencial de a y b

d: Cuarta diferencial de a, byc

Proporción geométrica Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas. Ejemplo: Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son: 21L 7L; 15L y 9L, las cuales se comparan mediante la división del siguiente modo:

21L 7L 3 21L

7L 15 L 5L 3



15 L 21L y 5L 5L

7L y 15L

Interpretación: La capacidad de 21L es a la capacidad de 7L como la de 15L es al de 5L. Ejemplo: Forme una proporción geométrica con las velocidades de 4 automóviles y que son: 15m/s; 20m/s; 9m/s y 12m/s. Resolución:

1.

15 m / s 9m / s 3   20m / 12m / s 4 s

Extremo: 15 m/s y 12 m/s Medios: 20 m/s y 9m/s Valor de cada razón geométrica: 3

4 2.

De donde podemos concluir que en toda proporción aritmética:

4to

B. Continua. Cuando los valores de los términos medio son iguales.

T. Medios Llevando los extremos y medios a un solo miembro de la

 

1er  Tér min oTér min oTér min oTér min o        

Altura de N: 3(12m)   Por cada 4 unidades de 48 m hay 3 unidades de 36 m  Las alturas de los edificios M y N están en la relación de 4 a 3 En general

 

20 m / s 12 m / s 4 15m / s 9m / s  3

Extremo: 20 m/s y 9 m/s

Medios: 15 m/s y 12m/s Valor de cada razón geométrica:

4 3

* Llevando los términos medios y extremos a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente Para razones geométricas equivalentes: Extremos Medios (15 m/s)(12 m/s) = (9m/s)(20 m/s) 180 =180 a a a 1

Extremos Medios (20 m/s)(9 m/s) = (12m/s)(15 m/s) 180 =180 De donde podemos concluir que en toda proporción

b1

1

a n b b 1

2

3

n b k n

k

Ejercicio:

b  b 2

3

n

Si

Calcule la cuarta proporcional de las estaturas de 3 estudiantes y que son: 1,6 m; 1,2m y 1,4m.

n

n



Ejercicios: 1. Halle la media proporcional de las obras realizadas por dos obreros y que fueron: 20m2 y 45m2. 2. Calcule la tercera proporcional de la longitud de dos pizarras y que son: 1,6m y 2,4m.

n



 b  n 

cambia 

a

b  k b c

se verifica:

a  b ck 2 2 ck ck ck  k ck c

Resumiendo: 

a b  b

a

b c d    k b c d e

Se verifica que:

b: Media proporcional de a y c. c: Tercera proporcional de a y b.

d ek 2

c dk ek Propiedades de la Proporción

b

a n 

III)Serie de razones geométricas equivalentes continúas.

Ejemplo. Forme una proporción geométrica continua con las medidas de tres ángulos y que son: 12º, 18º y 27.

c

n

producto de antecedentes n (razon) producto de consecuentes

Continúa. Cuando los valores de los términos medios son iguales



n

a  a  a 3   = 1  2      b b  b  1  2   3 

(1er.Tér min o) (3er.Tér min  o) (2da.Tér min o) (4to.Tér min o)

a

bn

II.- El producto de los antecedentes sobre el producto de los consecuentes hace variara la razón:

proporción en el orden como se presentan en el texto.

Para la proporción:

razon

a

a1 a 2 a 3 

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Continua

k

suma de antecedentes suma de consecuentes razon

NOTA Convencionalmente se asumen los términos de la

d: Cuarta proporcional de a, b y c

an

 3  b2 b3

No cambia 

* Dependiendo del valor que asumen los términos medios, las proporciones geométricas presentan dos tipos: A. Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo: Formar una proporción geométrica discreta con las notas de 4 estudiantes y que son: 20; 16; 15 y 12

a c  b d c



a a  a 1 2 3 b b b 

[Producto de Extremos]=[Producto de Medios]

Discreta

2

I.- La suma de los antecedentes sobre la suma de los consecuentes No hace variar la razón:

geométrica:

B.



b ck ek se cumple:

3

a bk ek

d

4

Remplazando tendremos:

B

ek

4

ek x

A

EJERCICIOS

3



ek ek

3

2



ek ek

2



ek e

k

1.

Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I)

En un proporción aritmética continua, se llama tercera proporcional a uno de sus términos extremos.

II)

Una proporción aritmética es discreta cuando los términos medios son iguales.

III) Una proporción aritmética es continua cuando los cuatro términos de la proporción son diferente entre sí.

IV) En una proporción discreta, se llama cuarta proporcional a cualquiera de sus términos.

a

b

c

   13. Si: 7 4 12

A) VFVF B) FVFV C) FFVV D) VFFV E) FFFF

d

6

y ab + cd = 2500, halle el valor

de: a + c 2.

En las siguientes proposiciones, escribir con (V) si es verdadera o con (F) si es falsa:

ac



bd

a b d



A) 56

, entonces

a

c

4.

B) 40

5.

B) 8

C) 4

don

D) 30

a 2

16.

64 7.

Si

B) 40



m

m



n

: A) 9 8.

9.

17.

3

B) 18

C) 90

n 8



D) 95

E) 54 a

D) 27

B) 40

C) 32

D) 16

B) 40

C) 32

D) 16

A) 40m

A) 36 18.

E) 30

A) 29

E) 56

E) 56 20.

C) 27 D) 33

E) 37

12. La suma, diferencia y producto de dos números están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. Hallar los números. A) 6 y 12

B) 4 y 16

D) 8 y 14

E) 2 y 8

C) 6 y 18

2



 2

n 147  B) 30

, .

2

p 48

C) 42

D) 45

E) 32

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

B) 52 y 36 E) 42 y 20

C)48 y 36

La edad de Noemí es a la edad de Carolina como 3 es a 2. Si la edad que tendría dentro de 28 años es una vez más la edad que tenía hace 10 años ¿Cuántos años tenía Noemí hace 7 años? B) 30

C) 41

D) 26

E) 31

En una proporción aritmética continua los extremos están en la relación de 9 a 5. Si la diferencia de los cuadrados de los términos de la segunda razón es un número de tres cifras, que es el menor posible, hallar la media diferencial. A) 12

22.

K

4

Al empezar la fiesta de cumpleaños de Juancito, se pudo observar que la asistencia de los varones con respecto a las mujeres era como 13 a 9. Después de 3 horas, en la fiesta se observa que llegan 8 varones y 4 mujeres. con lo cual la razón de varones a mujeres es de 3 a 2. ¿Cuántos varones y cuantas mujeres habían al inicio de la fiesta?

A) 29 21.

E) 48

p 32

A) 36 y 27 D) 45 y 32

B) 30m C) 50m D) 45m E) 55 m

B) 30

E) 24

En una reunión se observan que el número de varones y el de mujeres están en la relación de 7 a 9 respectivamente. ¿Cuántas parejas deben retirarse de la reunión para que por cada 15 mujeres haya 11 varones; si el número de mujeres que había al inicio excede en 28 al número de varones que hay al final? A) 10

19.

D) 45

aa0K K03

2

E) 100

11. En una proporción geométrica continúa, el producto de sus cuatro términos es 1296 y uno de sus términos extremos es 3. Hallar la suma de los términos de la proporción

7

m 27 

5

10. Si Juan le da a Pedro 10m de ventaja para una carrera de 100 m; y Pedro le da a Carlos una ventaja de 20 m para una carrera de 180 m. ¿Cuántos metros de ventaja debe dar Juan a Carlos para una carrera de 200 m?

n 98



Halle:

, el valor de m + p es:

C) 36

D) 15

C) 40

2

además

.

8 p

C) 20

Si se cumple que:

3

5 10  B  C

B) 36

2

E) 5

y

B) 4

A B B C A C   y 3A + 2B – C = 240 9 11 10

m 18

Si la suma de los primeros términos de una proporción geométrica es 32, la suma de los segundos términos es 16 y la diferencia de sus consecuentes es 6; entonces la diferencias del número mayor y el menor , es: A) 48

e g   k f Si: b d y además h

A) 30

La suma de 2 números excede en 36 a su diferencia. Si el menor es respecto al mayor como 3 es a 8, el número mayor es: A) 48

c

Halle: A + B – C

respectivamente. Si se suma 175 al primero y 115 al segundo, se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el número mayor? A) 80

E) 14

E) FFV

E) 90

D) 2

proporcionales

D) 36

Halle el valor de “k”

D) FFF

Se conoce que A B C 1200 además: A Por lo tanto, obtener el valor de A + B + C A) 36 B)18 C) 42 D) 72 Dos números

C) 18

+ c + e + g = 88

La suma, la diferencia el cociente de dos números enteros positivos están en la misma relación que 9,7 y 2. La cifra de las decenas del producto de dichos números es: A) 1

6.

C) 60

E) 100

a + c + f + h = 43 a

Hallar la cuarta diferencial de 100 y la tercera diferencial de 120 y 90; y de la media proporcional de 100 y 49 A) 15

B) 24

A) 9 C) FVV

D) 95

b + d+ e + g = 67

La secuencia correcta es:

3.



15.

III) En toda proporción geométrica, la suma de los antecedentes es a su diferencia, como la suma de los consecuentes es a su diferencia.

B) VVV

C) 90

14.

II) En toda proporción aritmética, el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios

A) VFV

B) 80

Si 8 es la cuarta proporcional de “a”; 6 y “b”; y “a” es la cuarta proporcional de “b”, 16 y 48. Hallar a + b

a c  b d

I) Dada la proposición geométrica

A) 75

B) 14

C) 21

D) 28

E) 30

En una proporción geométrica discreta cuya razón es un número entero y positivo, el primer consecuente es igual al doble del segundo antecedente. Si la razón aritmética de los extremos es 136. Halle la suma de los antecedentes. A) 156

B) 168

C) 172

D) 180

E) 192

23.

La suma y el producto de los cuatro términos de una proporción continúa, son respectivamente 192 y 194481. Calcule la diferencia de los extremos. A) 75

24.

B) 86

C) 104

D) 144

de “C” es a la de “D” como 8 es a 9. Si cuando “B” nació, “D” tenía 27 años, ¿cuánto tenía “C” cuando “A” nació? A) 26

E) 156

25.

C) 14

D) 16

A) 10

I)



B) 28

C) 20

D) 25

E) 36

20 b 50 c 3   r 11 20 50 c 6 a b a b c 1 r y

E) 18

Los términos de una proporción aritmética son proporcionales a 9;7; 10 y 8. Si al primero se le suma 10, al segundo se le resta 20, al tercero se suma 20 y al cuarto se le resta 20, se forma una proporción geométrica. Determine la razón de la proporción aritmética.

D) 32

11 a

cada partida se gana o se pierde S/. 50? B) 12

C) 28

28. Sea r > 1 Si:

Dos personas A y B juegan a las cartas, inicialmente A tiene S/. 2 200 y B S/.4400. Después de jugar 20 partidas, la razón entre lo que tiene A y lo que tiene B es como 3 a 8. ¿Cuántas partidas ganó B, si en

A) 8

B) 24

Hallar el valor de r A) 8

B) 4

C) 2

D) 6

E) 10

29. Sea a, b, c y d números naturales tales que

a b

E) 30

a c

b  k, {1;2} d

k N c

II)d c 39 26.

En una proporción geométrica continua el producto de los antecedentes es 400 y el producto de los consecuentes es 6 400. Hallar la suma de los 4 términos de la proporción. A) 250

27.

B) 320

C) 240

D) 280

Entonces el valor de “d – b ” es : A) 10

B) 28

C) 20

D) 25

E) 30

E) 260

La edad de “A” es a la de “B” como 2 es a 3; la edad de “B” es a la de “C” como 9 es a 20; la edad

(Recta) MAGNITU D:

(A1 , B1 )

Se llama magnitud a todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución); el cual se puede medir directa o inversamente.

(A2 , B2 )

CANTIDAD : Es valor particular de una magnitud. Ejemplo: MAGNITUD

CANTIDAD

Longitud

2120 km.

Velocidad

30km/h

Peso

300 kg.

I) MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP) Dos magnitudes son D.P. si cuando uno de ellos aumenta o disminuye, entonces la otra magnitud aumenta o disminuye en la misma proporción. MAG.

VALORES CORRESPONDIENTES

A

…

B

…

CONDICION: A (D.P.) B ↔ Es decir:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA: A (DP) B

II) MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP) Dos magnitudes son I.P. si cuando uno de ellos aumenta o disminuye, entonces la otra magnitud disminuye o aumenta en la misma proporción. MAG.

VALORES CORRESPONDIENTES

A

…

B

…

CONDICIÓN: A (I.P.) B

↔

Es decir:

A1 B1 A2 B2 k También:

; A=k 1

B

REPRESENTACIÓN

PARTES

DP

GRÁFICA: A (I.P.) B

(Rama de la hipérbola)

•

REPARTO SIMPLE INVERSO: Es cuando el reparto se realiza en forma IP a los índices.

(A1 , B1 ) RECORDAR:

(A2 , B2 ) Ejemplo. Repartir 780 en 3 partes que sean IP a los números 6; 9 y 12 PROPIEDAD ES

PARTES IP

Sean las magnitudes A, B, C, D y E: 1.

A DP B

↔

2.

A IP B A IP B

↔ ↔

3.

A DP B

↔

4.

A IP B Si :

5.

DP

B DP A B IP A 1 A DP 𝐵

↔

↔

k=

↔

MCM (6, 9 y 12) = 36;

Si : •

REPARTO COMPUESTO

Es cuando el reparto se realiza a dos o más grupos de índices. Ejemplo REPARTO PROPORCIONAL: Es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste en dividir una cantidad en varias partes, las cuales deben ser DP o IP a ciertos valores llamados índices de reparto o indicadores.

Repartir 2 225 en 3 partes que sean DP a los números 3; 5 y 8 e IP a los números 4; 6 y 9 PARTES DP DP

1. REPARTO SIMPLE Es simple si el reparto, si el reparto se realiza en varias partes proporcionalmente a un grupo de indicadores. • REPARTO SIMPLE DIRECTO. Es cuando el reparto se realiza en forma DP a los indicadores. Ejemplo. Dividir 600 nuevos soles en tres partes que sean DP a 7, 4 y 9.

EJERCICIOS

1. Del gráfico mostrado, calcule

nk y

A .

(x,y)

A

18

9

n 12

O b

A)2/3 B)1/2

O

A)7

k 15

B)9

y

C)12

30

1

35

B

D) 3

5 E) 4

2. El siguiente gráfico corresponde a la relación entre magnitudes que intervienen en un fenómeno. Hallar b, si el área sombreada es 36 u2.

2

C)2/5

B E)3/2

D)3/5

3. Si A varia proporcionalmente a B, al cuadrado de C e inversamente proporcional a D. Si cuando A = 8, B = 5 y C = 4 entonces D = 2. ¿Cuánto valdrá B cuando A = 2D y D = 4C? A)120

B)160

C)40

D)80

E)60

4. El siguiente cuadro muestra los valore s de las magnitudes de A y B que guardan cierta relación de proporcionalidad. Calcular x + y.

A–2

A

2

x

8

18

x

B

3

24

y

21

6

A)30

B)23

C)32

D)16

y

E)20

5. Sean A, B y C magnitudes. Se sabe que: A DP

O 20 30

C (B: cte.)

A

A IP B (C: cte.) Si cuando A aumenta en 60%, C aumenta en 44%, ¿Qué pasa con B?

A)12

C) Disminuye en 25% D) Aumenta en 75%

A) 14

E) No aumenta ni disminuye

7.

B) 30%

C) 25%

D) 40%

E) 15%

A) 13

A

80

a

25

B

10

2

10

C

40

2

b

Calcular: “a + b” C)152

D)112

Sean las magnitudes A, B y C, siendo A IP 3

D)16

E)20

B) 14

C)15

D)16

E)17

B

A DP C cuando B es 15. Si el precio de un diamante es DP al cuadrado de su

A

8

12

100

B

16

x

25

peso. ¿Cuánto se perdería si un diamante se rompe en 2 pedazos, siendo uno el triple del otro? Si el precio del diamante cuesta $32000.

C

y

3

5

A) $13 000

B) $12 000

D) $12 400

E) $13 600

Calcular: x+y B)75

C)85

D)83

A

2

16

54

250

B

60

30

20

b

Hallar b. B)

C)12

D)6

C) $11 600

16. El precio de una esmeralda es D.P. al cuadrado de su

E)90

peso. Si una esmeralda se parte en 2 pedazos, uno de los cuales tiene como peso 3/5 del otro, sufre una pérdida de S/. 24 000. ¿Cuánto costaba la esmeralda antes de romperse?

Se tiene el siguiente cuadro de valores:

A)13

C)18

E)105

cuando C es constante, constante.

9.

B)12

se observa que tiene un huequito en la parte de atrás. Se sabe que con una velocidad de 40 km/h botaría 100 L. en 1h. Determinar cuántos litros habrá después de 5 horas de viaje si cada hora su velocidad aumenta en 10 km/h con respecto al anterior y partió con 50 km/h. se sabe además que si la velocidad es constante, el tiempo es DP al volumen y si el tiempo es constante, la velocidad es DP al volumen. A)5000 B)5100 C)5125 D)5200 E)5250

(B: es cte.)

A)80

32 62 D)30 E)32

14. Un camión cisterna tiene capacidad para 6000 L., pero

A es DP con B2 (C: es cte.) C es IP con A

8.

22 C)28

proporcional al cuadrado del número de mantenimientos anuales e inversamente proporcionales al número de horas anuales de trabajo. Si una máquina que trabaja 3600 horas anuales y tiene 3 mantenimientos anuales su tiempo de vida es 12 años, ¿Cuánto tiempo de vida tendrá una máquina que trabaja 4800 horas anuales y tiene 4 mantenimientos al año?

Sabiendo que:

B)192

n

13. El tiempo de vida de una maquina es directamente

Se tiene 2 magnitudes A y B que son I.P. Cuando A aumenta 6 unidades, B varía en un 20%. ¿Cómo varía B, cuando A disminuye en 4 unidades?

A)172

m

faltando 4 días para que se terminen los víveres 3 de ellos se regresan por lo que los víveres alcanzan para 3 días más. ¿Cuántas personas se quedan hasta el final del campamento?

B) Aumenta en 25%

A) 20%

B–2

8

12. Un grupo de amigos se van de campamento, pero

A) Disminuye en 75%

6.

B B)24

60

A)S/.50 000 D)S/.36 000

B)S/.20 800 C)S/.15 000 E)S/.51 200

17. Dos engranajes de 8 y 15 dientes están concatenados.

E)10

Cuando funcionan 5 minutos, uno a dado 70 vueltas más que el otro. ¿Cuál es la velocidad del engranaje pequeño en R.P.M.?

10. Si se cumple que: A DP B (C: cte.)

A IP C (B: cte.)

A)35

B)40

C)30

D)36,5

E)37,5

18. Una rueda A de 24 dientes engrana con otra rueda B de 12

Además: A

6

1

B

2

27

C

1

x

Calcular x+y, considere x 0 e y 0. A)18

B)16

C)10

D)12

A)120

B)1200

19. Si se cumple: E)15

11. Del gráfico y de la siguiente tabla, determinar “m + n + x + y”

dientes, la cual está unida mediante un eje a la rueda C que tiene 18 dientes, esta última rueda engrana con la rueda D de 54 dientes. Si la rueda A da 120 r.p.m., ¿Cuántas vueltas da la rueda D en 15 minutos? C)2400

D)1500

E)150

ASIGNATURA: ARI TMÉTI CA|

41 A DP B2 (B 20) A IP

de dinero y de cómo respuesta la suma de sus cifras. A)12

B (B 20)

B)6

C)10

D)8

20. En un fenómeno donde intervienen las magnitudes A y B B2

B 72 se cumple que A es D.P. a 3

B)320

C)80

D)180

cuadrados de 1, 1/2 y 1/4. Hallar la menor de las cantidades. C)40

D)60

E)100

C)3460

D)3560

E)3410

23. Se reparte una determinada cantidad de dinero entre 4 personas. Lo que le toca al primero es a lo del segundo como 2 es a 3; lo del segundo es a lo del tercero como 4 es a 5 y lo del tercero a lo del último como 6 es a 7. Si el último recibió 5600 n.s. La cantidad repartida es: A)19 000

B)19 400 C)19 600

D)16 800

E)20 000

24. Repartir 1953 en partes D.P. a los números: 18

5

y 5

20

C)8

D)10

516 ,

E)3

2a2 , 18 y

25. Repartir 540 en tres partes D.P. a

32 , siendo la suma de las dos últimas partes 420. Hallar el valor de “a”. A)6

B)4

C)2.

D)3

E)5

26. Al repartir N en tres partes A, B y C de manera que A es a B como 3 es a 4 y B es a C como 7 es a 3, se obtuvo como parte mayor 1400. Encuentre N. A)2000 D)2300

B)6400

B) 21 C) 12

D) 24

E) 18

las edades de tres muchachos resultando uno con S/.450, otro con S/.540 y el tercero con S/.270. ¿Cuánto menos hubiera recibido el mayor si el reparto hubiese sido en forma inversa a sus edades? A)S/.240

B)S/.230

D)S/.300

E)S/.250

C)3050 E)3250

27. Tres personas deciden repartirse cierta cantidad de dinero en forma directamente proporcional a sus edades 20, 25 y 30 años, pero luego cambian de opinión y hacen el reparto directamente proporcional a sus estaturas que son 1,2; 1,6 y 2 m. respectivamente, con lo cual el primero recibe 32 soles menos. Calcular dicha cantidad

C)S/.220

32. Repartir 42 entre A, B y C de modo que la parte de A sea el doble de la parte de B y la de C la suma de las partes de A y B. luego, el producto de las partes de A, B y C es: A)2058

¿Cuánto le corresponde al menor? A)6

B)5

E)610

31. Se ha repartido una cantidad en partes proporcionales a

3/7, 1/3, 3/8 y 0,5. Dar como respuesta la diferencia entre el mayor y la menor de las partes. B)3260

D)720

consecutivos decrecientes y a la vez I.P. a los números peor en orden creciente. Si la cantidad mayor obtenida es 9/19 de N. ¿Cuál es la suma de los 3 números consecutivos? A) 15

22. Repartir 33000 en 4 partes que sean D.P. a los números

A) 3360

E)144

30. N se divide en partes iguales que son D.P. a 3 números

21. Repartir 840 en partes que sean proporcionales a los

B)30

D)120

partes obtenidas forman una progresión aritmética. Calcular la mayor parte obtenida si la parte correspondiente a “m” es 720, además “m+n” es 7.

A)960 B)420 C)620

E)200

REPARTO PROPORCIONAL

A)20

A) 64 B)81 C)100

29. Al repartir cierta cantidad D.P. a 2, m y n las

, pero

B . Si cuando B = 9,

cuando B 72, A es I.P. a A = 40. Hallar A cuando B = 216. (B = 72 es un punto de enlace o continuidad). A)20

D)18 E)20

proporcionales a las raíces cubicas de 54, 128 y 686. La parte menor es:

E)12

se ha descubierto que cuando

C)16

28. El número 732 se divide en partes que son inversamente

Calcule A cuando B es 180; si A es 3 cuando B es 10. A)4

B)14

B)980

C)686 D)1856

E)2158

33. Una herencia consta de dos partes que deben repartirse proporcionalmente a las edades de tres hermanos. Se reparte la primera parte y se observa que a los dos mayores le corresponde S/300 y S/240 respectivamente. Se reparte la segunda parte a los dos menores, les corresponde S/360 y S/240. ¿A cuánto asciende la herencia total? (en soles). A)1750

B)1650

D)1600

E)1800

C)1700

34. Dividir 5/6 en tres partes que sean DP a 1/2, 1/6, y 1/4 e IP a 1/5, 1/8 y 1/3. Hallar la parte mayor. A)3/11 B)5/11 C)3/9 D)7/11 E)5/12

35. Cierta persona inicia un negocio después de 5 meses acepta un socio, el cual aporta 100 dólares menos que el primero, 3 meses después acepta un socio el cual invierte 500 dólares. Si el negocio duro un año al final del cual el primero y el segundo ganaron 180 y 70 dólares respectivamente. Calcular la ganancia del tercero.

A)100

B)9

C)8

D)11

E)12

La regla de tres es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos o más magnitudes proporcionales. De acuerdo a la cantidad de magnitudes que intervienen, la regla de tres puede ser simple o compuesta. 10.1 Regla de tres simple. La regla de tres es simple cuando intervienen solo dos magnitudes. La regla de tres simple puede ser a su vez directa o inversa. Regla de tres simple directa (R3SD). La regla de tres simple es directa cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales (DP). Ejemplo: Si 40 obreros trabajan 100 metros de carretera por día, ¿cuántos metros por día harán 70 obreros? Solución: Analizando el problema se tiene: A más obreros se hará más metros de carretera A menos obreros se hará menos metros de carretera Entonces las magnitudes son D.P.: Luego aplicando método práctico (multiplicación en aspa) se tiene: 40 obreros 70 obreros

100 m

Es lodo lo realizado (la obra en sí) y los inconvenientes o condiciones que posee el medio para la realización, de la obra. Ejemplos: Las medidas de la obra (largo, ancho, alto, profundidad, área, volumen, etc.), dificultad de la obra, resistencia al medio, etc. En forma esquemática se tiene: Se igualan los productos de multiplicar valores que siguen a una misma raya. Ejemplo: Sabiendo que 20 obreros, trabajando 6 horas diarias pueden hacer una obra en 10 días; determinar en cuántos días 30 obreros, trabajando 8 horas diarias pueden hacer una obra cuya dificultad es dos veces la anterior. Solución: Sacamos los datos y los vamos separando en los grupos de causa, tiempo y efecto: Causa

Tiempo

Efecto

20 obr 6hr. 10días 30 obr. 8hr. “x” días

1obra 1 dific. 1obra 2 dific.

Según este método se multiplican los valores siguiendo cada raya y los igualamos así: 20 . 6 . 10 . 1 . 2 = 30 . 8 . x . 1 . 1 x = 10

x m

Regla de tres simple inversa (R3SI) La regla de tres es simple inversa, cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP). Ejemplo: 45 obreros pueden hacer un edificio en 20 días; en cuánto tiempo harán 60 obreros la misma obra. Solución: Analizando el problema se tiene: A más obreros se terminará en menos tiempo A menos obreros se terminará en más tiempo Entonces las magnitudes son I.P.

REGLA DE TANTO POR CIENTO El tanto por ciento de una cantidad es el número de partes que se toma de ella considerándola equivalente a 100.o Es una varias centésimas partes de una unidad PORCENTAJES Es la aplicación del tanto por ciento respecto a una cierta cantidad. NOTACIÓN “� por ciento de 𝑵=

�

���

. 𝑵= �%𝑵” a) 𝑵= ���%𝑵 b) 𝑵+ �%𝑵= ���%𝑵+ �%𝑵 c) �(�%𝑵) = (� × �)%𝑵

OBSERVACIONES

�

4. �% del �% del �% de 𝑵=

���

Luego aplicando método práctico (multiplicación en 10.4 APLICACIONES CIENTO

paralela) se tiene: 45 obreros

20 días

60 obreros

x días

10.2 Regla de tres compuesta Resulta de comparar más de dos magnitudes D.P. ó I.P. Método de las Rayas.- Las magnitudes que participan se clasifican en tres grupos: Se igualan los productos de multiplicar valores que siguen a una misma raya. NOTA: Para hallar la incógnita utilizando el “método de las rayas”, las magnitudes que intervienen son clasificadas en tres partes que son: • Causa Es todo aquello que realiza la obra o acción, así como las condiciones que tienen para realizarla. Ejemplos: Hombres, animales, máquinas, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc. • Circunstancia Son las condiciones en el tiempo para realizar la obra. Ejemplos: Horas diarias, días, meses, años, raciones diarias, etc. • Efecto

�

.

��� DEL TANTO

�

.𝑵

. ���

POR

DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Aumento sucesivo consiste en determinar el aumento único equivalente de varios aumentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad. Dados los aumentos sucesivos del a%, b%, c% de N

Descuento sucesivo consiste en determinar el descuento único equivalente a varios descuentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad. Dados los descuentos sucesivos de a%, b%, c% de N.

APLICACIONES COMERCIALES En la actividad comercial es usual expresar las ganancias, las pérdidas y los descuentos como tanto por ciento de los precios. Precio de venta (Pv) y Precio de costo (Pc) Todo producto que se transfiere comercialmente tiene un precio. Para el vendedor, se llama precio de venta y para el comprador, precio de costo. El vendedor, puede vender en un precio mayor al que le costó, entonces tiene una ganancia (G), de modo que: PV = PC + G

42 | C E P R U 2 0 1 5 El vendedor, puede vender en un precio menor al que le costó, entonces hay una pérdida (P). PV = PC – P Los compradores, sobre todo los minoristas y mayoristas, compran a los distribuidores con descuentos sobre el precio de lista o precio fijado (PL), que generalmente es el precio al público. Entonces:

Para los vendedores: PV = PL – descuento Para los compradores: PC = PL – descuento

EJERCICIOS 1.

Si 12 obreros hacen una obra en 28 días en un 60% ¿Qué tiempo emplearan en hacer la misma obra? A) 10

2.

B) 22

B) 80

B) 45

B) 15

B) 94

C) 15 D) 23

E) 25

C) 20

D) 24

C) 96

D) 97

B) 6.91

C) 8.91

D) 9.91

E) 5.91

Para pintar un cubo de 10 cm de arista se gasto 12 soles. ¿Cuánto se gastara para pintar otro cubo de 15 cm de arista? B) 25

C) 27 D) 29

E) 26

La cantidad de granos de un maíz que entran en un balón esférico de 3 dm de diámetro es 120 ¿Cuántos granos entraran en un balón de 6 dm de diámetro? A) 920

B) 960

C) 970

D) 950

B) 230

C) 231

D) 235

B)5

C)8

D) 10

12. Se contratan 5 costureros que hacen 12 pantalones en 15 días, se pretenden tener 60 pantalones en 25 días ¿Cuántos costureros al igual de rápidos se deberán contratar además de los que ya están contratados? A)6

B)7

C) 9

D) 12

E) 10

D)5

E)6

C) 30

D) 40

E) 50

B) 103

C) 105

D) 104

E) 102

d) 12 albañiles y 14 peones se comprometen en hacer una obra en 30 días al cabo del quinto día se despiden a 4 albañiles y a 8 peones debido a que les dio 20 días mas de plazo para concluir la obra . hallar la relación de las eficiencias (albañil/peón). A)3/2

B)3/4

C)4/3

D)2/3

E)4/5

e) 80 obreros trabajan 8 horas diarias construyendo 480 una obra en 15 días ¿Cuantos días requieren 120 obreros, trabajando 10 horas diarias para hacer 960 de la misma obra? A) 12

B) 14

C) 15

D) 13

E) 16

f) Si 6 leñadores pueden talar 8 árboles en 8 días ¿En cuántos días talaran 16 leñadores 16 árboles si estos últimos son ¼ menor rendidores que los anteriores? A) 4

B) 6

C) 8

D) 14

E) 16

g) Si un viajero aumenta su velocidad de marcha en 1/3 ¿Cuántos horas diarias habrá de caminar para recorrer en 4 días el camino hecho en 6 días de 8 horas de marcha cada día en su velocidad normal. A) 6

B)7

C)8

D)9

E)10

h) Un contratista debe terminar una obra en 30 días Si inicia la obra con 10obreros trabajando 6h/d transcurridos 20 días han realizado el 50% de la obra ¿Cuántos obreros adicionales se debe de aumentar, para que trabajando 8h/d se termine la obra en el tiempo previsto? A) 10 i)

B) 11

C) 8

D)5

E) 6

Quince albañiles trabajan 12 h/d , durante 16 días , pueden hacer una zanja de 4 m de largo , 2 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Si 12 albañiles durante 18 días pueden hacer una zanja de 3 m de largo , 1,5 metros de ancho y 2 m de profundidad, ¿Cuántas horas diarias deben trabajar?

E) 234

E) 12

B) 20

A) 101

11. Un móvil va a una velocidad de 90 km/h emplea n horas para recorrer un trayecto , pero si aumenta su velocidad a 120 km/h empleara 2 horas menos , hallar n A)9

C)4

c) Una cuadrilla de 40 obreros se compromete a construir en 24 días cierta hora, al cabo de 18 días ha hecho 5/11 de la obra ¿Cuántos obreros tendrán que reforzar la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado?

E) 900

10. En una reunión a la que asistieron 378 personas se sabe que por cada 7 varones hay 11 mujeres ¿Cuántas mujeres hay en dicha reunión? A) 232

A) 10

E) 25

E) 99

B)3

b) 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días, en ese momento abandonan el trabajo 5 obreros ¿Cuántos días tardaran en terminar el trabajo los obreros que quedan?

E) 49

Despepitando 8250 kilogramos de mango se han obtenido 6750 kilogramos de pulpa ¿Cuál sería el importe que se tendría que gastar para obtener 9 kilogramos de pulpa si los mangos se compran a razón de 081 soles el kilogramo?

A) 20 9.

D) 44

A)2

E) 150

Con 6 toneladas de guano se pueden abonar 27 terrenos de forma cuadrada de 4 metros de lado ¿Cuántos terrenos de la misma forma de 3 metros de lado se podrían abonar con 12 toneladas de guano

A) 7.91 8.

C) 46

B) 13

A) 92 7.

D) 120

8 obreros pueden hacer una obra en 20 días después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros ¿Con cuántos días de atraso termino la obra? A)9

6.

C) 100

Un obrero recibe 50 soles por cada día que trabaja y 20 soles por cada día que no trabaja . si luego de 23 días recibe 910 soles ¿Cuántos días trabajo? A) 8

5.

E) 26

Una guarnición de 2200 hombres tienen provisiones para 62 días al terminar el día 23 se retiran 250 hombres ¿Cuánto tiempo podrán durar las provisiones que queda al resto de la guarnición? A) 40

4.

D) 5

Un regimiento debe tardar 5 días con marcha regular para llegar a su destino, pero en el momento de salir recibió la orden de que hiciese el recorrido en dos días menos, lo que obligo a aumentar la marcha diaria en 20km ¿De cuántos kilómetros fue el recorrido? A) 30

3.

C) 20

a) Dos secretarias copian 250 problemas en una semana ¿Cuántas secretarias serían necesarias para copiar 600 problemas en 4 días?

A)9 j)

B) 10

C)11

D) 12

E)13

Si 20 hombres pueden tumbar cierto número de muros o hacer 20 obras en 20 días y 12 hombres pueden tumbar 12 muros o hacer cierto número de obras en 12 días ¿Cuántas obras pueden hacer 10 hombres que tumban 15 muros? A) 9

B) 10

C) 15

D) 12

E) 16

k) Una agrupación de 1600 hombres tiene víveres para 10 días a razón de 3 rasiones diarias cada hombre. ¿Cuántos días duraran los víveres, si cada hombre toma 2 raciones diarias?

ASIGNATURA: ARI TMÉTI CA|

43 A) 10 l)

B) 20

C) 15

D) 16

E) 18

Se sabe que 30 albañiles trabajando 9h/d durante 18 días pueden construir 3 casas ¿Cuántos albañiles podrán construir 4 casas, trabajando a un ritmo de 8h/d durante 15 días? A) 50

B) 51

C) 52

D) 53

E) 54

m) 9 obreros se comprometen a realizar una obra en 24 días. si después del cuarto día legan 6 obreros mas ¿Cuántos días antes del plazo terminaron? A)5B)8 C)6

D)9

2.

b) 18

b) 17,5

d) 24 %

c) 36% d) 56,5%

b) 38

e)15 %

e) 43,5%

c) 36

d) 30

e) 42

En una población se determinó que el 35% son hombres y el 60% de las mujeres no fuman. ¿Qué porcentaje del total de personas son las mujeres que fuman? b) 20% c) 18% d) 26%

e) 30%

En una granja el 20% son patos, el 45% gallina y el resto conejos. Si el número de gallinas fuera el doble y el número de conejos fuera el cuádruplo, ¿Qué tanto por ciento del nuevo total serían los patos? b) 8%

c) 9% d) 10%

b) 80

c) 240

d) 160

e) 120

Ana lleva al mercado 4000 naranjas y encuentra que el 10% estaba malogrado y solo pudo vender el 60% de los buenos. ¿Cuántos quedaran sin vender? a) 1440

b) 1560

c) 2160 d) 1445

e) 1840

10. En la familia Rojas el 30% de los varones adultos es igual al 60% de las damas adultas, y el 15% de ellas es igual al 20% de los niños. ¿Qué porcentaje del total representan los niños? a) 20 %

b) 15 %

c) 30 %

d) 40 %

e) 25 %

11. ¿Cuál es el descuento equivalente a 3 descuentos sucesivos de 20%; 25%; y 30%? a) 55%

b) 52%

c) 60%

d) 58%

e) 59%

12. A qué descuento único equivale, los descuentos sucesivos del 10%, 20% y 50%? a) 60%

b) 65%

c) 64%

d) 70%

e) 62%

13. A qué aumento único equivalen los aumentos sucesivos del 20%, 40%, i 50%? a) 120%

b) 150%

c) 145% d) 152%

d) 225,4%

e) 35%

a) 90

b) 100

c) 110

d) 80

e) 85

b) 20

c) 23

d) 17

e) 18

a) Aumenta en 8% b) disminuye en 8% c) aumenta en 12% d) disminuye en 8% e) no varía 18. Si el 15% del área de un círculo es igual al 60% de la longitud de su circunferencia. Hallar el valor del radio. a) 10

b) 12

c) 8

d) 15

e) 16

19. En el estadio Garcilaso se ha disminuido 1/5 de su ancho y aumentado 1/5 de su largo. Si su área inicial era de 4000 m2, ¿cuántos metros cuadrados de su área ha variado? a) 400

b) 180

c) 160d) 200

e) 120 m2

20. Un artículo se vendió en S/.2080, ganando el 30%. ¿Cuál era su precio de costo? a) S/. 1500

b) S/. 1600

c) S/. 1650

d) S/. 1700

e) S/. 1800

21. Se vende un televisor por S/.6000 ganando el 20% del precio de venta más el 20% del precio de costo. Hallar el precio de costo del televisor. a) S/.1500 d)S/.4000

b) S/. 2000 e) S/.4500

c)

S/.3000

22. Un artículo se vende ganando el 24% de su costo; si el precio de venta fue S/. 744, hallar su costo.

e) 15%

¿Cuántos litros de agua se debe agregar a 80 litros de vino de modo que la cantidad de vino represente el 20% de la mezcla? a) 320

9.

e) 90

En una reunión hay 100 personas de los cuales el 70% son mujeres. ¿Cuántas parejas deben llegar a la reunión para que el número de hombres sea el 60% de las mujeres?

a) 7% 8.

c) 20 %

b) 62,5%

a) 23% 7.

d) 87,5

Si en una reunión social, el 75% de los varones es igual al 45% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de personas son mujeres?

a) 40 6.

c) 82,5

b) 10 %

a) 37,5% 5.

e) 30

¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número, es el 30% del 20% de los 2/5 del mismo número? a) 2 %

4.

d) 12

c) 25,4%

15. Del dinero que dispongo puedo comprar cierto número de lapiceros de tinta liquida y si este precio variase en 10% podría comprar 10 lapiceros mas. ¿Cuántos lapiceros podría comprar?

a) 16

El 80% del 175 por mil de N; ¿Qué porcentaje del 36% del 4 por 9 de N es? a) 27,5

3.

c) 15

b) 125,4%

17. ¿En qué porcentaje varía el volumen de un cilindro cuando su altura se reduce en 25% y la longitud del radio de la base aumenta en 20%?

El 9% de 45 es igual al 27% ¿de qué número? a) 24

a) 75,6%

16. El número de artículos que se pueden comprar con una suma de dinero aumentaría en 5, si se variase en 20% el precio de cada artículo, ¿Cuál es dicho número de artículos?

E)4

TANTO POR CIENTO 1.

14. Hallar un Aumento único que reemplace a 3 aumentos sucesivos del 5%, 10% y 20% respectivamente:

e) 162%

a) S/.650 S/.600

b) S/. 625 e) S/. 750

c) S/. 630

d)

23. Un artículo se vende perdiendo el 8% de su costo; si el precio de venta fue S/. 575, hallar su costo. a) S/.650 S/.700

b) S/. 625 e) S/. 750

c) S/. 630

24. ¿Qué precio se fijó para la venta de un artículo, si luego de sufr4ir un descuento del 15%, se vendió en S/. 544? a) S/.640

b) S/. 645

d) S/.725

c) S/. 930

e) S/. 750

25. Se vende un artículo en 120 soles ganando el 25%. ¿Cuál fue el precio de costo? a) 80

b) 72

c) 96

d) 90

e) 150

26. ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en 180 soles, habiéndose hecho un descuento del 20%? a) 225

b) 260

c) 240

d) 210

e) 200

27. Un artículo tiene un precio de costo de S/. 3300 ¿Cuál será el precio que debe fijarse para que, al venderlo con un descuento del 20%, se obtenga una ganancia del 25% sobre el precio de venta? a) 4400

b) 4500

d) 5500

e) 6000

c) 5000

d)

REGLA SIMPLE

DE

INTERÉS

INTERÉS: Es la ganancia, beneficio, o utilidad que genera un capital prestado, durante un cierto periodo de tiempo y según una tasa fijada en porcentaje. CLASES DE INTERÉS INTERÉS SIMPLE: (El interés no se capitaliza) El interés no se acumula al capital en cada intervalo de tiempo, retirándose el interés tan pronto como se produce, permaneciendo el capital constante durante el tiempo de préstamo.

ELEMENT OS • El capital (C); Suma de dinero que su poseedor la impone o la presta a determinadas condiciones para obtener ganancia o rédito. • El interés (I); Ganancia o beneficio o utilidad que produce el capital prestado durante cierto tiempo a una tasa porcentual fijada. • La tasa de interés (r%); Es la ganancia que produce cada 100 unidades de capital (expresada en porcentaje). • El tiempo (t); Período que dura el préstamo, el cual puede estar en años, meses o días. • El monto (M); Es la suma del capital con el interés.

LETRA DE CAMBIO: Es un documento legalmente expedido donde una persona llamada deudora o aceptante se compromete a pagar una cierta cantidad de dinero a otra persona llamada acreedor o girador durante un plazo establecido y a una taza porcentual. b) VALOR NOMINAL ( Vn ) : Es la cantidad de dinero que está impresa en un efecto de comercio. c) VALOR ACTUAL ( VA ): Es la cantidad de dinero en efectivo que se paga o se hace efectivo un efecto de comercio, antes de la fecha de vencimiento.

d) DESCUENTO (D): Es la disminución que se hace al Valor nominal de un efecto de comercio, por haber sido cancelada antes de la fecha de vencimiento.

e) TIEMPO DE VENCIMIENTO (t): El tiempo se considera desde la fecha en que se negocia la letra a la fecha de vencimiento. CLASES DESCUENTOS:

DE

1.- DESCUENTO COMERCIAL DC (Bancario abusivo o externo): Es el interés simple que genera el valor nominal durante el tiempo de vencimiento

DC =

Vn ×t×r 100

M = C + I Observaciones: 1) En el comercio se considera: • 1 año = 360 días. • 1 año común = 365 días • 1 mes= 30 días 2) La tasa (r%) porcentual que interviene en la formula siempre debe ser anual, si no es así, se considera una tasa anual equivalente considerando que 1 año tiene: 2% mensual = 2%(12) anual = 24%anual 4% trimestres = 4%(4) anual = 16%anual 3%quincenal = 3%(24) anual = 72%anual 0.5% diarios 0.5%(360) = 180%a 6% =bianual = 6%.anual = 3% anual 1 anual

=

VA ×t×r 100-tr

2.- DESCUENTO RACIONAL Dr (Matemático o Interno): Es el interés simple que genera el valor actual durante el tiempo de vencimiento.

Dr =

VA ×t×r Vn ×t×r = 100 100+tr

PROPIEDADES: Se cumple con respecto a una misma letra a tasas y tiempos iguales

D ×t×r

1)

2

Dc > Dr

5)

0.2%semanal= 0.2% 360 anual=10.3%a 7

INTERES COMPUESTO: (El interés se capitaliza) Es cuando el capital prestado se incrementa periódicamente con los intereses que produce, se dice entonces que los intereses se capitalizan.

2)

D

n i

REGLA DESCUENTO

DEL

Dr

a) EFECTO DE COMERCIO: Este documento tiene la función de representar una suma de dinero a través de: LETRA DE CAMBIO, PAGARE, VALE, GIRO, FACTURAS.

Vn×100 VA = 100+t×r

7)

Vn =

=

c

r

Dc -Dr

n

Var

NOTA: Ejemplo ilustrativo con fechas: ¿Cuantos días hay desde el 15 de Mayo al 13 de Agosto. 16 = 31 – 15

DESCUENTO: Es la rebaja que sufre el valor nominal de una letra de cambio, por ser hecha efectiva antes de la fecha de vencimiento. Matemáticamente el descuento es un interés simple. ELEMENT OS

100

6)

V c

4)

: Capital inicial r : Tasa de interés n : Nro. de periodos de capitalización

cr

r

D ×D 3)

M C 1r

Donde:

D -D =

16 15

30 31

MAY

31 días 30

JUN

13

31 JUL

13 AGOS

Entonces: 16 + 30 +31 + 13 = 90 días

ASIGNATURA: ARI TMÉTI CA|

45

EJERCICIOS A) Una casa cuesta S/. 250 000 y se desvaloriza uniformemente en S/. 25 000 por año. Si una persona tiene S/. 125 000 y los deposita en una entidad financiera al 4%, ¿Al cabo de qué tiempo podrá comprarlo?

N) El interés que produce un capital de S/. 2400 depositado durante 2 meses y 10 días con una tasa de interés del 16% cuatrimestral, es: A) 190

A) 2 años y 2 meses B) 4 años y 3 meses C) 3 años y 4 meses D) 4 años y 2 meses E) 4 años y 4 meses B) Calcule el beneficio que se obtiene al colocar S/. 1 200 al 6,25% semestral durante 300 días. A) 100

B) 120

C) 125

D) 110

B) 1 530 C) 280

D) 1 320

A) 50%

B) 36 000

D) 48 000

E) 50 000

1.

E) 115

E) 1 200

2.

C) 40 000

E) Un capital de S/. 2 648 se presta al 40% sobre el saldo deudor de cada trimestral. Si la deuda debe ser pagada con 3 cuotas trimestrales de igual valor, ¿Cuánto debe ser la cuota trimestral? A) 1 020,2

B) 1 024,8

D) 1 050,3

E) 1 060,2

3.

C) 1 064,8

F) Una señora solicita un préstamo de S/. 2 000 a una institución financiera. Cada mes debe amortizar 100 soles del capital prestado, y además pagar un interés al inicio de cada mes del 1% sobre el saldo deudor. Determine el interés total. A) 210

B) 220 C) 225

D) 230

4.

E) 235

G) Un comerciante depositó su capital al 7% anual y el monto que obtuvo fue S/. 6 470; pero si hubiese depositado al 3% trimestral el monto seria S/. 7 890. Halle la suma de cifras del capital. A) 14

B) 16

C) 18

D) 12

5.

E) 20

H) Si un capital depositado al 30% de interés ha producido un interés que alcanza al 60% del valor del capital, durante cuantos meses estuvo depositado. A) 14 I)

C) 10

D) 24

E) 12

Si los 5/7 de un capital colocado al 3%, producen anualmente 30 soles más que el resto colocado al 4%, entonces el valor del capital es: A) 5000

J)

B) 36

B) 3000

C) 4000

D) 2000

6.

E) 2500

Un capital de 200 nuevos soles, prestado durante 9 meses a un interés simple, se convierte en 212 nuevos soles. La tasa de interés del préstamo, es: A) 4%

B) 9%

C) 8%

D) 5%

B) 36%

C) 20%

D) 48%

A) 20%

B) 50%

C) 80%

D) 40%

E) 12%

E) 45%

M) Hallar el capital en nuevos soles que colocado al 6% quincenal, genera en dos meses un monto de 9300 nuevos soles. A) 3500

B) 6500

C) 5500

D) 4500

E) 7500

B) 70%

C) 10%

A) 1 800

B) 1 872

D) 2 000

D) 40%

E) 60%

E) 2 120

8.

C) 1 924

Faltando 2 meses para su vencimiento, el valor actual de una letra es S/. 42 000. Si 15 días después el descuento será S/. 94,5, calcule el valor nominal de la letra. A) 40 216

B) 41 212

D) 42 116

E) 42 126

C) 42 216

Lucero firma una letra de S/. 8 000 pagadera dentro de 18 meses, pero a los 10 meses la cancela. Se sabe que si la hubiera cancelado 2 meses antes ahorraría S/. 320 más que si la pagaba 2 meses después. Determine la cantidad de dinero que pagó Lucero por la letra. A) 4 780

B) 5 440

D) 7 200

E) 6 900

C) 6 500

Jenny ha firmado dos letras afectadas por la misma tasa de descuento, la primera de S/. 9 000 la que canceló cuando faltaban 73 días para su vencimiento, por lo que sólo pagó S/. 8 927. Determine en qué fecha vencía la segunda, si era de S/. 4 500 y al cancelarla el 17 de octubre le descontaron S/. 21. A) 17 de diciembre B) 3 de diciembre C) 28 de noviembre D) 25 de noviembre E) 15 de noviembre Una letra es pagadera dentro de 1 año, si se le descuenta comercialmente al 10% semestral y en lugar de un descuento racional del 30%, se recibirían S/. 64 más. Calcule el valor nominal de dicha letra.

D) 1 940 7.

K) Se prestó un capital por 45 días y produjo un interés igual al 6% de dicho capital. La tasa semestral, fue: A) 24%

E) 192

Si el valor actual y nominal de una letra de cambio están en la relación de 5 a 9, calcule el tiempo de descuento, sabiendo que se aplicó el descuento racional con una tasa del 20% cuatrimestral. A) 1 año y 6 meses B) 1 año y 2 meses C) 2 años D) 8 meses E) 1 año y 4 meses Una letra pagadera dentro de 7 meses tiene un valor actual de S/. 1548. Si 5 meses después se cancela pagándose con S/. 1728, halle el valor nominal.

A) 1 900

E) 6%

L) El monto que genera un capital en 10 meses es los 5/6 del monto que se obtendría en 15 meses. El porcentaje del capital que se gana en 6 meses, es:

D) 746

REGLA DE DESCUENTO

D) Se ha impuesto cierto capital durante 16 meses capitalizable cuatrimestralmente a una tasa de 5% mensual. Si se sabe que el interés generado en el segundo periodo, el interés en el cuarto periodo y el monto del segundo periodo suman S/. 101 280, halle el capital impuesto. A) 30 000

C) 298

O) Si un capital fue depositado durante 2 años y 6 meses y ha producido un interés igual a los 3/5 del monto. El porcentaje de interés impuesto, es:

C) ¿Cuál es el capital que durante 260 días, prestado al 3% bimestral, genera un interés de S/. 156? A) 1 000

B) 224

B) 1 800

C) 2 080

E) 2 820

Halle el descuento comercial, para una letra de S/. 54 000 soles, el día que el descuento racional sea los 9/11 del descuento comercial. A) 12 000

B) 10 000

D) 8 000

E) 13 000

C) 11 000

Se tiene una letra que vence dentro de un año descontado racionalmente al 60%. La suma de sus valores actuales dentro de 7 y 9 meses e S/. 1 920. Calcule el valor nominal de la letra. A) 1 920

B) 1 720

D) 1 150

E) 9 560

C) 1 560

9.

Hoy se firma una letra por una deuda de S/. 200, considerándola a un interés simple de 30% con vencimiento en 8 meses. ¿Qué tasa de descuento se debe aplicar a dicho efecto de comercio para que al descontarla comercialmente dentro de 2 meses no exista pérdida de dinero? A) 25%

B) 36%

C) 48%

D) 80%

E) 35%

10. Los valores nominales de tres letras son proporcionales a 2, 3 y 5 y sus vencimientos, en meses, son tres enteros consecutivos crecientes respectivamente. El vencimiento común es “x” días después del vencimiento de la segunda letra, halle el valor de x. A) 6

B) 9

C) 10

D) 12

E) 15

11. Una letra de cambio se descuenta racionalmente cinco meses antes de la fecha de su vencimiento, a la tasa de interés simple de 52% anual. Si el descuento resulto 182 soles, el valor nominal de la letra es: A) 1834

B) 1001

D) 3420

E) 1022

B) 22 000

D) 21 960

E) 21 600

B) 8340

D) 1080

E) 1440

C) 7320

I)

La cantidad de dinero que aparece escrita en una letra de cambio se llama valor actual. ( )

II) Si una tasa de descuento semestral es 5%, entonces la tasa equivalente anual es 10%. ( ) III: El descuento comercial siempre es menor que el descuento racional. ( ) A) FVF

B) VFF

C) VVF

D) FFF

E) VVV

15. Una letra de cambio de S/. 6 000 se cancela 3 meses antes del vencimiento. Si el descuento que se le hizo fue del 5% semestral, entonces se pagara en efectivo la suma de:

C) 22 500

SUMATORIA.- Se llama así a la representación abreviada de una suma.

Donde: xI representa a un número real i: contador que varía de 1 en 1. 1: índice inferior de la sumatoria n: índice superior de la sumatoria. ∑: Letra griega sigma y sirve para representar a una sumatoria. PROPIEDADE S. 1.

A) 6830

14. Con respecto al Descuento Comercial y Racional identificar las proposiciones Verdaderas (V) y Falsas (F).

C) 3401

12. Una letra de 24 000 soles vence dentro de 4 meses y 18 días y su tasa de descuento es de 48%. Si se paga dentro de 63 días, el monto a pagar por la letra, es: A) 20 500

13. Calcular el valor nominal de una letra, que descontable en 4 meses al 5%, da una diferencia de 2 soles entre el descuento comercial y el descuento racional.

, k fijo o constante.

2. ; k constante. 3. POBLACION.- Conjunto de personas, animales o cosas que tienen una característica común, la cual se desea estudiar. Hay poblaciones finitas e infinitas. Ejemplo: • Conjunto de empresas cuzqueñas. • Conjunto de estrellas en el universo. MUESTRA.- Es todo subconjunto de una población. DATO.- Es el resultado de medir una característica de un elemento de una población. También son los valores que asume una característica de naturaleza cualitativa o cuantitativa. ESTADÍSTI CA DEFINICIÓN.- Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos, técnicas para recopilar, organizar( clasificar) presentar y analizar datos con la finalidad de describir o hacer conclusiones válidas o tomar decisiones, sobre alguna característica de una población. CLASES DE ESTADÍSTICA.

A) 4850

B) 5800

C) 6150

D) 5450

E) 5850

16. La diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional de una letra de cabio, descontable por 4 meses al 5% anual es 2, el valor nominal de dicha letra de cambio, es: A) 8120

B) 7200

C) 7320

D) 7230

E) 694

1.-

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.- Conjunto de métodos estadísticos que resume, describe datos mediante tablas, gráficas y operaciones matemáticas. 2.- ESTADÍSTICA INFERENCIAL.- En base a una muestra se encarga de deducir resultados o probar hipótesis sobre una población. VARIABLES ESTADÍSTICAS.- Es una característica común en una población, puede tomar diferentes valores cualitativos o cuantitativos. NOTACIÓN: X, Y etc. VARIABLE CUALITATIVAS. NOMINALES.- No tienen un orden definido. Ejemplo: • Color de ojos de las quillabambinas. ORDINALES.- Cuando existe un orden determinado. Ejemplo: • Grado de instrucción de los que trabajan en Electro Sur. VARIABLES CUANTITATIVAS.- Se expresan en forma numérica su valor. DISCRETA.- Surgen por el proceso de conteo; son números enteros. Ejemplo: • Número de hijos por familia. CONTINUAS.- Cuando la variable asume un valor dentro de un intervalo real. Ejemplo: • Estatura de las personas. • Edades de las personas. • Salarios de las personas. TABULACIÓN DE DATOS DISCRETOS. Ejemplo.- Los siguientes datos se refieren a una encuesta realizada a 10 estudiantes sobre el número de celulares que poseen. a)0 Agrupar 2 estos 1 datos 1en una 3tabla de1 frecuencias. 1 2 b) Grafique el pastel. c) Trace el diagrama de barras y de líneas.

1

Solución MARCA DE CLASE.- Son los distintos valores que asume la variable.

2

X1 Xmin = 0; X2 = 1; X3 = 2; X4 = Xmax = 3 FRECUENCIA ABSOLUTA.- fi Es el número de veces que se repite una determinada marca de clase. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.F1 = f1; F2 = f1 + f2; F3 = f1 + f2 + f3; etc. f FRECUENCIA RELATIVA:

La varianza poblacional (σ2) La desviación estándar poblacional (σ) La mediana poblacional La moda poblacional.

h i = ni

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA. H1 = h1; H2 = h1 + h2; H3 = h1 + h2 + h3; etc. FRECUENCIA RELATIVA PORCENTUAL hI x 100% FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PORCENTUAL. HI X 100 Xi fi Fi hi Hi C 0 1 1 0.1 0.1 36 1 5 6 0.5 0.6 180 2 3 9 0.3 0.9 108 3 1 10 0.1 1 36 PROPIEDADES. 1.- 0≤ hi ≤ 1; 0≤ fi ≤ n;

f1 = F1;

ESTADÍSTICOS O ESTADÍGRAFOS.- Es una medida que describe una característica de una muestra, mediante un valor numérico. La toma de decisiones contiene un grado de incertidumbre: La media muestral( X ) • • La varianza muestral(S2) • La desviación estándar muestral(S) • La mediana muestra y la moda muestral. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.- Son valores que de manera condensada representan en un solo valor a un conjunto de datos, lo describen. Las más usuales son: • La Media aritmética. • La Mediana • La Moda. LA MEDIA ARITMÉTICA.Para datos no agrupados:

Fk = n.

REPRESENTACION DE DATOS CUALITATIVOS y DISCRETOS. DIAGRAMA DE BARRAS Y GRAFICO DE LINEAS-

; media poblacional

; media muestral.

Gráfico de líneas

Y para datos agrupados en tablas:

; Xi es la marca de clase. MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA.La media aritmética de los valores x1, x2 , … , xk ponderada por los pesos w1 , w2 , … , wk está dado por:

Xi: número de celulares perdidos. Fi : número de personas. DIAGRAMA CIRCULAR.

LA MEDIANA.- De un conjunto de datos ordenados creciente o decrecientemente, es el dato que ocupa la posición central; supera al 50% de los datos y es superado por el otro 50%. CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS.• Se ordena en forma creciente o decreciente. • Si el número de datos es impar, la mediana será el dato central.

NOTA: El diagrama circular solo sirve para 3, 4, 5 ó 6 marcas de clases o categorías. REPRESENTACIÓN DE DATOS CUANTITATIVOS. TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS. Cuando existen muchas marcas de clase o los datos asumen varios valores distintos; entonces conviene agruparlos en intervalos de clase. [Li [ 10 [ 14 [ 18

Ls > , 14 > , 18 > , 22 >

xi 12 16 20

fi 20 40 30

HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS.

•

Fi 20 60 90

Si el número de datos es par, la mediana será la semisuma de los dos datos que se encuentren en el centro.

PARA DATOS CLASIFICADOS. En tablas sin intervalos: • Hallar n / 2 Hallar Fj, frecuencia acumulada inmediato superior • a n/2 Se tendrá: Fi–1 ≤ n/2 < Fj–1 • Si : Fi–1 = n/2,

Me=

•

Si

Me = Yj

40 30 Polígono de frecuencias 20

PARÁMETRO.- Es una medida que describe una característica de una población, mediante un valor numérico y su cálculo requiere utilizar la población completa, por tanto las decisiones se tomarán con certidumbre total. Los más utilizados son: La media poblacional (µ)

y j-1 +y j

•

Fi–1 < n/2 ,

2

En tablas con intervalos, se aplica la fórmula:

Li : Límite inferior de la clase mediana. w: Amplitud de clase. n: número de datos. Fi : frecuencia absoluta acumulada, inmediato superior a n/2 ó frecuencia absoluta acumulada de la clase mediana. Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a Fi.

N: tamaño de la población.

; varianza muestral. n: tamaño muestral (para datos sueltos o no agrupados).

Primero determine n/2 y luego Fi (inmediato superior a n/2). LA MODA.- Es el dato que más veces se repite. La moda puede no existir (amodal), a veces hay dos modas (bimodal) o más (multimodal). CÁLCULO DE AGRUPADOS.

LA

MODA

PARA

DATOS

Primero determinar la frecuencia absoluta de mayor valor fj Li: Límite inferior de la clase modal. w: Amplitud de la clase modal. f i : Frecuencia absoluta de mayor valor. f i-1 : Frecuencia absoluta anterior a fi f i+1 : Frecuencia absoluta posterior a fi ∆1 = f i – f i-1 ∆2 = f i – f i+1 MEDIDAS DE DISPERSIÓN.- Son estadísticos o estadígrafos que miden el grado de dispersión o variabilidad de los datos respecto a un promedio. Estudiaremos solo la varianza y la desviación estándar. RANGO O RECORRIDO. R = XMÁX – X MIN

LA VARIANZA.- Es una medida muy utilizada, mide el grado de dispersión. Existen dos clases. σ2 : varianza poblacional. S2 : varianza muestral.

PARA DATOS TABLAS.-

CLASIFICADOS

EN

Xi : Marca de clase de la clase i - ésima. : Media aritmética muestral. fi : frecuencia absoluta de la clase i-ésima. k: número de clases o marcas de clase. DESVIACIÓN ESTÁNDAR.Viene a ser a la raíz cuadrada de la varianza. Existe desviación estándar poblacional (σ) y desviación estándar muestral (S). DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA. Es cuando su gráfico es simétrico. La media, mediana y moda coinciden; también cuando su primera frecuencia absoluta es igual a la última frecuencia absoluta etc. PRINCIPIO DE UNIFORMIDAD.- En la mitad de todo intervalo de clase se encuentra aproximadamente la mitad de los datos que hay en dicho intervalo y así sucesivamente. NOTA: En estadística por lo general se trabaja con muestras. La media mediana, moda y desviación estándar, se encuentran en las mismas unidades de los datos. La varianza en unidades de los datos elevado al cuadrado.

; varianza poblacional

EJERCICIOS 1.

Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes variables estadísticas: I.

“Nivel socioeconómico” Es una variable estadística cuantitativa

II.

“Número de hijos” Es una variable estadística cualitativa.

III. A)

2.

- La marca de clase es el punto medio de cada intervalo de clase - Las medidas de dispersión miden el grado de separación de los datos con respecto a un valor central. - La varianza para datos tabulados se puede expresar 2

“Peso de una persona” Es una variable estadística cuantitativa continua. VVV B) FFF C)FFV D) FVF E) FVV

como:

I.

El nivel de colesterol de los pacientes del hospital Lorena es una variable cualitativa ordinal

n

X i 1

i

II.

El número de accidentes de tránsito en la ciudad de Cusco es una variable cuantitativa discreta.

VVFF

B)VVVV

C)FFVV

D) VFVF

 i0  n  

   

¿Cuántas son falsas? A) 5 4.

B) 2

C)3

D)4

La estadística, se clasifica en: A) Estadística descriptiva y estadística informal. B) Estadística normal y estadística inferencial.

E)FVFV

C) Estadística uniforme y estadística inferencial.

De las siguientes proposiciones:

D) Estadística descriptiva y estadística inferencial. E) Estadística uniforme y estadística normal.

- La suma de las frecuencias absolutas simples es igual a 1. - En datos agrupados, la moda es la mayor frecuencia absoluta. - La moda no siempre existe y si existe no siempre es única. - En un diagrama de sectores 58% equivale a 205º - La moda y la mediana de los 1,1,2,5,4,5,6,7,5,9,8,10,10,5 poseen el mismo valor.

2

- Una muestra es una parte de la población seleccionada con el fin de obtener una información de la población de la cual proviene.

IV. La religión de los ciudadanos del cusco es una variable cualitativa ordinal

3.

2

S1 

En las siguientes proposiciones indicar (V) si es verdadero y (F) si es falso

III. El grado de instrucción de los padres de familia del CEPREU, es una variable cualitativa nominal

A)

 n  X i 

n

valores:

5.

Se tiene el siguiente el conjunto de datos. 2 3 3 5 7 6 7 5 8 4 7 5 2 9 1 7 6 4 2 3 7 6 8 9 7 6 3 2 6 4 Hallar la mediana. A) 5 B) 6 C) 5,5 D) 7 E) 6,5

E)1

6.

De las edades de cuatro hermanos, se sabe que la media es igual a 44años, la mediana es 42 años y la moda es 40 año. La edad del mayor de los hermanos es: A)

7.

54 B) 48 C) 52 D) 46 E) 50

En el siguiente diagrama circular se muestran las preferencias por cuatro universidades de 5000 alumnos de Educación Secundaria.

X

Halle:

+ Me + Mo

A) 42

B) 10

C) 60

D) 70

E) 80

11. Los siguientes datos representan el número de hijos de una muestra de 50 personas. Calcule el promedio de la mediana y la moda:

¿En cuánto excede el total de alumnos que prefieren a la UNI y la UNSAAC, al número de alumnos que prefieren a la UNAC y UNMSM? A) 800 8.

B) 900 C) 1000

D) 1200

E) 1500

Se preguntó a 500 ciudadanos, sobre la gestión del alcalde distrital, y sus respuestas se resumen en el siguiente diagrama de sectores circulares. Calcule el número de personas que opinan que la gestión del alcalde fue buena.

A) 4

B) 3

C) 2

D) 5

E) 1

12. Dada la siguiente distribución de frecuencias:

A) 75 B) 55 C) 65 D) 60 E) 70

9.

Se hizo una encuesta sobre el número de personas aficionadas a las matemáticas y se las clasifica por edades. luego se hizo el siguiente histograma.

Se sabe además que: h1 = h5 y h2 = h4 Determinar la suma de: “h5 + h2” A)

1

B)

13.

40 30

C)

3

2 f

1

1

D)

4

1

E)

5

3 4

En el curso de matemáticas I; se tienen las notas de los alumnos distribuidas según el siguiente histograma de frecuencias: Alumnos

26

14

18

12

12

10

8

8 10 20 30 40 Determinar el tamaño de la muestra. A) 35

B) 60

C) 70

5

6

Edad

D) 134

4 E) 135

2

10. Del siguiente histograma de frecuencias con ancho de clase común: 4 6 8 10 12 14

NOTAS

La nota promedio del curso, es: A) 8,

3%

B) 8 ,6%

C) 8, 46

D) 9, 2% E) 9, 12 6 % 14. Si la siguiente distribución de frecuencias, representa el número de cursos en el que están matriculados 50 estudiantes de la Facultad de Medicina Humana de la UNSAAC.

50 | C E P R U 2 0 1 5 Halle el promedio, de la moda y la mediana del número de cursos. A) 4

B) 5

C) 3,7

D) 4,25

familias en soles:

E) 4,5

15. De una tabla simétrica de distribución de frecuencias, se sabe que H 7 = 1;

x3 =18; f5 = 30; h3 = 3h6;

f1 = 3x2;

x6 =39; H1= 0,15. Determine F4 + F2 A) 180

B) 210 C) 190 D) 195 E) 205

16. En una empresa se realizó una encuesta sobre las edades de los empleados, obteniéndose. Determine el número de familias que gastan menos de 440 soles. A) 32 21.

Donde A es el porcentaje de empleados con 30 años o más y B es el porcentaje de empleados con menos de 45 años. Encuentre: A + B A) 75%

B) 150%

C) 170%

D) 185%

A) 43

B) 42

C)

41

D) 40

A) 19.

254 B) 252 C) 250 D) 248 E) 244

En la siguiente tabla de ancho de clase constante e igual:

La varianza es: A) 2.93 B) 2.56 C) 1.64 D) 2.21 E) 3.15 20.

En la siguiente tabla se muestra el gasto mensual de 50

D) 40

E) 44

Dada la siguiente tabla del sueldo de los trabajadores de una empresa, cuya distribución de frecuencias es simétrica:

A) 40,25%

B) 68%

D) 75%

E) 39,5%

22.

C) 72%

Dada la siguiente distribución de frecuencias en base al ingreso familiar de 450 familias:

Si el ancho de clase es constante, ¿Cuántas familias tienen un ingreso comprendido entre 300 y 380 soles?

E) 12

18. De la siguiente tabla se sabe que el 35% del total son menores de 28 años. Si el ancho de clase es constante, ¿cuántos tienen por lo menos 24 años?

C) 38

Determine el porcentaje de los trabajadores que reciben entre s/.485 y s/.600.

E) 190%

17. El siguiente cuadro, muestra el tablero incompleto con la distribución de frecuencias de las notas de 100 alumnos ¿Cuántos alumnos sacaron un puntaje mayor a 35?

B) 36

A) 230 23.

B) 370

C) 210 D) 356

E) 289

Hallar el valor de “b – a” en la siguiente tabla de distribución de frecuencias:

Además se sabe que la media es igual a 51 puntos y el ancho de clase es común. A) 0,8

B) 0,05

C) 0,44

D) 0,36

E) 0,08

24. Las notas obtenidas por 5 alumnos en la asignatura de Aritmética son: 13

10

8

16

18

Hallar la varianza: A) 12,34

B) 15,4

A) 28,30 B) 29,68 C) 30,68 D) 31,53 E) 32,32 C) 15,3

D) 12,9

E) 13,6

25.- Las edades de 20 niños atendidos en el hospital regional del cusco fueron organizados como sigue:

La varianza es: A) 16.16 B) 16.15 C) 15.16 D) 16 E) 15 26.

Se tiene la tabla de distribución de frecuencia incompleta con amplitud constante:

29.- Dada la siguiente distribución simétrica de frecuencias, de tamaño de muestra 120.

Ii

xi

hi

fi

[40 ; 60

a

r

x

[60 ; 80

b

s

y

[80 ;100

c

0,30

z

[100;120

d

0,20

u

[120;140]

e

t

v

Total

Se pide calcular “e + r + y”

Hallar la mediana. A) 20,3 B) 22 C) 22,5 D) 27,2 27.

E) 23

De la siguiente distribución de frecuencias:

Calcular el valor de “a + 5” sabiendo que la moda es 44 y la amplitud es constante. A)9

B)6

C)7

D)8

E)5

28. Del diagrama calcule la suma de la media y la mediana.

A) 154,15

B) 134,15

D) 102,2

E) 101,1

C) 104,15

52 | C E P R U 2 0 1 5

EXPERIMENTO ALEATORIO (E).- Es cualquier experimento cuyo resultado no se puede predecir antes de realizar el experimento por que consta con más de un resultado posible.

El principio de adición sólo será aplicado para eventos mutuamente excluyentes, es decir aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente.

Ejemplos: E1: Lanzar una moneda normal sobre una superficie plana y observar la cara superior. Puede ocurrir cara o sello. E2: Lanzar un dado sobre una superficie plana y observar la parte superior. Puede ocurrir que aparezca uno de los siguientes números: 1, 2,3 4, 5, 6. E3: Extraer una bola de una urna que contiene bolas de diferentes colores.

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN. Si un primer evento puede ocurrir de m formas diferentes y otro segundo evento puede ocurrir de n formas diferentes, entonces los dos eventos juntos pueden ocurrir de m.n formas diferentes. Este principio se puede extender para más de dos eventos, por ejemplo para tres eventos sería: m.n.r donde r es el número de formas diferentes de ocurrir un tercer evento.

ESPACIO MUESTRAL (S o Ω).- Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

A su vez éste se comporta como el conjunto universal. Ejemplos: Para el experimento E1 su espacio muestral es: S1 = {C, S} Para el experimento E2 su espacio muestral es: S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. CLASIFICACIÓN DE LOS ESPACIOS MUESTRALES Por el número de elementos se clasifican en • DISCRETOS FINITOS: Numero finito de elementos • DISCRETOS INFINITOS: Número infinito de elementos numerables • CONTINUOS: Número infinito de elementos no numerables EVENTO O SUCESO. Es cualquier subconjunto de un determinado espacio muestral. Notación: A, B, C etc. OPERACIONES CON EVENTOS • UNIÓN. • A B = { w / w A w B } El evento , describe el evento de que “OCURRA POR LO MENOS UNO DE ELLOS” •

INTERSECCIÓN. A B = {w / w A

 w B}

A B : Describe el evento de que “OCURRAN AMBOS A Y B” •

DIFERENCIA El evento A – B = A ∩ Bc, se describe el evento de que “OCURRA A Y NO OCURRA B”

VARIACIONE S. Son ordenaciones, arreglos, Interesa el orden. Quien ocupa el primer lugar, segundo etc.

n! (n-k)!

n

Vk =

PERMUTACIONES Si n = k, entonces la variación se llama permutación, y se escribe. n n VARIACIONES CON REPETICIÓN.

P = n!

Vkn

n

k

rep COMBINACIONES . (No interesa el orden) En muchos casos interesa el número de formas de seleccionar (tomar, coger) r objetos de un total de n, que consta un conjunto, sin importar el orden. Estas selecciones se llaman combinaciones. El número de combinaciones de n elementos de un conjunto, todos distintos y tomados de r en r (r ≤ n) está dado por:

n! k! (n-k)!

n

Ck =

Propiedades. 2.-

C 0 1 n C 1

3.-

C 1 n

1.-

n

n n

4.- C n n-1

ANÁLISIS COMBINATORIO. Es el estudio de las técnicas de conteo.

PROBABILIDADES.

FACTORIAL DE UN NÚMERO.

Sea A un evento en el espacio muestral (

El símbolo factoría ( ! ) denota el producto de números enteros positivos. 0! = 1, por definición. n! = n(n–1)(n – 2)(n–3)… x3x2x1. Si n ≥ 1. Ejemplo. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

P(A) = n(A)

PRINCIPIO ADICIÓN.

DE

Si un evento designado por A ocurre de n maneras diferentes y otro evento B ocurre de m maneras diferentes, entonces el proceso A o B (en sentido excluyente) ocurren de m + n formas diferentes. En el principio de adición, o bien ocurre un caso o bien ocurre el otro caso, más nunca pueden ocurrir simultáneamente.

DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD.-



), entonces:

casos a favor de A total de casos

n() ; 0 ≤ P(A) ≤ 1 Donde: n(A): Cardinal de A o casos a favor de A. n = Número total de casos o número de elementos de Ω. P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A Los eventos son subconjuntos, por tanto se cumple la teoría de conjuntos, luego se habla de complemento de un evento, reunión de eventos, intersección de eventos. EVENTO IMPOSIBLE

ɸ (el conjunto vacío) el cual es

Se llama así al evento

subconjunto de todo evento. Su probabilidad es nula:

P() = 0

EVENTO SEGURO. Se llama así al espacio muestral Ω. Su probabilidad es uno. P(Ω) = 1.

Se comporta exactamente como un rompecabezas. TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL Sean los eventos

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Sean los eventos A y B en un espacio muestral S. Si no tienen elementos en común A B = ɸ, quiere decir “NO PUEDEN OCURRIR AMBOS A LA VEZ”

una

partición de un espacio muestral ; entonces para cualquier evento A en

, se cumple:

EVENTOS CONTRARIOS U OPUESTOS ó COMPLEMENTO DE UN EVENTO. Sea A un evento en un espacio muestral S. se denota por A o Ac al complemento del evento A, que viene a ser el evento contrario de A. P(Ac) = 1 - P(A) A ∩ Ac = ɸ

A U Ac = Ω;

A: Acontece el evento A; Ac: No acontece el evento A

Esta propiedad tiene su diagrama del árbol, que también vale para el teorema de Bayes que estudiaremos en seguida

LEY DE LA SUMA. P(A U A ) = P(A) + P(B) – P(A∩B); mutuamente excluyentes. P(A U A ) = P(A) + P(B); excluyentes, es decir: A∩B = ɸ

Cuando A y B no son

si A y B son mutuamente

PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de ocurrencia de un evento A, dado que ha ocurrido el evento B, se denota por como:

P(A/B)  B)

P( A

;

y se define

P(B) ≠ 0

P(B) La probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A, es:

P(B/A) 

P( A B)

;

P(A) ≠ 0

P( A) TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES. Llamado

también

regla

de

la

multiplicación

o

TEOREMA DE BAYES Si los eventos constituyen una partición de un espacio muestral S; entonces para cualquier evento A en S, se cumple:

P(B / A)  P(Bi ).P(A/Bi )

probabilidad de la intersección. Es una consecuencia de

i

la definición de probabilidad condicional.

P(A

B) = P(B).P(A/B)

ó

P(A

B1

B2

Bk = Ω ……. PARTICIÓN DE UN ESPACIO MUESTRAL Se dice que los eventos B1, B2, …, Bk representan una partición de un espacio muestral S, si se cumplen las siguientes condiciones: 1.- B1 B2 exhaustivos. 2.- Bi ∩ Bj = Ф;

…….

 i ≠ j;

Bk = Ω;

P(B ).P(A/B )

B) = P(A).P(B/A)

EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS. Los eventos B1, B2, …, Bk son colectivamente exhaustivos si:

i=1

i

i

EVENTOS INDEPENDIENTES. Dos eventos A y B son independientes, si y sólo si P(A ∩ A ) = P(A). P(B) La independencia se refiere a que la ocurrencia de uno de ellos no está influenciada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro suceso.

P(A/B) P( A)

colectivamente

i = 1, 2, …, k; j = 1, 2, … , k Ω

k

NOTA: Si A y B son independientes, entonces A y Bc; Ac y B; Ac y Bc también son independientes.

EJERCICIOS

EJERCICIOS DE ANALISIS COMBINATORIO 1. De las siguientes proposiciones:

- El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento deterministico. - El espacio muestral puede ser infinito discreto.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

- Un experimento aleatorio es un experimento no deterministico. - Se llama evento a cualquier subconjunto del experimento aleatorio. - El evento seguro es el mismo espacio muestral. - Los espacios muestrales se clasifican en discretos finitos y continuos infinitos. - Un evento compuesto es unión de eventos elementales. ¿Cuántas son verdaderas? A) 4 B) 2 C) 3 D) 0 E) 1 ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio que consiste en observar el resultado de lanzar un dado y una moneda a la vez? A) 12 B) 10 C) 6 D) 8 E) 4 Se tiene 4 letras: A, B, C y D. ¿Cuántos códigos pueden formarse con estas letras si cada código puede llevarse indistintamente, una, dos, tres o cuatro letras? A) 64 B) 4 C) 20 D) 12 E) 24 Un equipo de futbol tiene 8 dirigentes. De los cuales tres son varones y el resto mujeres. Con el fin de realizar una actividad, se forma un comité integrado por 4 dirigentes en el cual por lo menos uno de los integrantes debe ser varón. El número de comités que se puede formar, es: A) 60 B) 75 C) 35 D) 35 E) 65 Si en la universidad se ofrecen 10 cursos diferentes por la mañana, 7 por la tarde y 4 por la noche ¿Cuantas opciones diferentes tiene un estudiante de inscribirse en un solo curso? A) 12 B) 21 C) 20 D) 14 E) 11 Si Iván tiene 4 pantalones, 5 camisas y 3 pares de zapatos todos de diferentes colores. ¿De cuantas maneras diferentes se puede vestir? A) 19 B) 12 C) 23 D) 48 E) 60 ¿Cuál es el número de formas que una persona avance de A a C?

A

B

C

A) 3 B) 15 C) 18 D) 8 E) 11 8.

9.

La placa de una moto consta de una letra, seguida de un digito. Si solamente se considera las letras: X, Y, Z y los dígitos: 2, 4, 6, 8 ¿cuántas placas diferentes pueden grabarse? A) 12 B) 8 C) 10 D) 9 E) 7 Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares ¿de cuantas maneras puede hacerse? A) 2880 B) 2800 C) 2560

D) 2480 E) 2720 10. ¿Cuántos números de cuatro dígitos diferentes se pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los cuales no se repitan ningún digito? A) 3012 B) 1024 C) 526 D) 3024 E) 2144 11. Tres urnas contienen fichas del 1 al 5. Se extrae una ficha al azar de cada urna y se forma un número de 3 dígitos. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? A) 110 B) 125 C) 120 D) 140 E) 100 12. Una empresa desea ascender a 3 de sus empleados de 10 empleados seleccionados a posiciones de presidente, vicepresidente y

gerente. El número de formas distintas de efectuar el ascenso, es: A) 540 B) 720 C) 950 D) 620 E) 480 13. De 5 físicos, 4 químicos y 3 matemáticos se tienen que escoger un comité de 6; de modo que se incluyan 3 físicos; 2 químicos y un matemático. De cuantas maneras puede hacerse esto. A) 180 B) 182 C) 190 D) 360 E) 200 14. De un grupo de 10 estudiantes se elegirá una junta directiva formada por un presidente, un secretario, un tesorero y un fiscal. El número de formas diferentes de elección, es: A) 34 B) 360 C) 2520 D) 720 E) 5040 15. Una chica tiene 10 amigos; desea invitar a una reunión solo a 3 de ellos. ¿De cuantas maneras puede invitar; si entre las 10 personas hay 2 matrimonios y cada pareja asisten juntos? A) 120 B) 20 C) 12 D) 32 E) 60 16. Un examen consta de 12 preguntas de las cuales un estudiante debe contestar 10. Si las 6 primeras preguntas debe contestar por lo menos 5 ¿Cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante? A) 21 B) 15 C) 36 D) 51 E) 27 17. Un estudiante tiene 10 libros de matemáticas y otro estudiante tiene 8 libros de física. ¿de cuantas maneras pueden intercambiar dos libros de uno por dos del otro? A) 1260 B) 620 C) 549 D) 840 E) 1620 18. ¿De cuantas maneras diferentes, 2 americanos, 3 argentinos y 4 peruanos pueden sentarse en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sientan juntas? A) 1700 B) 1728 C) 688 D) 892 E) 867 19. La diferencia entre el número de variaciones de “m” objetos, tomados de 2 en 2 y el número de combinaciones de estos objetos, tomados, también de 2 en dos es 45, hallar “m”. A) 6 B) C) 9 D) 12 E) 10 20. En un grupo integrado por 5 médicos y 4 odontólogos, se desea seleccionar un grupo de 4 personas. ¿De cuantas maneras diferentes se podrán agrupar, si en cada grupo debe haber a lo mucho un odontólogo? A) 105 B) 160 C) 60 D) 45 E) 56 21. De un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas ¿de cuantas formas diferentes debe seleccionar si el debe responder por lo menos, tres de la cinco primeras preguntas? A) 64 B) 55 C) 50 D) 114 E) 110 22. Un grupo de inversionistas está conformado por 7 mujeres y 4 hombres ¿De cuantas maneras diferentes se puede formar una expedición de 6 personas en la cual debe haber por lo menos 2 hombres? A) 320 B) 125 C) 729 D) 371 E) 900 23. Un palco de seis asientos de la tribuna del estadio Garcilaso es vendido a tres parejas de profesores de aritmética ¿De cuantas maneras diferentes podemos acomodarlos si cada pareja quiere estar junta? A) 12 B) 48 C) 10 D) 16 E) 8 24. Un grupo de inversionistas está conformado por 7 mujeres y 4 hombres ¿De cuantas maneras diferentes se puede formar una expedición de 6 personas en la cual debe haber por lo menos 2 hombres?

A) 320

B) 125

C) 729

D) 371

E) 900

EJERCICIOS DE PROBABILIDADES 1. De las siguientes proposiciones: - La siguiente notación P(A/B) indica la probabilidad de que A ocurra dado que B va a ocurrir - Si � ⊂ � , entonces P(B/A)=1

12. De una clase que está formada por 11 niños y 7 niñas; se escoge 4 estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean niños? A) 11/50 B) 11/102 C) 11/40 D) 11/100 E) 11/60

- Si A y B son dos eventos tales que � ⊂ �, entonces P(A) ≤ P(B) - La probabilidad de un evento puede ser negativo. - Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes,

13. En una urna se tiene 4 bolas de color rojo, 6 bolas de color verde y 8 bolas de color azul ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola al azar esta sea de color verde o azul? A) 7/9 B) 7/2 C) 7/5 D) 7/8 E) 7/10

entonces 𝐏(� ∩ �) = ∅ - Un espacio muestral esta particionado en eventos, si los eventos son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.

14. Una pareja de novios al contraer matrimonio, planifica tener tres hijos. La probabilidad de que la familia de recién casados tenga por lo menos dos hijos varones, es: A) 1/4 B) 1/3 C) 1/5 D) 1/2 E) 1/8

- Para todo evento A se verifica, ∅ ⊂ � ⊂ 𝜴, entonces,

15. De una baraja de 52 cartas se extraen al azar 5 cartas. Determinar la probabilidad de que tres de ellas sean negras y las otras no. A) 13/40 B) 1625/4998 C) 14/40 D) 25/60 E) 111/117

P(∅) < 𝑃(�) < P(Ω) ¿Cuántas son verdaderas? A) 4

B) 2

C) 3

D) 5

E) 1

2. Se lanza un dado y se observa el número obtenido. Calcular la probabilidad de obtener al menos 5 puntos. A) 2/3 B) 3/4 C) 5/8 D) 1/8 E) 2/6 3.

Al lanzar dos dados a la vez , la probabilidad de que la suma de los resultados no sea menor que 10, es: A) 6/52 B) 1/12 C) 11/12 D) 3/4 E) 1/6 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y 2 sellos al lanzar una moneda 4 veces? A) 1/8 B) 2/7 C) 3/8 D) 5/6 E) 5/8 5. Entre 5 hombres y 4 mujeres se tiene que formar un grupo de 3 miembros. Si la selección se realiza al azar, hallar la probabilidad de que dos de ellos sean hombres. A) 10/21 B) 5/18 C) 9/20 D) 3/4 E) 7/8 6. Se lanzan 3 monedas. Halle la probabilidad de obtener a lo más 2 caras. A) 2/3 B) 3/4 C) 5/8 D) 1/8 E) 7/8 7. Un club consiste de 150 miembros. Del total 3/5 son varones y 2/3 son profesionales además 1/3 de las mujeres no son profesionales. Si se elige al azar un socio del club. Calcular la probabilidad que no sea profesional A) 1/5 B) 1/2 C) 1/3 D) 0 E) 1/4 8. La probabilidad de aprobar matemáticas es 2/3, la probabilidad de aprobar física es 4/9. Si la probabilidad de aprobar por lo menos una de las materias es 4/5, ¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambos cursos? A) 16/45 B) 14/45 C) 3/22 D) 14/45 E) 2/15 9.

De un mazo de cartas se extraen dos cartas ¿Cuál es la probabilidad de que las cartas sean espadas? A) 1/17 B) 1/16 C) 3/8 D) 4/11 E) 1/8

10. En una caja hay 8 bolas rojas y 6 bolas negras. Si se extrae una Bolita al azar; ¿Cuál es la probabilidad que la bola extraída sea negra? A) 2/5 B) 3/5 C) 3/7 D) 1/2 E) 2/7 11. La probabilidad de que un estudiante apruebe al curso de física es 2/3 y de que apruebe el curso de aritmética es 3/4. La probabilidad de que apruebe ambos cursos, es: A) 7/9 B)1/2 C)1/3 D) 3/10 E) 4/5

16. Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω con P(A) = 1/4,

P(B) = 2/3 y P(A ∩ B) = 1/6.

Determinar: P(Ac ∩ Bc). A) 1/4 B) 1/2 C) 4/3

D) 2/3

E) 3/4

17. Cinco personas; A, B, C, D y E se sientan al azar en 5 sillas distribuidas en una fila. Calcular la probabilidad de que A y B se sienten juntas A) 3/5 B) 4/5 C) 2/5 D) 1/5 E) 1/3 18. La probabilidad que tiene un alumno de aprobar matemática es 2/3, la probabilidad que tiene el mismo alumno de aprobar física es 4/9. Si la probabilidad de este alumno de aprobar por lo menos uno de los cursos es 4/5 ¿Cuál es su probabilidad de aprobar ambos cursos? A) 3/4 B) 6/7 C) 7/15 D) 12/45 E) 14/45 19. Tres caballos A, B y C intervienen en una carrera. “A” tiene doble de posibilidad de ganar que “B”, pero la cuarta parte de posibilidad de “C” ¿Cuál es la posibilidad de ganar de “B”? A) 1/3 B) 1/7 C) 1/11 D) 2/3 E) 7/8 20. En un poblado de la provincia del cusco hay una epidemia. El 16% de los varones y el 9% de las mujeres están enfermos. El número de varones es el triple al de mujeres. Si se elige al azar un individuo de esa población. ¿Cuál es la probabilidad de que este enfermo? A) 0,2 B) 0,41 C) 0,5 D) 0,1425 E) 0,45 21. En una cierta población, la probabilidad de que una familia tenga televisor es 0,80; una lavadora 0,50 y de que tenga ambos es 0,45. ¿Cuál es la probabilidad de que una tenga televisor o lavadora? A) 0,05 B) 0,15 C) 0,85 D) 0,40 E) 0,80 22. Una urna contiene dos monedas de bronce y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de bronce y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de bronce? A) 0,25 B) 0,285 C) 0,35 D) 0,485 E) 0,121 23. Un determinado club tiene un 75% de sus miembros que son mujeres y un 25% que son

hombres. De este club tiene teléfono móvil un 25% de las mujeres y un 50% de los hombres. Calcular la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen teléfono móvil sea hombre. A) 0,15 B) 0,2 C) 0,35 D) 0,4 E) 0,3 24. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Si Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. A) 0,38 B) 0,038 C) 0,035 D) 0,04 E) 0,35 25. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? A) 0,155 B) 0,205 C) 0,405 D) 0,415 E) 0,305 MÁS SOBRE PROBABILIDADES 1. ¿Cuál es el valor de verdad de cada proposición? I).

A) 2/17

A)

III).

( ) Siendo P(A) la probabilidad de un acontecimiento entonces se cumple:

B) FFF

a)

D) VVF

E) FFV

2. A cerca del futuro nacimiento de sus tres hijos (trillizos) de la señora Elizabeth Se puede afirmar: I). El número de elementos que tiene el espacio muestral respecto al sexo de ellos es 8 II). La probabilidad de que nazca un varón es 1/3 III). La probabilidad de que nazca un varón y dos mujeres es 3/8 A) Solo I

B) solo III C) I y II

D) II y III

E) I y III

A) 1/5 B) 1/2 C) 1/3 D) 0 E) 1/4 4. De una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una, sea un ocho o de figura negra? B)7/14

C) 7/11

D)7/10

E) 7/12

5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y un sello al lanzar un dado y una moneda simultáneamente? A) 1/4

B) 1/8

C) 3/7

D) 8/17

B)

2

100

1

C)

3

1

2

D)

4

3

E)

3

4

b)

1

c)

4

44

d)

100

1

7

e)

5

25

9. Al lanzar dos dados determinar la probabilidad que la suma de ambos dados no supere 10 A) 11/15

B) 11/17

D) 9/17

E) 7/15

C) 11/12

10. La probabilidad de que Juan ingrese a la UNSAAC es 0.7 que ingrese al UNSA es 0.4: si la probabilidad que no ingrese a ninguna es 0.12, hallar la probabilidad que ingrese a ambas a la vez. A) 0,42

B) 0,22

D) 0,48

E)0,58

C) 0,24

11. En una urna hay 6 bolas azules y 5 bolas rojas con igual probabilidad de ser extraídas. Se sacan 2 bolas una por una sin reposición. Cuál es la probabilidad de que una sea azul y la otra roja?

2 3

1/221

B)

5

C)

6

3 11

D)

1 2

E)

2 3

E) 9/15

6. Tres tornillos y tres tuercas están en un caja si escogemos dos piezas al azar, hallar la probabilidad de sacar un tornillo y una tuerca

B) 1/131

C) 1/129 D)1/120

E)1/25

13. En un experimento que consiste en seleccionar aleatoriamente una baraja en un mazo de 52 naipes los eventos rey espadas no son mutuamente excluyentes. La probabilidad de escoger un rey un naipe de espadas o un rey y un naipe con espadas a la vez, será: A) 4/13

B) 5/13

C) 7/12

D) 3/13

E) 5/13

14. De los docentes de nuestra institución un 15% tienen doctorado, 60% son licenciados y los otros magísteres. El 60% de los doctores, el 80% de los licenciados y el 40% de los magísteres son varones. Se elige al azar a un docente y resulta ser mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que sea doctor? A) 2/11

3. Un club consiste de 150 miembros. Del total 3/5 son varones y 2/3 son profesionales además 1/3 de las mujeres no son profesionales. Si se elige al azar un socio del club. Calcular la probabilidad que no sea profesional

A) 7/13

1

1

B) C) VVV

E) 9/15

12. Se extraen dos cartas una a continuación de otra de una baraja de 52. Calcule la probabilidad de que ambas cartas sean reyes

0 ≥ P (A) ≥1 A) VFF

D) 8/17

8. De 100 pacientes examinados, 20 padecían de artritis, 32 padecían de gastritis y 8 tenían ambos males. Hallar la probabilidad de seleccionar un paciente que padezca de artritis o gastritis.

A) ( ) Suceso o evento: Es cualquier sub conjunto del espacio muestral.

C) 3/7

7. Si se lanza una moneda tres veces al aire, ¿Cuál e la probabilidad de obtener cara por lo menos dos veces?

( ) Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio

II).

B) 1/8

B) 2/24

C) 2/15

D) 3/17

E) 4/7

15. Tres máquinas A, B, y C producen el 45%, 30% y 25% respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Si seleccionamos una pieza al azar. Calcule la probabilidad de que sea defectuosa. A) 0,030

B) 0,038

D)0,135

E) 0,050

C) 0,125

16. Un determinado club tiene un 75% de sus miembros que son mujeres y un 25% varones. De este club tienen celular un 25% de las mujeres y un 50% de los varones. Calcular la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen celular sea varón. A) 0,4

B) 0,5

D) 0,5

E) 0,8

C) 0,3

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARI O UNSAAC

ASIGNATURA ÁLGEBRA

2

f (x1)=ax +bx+c

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE

ASIGNATURA: ALGEBRA

TEMA Nº 1.- POLINOMIOS ............................................................................................................................Pág. 03 TEMA Nº 2.- OPERACIONES CON POLINOMIOS ........................................................................................Pág. 08 TEMA Nº 3.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS ........................................................................................Pág. 15 TEMA Nº 4.- RADICACIÓN – RADICALES DOBLES - RACIONALIZACIÓN ..............................................Pág. 18 TEMA Nº 5.- ECUACIONES 1° Y 2°...............................................................................................................Pág. 23 TEMA Nº 6.- INECUACIONES 1°, 2° Y VALOR ABSOLUTO.........................................................................Pág. 28 TEMA Nº 7.- MATRICES ................................................................................................................................Pág. 33 TEMA Nº 8.- SISTEMAS DE ECUACIONES ...................................................................................................Pág. 41 TEMA Nº 9.- RELACIONES, BINARIAS Y REALES .......|..|................................................................................Pág. 46 TEMA Nº10.- GEOMETRÍA ANALÍTICA (RECTAS) ......................................................................................Pág. 50 TEMA Nº 11.- CIRCUNFERENCIAS................................................................................................................Pág. 55 TEMA Nº 12.- PARÁBOLAS............................................................................................................................Pág. 59 TEMA Nº 13.- ELIPSES.....................................................................................................................................Pág. 63 TEMA Nº 14.- FUNCIONES, BINARIAS Y REALES.........................................................................................Pág. 67 TEMA Nº 15.- FUNCIONES ESPECIALES .......................................................................................................Pág. 69 TEMA Nº 16.- FUNCIONES ............................................................................................................................Pág. 72 TEMA Nº 17.- FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA .......................................................................Pág. 76

2

f (x1)=ax +bx+c

CONCEPTOS PREVIOS: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es una combinación de variables y/o constantes en cantidades finitas, en el que intervienen las operaciones fundamentales de: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, sin variables en los exponentes. Ejemplo:

(

)

√

TERMINO ALGEBRAICO Es una expresión algebraica previamente reducida donde no se definen las operaciones de adición ni sustracción entre las variables, tiene tres partes.

3

)

R(

1 1. 2. 3.

2

Coeficiente Variables Exponentes

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Son aquellas expresiones algebraicas cuyas variables no están afectadas de radicales. Ejemplo:

(

)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES ENTERAS Una expresión algebraica, es racional entera, cuando sus exponentes de sus variables son números enteros mayores o iguales que cero o que las variables no están en el denominador. Ejemplo:

)

S(

√

POLINOMIO Definición: Un polinomio es una expresión algebraica racional entera, con una o más variables. Ejemplos: 1.

P( )

√

Es un monomio de una variable.

2.

P(

)

Es un monomio de tres variables.

3.

P(

)

Es un trinomio de dos variables.

√

El polinomio en la variable esta representado por:

( ) Donde:

Es el grado del polinomio.

Es el número de términos de P( ) : Coeficiente principal del polinomio. : Término independiente del polinomio. : Coeficientes.

,

4| CEPRU2015 , P( ) es un polinomio mónico.

Nota: Si

Ejemplo: P( )

√

Es un polinomio de grado 7, cuyo coeficiente principal es √ y el término independiente es 2. Observaciones:

1. P( )

Se llama polinomio nulo o idénticamente nulo, cuyo grado no está definido.

2. P( )

,

* + Se llama polinomio constante, cuyo grado es cero.

3. P( )

Se llama polinomio lineal o de primer grado.

GRADO DE UN POLINOMIO Definición: El grado es una característica en relación a los exponentes de las variables, el cual es un número entero mayor o igual que cero CLASES DE GRADOS: GRADO RELATIVO (

)

a) De un Monomio: El grado relativo en un monomio, es el exponente de la variable indicada. Ejemplo: En el monomio

)

P(

√

R( ) ; R( ) ; R( ) b) De un Polinomio: El grado relativo en un polinomio es el mayor exponente de la variable indica que se presenta en cualquier término.

)

Ejemplo: En el polinomio P(

; R( )

R( )

GRADO ABSOLUTO (

)

a) De un Monomio: El grado absoluto de un monomio, es la suma de exponentes de las variables. Ejemplo: En el monomio P(

)

(P) b) De Un Polinomio: El grado absoluto de un polinomio, es el mayor grado absoluto entre sus términos. 9 7 13 Ejemplo: En el polinomio P(

)

(P)

GRADOS DE POLINOMIOS CON OPERACIONES:

Si P( ) Q( ) son polinomios de grado 1.

P( )

2.

P( )

3.

( )

respectivamente, con

entonces:

Q( ) Es de grado Es de grado

Q( )

con Q( )

, siempre que

Es de grado

( )

sea un polinomio.

( )

( )

,P( )-

Es de grado

5. √P( )

Es de grado

4.

Ejemplo: Dado P( )  El grado de P( )  El grado de P( )

, siempre que √P( )

(

)

sea un polinomio

Q( )

Q( ) Q( )

 El grado de Q5 (x) VALOR NUMÉRICO DEL POLINOMIO El valor numérico de un polinomio, es el valor que adquiere cuando se le asigna valores a sus variables.

Ejemplo 1: Dado Solución: P( )

(

Ejemplo 2: Dado

Solución: P(

)

P( )

(

Hallar P( )

)

) P(

( ( )

)

(

)

Hallar P(

)

(

)

)

Propiedades: a) Si P( ) es un polinomio con una variable entonces:

1. Suma de coeficientes es P( ) 2. Término independiente es P( ) b) Si P(

) es un polinomio de dos variables entonces: )

1. Suma de coeficientes es P(

Ejemplos 2. Término independiente es P(

1.

Si P(

2.

Si P(

)

(

)

(

Suma de coeficientes es P( ) independiente es P( )

)

)

(

)

Término

)( P( )

Suma de coeficientes es Término independiente es P(

) ) EJERCICIOS

1.

Sabiendo

que:

( )

(

;

)

( )

√

12. Si

entonces

√

( Rpta: 78

.

)

Calcular

E=

,

-

.

[√ ]

2.

Determinar la suma de coeficientes de ( ( ) a) partir de: . Rpta 55.

3.

Si el grado del polinomio: ( ) ( ) ( ) es 49

)

(

)

(

)

(

)

el

valor

de

es:

13. Rpta. 5/4.

) ( .

Rpta:25 Sea ( ) el polinomio completo y ordenado en forma ascendente, el coeficiente principal del polinomio es: si ( ) ( ) ( ) el valor de m ; Rpta: 3 5. Hallar la suma de coeficientes del polinomio

(

) 14. Si el grado de ( es igual a la mitad de la suma de exponentes de todas las variables. Hallar el grado relativo de y. Rpta. 8. 15. Si

el

grado

del

monomio

4.

; es.

(

coeficiente principal; es:

)

(

(

.

Rpta.110.

.

)

)

El

7. Si

( ( )

;

valor

de

a(x);

el

es.

polinomio:

(

) (

) (

su coeficiente principal es igual independiente, entonces el valor de “n”; es: Rpta. 4.

al

)

término

( ) polinomio: , tiene grado absoluto igual a 11 y la diferencia entre los grados relativos de x e y es 5, entonces el valor de 2m+n; es:

8. El

)

√(

)

es

“2n”.

Su

√

17. Si

( ) Rpta:2 6. Dado los polinomios:

)

√(

16. Rpta.24.

homogéneo

(

)

grado

absoluto

del

(

)

;

GR(x)=2.

Hallar

GR (y).

√

Rpta. 3. 18. Hallar a y b si el grado absoluto del monomio es igual a 17 y su coeficiente tiene el mismo valor que el grado absoluto con respecto a x. Siendo el monomio:

( ) ( ) . 19. Rpta. 5 y 3. 20. Determinar el valor de “m+p+b” para que el ( ) polinomio: sea completo y ordenado en forma descendente. Rpta. 72. 21. Dado ( ) , se sabe que la suma de los coeficientes de P es 7, además b es el doble de a. ¿Cuál es el valor de a.b? Rpta. 8.

Rpta. 15. 9. El

grado

absoluto

N (x) (x 1)(x 2)(x 3)... 16

18

20

del

polinomio:

22. Hallar

(

23. Si

,(

) )

Rpta. 5.

( (

) ) -

en

el

es 17 y su coeficiente tiene igual

)

el

grado

polinomio:

relativo

(

a

x.

)

Rpta. 17. ,

es

11. Si P es un polinomio sobre

8.

El

valor

de

definido por: ( .

Rpta. -2.

(

)

se verifica que la diferencia entre grados relativos de “x” e “y” es 5 y además el menor exponente de y es 3. Hallar su grado absoluto.

; es 100. La suma de coeficientes; es: Rpta. 85 10. Si P y Q son dos polinomios de grados 4 y 5 respectivamente y el grado del polinomio ,(

)

valor Rpta. 34. que

20 Factores

(

si el grado del monomio

n;

es:

)

Hallar

3m-4n.

24. En el siguiente monomio:

(

)

GR(x)=12 y GR (y)=10. Calcular el GR (z). Rpta. 7.

el

12.

25. Si ( ) , ( ) - es un monomio de grado 3. Calcular el valor de “m+2”.

I) Si GA (P)=5, GA (Q)=5, entonces GA (P+Q)=5.

Rpta. 5. 1.

II) Si GA (P-Q)=5, entonces GA (Q)1 y ( ) ; entonces GA (PQ)=6.

Dados los polinomio P y F, donde el grado absoluto de P es 14 y el menor exponente de x en el polinomio F es 10.el Grado absoluto de F si: ;

√

13.

absoluto

máximo

del

Rpta.: 12.

polinomio 14.

)

Rpta: FFF El polinomio:

( ) ; es de grado 18 y los grados relativos a x, y, z son 3 números consecutivos en ese orden. Calcular m.n.p.

; es:

√

Rpta. 26. 2. El grado

(

Dados los polinomios P y Q (definidos en la variable x) indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio:

( )

Rpta. 8. 3.

(

)

(

)

, es:

) siendo m un número impar.

(

Rpta.: 3

En las siguientes proposiciones indicar con (v) si es verdadero y con (F) si es falso. I.-El grado del polinomio

(

)

(

II.-El grado de (

)( (

)

; es 17.

)

)

, es 15.

15.

Hallar el valor de n Si en el monomio

III.- El coeficiente principal del polinomio ( ) ( ) ( ) , es 72. La secuencia correcta es: 4.

(

)

(

),(

-

)

√

√

Rpta.: 21 16.

(

√

)

El grado relativo a “ ” es 3, hallar el grado absoluto.

Rpta. VFV. Hallar el grado del polinomio ( ) , sabiendo que la suma de sus coeficientes excede en la unidad al ) duplo de su término independiente. Siendo (

En las siguientes proposiciones, indicar con (V) si es verdadero o con (F) si es falsa:

Rpta. 4. 5.

I. El grado de ( ) es 12. II. En todo polinomio, el grado absoluto siempre es igual al grado relativo con respecto a una de sus variables.

El valor de n en el siguiente polinomio

III. El coeficiente principal del polinomio , es:

( ) ( ) ( ) es 72. IV. La suma de coeficientes del polinomio

( )

Rpta: 11. 6.

Sabiendo

que:

(

( ) .

)

( Calcular

;

)

,

E=

-

( )

(

.

[√ ]

Rpta: 78 7.

( 17.

FFVV. Si el grado absoluto del polinomio

( (

) (

)

(

(

es 7, hallar: Rpta.: 15. 18.

Rpta: 25 Sea ( ) el polinomio completo y ordenado en forma ascendente, el coeficiente principal del polinomio es: ( ) si ( ) ( ) ; el valor de m ; es.

Rpta: 3 Hallar la suma homogéneo

)

de

coeficientes

del

Dados los polinomios

( )

(

( )

(

) ) y

( ) . Si el grado del polinomio producto de los tres polinomios es 25, entonces el valor de “ ”, es: Rpta.:

polinomio

2.

(

)

(

)

. 19.

Rpta: 2

Determine la suma de coeficientes en:

P(x) (x 4) (x 5) 6 . 2

11.

El grado absoluto del polinomio:

(

)

(

) ( ) ; es.

Rpta: 115

)

, es 22 y el grado respecto a la variable “ ”

) es 49

.

10.

) es 3.

(

Si el grado del polinomio:

( )

9.

(

La secuencia correcta es: Rpta.:

Determinar la suma de coeficientes de ( ) a partir de: ) . Rpta 55.

8.

)

)

2

Rpta. : 67. 20.

Determine la suma de coeficientes del polinomio: 100 2 3

P(x) (x 2) (x 2) (x 3)

Rpta.: 589.

13 .

21.

El término independiente y coeficiente principal de: 2

n

4

2

36. n

P(x) (x 3)(x n 2 8x )(3x x n)(16x )

P(x)

grado

del

monomio

√

√

)

√√

√

37.

(

Si en el monomio

25.

)

√

√

√

Determinar el grado absoluto del polinomio: (

; el



38.

.

( )

Rpta: 23

(

En la siguiente expresión

)

√

√

es de quinto grado y

39.

√

Si la expresión: 4

x7 (x2n3 )5 (x3n1 )3   P(x)  

30.

; si con respecto a x es de 40.



n2

n1

y )(7x

3n4

n3

2

y )(x 6n

Es 36.

Hallar el valor de “n”

41.

) (

) (

Si el grado de la expresión:

P(x, y) (x 5 3)

)

Si el grado de la Expresión:

P(x) (x

) .

(

m2

m

x 5)(x

m2

x

m1

8)

m2

; Es

2

108. Calcular el valor de “ m ”. ( )

(

Rpta.:

Rpta.: 49.

(

)

( ( ))

;

¿Cuántos factores se deben de tomar en la expresión: 2

P(x)

( ) Dado el polinomio valor de ( ( )). Rpta.: -44.

6

12

20

P(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)... Tal que

entonces

determinar el valor de ( ( )). Rpta: 3. 32.

13

Rpta.: 5.

Hallar el del polinomio: )( )( grado ) absoluto (20 factores). 520. Si

7

Rpta.: 3.

42. 31.

 .x

; es de

Grado 8. Hallar el valor de “n”. √

Hallar el grado absoluto del polinomio:

Rpta.: 1463.

5

  x 

) Si el grado absoluto del monomio: ( es 15 y además el grado relativo a x es al grado relativo de y como 2 es 3. Hallar ”.

(

es de tercer grado. Rpta: 7

Rpta. 2300 . Hallar el

2

√ ( ) segundo grado. Rpta.: 8.

)

Q(x)

El grado absoluto del polinomio:

Hallar el grado absoluto de la expresión

(

; Sabiendo que

Q(x)6

es:

Rpta.: 15. 29.

es de tercer

P(x,y) = (x3y+x)5(x5y+x2)5(x7y+x3)5 …(20 factores), ; tal

√

28.

Q(x)

es de cuarto grado y

Rpta: 118.

27.

.

Calcular el grado de:

P(x)

)

valor de “a” para que dicha expresión sea de grado 16.

26.

expresión

5Q(x) 8P(x)Q(x)

E

grado Rpta: 4relativo a x es 2.el grado relativo a y; es.

que

la

es:

√

√

24.

de

P(x)4 3P(x) Q(x) √

Rpta.: 3 23.

6

grado. Rpta.: 18.

El

(

grado

4

P(x)

Si

Rpta.: 18. 22.

el

E(x) 6 P(x)

Son iguales. Hallar grado de

Determinar

sea de grado 572.

Rpta: 11

. Calcular el 43.

5

3

P  x  x 2  x 3  x 2  x 3 .

Hallar

el Si 33.

Si el grado absoluto del monomio ( ) su coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo a “y”. Hallar “a.b”.

es 79 y

término independiente de P x . Rpta. 11

44.

Rpta: 70. 34.

Si

2

2

2

P(x) 1 2 3 ... x

Determinar el valor de

E

P(x 1)P(x)(2x 1)

Rpta.: 35.

2

P(x 1)(4x 1)

2

1 6

Determinar el grado de:

Hallar el valor de m .

2

la siguiente expresión: 2

65

Si el grado del monomio 3x

43

m

2x

m

es 8.

x

Rpta. 12

45.

9x

Si el grado del polinomio



 





P  x  3 x 5 n 5 x 7 n2 2 x 3



n 2

3m 3

n 6 . Rpta. 4

N (x) (x 7)(x 8)(x 9)... 7

8

9

n 5

es 49. Hallar

20 Factores

46. Hallar

el



grado

P x x y 8

7

x

absoluto 10

y

9

 x

52 factores

Rpta.: 330.

Rpta. 3068

12

del

y

11

...

polinomio

n 47.

P x, ynx7

En el polinomio

9



68n

y

2

– x y

n

. Hallar

53.

62

54.



E(x)  x 1

 x

4(4)

1

x

6(9)



P x  50x 10



1 ...

Rpta: 49.

3m x

m7

,

un

2

m 200x

3

1

m2 5x

6

 es 75.

1

Rpta:15

n factores 2

m5

Hallar el valor de m .

es:

n

2m x

Si el grado del polinomio

El grado de la expresión 2

m4

polinomio de quinto grado. Señala el coeficiente del término cuadrático. Rpta:27

la suma del sus coeficientes. Rpta.

48.

Qx mx

Sea

55.

 n 12

Dado el polinomio:

2 P(x 1) (2x 3)2n (3x 2)2n 32(x 2)

Hallar el valor de n para que el grado del monomio:

4

xn1

M (x)  3

6

xn

si se cumple

que el término independiente es 2 veces la suma de los , sea 1.

coeficientes del polinomio P

x5n4

x, el valor de n, es:

Rpta. n=1

Rpta. n=8 50.

56.

Hallar la suma de todos los valore de n, para que:

El polinomio: 8

2

(x

9

Tiene como

Sea un polinomio.

Rpta. 9 57.

Calcular P(1,1) a partir de:

Dado el polinomio:

P(x, y) a2 x2a3 y3b1 b2 x2a y3b4 

Q(a,b) 3a b 6a

b (a b ) 8a b

absoluto 22 y grado relativo

respecto a “a” igual a 9.

Hallar

2x1 y

1x 4

x2 y1

de grado

2abx2a1 y3b2 x2a2 y3b3

x y

sabiendo que su grado absoluto es 24 y los grados relativos respecto a x e y son iguales.

Rpta. -7

Rpta. 65.

52. Hallar el valor de n si GA(P)=3; GA(Q)=4 y se conoce

P

que el grado absoluto de la expresión

7

P

es igual a 4.

Q 5

5

Q

2n

4



58.

Hallar un polinomio de segundo grado cuyo coeficiente de x y el término independiente son iguales, además P(1)=7 y P(2)=18. Dar como respuesta el coeficiente de x2. Rpta. 3

n3

Rpta:2

2

f (x1)=ax +bx+c

ADICIÓN DE POLINOMIOS Dados dos polinomios reales:

P( )) Q(

, ,

El polinomio suma, está definido por:

Q)( )

P( )

Q( )

(

)

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Dados dos polinomios reales:

P( )) Q(

, ,

El polinomio diferencia, está definido por:

(P

n2

grado 47. Determinar la raíz quinta del coeficiente principal.

x5 y3

(P

3

P(x) xn2 4xn1 5x19n 3x 6 6 ;

Rpta. 36. 51.

n

P(x) (9x 7) (2x 3x 1) 3)

n

Q)( )

P( )

Q( )

(

)

(

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Dados dos polinomios reales:

P( )) Q(

,

El polinomio producto, está definido por:

(P Q)( ) Ejemplo:

P( )

P( ) Q( )

(

Dado los polinomios:

(

)

es 25, el valor de n es:

,

Q( )

)

(

(

)

R( )

)

Si el grado del producto de los tres polinomios

Solución:

P( ) Q( ) R( ) ( (P) , (P Q R)

Entonces:

,

) ;

(

) ;

(Q)

(

)

(R)

, -

-

(

)(

) PRODUCTOS NOTABLES

Son casos especiales de la multiplicación de polinomios, con los cuales se obtiene el polinomio producto en forma directa sin efectuar la operación de la multiplicación. Sean expresiones algebraicas, entonces: 1. Binomio al cuadrado

( 2.

)

Producto de la suma por su diferencia

( 3.

)(

( 4.

)(

)

Binomio al cubo

)

(

)

Trinomio al cubo

)

( )(

(

)(

)

) )(

)

Identidad de Legendre

( (

) )

( (

) )

(

)

(

)

(

) (

)

Identidad de Lagrange

(

)(

)

(

(

)

)(

)

Ejemplo: Simplificar la expresión

(

√

)

,( S

)(

)

(

11.

)(

Identidad de Argand

(

10.

)

Trinomio al cuadrado

( 9.

)

)(

( 8.

)

Producto de la suma de un binomio por un trinomio

( 7.

(

)(

( 6.

)

Producto de la diferencia de un binomio por un trinomio

( 5.

)

Producto de binomios que tienen termino común

√

(

)

(

)

(

)

(

)

)

(

) -,(

)

(

) -

(

)

(

)

ASIGNATURA: ÁLGEBRA | 11 ) (

√

√

√(

)

Ejemplo: Simplificar la expresión

S

(

)( (

(

)( )(

)( )(

)( )(

)( )

)

)

)(

DIVISIÓN DE POLINOMIOS ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Dados dos polinomios reales P( ) de grado

y ( ) de grado

, con

; existen dos polinomios únicos Q( ) y

R( ), tales que: Observación:

( )

( )

1.

Grado del dividendo

2.

Grado del divisor

3.

Grado del cociente = grado del dividendo – grado del divisor

( )

( )

grado del divisor grado del resto

4.

Grado máximo del resto = grado del divisor – 1

5.

Grado mínimo del resto = 0 MÉTODOS DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS

A. MÉTODO DE HORNER Este método se utiliza para dividir polinomios, cuyo divisor sea de grado mayor o igual que dos. En este método primero se ordenan y completan los polinomios dividendo y divisor con respecto a una sola variable, luego se utilizan sólo coeficientes y el esquema siguiente: CON SU MISMO SIGNO CON SU MISMO SIGNO

d

D

I V I D E N D O

i v

CON SIGNO

RECTA MOVIL (INDICA GRADO DEL RESIDUO)

i s o r

CAMBIADO

C O C I E N T E Ejemplo: En la división Solución:

RESIDUO

entre

R( )

(

)

;

deja un residuo de

(

)

el valor de

Igualando los coeficientes se tiene:

;

Luego B. MÉTODO DE RUFFINI Este método se utiliza para dividir polinomios cuyo divisor sea de la forma ( ) O cualquier expresión transformable a esta. En este método primero se ordenan y completan los polinomios dividendo y divisor con respecto a una sola variable, luego se utilizan sólo coeficientes y el esquema siguiente:

∓

D I V I D E N D O O

I

N

RESIDUO T

( ) ( ) Ejemplo: En la división entre donde la suma de coeficientes del cociente es igual a dos veces el residuo. Hallar .

Como:

(

)

(

)

(

)

(

se obtiene un cociente entero

)

C. TEOREMA DEL RESTO Este teorema nos permite calcular directamentamente el residuo de la division de un polinomio entero en x, P( ) de cualquier grado entre un divisor binomio de primer grado o transformable a primer grado. Enunciado: el resto de la division de un polinomio entero en x, P( ) de cualquier grado entre un divisor binomio de primer grado de la forma es igual al valor numerico de (∓ )que toma dicho polinomio cuando en él se sustituye x por . /, es decir:

( )

(

)

Ejemplo: Hallar el resto de dividir

Solución:

( )

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

EJERCICIOS 1)

Si “ ” satisface ( )

. Encuentre el valor de: (

6.

).

ab 0

S i

,

Calcular: Rpta.: 140.

, si:

Si

. Calcular:

.

7. Rpta.:

.

4)

Sabiendo que:

5)

Rpta.: Si

,

Rpta.

8.

, calcular el valor de:

Rpta.: 11.

√ (

)

a

, es:

2

 b   3

–b – a

x

la

 a 1a x

2x

expresión

1 , se obtiene:

1

4

a b c 7

Sabiendo que

valor de

(

3

efectuar



.



ab

Al

M x a 1

y

. Encontrar el valor de: y

a

4



Rpta.

de:

2



.

,

.

simplificada

2



M  

3)

expresión

a b2  a b 2 2 2 4 a 2 b  3 3

Rpta.: 130.

2)

la

18 2ab ac bc

E

)

y

2

2

2

a b c 31 ,

el

, es:

Rpta. 2 6)

Si se sabe que

5, calcular el valor de:

9.

Al simplificar la expresión

E

ax

2

by 2

Rpta.: .

ay bx

x y

2

2

, se obtiene: 7)

Simplificar:

(

)

(

Rpta.

)

10. Rpta.: 13. 1. 2.

3.

1

Si x x Rpta. 140 S i

3

5 , el valor de x x

a b 2 3

3

y 2

2

M a b a b es:

Rpta. -12

ab 3 ,

,

, es:

el

11.

valor

2

Sabiendo que

E 

3

2

a b

2

P( x 1) x 1 , el valor de

P(0) P(2) , es: P(3)

Rpta. E=4/17 Si se sabe que

, el valor de: , es:

de 12.

Rpta. 40.

Si se sabe que de

(

Rpta. 74.

)(

y )

, es:

—

, el valor

4.

S i x3 y3 5 y xy x 11 , el valor de

x y

2

, 13. Rpta: 4.

es: Rpta. 4 5.

a b c 5 ab ac bc ,

S i

2

2

a b c 7 y

2

, el valor de

,es:

, el valor de

14.

Si (

15.

Rpta. 20. Al simplifica la expresión:

)

(

)

. El valor de

; es:

es:

Rpta. 9

Si

( Rpta:

)(

.

)(

), se obtiene:

12 | C E P R U 2 0 1 5 16. 17.

Si √ Rpta: 1. Simplificar:

,

. El valor de (

)

(

(

)

Rpta: 8. 18. Simplificar:

)

, es:

42.

)(

)(

43.

Si 13.

44.

Calcular :

)( ) ,( )( ) ( )( )-. Rpta: 0. 19. ¿Cuál es el valor de si se cumple que ( )

20.

( ) Rpta: 2. Si

21.

Rpta: Si:

45. Hallar

.

46.

Si √ , Rpta: 5. Simplificar (

24.

)

, si:

es igual a: Rpta:

.

Calcular el valor de

, si: √

. √

y

26.

Si

.

expresión:

)(

)

. Hallar y

(

)(

47.

S i

48.

es.

; el valor de

,

el

valor

√

de

;

es: 49.

(

28.

)

√ Simplificar Rpta: y 29. Calcular el valor de ( . / . /

(

el

(

valor

1 x  3 , x

De los siguientes productos I)  6

)

es un trinomio cuadrado

m

de

,

es:

determinar el valor de es :

Rpta:20.

√

Rpta: 2

(

1 1  x 1  1 x A x ( ) x  x  x ( )   x  x  

Rpta: 1 Si

2

Sabiendo que

; es:

√

P( )

mx 10 m 24x 49

perfecto, Rpta: 25.

.

. El valor de

/

))

Dados los polinomios:

) Q( ) ( ) ; R( ) ;el grado del producto de los tres polinomios es 25. Hallar el valor de n. Rpta: 2.

.

la

Rpta: Si Rpta:-9. Si Rpta: 12.

. Calcular

√

√(

25.

27.

, entonces;

Rpta:14.

Rpta: 9.

23.

;

. Halle el valor de .

22.

.

Rpta:140.

? .

√ . Calcular el valor de

√

Rpta: 1

.

(

Si

)

) a partir de:

3 2

x x y 4 y 2 x 3x 1



II)

III)

2

x

x 9x IV)  x 1x

3 2

4





 3x 9

2

3x

6

x x y y 3x 1

2

Rpta: 3 30.

31.

(

Hallar el valor numérico de: ( ) √ . Rpta: 3/2. Si se cumple que:

)

(

)

(

)

; si

; es.

; el valor de . /

x

50.

32.

Al reducir la expresión - (

,(

)

;

)

(

se

)



Los que corresponden a la identidad de Argand, son: Rpta: I,III y IV. Simplificar la expresión: 3

Rpta: 256



x 1

a

2

b

2

 a

4

2 2

a b a

4

3a b

2 2

a b  a b

Rpta: obtiene:

Rpta: 16ab.

51.

a b 4

ab 5

,

.

E

Calcular

3

3

2

2

a b a b

Si 33.

34.

Si

; donde (

)

(

)

(

)

(

)

Rpta: 1 Simplificar

; es.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

(

)

Rpta: 4 35.

Efectuar: Rpta:

36.

Si

Rpta: 2/3.

. Hallar el valor de:

(

(

52.

.

)(

)

.

. Hallar el valor de:

53.

(

Reducir:

) (

)

( (

54.

39.

Si

(

Si la división: ( )

(

,

el

)

(

valor

)

de

. Tiene por resto ,

es:

Rpta: -2. 55.

( ) Si cuadrado Rpta: 50.

, es:

El resto de la división

) )

Rpta: 2

38.

. Dar

Rpta: 7.

. Rpta: 4. 37.

Al efectuar la siguiente división: el valor de las siguientes proposiciones I) su resto es un polinomio constante. II) su resto es x+2. III) la división es exacta. IV) su resto es x-2. Rpta: FVFF.

)

)(

√(

)

√ perfecto. )

Hallar

, el

es un valor

trinomio de “m”.

Hallar

el

Rpta:

.

) . Hallar (

)(

)(

)( 40.

Simplificar

resto

de

dividir

(

)

(

)

. (√

Rpta: 23.

√ ). (

)(

) (

)

.

41.

Rpta: . ) Si tal que ( . / ; es: Rpta: 13/4.

, entonces el valor de

ASIGNATURA: ÁLGEBRA | 13 polinomio ( ) se ha dividido por ( )y( ),

56.

Un hallándose los residuos 6 y 3 respectivamente, entonces el resto de la división ( ) entre ( )( ), es: Rpta: -2x+5.

57.

Al dividir un polinomio ( ) entre ( ) y( ) se obtienen residuos de 7 y 21 respectivamente. El resto ), es: Rpta: .de dividir ( ) entre ( En el cociente exacto . hallar: .

58.

Rpta: 2.

59.

60.

Si a ( ) obtiene un

se le divide entre de grado m

cociente

independiente b y residuo a calcular: ( Rpta: 24. Calcular m, n y p. Si el resto es:

82.

se termino

61. 62.

83.

) . ; de

84. .

85.

Hallar el residuo de la división de: . Entre , sabiendo que su coeficiente toma el valor numérico de 2 para . Rpta: -4. Si la división indicada ; es exacta,

63.

Al efectuar la división algebraica

64.

obtiene como resto R( ) ? √ Rpta: 4. Hallar el resto de la división

; se

(

66.

Rpta: 16. Hallar el

)(

)(

)(

)(

)(

la

(

)

(

)

87.

Rpta: 2x-1. Si la división: de

(

división

)

. (

89.

)

)(

.

90.

En la división

91.

entre deja 0 de residuo. Hallar: A+B-C.

71.

genera un cociente ( ) tal que ( )

92.

,

,

72.

Si la división

73.

de m+n es: Rpta: 5. de todos los coeficientes del cociente de La suma dividir

74.

75.

76.

( )

. √ , es: Rpta: √ El resto de dividir

78.

94. 95.

√ ( )

97. entre

√ (

96.

)

98.

, entre

( ) ( )( ) es: Rpta: 13x+53. Los restos de dividir ( ) entre ( )y( ) son 9 y 2 respectivamente. El resto de dividir ( ) entre , es: R Rpta: ) ( ) Los restos de dividir ( ) entre (

de

la

división:

(

)

(

) )(

)

; es exacta. Calcular el valor

Al efectuar la división

(

)

; la suma

Calcular “m” si el resto de la división

; es igual

; sea una división

Hallar a y b para que ( ) exacta. Rpta: 64 y 0. ( ) ( Si en la división:

)

; el resto

. Hallar “3ª+b”.

)

En la división:

, la suma de coeficientes del

Si en la división:

; los coeficientes del

99.

; es: El resto de la división Rpta: 5. La división del polinomio entre ; deja por residuo

.

Hallar ab-m. Rpta: ¿Cuál 87. es el valor de , si al dividir el polinomio entre , la suma de los coeficientes es 161 y el residuo 16?. Rpta: 3. Al dividir ( ) , entre ( ) ( ) , se obtiene el residuo ) , y. cociente ( ) . Calcular ( Rpta: 16. Calcular la suma de los coeficientes del cociente de la siguiente división Rpta: 244. Calcular ( ) , sabiendo que al dividir , entre .

.

, se obtiene como residuo Rpta: 11.

100. Hallar el resto de dividir entre . Rpta: -10.

,

es:

El termino independiente del cociente de dividir ( ) entre ( ) es( 3, hallar su resto. Si el termino independiente del polinomio ) . Rpta: 12. Hallar la ∑ en la siguiente

101. Si la división

; Es exacta, entonces el

( ) valor de: ; Rpta: 2600 102. Hallar el valor entero de “m” si la siguiente división: 4

3

2mx mx 6x 24 2x –x 4

división

Rpta.: 4.

. Rpta: 4. Hallar el residuo en

resto

/ .

2

79.

) es

cociente disminuyen de uno en uno y el resto es 8. Hallar abc. Rpta: 109.

, es exacta entonces el valor

respectivamente. El término independiente ( ) además el termino independiente del cociente de )( ), es 1 su resto dividir ( ) entre ( Rpta: . 77.

93.

nos da un residuo de . Rpta: 121. Si al dividir ( ) entre se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 24 y un resto de ( ) . Hallar m+n+p. Rpta: 29. )

)

cociente es 176 y es resto es 20. Hallar 3a+2b. Rpta: 10.

) ; sabiendo que la división

(

.

es ( Rpta:16.

Rpta: 14. Si la división algebraica

Hallar (

)(

al resto de: Rpta: 1.

)

determine el valor de n. Rpta: 2. 70.

)

.

Rpta: 2x-1. Calcular la relación entre p y q si la división de: ( ) entre es exacta. Rpta: .

entre

(

algebraica de los coeficientes del cociente y el resto es cero. Hallar Rpta:el1.resto.

)

(

69.

)

Al dividir ( ) entre ( ) ; el resto de la división; es. Rpta: Hallar8.el valor de “a y b”. Si el resto de la división entre es igual a . Rpta: RPta 11 y -1. Determinar el

88.

Hallar el resto de la división

68.

(

dividir

Rpta: 1.

65.

67.

de

Rpta: 2x-1. Si P( ) es un polinomio definido por P( ) , tal que el residuo de dividir P( ) entre ( 6. Hallar el residuo de dividir P( ) ( ).

86.

¿cuál es el valor de

Rpta:320.

de

resto

(

¿Cuál es el valor real de a?. Rpta: -3.

resto

el

(

. Rpta:

Determine

.

; es exacto.

es.

103. Determine el resto en: 80.

40

x

Rpta: 2 Los restos de las divisiones de P( ) por los binomios ( ) ( ) son respectivamente 8 y -7. Hallar el resto de dividir P( ) entre Rpta: . .

35

30

25

20

15

Rpta.: 9. 104. Hallar el resto de: 2

81.

Hallar

Rpta: 5.

b-a

si

la

división

. (

)

Es

exacta.

10

5

x x x x x x x 9 5 x 1

(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) x 4 . 2 x 5x 1 Rpta.: 5x 32

105. En la siguiente división la suma de coeficientes del cociente es: 5

4

nx x 6nx 6 nx 1

4

3

3

(x 1) (x 2) (x 3) ...(x 31) x 1

el residuo es 4. Hallar la suma de coeficientes del 118. Dividir

3

30

25

20

2

x (9x) x 243x 9x 47 x 3 108.

3

m n

2

8x 4x mx nx p ; es R(x) 5x2 10x 8 .

3

a b c 6

2

Rpta.: 68. Si el resto de la división: 5

dividendo. Rpta. 10 entre

Rpta. 119. En el esquema de la división de polinomios por el método de Hornner

Rpta.: 216225. 107. Hallar el doble del resto de la división: 90

2

3

ax ax ax 1 Entre x x 1

Rpta.: 7. 106. Calcular el resto de: 3

Si el cociente evaluado en cero es 3. Rpta. 9 117. En la división:

4 0

d

e

0 3

2

4

3

2

2x x 3

Calcular “ m

2

n p ”

1

0

Rpta.: 11. 109.

Hallar a b c d e m n Rpta:19

En la división: El resto es 40 y la suma de coeficientes del cociente es 352. Hallar “ m

120. Si en la división

n ”.

 a 3x39  a 1x38 3a 4x a

110.

el resto es

14 x 1

Rpta.: 8. En la división:

4 ,

hallar la suma de coeficientes del cociente Rpta: 315

6

5

4

3

2

10x mx nx px qx rx t 3 2 2x 3x x 1

Los coeficientes del cociente van disminuyendo de en

n uno en uno a partir del primero y el resto es igual 2

6x 7 . Calcular el valor de “ R(x) 5x m n p q r a

t ”. Rpta.: 78. 111.

m

121. Calcular

x

4

,

3

6x mx 4n

si

la

x

2

división

4x 8

es



Rpta: 16 122. Hallar el residuo de dividir ( ) 27 el residuo de dividir 123. Rpta. Determine

Hallar el residuo de dividir:

(x 4)(x 5)(x 6)(x 7)(x 8)(x 9)

( )

2

x 13x 41 112.

Rpta. 5 Hallar el valor de a, si al dividir:

124. Rpta. Hallar14 el residuo de dividir

P(x) (a 3)xn (a 1)xn1 (3a 4)x8 a 14 Entre

x 1 , el

resto es 4.

(

( )

)

(

(

)

( )

)

Rpta. -9

Rpta. 5 113. Los restos de dividir de P(x) por los binomios x 1 y x 2 son respectivamente 8 y -7. Hallar el resto de dividir P(x) entre

5x 3

2

x x 2 .

125. Hallar el residuo de dividir ( )

Rpta.

114. Calcule el valor de a para que la suma de coeficientes del cociente sea 161, talque el resto es 16.

Rpta. 126. Dividir

(

)

(

)(

)(

)

ax 2bx 2b a 51

Rpta. ) 127. Dividir ( entre Rpta. 128. Calcular el valor de n en el polinomio ( )

x 1 Rpta.3 115. Calcular m si el resto de la división: 2

3x mx 5 x 2

es

igual

al

2

2x x 1 x 2

.

Rpta. 3

116. Calcular el residuo de la división:

(3x2 )2 2(2x)2 mx 3m 3x 2

resto

de

la

división

sabiendo que al dividirlo entre el resto obtenido es el triple del que resulta al dividirlo entre Rpta. 129. Determinar el resto de ( ) Rpta. -

entre

exacta

2

f (x1)=ax +bx+c

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. La factorización es la transformación de un polinomio en productos indicados de dos o más factores primos.

)

Sea: P(

)

a) El número de factores del polinomio P(

(

)( )

b) El número de factores primos del polinomio P(

)(

)

, estos son:

)

c) El número de factores algebraicos del polinomio P(

(

)(

)(

)

) ( ) ( ) Ejemplo: Sea P( ¿Cuántos factores, factores primos y factores algebraicos tiene el polinomio? Solución: (

N

)(

)(

) (

N

(

N 1.

)

)(

(

)

)( ) Factores algebraicos MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN.

MÉTODO DEL FACTOR COMÚN. Este método consiste en extraer un factor común monomio o un factor común polinomio a todos los términos del polinomio. Ejemplos: a)

Factorizar P( ) Solución: Factorizando P( )

b)

)

)

Factorizar P(

)

(

) ( Factorizando P( MÉTODO DE LAS IDENTIDADES.

)

Solución: Agrupando P(

2.

( ) (

( )

) (

)(

)

Recibe el nombre de las identidades, porque se utiliza las identidades algebraicas o productos notables en forma inversa. Tenemos las siguientes:

( (

)(

) Diferencia de cuadrados

)( (

) Diferencia de cubos )(

) Suma de cubos

(

) Trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: Determinar el número de factores primos del polinomio

P( ) Solución: Agrupando y sacando factor común a P( )

3.

( )( P( ) (

)(

),( ) )( )(

P( )

)(

)(

(

)

(

(

)

(

)

P( )

)

)(

)(

)(

)

Numero de factores primos ASPA SIMPLE.

( )

Tiene la forma general:

;

(

)

;

O cualquier otra expresión transformable a esta.

4.

Ejemplo: Determinar el número de factores del polinomio P(

)

) Solución: P( ASPA DOBLE.

Numero de factores

(

)

(

)

(

)(

)

Tiene la forma general:

(

)

;

O cualquier otra expresión transformable a esta. Para factorizar el polinomio se considera los siguientes pasos a) b) c) d) e)

Se ordena el polinomio a la forma general, en caso falte uno o mas términos se completa con ceros. Se forma el primer trinomio con los tres primeros términos y se aplica aspa simple, para comprobar el segundo termino. Luego se forma otro trinomio con los términos (3,5 y 6) y se aplica aspa simple, para comprobar el quinto termino. Finalmente aplica aspa horizontales. simple con los términos (1,4 y 6) para comprobar el cuarto termino. Los factoresseserán lasun sumas

Ejemplo: Factorizar P( Solución: P(

)

)

Comprobando: Aspa simple con los términos (1,4 y 6)

5.

Los factores son: P( ASPA DOBLE ESPECIAL

)

(

)(

Tiene la forma general:

)

( ) (

;

)

;

O cualquier otra expresión transformable a esta. Para factorizar el polinomio se considera los siguientes pasos a)

Se ordena el polinomio a la forma general, en caso falte uno o mas términos se completa con ceros.

b) Se descompone convenientemente los extremos, se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados. c)

Se compara el resultado anterior con el término central del polinomio y lo que sobre o falte para que sea igual a éste, será la expresión

que se tenga que descomponer en las partes centrales de los futuros nuevos dos factores. d) Los factores serán las sumas horizontales. Ejemplo: Factorizar P( ) Solución:P( ) Multiplicando los extremos se tiene

para

falta

( )

6.

)( Los factores son: P( ) ( ) MÉTODO DE EVALUACIÓN DE DIVISORES BINOMIOS Ese método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado y que admitan factores de primer grado de la forma general Los ceros de un polinomio son el conjunto de valores que puede tomar la variable de un polinomio y hacer que su valor numérico sea cero. Para determinar los posibles ceros de un polinomio se considera: a) Si el polinomio tiene como coeficiente principal a la unidad, en este caso los posibles ceros racionales estarán dados por los divisores del término independiente con su doble signo (

). Por ejemplo:

P( ) Los posibles ceros estarán determinados por los divisores de b) Si el coeficiente principal del polinomio es diferente a la unidad, en este caso se toman los valores fraccionarios que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente.

P Por ejemplo: P( ) Los posibles ceros son: Para factorizar el polinomio se considera los siguientes pasos a) b)

Se ordena el polinomio, en caso falte uno o más términos se completa con ceros. Determinar los ceros del polinomio. (el número de ceros debe estar de acuerdo con el grado del polinomio)

c)

Deducir el factor que da lugar al cero del polinomio; si un polinomio P( ) se anula para

(

) será un factor primo del polinomio.

ó P( )

, entonces

d)

) Q( ) Es decir: P( ) ( Los factores se determinan utilizando el método de Ruffini, el cual se emplea tantas veces como ceros tenga el polinomio.

Ejemplo: Factorizar P( ) Solución: Los posibles ceros son

Donde P( )

P( )

P( )

P( )

— —

— ( ) Entonces P( ) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

(

(

) )(

)( )( ) EJERCICIOS

) ( ) , e indicar la suma de Factorizar ( los términos independientes de sus factores primos. Rpta.: 3. ) Luego de factorizar: ( . Uno de los factores primos; es: Rpta: x+1. La suma de los coeficientes de uno de los factores primos del polinomio: ( ) , es: Rpta: 1. ) El número de factores primos del polinomio ( ; es: Rpta: 4. Al factorizar: . Indicar la suma de coeficientes de sus factores primos: Rpta: 15. La suma de sus términos independientes de los factores primos de: ( ) , es: Rpta: 3. Factorizar: . )( ) Rpta: ( ( ) Factorizar: . Rpta: ( ) ( )( )( ). Factorizar: ( ) . )( ). Rpta: ( Luego de factorizar: P( ) . Dar la suma de todos los factores primos. Rpta: 4x+1.

11.

) Factorizar: ( ) ( factores lineales de P(x) es: Rpta: x-4

(

12.

Al factorizar el polinomio

( )

13.

¿Cuántos factores lineales tiene? Rpta: 3 La suma de los factores primos del polinomio ( )

)

; uno de los

;

17.

18.

; es: Rpta: 3x+3. Uno de los factores primos del polinomio

15. 16.

( )

). Rpta: ( La suma de los términos independientes de los factores primos lineales del polinomio ( )

20.

; es: Rpta: -3 Hallar la suma de los coeficientes de los factores ) ( )( ) (( )( )) primos de: ( ). Rpta:-1.

21.

Al factorizar . El número de factores primos; es: Rpta: 2. 22. Luego de factorizar, indicar un factor primo de (

23. 24.

; es:

)

,(

)

(

) -

(

); es: Rpta: 3x+3y-z. Indicar de factores primos de: ) ( el número )

( )

Rpta: 3. El factor primo de mayor suma de coeficientes en el polinomio

(

)

; es: Rpta: 2x+y+2. 25. 26. 27.

es: Rpta: 8x-5. Uno de los factores primos del polinomio ( ) es: Rpta: (La suma de).los factores primos ;del polinomio ( ) ; es: Rpta: 6x-3. La suma de los factores primos del polinomio P( ) ; es: Rpta: 7x+y-3. La suma de factores primos lineales de P( )

14.

19.

28. 29. 30. 31. 32.

Factorizar: P( ) . Rpta: ( ). Hallar(x-2) en número de factores primos de: ) P( Rpta: 3. Uno de los factores primos del polinomio

, es:

) (P( )( ).; es: Rpta: Determinar el número de factores primos de ( ) ( )( ) . Rpta: 3. Determinar la suma de factores primos lineales de: ( ) . Rpta: 3x. Determinar la suma de factores primos lineales de: ( ) . Rpta: 7x+3. Halle la suma de los términos independientes de los factores primos de ( ) . Rpta: 0 Halle la suma de factores primos de: ( ) . Rpta: .

33. Al factorizar el polinomio ( ) ; la suma de los coeficientes de uno de los factores primos ;es: Rpta: 3. 34. El número de factores algebraicos del polinomio

(

44. 35.

( ) ( )( )( )( Rpta:7. Al factorizar el polinomio (

)

36. 37.

Factorizar (

38.

)( )( Rpta.: ( ) Determinar uno de los factores de:

)(

( ) Rpta.: . Factorizar: ( ) coeficientes de un factor primo. Rpta.: .

45.

; el factor primo de menor suma de coeficientes, es: Rpta: x-2y. ) ( ) , e indicar la suma de los Factorizar ( términos independientes de sus factores primos. Rpta.: 3. )(

Indicar uno de los factores primos de:

, es:

)

)(

46.

Cuantos factores primos tiene: P(x) x3 18x 35 Rpta.: 2.

.

)

47.

( ) ( (4a+3b). 39. Rpta.: Señalar uno de los factores de:

)

(

)

Rpta.: x3 x2 1 . Al factorizar la expresión:

48.

2

P(x) (x 6)(x 2)(x 16) 48 . La suma de

40. 41.

( ) , es: Rpta.: la suma. de los coeficientes de la variable x de: Señale

coeficientes de uno de los factores primos; es. Rpta.: . Después de factorizar:

49.

P(x, y) 35xy 15y 77x 98y 143 Halle el 2

factor primo lineal. Rpta.: 5y 11

( ) Rpta.: . Indique la suma de términos independientes de los factores primos de:

P(a, b) a2 ab 3a 2b 2

50.

Al factorizar: Rpta.:

a b 1

Al factorizar el polinomio: P( y) y5 y4 2y 1 ; la suma de los factores primos es ; es. Rpta.: y3 y2 2y 2

51.

Rpta.: . Señale la suma de los factores primos cuadráticos del polinomio: ( ) .

2

f (x1)=ax +bx+c

RADICACIÓN Definición: una radicación es una operación √

tal que

√

Donde:

√ : Radical : Índice del radical ( : Radicando : Raíz n- ésima de

)

Propiedades: con (

) siempre que √ exista en

1. ( √ ) 2. √ 2

3. √

√√

4. √

√

5. √ √

y n es impar ;

√ ;

siempre que √ y √ exista en siempre que √

,

y √ exista en

√ ;

siempre que las rices indicadas existan en TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A RADICALES SIMPLES Analizaremos los casos más simples. Cabe notar que no todo radical doble admite transformación en radicales simples. Caso I: Radical de la forma: √

√

Donde A y B son expresiones racionales positivas y

√

√ Donde:

√

, siendo

√

necesariamente una expresión racional

Ejemplo: transformar a radical simple √

√

; Uno de los

factores primos; es.

( )

Rpta.:

; uno de

los factores primos es.

) . Rpta.: ( La suma de los factores primos lineales del polinomio:

43.

P(x) x6 x4 2x2 1

Luego de factorizar

( )

42.

, e indicar la suma de

√

√

Solución:

,

entonces

√

√

√

√

√

√

√

Forma practica de transformación de √

√

Para transformar un radical de la forma √

√ con sus respectivas restricciones en una adición o sustracción de radicales

simples, se procede de la siguiente manera: El radical doble √

Si

√ debe ser posible escribir en la forma

;

√

√

√

√

entonces

√

√

√

√

√

Caso II:

a) Radical de la forma: √

√

√

Donde

√

son expresiones racionales positivas, para realizar la

transformación se establece la siguiente igualdad.

√

√

√

√

√

√

√

Donde expresiones positivas. Para hallar son elevamos al racionales cuadrado ambos miembros, obteniendo:

√

√

√

√

√

√

Igualando las partes racionales e irracionales respectivamente tenemos:

√

√

(1)

√

√

(2)

√ (3) √ Resolviendo el sistema de 3 ecuaciones hallamos los valores de cualquier orden. Ejemplo: Transformar a radical simple √

√

√

√

√

√

√

√

√

. Las partes irracionales se pueden igualar en

√

√

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

√

√

√

√

√

√

Igualando las partes racionales e irracionales respectivamente tenemos:

√

√

√

√

√

√

De donde Entonces:

√

√

√

√

√

Forma práctica de transformación de √

√

√

Para transformar un radical de la forma √

√

√ √

√ √ con sus respectivas restricciones en una adición de

√

radicales simples, se procede de la siguiente manera: El radical doble √

√

√ debe ser posible escribir en la forma.

√

√ Si

√

√

√ ,

√

√

son expresiones racionales positivas.

b) Radical de la forma: √

√

√

√

√

√

Donde

√

√

√

entonces:

√

√ Donde

√

√

√

√

√

son expresiones racionales positivas con

√ para realizar la transformación se establece la siguiente igualdad. √

√

√

√

√ 8

√ √

Donde Para hallar

√

son expresiones racionales positivas. elevamos al cuadrado ambos miembros, obteniendo:

√ √

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

Igualando las partes racionales e irracionales respectivamente tenemos:

20 | C E P R U 2 0 1 5

√

√

(1)

√

√

(2)

√

√

(3)

Resolviendo el sistema de 3 ecuaciones hallamos los valores de Ejemplo: transformar a radical simple √

√

√

√

√

√

√

√

√

.

√

√

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

√

√

√

√

√

√

Igualando las partes racionales e irracionales respectivamente tenemos:

√

√

√

√

√

√

De donde Analizando √

√

Entonces: √

√

√

√

√

√

√

√ √

√ √

√

√

√

√ √

√

Forma practica de transformación de √

√

√

√

Para transformar un radical de la forma √

√

√

√

con sus respectivas restricciones en radicales simples, se

procede de la siguiente manera: El radical doble √

√

√

se transforma.

√

√ Si Entonces:

√

√ ,

√ √

√

√

√

√

√

√

√

√

√ √

8

√ Donde:

√

√ √

√ √

√

√

√

√

√

√

son expresiones racionales positivas. RACIONALIZACIÓN

La racionalización es el proceso que consiste en transformar el denominador (o numerador) irracional en otra expresión racional a través de un factor denominado factor racionalizador. Factor Racionalizador (FR): Es una expresión irracional tal que al multiplicar a otra expresión, la transforma en una expresión racional. CASOS DE RACIONALIZACIÓN Caso I:

Cuando el denominador irracional es un Monomio de cualquier orden.

El FR es un radical que tenga el mismo índice, pero cuyos exponentes del radicando estarán expresados por la diferencia existente entre el índice original de la raíz y los exponentes que afectan a sus variables.

N

R

√

√ Ejemplo: Racionalizar. √

1. √

2.

√

√

R √

3. √

√

R

√

√

√ √

R

√

ASIGNATURA: ÁLGEBRA | 21 R Caso II:

√

Cuando el denominador irracional es un binomio (o transformable a binomio) cuyos radicales son de segundo orden (o índice par)

El FR es la conjugada del denominador que se empleará tantas veces hasta que el denominador quede transformado en una expresión racional.

N

√

√ N Ejemplo: Racionalizar 1. √

√

√

√ √

√

√

√

√

R

√

√

√

√ R

√

R

√

√ √

2.

R √

Caso III:

√

√

√

√

R

√ N

√

√

√

√

√

√

R

√

√

√

√

Cuando el denominador irracional son radicales de tercer orden de las formas.

N √

√

√

∓ √ R

√ ∓ √

√

√

Para este caso debe tenerse en cuenta las siguientes equivalencias algebraicas

√ )( √

(√

√ ). √

(√

√

√

)

√

√

/

Ejemplo: 1.

R

√

R √

1.

√( )( )

√

2. √

√

√

√ EJERCICIOS

√

Si p es una √ por: √ transformado a radicales simples es:

expresión definida ; x>0 entonces

10.

√

El denominador racional de la fracción

; es: √

Rpta: 25. Rpta: √

√ .

11.

El denominador racional de la fracción

; es:

Rpta: 18. 2.

Al transformar: √ simples; uno de ellos es:

√

3.

es:

.

√ Si: √ Hallar “a+b”.

√

√

en radicales

√

12. El denominador racional dela fracción Rpta: √

√

√

√

√

√

√

.

13.

√

Rpta: 3.

√

Al simplificar la siguiente expresión se obtiene:

Rpta: 2.

√

√

√

√

√

√

√

;

;

Rpta: 47. 4.

El denominador racionalizado de la expresión: ; es: √

√

Rpta: 10y. 5.

√(√ Sea √ )(√ √ √ √ √ transformar a radicales simples Rpta: 2.

15.

Si

El denominador racionalizado de: Rpta:

√

16. )

√

(√

√( √

)

8.

√ √. , es: Rpta: √ El denominador racionalizado de la expresión

√

17.

√

√

√

.

√

Rpta: 66. Expresar en forma de radicales simples la expresión:

√

; es: √

Rpta: √ 18.

Rpta: 5xy. Transformar en radicales simples la expresión

√

√

)

Rpta: 1/2. Uno de los radicales simples del radical doble

√

√

Hallar el valor de “m” en: √

.

7.

9.

.

√

Evaluar: √(

√

Rpta:

; es:

al √ ) ; se obtiene:

〉 , al simplificar la siguiente expresión , se obtiene:

〈

√

6.

6.

14.

.

El

Rpta: √

√

√ √

√

.

√ .

denominador

√

de , es: .

la

fracción:

√

19.

√

√

Rpta: 3. Transformaren √

√

Rpta:

√

√

√

√

√

radicales expresión: √ .

√ .

simples

la

22 | C E P R U 2 0 1 5 √

20.

La expresión simplificada de: √√ Rpta: 1.

21.

El denominador racionalizado de:

39.

√

.

√

Rpta: √

√

√

√

√

√

√

.

√

Rpta: 0.

. √√

Reducir: √

Hallar el valor de la expresión: √

Rpta: 5.

22.

38.

√ ; es:

El denominador racionalizado y simplificado de:

√

√

.

Rpta.: 4.

√

40. 23.

Si √ √ Rpta: 23.

√

√

√

Racionalizar:

. Hallar “a+b”.

√

√

Rpta.: 24.

√√

Si

√

√

√

√

√

.

√

Hallar

4a.b.c+a.

41.

(√

√ √

)

Racionalizar: √

Rpta: 20. 25.

El denominador racionalizado de: Rpta:

26.

El

; es: √

. denominador

racional

de:

;

√

43.

Al transformar el radical doble √

Rpta: √

√

√

45.

√

El denominador de la fracción

es la solución de la siguiente .Hallar √

31.

El

denominador

(√

√

√

√

46.

ecuación: .

47.

√ )

El denominador racionalizado de:

√

√

El denominador racionalizado de: √

49.

√

√

simples

√

Calcular el valor de “ ”, en:

dela

expresión

50.

√ Rpta.: √ 51. una

Calcular (

expresión √ Rpta.: 2.

√ se obtiene una √ de “a+b”; √ . El valor es: 52.

√

√

√

√

√

, el

√

√ √

Indicar el denominador de:

Rpta.: 3. 53.

√

. √ ) ; si:

√

Rpta: 11. Al extraer la raíz cuadrada de termino racional; es:

√

Transformar en radicales simples:

√

37.

, entonces , se

√ .

√ Rpta.: 30.

√

.

√ √ √ expresión de la forma √

;

√

; es:

Rpta: -15.

reducir

√

√

El denominador racionalizado de:

Al

√

Rpta.: √

√

√

, es:

Rpta: x+4.

Rpta: √

√

√

√ √ Si , es una expresión definida por: expresa en:

.

Rpta: 1.

raíces , es:

√

.

√

Rpta.: 1. 48.

las

Rpta.: √ Reducir:

√

Rpta: 2.

Una de √ √

√

√

Rpta.: √ . Hallar la raíz cuadrada de:

; es: √

√

√

√

racionalizado

√

√√

√

√

; es: √

de:

√

Rpta.:-1. Calcular el valor de: √

√

36.

√

√

√

; es:

Si

35.

√

√ √ √ Indicar el denominador luego de racionalizar: √

30.

34.

√

Rpta.: 2.

Rpta: 13.

33.

√

Señalar el denominador de:

.

Rpta: 6.

32.

√

El denominador racionalizado y simplificado de la expresión:

29.

Reducir y racionalizar:

√

, uno de sus radicales simples; es: 44.

28.

√

Rpta.: 1.

es:

Rpta: 4.

;

42.

√

√

√

√

27.

Rpta.: √

√

Señale el denominador racional de:

√

√

√√

ASIGNATURA: ÁLGEBRA | 23

√

Rpta.: 8.

Rpta: 2. 54.

S i

a 2 6(b 4) 

a 3 3b

Siendo a

0 b 0 . Descomponer en radicales

63.

Al

simples la expresión:

3  5

64.

Si

2

; es:

Uno de los radicales simples de:

x 2x 1

66.

3

x 4x 2x 4x 4x 1 ;

4

es:

67.

√

√

√

R 61.

√

√

Rpta. P

√

68.

√

√

R

√

√

√

x2

3 2  7 2 2

x 3x 

70.

( 2 

3 5) 2

3

2 3

El denominador racional de:

1

3

2

4 x 43 xy 3 y 48 x

, es: 2

Rpta. 8x y

Rpta: 114 6

2

f (x1)=ax +bx+c

ECUACIONES Definición.- Una ecuación es una igualdad condicional que contiene una o más variables. Ejemplo: sólo se verifica para Se llama solución de una ecuación al valor o conjunto de valores que sustituidos en lugar de las incógnitas transforman a las ecuaciones en identidades. ECUACIONES EQUIVALENTES Reciben este nombre las ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Ejemplo: sólo se verifica para Sólo se verifica para

x A B x

1

√

8x  4x 3 

simples:

112  504

El denominador resultante es: Rpta.18

√

x 2 

288 

radicales

2

A

Expresar como un radical doble

E

a

Rpta.4 Al racionalizar la expresión:

69.

Descomponer en radicales simples √

3 x  x 1

8x 24x 9 4(2x 3)

es:

x 1 , es:

3

x 

Hallar A+B, si: 4

√

√

√

62.

P  29 

Descomponer en radicales simples √

Transformar

√

y se cumple la siguiente igualdad

3

x 

4

2

Rpta.

√ √ Entonces el valor de

R

x 1 

3

x  4

√

Si

,

x 2

Racionalizar

59.

forma

4

3

R

la

Simplificar:

2

x 2x 2 2

Rpta.:

58.

x

Rpta.

4

tiene

simples

a radicales simples, uno de los radicales es:

Rpta.: 7.

6

2 4 x 2

1

12

3

radicales

Al transformar:

El denominador racionalizado de:

57.

a

Rpta:6

65.

14  21 35

transformación

a  bx  x , hallar a b

; El denominador;

es: Rpta.: 6.

60.

la

16 3x 8 2x 8 x 2 2x2

3 25 53 5  3 25

56.

2

x 2

Rpta:

Al racionalizar:

55.

en

radicales simples, uno de ellos es:

a b 2 2a 19b . Rpta.:

2

3x 1 8x 4x 24

transformar

3 5 5

Las ecuaciones:

I)

y

Son equivalentes, puesto que para ambas: S * + CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Ecuación Compatible.- Es aquella ecuación que tiene al menos una solución y esta a su vez pueden ser: a) Ecuación Compatible Determinada.- Es cuando la ecuación admite un número finito de soluciones.

Ejemplo: La ecuación ( )( ) + Por lo tanto el conjunto solución es: S * b) Ecuación Compatible Indeterminada.- Es cuando la ecuación admite un número infinito de soluciones. ) ( ) Ejemplo: La ecuación (

Por lo tanto el conjunto solución es: S (Infinitas soluciones) II) Ecuación Incompatible.- Es aquella ecuación que no admite ninguna solución. ) Ejemplo: La ecuación ( , Absurdo Por lo tanto, la ecuación no admite solución alguna, S ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REAL Es una ecuación que se reduce a la forma: Siendo la variable o incógnita que pertenece a los reales, la ecuación se llama forma general de la ecuación de primer grado con una variable real. Siendo la solución de la ecuación es decir, el conjunto solución es: S 2 3 Análisis de las raíces. Dada la ecuación: 1. 2.

Si Si

3.

Si

La ecuación es compatible determinada y tiene solución única. La ecuación es compatible indeterminada y tiene infinitas solución, entonces S La ecuación es incompatible y no tiene solucione, entonces S ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REAL

Llamada también ecuaciones polinómicas de segundo grado. La forma general de una ecuación cuadrática con una variable real “x”, es: La forma normal de la ecuación cuadrática es: ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Dada la ecuación: 1) Si 2) Si 3) Si

entonces la ecuación es compatible determinada. entonces la ecuación es compatible indeterminada. entonces la ecuación es incompatible (imposible).

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA La ecuación cuadrática se puede resolver mediante una factorización o utilizando la fórmula de baskara. 1. MÉTODO DE FACTORIZACIÓN En la ecuación

(

debemos aplicar aspa simple al primer miembro, es decir:

)(

)

Se cumple sólo cuando

{

de donde el conjunto solución es:

}

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución:

Se cumple sólo cuando Luego el conjunto solución es: 2.

FÓRMULA DE BASKARA Se utiliza cuando el trinomio

de donde

2

3 no es factorizable en

. Luego las raíces (soluciones) de la ecuación esta dado por la fórmula: √

Donde se obtienen las raíces:

√

√

Donde el número real

es el DISCRIMINANTE de la ecuación cuadrática

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: identificando

√( )

( )

, reemplazando en la fórmula cuadrática

( )(

)

√

√

( ) Donde las rices son:

√

√ NATURALEZA DE SUS RAICES En la ecuación

de coeficientes reales, con raíces

1) Si

, entonces las raíces

se cumple:

son raíces reales y diferentes.

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución:

Se cumple cuando Donde

*

Luego el conjunto solución es: 2) Si

+

, entonces las raíces

son raíces reales e iguales.

Observación: ecuación cuadrática es un trinomio la cuadrado perfecto. Ejemplo: Resolver la ecuación Solución:

(

)

tiene dos raíces reales e iguales o solución única, si el trinomio

, Se cumple cuando

Donde Luego el conjunto solución es: 3) Si

{ ⁄ } es una única solución.

, entonces las raíces

son raíces complejas y diferentes.

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: identificando

√( )

( )

, reemplazando en la fórmula cuadrática

( )( )

√

√

√ √

( ) De donde las rices complejas son: √

Donde: (√

√

) número imaginario

PROPIEDADES En toda ecuación

de coeficientes reales, con raíces

1. Suma de raíces: 2. Producto de raíces: √

| 3. Diferencia de raíces: | 4. La ecuación que dio origen a las raíces

( (

) )

Ejemplo: Sean Hallar

S

es:

, si (

raíces de

)(

) (

)

se cumple:

Nos pide: (

)(

)

(

)

RAÍCES ESPECIALES Sean

raíces de la ecuación cuadrática

1.

Si una de las raíces es el inverso aditivo de la otra entonces las raíces son simétricas. ) Es decir: ó ( Si

2.

es una de las raíces, entonces la otra raíz será

talque

Si una de las raíces es el inverso multiplicativo de la otra entonces las raíces son recíprocas. Es decir:

ó (

Si

)

es una de las raíces, entonces la otra raíz será

talque

Ejemplo: calcular la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación ( ) ( ) Sabiendo que las raíces son reciprocas. Solución:

( (

)

)

Identificando

y como las raíces son reciprocas, entonces se cumple: , luego la ecuación cuadrática queda:

Observación: Tienen las mismas raíces (son equivalentes), entonces: Si las ecuaciones { Ejemplo: Dada las ecuaciones equivalentes (

)

(

y

)

( ) Hallar Solución: Por se equivalentes se cumple: (I) ( II ) ( III )

De ( I ) y ( II ) De ( II ) y ( III )

(

Luego 1.

4.

.

8.

Rpta: 36. 9.

〉.

Rpta: La ecuación

+. Hallar la ecuación cuyas raíces sean

*

Para que la ecuación

; es:

I.

Si la ecuación: ; es compatible indeterminado. Hallar el valor de “m-n”.

11.

Rpta: 3. La diferencia entre la mayor raíz y menor raíz de la ) ecuación: ( ) ( , Rpta: 14.

12.

Dada la ecuación:

es:

(

√

√

de raíces

y

. Determinar el valor de:

√

13.

La solución de la ecuación

14.

es: Hallar 3x ( )(

;

)(

Para que valores de m la ecuación tiene

( (

) )(

Rpta: 1. de la ) , ( ecuación: ) -

.

(

)(

Rpta:-2. )

.

Rpta: 5/2.

Rpta: m+n=0.

Rpta: -1/2.

.

)

10.

II. Es compatible III. Es incompatible.

) sea incompatible, cual es la condición que debe cumplir m y n.

raíces iguales.

(

.

compatible determinado. indeterminado. IV. Tiene como solución x=2. Rpta: incompatible

7.

Formar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la ecuación . Rpta:

,

Se considera la ecuación de raíces reales . y

Si las raíces de la ecuación cuadrática son reciprocas y la suma de raíces es b-5. El valor de “a”; es:

.

Es

6.

EJERCICIOS

)

Determinar la suma de cuadrados de las raíces de ( ) la ecuación ( ) sabiendo que las raíces son reciprocas. Rpta: 82/9.

y 5.

(

Determinar los valores de “m” de manera que las raíces de la ecuación tenga una raíz menor que 2 y otra mayor que 2. Rpta: 〈

3.

)

Resolver la ecuación en x: Rpta:

2.

)(

15.

¿Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones: I. . II. III. Rpta: solo II.

. No admiten raíces rales?

)

16.

Si la ecuación raíces a

y

; admite como . Hallar “m”.

33.

tal que

en la ecuación: , de manera que una de

Rpta: -1/2. (

Una de las raíces de la ecuación: ; es: √

)

34.

√

(

)

;

,

sean equivalentes.

o

√

Hallar “a+b”, de manera que la ecuaciones:

√

√

Rpta: 18.

)

sus raíces sea la unidad.

Rpta: 24. 17.

Hallar el valor de “k”,

(

Rpta:-13/3.

√ .

Si la ecuación:

35.

tiene infinitas soluciones.

Si la suma de los cuadrados de las raíces de:

m

x2 

Hallar el valor de “k”.

19.

Rpta:-3/2. El menor valor entero negativo de “n”, para que la ecuación: ( ) tenga raíces reales; es:

20.

Rpta: -4. Si una de las raíces de la ecuación: ( ) ; es -3 y la otra raíz, es: Rpta: 7.

5

m

84; Es de 34 .Hallar el valor de E 

67

Rpta.: 5. 36.

Si r y s son las raíces de la ecuación: 2

ax bx a 0 ; Determinar el valor de (ar b)(as b) a

Rpta.: 37.

2

Si a 2y b son raíces de la ecuación:

3x 2(m 1)x m 1 0

; Determine el valor

21.

Hallar el valor de x, si se tiene:

.

9a b

Rpta:16/5.

22.

Hallar el

valor de

“m”,

si

la ecuación

incompatible: Rpta:

23.

(

Si la

)

ecuación

( de

38.

.

Si la ecuación: 2

10(a b 8)x 6(a b)x 5ab 0 ; es incompatible. Hallar 2a b .

)

;

cuadrática:

tiene

(

raicea

39.

)

es incompatible. Hallar el valor

.

40.

Rpta:-9.

26.

Si las raíces dela ecuación: ( son iguales. El valor de “m”; es:

Rpta.: . mx n 5x 3 9x Si la ecuación compatible indeterminada, el valor de m n , es Rpta:3

II) Si x1.x2 1 , entonces las raíces son reciprocas. b

)

III) IV)

Rpta: 0; 2. Determinar la ecuación cuadrática de raíces (a+b)

.

41.

Hallar “m” de modo que: ( ) ; tenga raíces reales e iguales:

(

)

42.

), sea compatible indeterminado. 43.

las

raices

de

la

45.

Hallar la mayor solución de la ecuación: (

El

conjunto

solución

de

la

ecuación: , es:

Calcular la suma de las raíces de la ecuación:

?

Hallar el valor de:

5x 12 2 2x 6

; sabiendo que su

E

Rpta: 3. ( ) Para ecuación:reciprocas. tiene qué valor de “k”, laraíces Rpta:-7.

ecuación

Rpta 4

discriminante es 25. 32.

de

El conjunto solución de ecuación 3x 5 7 x , es:

x x 2  x

; sea compatible

)

suma

Rpta {1}

Hallar el valor de “a+b”, de manera que la ecuación: indeterminada. Rpta: 7.

La

6 3x 12x 24 16x  x 2

* +.

(

b  , x 0, x 0 1 2 x2 c

Rpta: 1, 3

Rpta: 2. Para qué valor de b, la ecuación:

)

1

es: Rpta:8

44.

31.



x 4  x 4 6 0 ,

(

; es compatible determinada.

30.

1

2

Rpta: ( ) . Calcular “ ” para que la ecuación:

Rpta:

c

La suma de las inversas de las raíces, es

Rpta:VVFV

Rpta:

29.

x1 x2 

La suma de raíces es

x1

.

28.

2

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Si x1 x2 0 , entonces las raíces son simétricas.

y a.b, si a y b son raíces de la ecuación

27.

192

Para que valores de “m” la ecuación: (

)

25.

3 9a b a 3b

Rpta.: .

es

.

reciprocas. Rpta:-10.

24.

,

m para3 que se verifique: 2 2 3

de

(

)

Rpta 3

3x

,

si x 0,3 

es

2

f (x1)=ax +bx+c

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REAL. Es una desigualdad que tiene la forma general.

Conjunto Solución En el conjunto solución, esta dado por los valores reales de la variable , que satisface la inecuación dada.

〈

〉

〈

〉

〈

] 〉

[ Ejemplo: Hallar el conjunto solución de la inecuación (

)

Solución:

S

,

〉

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REAL La inecuación cuadrática o de segundo grado en una variable real

presenta la siguiente forma general.

SOLUCIÓN GENERAL Para de segundo grado esserecomendable Luegoresolver teniendouna en inecuación cuenta el discriminante presentan los que casos. 1. Si ( ) se cumple:  

2

3

 

2

3

2. Si

(

) se cumple:

(

)

en caso contrario multiplicar por ( ) y la desigualdad se invierte.

    3. Si

La inecuación se resuelve por puntos críticos, pues el trinomio siempre es factorizable (ya sea por factorización o utilizando la formula de baskara) en el campo de los números reales. El procedimiento es: Pasar todas expresiones a un solo miembro dejando cero en el otro. Se factoriza la expresión, luego se iguala cada factor a cero para obtener los puntos críticos. Estos puntos críticos se ubican sobre la recta real. Luego se asignan los signos ( ) y ( ) en forma alternada empezando de derecha a izquierda. La solución de la inecuación estará expresada por las zonas positivas si el sentido de la desigualdad original es mayor ( que ) o mayor menor oque igual ( ) o igual ( )o por las zonas negativas si es que el sentido de la desigualdad original es menor que ( ) o Ejemplo: Resolver Solución: multiplicando por )( ( )) se tiene puntos críticos: (

(la desigualdad se invierte) Hallando los

Ubicando los puntos críticos en la recta real y asignando los signos ( ) y ( )

-

+ 3

- Teorema: Si el trinomio Ejemplo: Resolver

S

〈

-

+ 10

,

tiene discriminante

+ 〉 (

), entonces

Solución: El trinomio

( )( )

tiene discriminante

Entonces

luego la ecuación original es equivalente e resolver

(

)(

-

+ -4

-

)

+ 5

+

S , VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real “a” esta definido por: | |

2

Propiedades: 1.

| |

2. 3. 4. 5.

| | | |

6. 7.

| | ⟨ ⟨

8.

| | | |

|

| | √

|

| | | |

| || | ; ; |

;

|

9. | | | | | | ; (Desigualdad triangular) ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Para resolver ecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades. 1.

| |

2.

| |

(

)

| |

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

|

(

|

)

Encontrar el conjunto solución de | |

|

S | * + Ejemplo: | Solución: | |

|

S * INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Para resolver inecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades. 1.

| |

(

)

2. 3. 4. 5.

| | | |

| | | |

(

)

| |

(

)(

6.

| |

| |

(

)(

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

|

) ) | )….. Propiedad 1

(

S Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |

(

+

〈 〉 …. Propiedad 2 Solución: |

|

)

(

) )

(

Interceptando

( ,

S Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

….. Propiedad 3

S

〈

〉

〈

) 〉

|

|

|

〉

ASIGNATURA: ÁLGEBRA | Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

|

|

|

| )(

( (

|

)(

31

| )

….. Propiedad 6

〈

-

)

S

EJERCICIOS 1.

Resolver la ecuación en x: Rpta:

2.

.

.

y |

Sabiendo que

|

4.

17.

Rpta: 〈 〉. Entre que límites debe de estar comprendido “n”

.

para que

.

Resolver: |

19.

Hallar el conjunto solución de: Rpta: *

Hallar la suma de todos los números enteros que satisfacen a la inecuación

.

18.

〉. 20.

se

la inecuación:

verifique Rpta: 〈 〉.

El conjunto solución de la inecuación ; para y ; es: Rpta: 〈

)

Resolver:

. Hallar el

intervalo al que pertenece la expresión Rpta: 0 1.

3.

(

16.

.

|

Rpta: *

+. .

| |

+.

El conjunto solución de: ( Rpta.: 〈

-

,

-

)( ,

) 〉.

. 21.

El conjunto solución de la inecuacion:

Rpta:-3. 5.

(

En las siguientes proposiciones indicar con (V) si es verdadero y con (F) si es I. el conjunto solución de la inecuación: ; es

falso: 22.

)

Rpta.: 〈 〉. El conjunto solución de:

.

II.el conjunto solución de la inecuación: , es

Rpta.: 〈

.

23.

〉.

El mayor valor entero que satisface al sistema: ; es:

III. el conjunto solución de la inecuación: Rpta.: 26. ( )( ) ; es * +. IV. el conjunto solución de la inecuación:

24.

Para que valores de “x” se verifica la siguiente inecuación:

; es . Rpta: VFVF. 6.

Rpta.: 〈

Si

, tal que

.hallar “m+n”.

Rpta:3. El conjunto solución de la ecuación: | |* + | | |; es: Rpta: El . conjunto solución de la inecuación: | ( ), es: Rpta: 〈| 〉.

7. 8.

9.

25.

Resolver:

26.

Rpta.: 〈 Resolver:

|

-11

11.

Resolver: | Rpta: .

|

Resolver: |

|

Rpta: * 12.

27.

Hallar el conjunto solución de:

28.

Rpta.: 〈 〉 , 〉. Hallar el conjunto solución de: ( )( )

29.

Rpta.: 〈 〉. El, es: conjunto solución de la inecuación:

Rpta: , 13. 14.

Rpta:〈 Dado: ( pertenece

|

|.

Rpta.: 〈 |

|

.

)

〉 )

〈 .

)

.

〉.

30.

Hallar el conjunto solución de: ( )(

31.

-. Rpta.: 〈 Hallar el conjunto solución de:

32.

〉 〈 〉. Rpta.: 〈 Hallar el conjunto solución de:

-.

Resolver: (

(

.

+.

Resolver: ||

-.

( ) ( ) . Señalando el menor valor que puede tener “x”. Rpta.: .

Hallar la suma del menor entero y el mayor entero que satisface a la inecuación: Rpta: | | | |.

10.

〉.

〉 . Hallar el intervalo al que

)(

)

30 | C E P R U 2 0 1 5 Rpta: 〈

15.

〉.

Resolver: Rpta: -

. -

,

,.

Rpta.: 〈

〉

〈

〉

〈

〉.

33.

Hallar el conjunto solución de:

Rpta.: 〈 Resolver: solución: Rpta..

34.

〉

〈

〉.

51.

La suma de las soluciones de la ecuación: ) | | ( , es: Rpta.: .

52.

El producto de las raíces de la ecuación: ⟨

y hallar su conjunto

35.

Hallar el conjunto solución de:

36.

Rpta.: , Para que siguiente valores de ” enquela para inecuación cuadrática se “cumple todo : . Rpta.: 〈 〉.

37.

Determinar el valor de “a” tal que la inecuación: ( ) ( ) ; se verifique

53.

El producto de las raíces de la ecuación: |

54.

|, es: Rpta.: .| Señalar el menor valor entero positivo que verifique la inecuación: | | . Rpta.: .

|

. Al resolver: |  1 | Rpta.:  , .

|, el conjunto solución, es:

|

  2

Rpta.: 0 Hallar el conjunto solución de:

( Rpta.: 〈 39.

,

Rpta.: .

55.

38.

⟨

es:

〉

)( 〈

〉

〈

)

56.

El conjunto solución de: | Rpta.:0 1.

57.

Determina el conjunto solución soluciones de la siguiente inecuación: | 1.

〉.

Al resolver:

x 8x 20 0 . El conjunto solución; es. 2

58.

, es:

|

. Rpta.: 0

|

Hallar el conjunto solución de:

Rpta.:

| 40.

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. tiene II. (

)(

III.

tiene

)

tiene tiene

IV.

2 3

Rpta.: , 59.

60.

( R 42.

Resolver (

R 43. 44.

)

,

)

)( 〉

)

,( 〉

Resolver

R

(

〈

〈

Tiene solución única.

(

)(

Rpta.: 2

|

|

| |

. | |  3  ,   2

|

|

|

|

|

|

) El conjunto solución de la inecuación: | | | | |

|

〉 Rpta.: ,

Al resolver: ⟨

〉.

El conjunto solución de la inecuación: Rpta.:

62.

)

|

〉 〈 〉. Rpta.: 〈 Señalar la suma de las soluciones enteras: | Rpta.:

61.

Hallar el valor de k, si la ecuación

〈

|

Determinar el conjunto solución de: |

R 41.

〉

|

, el conjunto solución, es:

⟨

63.

3.

-.

El conjunto solución de la inecuación: | | Rpta.: 〈

〉.

3x 2 2x 8 2 x 4 45.

Al resolver: | negativa. Rpta.: 2 3.

|

| , indicar la solución

|

64.

46.

El conjunto solución de: | | , es. Rpta.: 2 3.

47.

Al resolver: ⟨

48.

Rpta.: * +. Resolver: |

2 

|, el conjunto solución, es: 66.

”.

|+, indicar | ) ”. el conjunto “( | ; siendo

La suma de las soluciones de la ecuación: |

|

|

|

|

|

4x 1  x 1 Si x  0,1 ; es. x

Rpta.: 5. 67.

50.

El valor de la expresión:

E

; siendo el conjunto solución

|

|

|, es:

;

si x  0, 4 .

El conjunto solución de la siguiente inecuacion x 3  x 4 ; es. Rpta.: 7 ,

|

⟨

* +, indicar “ Rpta.: 6. Resolver: solución | * Rpta.: 81.

6x 11 3x 9

Rpta.: 1. 65.

49.

Calcular: E 

El conjunto solución de la Inecuación: 2

2

x 2x 5  x 5x 6 Rpta.: , 1   7

; es.

 Rpta.:

.



68.

Determinar el conjunto solución de la ecuación:

x  x 5 11.

32 | C E P R U 2 0 1 5

 8

Rpta.: 69.

86.

El

conjunto

solución

de

la

inecuación

3x 6 5 x 2  4 2x 60 , es: x 0 Se obtiene por x 5

Al resolver la inecuación:

, m

conjunto solución 2

valor de: “ 2m ”.

 m, 

. Hallar el



Rpta: 4,8

87.

1

Si

4



 x 

3 2

x 2 x 4 m .

. Hallar m tal que

Rpta:1/5

Rpta.: 50.

88.

El

conjunto

solución

de

la

inecuación

2

x 10x 25 0 , es 70.

Conjunto solución de: 2x 5 2 4 ; es. Rpta.: 3 , 7 

89.

  2 2 71.

La solución de:

90.

Al resolver 4 3x 5X 2 , el conjunto solución,

91.

conjunto

solución

de

la

inecuación

solución 2x 3 3x 2,

de

la

inecuación

es: Rpta:–,3] El conjunto solución de

conjunto

solución

de

la

Resolver la ecuación:

81.

x 1

x 5 2x

Resolver la inecuación

 4

3

2

x 2x 15x 0

El

conjunto

solución

Cuántos valores enteros cumplen con la inecuación 2

Si

x

es

pertenece?

un

9 x 3

98.

inecuación:

número

real

que

Rpta: 4 99.

¿Cuál es el mayor número entero x que verifia:

5x 1 3x 13 5x 1 4  10  3 ? Rpta: 0 100. El conjunto solución de:

? Rpta:4 La suma de los valores enteros que cumplen con la

x 2 x 1

2 , es:

2x 1 x 2 ,

Rpta: -1/3, 3 101. El conjunto solución de la inecuación, 2 x  x 3 , es: Rpta: -∞,-1/2] 102. Resolver:

verifica:

, este número. ¿A que conjunto

El número real que satisface a la ecuación: 2 2 , es:

¿Cuántos valores enteros satisfacen la inecuación

Rpta:9

la

10 3x x  x x 6

Resolver 3 2x  4x 1 Rpta: 1, 2   3   

desigualdad

de

2 x 1x x , es:

Rpta: -∞,-3U[8,+∞ 

2x 5  4x 3 84.

1

4x 1 x 3 2 

Rpta:6

83.

2

Rpta: Φ 97.

x 4 4 2x

82.

x 2 x 3 0

Hallar el menor valor entero positivo que verifica la desigualdad:

2

96.



18 , se obtiene:

Rpta: 4

4 Rpta. [1,+ 79. Resolver 2x 1  x 10 x 5



2

94.

2x 3 4x 5 ,

Resolver la inecuación Rpta: 3, 5

Resolver:

Al resolver: 5 x 31 Rpta: x[-7,-6]U[6,7]

inecuación

es: Rpta:4,+

80.

x R

93.

95.

Rpta:–,1

Rpta.

Determinar el mayor valor entero de k en:

Rpta: {-3,3}

2x 5 1x 2x 1 , es: 3  3 5 4  3

78.

inecuación

Rpta: -7/5,+∞

conjunto

El

la

2

2x 3 3x 8 ,

77.

de

(2x 1) x(x 1) 3 5x(x 3) 2(x 5)

es: Rpta:[5,+

76.

solución

Rpta: 4 92.

El

conjunto

2

Rpta: ; 1  4 

75.

El

12x 4x 5 k 0;

es:

El

1, 2

Rpta: 7 , 3   2 4  

 6

74.

se verifique para

3x 5  x 2 , es:

Si 2x 3 4x 2 ; determinar su conjunto solución. Rpta.: 5 , 

73.

2

x 2mx m 2

todo valor real de x . Rpta:

x 4

Rpta.:

Entre que límites debe variar m para que la inecuación

x 4 4x 8 ; es.

72.

5

Rpta:

85.

El conjunto solución de la inecuación 2x 3 3 , es: x 2 Rpta: 2, 3





ASIGNATURA: ÁLGEBRA | 33 18x 1 x 2 4x 3 0 Rpta: -3,-1U{2}

103. Determinar el menor de los números enteros M que satisface la inecuación:

104. Determinar el conjunto solución de la desigualdad:

4 6x 3x2 M , x  .

2

( x 3 2) 5 x 3 4 .

Rpta: 8

Rpta:2,4-

{3}

2

f (x1)=ax +bx+c

Una matriz

MATRICES es un arreglo rectangular de números reales expresados en

de orden

[ Abreviadamente la matriz Ejemplo:

se denota como

0

filas y

columnas

]

[ ]

1

Es una matriz de orden

.

IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices y son iguales si son del mismo orden y sus elementos correspondientes son iguales, es decir:

[

Ejemplo: Las matrices

[

] son iguales

√

[

]

y

]

[

TIPOS DE MATRICES 1. Matriz fila. Es una matriz que solo tiene una sola fila, es decir, es de orden

Ejemplo: 2.

[

]

Matriz rectangular. Es una matriz donde el numero de filas es diferente al numero de columnas, es decir; es de orden Ejemplo:

4.

-

Matriz columna. Es una matriz que solo tiene una sola columna, es decir, es de orden Ejemplo:

3.

,

]

0

1

Matriz cuadrada. Es una matriz donde el numero de filas es igual al numero de columnas, es decir; es de orden se denota como

[ Ejemplo:

]

0 1

[

]

DIAGONAL PRINCIPAL Y TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA a) La principal de una matriz secundaria. cuadrada es una está formada por los elementos cuyos subíndices son iguales cuy: La diagonal otra diagonal se llama diagonal b) La traza de una matriz cuadrada es decir:

denotado por ( ) es la suma de los elementos de su diagonal principal,

( ) Ejemplo:

[

]

Diagonal principal: son los elementos Diagonal secundaria: Traza: ( ) PROPIEDADES DE LA TRAZA

1.

(

)

( )

( )

2.

(

3.

(

)

( ) )

(

)

Matriz nula. Es una matriz donde sus elementos son ceros y se denota por

5.

Ejemplo:

0

[

1

]

MATRICES CUADRADAS ESPECIALES 1.

Matriz diagonal. Es aquella matriz cuadrada donde todos sus elementos son nulos a excepción de por lo menos un elemento de su diagonal principal, es decir:

[

]

Ejemplo:

0

1

0

[

]

1 2.

√

Matriz escalar. Es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son todos iguales a un número real

, es decir:

[

]

* + √

Ejemplo:

0

0

1

1

[

] √ 3. Matriz identidad.- Es una matriz escalar cuyos elementos de su diagonal principal son iguales a la unidad, se √

denota por I es decir:

I

4.

I

I [ ] Ejemplo: I 0 1 Matriz triangular superior.- Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son ceros. Es decir: [

5.

]

[ ] Ejemplo: 0 1 Matriz triangular inferior.- Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal son ceros: Es decir: [

]

Ejemplo:

0

[

1

] MATRIZ TRANSPUESTA

Definición: La transpuesta de la matriz

de orden

, es la matriz

de orden

, cuyos elementos se obtienen intercambiando filas por

columnas o viciversa.

S

Ejemplo: Si

[

]

[

]

, entonces

[

]

(

0

1

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA

1. ( ) 2. (

)

3. ( 4. (

) )

5. (I )

I

MATRIZ SIMÉTRICA. Una matriz cuadrada es simétrica si Es decir:

[

]

.

)

Ejemplo:

[

]

MATRIZ ANTISIMÉTRICA. Una matriz cuadrada es antisimétrica si Es decir:

(

Ejemplo:

)

.

{

[

]

PROPIEDADES DE LA MATRIZ SIMÉTRICA y ANTISIMÉTRICA 1.

La suma de dos matrices simétricas (antisimétricas), es una matriz simétrica (antisimétrica)

2.

El producto de dos matrices simétricas, no es una matriz simétrica.

3.

Si

es una matriz cuadrada cualquiera, entonces: 

es una matriz simétrica.



es una matriz antisimétrica.

4.

Si

5.

La traza de una matriz antisimétrica es cero.

es una matriz cualquiera, entonces tanto

como

, son matrices simétricas.

6.

La única matriz que es simétrica y antisimétrica es la matriz nula cuadrada

MATRIZ IDEMPOTENTE. Una matriz cuadrada es idempotente si

] Ejemplo:

[

MATRIZ INVOLUTIVA. Una matriz cuadrada es involutiva si

Ejemplo:

[

, donde

]

I

I

MATRIZ NILPOTENTE. Una matriz cuadrada es nilpotente si

Ejemplo:

[

donde

, se llama matriz nilpotente de índice

, donde

]

OPERACIONES CON MATRICES I. ADICIÓN DE MATRICES: Dadas las matrices del mismo orden

[

]

,

-

[

y

]

[

]

, la matriz suma es otra matriz, definida por:

, donde , entonces

Ejemplo: Si

0

1

y

0

1

1

0

II. SUSTRACCIÓN DE MATRICES: Dadas las matrices del mismo orden

[

y

]

[

]

, la matriz diferencia es otra matriz, definida por: ( ) , entonces

Ejemplo: Si

0

1

0

y

0

1

1

PROPIEDADES: Sean

y

(matriz nula). Matrices del mismo orden, entonces:

1. 2. (

)

(

)

3. 4.

( )

( )

III. MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Dada la matriz Ejemplo: Si

[

[ 0

( )

( )

entonces

] 1

( )

encontrar

[

]

( )

( )

( )

]

0

1

IV. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES:

,

Dadas las matrices la matriz

y

[

-

,

[ ]

, tales que el número de columnas de la matriz y el número de filas de

]

son iguales, entonces el producto

,

Ejemplo:

-

, es otra matriz de orden “

donde:

”, la cual se define como:

∑ , hallar el producto

Dadas las matrices:

0

.

1 y

[

]

Solución

0

, donde:

1

,

-[ ]

( )( ) ( )( )

] ,

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

-

[ ,

-[ ]

( )( )

( )( )

] ,

( )( )

.

( )( )

( )( )

.

( )( )

-[

Por lo tanto:

0 0

1

1

PROPIEDADES: Sean

,

(matriz nula) e I (matriz identidad); matrices de órdenes compatibles con respecto a la adición y

multiplicación, entonces:

1. 2.

(

3.

(

)

4.

(

)

5.

I

)

(

)

I

6. 7.

Si

, no necesariamente que

8.

Si

, no necesariamente que

9.

Si

10. (

)

11. (

)

;

12.

;

;

.

;

.

.

DETERMINANTES

Definición: El determinante de una matriz cuadrada A es el número real definido por | | ó

( )

∑

0

Ejemplo: Si

∑

( )

( )

Donde es menor complementario de . DETERMIANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN , entonces | | ⟨ Si

( )

⟨

1

0

1

, entonces | |

⟨

⟨

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN

( )(

) ( )( )

.

REGLA DE SARRUS. Se utiliza sólo para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 

Se escriben las dos primeras filas a continuación de la tercera.



Se trazan tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha

, se procede con los siguientes pasos:

o



Se multiplican la diagonal principal y sus paralelas, luego se resta la suma del producto de la diagonal segundaria con sus paralelas.

Si

| |

[

]

| |

, entonces

(

|

|

) (

)

Ejemplo:

Si

| |

[

, entonces

]

(

) (

|

|

)

PROPIEDADES: Sean

1. 2. 3. 4. 5.

| |

I matrices cuadradas, entonces:

|O| |I| | | | | | | | | | | |

| |

|

| | | 6. | 7. Si una fila o una columna de la matriz cuadrada A son todos ceros, entonces |A| = 0

[

]

[

, Entonces

| |

|

|

, Entonces

| |

|

|

]

8. Si dos filas o dos columnas de la matriz cuadrada A son respectivamente proporcionales, entonces |A| = 0. [

] , Entonces

| |

|

|

La primera columna es proporcional con la tercera columna.

[

] , Entonces

| |

|

|

La segunda fila es proporcional con la tercera fila.

9. Si

[

]

es una matriz triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar o identidad, entonces | |

[

]

[

]

, Entonces

, Entonces

| |

|

|

| |

|

|

10. Si es la matriz que se obtiene al sumar un múltiplo de una de las filas de a otra, entonces | |

[

]

2f1 + f2

[

]

Entonces

11. Al intercambiar dos filas o columnas de una matriz, el determinante cambia de signo |

|

|

| |

| |

| |

|

12. Si a todos los elementos de una fila o una columna de la matriz cuadrada A se multiplica por una constante “k” entonces el |A| queda multiplicado por dicha constante

Definición.- Se dice que la matriz

[

]

es singular, si | |

Definición.- Se dice que la matriz

[

]

es no singular, si | |

.

.

MATRIZ DE COFACTORES Sí A es una matriz cuadrada de orden

, el cofactor del elemento

es el determinante que resulta de eliminar la fila

con la columna

Ejemplo: Si

[

El cofactor de

es:

( )

⟨

⟨

El cofactor de

es:

( )

⟨

⟨

El cofactor de

es:

( )

⟨

⟨

El cofactor de

es:

( )

⟨

⟨

El cofactor de

es:

( )

⟨

⟨

El cofactor de

es:

( )

⟨

El cofactor de

es:

( )

⟨

⟨

El cofactor de

es:

( )

⟨

⟨

El cofactor de Luego:

es:

( )

⟨

( )

se define como:

, donde

de la matriz

]

⟨

⟨ ( )

[

]

MATRIZ ADJUNTA Si es una matriz cuadrada de orden matriz de cofactores de la matriz A.

( ) * Es decir: Ejemplo: Del ejemplo anterior:

, se define la matriz adjunta de

y se denota por

( )

a la transpuesta de la

( )+

] ( )

*

( )+

[

MATRIZ INVERSA

( ) La matriz inversa de

[

]

está definida por:

INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEN

| |

no singular, entonces la matriz inversa de

Dada la matriz

0

1

Donde Ejemplo: Dada la matriz

0

| |

I (matriz identidad)

Encontrar la matriz inversa de

1

El determinante de A es: | | Entonces:

0

( )

1

( )

0

1

| |

]

⁄

[ ⁄

Ejemplo: Dada la matriz

[

⁄

]

⁄

, encontrar la matriz inversa de

Solución

] El determinante de A es: | |

0

esta dado por:

( )

[

1

Entonces:

[

]

( ) | |

PROPIEDADES

1.

I

2.

I

3.

(

4.

(

5.

(

6. 7.

( ) | |

I ) ) ) (

)

| |

EJERCICIOS

En las siguientes proposiciones indicar con V si es verdadero y con F si es falso. I. la matriz cuadrada [ ] es triangular

1.

8.

Sea

[ ]. Una matriz simétrica.

Hallar el valor de: superior si . II. Toda matriz nula es triangular superior y triangular inferior.

.

Rpta: 70 9.

La

traza

de

la

matriz

inversa

de:

III.Toda matriz diagonales simétrica. IV. No toda matriz cuadrada es invertible. Rpta: FFVV. En las siguientes proposiciones determinar el valor de verdad:

2.

10.

I. La única matriz que es simétrica y antisimétrica; es la matriz nula cuadrada. 11. ( ) ( ( ( )). III. Determinante de una matriz cuadrada no nula; siempre es diferente que cero.

[

[

]

[

]

, donde

)

0

1

de

la

y

]. El mayor elemento de X; es:

[

Hallar el valor de “k”, de manera que determinante

]. Es -15.

[

de la matriz

determinante

.

Rpta: 11.

12.

| | | |. Rpta: VVFV.

]

Rpta: 82. En la siguiente ecuación matricial

(

IV. Dada la matriz A de orden 3x3, si al intercambiar las filas 1lasy columnas 3 se obtiene B y al 1 yla2 matriz se obtiene la intercambiar matriz C; entonces

El

Si

Rpta: 11/4

Calcular: “a+b+c”.

II. En toda matriz cuadrada A de orden 3x3;

3.

],es:

[

matriz Rpta: 4

]; es:

[

13.

Rpta: 0. Dada

4.

la

matriz

[

]

tal

La traza de la matriz inversa de

], es:

[

Rpta: 20

que

{ . Calcular |

14.

|.

Dadas

15.

las

matrices

[

] ;

]. Calcular traza de (

[

).

Rpta: 27/10.

Si Rpta: -4/5

Hallar

[

16.

6.

matriz

0

1 .Hallar det(

Rpta: -1

Rpta: 218.

5.

Dada la

la

traza

].

dela

matriz

inversa

Rpta: 1/5

¿Para qué valor de x la matriz

|

| no admite matriz inversa?

Rpta: para cualquier valor real de m inversa . y

[

] . Calcular: | | .

de

matriz

).

0 17.

Dados

7.

Dado ( ) sabiendo que: Rpta: 0

0

1 0 1

1 . Halle la matriz

1 . Halle tr (

( ),

18.

). Rpta: 0. Sea ( )

donde

.

Rpta: [

]

{

. Halle la matriz

40 | C E P R U 2 0 1 5 ( 19.

El valor de x de ⟨ es:

)

⟨;

⟨

33.

⟨

Si

la

matriz

[ ] ,

simétrica. Hallar “a+b”.

Rpta: ¾.

es

Rpta: -5. 20.

Sea

] tal que

[

. El

34.

.

. 1

35. ]. El valor de | Si

1. Hallar

0

Rpta: 0

determinante de A es: Rpta: 0.

21.

Si

Dadas las matrices

0

1;

|; es:

[

Hallar la traza de la matriz

[

].

.

Rpta: 19. Rpta: -25.

22.

36.

Dada la matriz

0 1, la traza de la matriz

es: Rpta:

]; es:

[

;

Rpta: 40.

. [

23.

El determinante de la matriz triangular inferior:

]

Simplificar: . 0

37.

Dada la matriz Rpta: 1/3.

0

38.

Dada la matriz

[

elementos Rpta: 6.

y

1

1. Hallar |

|.

Rpta: 0

24.

Si:

[

] [

] .

Calcular

“m+n+p”. Rpta: 2

39.

25.

Dada la matriz transpuesta

].hallar la suma de los

de la matriz de cofactores de A.

Dada la matriz

[

]

, definido por:

1.

0

, mostrar su forma desarrollada, para luego calcular la suma de sus elementos. Rpta.: 3.

{ Calcular ,

-.

Rpta: 1

26.

Sean

0

dos matrices tales que: 1, 0

matriz ,( Rpta: 0

27.

Sea

1 . Hallar la

0

1,

. 1

)(

0

40.

.

)-

1 ; una matriz tal que traza (

)

. Calcular el valor de “n”. Rpta: 5. 28.

Dado:

√

|

)

(

]y

(

], dos matrices,

42.

[

Rpta.: 2

44.

3.

Hallar el valor de “ ”, si el determinante de la matriz:

[

], la traza de la matriz

[

]; es singular:

[

inversa de A; es:

)

si la traza de la matriz es , el valor de “ ” es: Rpta.: 4. Hallar los valores de “x”, para los cuales la matriz:

43.

[

Rpta.: 7

Si

|. Hallar el valor de “k” si √

Rpta: 5.

Dada la matriz

1, hallar la

41.

.

29.

Dadas las matrices 0 1, 0 suma de los elementos de la matriz , en:

], es 9.

Rpta.: 7. Hallar el valor de “

”, en la matriz escalar:

Rpta: 2.

30.

Sea

1 ;

0

Hallar (

)

.

0

1 y

0

1.

[

]

ASIGNATURA: ÁLGEBRA | 45.

Rpta: [

].

Rpta.: 41 9. Dada la matriz triangular superior:

], hallar | |.

[ Rpta.: 24.

31.

Dada: elementos

y

de la matriz de cofactores.

46. Si

Rpta: 2.

32.

y 1

]. Hallar el producto de los

[

Hallar la inversa de la matriz

 A  x 7

x 5 5

 y 3 x y 10 

x y 1 x y 3  x 1  

triangular superior. Hallar

[ Rpta: no existe.

].

47.

Rpta.: 80. Halle el valor de “k” sabiendo que:

  3 k 1 2  A  1 k ; es singular. 1   0 k 3 4   

A

.

; es una matriz

Rpta.:

19

51.

Si

2

1w w 0 ,

48.

Resolver la ecuación:

1 1 1

2 3 x

matriz

4 9 56 . x2

Rpta: 0 52.

Rpta.: 5;10 49.

2 1 2 1 2 2  2 5 6 ; A B 2 1 1 . Hallar traza de A 2B      0 1 1 4 1 1      

50.

S i

 1 2 A  w w  2  w 1

2 w   1 , es:  w 

Hallar el valor de k si el determinante de la matriz

 k 8 4    C  7 9 5 , es 16.    6 6  10

Dada las ecuaciones matriciales:

Rpta.:

el valor del determinante de la

w

12

A.

Rpta:4 53.

Hallar los valores de x para que la matriz:

 x 2 3 1 A  

16 3 1 

 2x 4

3 . Hallar

A 1 0  1 2 0 2   Rpta.:

1

Tenga inversa. Rpta. x  {3,

traz(cof ( A) adj( A)) .

1}

.

2

f (x1)=ax +bx+c

SISTEMA DE ECUACIONES Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con dos o más incógnitas (variables) que se verifican para los mismos valores de las incógnitas. CONJUNTO SOLUCIÓN: Se denomina conjunto solución a los valores numéricos reales de las incógnitas (variables) que satisfacen al sistema. CLASES DE SISTEMAS: I.

SISTEMA COMPATIBLE Cuando el sistema tiene (admite) soluciones. Estos a su vez pueden ser:  Sistemas compatibles determinados. Cuando el sistema tiene un número finito de soluciones. Estos sistemas se caracterizan por tener el número de ecuaciones igual al número de incógnitas.  Sistemas compatibles indeterminados. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones. Estos sistemas se caracterizan por tener el número de ecuaciones menor al número de incógnitas.

II. SISTEMA INCOMPATIBLE (ABSURDA O INCONSISTENTE) Cuando el sistema no tiene (no admite) solución. Esto ocurre cuando el número de ecuaciones es mayor al número de incógnitas. SISTEMAS EQUIVALENTES Dos o más sistemas distintos son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES Está dado por:

Si

;

……(I)

{

entonces el sistema es homogéneo.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN Para encontrar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones de dos variables existen varios métodos como: Método de sustitución, Método de reducción, Método de igualdad de variables, Método de determinantes (regla de Cramer) SOLUCIÓN A UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES POR EL MÉTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER)

Dado el sistema {

42 | C E P R U 2 0 1 5 S

|

| ;

|

| ;

Determinante de “x”.

⟨

⟨

Determinante de “y”.

S

Determinante del sistema.

*(

El conjunto solución está dado por:

)+

Ejemplo: Dado el sistema: {

donde:

determinar el conjunto solución.



Solución: los determinantes con respecto al sistema, a la variable “x”

S

⟨

;

⟨

⟨

;

⟨

⟨

“y”, son:

⟨

.

Donde:

*(

Por lo tanto el conjunto solución será: ANÁLISIS DE L SISTEMA: 1.

Si S

)+

*(

)+

, entonces el sistema (I) es Compatible Determinado. En este caso las rectas se interceptan en un solo

L

punto.

L

L

Ejemplo: {

es un sistema compatible determinado.

L 2.

Si S entonces el sistema (I) es Compatible Indeterminado. En este caso las rectas son coincidentes (rectas paralelas e iguales).

L

Ejemplo:

{

L

L

es un sistema compatible indeterminado.

L 3.

Si S ( ) entonces sistema (I) es Incompatible. En este caso las rectas no son coincidentes (rectas paralelas y diferentes).

L

Ejemplo: {

L

L es un sistema inconsistente.

L SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES VARIABLES:

……(II) Está dado por:

Si

;

{ entonces el sistema es homogéneo.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN Para encontrar el conjunto solución a un sistema de ecuaciones de tres variables existen varios métodos como: Método de sustitución, Método de reducción, Método de igualdad de variables, Método de determinantes (regla de Cramer) SOLUCIÓN A UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES VARIABLES POR EL MÉTODO DE DETERMINANTES

ASIGNATURA: ÁLGEBRA | 43

(REGLA DE CRAMER)

; Dado el sistema

{

S

S

|

| ; Determinante con respecto al sistema.

|

|; Determinante con respecto a la variable “x”.

|

|; Determinante con respecto a la variable “y”.

|

| ; Determinante con respecto a la variable “z”.

*(

El conjunto solución está dado por:

)+

donde: , determinar el conjunto solución.

Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones {

Solución: los determinantes con respecto al sistema, y a las variables “x”, “y” y “z” están dados por:

|

|

|

|

|

|

|

|

Donde:

*(

Por lo tanto el conjunto solución será:

*(

)+

)+

ANÁLISIS DE L SISTEMA: 1.

Si S

2.

Si S

3.

Si S

, entonces el sistema (II) es Compatible Determinado. entonces el sistema (II) es Compatible Indeterminado.

Z (

), entonces el sistema (II) es Incompatible. EJERCICIOS

1.

Del

sistema

de

ecuaciones:

{

. 7.

El valor de “x+y”; es:

Si los sistemas son equivalentes: { {

Rpta: 1.

son equivalentes. El valor de “a”; es:

Rpta: 12.

2.

Si

el

sistema

de

ecuaciones

; es indeterminado. El valor

{ ( de “m+n”; es: Rpta: 19.

lineales

)

3.

En el sistema {

y

. Hallar

.

8.

Hallar sistema:

“z”

en

el

9.

Rpta: 1/7. Qué valor debe tomar “m” para que “x” sea igual a y en el sistema: { . Rpta: 69.

10.

Hallar “a+b”, el sistema: { soluciones.

{

.

Rpta: 1. 4.

Para

qué

(

)

(

)

valor

de

el

siguiente 11.

; no tiene solución.

sistema: {

5.

“n”

unidades a y. {

Determinar el valor de “m”, para que el siguiente ( ) sistema: { sea compatible

Rpta: 52.

(

Rpta: 6.

Rpta:32. Hallar “m” en el sistema para que x exceda en 4

Rpta: 17/5.

)

determinado. +.

*

Para qué valor de “n” el conjunto solución del sistema: Rpta: 14.

;

es

*(

)+

.

12.

El valor de “y” en el sistema: {

13.

Rpta: 1/3. Hallar el valor de “m”, si el siguiente sistema admite solución única: {

{

tiene infinitas

. Rpta: -1/2.

.

.

14.

Determinar “a-p” de modo ( )

que el sistema: Rpta.: 28.

, es compatible detrminado. ( ) Rpta: 4. Determinar la condición que debe cumplir “a” para que el sistema sea determinado. {

{ 15.

*

+.

Los ( valores ) de “a” y “b” para que el sistema:

{ No son: Rpta.: +. y admita* solución,

Rpta: 4. 16.

29.

Hallar

(

{ (

17.

)“x” (

)

(

Rpta: a+b. Determinar ( sistema: {

)

)

(

¿para ) {( (

19.

{ (

) para

que

el sea

30. qué

valor

de

“a”

el

y{

)

(

Rpta.: . Que valor debe tomar “a” para que “x” sea el doble de “y”, al resolver el sistema:

{

sistema:

Rpta.:

* + Rpta: ¿Qué valor de “a” ( ) ( )

31. hace

que

el

sistema:

.

Halla los valores de “a” y “b” para que el sistema:

(

)

{ (

(

sea

)

En el sistema: {

)

Sea incompatible:

incompatible?

32. . El valor de

; es: Rpta: 4.

21.

Rpta.: Dado

y el

el

valor

de

“z”

del

siguiente

Rpta: 

34.

Para qué valor de “a”, el sistema de ecuaciones lineales, tiene solución única.

(

)

{ ( Rpta: 13.

tenga

)

infinitas

soluciones.

)

¿Qué valores reales toma

n

para que el sistema

36.

.

.

Rpta.: 4.

El

)

(

)

valor

m

de

3x 2my 6   4x 2  m 1y 8

Rpta: 

x

sea igual a

para

que

el

sistema

sea indeterminado es:

3

7 Para

que

valor

 a 3x 3y b 3

 

La condición de “a” para que el sistema:

0, 6

¿Qué valor debe tomar m para que y en el siguiente sistema?

Rpta:5

Si el sistema de ecuaciones lineales, ( ) {( ) Es compatible indeterminado, hallar el valor de

(

para que el sistema

mx 6 y 143  7x my 26

37.

27.

m

 n 3x  n 4 y n 3

Rpta: 35.

¿Qué valor debe tomar “k” para que el siguiente sistema sea incompatible?. ( ) { (

26.

 4 m x 12 y 3   m 3x 2 y 4 

Sea compatible determinada?

* + Rpta: Hallar el valor de “a+b”, de manera que el sistema: ( )

Rpta.:

Determine el valor de

 2n 3x  n 4 y 5

.

{

25.

x , es:

sea inconsistente Rpta:22/7

( ) Rpta: 13/5.

24.

33.

.

{

)

10

ecuaciones

11

Para que valor de “n” el siguiente sistema no tiene solución: ( )

(

de

.

Rpta: 7.

23.

* +. sistema

x 2z 6  3x 4 y 6z 30   x 2 y 3z 8 El valor

Hallar

sistema: {

22.

”, es:

admite solución única.

)

{( ) Rpta: -3.

20.

)

Son equivalentes; el valor de “

)

Rpta: 22/7.

18.

Si los sistemas:

resolver: .

“m”

)

( inconsistente.

al

 a 1x 2 y b 1 {

(

de

a

el

, tiene solución única?

)

Admita solución única, es:

sistema

Rpta:

 3

38.

El valor de x y z del sistema



3x 4 y z 1

2

, x y 3z 3  3x 2 y 2z 0

Determinar el valor de z 2z 2 Rpta. 5 48.

es: Rpta:

3

39.

m  4 m x 12 y 3   m 3x 2 y 4 Determine el valor de

para que el sistema

49.

m

para que las rectas

50.

L2 : mx  m 1y 7 0

(a 3)x 3y b 3   2 y (a 1)x b 1

a , es:

Rpta.

{3}

Para que valor de n, el siguiente sistema no tiene solución:

Rpta. 17/5

Se corten en un punto situado en el eje Y. Rpta:9/16

x 7

,

(n 1)x 3y 1  (n 5)x 2 y 3

0

Hallar

 3x y 4  2x 3y 10

El sistema lineal:

a

Determine el valor de

y

Tiene solución única, cuando

L1 :  2m 1x my 9

41.

ax 4 y 32   5x ay 34

son equivalentes, el valor de a, es: Rpta. 12

Sea inconsistente Rpta:22/7 40.

Si los sistemas:

51.

x , en el siguiente sistema y

y z 13 z x 10

Hallar z, del siguiente sistema:

x 2 y z 7   3x y z 8   2x y 5

Rpta:2 42.

¿Para qué valor de

n

el sistema



nx 4 y n x ny 3 n

es Rpta. z=2

incompatible? Rpta: 2 43.

52.

(a 1)x 4 y 10   2x ( p 1) y 5

valores de k para que el sistema 2x 5 y 3z 1   x y z 21 sea compatible determinado,  3x ky z

Los

Tenga infinitas soluciones: Rpta. 6 53.

35 es: Rpta:

3

Indicar el valor de

x



, a partir del sistema

x y z 0



El valor de m, es: Rpta. m=-31

compatible determinado ax by  cz 0

bcx acy abz 1 

Rpta: x



54.

1  a c   a b 

45.

Luego de resolver el sistema 

Indicar el valor de x y

1 1  5   6 x 7 5 11  –  x y 6

55.

¿Qué valor debe darse a m para que el sistema:

y mx 2  x y 10   x my

El valor de y del sistema:

2x 3y 2   x 2z

¿Qué valor debe tomar a para que x sea igual a y en el siguiente sistema?

ax 4 y 119  5x ay 34 Rpta. a=3

Rpta:5

46.

Dado el sistema incompatible:

(m 11)x (m 16) y 31  (m 15)x (m 19) y 91

 44.

Determinar a p de modo que el sistema:

; admita solución única?

3

Rpta. m = -1/2



1



x y z 6

, es:

56.

Al resolver el sistema

2x 3y 2z 14

 3y 8z 3

Rpta. 1/3

47.

Del sistema:

x y 5  y z 3  x z 4 

x y 5z 14 Hallar el valor de Rpta. z=3

z

2

f (x1)=ax +bx+c

1. PAR ORDENADO ) donde “a” es la primera componente y “b” la segunda Un par ordenado de componentes “a” y “b” es un ente matemático denotado por ( componente. IGUALDAD DE PARES ORDENADOS ) ( ) son iguales si y sólo si sus componentes son iguales. Es decir: Dos pares ordenados ( ( ) ( ) Ejemplo: determinar el valor de Solución:

de tal manera que (

)

) tal que

en ese orden al conjunto formado por todos los

, se denota por

esto es:

*( *

Ejemplo: Sean los conjuntos

*(

)(

)(

+y )(

*

)(

y

)

)+

elementos respectivamente, entonces el producto cartesiano

( +y

*

Entonces: ( PROPIEDADES: Si

)

*

+

+, entonces:

)(

Cuando los conjuntos finitos y tienen tiene elementos. Es decir: Ejemplo:

) (I) (II)

De (II) en (I) ( ) 2. PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjuntos . se llama producto cartesiano de pares ordenados (

(

)

( )

( )

+

( )

Pares ordenados.

( )

entonces

1. 2.

(

)

(

)

3.

(

)

(

)

(

)

4.

(

)

(

)

(

)

5.

(

6.

)

Si

Sean

(

) (

entonces (

)

)

(

)

RELACIONES BINARIAS

dos conjuntos no vacios. Un conjunto

subconjunto cualquiera de

de pares ordenados, se llama relación binaria de

* Ejemplo: Sean los conjuntos subconjuntos del producto cartesiano

+y

*

) ( *(

*(

OBSERVACIÓN : elementos, entonces

*

+

( )

*

+

( )

)

( )

tiene

( )

*

)

) ( )(

) ( )(

por ser

)+ )+

+

subconjuntos, por lo tanto existen

relaciones de

( )

( )

Por lo tanto existen DOMINIO Y RANGO Dada la relación binaria

si y solo si

+ , entonces las siguientes son relaciones de *(

(

es un

, es decir: Es una relación binaria de

Si tiene Del ejemplo:

, si

.

R

( )

relaciones de

�

entonces:

(

)

+

Conjunto de Partida o conjunto de Pre imágenes

� Conjunto de llegada Imagen o conjunto de imágenes

R ( )

*

(

)

+

Ejemplo: Sea la relación

*(

)(

( ) * R ( ) *

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)+ entonces:

+

+

RELACIONES REALES DE VARIABLE REAL Si

, se obtienen relaciones reales de variable real. En general una relación real se expresa como:

*( Donde: P(

)

*( ) Ejemplo: CÁLCULO DEL DOMINIO

+

( Para determinar el reales dominio unalarelación expresada una ecuación analiza los valores quede toma variablereal para que la como variable sea real. Ejemplo: Calcular el dominio de la relación:

*(

)+

P(

) es una expresión algebraica ral.

)

)

, se despeja la variable

en términos de

, luego se

)

, se despeja la variable

en términos de

, luego se

+

Solución:

√

√

( )

√

,

-

CALCULO DEL RANGO ( Para determinar el reales Rangoque detoma una relación real expresada una ecuación analiza los valores la variable para que lacomo variable sea real. Ejemplo: Calcular el rango de la relación

*(

)

+

Solución:

(

)

R ( )

*

+ EJERCICIOS

1.

Sean los pares ordenados

(

)

“a-b”; es. Rpta:1

) iguales. El valor de

(

2.

Si

3.

* +. Hallar n(AXB). Rpta: 18 El dominio de la siguiente relación

4.

( Dada

*

la

5.

)( )}; su dominio; es.

- , Rpta: ( Dada la relación:

+; Hallar 6.

(R)

R

10.

*(

(R).

Rpta: 11.

*(

)

*

12.

)

+ ; con los

+; es. +.

*

*(

)

+; es. ).

Dados los conjuntos: definen las relaciones:

+

Hallar rango de la relación:

*(

+; siendo

)

Rpta: ,

* +.

definida por:

R

El rango de la relación: :

)

+.

7.

+.

(R) si

Rpta: (0,-3/2). El dominio de la relación:

)

Rpta: 〈 〉 〈 〉. Hallar dominio de la relación:

Rpta:

*

R

Hallar los puntos de intersección de la siguiente

)

*(

)

*( relación: ejes coordenados.

)

{(

(R)

*(

Rpta: * +. 9.

+; es. Rpta: relación

-.

Hallar

+;

*( , ) )

√(

Rpta: ( 8.

*(

)

* *(

+; )

*

+ se

+ .Hallar R (R )

R (R ) Rpta: *

+. 13.

+

El dominio de la relación ; es

*(

)

+

+y

Rpta. , 14.

- .

*(

15.

16.

)

+ y *( ( ).

* ( )

*(

)

*(

)

*(

27.

El dominio de la relación

*(

28.

R 29.

*

( )

R

*

+

)

+

( )

R

〈

〉

〈

〉

El rango de la relación

*( R 31.

)

+

El dominio de la relación

30.

+,

*(

)

*(

+.

,

El rango de la relación

*(

*( Rpta.: 14. )

)

+

( )

R

+, calcular el

* +; * +, hallar la Dados los conjuntos suma de los elementos del dominio de la relación , definido por:

*(

)

+,

+.

Sean

+

)

Rpta.: 3.

).

Rpta.: *

18.

+ .

* )

+ y dadas las relaciones en , definidas

*

(

17.

+.

-. Rpta. , Dados los conjuntos Determinar la relación +. Hallar Rpta. * + Sea por:

-. Rpta.: , La suma de los números enteros de su dominio de la relación dada es:

26.

Hallar el dominio de la relación:

R

)

+

( )

〈

〉

〈

〉

Hallar el dominio y rango de la relación:



2

R  (x; y)

+,

2

2

/ x y 6x 4y 23 0





(

)

Rpta.: 12.

19. Sean

(

(

*(

)

*( *(

) )

(

(

)

)

Rpta. Dom(R) = –9; 3 Ran(R) = –8; 4

hallar

).

32.

+, y

*

)

+,

Dada

R 

+y

*

(x; y)

2

relación

real

. Hallar Dom(R)

/  2 y 9 x2 2



̇+ , +,

Ran(R) Rpta. –1; 3 El conjunto de números enteros que satisfacen el rango de la relación

33.

+, hallar el valor de:



2

2

/ 2x y 2 4x

R  (x; y)

.

 Rpta.: 3.

20. Sea

la

3y 6 0

 , es:

Rpta. {-1; 0; 1; 2}

*

+, se definen las relaciones:

*(

)

+,

*( ) Hallar: Dom(

+,

Rpta.: *

34.



En la relación R  (x; y)  Hallar Dom(R) Rpta. 2; 4

35.

).

Hallar



el

2

2

/ x y 4x 2y 4 0

.

Ran(R)

dominio

R  (x; y)

+.

2

2

y

rango

de

2

la



relación

/ xy x 5x 3y 6

 21. En

* *( (

Si

)( * *

)( ( (

*

(

)( )( + ) + )

{3} {1}

Rpta. Dom(R) = Ran(R) =

+, se define la relación: ) ( ) ( ) ( ) ( ), 36.

)+

Dada

la



R  (x; y)

2

2

relación

2

/ x y x 4xy 4y 0

, determinar el

 Calcular (( Rpta.: 10.

conjunto que no satisface al conjunto Dom(R) Ran(R) Rpta. {1; 2}

+,

) ) )

37. 22.

*(

Sea

)

|

|

|

|

Determinar el dominio y rango de la relación



R  (x; y)

+,

23.

*(

+, se define la relación: )

2



Rpta. Dom(R) = 3; + Ran(R) =

-.

*

En

2

/ xy 3y 1 0



Hallar el dominio de la relación. Rpta.: ,

2

{0}

+, si “ ” es la suma de 38.

los elementos del dominio y “ ” es la suma de los elementos del rango. Hallar “ ”.

Rpta.:

2

(x; y) 

Dada la relación R  .



/y

15  x 2



24.

; x a; b, determinar el valor de 2a+3b. Rpta. 73 * +, donde la relación Sea

*(

Rpta.: 45.

+. Hallar ( ).

)

39.

Hallar

 R (x; y)   

25.

Rpta. –2; 2– {0}

Hallar el dominio de la siguiente relación:

*(

)

|

el

|

+

dominio 2



4

/y

de

la

relación

2

2 x 4 4 x x x   



40.

Hallar

el

dominio

(x; y)

2

R 

y

rango

/ y 2

de

la

5 4x x



relación

2

50.

Rpta. Dom(R) = –8; 4

siguientes relaciones:

Ran(R) = –2; 1

R1 

x, y

41. , 1 x

R2 



5 y

y

B 12x / x 

, 2 x

R3 

A 2x 1/ x

4

R x, y AB / x y 8. Hallar n

x,

Ran R de la siguiente relación:

x, y 

Rpta: 5, 2 43.



2

51.

y

A 2; 4 y

Sean los conjuntos

B 2; 2; 8.

R:A B

52.

,

x 1

/x



4

Rpta:18

R 

Sea



53.

 y   54.

 2

x, 2

/ y 

4  x

x 

es

4 5

55.



R (x, y) 2 R

x,

2

R 

2a 3b

de

/ y  15  x 2

y 

la

, si x a,

Dados los conjuntos

A 2, 3, 5 y B 1, 4.

definen las relaciones:

Se

R (x, y) R / 2x y 4x 3y 6 0

R1 R2  R3 R2  Rpta: 3, 5 48.

Hallar

el

Dominio

y

Rango

y 1 0

/y 2 x

2

Sea:

0Si

R (x, y) R 2 / y x 2 4x 3

el dominio de R es [-3,1]. La suma de los números enteros de su rango, es: Rpta. 35. Hallar el dominio y rango de: 2

Rpta. [-3,3], [-1,5] 58.

de

la

El dominio de la relación:



relación

2

2

2

Rpta.[-9,3] Hallar el dominio de la relación:

(x, y) R / y

R  la

,es:

R  (x, y) R / y x 4y 6x 23 0

relación 59.

de

2

Hallar el dominio y rango de la siguiente relación:

2

R3 x, yAB / x y 9 dominio

2

 2, 2

(2 y) 9 x

R2 x, yAB / y x 2 el

56.

57.

R1 x, yAB / x  y

Hallar

R {1}

Rpta. Dom(R) R {1,1}; Ran(R) R [0,1

relación

b

Rpta:73

47.

en

5x 6

Hallar el rango de la relación:

R valor

/ y(x2 3) x

R (x, y)



el

.

Hallar el rango de la siguiente relación:

Rpta. Ran(R)

una

relación real. Hallar su rango Rpta: 1/ 4, 

Hallar

2

B {6,8}

y

2

y  

46.

2

Dados los conjuntos:

Rpta. Ran(R)

2

B  x

El rango de la relación:

16. Rpta.24

0

x 7



45.

R2  n R3 

R : A B , Talque R (x, y) AxB / x y

Hallar el número de elementos del conjunto AxB, si.





Hallar la suma de los elementos del dominio de

siendo

Rpta: {2}

/

2

n R1 n

A {4,10,14}

R x; y / x A, y B, x y

 A  x  

2

Rpta. Ran(R) [2, 4

Hallar la intersección del Dominio y Rango de la

44.



2

2



relación

/ x

R (x, y)R / x y 4x 2y 4 0, es:

/ x2 2x y2 4y 11

0



A / y x 2 0

Rpta:3/2

DomR

R 

2

Dado los conjuntos:

Hallar E 

R

A / y x

x, yA

Definimos la relación R como

Rpta:10 42. Hallar

se define las

7





A 3,5,

Dado el conjunto

2

2  Rpta.[-1,5]

5 4x x

2



x,

49.

R 

2

2

y

0

2

/ y x 3y 1

Rpta: DomS



3, 

Ran  S



0

Hallar

T 

el

Dominio

x,

y 

Rpta: DomT

2

60.



y

Dados los conjuntos:

A {1,3,5}

Rango

Se de

la

relación

/ x2 y x2 4xy 4y 0

 2 Ran T  0, 1



y

B {2,4,6} .

definen

las

R1 (x, y) AxB / x y 7.

relaciones:

R2 (x, y) AxB / y 6 Hallar la suma de todos los elementos del dominio de R1-R2 Rpta. 8

50 | C E P R U 2 0 1 5

2

f (x1)=ax +bx+c

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

(

La distancia entre dos puntos

)y

(

)

está dada por:

Y (

B 

)

)

√(

(

)

d A  X

PROPIEDADES 1.

(

)

2.

(

)

3.

(

)

( ) 4. PUNTO MEDIO

(

)

(

)

(

)

(

El punto medio de un segmento de recta cuyos extremos son los puntos

B

(

)y

(

)

, esta dado por:

) P

(

)

Punto medio

A

(

)

Ejemplo: Hallar el punto medio entre los puntos ( Solución:

) P

(

)y(

)

( 1.

)

ECUACIONES DE LA RECTA

ECUACIÓN GENERAL

Esta dada por: L Donde: Pendiente de una recta: se define como la relación entre el cambio en

con respecto a

P

� 𝐿

Esta dada por:

L

(

�

�

�

𝑚 ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

𝐿

𝐿

𝐿 �

2.

�

�

�

𝑚

𝑚

𝑚

) Donde:

�



P

𝐿 P (

) Punto de paso de la recta L; p0 L

Pendiente de la recta L θ �

θ

 3.

θ Medida del ángulo de inclinación de la recta respecto al eje X positivo

ECUACIÓN PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN

Está dado por: L

L

Y

(

Donde: Pendiente de la recta L



)

) Punto de intersección de L y el eje Y

( X

4.

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

(

La ecuación de la recta que pasa por los puntos

L

(

(

)

esta dado por:

)

Y

L

B  A

) y

θ



X

Donde:

(

) = Punto de paso de la recta L;A L.

P 5.

L

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

L Y



(

)



(𝑎 ) X

L POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS 1.

RECTAS PARALELAS Dos rectas L L L Y

noLverticales son paralelas, si sus pendientes son iguales. Es decir:

L L

2.

RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas L

L L

X

no verticales son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es igual a

L

Y

L

 X

L

. Es decir:

52 | C E P R U 2 0 1 5 OBSERVACIONES:

1.La ecuación de la recta paralela a la recta L

es L

2.La ecuación de la recta perpendicular a la recta L

es L

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

( ) a la recta L ( ) |

La distancia de un punto Q

| ( )

(Q L)

esta dado por:

√

Y

L

Q X PROPIEDADES:

1.

(Q L)

2.

(Q L)

3.

(Q L)

(L Q)

Ejemplo: La distancia del punto (

(Q L)

| ( )

(

)( )

√

(

) a la rectaL

es:

|

)

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Sean dos rectas paralelas L Y

yL

la distancia entre estas dos rectas está dado por:

L L

| (L L )

|

√

EJERCICIOS

1.

Sean los pares ordenados

(

“a-b”; es. Rpta:1

)

) iguales. El valor de

( X

2. 3.

Cuál es el valor de k, si la distancia del punto )√ . al punto ( ) es Rpta. ( Uno de los extremos de un segmento de recta es el

8.

9. 4u.

10.

punto ( ) . Hallar la suma de las coordenadas del otro extremo de dicho segmento,

5.

si el punto medio es ( ). Rpta. 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( ) y. ( ). Rpta. Para qué valor de k, las rectas

6.

( ) y son paralelas. Rpta 1/3. Para qué valor de k, las rectas

4.

; son perpendiculares.

(

13.

, sea 3unidades.

) a la recta

pasen por ( ). Rpta. 11/2 y -23/2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) y cuya suma de componentes de los puntos de intersecciones con los ejes coordenados es 3unidades. .

La las recta rectas

(

) pasa por ypunto de intersección de

. Hallar el valor de m. Rpta. -1/5. La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( )y ( ) es 3 unidades. El valor de A; es. Rpta.

14.

Hallar el valor positivo de k, de modo que la distancia del punto ( ) a la recta

Rpta. 75.

12.

(

. Rpta. 5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( ) y paralela a la recta . Rpta. .Hallar los valores de “a” y “b” para que las rectas ( ) ( ) ;

Rpta.

)

Rpta -1/3.

7.

11.

Hallar la distancia del punto

(

).

La ecuación de la recta paralela a y que dista √ unidades, es. Rpta. .

15. 16.

Hallar la ordenada positiva del punto cuya abscisa es 1 y la distancia del punto ( ) , es 13 unidades. Rpta. 6. La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( )y ( ) es 3. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a esta recta que pasa por el punto A.

Rpta. 10

32.

7; 8es uno de los extremos de un segmento y su punto medio es 4; 3, hallar la suma de las coordenadas Si

del otro extremo. Rpta. –1 Rpta.

33.

.

17.

Hallar el valor de k para que la distancia del origen

18.

( ) a la recta sea 3 unidades. Rpta. -18/15. Hallar los puntos de ordenada 3, cuya distancia a la recta es 4 unidades. Rpta. ( ) ( ). punto medio del segmento de la recta El punto el

19.

es

20.

34.

). Hallar la distancia de A hasta B.

21.

36.

(

)y

Hallar la ordenada positiva del punto cuya abscisa es 1y la distancia al punto (-4,-6), es 13. Rpta: 6. La recta , es paralela a la recta . Hallar el valor de “ ”.

37.

38.

Determinar el valor de

, de modo que la

Conociendo

27. 28.

) a la recta que pasa

por los puntos ( Rpta.: 4.

), es:

Sean puntos sobre( al )recta , ( ),que selosencuentran Calcular R Hallar la longitud de la diagonal

29.

, si

(

Rpta: 39.

)y

(

)

y

S i

x , es:

6, b y b, 8 es 10 P 2, 2

a la

5, 7 y es paralela a la recta

3 5 5

Determinar el punto de intersección de las rectas

y L2

O de

un

1 2

3

x

-3

)R Rpta:

9 15  ,   8 4 

Determine el punto de intersección de las rectas que pasan por las puntos A 2, 1 , B





3, 4 y la

recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto

1,1

72 con P 

2; y

2 donde R  x ;

producto del mayor valor de es: Rpta. –26 31.

mayor

(

eje de las de ordenadas un Angulo de 37º. Hallar la pendiente dicha recta

d

donde

6

40.

30.

por el menor valor de

L1

Una recta tiene pendiente positiva y forma con el

R Si d  P;Q 

donde

6x 3y 4

La distancia del punto (

cuadrado √

,

P,Q 72 Q 8, y d R, S 5 7 2 S 5, 2. El producto del

Determine la distancia del punto

.

)y(

d

La distancia entre los puntos

√

26.

2

que

recta que pasa por

Hallar la distancia del punto medio del segmento ̅̅a la recta , sabiendo que ( ) ( ) Rpta.:

 a b

unidades. Hallar la suma de valores de b . Rpta:14

distancia de ( ) a la recta sea de 6 unidades. Rpta.: 18. 25.

2

R x, 1, valor de y Rpta: 26

de una recta que pasa ( ).

Rpta.: 2.

24.

9,3b 1

2a 1, 8 y

son iguales. Encontrar el valor de

P  2, y  ,

Determinar la suma de coordenadas de la

Rpta. 1.

23.

Si los siguientes pares ordenados

.

ecuación por los puntos

22.

 0; 1,  3; 5 y  1; 2, hallar los vértices. Rpta. 4; 4,  2;6  y 4; 2

Rpta:48

y cuya intersección con el eje X es

Rpta.

Los puntos medios de las lados de un triángulo son

a b

Rpta. √ . Hallar la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es 2.

Rpta.

6

35. (

es el punto medio entre los puntos

4; 6 4 2a; 11 y 12; 1. Hallar el valor de a .

) si uno de los extremos es el punto

(

a

Si

d E, F6

, siendo

y

Q  8;7 y

,

S

2;

por el menor valor de

Rpta: 10  ,

 3

el

x,

41.

Halla la pendiente de la recta que pasa por el punto

2 y por el punto de intersección de las rectas

E x; 2 ,

F 5;8 y

17   3

3x 4y 5 0

Rpta: 

4 3

y

x y 1 0 .

2,

d C, D 8

donde

hallar el valor de 3 50xy .

C 3; 4, D 5; y ,

42.

Encuentre las rectas de pendiente 3 cuya distancia al origen es

2 10

unidades.

Rpta: 3x 43.

44.

y 20 0 , 3x y 20 0





Una recta pasa por 6, 0 formando un triángulo de área 12u2 en el cuarto cuadrante con los ejes coordenados. Hallar la ecuación de dicha recta. Rpta: 2x 3y 12

52. Sea A=(2,3), B=(3,6) y C=(5,4) vértices de un triángulo ABC. Hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura que parte del vértice B. Rpta: L : 3x y 15 0 53.

Hallar a y b, para que representen rectas que pasan por (2,-3).

distancia

3, 2

de

L : 5x 12y 3 k 0 Rpta: 16 46.

Rpta: a=4, b=7

k 0 de modo que la

Determinar el valor de

a

la

recta

54.

55.

Hallar la distancia del punto medio del segmento

IL : 2x y 1 0

56.

sabiendo que

48.

IL : y mx b

recta

m y b la gráfica I , III , IV ? Rpta:

condiciones de cuadrantes

57. .

bajo

qué

de IL pasa por

, es:

58.

, sea perpendicular a la

y 0

perpendicular a IL es

59.

Rpta: FVFV

60.

encuentran sobre la recta

C 2, 1

La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y es perpendicular a la recta: L : 2x 3y 5 Rpta: 3x



y

4x 14 0

0

, es:

IL : 3x 7 y k 0

B  4,3

La ecuación de la recta que pasa por el punto (-5,2) perpendicular a la recta: 4y 3x 2 0 , es: Rpta: 3y

III) La recta IL : x 5 0 tiene pendiente cero IV) Dado IL : 7x 3y c 0 , entonces la recta

A 1,1 ,

Calcular el valor de k para el cual la recta:

Rpta: 2

negativa. El eje x es la recta

S i

se

2y 7 0

La ecuación de la recta L que pasa por el punto P=(-1,-5) y es perpendicular a la recta:

L1 : 3y 5x 1 0

IL : ay bx c , calcular

Rpta: 3x

, es:

5y 28 0

b

a . Rpta: 9 51.

61.

Sean las rectas: 2

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P=(-3,1) y es perpendicular a la recta:

L : 3y x 1 0

Rpta: 3x

. la

L2 : 3x 2y 11 0

0

50.

,

recta:

En las siguientes proposiciones marque (V) si es verdadero y (F) si es falso. tiene pendiente I) La recta 2x 5y 3

II)

L2

L1 : kx (k 1) y 3 0

b 0, m 0 49.

L1 : 5x 12y 12 0 L1 // L2

es 4 unidades y

Rpta: 5x 12y 64 0 5x 12y 40 0

5 la

L2

ecuación de la recta

3 5

Dada

Si la distancia de la recta : a la recta

A 2,3 y B 4,5  Rpta:

.

¿A qué distancia se halla dicha perpendicular del punto (4,3)? Rpta. 23/5

2, 3

a la recta

Desde el punto (-1,2) se traza la perpendicular a la recta:

L : 3x 4y 6 0

A 2, 4 y B 6, 2

AB

, sea de pendiente 4/3

Rpta. 4/7

0

47.

Hallar el valor de k para que la recta:

L : kx (k 1) y 18 0

sea de 4 unidades.

Hallar las coordenadas del punto Q de la recta que equidista de los puntos IL : 3x y 3

Rpta: Q

L1 : ax (2 b) y 23 0 L2 : (a 1)x by 15 0

L1 : 3kx 5y k 2 es paralela a la recta L2 : 5x 3y 7 . Hallar el valor de k .

La recta

Rpta: 25/9 45.

Si:

y 8 0

2x a y 0

x 2y 2

.

Calcule la suma de los valores de a si no se interceptan. Rpta: 0

2

f (x1)=ax +bx+c

CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN: unadel circunferencia es el lugar geométrico del conjuntosede puntos P ( )( ( ). La distancia centro a un punto cualquiera de la circunferencia llama radio

*P

(

)

(

que equidistan de un punto fijo llamado centro

)

+

P)

Y K+r

A





C



M

K -r

ELEMENTOS

P



N

B

1.

Centro:

2.

Radio:

3.

Diámetro: ̅̅ ̅

h -r

)

̅ 4. Cuerda: ̅N̅

X 0

(

h +r

Nota: Área

de la circunferencia

Longitud de la circunferencia ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA 1.

ECUACION ORDINARIA Por definiciónCARTESIANA de distancia entreUdos puntos se tiene:

( P)

√(

)

(

)

Elevando al cuadrado

(

)

(

)

Ejemplo: Encontrar la ecuación de una circunferencia cuyo centro es Solución:

( 2.

(

)

(

)

(

…………….. (1) (

)

) entonces: )

ECUACIÓN CANÓNICA Si el centro está en el origen de coordenadas, entonces ) La ecuación de la circunferencia se reduce a:

(

………….. (2) Ejemplo: Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen de coordenadas y radio r =5

(

Solución: 3.

)

(

) entonces

ECUACIÓN GENERAL Resolviendo la ecuación cartesiana se obtiene la ecuación general.

(

)

(

)

Donde: …………(3) A partir de la ecuación (3), se tiene la ecuación cartesiana en términos de D, E y F. Completando cuadrados para

) 7 6 ( )

( (

se tiene.

6

(

( ) ) 7

( )

)

Comparando con la ecuación cartesiana, se tiene:

(

)

Analizando el radicando 1.

S

i La ecuación (3) representa a una circunferencia de centro

.

/ y

Radio

en

√ Si

2.

3.

Si

La ecuación (3) representa sólo un punto que es

La ecuación (3) no representa una circunferencia en

porque su radio

Ejemplo 1. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.

Solución: Simplificando la ecuación:

S

(

)

L

(

)

(

√

)

√

Ejemplo 2. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.

Solución:Simplificando la ecuación:

S

( ) L

(

DOMINIO Y RANGO DE UNA CIRCUNFERENCIA:

1.

(

)

)

Si el centro de la circunferencia esta en el origen de coordenadas

(

)

Y (𝒞) R (𝒞) ,

𝑟

,

-

-

X

0 

𝑟

𝑟

𝑟 Ejemplo: Sea la circunferencia

, determinar el domino y el rango Solución:

Si el centro de la circunferencia es

(

R ( ) 2.

,

-

)

Y

K+r

(𝒞)

C

,

-

 (𝒞)

R

,

-

K -r

X 0

h -r

h +r

Ejemplo: Sea la circunferencia Determinar el domino yel rango. Solución:

( ) ( ( ) , R ( ) ,

) y r=3 - , ,

(

)

(

)

-

RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA La recta tangente a la circunferencia en el punto de tangencia(

L ( Una recta L tal que L

)(

L recibe al nombre de recta normal.

), esta dado por:

)

(

)(

)

( )

.

/; puesto que

√ .

Ejemplo: Hallar la recta tangente L a la circunferencia ( ( ) ( ) Solución: P

L

(

)(

L

(

)(

)

(

)

)(

)

)(

)

(

)

(

)

, en el punto de tangencia (

(

)

(

)

)

Resolviendo: la ecuación de la recta tangente es: L CASOS PARTICULARES: 1. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE X

Y C

𝓒 (� 𝐡)�

(� 𝐤)�

𝐤�

| | X Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje X de centro Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje X se cumple La ecuación de la circunferencia es:

( 2.

)

(

(

| |

)

| |

)

CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE Y

Y

C 𝓒 (� 𝐡)�

| |

(� 𝐤)�

𝐡�

X Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje Y, de centro en Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje Y se cumple

La ecuación de la circunferencia es 3.

(

)

(

| |

(

)

| |

)

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LOS EJES COORDENADOS Y r = |ℎ|=|𝑘| ℎ

C

𝓒 (� 𝐡)�

(� 𝐡)�

𝐡�

𝑘 X

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes de coordenadas con centro en

(

)

Solución: Cuando la circunferencia es tangente a los ejes de coordenadas se cumple

| |=| |

| |

La ecuación de la circunferencia es:

(

)

(

)

EJERCICIOS 1.

Considere la ecuación de la circunferencia

4.

. El centro y radio; es. Rpta. ( 2.

)y√

.

Rpta. 12.

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos ( ) y ecuación de la circunferencia; es. Rpta.

3.

(

)

(

)

(

)

(

)

. / .

El centro de una circunferencia tangente a la recta en el punto ( La ecuación general; es.

.

; es.

(

5.

) . La

La ecuación de la circunferencia con centro en el punto ( ) y tangente a la recta

Rpta.

Determinar el perímetro del triángulo cuyos vértices sonlos centros de las circunferencias ; ( ) y ( ).

Rpta. 6.

), esta sobre el eje Y.

.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta en el segundo cuadrante. Rpta. ) ( comprendida ) .

(

7.

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es ( ) y que es tangente a la recta

22.

.

La ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta y que pasa por los puntos ( )y ( ), es: Rpta.:

8.

Rpta. ( ) ( ) . Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( a la recta Rpta. ( )

)y( (

.

23.

) si su centro pertenece .

)

. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con y que es tangente a la recta . Rpta.: (

)

( .

) 9. 10.

11.

El rango de la circunferencia , es: Rpta. , -. Una circunferencia cuyo centro es ( ). Hallar la ecuación.

Rpta. ( ) ( ) . Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje Y y una cuerda cuyos extremos son los puntos ( )y ( ). Rpta.

12.

13.

14.

) pasa por el punto (

(

24.

La ecuación de la circunferencia de centro ( y que pasa por ( ), .es: Rpta.: ( ) ( )

25.

La ecuación de la circunferencia de centro ( ) y que es tangente a la recta , es: Rpta.: (

26.

.

)

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro ( ) y pasa por el punto ( ). Rpta. . Hallar la suma de todos los enteros que verifican el dominio de la circunferencia . Rpta. 7. El centro de una circunferencia es ( tangente ecuación. a la recta

)

Rpta.

16. 17. 18.

(

27.

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje Y, tangente a la recta en el punto de tangencia (

28.

Una cuerda de la circunferencia esta sobre la recta cuya ecuación es . Hallar la longitud de dicha cuerda. Rpta. √ . La ecuación la circunferencia de, centro ( ) y que es tangente a la de recta es: Rpta.: . Hallar el radio y centro de la circunferencia:

Una recta es tangente a la circunferencia

(

)

(

Rpta.: 7 y ( ). Hallar la máxima distancia del punto (11,8) a la circunferencia

)

en el punto de

) La pendiente de la recta tangente es:

R

29.

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos ( de la circunferencia es:

,

R

30.

(

)y

) El dominio

-

( )

Hallar

( ) si la circunferencia es

tangente a los ejes coordenados con centro ( )

,

R 19.

)R

tangencia

.

)

los

Rpta:-2

) y que es . Hallar su

Rpta. ( ) ( ) . Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 3 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas y .

.

)

Una circunferencia pasa por los puntos (. )y ( ) cuyo centro estaLasobresuma la rectade componentes del centro es:

( 15.

(

)

31.

-

Determine si la recta 3x y 5 0 es una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia 2

2

x y 2x 3 0 Rpta: secante

Rpta.: 14.

20.

Determinar la suma de los valores de “ ”, para que la recta , sea tangente a la circunferencia

32.

Determine si la recta 3x 4 y 27 0 es una recta 2

tangente, secante o exterior a la circunferencia x y

2

4x 2y 20 0 Rpta: tangente

33.

Determine si la recta x y 10 0 es una recta 2

tangente, secante o exterior a la circunferencia x y

4x 2y 20 0 Rpta: exterior

34. Rpta.: . 21.

1, 2 y 5, 0

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (6,8) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta x 2 y 5 y pasa por los puntos

35.

2

Hallar la máxima distancia del punto 10, 7 a la 2

2

circunferencia C : x y 4x 2y 20 0

y

Rpta: 15 36.

Hallar el radio y centro de la circunferencia 2

2

C : x y 4x 6y 12 0 Rpta.:

5

Rpta: x 3 y 1 5

.

Rpta: 5 y 2, 3

2

37.

k 0

Determinar el valor de

L : 2x 3y k 0

sea

circunferencia 2

45.

para que la recta tangente

a

de

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de:

la

L1 : 3x 2y 24 0

ecuación

L2 : 2x 7 y 9 0

2

C : x y 6x 4y 0

Rpta. (x 6)2 ( y 3)2 25

Rpta: 25 38.

2

2

Hallar la recta tangente a C : x y 2x y 5

46.

Si

en el punto 3, 1.

el

centro

de

la

x y (a 4)x by 17 0 2

Rpta: 4x 3y 15

2

circunferencia: ,

es

(a 1, 1)

.

Hallar el radio. Rpta. 3 39.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica 2

2

x y 9 y L : x 2y 10 0

a

2

tangente

a

47. la

x2 y2 4x 4y 7 0 , y cuyo radio es r = 4. La ecuación de la circunferencia C1, es:

2

. Rpta: x y 20 40.

Encontrar la ecuación de la circunferencia C1 cuyo centro es el mismo de la circunferencia C:

recta

Rpta.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 7, 5 y cuyo centro es el punto de

IL2 : 2x 5y 2 0 2

El punto (3,-1) es el centro de una circunferencia que intercepta a la recta L : 2x 5y 18 0 en

48.

IL1 : 7x 9y 10 0

intersección de las rectas

una cuerda de 6 unidades de longitud. La ecuación de la circunferencia, es.

y

2

Rpta: x y 8x 4y 38 0 41.

Si

la

Rpta. 49.

es tangente a la x y 3 0 2 2 en el punto 4x 4 y 8y 4

recta

circunferencia

2

50.

Dada las circunferencias:

C1 : x2 y2 10x 2 y 10 0  2 2 C2 : x y 2x 2 y 2 0

7,1

Hallar la ecuación de la circunferencia de mayor radio 2

2

Rpta: x y 8x 10 y 16 0

tangente interior a C1 y tangente exterior a C2 Rpta.

2

2

4x 4 y 16x 20y 25 0 tangente a la recta IL : 5x 12y 1 0

x 2

9

2



5

 

 2

 y 

y

2

x y

2

14x 2y 34 0

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con

44.

2

(x 3) ( y 8) 9

Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje X en 4, 0 y que pasa por el punto

Rpta: 

38

Calcular la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje Y en (0,-8) y la distancia del punto

Q  a, b, hallar a b

43.

(x 3)2 ( y 1)2

más cercano al eje X es 5u, además el centro pertenece al III cuadrante. Rpta.

Rpta: 1 42.

x2 y2 4x 4y 8 0

que

51.

es

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,4) (1,2) y (3,4). 2

Rpta. x y

2

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto P=(3,1) y tangente a la recta x y 3 0 .

2

4x 6y 11 0

52. La ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C=(4,-1) y es tangente a la recta L : 3x 2y 12 0 , es: Rpta. (x 4)2 ( y 1)2 52

Rpta. (x 3)2 ( y 1)2 49 / 2

2

f (x1)=ax +bx+c

PARÁBOLAS DEFINICIÓN: Una parábola , , es el lugar geométrico del conjunto de puntos Q ( ) a un punto fijo llamado foco ( )es igual a la distancia de Q

(

(

) , tal que la distancia de un punto arbitrario Q ) a la recta fija llamada directriz L.

Son iguales. Es decir:

*Q

(

)

(Q )

(Q L)+

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA I.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X 1.

ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

(

)

(

)

ASIGNATURA: ÁLGEBRA | 61 Y

L

Q





𝑉

𝑅

Donde:

Eje focal



𝐹



X

𝑅

0

(

)

( L)

| |

- S

la parábola se abre a la derecha

- S

la parábola se abre a la izquierda



Directriz

ELEMENTOS: 1. Vértice: 2. Foco:

(

)

(

)

3. Recta Directriz L 4. Eje focal 5. Longitud del lado recto(ancho focal): LR

|

|

6. Extremos del lado recto: | |) R ( 7. Excentricidad de una parábola: 2.

|

|)

(Q )

ECUACIÓN CANÓNICA

Cuando el vértice

3.

(

(Q

)

)entonces:

(

ECUACIÓN GENERAL Esta dado por:

Con

;A La parábola se abre hacia la derecha.

S

S La parábola se abre hacia la izquierda. DOMINIO Y RANGO DE LA PARÁBOLA:

S-

R

( )

( )

,

R

Ejemplo: Determinar la ecuación general de la parábola con vértice en (

S ( )

( )

) y foco en (

)

Solución: Cuando ( )las ordenadas ( ) del vértice y el foco son iguales entonces la parábola es paralela Vértice

( ) ( ) Foco: Entonces la ecuación de la parábola es: (

)

(

)

( (

( )) )

(

( )( )

al eje X.

(Se abre hacia la derecha)

)

II. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y 1.

ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

(

)

(

Y

) Eje focal

Donde:

R



 



L 0

-

𝐹



R’

Q

Directriz X

(

)

( L)

| |

- S

la parábola se abre hacia arriba

- S

la parábola se abre hacia abajo

ELEMENTOS:

1. Vértice:

(

)

(

2. Foco:

)

3. Recta Directriz L 4. Eje focal 5. Longitud del lado recto(ancho focal): LR

|

|

6. Extremos del lado recto: (ℎ | | ) 7. Excentricidad de una parábola: 2.

(ℎ( |) | (

ECUACIÓN CANÓNICA

3. 4.

Cuando el vértice

(

) )

)entonces:

ECUACIÓN GENERAL Esta dado por: Con

;A

S

La parábola se abre hacia arriba.

S

La parábola se abre hacia abajo.

DOMINIO Y RANGO DE LA PARÁBOLA:

S R ( )

( ) -

R

Ejemplo: Determinar la ecuación general de la parábola con vértice en (

( )

,

S ( )

) y foco en (

)

Solución: Cuando ( )las abscisas ( ) del vértice y el foco son iguales entonces la parábola es paralela Vértice

( ) ( ) Foco: Entonces la ecuación de la parábola es: (

)

(

(

)

( )(

(

)

(

al eje Y.

(Se abre hacia abajo)

) ) )

EJERCICIOS 1. 2.

El punto (2,3) ¿es punto de la parábola ?. Rpta. No es. Dada la ecuación de la parábola Rpta. 0

3.

Rpta. 8.

. Hallar su rango.

).

Determinar el lado recto de la parábola 9.

Rpta.3. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola , ordenada es 3 unidades. Rpta. 5.

5.

cuya

Rpta.

(

)

(

7.

parábola . Rpta. -3. El vértice de una parábola cuya directriz es es el centro de la circunferencia

.

).

.

Hallar la ecuación de la parábola de vértice (-1,1) y foco (3,1). Rpta. P . Hallar la ecuación de la parábola de foco F= (1,1) y de recta directriz .

11.

Rpta. . Sean (2,1) y (2,4) vértice y foco de una parábola respectivamente. Hallar la longitud del lado recto. Rpta. 12.

).

Hallar la suma de coordenadas del vértice de la

(

10.

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es (6,4) y su recta directriz es .

6.

)

Rpta. (2,0).

. 4.

(

Hallar las coordenadas del foco de la parábola

12.

Una parábola cuyo vértice es (2,1) y su foco tiene como coordenada el punto (5,1). Hallar la ecuación de la parábola.

13.

Rpta. . Hallar la ecuación de la parábola de foco (7,2) y la recta directriz .

14.

Rpta. ( ) ( ). Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (3,-1) y recta directriz la .

Rpta.

(

)

(

).

62 | C E P R U 2 0 1 5 15.

Hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en (3,5) y cuyos extremos del lado recto son (-5,9) y (-5,1). Rpta.

16.

(

)

).

(

29.

Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es F= (1,-1) y recta directriz Rpta. ( ) (

Determine la ecuación de la parábola:

y

. ).

17.

Encontrar la ecuación de la parábola con foco en (0,-2) y recta directriz . Rpta. ( ) ( ).

18.

Sea la parábola de ecuación . Hallar la distancia del foco a la recta directriz. Rpta.: 4.

19.

Determinar la suma de los puntos de intersección de la parábola

-4

0

-12 2

Rpta: 3x 4 y 48 0

y la recta 30.

, en el cuarto cuadrante.

La ecuación de la parábola de vértice en el centro de circunferencia 2

es:

Una parábola con vértice en el origen cuyo eje

31.

21.

,

(

( ) ( Rpta.: 36.

22.

,

) (

si

por

los

 x 5

Hallar el valor positivo de

M

de la ecuación de la parábola

Rpta:3

puntos 32.

).

Hallar la ecuación de la parábola de directriz la

IL : x 2

recta

y vértice

el centro de la

Determinar la ecuación de la parábola con vértice sobre la recta , foco sobre la

circunferencia 3x 3y 18x 12y 27 0

recta

Rpta: y

2

.

Rpta.: 23.

pasa

12

2.

. Determinar

)-



2, 2 ,

2

.

Sea la parábola

2

y foco

la

x 4x 4My 8 0 . Sabiendo que el foco es 2,

). Hallar la directriz de dicha parábola.

Rpta.:

y 2

Rpta: 

coincide con el eje Y, y que pasa por el punto

(

2

C : 2x 2 y 20x 8y 56 0

Rpta.: . 20.

x

4

2

2

4 y 20x 64 0

.

Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es horizontal y pasa por los puntos (0,0), (8,-4) y (3,1)

33.

Hallar la ecuación de la parábola de vértice el centro de la circunferencia 2

2

2x 2y 20x 8y 56 0 y foco el centro de la 2

Rpta. ( y 1)2 x 1

2

circunferencia 5x 5y 20x 20 y 35 0 2

24.

25.

Una parábola con vértice en el origen cuyo eje coincide con el eje Y, pasa por el punto (4,-2), Hallar la directriz. Rpta. y 2 Dada la parábola: lado y 

(x 2)

34.

2

4

Sea la parábola

2

2

y ax bx c

si pasa por los puntos

 1, 2 .

35.

. Determinar

2

36.

Hallar la ecuación de la parábola de foco F=(-4,1) y recta directriz

2x 4 0 .

2

Rpta. y 2y 12x 13 0 la

parábola

de

2

ecuación y 4x

Sea la parábola y ax bx c de vértice (2,3) y la curva pasa por el origen de coordenadas y por el punto (4,0). Hallar a+b+c. Rpta. 9/4

38.

Si se tiene foco F=(5,1) y directriz cuya ecuación es y+7=0 de una parábola. Hallar el dominio y rango de la parábola.

Rpta:2 Determinar el rango de la parábola de ecuación

y 6x x 0 . Si x 4, 10 2



Rpta: 40, 160

2

37.

directriz.



4y 12x 64 0

Rpta: y

1, 0 , 0, 0 y

6 y 25 0 . Hallar la distancia del foco a la recta

28.

La ecuación de la parábola con vértice sobre la

IL1 : 3x 2y 19 0 , foco sobre la recta IL2 : x 4y 0 y directriz la recta IL : x 2 , es:

Rpta: 1 Sea

La ecuación de la parábola con eje focal horizontal y foco en (-2,3) y vértice sobre la recta IL : 5x 2y 4 0 , es:

recta

a 2b 3c

27.

4y 12x 56 0

Rpta: y 6 y 28x 131 0

2 . Determinar el

recto. Rpta. 4 26.

Rpta: y

Rpta.

Dom(P) R, Ran(P) [3, 

2

f (x1)=ax +bx+c

ELIPSE

(

Una elipse , , es el lugar geométrico del conjunto de puntos P

P

(

)

a los puntos fijos

llamados focos, es igual a una constante

*P

(

)

(P

)

)

tal que la suma de las distancias del punto

. Es decir:

(P

)

+

Y P

C

X Notaciones:

1. Longitud del eje mayor:

(

)

2. Longitud del eje menor:

(

)

3. Distancia focal: (

) (L

4.

L )

5. 6. ECUACIONES DE LA ELIPSE ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

(

)

(

)

Y 𝑅

𝑅 a

b

C

c

𝑅 𝑅 X ELEMENTOS:

1.

(

):Centro de la elipse

2.

Vértices o extremos del eje mayor:

3.

Focos

4.

5.

( Extremos del eje menor: Longitud de cada lado recto:

6.

Excentricidad:

7.

Eje focal

8.

Directrices: L

(

)

(

( ) )

L

) (

( )

)

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE Si el centro esta en el origen de coordenadas

(

) entonces:

ECUACIÓN GENERAL:

DOMINIO Y RANGO DE LA ELIPSE

() , R () ,

-

Ejemplo: Determinar lo elementos de la elipse

(

)

(

)

Solución:

√ ) (  ( ) Vértices: ( √ ( ) Focos Extremos del eje menor:

) ( (

( )

)

√ ( ) (

)

 Longitud de cada lado recto:

(

 Excentricidad: √

()



R ( )

)

(

)

) √

√

L

 Directrices: L Dominio y rango de la elipse 

) (

√

 Eje focal:

(

)

,

-

[

,

√ ]

√

-

,

-

,

-

ECUACIÓN CARTESIANA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

(

)

(

)

Y 𝑅

R c

C

a

b

𝑅

R

X

ELEMENTOS:

1. 2. 3.

(

): Centro de la elipse

4. 5.

Extremos del eje menor: Longitud de cada lado recto:

6.

Excentricidad:

7.

Eje focal

Vérticeso extremos del eje mayor: Focos

(

)

( (

)

(

)

(

)

(

8. Directrices: L L ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE

Si el centro esta en el origen de coordenadas

ECUACIÓN GENERAL:

(

) entonces:

)

)

DOMINIO Y RANGO DE LA ELIPSE

() , R () ,

-

-

Ejemplo: Determinar lo elementos de la elipse

(

)

(

)

Solución:

√

 (

)

(

Vértices:

)

(

Focos

√ )

(

)

(

( )

Extremos del eje menor:

√ ) (

(

)

)

(

(

)

)

(

( )

 Longitud de cada lado recto: LR

)

(

)

√

√

 Excentricidad:

√ √

 Eje focal:

Directrices: L Dominio y rango de la elipse () , R () ,

-

-

L ,

[

- , √ ]

√

EJERCICIOS

1. 2.

La longitud del eje menor de la elipse a; es. Rpta. 4. Hallar la ecuación de la elipse sabiendo que los vértices

son

(

y

)

focos

son

9.

Hallar la ecuación de una elipse de focos ( ), ( ) y excentricidad .

) .

(

Rpta.

10. Rpta.

.

Hallar la ecuación de una elipse de focos ( ), ( ) y longitud del eje menor de 4 unidades.

.

(

3.

Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. hallar su ecuación que

11.

pasa por los puntos (√ ) y ( √ ). Rpta. . 4.

5.

.

Hallar la ecuación de la elipse que pasa por (

Rpta. 12.

√

),

.

El producto de las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse: ; es:

) y su excentricidad es igual a 2/3. Rpta. 80.

.

La ecuación de la recta directriz de la elipse Rpta.

.

13.

Los focos de la elipse son los puntos (-4,-2) y (-4,-6); el lado recto es 6 unidades. Hallar la excentricidad. Rpta. ½.

14.

Los focos de una elipse son ( ) y ( ). Hallar la ecuación de la elipse, si uno de los vértices esta sobre la recta .

; es: √ (

El dominio de la elipse

)

(

)

; es:

Rpta.: Rpta. , 8.

)

Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los Rpta.

7.

(

tiene su centro en el origen, su eje menor coincide con el eje X y la longitud de su eje mayor es doble del eje menor.

Hallar la excentricidad de la elipse, si la distancia entre sus directrices es el triple de la distancia entre √ sus focos. Rpta. .

puntos (

6.

)

Rpta.

)

(

)

.

-.

Calcular la ecuación de la elipse, si la distancia focal es 4 unidades; un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6 unidades respectivamente. Rpta.

(

15.

En una elipse vértices del (3,5); (3,-1) es: excentricidad 2/3. de La longitud lado recto, Rpta.:

.

. 16.

Determinar la ecuación de la elipse con el eje focal horizontal, que pasa por el punto ( menor mide 6 unidades.

) y cuyo eje

y de

Rpta.:

17.

18.

IV) La ecuación x

.

La distancia focal de una elipse es 8. Un punto de la elipse dista de sus focos 3 y 7 unidades respectivamente. Calcular la ecuación de la elipse. Rpta.: .

4

y

2

–8y 0 corresponde a

una circunferencia La verdadera, es: Rpta: solo I 29.

Hallar la ecuación canónica de la elipse, con focos en el X, la longitud del eje mayor igual a tres veces la longitud del eje menor y que pasa por el punto

Hallar la excentricidad de la elipse cuya ecuación es:

2

3, 3

.

2

2

Rpta: x 9 y 90 Rpta.: . 30. 19.

20.

21.

22.

Hallar las rectas directrices de la elipse de ecuación . Rpta.: .

1,3

Rpta.: . Los focos de una elipse están sobre las rectas y , el eje focal es la recta . Hallar la ecuación de dicha elipse, si el eje mayor mide 8 unidades.

31.

Rpta.: (

)

y 4

2

9x 1 72

IL1 : 2x IL2 : 2x y 0 , el eje focal es la recta IL : y 2 , hallar la ecuación de la elipse, si

y

el eje mayor mide 10 unidades. Rpta: 2

2

9x 5 25y 2 225 32.

Hallar la longitud del eje mayor de la elipse que pasa por el punto Q 1, 5 y cuyos focos son los

puntos 5, 2 y 3, 2 Rpta:10

). (

2

Los focos de una elipse están sobre las rectas

9y 0

) Rpta.: ( ( ) La distancia entre su las ecuación, directricessidelos unafocos elipseson es 16 unidades. Hallar los )y(

ecuación si los focos son los puntos 1, 5 y Rpta: 8

Hallar la ecuación canónica de la elipse, con focos en el eje X, la longitud del eje mayor igual a cuatro veces la longitud del eje menor y que pasa por el punto ( ).

puntos (

La distancia entre las directrices de una elipse es 18, hallar su

33. Una de las ecuaciones de las rectas directrices de )

2

.

2

16x 25y 50y 375 0 , es:

la elipse:

Rpta. 3x 25 0 23.

24.

Hallar la longitud del eje menor de la elipse que pasa ( ) y cuyos focos son los puntos ( ) y ( por). el punto Rpta.: 6.

34.

2 su ecuación siendo su excentricidad 1/3. Rpta. 9(x 2) 2

8( y 3) 512

Determine la ecuación de la elipse con eje focal horizontal, que pasa por el punto 2,1 y cuyo eje

35.

menor mide 4. 2

2

Rpta: 3x 4 y 16

25.

8

La distancia focal de una elipse con eje horizotnal es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6

x2

y2

16

1 12

Rpta:

36.

Hallar la ecuaciones de la elipse cuya suma de las distancias de cualquiera de sus puntos a los puntos fijos (-4,5) y (6,-5) es igual a 16. 2



( y 5)2

64

1

39

2

Hallar la excentricidad de la elipse cuya ecuación es: 3x 2

Rpta: e 

52

II)

37. La ecuación de la elipse de centro Fo=(2,-3) eje mayor paralelo al eje Y de longitud 12 y eje menor de longitud 8, es: Rpta.

8

¿Cuál de las ecuaciones dadas representa una elipse? I)

38.

( y 3) 36

2



(x 2)

2

16

1

Los focos de una elipse están sobre las recta:

2

2

L1 : 2x 9y 0

2

2

El eje focal es la recta y=2. Hallar la ecuación de la elipse, si el eje mayor mide 10 unidades.

x y x 2y 1 0

x y 4x 2y 6 02 2 III) 2x y 4x 4y 4 0 2

2

2

y

L2 : 2x y 0

2

Rpta.

IV) y x 2y 5x 10 0

(x 5)2 ( y 2) 1    25 9

2

V) x 2 y 2x 4 y 1 0 Rpta: Solo V 28.

4

Rpta. (x 1)

16 y 192

27.

Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por: ( 6 , -1) y (2, 2 ) . 2 2 Rpta. x  y 1

unidades respectivamente. Calcular la ecuación de la elipse

26.

El centro de una elipse es el punto (-2,3) y su eje mayor paralelo al eje Y es igual a 16, Hallar

39.

De las siguientes proposiciones: 2 2 I) La ecuación x y 2x 4 0 corresponde a una circunferencia. El centro de cualquier circunferencia es un punto de dicha circunferencia III) El foco de una parábola es un punto de dicha II)

parábola.

Hallar la ecuación de una elipse si su centro está en el origen de coordenada, la longitud del eje mayor es 16, los focos están sobre el eje X y la curva pasa por el punto (4,3). Rpta: 3x2+16y2-192=0

40.

Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (±2,0) y su excentricidad es igual a 2/3 Rpta

x2 9



y2 5

=1

2

f (x1)=ax +bx+c

FUNCIÓN BINARIA Una función

es una relación binaria

que hace corresponder a un elemento

, un único elemento

, es decir:

*(

Notación:

)

( )+

Se lee: f es una función de A en B.

A

Ejemplo:

𝐟

1

B

3

2

4 5

3 *(

)(

)(

)+

Ejemplo:

A

B -1 0

0 1

*(

)(

1 )(

)+

una relación pero no es una función.

NOTA:

a) Toda función es una relación, pero no toda relación es función. ( ) b) es una aplicación, si c) En una función, dos pares ordenados distintos no deben tener la misma primera componente.

DOMINIO Y RANGO Dada la función

;

() * R () *

( )+ ( )+

Una función real de una variable real del conjunto de partida , un único elemento

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL es una relación real , que hace corresponder a un elemento del conjunto de llegada , es decir:

*(

)

( )+

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Dada la función  el:

( ) ( )

*

( )+

*

( )+

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Si es una función real de variable real, la gráfica de es la representación geométrica de todos los pares ordenados que pertenecen a .

( )

*(

)

( )

( )+

OBSERVACIÓN: Sea :  , Si toda recta paralela al eje Y corta a la gráfica de representación de una función.

Y

Y 𝐟

X

Es función

X

No es función

en un único punto, dicha gráfica será la

EJERCICIOS 1.

Hallar el dominio de la función definida por:

( )

√

.

17.

2.

Rpta. 〈 Dada

3.

( ) √ ( ) . Hallar su rango. Rpta. , -. Hallar el dominio de la función definida por:

4.

( ) √ √ . √ -. Rpta. , Hallar el rango de la función definida por:

〉 , la

〉. función

+. Rpta. * Hallar el rango y dominio de la función definida por: ( ) . √

f

definida

por:

18.

-y, Rpta. ( 〉. Hallar el dominio de la función definida por: ( )

.

√

Rpta. 〈 0 5.

. Rpta.

〉.

20.

Si f representa una función tal que

*(

) (

*( III. Rpta. Solo I.

) (

) (

,

〉

-

〈

〉.

El rango de la función definida por como ( -.) , -. Rpta. ; ,Hallar el dominio de la función cuya regla de correspondencia

) (

) ( ) (

)+.

)+.

) (

( )

es:

. √

)+ . Rpta. ,

¿Cuáles son funciones? *( ) ( ) ( I. *( ) ( ) ( ) ( II.

6.

19.

21.

〉.

Dada la función f definida como ( . Hallar el valor de la expresión

(

)

)

( )

)+.

. ( )

( )

Rpta. .

Hallar el dominio de la función definida por:

22.

Dada *(

) (

) (

) (

las

) (

funciones

)+

;

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ . La suma de los elementos del rango de la función ; es: Rpta. 16.

( )

23.

√

es una función definida por ( )

Si

,

,

. entonces, determinese el

√

Rpta. ,

7.

Rpta.: ,

〉 * +.

Hallar la suma de elementos del dominio y rango *( ) ( ) ( de la función tal que:

) (

) (

Rpta. 6. Hallar el rango de la función definida por: ( )

9.

Hallar la suma de los elementos del rango de la

.

Rpta.

25.

* +.

siguiente ) (

) (

12.

√

13.

R

)+.

,

〉

⟦

⟧

〉 , entonces el

,

El rango de la función real

x 3

-.

,

(

, )

-

27.

Hallar el dominio de



28.

;

29.

-.

, definida por

2 , es:

 x  1/ 2 1 f x   2 14 5x x 

El rango de la función y x 3 1 , es: Rpta:

{( √



Rpta: 7, 2 1

* +.

1, 

Dada

la

función

h 2, m n  ,  3, m 2n  ,  4,3  ,

,

si

3,8 h  2 2 . Hallar m n

)

Rpta:6

〉. 30.

Determinar si la función ; es suryectiva. Rpta. No es suryectiva.

con x

definida por:

. Hallar rango de f.

El rango de la función f tal que

x 1

f

1, 1

Rpta:

El rango de la función definida por: ( ) ; es:

Rpta. ,

,

, si el

]

x 

}; es:

15.

[

f

.

-. Rpta. , Determinar el dominio de la función definida por: .

Rpta. , 14.

) (

; Cuyo dominio de f es

√

Sea la función

Rpta.

( ) .

√

Hallar el rango de dicha función.

26.

, -. Calcular Rpta. 9.

( )

es

Dada la función:

Dada la función definida por: ( )

, tal que ( )

función:

*( ) ( Rpta. 31.

11.

Dada la función dominio de valor de Rpta.: 4.

)+.

8.

10.

24.

( ).

-.

tal que ( )

Si 16.

f

representa una función, donde El rango de la función f definida por: ; es:

( )

⟦

⟧,

f 3, 7a 2b,  2,5  , 2, a 2  , 3,5b 2a La suma de los elementos del rango, es: Rpta:44

31.

Hallar

el

rango

de

la

f x 3 5 x2 , x   Rpta: 3  5 , 2  x  32.

Determinar

el

F

1 x

x 1 Rpta: 0,1 33.

función

real

Rpta. [-1/2,+∞

2, 2

37.

2

2

rango

de

la

8

función 38.

8x 15 x 3 39.

2

Hallar el rango de la función: f(x)=

x 2 , x[-1,23]

Rpta. [1,5]. 40.

Hallar

el

dominio





f x  2x2 8 x 3 3

dominio de la función, es: Rpta. x  2,1]

Rpta.

f (x) 

Hallar el rango de:

.

36 x

f (x) 2x 3 , es [1,7>, el

El rango de la función:

2

4x 4x 1 x .

2

f (x1)=ax +bx+c

FUNCIÓN IDENTIDAD

( )

Es aquella función cuya regla de correspondencia es: 𝐘

𝐟

()

�� X

R

R ()

FUNCIÓN CONSTANTE:

( )

Es aquella función cuya regla de correspondencia es: 𝐘

()

𝐟

R ()

* +

X 3.

8

5 ]U[ 5 ,6

Rpta. -6,-

Rpta. Dm( f ) {1,1,2}, Ran( f ) {3,2,5}

2.

, si x [0,8] .

Hallar el dominio de de la función f de una variable real, definida como:

f (x) 4 

f {(2,5), (1,3), (2,2a b), (1, b a), (b , a)}

1.

4

25

2

2

36.



x 5

Hallar el dominio y rango de la función:

35.

3x

Rpta. [2, 41/8]

Rpta. Ran( f )  {2} 34.



f (x)

Hallar el rango de la función f de una variable real, definida como:

f (x) x 

Hallar el rango de la función f de una variable real, definida como:

FUNCIÓN LINEAL Es aquella función cuya regla de correspondencia es:

( )

Y

𝑦 ��

� ()

� R () X

*

+

, 

 



de

la

función

4.

FUNCIÓN CUADRÁTICA Es aquella función cuya regla de correspondencia es:

( ) la funcion cuadrática es una parabola con eje focal paralelo al eje Y

ASIGNATURA: ÁLGEBRA | 71 Si

, la gráfica se abre hacia arriba.

Si

, la gráfica se abre hacia abajo. 𝐘

a>0

() R (( )) , R

-

S

S

X

a →

es biyectiva. Hallar a+b

31.

Calcular el rango de

f x

Rpta. 5 28.

Dado M={2,3,4,5,6}. Si f : M →N definida por

Rpta:

f (x) 2x 3

es suryectiva. Hallar la suma de los elementos del rango de f.

32.

1

1 

x 1  x 2

1,  f

Calcular el rango de

x 2x 1  x 2

Rpta: 3 ,    2

Rpta. 25 29.

,



En las siguientes proposiciones marque (V) si es verdadero y (F) si es falso:

2

f (x1)=ax +bx+c

CLASES DE FUNCIONES 1.

FUNCIÓN INYECTIVA Una función

(

es inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio. Es decir:

)

(

)

( ) ó

(

)

(

)

( )

Observacion:

2.

1. 2.

Una función es inyectiva, si para En una funcion inyectiva las segundas componentes no se repiten.

3.

Si toda recta paralela al eje

corta a la gráfica de en único punto, dicha gráfica será la representación de una función inyectiva.

FUNCIÓN SURYECTIVA Una función ( ) Si Observacion:

3.

( )

es suryectiva, si el rango o imagen de coincide con el conjunto de llegada B es decir. entonces es una función suryectiva.

Una función es suryectiva, si FUNCIÓN BIYECTIVA: Una función

es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a l vez.. Ejemplo:

Hallar el valor de

sabiendo que la función f es inyectiva.

)(

{(

( )

)(

)(

)(

)}

Solución: por condición de inyectividad, si se repite las segundas componentes en dos pares ordenados estos son iguales, entonces:

(

) (

De ( ) (

) entonces

)

( )

( ) *(

)(

)(

)+

OPERACIONES CON FUNCIONES Sean f y g dos funciones cuyas reglas de correspondencia son ( ) y ( )

, entonces:

ADICIÓN:

*(

)

(

)( )

( )

( )

(

)

()

( )+

SUSTRACCIÓN:

*(

)

(

)( )

( )

( )

(

)( )

( )

( )

(

)

()

( )+

MULTIPLICACIÓN:

*(

)

DIVISIÓN :

*(

(

)

( )

( )( )

)

()

()

( )

( )+

( ) *

( )

( )

++

( ) Ejemplo: Sean las funciones

√

( )

, cuyas reglas de correspondencia son:

( )

Solución:

()

,

-

(

)

(

)( )

( )

*

()

( )

( )

( )

+

,

- * + (

√

)

,

- * +

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean f y g dos funciones cuyas reglas de correspondencia son ( ) y ( ) respectivamente, si ( ) y ( )( ), entonces la composición de y denotado por g o f existe y se define por:

{(

)

( ( ))

(

)}

Donde: (

)

*

( )

( )

( )+ ( ) (

R ( )

R ( )

)

R (

( )

{(

(

)

)

(

)( )

*

( ( ))

( )

(

( )

)} Donde:

( )+

Propiedades:

2.

( ) g f ≠ f g

3.

(g f) h = g (f h)

4.

! Función identidad I tal que

1.

I=f 5.

Ran(f) ∩ Dom(g) ≠

;

I f=f

( ) ()

Solución:

,

función f.

-

,

) -

-

,

-

*

( ) ( )

,

-

(f .g) h = (f h ).(g h)

7.

(

8.

R (

)

( ) ) R ( )

Si f y g son funciones inyectivas entonces g f es una función inyectiva.

;

, cuyas reglas de correspondencia son:

,

√

6.

9.

(f +g) h = f h + g h

Ejemplo: Sean las funciones

(

( ( ))

( )

NOTA:

( )

)

( )

,

( )+

(

)

,

-Entonces:

(

)(

( ( ))

)

(

√

)

√

,

-

FUNCIÓN INVERSA Sea f una función cuya regla de correspondencia es:

*(

)

( )+ Si "f " es inyectiva entonces la función inversa de f existe y está dado por:

( )

*(

)

 ( )+

( )

Propiedades: Sean f, g, I funciones inyectivas, entonces:

1.

Dom (

) = Ran (f)

2.

Ran (

) = Dom (f)

3.

(g

f)-1

4.

f

=I

5.

f=I

6.

(

=

) -1 = f

Ejemplo: Seaf(x) = 2x – 3 Despejar “x” en función de “y”,

Luego a “x” se cambia por f(x)-1 y a “y” se cambia por “x”.

( ) 1.

EJERCICIO S

Dadas las funciones *(

) (

) (

) (

) (

) (

)+;

2.

3.

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+; *( ) ( ) ( ) ( )+. Hallar *( ) ( )+. Sean las funciones definidas por ( )

) (

12. ℎ. Rpta. ;

√

13.

|. ¿Cuántas funciones son

|

Sean las funciones reales: función identidad, función signo, función cuadrática, función mayor entero, función constante y función lineal. ¿Cuántas funciones son inyectivas?.

Rpta.

14.

Si tal que ( ( tal que Dom( ). Rpta. ,

;

)

;

)

7.

Rpta. No es suryectiva. Si f ( ) y

9.

tal que

√

Rpta ⟨

⟩.

Sea

,

( )

(

)

y ( )

. Hallar Dom (

biyectiva tal que, ( )

-

17. ).

10.

Sea

) )

y 18.

-

-

una

función

tal

que

; . Rpta. ,

.

}y 3 , el dominio de la

√

〈

-. )+ )+, calcular la suma de los .

Dadas las funciones: ( ) . √ , *(

) (

) (

) (

)

)+, hallar la suma de los elementos del .

Dadas las funciones: ( )

,

funciones

-

√ , es:

〉

( )( rango de Rpta.: 4.

1. ,

,

Dadas las funciones: *( ) ( ) ( ) (

( )

, ( ) también bieyectiva. Hallar B. Rpta. 0

;

*( ) ( ) ( ) ( elementos del rango de: Rpta.: 51.

además

. Hallar el valor de b.

) ( )

Rpta. 5. Sea ( )

¿f suryectiva?

( )

es

-.

,

( )

función,

16.

cual

Dadas las funciones.

Rpta.: 〈

Si

8.

Hallar

-.

6.

(

⟩ .

la

. Hallar

( )

;

√

{( 2(

-, ,

〈

,

-

Hallar la inversa del a función f definida por:

Rpta.

15.

⟨

.

( )

Rpta. 2.

5.

-

Rpta. 30. Dadas las *( ) ( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+. Hallar *( ) ( ) ( )+. Dadas las funciones tal que ( ) tal que

Rpta. 1 4.

⟨

Sea la función f tal que definida por ( ) suryectiva. El valor de m-n; es:

; ℎ( )

( ) √ inyectivas?

11.

)+; el rango de

*( ) ( ) ( +. ; es: Rpta.* Dadas las funciones

Rpta. 13.

*(

〈 )(

)(

〉 )(

)(

)+, determinar el

( )

. Hallar m+n si f es biyectiva.

número de elementos del Rpta.: 4.

(

).

19.

Dadas las funciones: *(

) (

*(

)

) (

) (

)(

)+,

31.

+ , determinar el valor

)

)1 ( ), con respecto al

(

mayor valor de “ ”. Rpta.: 2. 20.

32.

Sean las funciones: *(

(

(

(

Rpta: 2

-+ 33.

+.

)( ) (

3

f

Si

y

g

x 

2 , hallar la inversa

y g 



2, 1, 4, 5  , 7,

. Hallar

5

f g. Rpta: 2, 3,4,1, 7,1

)( ).

(|

), es:

| ,

34.

〉.

Rpta:

) .

√

Dadas las funciones

f

g

y

definidas por:

3x 4 2

Dadas las funciones

F 3, 2  ,  0, 0  , 2, 4  , 3,1, 4,3

36. Dadas

Rpta:11 la

f

funciones

xx 1

2

g

y



, con x 1, 7

tales

xx

que



Rpta: x

37.

3

2x 8 , x 

f

S i

xx2 2x 3

h

tal que

g h f

38.

f

1

f

1

Hallar

f x, y x 

f* si

3, 4;4, 6 ; 1, 2 x 23x 2

f

y



x 1



g 1, 6 ;2, 2;3, 4

el valor de

x 3, 2

2 , 2

Rpta: 1

4;2,1

S f i

,

4

f 1, 0 ; 3, 3 ;  1,

Rpta:

0, 2

g x5 3x , x 1, . Hallar Domg

Dadas las funciones.

Hallar una función

x  4,

x3x 7 , x  2 0, 7 Hallar f g x 

f g



5x 1,

g

y g x 2x

x  2,  . Hallar el rango de la función

Rpta: 16, 36

f

las funciones 3

1 con

 x,

Rpta:59

f g , es:

f

f

y

F 2 3G

La suma de los elementos del rango de la función

Dadas

g

1

Hallar la suma de la elementos del rango de

x 3

x 

x3x 2

G 2, 0 , 3, 4  ,  4, 7  , 6, 2

f 6,8;4, 7 ;  0,1 ;  3,5 ;  7, 4

g

/f

/ g x 2x 2 , entonces



es:

-. Hallar la función inversa de

,

√



Dadas las funciones f :

g :

35.

27.

8

son dos funciones definidas por

x2 4

f

Dada la siguiente función:

Rpta.: (

26.

x3

x 2

.

25.

x 

La inversa de la siguiente función:

( )

24.

y

Dada la función real

. Hallar el valor de ,

( )

)

)+ ,

)(

Rpta. *

).

Si ( ) y si se cumple que:

( ) √ Rpta.:

23.

)( ,

( )( ) Rpta.: 2. 22.

)(

)

Hallar: 21.

*(

f

. Hallar la inversa de

3x 1 x 1 Rpta: 3x 2

de: 0(

2x S f i x  1

/y

Rpta: f *  x 1

es una función real, entonces

x 1,

. x 1

1x

39.

Dadas las funcione:

f {(2,3), (1,6), (4,2), (6,8)} y

es:

g {(0,2), (1,3), (4,1), (6,0), (9,8)}

Rpta: x

31 9

28.

El rango de

f

Si las funciones

g  ;

f



3  8 

  7 g

5

y

g

son biyectivas , tales que

1 8



5

2

. Hallar

   9  

f

1 2



Rpta. {5,11}

f g

 f g , es:

  9 

40.

Dada las funciones:

Rpta:3/7 29.

Sean

f (x) 2 x; las

funciones

f 1, 0 ;  2,3 ,  1,3 , 4,1

Rpta:

S i

Hallar la suma de los elementos del rango de

f 2 3g

g

f g 1,3 ,  3,1 , 2, 0  , 4,

Rpta. 4

0 30.

g {(2,4),(0,2),(2,3),(1,5),(4,2),(1,3)} , y

g 1, 2  , 3, 4 ; 2,1; 4,1 . Hallar f

41.

f x 5x2 2x 1 . Hallar D

4 Rpta:  ,   5

x 0 , y

R

Sean las funciones:

f {(4,1), (3,1), (2,4), (1,4)} , y

f

g {(1,1), (4,3), (5,2), (0,4)} La suma de los elementos del rango de la función

f g , es: Rpta. 5

f (x) 5x 3,

42.

g(x) 3x 1

44.

Sean

Si

f g

Hallar la regla de correspondencia de

x 

f (x) 

x 4,

2x 4x 3

g 

2 f 3g 5 

con x [2, 6] y

Si

g(x) 2x 3,

2

Rpta.

con x 2, 4]

Son funciones. Determinar el dominio de (

86 8 5

g f

)(x). Rpta [2,6]

2

f (x1)=ax +bx+c

FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función f se llama función exponencial si está definida por:

( )

;

.

Nota:

( )

1. Una función f es creciente si:

( )

( )

2. Una función f es decreciente si: CASO 1: Ejemplo:

( )

( )

( )

. /

Si

( ) x

𝑎

-3

-2

-1

0

1

2

3

8

4

2

1

1/2

1/4

1/8

()

R ()

Si x se aproxima a Si x se aproxima a Observaciones: 1. Como

2.

∞

, entonces “y” se aproxima a 0. , entonces “y” se aproxima a

la grafica de la función

( )

y

1, 2 ,0, 7  , 1, 3 , 3,10,  5, 20

Rpta ( f g ) (x)=15x-2

43.

2

f

( )

.

es decreciente y pasa por el punto (

)

Hallar

CASO 2: Ejemplo:

Si 𝑎 x

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0

1

2

1

2

4

()

∞

R ()

Si x se aproxima a aproxima a

, entonces “y” se aproxima a

. Si x se

, entonces “y” se aproxima a . Observaciones:

1. Como

la grafica de la función

( )

es creciente y pasa por el punto (

)

( )

2.

FUNCIÓN LOGARITMO Dado

,

la función logaritmo de base “a” esta dado por:

( ) CASO 1:

𝑎

Si Ejemplo:

x

. /

8

4

2

1

1/2

1/4

1/8

-3

-2

-1

0

1

2

3

∞

()

R ()

Si x se tiende a

, entonces “y” se aproxima a

. Si x se

aproxima a , entonces “y” se aproxima a . Observaciones: 1.

Como

la gráfica de la función

( )

es decreciente y pasa por el punto (

)

( )

2.

CASO 2:

Si 𝑎 ( )

Ejemplo: x

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

-3

-2

-1

0

1

2

3

∞

()

R ()

Si x se tiende a

, entonces “y” se aproxima a

. Si x se

aproxima a , entonces “y” se aproxima a . Observaciones: 1.

Como

la grafica de la función

( )

es creciente y pasa por el punto (

)

( )

2.

Nota 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial y viceversa.

* + 2.

La función logarítmica y la función exponencial son Biyectivas.

Logaritmo natura si la base: a = e = 2.718281… entonces PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS 1. 2.

Solamente existen sistema de logaritmos cuya base es una cantidad positiva diferente de la unidad. En el sistema de los números reales no existen logaritmos de cantidades negativas.

3. 5.

Si la base Si . la base .

6. 7.

. .

. . 4.

8. 9.

. .

√

10.

.

11.

. √ √ cambio de base. NOTA:

. DEFINICION.-Se denomina cologaritmo de un número N; al logaritmo de su inversa, esto es: .

Ejemplo.-

.

DEFINICION.-Se denomina antilogaritmo, al número correspondiente al logaritmo dado, esto es: Si x es el logaritmo en base b, entonces: .

EJEMPLOS.1. 12.

(

)

.

EJERCICIOS 1.

Hallar el dominio de la función definida por I. si

( )

L

Rpta. 〈

.

/.

II. si

2.

Hallar Rpta:3.

valor

de

.

3.

Representar la siguiente expresión como un solo logaritmo con coeficiente 1:

5.

.

entonces ( )

.

Por el punto (2,4) pasa la gráfica de cierta función exponencial, entonces la regla de correspondencia de dicha función; es: Rpta. ( )

.

.

entonces ( )

III.si Rpta. III.

〉. el

entonces ( )

.

√

4.

Rpta: . El rango de la función de variable real, tal que:

5.

7.

7. ,

.

resulta:

L

/. Hallar el dominio

.

〉 * +. Rpta. 〈 〉 〈 El dominio de la función f, definida por: ( )

-. Rpta.: , El valor del logaritmo de 125 en base 625; es: Rpta:0.75.

10.

11.

)

)

(

El valor de E en: Rpta:9. Hallar el valor de x en Rpta:3.

Hallar el valor de x en Rpta:2.

15.

Resolver: Rpta:6

(

)

13. 14. 15.

.

√

14.

d) e) Rpta. d.

. (

de

la

función

Rpta. 〈 〉 〈 〉. Determinar el dominio de la función ( ) /. 〉

〈

〉.

La suma de elementos del rango de la función f ( ) definida por ( ) ; es: Rpta. . ( ) L ( El ); es: Rpta. 〈 dominio 〉. de la función Hallar la inversa de la función definida como: .

.

)

+ . Para que “f” sea una se debe cumplir que: . c)

16.

( )

(

L

)

.

El dominio de la función f definida por

( )

L

4L

(L

(

))5; es:

0

1, definida por:

. .

El rango de la función real f, definida por ( ) | | ; es: Rpta. 〈 〉.

3.

Sea f una función real definida por ( ) rango; es:

| |

17.

Rpta. 〈 〉. Señale la función inversa de:

. El

( ) Rpta.:

.

〉.

Sea f una función real de variable real definida por

( )

dominio

( )

las siguientes proposiciones es verdadera.

( )

.

( )

2.

Rpta. ,

Determinar

Rpta.

*( ) ( ) Sea función exponencial a) y . b) 〈 〉 R .

〉.

Rpta. 〈

), es:

(

;

/; es:

).

Rpta:0.

( ))5; es:

(L

Determinar el rango de la función ( ) es:

L

12.

(

). Determinar su dominio.

〉.

.

Hallar el valor:

(

4L

Rpta. 〈

Hallar el valor de x sabiendo que se tiene la (

L

Rpta. 〈

Rpta: 2.

4.

〉y

.

9.

igualdad:

1.

Rpta. 〈

L

| | ( ) . Si es sobreyectiva, encontrar el dominio de .

Hallar el número cuyo logaritmo de base √ es igual a -6. Rpta:1/8.

13.

Sea la función ( ) y rango.

Sea ( )

9.

12.

〉.

8.

0

¿Cuál es la base del logaritmo de 8 si este es igual a -1.5? Rpta:1/4.

11.

; es:

1, definida por:

Considerando la función

8.

10.

El de la función ( ) Rpta. 〈

Al reducir la expresión:

Rpta:

6.

6.

,〉.es:

( ) Rpta.: 〈

18.

Considerando la función

. Cuáles de

( )

|

dominio de . Rpta.: ,

-.

|

. Si es sobreyectiva, encontrar el

L

.

80 | C E P R U 2 0 1 5 19.

El rango de la función ( ) , es: Rpta.: 〈

20.

21.

22.

de variable real, tal que:

II) Si b 1 , entonces la función f es inyectiva III) S b 0, b 1 , entonces el rango de f i

〉.

Si ( ) Rpta.:

 0, 

, hallar su inversa de .

IV) S b 0, b 1 , entonces la gráfica de i interseca al eje Y en punto (0,1).

.

Sea la función:

( )

(

Rpta.: 〈

〉 * +.

31.

Rpta. {11/5 , 3, 7} 32.

( )

23.

〉

Si ( )

L

El rango de la función real f, definida por:

f (x) 5Sgn( x3) 2 , es:

Determinar el dominio de:

Rpta.: 〈

f

Rpta:II y IV

), hallar su dominio.

)(

es

〈

Log2x

es: f (x) 3

〉.

[L

Sea f una función cuya regla de correspondencia

x [2, , la función inversa

,

(L

de f, si existe, es: Rpta. f 1 (x) 2Log3 x

)]. Hallar el dominio de .

x [3,

, Rpta.: 〈 24.

33.

〉.

Hallar el dominio y rango de:

( ) Rpta.:

25.

* + y ,

,

(

27.

Sabiendo que ( )

hallar

28.

R Determinar

rango

(

35.

)

de

la

función

El

rango

la

y Log3 x 21 , es:

Rpta:

30.

de

función

inversa

Dada la función exponencial

f

xbx, x 

¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) El dominio de f es el conjunto de los números reales

b 0, b 1

.

exponencial En

las

siguientes

Dada la función f(x)=2ax+1, se cumple que x1, x2  R, x1f(x2). Con respecto a “a” se puede afirmar que. Rpta. a