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TALLER SOLUCIONADO Nombres: Julio Rafael Patiño Escolar, Cristian Morales Profesor: Andres Medina Guzman Grupo: AD 1. En un condensador plano, cargado y desconectado, la diferencia de potencial aumenta si: (A) Se aumenta el área de las placas. (B) Se inserta un dieléctrico. (C) Se aumenta la distancia entre las placas. Explique su respuesta para cada una de las anteriores opciones ∗Explicado por pasos: Primero recuerda que la expresión de la capacidad de un condensador plano en el vacío, en función del área de sus placas y de la separación entre ellas: 𝑪𝒐 =

𝜺𝟎 ∗ 𝑨 𝒅

luego, planteas la expresión de la diferencia de potencial entre las placas del condensador: V = Q/C, sustituyes la expresión de la capacidad, resuelves la división entre expresiones, y queda: 𝑉𝑜 =

𝑄∗𝑑 (𝜀0 ∗ 𝐴).

✓ Respuesta = Es la C es Verdadera, ya que el potencial es directamente proporcional a la distancia de separación entre las placas. 2. En un condensador cilíndrico de longitud L y radios de placas ra y rb, A) ¿Cómo varia la capacidad si ambos radios se duplican simultáneamente? B) ¿Cómo varia la capacidad si se aumenta el radio de las placas, pero conservando la distancia entre ellas? Solucion: *Explicacion por pasos. Recuerda que puedes aplicar la Ley de Gauss para determinar que la expresión del módulo del campo eléctrico en la región comprendida entre las placas tienes la expresión: 𝑄 1 ) ∗ ( ) ∗ 𝑑𝑟, 𝑐𝑜𝑛: 𝑟𝑎 < 𝑟 < 𝑟𝑏 𝐸 = ( [2𝜋 ∗ 𝜀0 ∗ 𝐿] 𝑟

Luego, planteas la definición de potencial:𝑉 = −∫ 𝐸 ∗ 𝑑𝑟, sustituyes la expresión del módulo del campo eléctrico, resuelves la integral, evalúas entre 𝑟𝑎 y 𝑟𝑏 con la Regla de Barrow, y queda: 𝑄

𝑉𝑎𝑏 = ([2𝜋∗𝜀

𝑜

𝑟

) ∗ 𝐿𝑛 (𝑟𝑏 ) ∗𝐿] 𝑎

Esta es la expresión de la diferencia de potencial entre las placas del condensador cilíndrico. 𝑸

Luego, planteas la expresión de la capacidad del condensador :𝑪 = 𝑽 potencial entre las placas, luego simplificas, resuelves, y queda:

𝑪 =

(𝟐𝝅∗𝜺𝒐 ∗𝑳) 𝒓𝒃 𝒓𝒂

𝑳𝒏( )

𝒂𝒃

sustituyes la expresión del

(1)

(A) = Observa que, si se duplican los radios de las placas, tienes que la razón entre ellos: 𝑟𝑏 𝑟𝑎

=

2∗𝑟𝑏 2∗𝑟𝑎

=

𝑟𝑏 𝑟𝑎

✓ No varía, por lo que tienes que la capacidad del condensador permanece invariante. (B) = Si planteas que la diferencia entre los radios de las placas es:𝑑 = 𝑟𝑏 − 𝑟𝑎 , de aquí despejas: 𝑟𝑏 = 𝑟𝑎 + 𝑑, observa que la razón entre los radios de las placas queda expresada:

𝑟𝑏 (𝑟𝑎 + 𝑑) 𝑑 = = 1 + 𝑟𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 Sustituyes esta expresión en el argumento del logaritmo en la expresión señalada (1), y queda: 𝑪 =

(𝟐𝝅 ∗ 𝜺𝟎 ∗ 𝑳) 𝒅 𝑳𝒏 (𝟏 + ) 𝒓𝒂

✓ y observa que si el radio de la placa interna aumenta entonces tienes que el argumento del logaritmo disminuye, y como esta expresión es divisora, puedes concluir que la capacidad del condensador aumenta. 3. Un condensador de placas paralelas está formado por dos conductores cuadrados de lado 10 cm separados por 1 mm de distancia. A) Calcular su capacidad. B) Si el condensador está cargado con 12 V, cuánta carga se transfiere de una placa a la otra? Solucion:

A. Calcular su capacidad apartir de la ecuacion: ℇ𝟎 𝑨

✓ 𝑪=

𝒅

=

(𝟖,𝟖𝟓𝒑𝑭/𝒎)(𝟎,𝟏𝒎)𝟐 𝟎,𝟎𝟎𝟏𝒎

= 𝟖𝟖, 𝟓𝒑𝑭

B. La carga transferida se obtiene apartir de la definición de capacidad: ✓ Ԛ = 𝐂𝐕 = (𝟖𝟖, 𝟓𝐩𝐅)(𝟏𝟐𝐯) = 𝟏, 𝟎𝟔𝐱𝟏𝟎−𝟗 𝑪 = 𝟏, 𝟎𝟔𝒏𝑪 4. Un condensador de 60𝜇F está cargado a 12 V. Una vez desconectado de la batería, la separación de sus placas se incrementa de 2,0 mm a 3,5 mm. a) ¿Cuáles la carga del condensador? b) ¿Cuánta energía fue almacenada originalmente en el condensador? c) ¿En cuánto se incrementó la energía al modificar la separación de las placas? Solucion: A) La carga del condensador se calcula mediante la ecuacion: 𝑪=

𝑸 𝑽

𝑸 = 𝑪𝑽 ✓ 𝑸 = 𝟔𝟎𝝁𝑭 ∗ 𝟏𝟐𝒗 = 𝟕𝟐𝟎𝝁𝑪 B) La ecuacion de la energia almacenada en el condensador se realiza mediante la ecuacion: 𝟏

✓ 𝑬 = 𝟐 𝑸𝑽 = 𝑬 =

𝟏 𝟐

(𝟕𝟐𝟎𝝁𝑪)(𝟏𝟐𝑽) = 𝟒, 𝟑𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑱𝒐𝒖𝒍𝒆𝒔

C) La energia que se incremento al modificar la separacion de las placas se realiza de esta manera: ❖

Luego que planteas la expresión de la carga del condensador, y queda: 𝑸 = 𝑪 ∗ 𝑽 = 𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟐 = 𝟕𝟐𝟎 𝝁𝑪.

❖

Luego, planteas la expresión de la energía almacenada en el condensador en función de su carga, y de su capacidad, y queda: 𝑈 = expresión, y queda: 𝑈 =

𝑄2 2∗𝐶

, sustituyes la expresión de la capacidad, resuelves la

𝑄2 ∗𝑑 2∗𝜀0 ∗𝐴

❖ Luego, planteas la expresión de la energía en la situación inicial (di = 2 mm), y queda:

𝑈𝐼 = 𝑄 2 ∗

𝑑𝐼 . 2 ∗ 𝜀0 ∗ 𝐴

Luego, planteas la expresión de la energía en la situación final (df = 3,5 mm), y queda:

𝑈𝑓 =

𝑄 2 ∗𝑑𝑓 2∗𝜀0 ∗𝐴

❖ Luego, planteas la razón de la energía final entre la energía inicial, y queda: 𝑑𝑓 ] 𝑈𝑓 2 ∗ 𝜀0 ∗ 𝐴 = 𝑑𝑓 𝑈𝑖 [𝑄 2 ∗ 2 ∗ 𝜀 ∗ 𝐴] 0 [𝑄 2 ∗

simplificas, y queda: 𝑈𝑓 𝑈𝑖 𝑈𝑓 𝑈𝑖

=

𝑑𝑓 𝑑𝑖

, reemplazas valores en el segundo miembro, resuelves, y queda:

= 1,75, y de aquí despejas:

𝑈𝑓 = 1,75 ∗ 𝑈𝑖 (1). ❖ Luego, planteas la expresión de la variación de energía, y queda: 𝛥𝑈 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖, sustituyes la expresión señalada (1), y queda: 𝛥𝑈 = 1,75 ∗ 𝑈𝑖 − 𝑈𝑖, reduces términos semejantes, y queda: 𝜟𝑼 = 𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 𝑼𝒊 ✓ y puedes concluir que la variación de energía almacenada en el condensador es igual al 75 % de su energía inicial, y observa que la expresión remarcada es positiva, por lo que tienes que esta variación es un aumento de energía.

5. Calcular la carga almacenada y la capacitancia total del Sistema de la figura. Si establecemos entre A y B una diferencia de potencial de 3000V.

Solucion:

La carga almacenada se realiza por la siguiente ecuacion: 𝟏

Q= CV = ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 ∗ 𝟑𝟎𝟎𝟎𝑽 = 𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑪 𝟑