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Ricardo Iván Soriano Sequeira

Codigo:207684142

IAI

Funciones de varias variables

Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo numero, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...). La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente. Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica). Función lineal

Una función lineal de los variables x1, x2, ... , xn es una función de la forma f(x1, x2, ... , xn) = a0 + a1x1 + ... + anxn donde a0, a1, a2, ..., an son constantes. Funciones de interacción Si añadimos a una función lineal una o más terminas de la forma bxixj (b constante), obtenemos una función de interacción de la segunda orden. Funciones de distancia La distancia en el plano del punto (x, y) al punto (a, b) se puede expresar como una función de los dos variables x y y: d(x, y) = [(x - a)2 + (y - b)2]1/2. (Caso especial de la forma más arriba) La distancia en el plano del punto (x, y) al origen se expresa por d(x, y) = [x2 + y2]1/2. La distancia en espacio tridimensional del punto (x, y, z) al punto (a, b, c) se expresa por d(x, y, z) = [(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2]1/2.

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Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variables Puntos en espacio tridimensional tienen coordenadas como montrado en la siguiente figura.



La coordenada x de un punto es su distancia por delante del plano yz. (Si está negativa la coordenada x, el punto se está detrás del plano yz.)



La coordenada y de un punto es su distancia a la derecha del plano xz. (Si está negativa la coordenada y, el punto se está a la izquierda del plano xz.)



La coordenada z de un punto es su altura sobre el plano xy. (Si está negativa la coordenada z, el punto se está debajo del plano xy.)

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Gráfica de una función de dos variables La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos puntos (x, y, f(x, y)) en espacio tridimensional, donde restringimos los valores de (x, y) a estar en el dominio de f. En otras palabras, la gráfica es el conjunto de todos puntos (x, y, z) tal que z = f(x, y).

Derivadas parciales La derivada parcial de f respecto a x es su derivada respecto a x, cuando los demás variables se consideran constantes. En forma parecida, la derivada parcial de f respecto a y es su derivada respecto a y, cuando los demás variables se consideran constantes, y así sucesivamente para otras variables que pueda haber. Las derivadas parciales se escriben como ∂f/∂x, ∂f/∂y, y así sucesivamente. Se usa el símbolo "∂" (en lugar de "d") para recordarnos que hay mas que una variable, y que estamos considerando fijadas las demás variables. Máximos y mínimos Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) ³ f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define en manera parecida. ftiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte. La función que se ilustra mas abajo tiene un mínimo relativo a (0, 0), un máximo relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1).

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En los casos que estudiamos, todos extremos relativos y puntos de silla que no sean en la frontera del dominio de f se ocurren a puntos críticos, que son las soluciones de las ecuaciones fx(x,y) = 0 y fy(x,y) = 0. Prueba de segunda derivada para funciones de dos variables Si f(x, y) está una función de dos variables, y (a, b) es un punto crítico de f. (Esto es, fx(a, b) = 0 yfy(a, b) = 0.) Suponga también que existen y son iguales las derivadas del segundo orden, de modo que, por teoremas de cálculo, fxy es igual a fyx. Sea H = fxx(a, b)fyy(a, b) -[fxy(a, b)]2. Entonces f tiene un mínimo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) > 0, f tiene un máximo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) < 0, y f tiene un punto de silla a (a, b) si H < 0. Si H = 0 la prueba no dice nada, entonces necesitamos analizar la gráfica para buscar más información.

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Máximos y mínimos restringidos Un problema restringido de optimización Tiene la forma Maximiza (o minimiza) f(x, y,. . . ) sujeta a restricciones. Las restricciones están en forma de ecuaciones o en forma de restricciones del dominio de f. Podemos resolver estos problemas por primero despejar una de las variables de las ecuaciones de restricción, para después sustituirla en f, y después ubicar el máximo (o mínimo) de la función que resulta. En casos en los que el dominio R de la función resultando tiene una frontera, tenemos también ubicar los extremos de f cuando se está restringido a la frontera. Multiplicadores de Lagrange Para localizar los candidatos a extremos relativos de una función f(x, y, . . .) sujeta a la restricción g(x, y, ...) = 0, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para obtener x, y, ... y λ: fx = λgx fy = λgy ... g=0 El incógnita λ se llama un multiplicador de Lagrange. Los puntos (x, y, . . .) que se ocurren in las soluciones son los candidatos a los extremos relativos de la función f sujeta a g = 0.

Integrales dobles Definición geométrica de la integral doble La integral doble de f(x, y) en la región R del plano xy se define como

f(x, y) dx dy R = Volumen arriba de la región R y abajo de la gráfica de f - Volumen abajo de la región R y arriba de la gráfica de f.

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La siguiente figura demuestra el volumen (en el caso que la gráfica de f está arriba de la región R).

Calculación de integrales dobles Si R es el rectángulo a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d (vea la figura más abajo) entonces d

b

f(x, y) dx dy =

f(x, y) dx dy

R

c

a

b

d

=

f(x, y) dy dx a

c

Si R es la región a ≤ x ≤ b y c(x) ≤ y ≤ d(x) (como se demuestra en la figura más abajo) entonces se calcula la integral en R con la siguiente ecuación: b

d(x)

f(x, y) dx dy = R

f(x, y) dy dx a

c(x)

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Si R es la región c ≤ y ≤ d y a(y) ≤ x ≤ b(y) (como se demuestra en la figura más abajo) entonces se calcula la integral en R con la siguiente ecuación: d

b(y)

f(x, y) dx dy = R

f(x, y) dx dy b

a(y)