• Author / Uploaded
• 3260648

Citation preview

Cálculo Vectorial Capítulo 1 Funciones de Varias Variables 1.1.- Funciones de varias variables Definición: El conjunto de n-adas ordenadas de números reales se llama espacio numérico n-dimensional y representada por ℜ n . Cada n-ada ordenada ( x1 , x 2 , K , x n ) se considera como un punto en el espacio numérico n-dimensional.

ℜ1 ⇒ puntos en la recta numérica

-3

-2

-1

0

1

2

ℜ 2 ⇒ Puntos en dos dimensiones

3

ℜ 3 ⇒ Puntos en tres dimensiones z

y

(-2, 1)

(2, 2)

(1, 0, 1) x y

(3, -1)

(-3, -2)

(-1, 2, -3) x

Ejercicios 1.1 1.- Graficar los siguientes puntos: a) (-1, 3, 2)

b) (2, -3, 1)

c) (3, 2, -4)

d) (-2, -2, 2)

e) (-1, 3, -2)

f) (2, -2, -3)

g) (-1, -3, -2)

h) (0, 2, 3)

i) (4, 0, -2)

j) (-2, -3, 0)

k) (2, 0, 3)

l) (0, -2, -3)

c) z = 0

d) 2x + 4y + 3z = 8

2.- Graficar los planos a) x = -3

b) y = 2

(D.R. 1996) M.C. Juan Manuel Calderón Cortés

e)3x + 2y - 6z = 0

Página 1

Cálculo Vectorial Recordando ecuaciones cuadráticas:

Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 A = B ⇒ Circunferencia A ≠ B (mismo signo) ⇒ Elipse A ≠ B (signo contrario) ⇒ Hipérbola A ó B = 0 ⇒ Parábola Definición: Una función de n-variables es un conjunto de pares ordenados (P, w) en el cual dos pares ordenados diferentes no tienen el mismo primer elemento. P es un número en el espacio numérico n-dimensional y w es un número real. El conjunto de todos los valores posibles P se llama dominio de la función, y el conjunto de los posibles valores de w recibe el nombre de contradominio, rango o imagen de la función.

Definición: Si f es una función de dos variables, entonces la gráfica de f es una superficie forma por el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en ℜ 3 para los cuales (x, y) es un punto en el dominio de f y z = f ( x , y ) . Supóngase que una superficie dada por f ( x , y ) es intersectada por el plano z = k, y la curva de intersección se proyecta en el plano xy. Esta curva proyectada tiene como ecuación f ( x , y ) = k y la curva proyectada se le llama curva de nivel o curva de contorno. z

f ( x, y ) = 1 + 25 − x 2 − y 2 x 2 + y 2 = 0 Punto (0,0)

Z=6

y

x 2 + y 2 = 21

Z=3 Z=2 Z=1

Z=0

x 2 + y 2 = 24

Z=3

x

x 2 + y 2 = 25 Z=2

y

D = {( x, y ) | 25 − x 2 − y 2 ≥ 0}

Z=1

Curvas de Nivel

I = [1,6] x Definición:

(D.R. 1996) M.C. Juan Manuel Calderón Cortés

Página 2

Cálculo Vectorial Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas con ecuaciones f ( x , y ) = k , donde k es una constante (en el recorrido de f). Ejercicios Determina el dominio, imagen y gráfica las siguientes funciones: 3

a)

f ( x, y ) =

1 3

2

36 − 9 x − 4 y

2

2 1

D f = {( x, y) | 36 − 9 x 2 − 4 y 2 ≥ 0} ;

-2

-1

1

2

-1

I f = [0,2]

-2 -3

Curvas de Nivel

ContourPlotA

1 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! 36 − 9 x2 − 4 y2 , 8x, −2, 2