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UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN – INGENIERÍA CIVIL

TEMA

CURSO

:

MATEMÁTICAS III

INTEGRANTES :  ESTEBAN CONTRERAS, Flor Esther  CORDOVA MALPARTIDA,Karla Yalince  BALDEON CARHUAYAL,Karen Elizabeth

DOCENTE

: Ing. EDWIN MENDOZA HUERTO

Huánuco – Perú MATEMÁTICAS III Página 1

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2017 APLICACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL EN LA INGENIERÍA CIVIL. ESTATICA: Una fuerza de 36 N se aplica sobre la llave de torsion para enroscar la enrejadera si la linea de acion de la llave es paralela al eje X, determine el momento de fuerza respecto de A.

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Solución |𝐹| = 36𝑁 𝑀𝐴𝐹 = ⋯ .. Hallando el punto C 𝐶 = (0.215, −0.05,0.14) 𝑟𝐴𝐶 = (0.215, −0.05,0.14) Descomponiendo la fuerza MATEMÁTICAS III Página 3

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𝐹 = (−𝐹𝑐𝑜𝑠45𝑡𝑎𝑛12, −𝐹𝑠𝑒𝑛45, −𝐹𝑐𝑜𝑠45𝑠𝑒𝑐12)

𝑀𝐴𝐹 = 𝑟𝐴𝐶𝑥𝐹 𝑖 𝑗 𝑘 = 0.215 −0.05 0.14 −5.41 −25.45 −26.02 𝑀𝐴𝐹 = 𝑖(4.8) − 𝑗(−4.8) + 𝑘(−5.7) 𝑀𝐴𝐹 = (4.8𝑖 + 4.8𝑗 − 5.7𝑘)

Un peso de 75 newtons (N) está suspendido por dos alambres, como se muestra en la figura 12.18a. Obtenga las fuerzas F1 y F2 que actúan en ambos alambres.

Solución Los vectores de fuerza F1 y F2 tienen magnitudes uF1u y uF2u y componentes que se miden en newtons. La fuerza resultante es la suma F1 1 F2 y debe ser igual en magnitud y actuar en dirección opuesta (hacia arriba) al vector de peso w (figura 12.18b). A partir de la figura se deduce que

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𝑭1 = 8 − 𝑭1 𝑐𝑜𝑠 55°, 𝑭1 𝑠𝑒𝑛 55°9 𝑭2 = 8𝑭2 𝑐𝑜𝑠 40°, 𝑭2 𝑠𝑒𝑛 40°9. Puesto que F1 1 F2 5 80, 759, el vector resultante lleva al sistema de ecuaciones −𝑭1 cos 55 ° + 𝑭2 cos 40 ° = 0 𝑭1 𝑠𝑒𝑛 55° + 𝑭2 𝑠𝑒𝑛 40° = 75. Al despejar F2 en la primera ecuación y sustituir el resultado en la segunda, tenemos

𝐹2 = 𝐹1𝑠𝑒𝑛55 + 𝐹1 =

𝐹1 𝑐𝑜𝑠55 𝑐𝑜𝑠40

𝐹1 𝑐𝑜𝑠55 𝑠𝑒𝑛40 = 75 𝑐𝑜𝑠40

75 𝑠𝑒𝑛55 + 𝑐𝑜𝑠55𝑡𝑎𝑛40 𝐹1 = 57.67𝑁

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𝐹2 =

75 𝑐𝑜𝑠55 𝑠𝑒𝑛55𝑐𝑜𝑠40 + 𝑐𝑜𝑠55𝑠𝑒𝑛40 𝐹2 = 43.18𝑁

𝐹1 = (−33.08,47.24)

𝐹2 = (33.08,27.76)

CINEMATICA

Una particula se despalaza a lo largo de C representado por 𝑟 = (𝑡 2 , 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡) Dado el punto A (0,0,1) sobre C encuentre: a.- los vectores velocidad y aceleracion. b.* los vectores aceleracion normal y tangencial.

𝑟 = (𝑡 2 , 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡) = (0,0,1)

𝑡=0

𝑟′ = (2𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡, −𝑠𝑒𝑛𝑡) 𝑟" = (2, −𝑠𝑒𝑛𝑡, −𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑟′(0) = (0,1,0) 𝑟"(0) = (2,0, −1) 𝑏)

𝑎𝑡 = (0,1,0). (2,0,1)𝑇 𝑎𝑡 = (0,0,0) 𝑎𝑁 = (2,0, −1)

Un muchacho lanza una pelota con una velocidad inicial de 60 p/seg y un ángulo de elevación 60 hacia un muro de 50 pies de alto , que se encuentra a 30*^1/2 pies de distancia si la mano del muchacho se encuentra se halla a 5 pies de altura a) Hallar la función vectorial que describe la trayectoria.

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𝑋 = (𝑣0 𝑐𝑜𝑠60 )𝑡 𝑋 = 30𝑡 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦1 + 𝑎

𝑡2 2

𝑦 = 5 + 𝑣0𝑠𝑒𝑛60(𝑡) + 𝑔

𝑡2 2

𝑦 = 5𝑡 + 30√3 -16𝑡 2 La función vectorial es F(t)=(30t, 5𝑡 + 30√3 -16𝑡 2 ) b) Determinar si cae la pelota detrás de; muro o choca con el, si choca determine el ángulo con el cual choca

𝑋 = 30𝑡 30√3 = 30𝑡

𝑡 = √3

2

𝑦 = 5 + 30√3 -16√3

𝑦 = 47 𝑝𝑖𝑒𝑠 La pelota choca contra el muro.

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𝑓(𝑡) = 𝑓(√3) = (30√3, 47) 𝑓′(𝑡) = (30,30√3, −32𝑡) 𝑓′(√3) = (30, −2√3) 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓′(√3) = (30, −2√3) 𝑡𝑎𝑛𝑎 = (−

2√3 ) 30

= 6.58

APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES A LA INGENIERIA CIVIL CURVAS DE NIVEL La grafica de una función h de una sola variable es la representación de un conjunto de puntos de la forma (x, y) tales que y = h(x). Cuando tenemos una función f de dos variables, la gráfica tiene que representar conjuntos de puntos de la forma (x, y, z) tales que z = f(x, y). Por este motivo, para representar la gráfica de una función de dos variables necesitamos tres dimensiones. En el caso de la gráfica tridimensional, partimos de tres ejes perpendiculares entre sí: en los dos ejes horizontales representamos las variables x e y, y en el eje vertical representamos los valores z que toma la función.

Función de dos variables Hemos denominado los ejes con las letras X, Y y Z, respectivamente. A cada valor de las variables x e y le corresponde un punto (x, y) del plano que se encuentra en la base. Por último la función f asocia un valor Z = f(x, y) al punto (x, y). Con la gráfica nos podemos imaginar el grafo de una función de dos variables como una sábana por encima (o por debajo, si la función toma valores negativos) del plano donde MATEMÁTICAS III Página 8

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están los puntos (x, y). También podemos establecer un símil con una montaña, de forma que para describir el comportamiento de la función nos interesará saber si la pendiente es muy fuerte o no en una determinada dirección, junto con donde se encuentran las cumbres y los valles. Una última manera, que nos resultará intuitiva para otros propósitos como veremos más adelante, es considerar la gráfica de la función como si se tratase de la superficie de un pastel que hemos colocado sobre el plano donde están las variables x e y (de ahora en adelante lo llamaremos plano XY).

Es probable que los aficionados al excursionismo estén familiarizados con los mapas topográficos, donde se indican las alturas de los puntos mediante una serie de curvas que conectan puntos de una misma altitud. Estas curvas se conocen como curvas de nivel, porque como su propio nombre indica, si seguimos una de ellas nos mantenemos en el mismo nivel. Una de las formas posibles de imaginarnos la gráfica de una función de dos variables es como si fuese una montaña (o, mejor dicho, como una región con accidentes geográficos: montañas y valles). No tenemos que extrañarnos, pues, de que el recurso de las curvas de nivel utilizado en los mapas topográficos también nos sirva a nosotros para simplificar la representación de funciones de dos variables. Podemos ver que las curvas de nivel no se representan en tres dimensiones, sino en dos. Las curvas de nivel son precisamente una forma de tener información sobre la tercera dimensión (la altitud), sin necesidad de dibujarla.

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Si queremos determinar una curva de nivel, tenemos que fijar una cierta altitud, es decir, un cierto valor de la z, y entonces unir todos los puntos (x, y) que tienen la propiedad de que f(x, y) = z Ejemplo 1: 𝑠𝑒𝑎 𝑔(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑦 . 𝐿𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 4 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝑥, 𝑦) 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑠 4, 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 (4,4)(2,8) 𝑦 (8,2). Están todos sobre esta curva de nivel. A continuacion mostramos la gráfica √𝑥𝑦 𝑦 𝑠𝑢𝑠 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦

Ejemplo 2: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 . 𝐿𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 4 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 (𝑥, 𝑦) 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4. 𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑎𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛.

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Dada una función f con dominio en IR2 y un número cualquiera c, la curva de nivel c de la función f esta´ formada por el conjunto de puntos que satisfacen f(x1, x2) =c. Observamos que la definición no excluye el hecho de que haya algún c en el que la curva de nivel c de f no tenga ningún punto, a pesar de que este´ es un caso poco interesante. Por ejemplo, si f(x, y) = x2 + y2, la curva de nivel 1 no tiene ningún punto, porque la función f asocia un número no negativo a cada vector de IR2. Dependiendo de la procedencia de la función de varias variables, las curvas de nivel reciben un nombre u otro. Así, por ejemplo, si en un mapa del tiempo f(x, y) representa la presión atmosférica, las curvas de nivel de igual presión se denominan isobaras. Si en un mapa del tiempo f(x, y) se representa la temperatura, las curvas de nivel de la misma temperatura se denominan isotermas. Si en un mapa cartográfico f(x, y) se representa la altura con respecto al nivel del mar de una población situada en (x, y), las curvas de nivel de igual altura se conocen como líneas de contorno. En todos los casos, dibujando diferentes curvas de nivel, correspondientes a valores constantes C1, C2,. . ., Cn, podemos obtener un mapa que muestra regiones de la superficie de la Tierra con las curvas de nivel que representan la presión atmosférica, la temperatura o la altura sobre el nivel del mar (Mapas topográficos).

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Aplicaciones de las curvas de nivel Una vez elaborado el mapa topográfico con la representación gráfica del relieve del terreno por medio de las curvas de nivel podemos utilizar el mismo de diferentes maneras en la planificación y ejecución de obras civiles, usos agrícolas y pecuarios, ordenamiento territorial, planificación, etc. Un mapa topográfico bien elaborado constituye una base de información indispensable en la planificación, ejecución y control todo proyecto. De un mapa topográfico con curvas de nivel podemos determinar la cota o elevación de cualquier punto sobre el plano, la pendiente entre dos puntos, estimar los volúmenes de corte y relleno de material requerido en la ejecución de una obra, proyectar trazados de vías, etc. Aplicaciones más importantes de las curvas de nivel:      

Cálculo de pendientes. Trazado de líneas de pendiente constante. Calculo de la cota de un punto. Perfiles, secciones y cálculo de volúmenes a partir de curvas de nivel. Topografía modificada. Calculo de volumen de almacenamiento de agua en represas o embalses a partir de curvas de nivel.

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES EN LA INGENIERIA CIVIL

APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Los puntos máximos y mínimos locales de la gráfica de una función son lugares donde la curva adopta una forma transitoriamente horizontal, más o menos como una carretera que va subiendo a una montaña, cuando alcanza la cima, al menos una pequeña sección de la carretera queda totalmente horizontal y lo mismo ocurre en los valles. Los métodos para calcular los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a la solución de algunos problemas prácticos. Estos problemas pueden expresarse verbalmente o por escrito. Para resolverlos hay que transformar sus enunciados en formulas, funciones o ecuaciones. Como hay muchos tipos de problemas en las aplicaciones, es difícil enunciar reglas específicas para encontrar sus soluciones. Sin embargo, puede desarrollarse una estrategia general para abordar tales problemas.

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APLICACIONES EN LAS RAMAS DE INGENIERÍA CIVIL Dentro de las aplicaciones del cálculo vectorial a la ingeniería civil, es posible encontrar numerosos ejemplos en Latinoamérica, en especial en la parte geométrica. A manera de ejemplo, se puede nombrar la optimización del área agrícola en los andenes incas, donde se presenta claramente un ejemplo de curvas de contorno y de maximización del área. También se puede nombrar el establecimiento de poblaciones en valles y la construcción de caminos a través de pasos de montañas, aquí se puede ver una clara influencia y utilización de los mínimos locales y de puntos de ensilladura. Es bueno e importante saber y tener en cuenta que las matemáticas son una creación de la humanidad y por lo tanto sus usos están completamente dirigidos al provecho de la humanidad. A manera de ejemplo, podemos recalcar la importancia que tuvo la matemática en la civilización egipcia para la construcción de inmensos e imponentes monumentos. En el continente americano, especialmente en las culturas prehispánicas utilizaron la geometría en gran cantidad por ejemplo en la construcción o creación de los andenes incas o las pirámides mayas. En la realidad de nuestra cotidianidad las matemáticas en general tienen innumerables aplicaciones pero el problema radica en que en las cátedras donde se enseñan las matemáticas, se hace desde una realidad muy lejana de la local. Aun así como en todo no se debe generalizar en ningún momento y hay numerosos ejemplos de educadores que hacen un muy gran esfuerzo por aterrizar al educando a una realidad muy cercana a él.

TRANSPORTE DISEÑO DE CARRETERAS En la ingeniería civil, una de las principales aplicaciones del cálculo vectorial se encuentra en la rama del diseño de vías y carreteras, más específicamente, en la curvatura de estas construcciones. En primer lugar hay que saber que toda carretera se compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las curvas de transición y la curva como tal. FUNCIÓN: El objetivo principal de las curvas de transición consiste en evitar varias discontinuidades en la curvatura de la carretera. Teniendo en cuenta esto, las curvas de transición deben cumplir con las mismas condiciones de seguridad y de estética de toda la carretera VALORES MAXIMOS: Es recomendable que los valores mínimos dados no se excedan considerablemente, de hecho, el máximo factor para excederse es de 1.5. En las siguientes imágenes podemos observar diversas aplicaciones de la curvatura y derivadas parciales de (máximos y mínimos) en la vida real.  Puente JuscelinoKubitschek, Brasilia (Brasil). Aquí se puede observar una calada con curvas consecutivas muy complicadas, donde su diseño tuvo que haber tenido en cuenta las numerosas curvaturas en la calzada de tal manera que no se excedan los valores máximos planteados por la reglamentación.  Las altas velocidades de los automóviles, unidas a unas curvaturas en las carreteras muy inapropiadas, conllevan a un muy alto riesgo de accidentalidad en estos trazados.

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 Construcción de una carretera. Antes de iniciar un proceso constructivo de una carretera, es necesario que se lleven a cabo una gran cantidad de estudios que conllevaran posteriormente a un diseño preliminar. En este diseño la curvatura juega un papel muy importante para garantizar la suficiente seguridad al conductor. Por otro lado, con el fin de mantener la humedad en el terreno para así mantener la fertilidad del mismo, era necesario ubicar una capa de arcilla entre la capa fértil y el terreno infértil del fondo. Los incas utilizaron también muchos fertilizantes para mantener la fertilidad de sus terrenos. Los andenes incas son un gran ejemplo del estudio de curvas de contorno. Por ejemplo, podríamos imaginar una colina de forma cónica donde la base se encuentra definida por la ecuación:

El vértice del cono de la colina se encuentra ubicado a 5 unidades del origen, al ubicarlo en el sistema cartesiano. Por otro lado, teniendo en cuenta que la simetría se mantiene entre la curva de la base y el origen, entonces la ecuación que describe la superficie de la colina podría ser: Superficie original dibujada con el programa Maple. Teniendo en cuenta esto, podemos definir la curva de contorno de nivel como: Dónde:

z=f(x,y) Es la superficie original en coordenadas cartesianas. K es un número real. Cuando se proyectan las curvas de contorno sobre la superficie original, se puede encontrar un gráfico más aproximado de la situación real. Superficie con las curvas de contorno proyectadas.

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HIDROLOGÍA Problemas de aplicaciones de máximos y mínimos En esta sección se muestra cómo usar la primera y segunda derivada de una función en la búsqueda de valores extremos en los llamados: “problemas de aplicaciones” o “problemas de optimización”. Aunque los ejemplos son esencialmente geométricos, ellos ilustran un procedimiento general. Antes de enumerar los pasos que se deben seguir al abordar problemas que incluyen extremos absolutos, se enuncia sin demostración, un teorema, conocido como el criterio de la segunda derivada, el cual permite, en algunos casos, determinar, de una manera más fácil, si un punto crítico dado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

ALMACENAMIENTO DE AGUAS  Aplicar las derivadas para encontrar las dimensiones de un tanque optimizando el gasto de material  Construir un tanque de almacenamiento que tenga cierta capacidad optimizando las dimensiones constructivas.

EJEMPLO: DISEÑO DE UNA SECCIÓN TRANSVERSAL ÓPTIMA DE UN CANAL En una sección dada A, con una pendiente uniforme s, con un nivel de caudal Q estable, y definida una rugosidad, la mejor sección transversal estará dada, cuando el radio hidráulico sea máximo. Así, si se define al radio hidráulico R, como el cociente entre la sección A, y el perímetro mojado P, el radio máximo estará dado cuando el perímetro mojado sea mínimo, lo cual significa menor cantidad de materiales empleados en la construcción, y trabajo asociado, todo lo cual determina un ahorro importante de costos. Con el objetivo de visualizar lo anterior, y para definir el dimensionamiento adecuado de un canal trapezoidal, se desarrollará el esquema matemático de cálculo. De esta manera, si se analiza la figura 1, se desprende que:

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Por consiguiente, operando de tal forma que la base b no se incorpore al cálculo, queda:

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Derivando con respecto a h, e igualando a cero se obtiene:

Por lo que, la maximización del radio hidráulico, con el fin de asegurar un diseño óptimo de canales trapeciales, ocurre cuando éste se hace igual al tirante o altura del canal, dividido por dos.

VECTOR GRADIENTE Dada una función escalar U=f (x; y; z) tal como la que se pretende representar en la Figura 8, es evidente que si desde un punto cualquiera nos desplazamos en su entorno según una determinada dirección y sentido , registraremos una variación su en la función escalar. Si existe Una dirección de privilegio en la cual la razón entre ±u y la magnitud del desplazamiento es la máxima de todas, entonces esa dirección indica la correspondiente a la derivada direccional máxima. Se define como vector Gradiente de un campo escalar en un punto, a un vector cuyo módulo es el valor absoluto de su máxima derivada direccional y cuyo sentido sobre esa dirección corresponde al crecimiento de la función correspondiente al campo escalar. En resumen, si se le asignan a cada punto del campo las siguientes propiedades:

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La dirección y sentido del más sensible crecimiento de U en el entorno del punto de Definición. El valor del cociente entre el incremento de U resultante de un recorrido infinitésimo según la dirección indicada en a). Se define como Vector Gradiente del campo U, aquel que tiene la dirección y sentido indicado en a) Y como módulo el indicado en b). Nota: por ejemplo el gradiente de un campo escalar de presión resulta, dimensionalmente, expresado en F / L3 En la Figura 8 se esquematizan los conceptos, a la vez que la misma Expresión cartesiana del Vector Gradiente resulta:

Por otra parte el vector desplazamiento en una dirección cualquiera es:

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EJEMPLO 2 El cambio producido en la presión por unidad de profundidad, expresado normalmente en unidades de psi/pie o kPa/m. La presión se incrementa en forma predecible con la profundidad, en las áreas de presión normal. El gradiente de presión hidrostática normal para el agua dulce es de 0,433 psi/pie, o 9,792 kPa/m, y de 0,465 psi/pie para el agua con 100 000 ppm de sólidos disueltos totales (un agua típica de la Costa del Golfo), o 10,516 kPa/m. Las desviaciones respecto de la presión normal se describen como presión alta o baja.

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