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Funciones de Varias Variables.

1. INTRODUCCIÓN. En los estudios anteriores del cálculo diferencial e integral se han consagrado sus aplicaciones a funciones de una variable. Ahora nos ocuparemos del cálculo diferencial de funciones de más de una variable. Nuestro propósito en este tema es el de extender los conceptos de límite, continuidad y diferenciabilidad a las funciones de dos o más variables. Los resultados obtenidos se aplicarán entonces al estudio de las derivadas direccionales, los planos tangentes a las superficies, y los extremos de las funciones de varias variables. Algunas fórmulas de las matemáticas elementales suministran ejemplos sencillos de tales funciones. Así, en la fórmula para el volumen de un cilindro circular recto, 𝑣 = 𝜋𝑥 2 . 𝑦

(1)

𝑣 es una función de las dos variables independientes 𝑥(= 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜) y 𝑦(= 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎). Asimismo, en la fórmula para el área 𝑢 de un triángulo plano oblicuángulo, 𝑢=

1 . 𝑥. 𝑦. 𝑠𝑒𝑛𝛼 2

(2)

𝑢 es una función de las tres variables independientes 𝑥, 𝑦 y 𝑢, que representan, respectivamente, dos lados y el ángulo comprendido. Evidentemente, tanto en (1) como en (2), los valores que pueden asignarse a las variables en el segundo miembro son enteramente independiente el uno del otro. A estas expresiones se les llama funciones de tres o más argumentos. Ejemplo 1.1: Expresar el volumen V del cono en función de su generatriz 𝑥 y del radio de la base 𝑦 Solución: sabemos por la geometría, que el volumen del cono es igual a 1 𝑉 = 𝜋. 𝑦 2 . ℎ 3 Donde ℎ es la altura del cono. Pero ℎ = √𝑥 2 − 𝑦 2 Por consiguiente, 1 𝑉 = 𝜋. 𝑦 2 . √𝑥 2 − 𝑦 2 3 Esta es, precisamente, la dependencia funcional que se buscaba. Las funciones de valores reales de varias variables reales independientes se definen en forma parecida a como se definen las funciones de una sola variable. Los dominios son conjuntos de pares (o tríadas o cuádruplos, etc.) ordenados de números reales, y los rangos son conjuntos de números reales del tipos de los que hemos usado. A continuación se presenta un concepto fundamental de funciones de varias variables. (Designaciones de las funciones).

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1.1 Concepto Fundamental. Una magnitud variable 𝑧 se denomina función uniforme de dos variable 𝑥 𝑒 𝑦, si a cada conjunto de valores de éstas (𝑥, 𝑦) del campo dado, corresponde un valor único y determinado de 𝑧. Las variables 𝑥 𝑒 𝑦 se llaman argumentos o variables independientes. (B. Demidovich). La dependencia funcional se representa así: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦);

𝑧 = 𝐹(𝑥, 𝑦);

𝑒𝑡𝑐.

El valor de la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en el punto 𝑃(𝑎, 𝑏), es decir, cuando 𝑥 = 𝑎 𝑒 𝑦 = 𝑏, se designa por 𝑓(𝑎, 𝑏) 𝑜 𝑓(𝑃). 1.2 Representación Geométrica de la función 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) La representación geométrica de la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es un sistema de coordenadas cartesianas 𝑋, 𝑌 𝑦 𝑍 es, en términos generales, una superficie, ver figura 1. Observación: La gráfica de una función de dos variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) puede interpretarse geométricamente como una superficie 𝑆 en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano 𝑥 𝑦 es 𝐷, el dominio de 𝑓.En consecuencia, a cada punto (𝑥, 𝑦) en 𝐷 le corresponde un punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) en la superficie le corresponde un punto (𝑥, 𝑦) en 𝐷.

Figura 1: Representación Geométrica de la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Ejemplo 1.2: 𝑦

Hallar 𝑓(2, −3) 𝑦 𝑓 (1, ), si 𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥 2 + 𝑦2 2𝑥𝑦

Solución: Poniendo 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = −3, hallamos: 22 + (−3)2 13 𝑓(2, −3) = =− 2.2. (−3) 12 Ahora poniendo 𝑥 = 1 y sustituyendo 𝑦 por

𝑦 𝑥

tenemos:

𝑦 2 2 2 12 + ( ) 𝑦 𝑥 = 𝑥 +𝑦 𝑓 (1, ) = 𝑦 𝑥 2𝑥𝑦 2.1. ( ) 𝑥 𝑦

Es decir que 𝑓 (1, ) = 𝑓(𝑥, 𝑦). 𝑥

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2. Límites de una Función de Varias Variables. Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de padre del análisis moderno. El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto (𝑎, 𝑏), como lo muestra la figura 2.

Figura 2: Caminos a un Punto (𝑎, 𝑏) 2.1 Límite de una Función 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚). Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para funciones de 𝑛 variables es análogo. Primero definimos el análogo a un intervalo abierto de ℛ. Definición: Disco de Radio 𝜹 y Centro 𝑷. Un disco 𝐷(𝑃, 𝛿) abierto, o simplemente un disco, de radio 𝛿 > 0 y centro en 𝑃 = (𝑎, 𝑏) es el conjunto de todos los puntos (𝑥, 𝑦) tales que su distancia a (𝑎, 𝑏) es menor que 𝛿, es decir 𝐷(𝑃, 𝛿) = {(𝑥, 𝑦)𝜖ℛ 2 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < 𝛿}

(1)

Observación: Si en la definición (1) se cambia < por un ≠ obtenemos un disco cerrado. Definición: Límite de una Función. Sea 𝑓: 𝐷((𝑎, 𝑏), 𝛿) ⊂ ℛ 2 → ℛ una función de dos variables definidas en el disco abierto 𝐷((𝑎, 𝑏), 𝛿), excepto posiblemente en (𝑎, 𝑏). Entonces lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿

Si y sólo si para 𝜀 > 0 existe un correspondiente 𝛿 > 0 tal que

|𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| = 𝜀, siempre que 0 < √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑥 − 𝑏)2 < 𝛿 Observación: Gráficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera (𝑥, 𝑦)𝜖𝐷((𝑎, 𝑏), 𝛿) el valor de 𝑓(𝑥, 𝑦) está entre 𝐿 + 𝜀 𝑦 𝐿 − 𝜀 como se ilustra en la figura

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Figura 3: Límite de una Función 𝑓(𝑥, 𝑦) Como ya mencionamos, cuando escribimos que (𝑥, 𝑦) → (𝑎, 𝑏) entendemos que el punto (𝑥, 𝑦) se aproxima a (𝑎, 𝑏) en cualquier dirección. Si el valor de lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿

No es lo mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a (𝑎, 𝑏), entonces el límite no existe. Entonces al calcular límites podemos pensar en términos de distancias en el plano o en términos de diferencias en coordenadas. La definición de límites se aplica en puntos fronteras (𝑎, 𝑏), así como en puntos interiores de dominio de 𝑓. El único requisito es que el punto (𝑥, 𝑦) permanezca en el dominio todo el tiempo. Puede demostrarse, igual que para funciones de una sola variable, que lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑥 = 𝑎;

lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑦=𝑏;

lim

𝑘 = 𝑘 , 𝑘𝜖ℛ.

lim

ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝐵

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

2.2 Propiedades de Límites de Funciones de dos Variables. Las siguientes reglas son válidas si lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐴

𝑦

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

1. 2. 3. 4.

Regla de la Suma: lim[𝑓(𝑥, 𝑦) + ℎ(𝑥, 𝑦)] = 𝐴 + 𝐵 Regla de la Diferencia: 𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥, 𝑦) − ℎ(𝑥, 𝑦)] = 𝐴 − 𝐵 Regla del Producto: 𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥, 𝑦). ℎ(𝑥, 𝑦)] = 𝐴. 𝐵 Regla del Múltiplo Constante: 𝑙𝑖𝑚𝑘𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝐴 , (𝑘𝜖ℛ)

5.

Regla del Cociente: 𝑙𝑖𝑚

6.

Regla de la Potencia: si 𝑚 𝑦 𝑛 son enteros, entonces 𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥, 𝑦)]𝑚⁄𝑛 = 𝐴𝑚⁄𝑛 , siempre que 𝐴𝑚⁄𝑛 sea un número real.

𝑓(𝑥,𝑦) ℎ(𝑥,𝑦)

=

𝐴 𝐵

Nota: todos los límites deben tomarse cuando (𝑥, 𝑦) → (𝑎, 𝑏), y 𝐴 𝑦 𝐵 deben ser números reales. Cuando aplicamos las propiedades a los límites a las funciones de una sola variable, obtenemos el resultado útil de que los límites de polinomios y funciones racionales, cuando (𝑥, 𝑦) → (𝑎, 𝑏), puede calcularse evaluando las funciones en (𝑎, 𝑏). El único requisito es que las funciones estén definidas en (𝑎, 𝑏).

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Ejemplo 2.1: lim

𝑥 − 𝑥𝑦 − 3 0 − (0). (−1) − 3 = = −3 3 + 5𝑥𝑦 − 𝑦 (0)0 + 5(0). (1) − (1)3

(𝑥,𝑦)→(0,1) 𝑥 2 𝑦

Ejemplo 2.2: Encuentre lim

𝑥 2 − 𝑥𝑦

(𝑥,𝑦)→(0,0) √𝑥

− √𝑦

Solución: Como el denominador tiende a cero (0) cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0), no podemos usar la regla del cociente de las propiedades de límites de funciones de dos variables. Sin embargo, si multiplicamos el numerador y el denominador por √𝑥 + √𝑦, tendremos una fracción equivalente cuyo límite si podemos encontrar. lim

𝑥 2 − 𝑥𝑦

(𝑥,𝑦)→(0,0) √𝑥

− √𝑦

=

𝑥 2 − 𝑥𝑦 √𝑥 + √𝑦 . (𝑥,𝑦)→(0,0) √𝑥 − √𝑦 √𝑥 + √𝑦 lim

𝑥(𝑥 − 𝑦)(√𝑥 + √𝑦) = lim 𝑥(√𝑥 + √𝑦) = 0(√0 + √0) = 0 (𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥−𝑦 lim

Ejemplo 2.3 Encuentre el límite lim

(𝑦 3 + 1)𝑐𝑜𝑠

(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2

1 1 1 = (03 + 1)𝑐𝑜𝑠 2 = 1. 𝑐𝑜𝑠 = ∄ 2 2 +𝑦 0 +0 0

Si observamos su solución el límite no existe. A partir únicamente de la definición no resulta fácil en general estudiar el límite. Por ello se hacen necesarias algunas herramientas que nos aporten información acerca del límite. Vamos precisamente en los siguientes apartados a tratar algunas de ellas. 2.3 Operaciones con Límites 2.3.1 Límites de una Función Vectorial Para determinar la existencia del límite de una función vectorial basta estudiar el límite de sus funciones coordenadas. De este modo nos centraremos en estudiar límites de funciones reales. Esto se debe al siguiente resultado: Para una función 𝑓 = (𝑓1 , … , 𝑓𝑚 ): ℛ 𝑛 → ℛ 𝑚 y un punto 𝑎 se tiene que existe lim 𝑓(𝑥) y vale 𝑥→𝑎

𝐿 =

(𝐿1 , 𝐿2 , … , 𝐿𝑚 ) si y sólo si existen los límites de las funciones coordenadas lim 𝑓1 (𝑥), … . , lim 𝑓𝑚 (𝑥) y 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

valen 𝐿1 , . . . , 𝐿𝑚 , respectivamente. Ejemplo 2.4

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Para 𝑓: ℛ 3 → ℛ 2 dada por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 20, 𝑧 𝑡𝑎𝑔 [ . 𝑒 𝑧𝑦 ]), se tiene que 4

lim

(𝑥,𝑦,𝑧)→(1,0,−1)

=(

lim

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

[𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 20],

(𝑥,𝑦,𝑧)→(1,0,−1)

lim

(𝑥,𝑦,𝑧)→(1,0,−1)

𝜋 (𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 20, 𝑧 𝑡𝑎𝑔 [ . 𝑒 𝑧𝑦 ]) = 4

𝜋 𝜋 𝑧. 𝑡𝑎𝑔 [ . 𝑒 𝑧𝑦 ]) (−20, 𝑡𝑎𝑔 ) = (−20, −1) (𝑥,𝑦,𝑧)→(1,0,−1) 4 4 lim

2.3.2 límites Direccionales. A la hora de estudiar el límite de una función de dos variables mediante límites a través de algunos conjuntos es típico considerar conjuntos del tipo rectas, parábolas y en general curvas de la forma 𝒚 = 𝒈(𝒙) ó 𝒙 = 𝒉(𝒚). Una situación especial es el caso de los límites a través de rectas que contienen al punto, denominados también límites direccionales. Estas rectas, como ya sabemos, son las de la forma 𝒚 − 𝒃 = 𝒎(𝒙 − 𝒂), junto con la recta vertical 𝒙 = 𝒂. Notemos que la existencia de los límites direccionales no garantiza la existencia del límite, ni siquiera cuando todos ellos coinciden. Lo más que se puede decir es lo siguiente: “Si no existe algún límite direccional o al menos dos de ellos son distintos entonces no existe el límite”. Nota: Se puede generalizar el efecto anterior y deducir que si el límite a través de al menos dos conjuntos da un valor distinto (pueden ser dos direccionales, dos no direccionales o uno direccional y otro no direccional) entonces el límite no existe. Ejemplo 2.5 Calcular los límites direccionales de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥 2 −𝑦 2 𝑥 2 +2𝑦 2

en el punto (0, 0).

Éstos son: 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎), Donde 𝑎 = 0 𝑦 𝑏 = 0 luego se tiene que 𝑦 = 𝑚𝑥, entonces el límite queda expresado de la siguiente manera, 𝑥 2 − 𝑦2 𝑥 2 − 𝑚2 𝑥 2 𝑥 2 (1 − 𝑚2 ) 1 − 𝑚2 1 − 𝑚2 lim = lim = lim = lim = (𝑥,𝑦)→(0,0),𝑦=𝑚𝑥 𝑥 2 + 2𝑦 2 𝑥→0 𝑥 2 + 2𝑚2 𝑥 2 𝑥→0 𝑥 2 (1 + 2𝑚2 ) 𝑥→0 1 + 2𝑚2 1 + 2𝑚2 Y 𝑥 2 − 𝑦2 −𝑦 2 1 1 lim = lim = lim − = − 2 2 2 (𝑥,𝑦)→(0,0),𝑥=0 𝑥 + 2𝑦 𝑦→0 2𝑦 𝑦→0 2 2 Como consecuencia vemos que el límite no existe puesto que hay límites direccionales que difieren 1

(basta observar que hay límites direccionales distintos; por ejemplo el último límite, que vale − , y 2

alguno de los otros, por ejemplo para 𝑚 = 0, cuyo valor es 1). Ejemplo 2.6 Calcular los límites direccionales de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥−1 𝑦+1

en el punto (1, −1).

Estos son: 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎), Donde 𝑎 = 1 𝑦 𝑏 = −1 luego se tiene que 𝑦 + 1 = 𝑚(𝑥 − 1), entonces el límite queda expresado de la siguiente manera,

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𝑥−1 𝑥−1 1 1 = lim = lim = + 1 𝑥→1 𝑚(𝑥 − 1) 𝑥→1 𝑚 𝑚

lim

(𝑥,𝑦)→(1,−1),𝑦+1=𝑚(𝑥−1) 𝑦

Y 𝑥−1 0 = lim = lim 0 = 0 + 1 𝑦→−1 y + 1 𝑦→−1

lim

(𝑥,𝑦)→(1,−1),𝑥=1 𝑦

Como consecuencia vemos que el límite no existe puesto que hay límites direccionales que difieren (incluso hay uno que es igual a ∞, para 𝑚 = 0). Ejemplo 2.7 Comprobar que no existe el siguiente límite lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥𝑦 2 𝑥 2 + 𝑦4

Definida para (𝑥, 𝑦) ≠ (0, 0), viendo que los límites direccionales a pesar de ser todos iguales resultan distintos del límite a través del conjunto 𝑥 = 𝑦 2 . El desarrollo queda como ejercicio.

2.3.4 Límites Mediante el Cambio a Coordenadas Polares en 𝓡𝟐 . Supongamos que tenemos una función 𝑓: ℛ 2 → ℛ para la que planteamos el límite en un punto (𝑎, 𝑏). Para hacer el límite lim 𝑓(𝑥, 𝑦) podemos probar haciendo el “cambio de variable”, (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑥 = 𝑎 + 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑏 + 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 El caso más sencillo y el que más habitualmente vamos a utilizar es cuando 𝑎 = 0, 𝑏 = 0, es decir, cuando estamos con el punto (0, 0), en el que queda de la siguiente manera 𝒙 = 𝝆𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒚 = 𝝆𝒔𝒆𝒏𝜽 Concretamente se tiene la siguiente relación “supongamos que existe 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒂 + 𝝆𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝒃 + 𝝆𝒔𝒆𝒏𝜽) = 𝑨 y no depende de 𝜽𝝐[𝟎, 𝟐𝝅]. Si 𝝆→𝟎

existe una función real de una variable real 𝑭 cumpliendo que 𝐥𝐢𝐦 𝑭(𝝆) = 𝟎 y de modo que 𝝆→𝟎

|𝒇(𝒂 + 𝝆𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝒃 + 𝝆𝒔𝒆𝒏𝜽) − 𝑨| ≤ 𝑭(𝝆) para 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝑨”.

todo 𝝆 y

para

todo 𝜽𝝐[𝟎, 𝟐𝝅] ,

entonces

(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)

Ejemplo 2.7 Para la función 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥 3 +𝑥 2 −2𝑦 3 +𝑦 2 𝑥 2 +𝑦 2

en el punto (0,0). Se tiene que

lim 𝑓(𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃) = lim [

𝜌→0

𝜌→0

lim [

𝜌→0

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𝜌3 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 + 𝜌2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 2𝜌3 𝑠𝑒𝑛3 𝜃 + 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 ] 𝜌2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

𝜌2 (𝜌𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 2𝜌𝑠𝑒𝑛3 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) ] 𝜌2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)

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lim [

𝜌→0

𝜌2 (𝜌𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 − 2𝜌𝑠𝑒𝑛3 𝜃 + 1) ] = lim [(𝜌𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 − 2𝜌𝑠𝑒𝑛3 𝜃 + 1)] = 1 𝜌→0 𝜌2 . 1

Para cualquier 𝜃, nuestro candidato al límite es 𝐴 = 1 por lo que buscamos una función 𝐹 cumpliendo lo requerido. Como se tiene que, |𝑓(𝑎 + 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑏 + 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃) − 𝐴| = |(𝜌𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 − 2𝜌𝑠𝑒𝑛3 𝜃 + 1) − 1| = |𝜌𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 − 2𝜌𝑠𝑒𝑛3 𝜃| = |𝜌𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 − 2𝜌𝑠𝑒𝑛3 𝜃| ≤ |𝜌𝑐𝑜𝑠 3 𝜃| + |2𝜌𝑠𝑒𝑛3 𝜃| ≤ 𝜌 + 2𝜌 = 3𝜌 Tomando como 𝐹(𝜌) = 3𝜌. Se tiene que el límite lim 𝐹(𝜌) = lim 3𝜌 = 0

𝜌→0

𝜌→0

Y en efecto existe el límite de lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 1

3. Continuidad de una Función de Varias Variables. 3.1 Continuidad de una Función 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚). Igual que con las funciones de una sola variable, la continuidad se define en términos de límites. Definiciones: Una función 𝑓(𝑥, 𝑦) es continua en un punto (𝑎, 𝑏) si: 1. 2. 3.

𝑓 está definida en (𝑎, 𝑏), es decir, que 𝑓 tenga un valor en (𝑎, 𝑏). lim 𝑓(𝑥, 𝑦) existe, es decir, 𝑓 tenga un límite en (𝑎, 𝑏) (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

lim

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏), es decir, el valor de 𝑓 en (𝑎, 𝑏) sea igual al límite en ese punto.

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

Una función es continua si es continua en todo punto de su dominio. Con base a la percepción, esto significa que 𝑓 no presenta saltos o fluctuaciones violentas en (𝑎, 𝑏). Igual que con la definición de límite, la definición de continuidad se aplica en puntos fronteras (𝑎, 𝑏), así como en puntos interiores de dominio de 𝑓. El único requisito es que el punto (𝑥, 𝑦) permanezca en el dominio todo el tiempo. Así como las funciones de una sola variable, también son continuas, las Sumas, Productos y Cocientes de funciones continuas (una vez que, el último caso, se evite la división entre cero). Se deduce entonces lo siguiente que: 



funciones polinomiales de dos variables son continuas en toda su extensión, dado que son sumas y productos de las funciones continuas 𝑎𝑥, 𝑏𝑦 y 𝑐, dado que 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes. Por ejemplo: la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 4 𝑦 3 − 2𝑥𝑦 3 + 4, es continua en todos los puntos del plano 𝑥𝑦. Funciones Racionales de dos variables son cocientes de funciones polinomiales y, por lo tanto, son continuas siempre que el denominador no sea cero. Para simplificarlo, por ejemplo:

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Funciones de Varias Variables. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 3𝑦)⁄(𝑦 2 − 4𝑥) es continua en toda la extensión del plano 𝑥𝑦, con excepción de los puntos de la parábola 𝑦 2 = 4𝑥. Una función continua de una función continua, es continua. 3.2 Composición de Funciones Continuas. Si una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es continua en (𝑎, 𝑏), y 𝑤 = 𝑔(𝑧) es una función continua en 𝑧, entonces la función compuesta (𝑤 ∘ 𝑧)((𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑓(𝑥, 𝑦)) es continua en (𝑎, 𝑏). Por ejemplo: 𝑒 𝑥−𝑦 ,

𝑐𝑜𝑠

𝑥𝑦 , 𝑥2 + 1

ln(1 + 𝑥 2 𝑦 2 )

Son continuas en todo punto (𝑎, 𝑏). Ejemplo 3.1 Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) =

3𝑥𝑦+𝑥 6 𝑥

+ 5(𝑥 2 + 1) 𝑥 demuestre que es continua.

𝑒𝑦

Solución: 𝑓(𝑥, 𝑦) es continua en {(𝑥, 𝑦): 𝑦 ≠ 0} Ejemplo 3.2 Demuestre que 2𝑥𝑦 , + 𝑦2

𝑥2

𝑓(𝑥, 𝑦) = {

0,

(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) (𝑥, 𝑦) = (0,0)

Es continua en todo punto excepto en el origen. Solución: La función 𝑓 es continua en cualquier punto (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) porque sus valores están dados por una función racional de 𝑥 y 𝑦. En (0,0), el valor de 𝑓 está definido pero 𝑓, no tiene límite cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0). La razón es que trayectorias de acercamiento diferentes al origen pueden conducir a resultados diferentes, como lo veremos ahora. Para cada valor de 𝑚 la función 𝑓 tiene un valor constante sobre la recta 𝑦 = 𝑚𝑥, 𝑥 ≠ 0, porque 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑦=𝑚𝑥 = [

2𝑥𝑦 2𝑥(𝑚𝑥) 2𝑚𝑥 2 2𝑚 ] = = = 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦=𝑚𝑥 𝑥 2 + (𝑚𝑥)2 𝑥 2 + 𝑚2 𝑥 2 1 + 𝑚2

Por lo tanto, 𝑓 tiene este número como límite cuando (𝑥, 𝑦) tiende a (0,0) a lo largo de la recta: lim

(𝑥,𝑦)→(0,0),𝑦=𝑚𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦) =

2𝑚 1 + 𝑚2

Este límite cambia con 𝑚. No existe entonces ningún número que podamos llamar límite de 𝑓 cuando (𝑥, 𝑦) se acerca al origen. El límite deja de existir y la función no es continua. Ejemplo 3.3 Estudiar la continuidad de la función:

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𝑓(𝑥, 𝑦) =

{𝑥 2 𝑦 2 0,

𝑥 2𝑦2 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) + (𝑥 − 𝑦)2 (𝑥, 𝑦) = (0,0)

Solución: El origen es el punto en el que la definición de la función cambia, por tanto, es en ese punto donde debemos estudiar si se pierde la continuidad o no. Para ello, estudiamos la existencia del límite doble de 𝑓(𝑥, 𝑦) en dicho punto. Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas polares: 𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 Así, 𝜌2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃. 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 ]= + (𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃)2

lim 𝑓(𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃) = lim [

𝜌→0 𝜌 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃. 𝜌 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

𝜌→0

= lim [ 𝜌→0

= lim [ 𝜌→0

𝜌2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃. 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 ]= 𝜌2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃. 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝜌2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 2𝜌2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

𝜌4 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃. 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) 𝜌2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃. 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) ] = = lim [ ]=0 𝜌→0 (𝜌 2 . 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃. 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1) 𝜌2 (𝜌2 . 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃. 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1)

Así, se concluye que el límite doble de la función vale 𝐴 = 0 y que la función dada es continua en (0, 0). 4. Derivadas Parciales de una Función de Varias Variables. La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables 𝑥 𝑒 𝑦 podemos medir dos razones de cambio: según cambia 𝒙, dejando a 𝒚 fija y otra según cambia 𝒚 dejando a 𝒙 fija. Supongamos que dejamos variar solo a 𝒙, dejando a 𝒚 fija, digamos que 𝑦 = 𝑏, en donde 𝑏 es una constante. Entonces, estamos en presencia de una función de una sola variable 𝒙, a saber que 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑏). Si 𝑔 tiene una derivada en 𝑎 entonces la llamamos la derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑥 en (𝑎, 𝑏). De forma análoga podemos hacerlo para 𝑦 como variable y 𝑥 fija, es decir, 𝑥 es una constante. Definición (Derivada Parcial) Si 𝑧 = (𝑥, 𝑦), entonces las derivadas parciales primeras de 𝑓 con respecto a 𝑥 y a 𝑦 son las funciones 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑦 respectivamente, definidas mediantes, 𝑓𝑥 = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) ℎ

𝑓(𝑥, 𝑦 + ℎ) − 𝑓(𝑥, 𝑦) ℎ→0 ℎ

𝑓𝑦 = lim Siempre y cuando existan los límites.

Su derivada para cuando 𝑥 = 𝑎 se llama derivada parcial de 𝒇 con respecto a 𝒙 en (𝑎, 𝑏) y se denota como 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) y esta dada por la expresión.

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Funciones de Varias Variables. 𝑓(𝑎 + ℎ, 𝑏) − 𝑓(𝑎, 𝑏) ℎ→0 ℎ

𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = lim

Análogamente, cuando 𝑦 = 𝑏 se llama derivada parcial de 𝒇 con respecto a 𝒚 en (𝑎, 𝑏) y se denota como 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) y esta dada por la expresión. 𝑓(𝑎 + ℎ, 𝑏) − 𝑓(𝑎, 𝑏) ℎ→0 ℎ

𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) = lim

Esta definición indica que si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), entonces para calcular 𝒇𝒙 consideramos que 𝒚 es constante y derivamos con respecto a 𝒙. De forma análoga, para obtener 𝒇𝒚 consideramos que 𝒙 es constante y derivamos con respecto a 𝒚. Es evidente que para hallar las derivadas parciales pueden utilizarse las fórmulas ordinarias de derivación. Notación de la Derivada Parcial Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), usamos las siguientes alternativas de notación: 

Con respecto a 𝒙 tenemos lo siguiente: 𝑓𝑥 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) =

𝜕𝑓(𝑥,𝑦)



Con respecto a 𝒚 tenemos lo siguiente: 𝑓𝑦 = 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) =

𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥

𝜕𝑦

= =

𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦

= =

𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦

El símbolo 𝝏 se llama signo de la derivada parcial. Si 𝑥 = 𝑎 y 𝑦 = 𝑏, entonces su notación es de la siguiente manera: 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) =

𝜕𝑧 | 𝜕𝑥 (𝑎, 𝑏)

𝑦

𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) =

𝜕𝑧 | 𝜕𝑦 (𝑎, 𝑏)

4.1 Interpretación Geométrica de la Derivada Parcial. Recordemos que la gráfica de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) representa una superficie 𝑆. Si 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑐, entonces el punto 𝑃 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) esta sobre la superficie 𝑆. El plano vertical 𝑦 = 𝑏 interseca a la superficie 𝑆 en la curva 𝐶1 (es decir 𝐶1 , es la traza de la superficie 𝑆 sobre el plano 𝑦 = 𝑏. De manera semejante, al plano vertical 𝑥 = 𝑎 interseca a la superficie 𝑆 en la curva 𝐶2 . Ambas curvas pasan por el punto 𝑃. Observe que la curva 𝐶1 es la gráfica de la función 𝑔(𝑥, 𝑏) de manera que la pendiente de su recta tangente 𝑇1 en el punto 𝑃 es 𝑔`(𝑎) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏). La curva 𝐶2 es la gráfica de la función 𝑔(𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑦), así que la pendiente de su tangente 𝑇2 en el punto 𝑃 es 𝑔`(𝑏) = 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏).

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Figura 5: Interpretación (𝑎, 𝑏) 𝑦 𝑓𝑦de Por consiguiente las derivadas parciales 𝑓𝑥Geométrica (𝑎,la𝑏)Derivada pueden Parcial interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas 𝐶1 𝑦 𝐶2 en el punto 𝑃, respectivamente. Las derivadas parciales pueden ser vistas como razones de cambio. Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), entonces 𝑓𝑥 representa la razón de cambio con respecto a 𝑥, cuando 𝑦 permanece fija. De manera semejante, 𝑓𝑦 representa la razón de cambio con respecto a 𝑦, cuando 𝑥 permanece fija. Ejemplo 4.1 Hallar las derivadas parciales en el punto (4, −5), de la siguiente función si, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 − 1 Para encontrar 𝜕𝑓 ⁄𝜕𝑥 , consideramos 𝑦 como una constante y derivamos con respecto a 𝑥: 𝜕𝑓 𝜕 2 = (𝑥 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 − 1) = 2𝑥 + 3𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Como 𝑥 = 4 𝑦 𝑦 = −5, tenemos 𝑓𝑥 (4, −5) = 2(4) + 3(−5) = −7 Análogamente, para 𝜕𝑓 ⁄𝜕𝑦, consideramos 𝑥 como una constante y derivamos con respecto a 𝑦:

𝜕𝑓 𝜕 2 = (𝑥 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 − 1) = 3𝑥 + 1 𝜕𝑦 𝜕𝑦 Como 𝑥 = 4 𝑦 𝑦 = −5, tenemos 𝑓𝑦 (4, −5) = 3(4) + 1 = 13 Ejemplo 4.2 Hallar las derivadas parciales de la función de tres argumentos 𝑤 = 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 + 5 Solución: 𝜕𝑤 = 3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 + 2; 𝜕𝑥

𝜕𝑤 = 2𝑦 3 𝑦𝑧 − 3; 𝜕𝑦

𝜕𝑤 = 𝑥 3 𝑦 2 + 1. 𝜕𝑧

Ejemplo 4.3 Encuentre 𝜕𝑓 ⁄𝜕𝑦 si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦. Solución:

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𝜕𝑓 𝜕 𝜕 𝜕 (𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦) = 𝑦. (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦) + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦. (𝑦) = 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 = (𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦)

𝜕 (𝑥𝑦) + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 = 𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦. 𝜕𝑦

Ejemplo 4.4 Encuentre 𝜕𝑓 ⁄𝜕𝑥 si 𝑓(𝑥, 𝑦) =

2𝑦 𝑦+𝑐𝑜𝑠𝑥

𝜕 (𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝜕𝑓 = −2𝑦. (𝜕𝑥 ) (𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 𝜕𝑥 −𝑠𝑒𝑛𝑥 = −2𝑦. ( ) (𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 𝜕𝑓 2𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝜕𝑥 (𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 Ejemplo 4.5 Halle la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide 𝑧 = 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 y el plano 𝑦 = 1, cuando 𝑥 = 1⁄2. Solución: En este caso la pendiente de la recta esta dada por el valor de la derivada parcial 𝜕𝑧⁄𝜕𝑥 en (1⁄2, 1) 𝜕𝑧 𝜕𝑧 1 = −2𝑥 ⇒ 𝑚 = ( , 1) = −1 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 1

1 2

11

1

11

2

2

4

2

4

Como 𝑃 ( , 1, ? ), entonces tenemos que 𝑧 = 4 − ( ) − (1)2 =

, luego 𝑃 ( , 1, )

1

11

2

4

Como la recta es 𝑧 = −𝑥 + 𝑏, 𝑦 = 1, pero pasa por el punto 𝑃 ( , 1, ) y así

𝑧 = −𝑥 + 𝑏 ⇒

11 1 13 = − +𝑏 ⇒ 𝑏 = 4 2 4

Luego la recta tangente 𝑧 = −𝑥 +

13 4

Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son: 𝑥=𝑡 𝑦 =1 𝐶={ 𝑧 = −𝑥 + 13⁄4

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4.2 Derivadas Parciales de Segundo Orden. Cuando diferenciamos una función 𝑓(𝑥, 𝑦) dos veces, producimos sus derivadas de segundo orden. Estas derivadas son usualmente denotadas por 𝜕2𝑓 ; 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜. 𝜕𝑥 2 𝜕2𝑓 ; 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜. 𝜕𝑦 2 𝜕2𝑓 ; 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑦. 𝜕𝑥𝜕𝑦 También se puede leer: la segunda derivada de 𝑓 de la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 𝜕2𝑓 ; 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑦 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥 También se puede leer: la segunda derivada de 𝑓 de la derivada de 𝑥 con respecto a 𝑦 Estas dos últimas son llamadas derivadas parciales mixtas. Las ecuaciones que las definen son 𝜕2𝑓 𝜕 𝜕𝑓 = ( ), 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝜕2𝑓 𝜕 𝜕𝑓 = ( ) 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Y así, sucesivamente. Note el orden en que se toman las derivadas: 𝜕2𝑓 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑦, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 Ejemplo 4.6 Calcule las segundas derivadas parciales de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 3 Solución: Las primeras derivadas son: 𝜕𝑓 = 3𝑥 2 + 2𝑥𝑦 2 , 𝜕𝑥

𝜕𝑓 = 2𝑥 2 𝑦 + 3𝑦 2 𝜕𝑦

Entonces tenemos que 𝜕2𝑓 = 6𝑥 + 2𝑦 2 , 𝜕𝑥 2 𝜕2𝑓 = 6, 𝜕𝑥𝜕𝑦

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𝜕2𝑓 = 2𝑥 2 + 6𝑦 𝜕𝑦 2 𝜕2𝑓 =6 𝜕𝑦𝜕𝑥

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Nota: Note que las derivadas parciales mixtas en el ejemplo anterior son iguales. Esto no es una casualidad y en la mayoría de los casos prácticos se da. El siguiente teorema, da las condiciones bajo las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da. Teorema: (Igualdad de las Derivadas Mixtas). Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℛ → ℛ una función escalar donde 𝐷 es un disco abierto con centro en (𝑎, 𝑏) y radio 𝛿, entonces si las funciones 𝜕 2 𝑓 ⁄𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑦 𝜕 2 𝑓⁄𝜕𝑦𝜕𝑥 son continuas en 𝐷, entonces 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑏) 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 Es decir, la función 𝑓(𝑥, 𝑦) es continua en su dominio. 5. Diferenciabilidad. Después del estudio de los límites de funciones de dos variables retomamos la discusión sobre diferenciabilidad, y aprovechamos para fijar en una definición y un teorema lo que hemos avanzado hasta ahora. Definición. La función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es diferenciable en el punto 𝑃 = (𝑎, 𝑏) si existen unos números 𝐴 𝑦 𝐵 tales que lim

𝑓(𝑥, 𝑦) − (𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝐴(𝑥 − 𝑎) + 𝐵(𝑦 − 𝑏))

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2

=0

En ese caso diremos que el plano 𝑧 = 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝐴(𝑥 − 𝑎) + 𝐵(𝑦 − 𝑏) es el plano tangente a la gráfica de 𝑓 en (𝑎, 𝑏). Teorema. Para que la función 𝑓 sea diferenciable en (𝑎, 𝑏) es necesario que existan sus derivadas parciales en ese punto. Y en ese caso el plano tangente es el plano, 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑧 = 𝑓(𝑎, 𝑏) + ( ) . (𝑥 − 𝑎) + ( ) . (𝑦 − 𝑏) 𝜕𝑥 (𝑎,𝑏) 𝜕𝑦 (𝑎,𝑏) Por supuesto, se puede usar directamente la definición para probar que una función es diferenciable en un punto. Para ello: 

Debemos empezar por calcular las derivadas parciales en ese punto (ya sea mediante las reglas derivación, o usando la definición si no es posible aplicar las reglas).



Después debemos demostrar que se cumple.

lim

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦) − (𝑓(𝑎, 𝑏) + ( ) . (𝑥 − 𝑎) + ( ) . (𝑦 − 𝑏)) 𝜕𝑥 (𝑎,𝑏) 𝜕𝑦 (𝑎,𝑏)

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2

=0

Veamos un ejemplo elemental de demostración

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Ejemplo 5.1 La función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑦 2 ¿es diferenciable en el punto (𝑎, 𝑏) = (1,2)? En efecto, en primer lugar sus derivadas parciales existen y valen 𝜕𝑓 𝜕𝑓 = 2𝑥 ⇒ ( ) = 2, 𝜕𝑥 𝜕𝑥 (1,2)

𝜕𝑓 𝜕𝑓 = 4𝑦 ⇒ ( ) =8 𝜕𝑦 𝜕𝑦 (1,2)

Así que el único candidato posible a ser el plano tangente es 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑧 = 𝑓(1,2) + ( ) . (𝑥 − 1) + ( ) . (𝑦 − 2) = 9 + 2(𝑥 − 1) + 8(𝑦 − 2) 𝜕𝑥 (1,2) 𝜕𝑦 (1,2) Y para demostrar que 𝑓 es diferenciable tenemos que demostrar que se cumple (𝑥 2 + 2𝑦 2 ) − (9 + 2(𝑥 − 1) + 8(𝑦 − 2))

lim

(𝑥,𝑦)→(1,2)

√(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 (𝑥 2 + 2𝑦 2 ) − (9 + 2𝑥 − 2 + 8𝑦 − 16)

lim

(𝑥,𝑦)→(1,2)

lim

(𝑥 2 + 2𝑦 2 ) − (2𝑥 + 8𝑦 − 9)

(𝑥,𝑦)→(1,2)

lim

√(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2

√(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2

= 0,

(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) + 2(𝑦 2 − 4𝑦 + 4)

(𝑥,𝑦)→(1,2)

√(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2

(𝑥,𝑦)→(1,2) √(𝑥

=0

𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠.

= 0,

(𝑥 − 1)2 + 2(𝑦 − 2)2

lim

=0

− 1)2 + (𝑦 − 2)2

𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎,

=0

Para demostrar esto, empezamos por trasladar el problema al origen mediante el cambio de variables 𝑢 = 𝑥 − 1 𝑦 𝑣 = 𝑦 − 2. De esa forma se trata de demostrar que (𝑢)2 + 2(𝑣)2

lim

(𝑢,𝑣)→(0,0) √(𝑢)2

+ (𝑣)2

=0

Luego por coordenadas polares nos queda lim

𝜌2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 2𝜌2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

𝜌→0 √𝜌 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃

+ 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

𝜌2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 2𝑠𝑒𝑛2 𝜃) =0 𝜌→0 𝜌

= 0 ⇒ lim

lim 𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 2𝜌𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 0

𝜌→0

Luego |𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 2𝜌𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 0| ≤ 𝐹(𝜌) ⇒ |𝜌𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 2𝜌𝑠𝑒𝑛2 𝜃| ≤ 𝐹(𝜌) ⇒ 𝐹(𝜌) = 𝜌 + 2𝜌 = 3𝜌 Entonces lim 3𝜌 = 0 𝜌→0

Luego 𝑓 es diferenciable en (𝑎, 𝑏) = (1,2)

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6. Regla de la Cadena para funciones de varias Variables. Para funciones de más de una variable la regla de la cadena tiene varias versiones que dan la regla de diferenciación de la composición de funciones para diferentes casos. Primer Caso: Supongamos una función de dos variables 𝑓(𝑥, 𝑦) donde a su vez cada una de estas variables dependen de una variable 𝑡. Esto significa que 𝑧 es también una función que depende indirectamente de 𝑡: 𝑧 = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) Supongamos que 𝑓 es una función diferenciable. La regla de la cadena que nos da la diferencial de 𝑧 como función de 𝑡 es: 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = . + . 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 Árbol de Dependencia:

x

t

y

t

Z

Ejemplo 6.1 Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 4 𝑥 3 , donde 𝑥 = 𝑡 3 𝑒 𝑦 = 𝑙𝑛𝑡, la diferencial de 𝑧 respecto de 𝑡 será: 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 1 = . + . = (2𝑥𝑦 − 3𝑦 4 𝑥 2 )3𝑡 2 − (𝑥 2 − 4𝑦 3 𝑥 3 ). 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝑡 Sustituyendo los valores de 𝑥 𝑒 𝑦 en función de 𝑡: 𝑑𝑧 1 = (2𝑡 3 𝑙𝑛𝑡 − 3(𝑙𝑛𝑡)4 𝑡 6 )3𝑡 2 − (𝑡 6 − 4(𝑙𝑛𝑡)3 𝑡 9 ). = 6𝑡 5 𝑙𝑛𝑡 − 9𝑡 8 𝑙𝑛4 𝑡 − 𝑡 5 + 4𝑡 8 𝑙𝑛3 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 Otra forma de calcular 𝑑𝑧⁄𝑑𝑡 es expresar 𝑧 como función de 𝑡 y luego derivar. (Queda como ejercicio). Segundo Caso: considerando ahora el caso donde 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función diferenciable y donde a su vez 𝑥 = 𝑔(𝑠, 𝑡) 𝑒 𝑦 = ℎ(𝑠, 𝑡) son funciones diferenciables de 𝑠 𝑦 𝑡. Entonces: 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = . + . 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠

𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = . + . 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡

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Árbol de Dependencia:

s x t

Z

s y

t

Ejemplo 6.2 Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 4 𝑥 3 , donde 𝑥 = 𝑡 3 + 2𝑠 𝑒 𝑦 = 𝑠. 𝑙𝑛𝑡, las derivadas parciales de 𝑧 respecto de 𝑠 𝑦 𝑡 son: 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = . + . = (2𝑥𝑦 − 3𝑦 4 𝑥 2 )2 − (𝑥 2 − 4𝑦 3 𝑥 3 ). 𝑙𝑛𝑡 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝑠 = . + . = (2𝑥𝑦 − 3𝑦 4 𝑥 2 )3𝑡 2 − (𝑥 2 − 4𝑦 3 𝑥 3 ). 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 𝑡 Sustituyendo los valores de 𝑥 𝑒 𝑦 en función de 𝑡: 𝜕𝑧 = 2[(𝑡 3 + 2𝑠). 𝑠. 𝑙𝑛𝑡 − 3(𝑠. 𝑙𝑛𝑡)4 (𝑡 3 + 2𝑠)2 ] − [(𝑡 3 + 2𝑠)2 − 4(𝑠. 𝑙𝑛𝑡)3 (𝑡 3 + 2𝑠)3 ]. 𝑙𝑛𝑡 𝜕𝑠 𝜕𝑧 𝑠 = [(𝑡 3 + 2𝑠). 𝑠. 𝑙𝑛𝑡 − 3(𝑠. 𝑙𝑛𝑡)4 (𝑡 3 + 2𝑠)2 ]3𝑡 2 − [(𝑡 3 + 2𝑠)2 − 4(𝑠. 𝑙𝑛𝑡)3 (𝑡 3 + 2𝑠)3 ]. 𝜕𝑠 𝑡 7. Derivadas Implícitas de una Función de Varias Variables Definición: Supongamos que 𝐹(𝑥, 𝑦) es diferenciable y que la función 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, define a 𝑦 como una función diferenciable en 𝑥. Entonces, en cualquier punto donde

𝜕𝐹 𝜕𝑦

≠ 0,

𝜕𝐹 𝑑𝑦 = − 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝑑𝑥 𝜕𝑦 Ejemplo 7.1: Encuentre 𝑑𝑦⁄𝑑𝑥 si 𝑥 2 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 − 2𝑦 = 0 𝑑𝑦 2𝑥 =− 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 − 2

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Ejercicios Propuestos

1. − 𝑆𝑖

w

2. − 𝑆𝑖

z  x 2 arctg

x2  y2  z2

3. − 𝑆𝑖 z 

4. − 𝑆𝑖

x. y 

 z  ln  tg 

5. − 𝑆𝑖 z

2



6. − 𝑆𝑖 z 

2  x

x2 y2 x y

2

1  w   w   w  , demostrar que :          4 w  x   y   z  2

1

y x  y 2 arctg x y

x y

, 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒:

, 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: x

2

2z x2  y2  2 xy x  y 2

z z y  x y

x. y x. y 

x y

x x z z  , 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒:  0 y y x y y2  z2

z 1 z 1 , 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: x 2   x y y z

, 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: x

2z x 2

y

2z z 2 xy y 2z

2z

7. − 𝑆𝑖

z    y  ax    y  ax , 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: a 2

8. − 𝑆𝑖

z  by  ax   e ax  by  senby  ax  , 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: b x y

y

x y 9. − 𝑆𝑖 z  e sen  e x cos y x

, 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: x

x 2



y 2

0

z z a x y

z z y 0 x y

10. − 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛:

 y2  2 2 x y  y 2 x 2  0 ; 𝑇𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: dy   y  x  y 2 2 2 x y dx x x  2  x  y 2 2

2

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







2

2

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  1    1 

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11. − 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛:

xy  yx

z  x 2 arctg

12. − 𝑆𝑖

dy y 2 ln x  1  dx x 2 ln y  1

, 𝑇𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒:

y x

x 2z 2z , 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒:   0, y x 2 y 2

 y 2 arctg

𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜.

 cos y   , 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒:  cos x 

13. − 𝑆𝑖 z  ln 

2   z  2   2 z z z  2 z   z    2 z 1    . 2  1    . 0 x y xy   x   y 2   y   x 2    

14. − Dada 𝑆𝑜𝑙:

15. −

w  xy  yz  xz , x  s cos t , y  s sent , z  t , hallar la derivada total. dw  s sen 2t  t sent  cos t  , ds

dw  s 2 cos 2t  st cos t  sent   s sent  cos t  dt

z  x 2  xy2  yx 2  y 2 ; x  e t senr ; y  cos t e r

Hallar la derivada total de

16.- Encuentre los límites en los siguientes ejercicios. 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ; (𝑥,𝑦)→(1,1) 𝑥−𝑦 lim

lim

(𝑥,𝑦)→(2,−4) 𝑥 2 𝑦

𝑦+4 ; − 𝑥𝑦 + 4𝑥 2 − 4𝑥

lim

𝑥 − 𝑦 + 2√ 𝑥 − 2√ 𝑦

(𝑥,𝑦)→(0,0)

√ 𝑥 − √𝑦

17.- Considere diferentes trayectorias de acercamiento y demuestre que las siguientes funciones de los ejercicios dados no tienen límites cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0). 𝑓(𝑥, 𝑦) = −

𝑥 √𝑥 2 +𝑦 2

;

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥4 𝑥 4 +𝑦 2

;

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥 4 +𝑦 2 𝑥 4 −𝑦 2

Si puede graficar trate de hacerlo. 18.- En los ejercicios siguientes, encuentre el límite de 𝑓 cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0) o muestre que el límite no existe. (Usar cambio de variable en coordenadas polares). 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥 3 −𝑥𝑦 2 𝑥 2 +𝑦 2

; 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (

𝑥 3 −𝑦 3 𝑥 2 +𝑦 2

) ; 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

|𝑥|+|𝑦| 𝑥 2 +𝑦 2

) ; 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛 (

3𝑥 2 −𝑥 2 𝑦 2 +3𝑦 2 𝑥 2 +𝑦 2

)

19.- Encuentre los límites de las siguientes funciones vectoriales, de ℛ 2 → ℛ 2 , tal que lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

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(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦,

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4 ) ; 𝑥2 + 1

lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

1 (𝑠𝑒𝑛 , 1 + 𝑥 2 𝑒 𝑦 ) 𝑥

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20.- En los siguientes ejercicios encuentre la diferenciabilidad de la función en cada punto 1. − 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1 𝑒𝑛 𝑎) (0,0) 𝑏) (1,1) 2. −𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 + 2)2 𝑒𝑛 𝑎) (0,0) 𝑏) (1,2) 3. − 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑒𝑛 𝑎) (0,0) 𝑏(0, 𝜋⁄2) 4. − 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 2𝑦−𝑥 𝑒𝑛 𝑎) (0,0) 𝑏) (1,2)

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