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FUNCIONES VARIABLES

DE

VARIAS

10 5

Z Data

0 -5 -10 -15 -20 -25 3 2

Y

1

D at 0 a -1 -2

-1 -2

-3 -4

-3 -4

0

ata XD

1

2

3

4

Contenido de Cadmio Norte

250 300 350 400 450 15 10 5 0 150 200 250 300 Este

Función de varias variables Verbalmente: descripción con palabras Numéricamente: tabla de valores Algebraicamente: fórmula Visualmente: gráfica 3D o curvas de nivel

Funciones de varias variables

V =π V : (r,h) → π h 2 V(r,h) = π r h 2 r

2 rh

Función de dos variables Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado le corresponde un único número real f(x, y) se dice que f es una función de x e y. D es el dominio de f

z= f(x, y)=

{

}

D = ( x, y ) / x + y ≤ 9 2

2

Ejercicio: Determina y grafica el dominio de las siguientes funciones:

f ( x, y ) = ln( x + y ) f ( x, y ) =

f ( x, y , z ) =

4x 2 + y 2 − 4 x x

4 − x2 − y2 − z2

D = {( x, y ) / y > − x}

f ( x, y ) = ln( x + y ) 4

y

3

2

1

x −4

−3

−2

−1

1 −1

−2

−3

−4

2

3

4

5

f ( x, y ) =

4x 2 + y 2 − 4 x

y

2

1

x −3

−2

−1

1

2

−1

−2

  y 2 D = ( x, y ) / x + ≥ 1 ∧ x ≠ 0 4   2

3

f ( x, y , z ) =

{

x 4 − x2 − y2 − z2

D = ( x, y , z ) / x + y + z < 4 2

2

2

}

Gráfica 3D Definición

La gráfica de una función el conjunto de puntos tales que y . Es decir,

es

Gráfica 3D La gráfica de una función de dos variables puede interpretarse geométricamente como una superficie S en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f.

Gráfica 3D

Cuádricas

Cuádricas

Cuádricas

Superficies http://www.luventicus.org/articulos/03U009/

Ejercicio: Determina la grafica de las siguientes funciones:

f ( x, y ) = x + y + 1 2

2

f ( x, y ) = − y + 2

f ( x, y ) = 16 − 4 x 2 − y 2

f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 1

f ( x, y ) = − y + 2

f ( x, y ) = 16 − 4 x 2 − y 2

Contenido de Cadmio Norte

Este

Curvas de nivel Las curvas de nivel son el conjunto de puntos del dominio donde la función es constante. Son las proyecciones de las curvas de altura constante de la grafica de la función sobre el plano xy. La ecuación de las curvas de nivel viene determinada por

f(x; y) = C

Curvas de nivel

Ejercicio: Dibuja un mapa de contorno para cada una de las siguientes funciones:

f ( x, y ) = x 2 + y 2 f ( x, y ) = 4 − x − y 2

2

f ( x, y ) = 4 − x 2 + y 2

f ( x, y ) = x 2 + y 2

f ( x, y ) = 4 − x − y 2

2

4

3

c=-5 2

1

c=3 -4

-3

-2

-1

1

-1

-2

-3

-4

2

3

4

5

f ( x, y ) = 4 − x + y 2

2

9 8 7

c=-5

6 5 4 3 2 1

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

c=3 1

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

2

3

4

5

6

7

8

9

Superficies de nivel Las superficies de nivel son el conjunto de puntos del dominio donde la función de 3 variables es constante. La ecuación de las superficie de nivel viene determinada por

f(x; y; z) = C

Función de varias variables Una función con n variables es una regla f que asocia a cada punto (x1, x2, . . . , xn)

dentro de un determinado conjunto D un número real f(x1, x2, . . . , xn). El dominio D es un subconjunto de IRn, es decir, está formado por puntos con n coordenadas. Representaremos esta función escribiendo:

f : D → IR o bien D−f→ IR

Límite de una función de dos variables

Límite de una función de dos variables

lím f(x,y) = L (x,y)-->(a,b)

y decimos que el límite de f(x,y), conforme (x, y) se aproxima a (a, b) es L si podemos acercar los valores de f(x,y) a L tanto como querramos, siempre y cuando tomemos el punto (x, y) lo suficientemente cerca del punto (a, b), pero sin que sea igual a este.

Límite de una función de dos variables

lím f(x,y) = L (x,y)-->(a,b)

Límite por distintos caminos

f ( x, y ) = 20 + xy

2

Límite iterados

y

(x , y0)

y0= constante

x= constante

(x , y)

(x0 , y0)

x0= constante

(x0 , y) y= constante

x

Límites sucesivos

  L1 = lim  lim f ( x , y )  x → x0  y → y 0    L2 = lim  lim f ( x , y )  y → y 0  x → x0 

Ejercicio: Encuentra si existen: a) Límites reiterados b) Límite doble lím z

( x , y )→(1, 2 )

xy 2 − y 3 con z = (x + y + 1)2

lím z

x2 + y2 con z = 2 x − y2

lím z

x2 + y2 con z = x− y

( x , y )→( 0 , 0 )

( x , y )→( 0 , 0 )

Límite que no existe

Relación entre el límite doble y los sucesivos Si existe el límite doble y alguno de los iterados entonces los límites son iguales. Si los límites iterados existen y son distintos el límite doble no existe. Si los límites iterados existen y son iguales, el límite doble puede o no existir, pero si es que existe debe ser igual a los iterados.