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“AÑO DE LA UNIVERSALIZACIÓN DE LA SALUD” FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

MONOGRAFÍA “APLICACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EN LA INGENIERIA CIVIL” AUTORES: CORDOVA PANTOJA SHEILA KARINA JIMENEZ RUIZ MARIA CRISTINA NUÑEZ POMAQUISPE LUZ RAMOS GUERRERO MILAGROS ROJAS TARAZONA EDGAR YORDI RODRIGUEZ MEDINA MANUEL ENRIQUE SANCHEZ ANAYA ADRIEL ALEJANDRO PERALTA PÉREZ ANGEL ASESOR: ING. RAMIREZ CARRIÓN CARLOS JAVIER

PERÚ- 2020

Índice I.

INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 3

II. DESARROLLO ............................................................................................................. 4 1.

MECÁNICA DE FLUIDOS ....................................................................................... 4 La presión: ........................................................................................................... 4 Medición de precisión ......................................................................................... 4

2.

OBRAS HIDRAULICAS ........................................................................................... 5 Formula de Manning ........................................................................................... 6

3.

CAMINOS .................................................................................................................. 8 DISEÑO GEOMÉTRICO DE LA CARRETERA.............................................. 8 Curvas verticales ..................................................................................................... 8 Longitud de las curvas convexas ............................................................................ 8

4.

ESTRUCTURACIÓN Y CARGAS ........................................................................... 9 Fuerza Centrífuga ................................................................................................ 9 Fuerzas de Viento .............................................................................................. 10 Formula racional para caudales ......................................................................... 10 Fórmula racional para tiempo de concentración del caudal total ...................... 11 Momento flector ................................................................................................ 11

5.

MECANICA DE SUELOS ...................................................................................... 12 Método del hidrómetro. ..................................................................................... 12

6.

EJEMPLOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL ............. 14

III. CONCLUSIONES ....................................................................................................... 15 IV. REFERENCIAS ........................................................................................................... 16 V. ANEXOS ...................................................................................................................... 17

I.

INTRODUCCIÓN

La ingeniería civil es la rama de la ingeniería que aplica los conocimientos de física, química, geología a la elaboración de estructura, obras hidráulicas y de transporte, mecánica de fluidos, resistencia de materiales y entre otros, para encargarse del diseño, construcción y mantenimiento de las infraestructuras que la sociedad necesita para su desarrollo. La asignatura de Matemática, es importante porque brinda las herramientas necesarias para que el estudiante de ingeniería civil desarrolle habilidades de cálculo, imaginación, intuición, generalización y capacidad de análisis, referidos a funciones de varias variables y modele, mediante ecuaciones diferenciales, situaciones de la vida real para resolver problemas propios de su especialidad. El presente trabajo de investigación tiene como propósito conocer en que se aplica la matemática en la ingeniería civil, y siendo más precisos nos enfocaremos en las funciones de varias variables, ya que como futuros ingenieros es importante saber la importancia de estos conocimientos y como la aplicamos en nuestra carrera. Objetivos general Determinar las aplicaciones de las funciones de varias variables en la ingeniería civil. Objetivos específicos 

Determinar la importancia de la matemática aplicada a la ingeniería civil.



Definir en qué formulas está presente las funciones de varias variables.



Explicar las fórmulas que se utilizan en la carrera de ingeniería civil.

II.

DESARROLLO 1. MECÁNICA DE FLUIDOS La mecánica de fluidos es el estudio del comportamiento de los fluidos ya sea que estén en reposo (estática de fluidos) o en movimiento (dinámica de fluidos). Es importante aprender a analizar el comportamiento de fluidos, cuando fluyen a través de tuberías circulares y por conductos de otras formas, se considera la energía del fluido según su velocidad, elevación y presión. Fórmulas: Algunas fórmulas usadas en la mecánica de fluidos son:  La presión: La presión se define como la cantidad de fuerza que se ejerce sobre una unidad de área de una sustancia o sobre una superficie, se enuncia por medio de la ecuación siguiente.

𝑷=

𝑭 𝑨

Donde: P: Presión F: Fuerza A: Área

 Medición de precisión 𝑫𝒑 = −𝒓(𝒅𝒛) La ecuación representa la revelación que rige un cambio en la elevación y un cambio en la prisión, sin embargo, el empleo de la ecuación depende del tipo de fluido. El proceso de la integración amplía la ecuación a cambios grandes en la elevación como sigue:

𝑷𝟐

𝒁𝟐

∫𝑷𝟏 𝒅𝒑 = ∫𝒁𝟏 −𝜸 (𝒅𝒛)

(1,3)

La ecuación (1,3) se desarrolla en forma diferente para líquidos y para gases, debido a que el peso específico es constante para los líquidos y varía con los cambios en la presión para los gases. Se considera que un líquido es incompresible, así su peso específico es constante esta permite que salga del signo de la integral de la ecuación (1,3) 𝑷𝟐

𝒁𝟐

∫𝑷𝟏 𝒅𝒑 = -𝜸 ∫𝒁𝟏 (𝒅𝒛)

(1,4)

Al efectuar el proceso de integración y aplicar los límites de esta, se obtiene que: 𝑃2 − 𝑃1 = −𝛾(𝑍2 − 𝑍1)

(1,5)

Por conveniencia definimos: 𝛥𝑃 = 𝑃2 − 𝑃1 y 𝐻 = 𝑍1 − 𝑍2 La ecuación (1,5) se transforma en:= 𝛥𝑃 = 𝛾ℎ Los signos de y se asignan en el momento de usar la formula, pero hay que recordar que la presión se incrementa con la profundidad en el fluido y viceversa. Con ello podemos determinar que las integrales intervienen de gran manera en la mecánica de fluidos, los que nos permitirá obtener los datos necesarios para un proyecto de investigación o un diseño de obras hidráulicas. 2. OBRAS HIDRAULICAS La asignatura del curso de obras hidráulicas tiene como propósito aplicar los conceptos de cantidad y calidad del agua, su importancia y perspectivas, aplicándolo a diversos Proyectos Hidráulicos, comprende: Proyecto Hidráulico, Principales Proyectos, Planificación del recurso hídrico, Estructuras de Conducción Superficiales (Canales), túneles, transiciones, aliviaderos laterales, caídas, rápidas, sifones, acueductos, vertederos, estructuras de captación, presas, desarenadores y entre otros. En esta asignatura si se aplica funciones de varias variables, algunas de ellas son las siguientes:

 Formula de Manning Es la formula cuyo uso de halla más extendido a casi todas las partes del mundo. Proviene de considerar en la fórmula de Chezy un coeficiente C, de forma monómica igual a: 𝐶=

1 1/6 𝑅 𝑛

Luego sustituyendo en la fórmula de Chezy, se tiene: 𝑣= 𝑣=

1 1/6 𝑅 √𝑅𝑆 𝑛

1 1/6 1/2 1/2 𝑅 𝑅 𝑆 𝑛

𝑣=

1 2/3 1/2 𝑅 𝑆 𝑛

Que es la fórmula conocida de Manning, donde: 𝑣 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝑚/𝑠) 𝑅 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 ℎ𝑖𝑑𝑟𝑎𝑢𝑙𝑖𝑐𝑜 (𝑚) 𝑆 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑛 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 Combinando la fórmula de Manning y la ecuación de continuidad, la expresión para el cálculo del caudal que se obtiene es: 𝑄=

1 2/3 1/2 𝐴𝑅 𝑆 𝑛

Donde: 𝑄 = 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑜 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 (𝑚3 /𝑠) 𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 (𝑚2 ) La fórmula de Manning es un claro ejemplo de una función con varias variables, que nos sirve para calcular la velocidad del agua en canales abiertos y en tuberías. Ya que para plantear el diseño de un canal se necesita tener el dato del gasto máximo, la rugosidad, la pendiente y la geometría del mismo.

A continuación, tenemos la demostración fisicomatemática de la fórmula de Manning: Considere una partícula ∂ m de fluido sometido a una fuerza y torque diferencial.

𝜕𝑓 = 𝜕𝑚 ×

𝜕𝑣 𝜕𝑡

𝜕𝑇 = 𝜕𝑚 × (𝜕𝑟)2

𝜕𝑣 𝜕𝑡

La aceleración lineal es concebible, pero la aceleración angular es infinita. Entonces, como la observación indica que hay rotación en los fluidos, la aceleración y el torque deben haber desaparecido para el momento en que fueron observados, y la velocidad angular se volvió constante. Entonces, para un fluido incompresible y newtoniano: − → . 𝑣 → ≡ 0 (𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎) ∇

− → × 𝑣 → ≡ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 −→ ∇

𝜔

Entonces, debido al teorema de Helmholtz, podemos determinar −𝑣 → . Y diferenciando Bernoulli: 𝑣 → × (→ × 𝑣 → ) = 2𝑔→ × (− → × −𝑅 → ) ∇

∇

−𝑅 → =Distancia a centro de gravedad depuntos de superficie isobárica

𝑔→ =gravedad

3. CAMINOS  DISEÑO GEOMÉTRICO DE LA CARRETERA Curvas verticales Las curvas verticales son definidas por el parámetro K que es la relación entre la longitud de la curva y el valor absoluto de la diferencia de pendientes. Las curvas pueden ser convexas o cóncavas24. A continuación, se muestra la ecuación para el cálculo de la longitud de la curva. Ecuación 0-4 Longitud de curva

K=L/A Donde: K: Parámetro de curvatura L: Longitud de la curva vertical A: Valor Absoluto de la diferencia algebraica de las pendientes Longitud de las curvas convexas La longitud de las curvas verticales convexas, se determina con las siguientes formulas Para contar con la visibilidad de parada (Dp)  Cuando Dp < L; Ecuación 0-5 Longitud de curva cuando Dp

𝐿=

A . D2/P 100(√2ℎ + √2ℎ )2

Fuente: Manual de Diseño Geométrico de Carreteras DG 2014  Cuando Dp > L Ecuación 0-6 Longitud de curva cuando Dp > L

𝐿 = 2Dp −

200(√ℎ1 + √ℎ2)2 𝐴

Donde: Dp: Distancia de visibilidad de parada A: Diferencia algebraica de pendientes h1: Altura de ojo de la rasante h2: Altura de objeto sobre la rasante 4. ESTRUCTURACIÓN Y CARGAS El estudio del diseño y cálculo de estructuras en elementos y sistemas estructurales tales como edificios, puentes, muros, presas, túneles y otras obras civiles es importante en la ingeniería civil porque tiene como objetivo principal realizar estructuras seguras, resistentes y funcionales.  Fuerza Centrífuga Un camión puede incrementar o disminuir su velocidad o cambiar de dirección a lo largo de una ruta curvilínea. Todos estos eventos causan fuerzas entre el camión y la plataforma. AASHTO propone la siguiente expresión:

𝐹𝑟 = 𝐶𝑊 Donde:

4 𝑉2 𝐶= ( ) 3 𝑅𝑔 

V = Velocidad en m/s



R = Radio de la curvatura de la línea de tráfico (𝑚)



𝐹𝑟 = La fuerza aplicada en el centro de masa supuesto a una distancia de 1.8 m de la superficie de la plataforma



W = Peso del camión

 Fuerzas de Viento La velocidad del viento varía con la altura y la rugosidad del terreno que recorre. La velocidad aumenta con la altura como se muestra en la figura 2.9. El parámetro Vg es la velocidad límite de efectos independientemente de cualquier superficie, δ es el espesor de la capa y V10 es la velocidad referencial a 10m. Para puentes a alturas menores a 10m se usará la velocidad V10 (a 10 m), para alturas mayores se usará la ecuación de AASHTO para el perfil de velocidad:

𝑉𝐷𝑍 = 2.5𝑉0 (𝑉10 /𝑉𝐵 )ln(Z/𝑍0 ) La presión sobre la estructura es relacionada con la velocidad base del viento VB = 160 km/h de la siguiente manera:

𝑉𝐷 2 𝑉𝐷2 𝑃𝐷 = 𝑃𝐵 ( ) = 𝑃𝐵 𝑉𝐵 1602  Formula racional para caudales Esta fórmula es usada para la estimación del caudal asociado a determinada lluvia de diseño. Se utiliza mayormente en el diseño de obras de drenaje urbano y rural.

𝑞 =𝐹∗𝐶∗𝑖∗𝐴 Donde: q: Caudal Pico (m3/s) F: factor de conversión cuando se usa el SI. C: coeficiente de escorrentía. i: intensidad de lluvia (mm/h). A: área tributaria (km2)

 Fórmula racional para tiempo de concentración del caudal total Es el tiempo transcurrido, desde que cae una gota de agua, en el punto más alejado de la cuenca, hasta que llega a la salida de esta. 𝑡𝑐 = 3.97𝐿0.77 𝑆 −0.385 Dónde: tc: tiempo de concentración (min). L: longitud del canal desde la divisoria de aguas (km). S: pendiente del canal (m/m).  Momento flector Si el momento flector se origina como consecuencia de empotramientos en los extremos de las columnas, de modo de producir un diagrama con un punto de momento nulo aproximadamente a media altura, en las fórmulas anteriores, el coeficiente de pandeo w se hará igual a uno, cualquiera fuese la relación de esbeltez de la columna. En este caso deberá sin embargo comprobarse además que la carga axial P afectada del coeficiente de pandeo que le corresponda según su esbeltez, es menor que la que resulta de las fórmulas correspondientes a compresión centrada.

En las columnas rectangulares con carga descentrada:

5.

MECANICA DE SUELOS La mecánica de suelos es importante en la ingeniería civil, porque a través del estudio correspondiente nos da información clara de las características del suelo, su composición, y su aplicación de esa manera sabremos si el suelo es apto para una obra civil.

 Método del hidrómetro. Se toma una probeta con agua, se mete suelo, se agita hasta que sea uniforme la suspensión; luego se deja en reposo para ir midiendo, con hidrómetro (para distintos tiempos transcurridos), la densidad de la suspensión, la que disminuye a medida que las partículas se asientan. La profundidad del densímetro, variable con la densidad de la suspensión (ARQUÍMEDES), es la base para calcular esa distribución de tamaños de granos finos que pasa la malla o tamiz # 200, con f = 0,074 mm. El sistema se calcula con “La Ley de Sotkes”, donde: 𝑣 = 𝑔 ∗ 𝐷2

𝜌𝑆 − 𝜌𝐹 18𝑛 Fórmula (3.1)

Donde:     

v = velocidad en cm/seg = constante n = viscosidad en Poises = gr/cm sg g = gravedad en cm/seg2 𝜌𝑆 , 𝜌𝐹 = densidades de los sólidos y la suspensión en gr/cm3 D = diámetro de una esferita (diámetro equivalente) en cm

Siendo el diámetro equivalente: 𝐷=√

18𝑛 ∗ 𝑣 18𝑛 ∗ 𝑣 𝐻 =√ = √𝐵 ∗ 𝑣 = √𝐵 𝑔(𝜌𝑆 − 𝜌𝐹 ) 𝛾𝑆 − 𝛾𝐹 𝑡 Fórmula (3.2)

Puesto que la viscosidad n y el peso unitario del fluido (𝛾𝐹 = 𝛿𝐹 ∗ 𝑔) cambian con la temperatura T, habría de calcularse B. B = f(T, 𝛾𝑆 ). Con una velocidad v que es H sobre t (v = H /t).

El número N de partículas con f > D, usado en la curva granulométrica, se calcula con la profundidad H del centro del hidrómetro, la que dependerá de la densidad de la suspensión. La fórmula 3.1 es válida sí 0.2𝜇 ≤ 𝐷 ≤ 0.2𝑚𝑚 (sólo limos). Entonces: 𝑁=

𝐺𝑆 (𝛾𝐹 −𝛾𝑊 ) 𝑉 𝑊𝑆 (𝐺𝑆 −1)

∗ 100

(% 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 ∅ < 𝐷 = √𝐵 ∗ 𝑣)

Donde GS gravedad específica de los sólidos, V volumen de la suspensión, WS peso de los sólidos de la suspensión, 𝛾𝐹 peso unitario de la suspensión a la profundidad H, 𝛾𝑊 peso unitario del agua. Toda esta situación alude a medidas hechas sucesivamente, después de transcurrido un tiempo t, en el que, a la profundidad H, no existen partículas con diámetro equivalente mayor que D, dado que ellas se han sedimentado (en minutos, horas y días). 

El límite de retracción LR (o L. de Contracción)

Se define el límite de retracción como el máximo contenido de agua wl al cual una reducción en humedad no causa una disminución en el volumen de la masa de suelo. Para medirlo, se coloca en una cápsula el suelo húmedo (𝜔 > 𝜔𝐿 ) y se determina su peso 𝑊𝑖 y volumen 𝑉𝑖 , siendo 𝑉𝑖 también el volumen de la cápsula. Se seca el suelo en la estufa y se obtiene su peso 𝑊𝑓 y volumen 𝑉𝑓 . El problema está en obtener 𝑉𝐵 , y el cual se logra conociendo el peso del mercurio desplazado por el suelo seco, operación que es delicada; así se tiene: 𝐿𝑅 =

(𝑊𝑖 − 𝑊𝑓 ) − (𝑉𝑖 − 𝑉𝑓 ) ∗ 𝛾𝑤 ∗ 100 𝑊𝑓

Donde (𝑉𝑖 − 𝑉𝑓 ) ∗ 𝛾𝑤 es el peso del agua perdida y (𝑊𝑖 − 𝑊𝑓 ) − (𝑉𝑖 − 𝑉𝑓 ) ∗ 𝛾𝑤 es el peso del agua en la muestra, cuando está en el límite de retracción. El LR se denomina también límite de contracción del suelo. Los valores corrientes son: para arcillas 4 a 14%, para limos 15 a 0%; en las arenas no se da cambio del volumen por el secado.

6. EJEMPLOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL 

La superficie de un rectángulo de lados x, y viene dada por la función área = z = f(x,y) = x·y . El cálculo de áreas es muy aplicado a la hora de realizar los metrados de determinadas partidas.



El volumen de un paralepípedo de caras perpendiculares y de lados x, y, z es igual al resultado de la función real de tres variables f(x,y,z) = x·y·z



El capital final obtenido al invertir un capital inicial C durante t años a un interés compuesto del i% viene dado por la función de tres variables f(C, t, i) = C·(1+i/100)t



En un gas ideal encerrado en un recipiente, la presión del gas P es una función de las variables volumen V y temperatura T: P (V,T) = nRT/V, donde R es la constante universal de los gases y n el número de moles del gas.



Dados n datos numéricos reales, la media aritmética de todos ellos es la función real de variable vectorial f(x1, x2, ..., xn) = (x1 + x2 + ..., + xn)/n

III. 

CONCLUSIONES Como grupo hemos llegado a la conclusión de que la matemática es fundamental en nuestra carrera de ingeniería civil, porque nos ayuda a incrementar nuestra capacidad tanto de cálculo como de análisis.



Las funciones de varias variables están presentes en la mayoría de cursos de carrera en la ingeniería como lo son la mecánica de fluidos, estructuración, mecánica de suelos, ingeniería sísmica entre otras. Gracias a la matemática podemos desenvolvernos en estos ámbitos.



Explicamos para que se utilizaban las fórmulas y pudimos resolver el cuestionamiento que se tiene de ¿Para qué nos sirve la matemática? Gracias a la matemática, como dijimos anteriormente, podemos desarrollar las ecuaciones que se nos planteen en cualquier curso.

 Como conclusión final citamos lo siguiente, que es un resumen de la importancia de la matemática: “No debemos pensar que éste es un aprendizaje matemático, ya que la habilidad para escribir cifras no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y utilizarlos correctamente. Asimismo, la incapacidad para escribir un número no debe confundirse con la incapacidad para comprender las matemáticas.” (Castro, Rico y Castro)

IV.

REFERENCIAS

1. VILLÓN, Máximo. Diseño de estructuras hidráulicas. 2da ed. Lima: Instituto Tecnológico de Costa Rica, 2005. 2. VILLÓN, Máximo. Hidráulica de canales. 2da ed. Lima: Instituto Tecnológico de Costa Rica, 2007. 3. MOTT, Robert L. Mecánica de Fluidos, 6ta ed. Universidad de Dayton, México, 2006. 4. ALVARADO Wilder y MARTINEZ Lorena. Propuesta para la actualización del diseño geométrico de la carretera Chancos – Vicos –Wiash según criterios de seguridad y economía. Lima: Universidad Peruana de Ciencias alicadas,2017. (Consultado

el

20

de

octubre

del

2020).

Disponible

desde:

https://repositorioacademico.upc.edu.pe/bitstream/handle/10757/622668/Martinez_C L.pdf?sequence=5 5. Seminario Manrique, Ernesto (2004). “Guía para el diseño de puentes con vigas y losas (Cap. 2 pág. 31, 33 y 34) Piura, Perú: Universidad de Piura. Facultad de Ingeniería. 6. Duque Escobar, Gonzalo y Escobar Potes, Carlos Enrique (2002). “Texto para la Asignatura Mecánica de Mecánica de Suelos I” (Cap. 3 Pág. 27-28) Caldas, Colombia: Universidad Nacional sede Manizales. Facultad de ingeniería

V.

ANEXOS Presa Grand Coulee

Fuente: Recuperado de Wikipedia

Esta instalación de generación eléctrica, es un ejemplo de mecánica de fluidos y eléctrica donde se usaron algunas fórmulas como es la de presión. Puente Zárate Brazo Largo

Fuente: Recuperado de BAFILM

Este puente, es un ejemplo de una buena ejecución de estructuras, podemos decir que se usaron algunas fórmulas como las de fuerzas de viento y fuerza centrífuga.

Túnel San Gotardo (Suiza)

El tren más largo del mundo fue construido entre 1872 y 1882 con el objetivo de unir el norte y el sur de Europa. Skywalk (Estados Unidos)

El mirador del Gran Cañón en Colorado, está diseñado para soportar el peso de 800 personas juntas y vientos de hasta 160 km/h. Esta impresionante obra fue inaugurada en el 2007.