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1 Notas de clase con caracter académico 2 Funciones de varias variables 2.1 Dominio y rango Inicialmente, se define una función de dos variables independientes y al final se generaliza para n variables independientes. Definici�n 1. Sean D ⊂ R 2 e I ⊂ R dos subconjuntos no vacíos.

Si a cada par ordenado ( x; y) de números reales en D se le asigna uno y sólo un elemento z de I según una regla determinada f , se dice que sobre el conjunto D se ha definido la función f con el conjunto de valores I. Una forma de visualizar una función es mediante un diagrama, como se muestra en la figura, en donde el dominio D se representa como un subconjunto del plano ( x, y)

y

z f ( a, b )

( a, b )

f ( x, y )

( x, y )

x 0

( x0 , y0 )

f ( x0 , y0 )

Figure 1

Una función en donde x y y son variables independientes, y z es la variable dependiente, se expresa como z = f ( x, y) pero también se f

f

puede expresar como D → I o como D ⊂ R 2 → R o también f : D → I

con z = f ( x, y) o f : D ⊂ R 2 → R con z = f ( x, y) en donde D es el dominio de la función y el rango es el conjunto de valores que toma f ,

es decir { f ( x, y) : ( x, y) ∈ D } Ejemplo 1. Dada la función z = f ( x, y) = x2 − xy2 hallar su dominio

y evaluarla en los puntos (−2, −2) , (1, 2) y (−2, 1)

2 Funciones de varias variables

Solución. La función está definida para todos los valores ( x, y) , luego el dominio de la función es R 2 . Reemplazando x = −2 y y = −2 se

tiene que

f (−2, −2) = (−2)2 − (−2) (−2)2 = 12, de forma análoga

f (1, 2) = (1)2 − (1) (2)2 = −3

f (−2, 1) = (−2)2 − (−2) (1)2 = 6 Observación 1. El dominio de una función de dos variables, en general, es determinado por una región del plano. 2. Cuando la función está definida por z = f ( x; y ) y no se indica el correspondiente dominio D, se sobreentiende que el dominio viene implícito en la fórmula, y está formado por todos los pares ( x, y ) para los cuales la fórmula tiene sentido. 3. En la función z = f ( x; y ), las variables x y y son las variables independientes, y z es la variable dependiente.

Ejemplo 2. Dada la función z =

p

c2 − x2 − y2 en donde c es una

constante, hallar el dominio y hacer su gráfica.

Solución. Para que la función esté bien definida, c2 − x2 − y2 ≥ 0, o en

 forma equivalente x2 + y2 ≤ c2 , luego D = ( x, y) ∈ R 2 : x2 + y2 ≤ c2 ,

es decir, el dominio es el círculo con centro en el origen y radio c incluyendo la circunferencia frontera. La gráfica del dominio se muestra a continuación. y

x

x 2 + y2 = c 2

Figure 2

Funciones de varias variables y sus derivadas 3

Ejemplo 3. Hallar el dominio de f ( x, y) = √ x

x − y2

Solución. La función está bién definida si x − y2 > 0 o en forma

( x, y) ∈ R2 : x > y2 la cual es la región del plano situada en el interior de la parábola x = y2 excluida la parábola fron-

equivalente D =



tera. La gráfica del dominio se da a continuación.

y x=

y2

x

Figure 3

Ejemplo 4. Dada la función f ( x, y) =

dominio y graficarlo en el plano xy Solución. El dominio es D =

n

q

1 − ( x + y)2 , determinar el

( x, y) ∈ R2 : 1 − ( x + y)2 ≥ 0

o

luego

(1 − ( x + y)) (1 + ( x + y)) ≥ 0 y así el dominio de la función está entre las rectas 1 − x = y y y = −1 − x incluyendolas. y y = 1−x y = −1 − x

x

Figure 4

Ejemplo 5. Hallar el dominio de f ( x, y) = ln xy Solución. El dominio está dado por D =



( x, y) ∈ R2 : xy > 0 , es

decir, es la región del plano xy formada por el primer y el tercer cuadrante, excluidos los ejes de coordenadas. La gráfica se da a continuación.

4 Funciones de varias variables

y

x

Figure 5

Ejemplo 6. Hallar el dominio de la función f ( x, y) = sin

−1



x y2



Solución. La función está definida si −1 ≤ yx2 ≤ 1, y y 6= 0 luego  D = ( x, y) ∈ R2 : y 6= 0 y − y2 ≤ x ≤ y2 , es decir, la región de R2

comprendida entre las parábolas x = y2 y x = −y2 , incluidas ambas parábolas y excluido el punto O (0, 0) Gráficamente

y x = −y2

x = y2

x

Figure 6

Los conceptos dados anteriormente se generalizan para funciones de más de dos variables independientes, como se muestra a continuación. Ejemplo 7. Determinar y graficar el dominio de

z = f ( x, y) =

q

16 − x2 − 4y2 + ln(y2 + 2x − 4)

Definici�n 2. Sean D ⊂ R n e I ⊂ R dos subconjuntos no vacíos. Si a cada n-tupla ( x1 , x2 , . . . , xn ) de números reales en D se le asigna

Funciones de varias variables y sus derivadas 5

uno y sólo un elemento z de I según una regla determinada f , se dice que sobre el conjunto D se ha definido la función f con el conjunto de valores I. Ejemplo 8. Dada la función w = f ( x, y, z) = xy2 z + 3xyz2 + 3z, hallar

f (−1, −1, −2) , f (0, 0, 0) y f (−1, 0, 1) y determinar el dominio de la

función.

Solución. Reemplazando x = −1, y = −1 y z = −2 se obtiene

f (−1, −1, −2) = (−1) (−1)2 (−2) + 3 (−1) (−1) (−2)2 + 3 (−2) = 8 y de forma similar f (0, 0, 0) = 0, f (−1, 0, 1) = 3

( x, y, z) ∈ R3 : x ∈ R, y ∈ R y z ∈ R p Ejemplo 9. Dada la función w = f ( x, y, z) = 1 − x2 + y2 + z2 , de-

El dominio es D =



terminar su dominio.

Solución. El dominio es D = Ejercicios 1.



( x, y, z) ∈ R3 : 1 − x2 + y2 + z2 ≥ 0



Calcular los valores de la función y 1. f ( x, y) = x2 y + x + yx ; f (1, 2) , f (2, −3)

2. g ( x, y) = ( x + y) e xy ; g (1, 0) , g (1, 1) ln(r + s )

3. F (r, s) = r +2s ; F (1, 0) Determinar el dominio de f y dibujarlo como una región de R 2 4. f ( x, y) = x2 +1y2 −1 5. f ( x, y) = 6. f ( x, y) =

√



( x, y) : x2 + y2 6= 1

x + y +1 x −1

Solución: D =

x2 − y

7. f ( x, y) = ln(ex +y)

1 16− x2 −4y2

9. f ( x, y) = x ln y2 − x

p

8. f ( x, y) = √

Solución: D =

xy



( x, y) : x < y2








6 Funciones de varias variables

10. f ( x, y) = ln 4x + 4y2 − 3 x 4 − y4

11. f ( x, y) = x2 −y2

2.2




Solución: D = {( x, y) : x 6= ±y}

Gráfica de funciones de varias variables

A continuación se define la gráfica de una función de dos variables independientes.

Definici�n 3. Sea z = f ( x, y) una función de dos variables independientes, la representación geométrica de f es, en general, una superficie del espacio determinada por

G=



f ( x, y, z) ∈ R3 : z = f ( x, y); ( x, y) ∈ D



o de forma equivalente G = { f ( x, y, f ( x, y))} Los ejemplos que se dan a continuación, en un sistema coordenado cartesiano de mano derecha, de funciones de dos variables independientes tienen como objetivo familiarizarse con algunos objetos geométricos en el espacio.

Ejemplo 10. Representar los puntos: (1, 2, 2) , (1, −1, 3) , en un sis-

tema coordenado rectangular y los puntos (0, 0, 0) , (−1, −2, 0) y (1, 3, −1) en otra gráfica.

Solución. Los dos primeros puntos se representan en la figura 7 y los otros tres puntos en la figura 8.

Funciones de varias variables y sus derivadas 7

b

z

z b

b b

x

y

y

x

b

Figure 7

Figure 8

Ejemplo 11. Graficar, en el espacio, la función x = y Solución. A z se le puede asignar cualquier valor independiente de los valores que se le den a x y a y, en particular, los puntos (1, 1, 0) ,

(1, 1, 1) , (−1, −1, 3) y ( x, x, z) para cualquier valor de z son puntos de

la gráfica.

Ahora, si z = 0, x = y es una recta en el plano xy; Si z = 1, x = y es una recta en el plano paralelo a una unidad por encima del plano xy y así sucesivamente. La gráfica de la función es el conjunto de todos los puntos sobre las rectas verticales que pasan por la recta x = y, y la figura 9 es la porción de la gráfica que se encuentra en el primer octante es decir cuando x, y y z son positivos.

z

x

y Figure 9

8 Funciones de varias variables

Observación Si a, b, c y d son constantes, la gráfica de ax + by + cz + d = 0 es un plano

Ejemplo 12. Dibujar la gráfica de f ( x, y) = 6 − 3x − 2y Solución. Por la observación anterior, la gráfica es un plano. Si x = 0 y y = 0, el intercepto con el eje z es 6. Si x = z = 0 el intercepto con el eje y es 3 y con y = z = 0 se tiene que el intercepto con el eje x es 2 Para las trazas, si z = 0, 6 − 3x − 2y = 0 es una recta en el plano xy,

si x = 0, z = 6 − 2y es una recta en el plano yz y si y = 0 z = 6 − 3x es una recta en el plano xz.

La gráfica realizada en Mathematica se muestra a la izquierda, y a la derecha se ilustra la porción que está en el primer octante. z (0, 0, 6)

-2 -1 0 1 2 15 10 5 0

(0, 3, 0)

y

-2 -1 0 1

(2, 0, 0) 2

x

Figure 10

Figure 11

Observación El conjunto de todos los puntos del espacio a una distancia constante r de de un punto fijo ( x0 , y0 , z0 ) es una esfera con ecuación

( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 )2 = r 2 Ejemplo 13. Graficar x2 + y2 + z2 + 4x − 6y − 2z + 13 = 0 Solución. x2 + 4x + y2 − 6y + z2 − 2z + 13 = 0 luego













x2 + 4x + 4 + y2 − 6y + 9 + z2 − 2z + 1 − 1 = 0

Funciones de varias variables y sus derivadas 9

y así ( x + 2)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = 1 La gráfica es una esfera con centro en (−2, 3, 1) y radio 1 como se muestra en la figura 12.

z

×

x y Figure 12

Ejemplo 14. Graficar z =

p

9 − x 2 − y2

Solución. x2 + y2 + z2 = 9 es la ecuación de una esfera con centro

p

9 − x2 − y2 es la semiesfera que está por encima del plano xy. Si z = 0, x2 + y2 = 9 es la ecuación de una circunferencia con centro en (0, 0) y radio 3, y así la traza de la figura en xy es una circinferencia, para las trazas en planos paralelos al plano xy se hace z = k, k constante.

en (0, 0, 0) y radio 3, z =

x2 + y2 = 9 − k2 es la ecuación de una circunferencia con centro en √ el origen y radio 9 − k2 siempre que 9 − k2 ≥ 0 y así el rango de la función es z ∈ [0, 3] . Las trazas en los planos xz y yz son semicircunferencias y en planos paralelos a estos también se obtienen semicircunferencias. 1

0 -2

2

-1

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0 2

1

0 -1

Figure 13

-2

10 Funciones de varias variables

La gráfica de polinomios de segundo grado de la forma

a1 x2 + a2 y2 + a3 z2 + a4 xy + a5 xz + a6 yz + a7 x + a8 y + a9 z + a10 = 0, en donde los ai son constantes, se denominan superficies cuadráticas y algunos casos particulares son: x2 a21

+

y2 a22

+

z2 a23

= 1 son elipsoides, a21 z2 = x2 + y2 es un cono recto doble

2 2 y2 y2 circular, z2 = xa2 + a2 es un cono elíptico, z = xa2 + a2 se denomina 2 2 1 1

y2

2

2

paraboloide elíptico, la gráfica de las expresiones xa2 + a2 − za2 = 1 ó 2 3 1 2

− xa2 + 1

y2 a22

+

z2 a23

= 1ó

x2 a21

−

y2

x2

y2 a22

+

z2 a23

= 1 se llama hiperboloide de una

z2

2

y2

2

hoja y la gráfica de a2 − a2 − a2 = 1 ó − xa2 + a2 − za2 = 1 ó la ecuación 2 3 2 3 1 1 2

− xa2 − 1

y2 a22

z2 a23

+

= 1 se llama hiperboloide de dos hojas.

Ejemplo 15. Realizar la gráfica de z2 = 16 − 4x2 − 16y2 2 z2 Solución. x4 + y2 + 16 = 1 es la gráfica de un elipsoide. 2

Si z = 0, x4 + y2 = 1, y así la traza en el plano xy es una elipse. 2

2

z + x4 = 1, y así la traza en el plano xz es una elipse Si y = 0, 16 2

z Si x = 0, 16 + y2 = 1, y así la traza en el plano xz es una elipse. La gráfica se muestra a continuación.

4 2 0 -2 -4 2

-2 1

-1 0

0 1

-1 2 -2

Figure 14

Ejemplo 16. Dibujar la gráfica de la función f ( x, y) = 4x2 + y2

Funciones de varias variables y sus derivadas 11

Solución. La expresión es un paraboloide elíptico. Las gráficas sobre planos paralelos al eje z son elipses y sobre planos paralelos al eje y al igual que sobre planos paralelos al eje x son parábolas. La gráfica se muestra a continuación -2

-1

0

1

2 20 15 10 5 0 -2

-1

0 1 2

Figure 15

Ejemplo 17. Dibujar la gráfica de f ( x, y) =

p

x 2 + y2

Solución. En planos paralelos al eje z ≥ 0 se obtienen circunferen-

cias; en los planos xz y yz se tienen rectas. La gráfica se muestra a continuación. 2 0

1

1

2

0

-1

-1

-2

-2

2

2 1

1

0 -2 -1

0 1

0

2

-2

-1

0

1

2

Figure 16

Ejemplo 18. Gráficar z = y2 − x2 Solución. La gráfica de la función se conoce como paraboloide hiperbólico o silla de montar. En los planos xz y yz se obtienen parábolas, y en planos paralelos al eje z se obtienen hipérbolas.

12 Funciones de varias variables

2

1

0

-1

-2 -2

-1

0

1

2

Figure 17

Observación Matlab, Mupad, Mapple, Mathematica, entre otros, son software que realizan gráficas en el espacio.

Ejercicios 2. Graficar las siguientes funciones 1. x2 + y2 + z2 = 5 2. x2 + y2 − 2x + z = 0 3. z = − x2 4

p

y2 9

16 −

+ z2

x2

− y2

+ =1 2 2 5. 12x + 2y + 3z2 = 12 6. z = x2 + 4y2 7. f ( x, y) = x2 + 4y2 8. f ( x, y) = 4 − 2x − 2y 9. f ( x, y) = x2 + y2 p 10. f ( x, y) = 4x2 + y2 11. f ( x, y) = x2 − y2 12. f ( x, y) = x2 − y2 + 1

4.

Solución: es una esfera Solución: es una semiesfera Solución: es una elipsoide Solución: es una elipsoide Solución: es un paraboloide elíptico

Funciones de varias variables y sus derivadas 13

2.3 Superficies de nivel A continuación se da la definición para superficies de nivel.

Definici�n 4. Sea f ( x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn ) una función de n variables independientes, las superficies de nivel están determinadas por la ecuación f ( x1 , x2 , . . . , xn ) = k donde k es una constante en el rango de la función. Si la función es de dos variables independientes las superficies de nivel toman el nombre de curvas de nivel.

p

Ejemplo 19. Determinar las curvas de nivel de z =

x 2 + y2

Solución. Si z = k es constante y elevando al cuadrado se obtiene

x2 + y2 = k2 y asignando diferentes valores a k 6= 0 se obtienen circunferencias con centro en el origen de coordenadas y radio k En los siguientes ejemplos, las gráficas son realizadas en Mathematica: a la izquierda se observa la gráfica de z = x2 + y2 ; a la derecha se aprecian las superficies de nivel en tres dimensiones, y al centro, las superficies de nivel bidimensionales. Ejemplo 20. Hallar las curvas de nivel de z = x2 + y2 Solución. Suponiendo z = k constante, la ecuación x2 + y2 = k (k ≥ 0)

para diferentes valores de k son circunferencias concéntricas con centro en el origen de coordenadas y radio

√

k. 2 1

2

1

0

0

-1

-2

-1

20

-2

15

20

10

15

5

10 5

0 4

0

2 0

4

-2

2

-4

0 -2 -4

14 Funciones de varias variables

2

1

0

-1

-2 -2

-1

0

1

2

Figure 18

Ejemplo 21. Hallar las curvas de nivel de f ( x, y) = 4x2 + y2 Solución. Suponiendo k constante, se tiene k = 4x2 + y2 las cuales son elipses como se muestra en la figura 2 2

1 1

0

0

-1

-1 -2

-2 20

20 15

15

10

10

5

5

0

0

2

2

1

1

0

0 -1

-1

-2

-2

2

1

0

-1

-2 -2

-1

0

1

2

Figure 19

Ejemplo 22. Hallar las curvas de nivel de la función f ( x, y) = x + y2 Solución. Suponiendo k constante, se tiene k = x + y2 las cuales son parábolas con su intersección con el eje x en k como se muestra en la figura

0

1 2

-1 -2 6

6 4

4 2 2

2

1

0 0

-2 0

-2 2

1

0

-2 -1

-2

-1 0

-1 1 2

-2

Funciones de varias variables y sus derivadas 15

2

1

0

-1

-2 -2

-1

0

1

2

Figure 20

Ejemplo 23. Hallar las curvas de nivel de la función f ( x, y) = ey Solución. La superficie y las curvas de nivel se muestran a continuación 2 2

1 1

0

0

-1

-1

-2 50

-2 50

40

40

30

30 20

20

10 10

4.0 4.0

3.5

3.5 3.0

3.0 2.5

2.5

2.0

2.0

4.0

3.5

3.0

2.5

2.0 -2

-1

0

1

2

Figure 21

Ejemplo 24. Describir las curvas de nivel de f ( x, y, z) = x2 + y2 + z2 Solución. Para determinar la familia de curvas de nivel se supone que f ( x, y, z) = k, k constante y así, para diferentes valores de k,

x2 + y2 + z2 = k son esferas con centro en el origen de coordenadas y √ radio k Ejercicios 3. Trazar la curva de nivel indicada f ( x, y) = C para cada opción de la constante C 1. f ( x, y) = x + 2y; C = 1, C = 2, C = −3

16 Funciones de varias variables

2. f ( x, y) = x2 + y2 ; C = 1, C = 4, C = 5 3. f ( x, y) = 4x2 + y2 ; C = 4 4. f ( x, y) = yx ; C = −2, C = 2 5. f ( x, y) = xey ; C = 1, C = e 6. f ( x, y) = ln x2 + y2 ; C = 4, C = ln 4




Trazar la curva de nivel para tres valores de C en el rango de la función

√

x + y; p 8. f ( x, y) = x 2 + y2 ; 7. f ( x, y) =

Solución: ver ejemplo 19

9. f ( x, y) = y − cos x

10. f ( x, y) = e xy Describa las curvas de nivel de la función 11. z =

p

9 − x 2 − y2

Solución: ver ejemplo 14

12. x2 + y2 + z2 = 1 13. z = y2 − x2

Solución: ver ejemplo 18

14. z2 = 16 − 4x2 − 16y2

Solución: ver ejemplo 15

15. 2x + 4y + 6z = 12 Describa las superficies de nivel de la función 16. f ( x, y, z) = x + 2y + 5z

Solución: Familia de planos paralelos

2 17. f ( x, y, z) = x2 + (y − 1) + z2

18. f ( x, y) = x2 + 3y2 + 5z2 19. f ( x, y) = x2 − y2 + z2

Solución: Familia de esferas

Funciones de varias variables y sus derivadas 17

Solución: Hiperboloides con el eje en el eje y

2.4 Aplicaciones I 2.5 Aplicaciones II Ejemplo 25. La producción semanal de una fábrica está dada por

z = f ( x, y) = xy2 donde x es el número de trabajadores calificados y y es el número de trabajadores no calificados. En la actualidad hay 50 trabajadores calificados y 300 no calificados ¿Cuántas unidades se producen a la semana? Solución. Las unidades que se producen actualmente a la semana 2

son f (50, 300) = (50) (300) = 4 500 000 Ejemplo 26. Suponga que en cierta fábrica, la producción está dada 1

2

por la función de producción Cobb–Douglas Q (K, L) = 60K 3 L 3 unidades, donde K es la inversión de capital medida en unidades de $1 000 y L es el tamaño de la fuerza laboral, medida en horas-trabajador. Calcular la producción si la inversión de capital es de $512 000 y se usa una fuerza laboral de 1 000 horas trabajador. 1

2

Solución. Se halla Q (512, 1 000) = 60 (512) 3 (1 000) 3 = 48 000 la producción es de 48 000 unidades. Ejemplo 27. Si la función de producción Q está dada por la función

de producción Cobb-Douglas Q (K, L) = AK 1−α Lα , donde A y α son constantes positivas y 0 < α < 1 1. Demostrar que si se multiplica a K y a L por el mismo número positivo m, entonces Q también estará multiplicada por m. 2. Con base en 1, calcular la producción del ejemplo 26 si el capital y la fuerza laboral se reducen a la mitad y si ambos se duplican. Solución

18 Funciones de varias variables

1. Se tiene que

Q (mK, mL) = A (mK )1−α (mL)α = AmK 1−α Lα = mQ (K, L) y de esta forma si se multiplican K y L por la misma constante, entonces la producción se multiplicará por la misma constante. 2. Del resultado anterior Q (512, 1000) = 48 000. Si K y L se reducen a la mitad Q (256, 500) = 24 000 y si se duplican

Q (1 024, 2 000) = 96 000 Ejemplo 28. Un fabricante puede producir un producto a un costo

de $50 cada uno, así como un segundo producto a un costo de $55 cada uno 1. Expresar el costo total de producción mensual del fabricante como una función del número de los productos producidos. 2. Calcular el costo si se producen 600 unidades del primer producto y 500 unidades del segundo producto. Solución 1. Si C ( x, y) determina la función de costo mensual, entonces

C ( x, y) = 50x + 55y en donde x es la cantidad producida del primer producto y y la del segundo. 2. Se tiene C (600, 500) = 50 (600) + 55 (500) = 57 500, luego el costo de producir 600 unidades del primer artículo y 500 unidades del segundo artículo es de $57 500 Ejemplo 29. Una tienda de pinturas vende dos marcas. El compor-

tamiento de las ventas indica que si la primera marca se vende en x1 dólares por galón y la segunda en x2 dólares por galón, la demanda de la primera marca será D1 ( x1 , x2 ) = 200 − 10x1 + 20x2 galones por mes y la demanda de la segunda marca será D2 ( x1 , x2 ) = 100 + 5x1 − 10x2 galones por mes. Expresar el ingreso total mensual de la tienda de

pinturas por la venta de la pintura como función de los precios de x1 y

x2 . Calcular el ingreso del inciso anterior si la primera marca se vende en $6 por galón y la segunda en $5 por galón.

Funciones de varias variables y sus derivadas 19

Solución. Si I denota el ingreso total mensual, entonces

I ( x1 , x2 ) = (200 − 10x1 + 20x2 ) ( x1 ) + (100 + 5x1 − 10x2 ) ( x2 )

= 200x1 + 100x2 + 25x1 x2 − 10x12 − 10x22

Ahora,

I (6, 5) = 200 (6) + 100 (5) + 25 (6) (5) − 10 ( 6)2 − 10 (5)2

I (6, 5) = 1 840

Si la primera marca se vende en $6 por galón y la segunda en $5 por galón el ingreso es de $1 840. Las curvas de indiferencia son un conjunto de combinaciones de bienes que proporcionan utilidad constante. En una función de utilidad las curvas de indiferencia no son otra cosa que las curvas de nivel y se caracterizan por tener pendiente negativa. 1

1

Ejemplo 30. Si la función U ( x, y) = 3x 2 y 2 determina la utilidad

obtenida por un consumidor por x unidades de una mercancía, así como y unidades de una segunda mercancía, y si el consumidor posee actualmente 25 unidades de la primera mercancía y 36 unidades de la segunda, encontrar el nivel actual de utilidad del consumidor y trazar la correspondiente curva de indiferencia. Solución. El nivel actual del consumidor está dado por 1

1

U (25, 36) = 3 (25) 2 (36) 2 = 90 1

1

la curva de indiferencia está caracterizada por 90 = 3x 2 y 2 o en forma equivalente 900 = xy cuya gráfica en el primer cuadrante es

20 Funciones de varias variables y 300 250 200 150 100 50

x 2.5

5.0

7.5

10.0

Figure 22

Una isocuanta es el conjunto de las combinaciones de dos factores variables que producen una determinada cantidad de bienes y la pendiente de las isocuantas se denomina relación marginal de sustitución como se verá posteriormente. Ejemplo 31. La función de producción, para un artículo determinado 1

2

está dada por f ( x, y) = 4x 3 y 3 , donde x y y son las cantidades de dos insumos. Dibujar un mapa de contornos de f que muestre las curvas de producción constantes. 1

2

Solución. Si k = 4x 3 y 3 , para k tomando valores enteros entre 1 y 16 se obtiene la siguiente gráfica 15

10

5

0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figure 23

Ejercicios 4. 1. Con el empleo de x trabajadores calificados y y no calificados, un fabricante puede producir Q ( x, y) = 3x + 2y unidades por día. Actualmente la fuerza laboral está formada por 10 trabajadores califica-

Funciones de varias variables y sus derivadas 21

dos y 20 trabajadores no calificados. (a) Calcular la producción diaria actual. (b) En un sistema bidimensional de coordenadas, trazar una curva de producción constante que corresponda al actual nivel de producción. 2. Si la utilidad obtenida por un consumidor por x unidades de una mercancía, así como y unidades de una segunda mercancía, está dada por la función de utilidad

U ( x, y) = 2x3 y2 El consumidor posee actualmente x = 5 unidades de la primera mercancía y y = 4 unidades de la segunda. Encontrar el nivel actual de utilidad del consumidor y trazar la correspondiente curva de indiferencia. 3. Si la utilidad obtenida por un consumidor por x unidades de una mercancía, así como y unidades de una segunda mercancía, está dada por la función de utilidad

U ( x, y) = ( x + 10) (y + 20) El consumidor posee actualmente x = 25 unidades de la primera mercancía y y = 8 unidades de la segunda. Encontrar el nivel actual de utilidad del consumidor y trazar la correspondiente curva de indiferencia. 4. Si la función de producción Q está dada por la función de producción de Cobb–Douglas Q (K, L) = AK 1−α L α , donde A y α son constantes positivas y 0 < α < 1, demostrar que si K y L se triplican ambas, entonces la producción Q también se triplicará.

2.6 Límites y continuidad En esta sección el lector debe conocer las propiedades de los límites de una variable. A continuación se define el límite para una función de dos variables independientes

22 Funciones de varias variables

Definici�n 5. Sea z = f ( x, y) una función definida en un entorno del punto P ( x0 , y0 ) excepto, quizá, en el propio punto P. El número L es el límite de f en el punto P ( x0 , y0 ) si para cualquier número ε > 0 existe un número δ > 0 tal que para todos los puntos Q( x, y) del entorno de P y diferentes de P se tiene que | f ( x, y) < l | < ε siempre que 0 < d( Q, P ) < δ y el límite se escribe como

lim ( x,y)→( x0 ,y0 )

f ( x, y) = l

Observación La distancia entre dos puntos en el plano está dada por

d( Q, P) =

q

( x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2

Cuando no hay indeterminación o sí hay indeterminación y esta se puede eliminar factorizando el cálculo del límite no tiene complicaciones como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 32. Hallar los siguientes límites

lim ( x,y)→(0,0)

( x − y)

Solución. Para el primer límite,

y

lim ( x,y)→(0,0)

lim ( x,y)→(0,0)

x 2 − y2 x+y

( x − y) = (0 − 0) = 0, y

para el segundo límite si se reemplaza se obtiene una indeterminación de la forma 00 , ahora

lim ( x,y)→(0,0)

x 2 − y2 = x+y

( x − y) ( x + y) = lim ( x − y) x+y ( x,y)→(0,0) ( x,y)→(0,0) lim

el cual da el mismo resultado que el límite anterior. Ejemplo 33. Hallar

x2 − 2xy − 3y2 ( x,y)→(0,0) 3x + 3y + xy + x2 lim

Solución. Al reemplazar los valores se obtiene una indeterminación

Funciones de varias variables y sus derivadas 23

de la forma 00 , ahora




x2 − 2xy − 3y2 = ( x,y)→(0,0) 3x + 3y + xy + x2 lim

Ejemplo 34. Hallar

( x + y) ( x − 3y) ( x,y)→(0,0) ( x + y) (3 + x ) ( x − 3y) = lim ( x,y)→(0,0) (3 + x ) 0 = 3 =0 lim

x2 − 4xy + 3y2 ( x,y)→(1,1) 3x − 3y − xy + x2 lim

Solución. Para calcular el límite

x2 − 4xy + 3y2 ( x,y)→(1,1) 3x − 3y − xy + x2 ( x − y) ( x − 3y) = lim ( x,y)→(1,1) ( x − y) (3 + x ) 1−3 = 3+1 1 =− 2

x2 − 4xy + 3y2 = ( x,y)→(1,1) 3x − 3y − xy + x2 lim

lim

Si no se puede eliminar la indeterminación, se debe utilizar la definición o utilizar trayectorias tenieno en cuenta que si se calculan los límites por dos trayectorias diferentes y estos dos límites son distintos, entonces la función no tiene límite, pero si son iguales o alguno de ellos no existe, entonces no se puede asegurar nada sobre el límite de la función. Ejemplo 35. Hallar, si existe, el límite

lim ( x,y)→(0,0)

x 4 − y4 x 4 + y4

Solución. Si se reemplaza x = 0 y y = 0 se obtiene una indeterminación de la forma

0 0




. Si se hace una aproximación al punto (0, 0)

por el eje x, se tiene que

lim

x →0 y =0

x4 =1 x4

24 Funciones de varias variables

y aproximándose a (0, 0) por el eje y,

− y4 = −1 y → 0 y4 lim x =0

por tanto, el límite no existe. Ejemplo 36. Calcular, si existe, el valor del límite

lim

x2 y + y2

( x,y)→(0,0) x4

Solución. Al aproximarse al punto (0, 0) mediante las parábolas

y = mx2 , resulta
x2 mx2 x2 y mx4 lim = lim = lim y →0 ( 1 + m 2 ) x 4 y→0 x4 + ( mx2 )2 ( x,y)→(0,0) x4 + y2 2 2 y = mx

y = mx

m = f (m) = lim y →0 ( 1 + m 2 ) y = mx2

por tanto el límite no existe. Ejemplo 37. Calcular, si existe, el valor del límite

y + ex − 1 y+x ( x,y)→(0,0) lim

Solución. Al aproximarse al punto (0, 0) mediante rectas y = mx se obtiene que la forma

0 0




y + ex − 1 mx + ex − 1 = lim el cual es de x →0 y+x mx + x ( x,y)→(0,0) y = mx lim

y al ser una función de una variable se puede aplicar

L’Hopital, con lo cual

m + ex m+1 mx + ex − 1 = lim = =1 x →0 m + 1 x →0 mx + x m +1 y = mx y = mx lim

pero esto no permite afirmar que dicho límite existe. Si la aproximación se hace al punto (0, 0) mediante la parábola y = x2 − x, en-

tonces

x2 − x + e x − 1 x2 − x + e x − 1 y + ex − 1 = lim = lim x →0 x →0 y+x x2 − x + x x2 ( x,y)→(0,0) 2 2 lim

y=x −x

y=x −x

Funciones de varias variables y sus derivadas 25

el cual es de la forma 00 y al aplicar L’Hopital

lim

x →0

y = x2 − x




2 + ex 2x − 1 + ex x2 − x + e x − 1 3 = lim = = lim 2 x →0 x →0 x 2x 2 2 2 2 y=x −x

y=x −x

con lo cual se puede afirmar que el límite no existe. Se utiliza la parábola y = x2 − x por la siguiente razón, al aproxi-

marse a (0, 0) mediante la curva y = g ( x ) y al aplicar sucesivamente L’Hopital y buscando que resulte

g ( x) + ex − 1 g′ ( x ) + e x g′′ ( x) + ex = lim ′ = lim 6= 1 x →0 x →0 g ( x ) + 1 x →0 g ( x) + x g′′ ( x) lim

entonces se tiene que g (0) = 0, g′ (0) = −1 y g′′ (0) 6= 0, lo que se consigue con g′′ ( x ) = 1, g′ ( x ) = x − 1 y g ( x ) = x2 − x

A continuación se da la definición de continuidad para una función de dos variables independientes, la cual se puede extender a una función de n variables independientes. Definici�n 6. Sea z = f ( x, y) una función de dos variables independientes continua en una región que contiene al punto ( a, b), f ( x, y) es continua en ( a, b) si

lim ( x,y)→( a,b )

f ( x, y) = f ( a, b)

De la definición anterior, una función es continua en un punto si el valor que toma la función en el punto coincide con el límite en dicho punto. Ejemplo 38. Analizar la continuidad de f ( x, y) = x2 y + 3xy2 + xy + 1 Solución. Sea ( a, b) ∈ R 2 , entonces

lim ( x,y)→( a,b )

f ( x, y) = a2 b + 3ab2 + ab + 1 = f ( a, b)

por tanto, la función es continua en todo el plano xy Ejemplo 39. Analizar la continuidad de f ( x, y) =

x 4 − y4 x 2 + y2

26 Funciones de varias variables

Solución. La función es continua para ( a, b) 6= (0, 0) ya que

lim ( x,y)→( a,b )

x 4 − y4 = x 2 + y2

lim ( x,y)→( a,b )


x2 − y2 = a2 − b2 = f ( a, b)

y como la función no está definida en (0, 0) es discontinua en este punto. Ejemplo 40. Analizar la continuidad de

f ( x, y) =

(

x 4 − y4 x 2 + y2

0

si ( x, y) 6= (0, 0)

si ( x, y) = (0, 0)

Solución. Del ejemplo 39

lim ( x,y)→(0,0)

x 4 − y4 = x 2 + y2

lim ( x,y)→(0,0)


x2 − y2 = 0 = f (0, 0)

por tanto, la función es continua en todo punto. Ejemplo 41. Analizar la continuidad de

f ( x, y) =

(

x2 y x 4 + y2

0

si ( x, y) 6= (0, 0)

si ( x, y) = (0, 0)

Solución. f ( x, y) está definida en (0, 0) , pero es discontinua en (0, 0) ya que del ejemplo 36

x2 y 4 + y2 x ( x,y)→(0,0)

lim

no existe.

Ejemplo 42. Determinar la continuidad de f ( x, y) = p

1 x2

+ y2 − 1

Solución. El dominio de la función está determinado por

 D = ( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 1 > 0

Los cuales son puntos de la región exterior a la circunferencia

x2 + y2 = 1 y la función es continua en todos estos puntos. Ejercicios 5. Encontrar el límite, si éste existe, o muestre que el límite no existe

Funciones de varias variables y sus derivadas 27

1. 2. 3. 4. 5.

x2 +2xy+3y2 x 2 + y2 ( x,y)→(2,1)

Solución: 11 5

lim

lim ( x,y)→(−1,2)

lim ( x,y)→(0,1)

q

4x2 +3xy+ y2 x + y2

e y cos x x+y

Solución: e

x 4 − y4 2 2 x ( x,y)→(0,0) − y

lim

lim ( x,y)→(1,1)

y − x 2 y2 + x 2 y3 − 1 y −1

6.

3x2 +3y2 + xy3 + x3 y x 2 + y2 ( x,y)→(0,0)

7.

x3 + x2 y−2xy2 3 + xy2 −3x 2 y − y3 3x ( x,y)→(2,2)

Solución: 2

lim

Solución: 3

lim

Mostrar que el límite no existe y lim 2 2 ( x,y)→(0,0) x + y

8.

2xy lim 2 2 ( x,y)→(0,0) x +2y

8.

9.

x2 2 + y2 x ( x,y)→(0,0)

10.

y2 2 + y2 x ( x,y)→(0,0)

12.

x2 y 4 + y2 x ( x,y)→(0,0)

11. 13.

lim

x 2 y2 4 4 x ( x,y)→(0,0) + y

lim

lim ( x,y)→(0,0)

lim

lim

x 4 y4 3 ( x 4 + y2 )

Determinar los puntos en donde la función es continua 14. f ( x, y) = 4x3 y5 + 3xy + 5 16. f ( x, y) =

(

x 2 − y2 x+y

18. f ( x, y) =

(

xy2 x 2 + y4

3

0

si x + y 6= 0 si x + y = 0

si ( x, y) 6= (0, 0) si ( x, y) = (0, 0)

xy

15. f ( x, y) = x −1 17. f ( x, y) =

(

x 2 − y2 x−y

si x 6= y

x − y si x = y

28 Derivadas de funciones de varias variables

19. f ( x, y) =

(

x2 y x 2 + y2

0

si ( x, y) 6= (0, 0)

si ( x, y) = (0, 0)

Solución: Como la función es racional, es continua para ( x, y) 6= (0, 0) ,   además1

lim

( x,y)→(0,0)

y

x2 x 2 + y2

= 0 (acotada) = 0 = f (0, 0) luego f es

continua en (0, 0) , por tanto f es continua en R 2 .

3

Derivadas de funciones de varias variables

3.1

Derivadas parciales, diferencial total y regla de la cadena

Derivadas parciales de primer orden Se llama derivada parcial de una función z = f ( x, y) con respecto a la variable independiente x al siguiente límite, si existe y es finito

f ( x + h, y) − f ( x, y) ∂z = lim ∂x h h →0 Se llama derivada parcial de una función z = f ( x, y) con respecto a la variable independiente y al siguiente límite, si existe y es finito

∂z f ( x, y + h) − f ( x, y) = lim ∂y h h →0 Existen muchas notaciones alternativas para las derivadas parciales,

∂z ∂f ∂ = f x ( x, y) = f x = = f ( x, y) = f1 = D1 f = Dx f ∂x ∂x ∂x ∂f ∂ ∂z = f y ( x, y) = f y = = f ( x, y) = f2 = D2 f = Dy f ∂y ∂y ∂y Para calcular las derivads parciales, todo lo que se tiene que hacer es recordar que la derivada parcial con respecto a x no es más que la derivada ordinaria de la función fijando la variable y. En consecuencia: 1

Si una función tiene límite cero en un punto y otra está acotada en los alrededores

del punto, entonces su producto también tiene límite cero en dicho punto.

Funciones de varias variables y sus derivadas 29

1. Para calcular f x , se considera a y como una constante y se deriva

f ( x, y) con respecto a x. 2. Para calcular f y , se considera a x como una constante y se deriva f ( x, y) con respecto a y. Ejemplo 43. Hallar, aplicando la definición, las derivadas parciales

de la función f ( x, y) = x2 y3 Solución. Considerando a y como una constante, se tiene

∂f f ( x + h, y) − f ( x, y) = lim ∂x h h →0 2 3
( x + h ) y − x 2 y3 = lim 2xy3 + hy3 = 2xy3 = lim h h →0 h →0

Considerando a x como una constante, se tiene

∂f f ( x, y + h) − f ( x, y) x 2 ( y + h ) 3 − x 2 y3 = lim = lim ∂y h h h →0 h →0
= lim 3x2 y2 + 3x2 yh + x2 h2 = 3x2 y2 h →0

∂z Ejemplo 44. Dada la función z = x2 y3 + xy2 + 3x + 2y + 5, hallar ∂x y ∂z ∂y

Solución. Considerendo a y como una constante

∂z = 2xy3 + y2 + 3 ∂x Considerendo a x como una constante

∂z = 3x2 y2 + 2xy + 2 ∂y
Ejemplo 45. Dada f ( x, y) = x2 + y3 e− xy , encontrar las primeras

derivadas parciales.

Solución. Es la derivada de un producto, luego

 

∂f = x2 + y3 −ye− xy + (2x) e− xy = − x2 y − y4 + 2x e− xy ∂x

30 Derivadas de funciones de varias variables

y





∂f = x2 + y3 − xe− xy + 3y2 e− xy = − x3 − xy3 + 3y2 e− xy ∂y   x Ejemplo 46. Si f ( x, y) = sin 1+ y , calcular f x y f y . Solución. Al usar la regla de la cadena, se tiene

∂f = cos ∂x



x 1+y



∂ ∂x





∂ ∂y



x 1+y

x 1+y



= cos



= − cos



x 1+y



1 1+y

y

∂f = cos ∂y



x 1+y



x 1+y



x

(1 + y)2

Ejemplo 47. Calcular las derivadas parciales de z, si z está definida

en forma implícita como una función de x y de y, mediante la ecuación

x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1 ∂z , se deriva implícitamente con respecto a Solución. Para calcular ∂x x, tratando a y como una constante:

3x2 + 3z2

∂z ∂z + 6yz + 6xy =0 ∂x ∂x

∂z y resolviendo esta ecuación para ∂x , se obtiene

x2 + 2yz ∂z =− 2 ∂x z + 2xy De manera similar

∂z y2 + 2xz =− 2 ∂y z + 2xy Ejemplo 48. Dada la función

f ( x, y) = e− x

3 y2

hallar sus derivadas parciales en el punto P (1, 1)

Funciones de varias variables y sus derivadas 31

Solución. Se puede aplicar la definición de la derivada en el punto

P (1, 1) ó calcular las derivadas parciales y sustituir 3 2 ∂f = −3x2 y2 e− x y ∂x

luego

i h ∂ 3 2 f (1, 1) = −3x2 y2 e− x y = −3e−1 ∂x (1,1)

y

i h 3 2 ∂ f (1, 1) = −2x3 ye− x y = −2e−1 ∂y (1,1)

Ejemplo 49. Probar que

f ( x, y) = 3x2 y4 − 12x6 + 2xy5 satisface la ecuación

x

∂f ∂f +y = 6 f ( x, y) ∂x ∂y

Solución. Derivando parcialmente y reemplazando

x

    ∂f ∂f +y = x 6xy4 − 72x5 + 2y5 + y 12x2 y3 + 10xy4 ∂x ∂y

= 12xy5 − 72x6 + 18x2 y4

(1)

ahora,

  6 f ( x, y) = 6 3x2 y4 − 12x6 + 2xy5

= 12xy5 − 72x6 + 18x2 y4

de (1) y (2) se concluye la igualdad. 1

4

Ejemplo 50. Dada la función Q (K, L) = 100K 5 L 5 , mostrar que

∂Q ( K, L) 1 Q (K, L) = ∂K 5 K ∂Q ( K, L) 4 Q (K, L) 2. = ∂L 5 L

1.

(2)

32 Derivadas de funciones de varias variables

3. L

∂Q (K, L) ∂Q (K, L) +K = Q (K, L) ∂L ∂K

Para una generalización de este ejemplo ver el ejemplo 69. Solución 1. Derivando parcialmente con respecto a K se obtiene 4 4 ∂Q (K, L) = 20K − 5 L 5 ∂K

pero

1 Q (K, L) 1 = 5 K 5

1

4

100K 5 L 5 K

!

4

4

= 20K − 5 L 5

luego 4 4 ∂Q ( K, L) 1 Q (K, L) = 20K − 5 L 5 = ∂K 5 K

2. Ahora

1 1 ∂Q (K, L) = 80K 5 L− 5 ∂L

y

4 4 Q (K, L) = 5 L 5

1

4

100K 5 L 5 L

!

1

1

= 80K 5 L− 5

y de esta forma el resultado es cierto. 3. De los resultados anteriores

L

    1 4 4 1 1 4 ∂Q ∂Q +K = L 80K 5 L− 5 + K 20K − 5 L 5 = 100K 5 L 5 ∂L ∂K

La derivada de una función de dos variables independientes se puede generalizar como se muestra a continuación. Derivadas de más de dos variables Si u es una función de n variables, u = f ( x1 , x2 , . . . xn ) , la derivada parcial de u con respecto a la i −ésima variable xi es

f ( x1 , . . . , xi + h, xi+1 , . . . , xn ) − f ( x1 , x2 , . . . xn ) ∂u = lim ∂xi h h →0

Funciones de varias variables y sus derivadas 33

y también se expresa como

∂u ∂f = = f x i = f i = Di f ∂xi ∂xi Ejemplo 51. Dada la función f ( x, y, z) = (ln x ) e− xyz , calcular las

primeras derivadas parciales. Solución. Al hacer a y y a z como constantes y al derivar con respecto a x, se tiene


∂f = (ln x) −yze− xyz + ∂x

    1 − xyz 1 − xyz e = −yz ln x + e x x

De forma similar

∂f = − xy (ln x) e− xyz ∂z

∂f = − xz (ln x) e− xyz y ∂y Ejercicios 6.

Utilizar la definición para calcular la derivada parcial 1. f ( x, y) = 6x + 3y − 7; D1 f ( x, y) 2. f ( x, y) = xy2 − 5y + 6; D2 f ( x, y) Solución.

∂ ∂y

3. f ( x, y, z) = x2 y − 3xy2 + 2yz; D2 f ( x, y)


xy2 − 5y + 6 = 2xy − 5

Determinar las derivadas parciales que se indican 4. f ( x, y) =

p

∂ Solución. ∂y f (2, 4) = 38

2x + 3y; f y (2, 4) y


2

5. f ( x, y) = xy ln x + ln (2x − 3y) ; f x (1, 1) ; f y (1, 1)

2

∂ ∂ Solución. ∂x f (1, 1) = −5; ∂y f (1, 1) = 7

2

6. f ( x, y) = ( x − 2y) + (y − 3x ) + 5; f x (0, −1) 7. f ( x, y, z) =

p

x2 + y2 + z2 ; f z (0, 3, 4)

2 8. f ( x, y, z) = e xy + ln (y + z) ; f 2 (1, 0, 2) ; f 3 (0, 0, 1)

Calcular todas las derivadas parciales de primer orden

34 Derivadas de funciones de varias variables

9. f ( x, y) = 4y3 +

p

x 2 + y2

x+y 10. f ( x, y) = √ 2

x − y2 ∂f

∂f

11. f ( x, y) = sin (y − x )

Solución. ∂x = − cos ( x − y ) y ∂y = cos ( x − y )

12. xy + yz = xz



13. z = ln x +

p

x 2 + y2



Derivadas de orden superior Sea f ( x, y) una función de dos variables independientes. Si f x y f y existen, estas derivadas también son funciones de dos variables, de modo que se pueden considerar sus derivadas parciales ( f x ) x , ( f x )y ,







y f y y las cuales se llaman segundas derivadas parciales de f x y se utiliza la notación

fy

( f x ) x = f xx = f11 = ( f x )y = f xy = f12 = fy fy







x

= f yx = f21 =

y

= f yy = f22 = 

∂2 f

  ∂ ∂f = ∂x ∂x   ∂ ∂f = ∂y ∂x   ∂ ∂f = ∂x ∂y   ∂ ∂f = ∂y ∂y

∂2 z ∂2 f = ∂x2 ∂x2 ∂2 z ∂2 f = ∂y∂x ∂y∂x ∂2 z ∂2 f = ∂x∂y ∂x∂y 2 2 ∂ z ∂ f = 2 2 ∂y ∂y



La notación f xy o ∂y∂x significa que primero se deriva con respecto a x y después con respecto a y, en tanto que al calcular f yx el orden se invierte. Ejemplo 52. Dada f ( x, y) = sin x2 y , calcular todas las segundas




derivadas parciales.

Solución. Las derivadas parciales son

f x = 2xy cos x2 y




y

f y = x2 cos x2 y




Funciones de varias variables y sus derivadas 35

derivando f x con respecto a x y con respecto a y



f xx = 2y cos x2 y − 4x2 y2 sin x2 y f xy =



∂2 f = 2x cos x2 y − 2x3 y sin x2 y ∂y∂x

y derivando f y con respecto a x y con respecto a y



∂2 f = 2x cos x2 y − 2x3 y sin x2 y ∂x∂y
∂2 f = 2 = − x4 sin x2 y ∂y

f yx = f yy

A continuación se enuncia el teorema De Clairaut

Teorema 1. Sea f ( x, y) es una función definida en un disco D que

contiene al punto ( a, b) . Si las funciones f xy y f yx son continuas en D, entonces f xy ( a, b) = f yx ( a, b) Ejercicios 7. Encontrar todas las segundas derivadas parciales (incluyendo las derivadas parciales mixtas)

√ 1. f ( x, y) = x2 y + x y 2. z = x2 + y2


23

3. z = cos2 (5x + 2y) 4. f ( x, y) = ln x2 + y2 5. f ( x, y) = x2 ye x




Diferencial total y regla de la cadena Sea z = f ( x, y) una función de dos variables independientes, si x se incrementa en ∆x y y se incrementa en ∆y entonces el incremento total de la función en un punto P ( x, y) está dado por la diferencia

∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y)

36 Derivadas de funciones de varias variables

Si ∆x y ∆y son pequeños, entonces ∆x ≈ dx y ∆y ≈ dy y si además

las primeras derivadas parciales de la función existen en un conjunto que contenga al punto P, el incremento de la función se puede aproximar mediante

df =

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

(3)

y a esta expresión se le conoce como la diferencial exacta o total de la función. Si ∆z ≈ dz entonces f ( x + ∆x, y + ∆y) ≈ f ( x, y) + dz y de esta forma

la diferencial de una función se puede utilizar como una aproximación del incremento.

Ejemplo 53. Dada la función f ( x, y) = 2x sin y − 3x2 y2 , calcular la

diferencial total.

Solución. Las derivadas parciales son

f x = 2 sin y − 6xy2 y

f y = 2x cos y − 6x2 y

por tanto

df =



∂f ∂f dx + dy = 2 sin y − 6xy2 dx + 2x cos y − 6x2 y dy ∂x ∂y

Ejemplo 54. Si z = f ( x, y) = x2 + 3xy − y2

1. Encontrar el diferencial dz 2. Si x cambia de 2 a 2.05 y y cambia de 3 a 2.96, hallar ∆z y dz, comparar sus valores. Solución 1. La diferencial total está dada por

dz =

∂z ∂z dx + dy = (2x + 3y) dx + (3x − 2y) dy ∂x ∂y

Funciones de varias variables y sus derivadas 37

2. El incremento de z es

∆z = f (2.05, 2.96) − f (2, 3)  
= (2.05)2 + 3 (2.05) (2.96) − (2.96)2 − 22 + 3 (2) (3) − 32

= 0.6449

(4)

Al hacer x = 2, dx = ∆x = 0.05, y = 3 y dy = ∆y = −0.04, se

obtiene

dz = (2 (2) + 3 (2)) 0.05 + (3 (2) − 2 (3)) (−0.04)

= 0.65

(5)

De 4 y 5 se puede observar que ∆z ≈ dx.

Ejemplo q 55. Utilizar diferenciales para calcular el valor aproximado

para

9 (1.95)2 + (8.1)2

Solución. Considerando la función z = f ( x, y) = que

f x ( x, y) = p

9x 9x2

+

y2

y

f y ( x, y) = p

p

9x2 + y2 , se tiene y

9x2

+ y2

y haciendo x = 2, y = 8, dx = ∆x = −0.05 y dy = ∆y = 0.1 y hallando

f (2, 8) =

q

9 (2)2 + (8)2 = 10

entonces

q

9 (1.95) 2 + (8.1)2 = f (1.95, 8.1) ≈ f (2, 8) + dz

= f (2, 8) + f x (2, 8) dx + f y (2, 8) dy 18 8 = 10 + (−0.05) + (0.1) 10 10 = 9.99

La regla de la cadena Si z = f ( x, y) es una función diferenciable y además x = g (t) y

38 Derivadas de funciones de varias variables

y = h ( t) son funciones derivables, entonces, z es una función diferenciable de t y

∂ f dx ∂ f dy dz = + dt ∂x dt ∂y dt Se puede observar que la expresión anterior se puede obtener de 3 dividiendo por dt Ejemplo 56. Si z = x2 y + 3xy4 , donde x = et y y = t2 , calcular dz dt Solución. Por la regla de la cadena

dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt  
= 2xy + 3y4 et + x2 + 12xy3 (2t)

Otra presentación de la regla de la cadena se expone a continuación. Si z = f ( x, y) es una función diferenciable de x y y, donde x = g (s, t) y y = h ( s, t) y las derivadas parciales gs , gt , hs y ht existen, entonces

∂z ∂x ∂z ∂y ∂z = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t Ejemplo 57. Si z = e x sin y, donde x = st2 y y = s2 t hallar ∂z ∂s Solución

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
= (ex sin y) t2 + ex cos y (2st)

Otra aplicación de la diferencial total se presenta a continuación. Sea z = f ( x, y) una función, se sabe que la diferencial total está dada por

df =

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

Funciones de varias variables y sus derivadas 39

o de forma equivalente

df ∂f ∂ f dy = + dx ∂x ∂y dx las curvas de nivel están dadas para z = c en el rango de la función, si c = f ( x, y) , c constante

0=

∂ f dy ∂f + ∂x ∂y dx

dy

y despejando dx se obtiene ∂f

dy f =− x = − ∂x ∂ f dx fy ∂y

y la fórmula anterior puede emplearse para diferenciación implícita. dy Ejemplo 58. Hallar dx si x3 + y3 = 6xy

Solución. La ecuación dada se puede escribir como

F ( x, y) = x3 + y3 − 6xy = 0 luego

F dy =− x dx Fy

=− =−

3x2 − 6y 3y2 − 6x x2 − 2y y2 − 2x

Lo anterior se puede extender a n variables. ∂z ∂z Ejemplo 59. Hallar ∂x y ∂y si x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1.

Solución. Sea F ( x, y, z) = x3 + y3 + z3 + 6xyz − 1, entonces

Fx 3x2 + 6yz x2 + 2yz ∂z =− =− 2 =− 2 ∂x Fz 3z + 6xy z + 2xy 2 Fy ∂z y2 + 2xz 3y + 6xz =− =− 2 =− 2 ∂y Fz 3z + 6xy z + 2xy

40 Derivadas de funciones de varias variables

Ejercicios 8. 1. Si z = 5x2 + y2 y ( x, y) cambia de (1, 2) a (1.05, 2.1) comparar los valores de ∆z y dz 2. Si z = x2 − xy + 3y2 y ( x, y) cambia de (3, −1) a (2.96, −0.95) com-

parar los valores de ∆z y dz

Emplear diferenciales para aproximar el valor de f en el punto dado.

p

3. f ( x, y) =

20 − x2 − 7y2 , (1.95, 1.08)

4. f ( x, y) = ln ( x − 3y) , (6.9, 2.06) 5. f ( x, y) = x2 y3 z4 , (1.05, 0.9, 3.01) dw Utilizar la regla de la cadena para calcular dz dt o dt

6. z = ln x + y2 , x = y




7. w = xy + z , x =

√

√

1 + t, y = 1 +

√

t

t, y = cos 2t, z = e−3t

∂z Utilizar la regla de la cadena para calcular ∂z ∂s o ∂t

8. z = x2 sin y, x = s2 + t2 , y = 2st 9. z = xey + ye− x , x = et , y = st2 dy

Determinar dx

10. x2 − xy + y3 = 8 11. x cos y + y cos x = 1 ∂z ∂z Determinar ∂x y ∂y

12. xy + yz − xz = 0 13. xy2 z3 + x3 y2 z = x + y + z 14. y2 ze x +y − sin ( xyz) = 0

Funciones de varias variables y sus derivadas 41

3.2 Aplicaciones El análisis marginal se refiere a usar la derivada para calcular el cambio que ocurre en el valor de una función de varias variables cuando se produce una variación en una de sus componentes cuando las otra componentes permanecen constantes. Ejemplo 60. El costo semanal en dólares de fabricar x unidades de

un primer artículo y y unidades de un segundo artículo es

C ( x, y) = 20 + 60x + 40y − 10e−0.5( x

2 +y

)

¿Cuál es el costo marginal de una unidad del primer artículo? ¿y de una unidad del segundo artículo? Solución. Se tiene que

Cx ( x, y) = 60 + 10xe−0.5( x

2 +y

)

y

Cy ( x, y) = 40 + 5e−0.5( x

2 +y

)

son los costos marginales de una unidad del primer artículo y de una unidad del segundo artículo, respectivamente. Ejemplo 61. En el ejemplo anterior, calcular el costo promedio de

C ( x, y) = 20 + 60x + 40y − 10e−0.5( x

2

+y)

y determinar el costo prome-

dio marginal de una unidad del primer artículo y de una unidad del segundo artículo en un nivel de producción de x = 40 y y = 40 Solución. El costo promedio para una función de dos variables está dado por

C ( x, y) C¯ ( x, y) = x+y luego

20 + 60x + 40y − 10e−0.5( x C¯ ( x, y) = x+y

2 +y

)

42 Derivadas de funciones de varias variables

El costo promedio marginal de una unidad del segundo artículo es

C¯ y ( x, y) =

    2 2 ( x + y) 40 + 5e−0.5( x +y) − 20 + 60x + 40y − 10e−0.5( x +y)

( x + y)2

y

C¯ y (40, 40) = −0.12813 lo cual quiere decir que con una producción de 40 unidades del primer artículo y 40 unidades del segundo artículo por semana el costo promedio por unidad del segundo artículo disminuye en $0.12813 por cada unidad adicional fabricada. En forma similar C¯ x (40, 40) = 0.12188 Ejemplo 62. Se estima que la producción semanal de cierta planta

está dada por la función Q ( x, y) = 100x + 250y + 4x2 y2 − 6x2 − 2y2

unidades, donde x es el número de trabajadores calificados y y es el

número de trabajadores no calificados, que se emplean en la planta. Actualmente, la fuerza laboral está formada por 20 trabajadores calificados y 100 no calificados. Utilice análisis marginal para estimar el cambio en la producción semanal que resultará de la adición de un trabajador calificado, si los trabajadores no calificado permanecen constantes. Solución. La derivada parcial con respecto a x es

∂Q = 8xy2 − 12x + 100 ∂x la cual es la razón de cambio de la producción con respecto a los trabajadores calificados y es una aproximación del número de unidades adicionales que se producirán si el número de trabajadores calificados se aumenta de x a x + 1 mientras que los trabajadores no calificados permanecen constantes, luego Q x (20, 100) = 1 599 860; por tanto, la producción se aumenta en 1 599 860 unidades semanales. Ejemplo 63. Solucionar el ejemplo anterior utilizando incrementos y

comparar los resultados.

Funciones de varias variables y sus derivadas 43

Solución. Se tiene que ∆x = 1 y ∆y = 0,

∆Q = Q ( x + ∆x, y + ∆y) − Q ( x, y)

= Q (21, 100) − Q (20, 100)

= (17 644 454) − (16 004 600) = 1 639 854

se obtiene que incrementando un trabajador calificado la producción semanal se aumenta en 1 639 854 unidades con lo el resultado del ejemplo anterior es una buena aproximación. Ejemplo 64. Se estima que en una fábrica la producción diaria es

Q (K, L) = 60K 0.4 L0.6 unidades, donde K denota la inversión de capital medido en unidades de $1 000 y L es la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Encontrar la productividad marginal del capital y la productividad marginal del trabajo cuando el capital es de $900 000 y el nivel de la fuerza laboral es de 1 000 horas-trabajador. ¿El fabricante debe considerar invertir capital o aumentar el nivel de la fuerza laboral para aumentar la producción? Solución. Se tiene que

QK (K, L) = 24K −0.6 L0.6 y Q L (K, L) = 36K 0.4 L−0.4 luego

QK (900, 1000) = 24 (900) −0.6 (1000) 0.6 = 25.566 y

Q L (900, 1000) = 36 (900)0.4 (1000) −0.4 = 34.514 El aumento de una unidad en el capital produce un incremento de

25.566 unidades, y el aumento de una unidad en la fuerza laboral produce un incremento de 34.514 unidades. Por tanto, el fabricante debe aumentar la fuerza laboral en una hora trabajador para aumentar la producción tan rápidamente como sea posible desde el nivel actual. 4

1

Ejemplo 65. Una empresa produce Q(K, L ) = 15K 5 L 5 arandelas,

donde K es el capital invertido en millones de dólares y L el tamaño

44 Derivadas de funciones de varias variables

de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que la inversión de capital actual es de 10 000 millones de dólares y que se dispone de 100 000 horas trabajador de mano de obra. Estimar en cuánto cambia la producción si se reduce la fuerza laboral en 1 hora por trabajador y se adicionan al capital $1 000 000 Solución. K = 10 000 y se decrementa en una unidad y L = 100 000 y se incrementa en una unidad, luego

∂Q ∂Q dK + dL ∂K ∂L  4 4   1 1 = 12K − 5 L 5 (−1) + 3K 5 L− 5 (1)

dQ(K, L) =

luego

dQ(10 000, 100 000) = −18.543 si se adicionan $1 000 000 y se reduce la fuerza laboral en una hora por trabajador la producción baja aproximadamente en 19 unidades. La tasa marginal de sustitución en un punto de una curva de indiferencia es el cociente entre la disminución de y y el aumento de x necesario para que la función se mantenga en la misma curva de indiferencia, y este resultado es una aplicación de la diferencial total a la tasa marginal de sustitución de x por y, como se muestra a continuación. Sea z = f ( x, y) una función, se sabe que las curvas de nivel están dadas para z = c en el rango de la función, si c = f ( x, y) la diferencial total está dada por

df =

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

o de forma equivalente

∂f ∂ f dy df = + dx ∂x ∂y dx df

dc = 0, luego pero dx = dx

0=

∂ f dy ∂f + ∂x ∂y dx

Funciones de varias variables y sus derivadas 45

dy

y despejando dx se obtiene

dy f =− x dx fy f

Si f es una función de producción − f x representa la tasa marginal de y sustitución y se puede interpretar como el número de unidades que se deben sacrificar de y para obtener una más de x a un mismo nivel de producción. Ejemplo 66. La producción semanal de una fábrica está dada por

z = f ( x, y) = xy2 donde x es el número de trabajadores calificados y y es el número de trabajadores no calificados; el fabricante en la actualidad posee 50 trabajadores calificados y 300 no calificados y desea incrementar en uno los trabajadores calificados. Estimar el cambio que el fabricante debe realizar en los trabajadores no calificados para que la producción permanezca constante. Solución. La producción semanal con x = 50 y y = 300 es de 4 500 000 unidades, ahora

dy c y2 =− x =− dx cy 2xy

y con x = 50 y y = 300 se tiene que

dy = −3 dx si se desea incrementar en una unidad los trabajadores calificados se deben despedir 3 trabajadores no calificados para que la producción permanezca constante. Se dice que dos artículos son sustitutos si un aumento de la demanda de cualquiera de ellos provoca una disminución de la demanda del otro y se dice que dos artículos son complementarios si una disminución de la demanda de cualquiera de ellos provoca una disminución de la demanda del otro.

46 Derivadas de funciones de varias variables

Sean D1 ( p1 , p2 ) y D2 ( p1 , p2 ) funciones de demanda de dos artículos cuando los precios unitarios de los artículos son p1 y p2 , respectivamente; es razonable esperar que la demanda disminuya cuando el ∂D2 1 precio crece, es decir ∂D ∂p1 < 0 y ∂p2 < 0 y comparando la derivada parcial de la demanda de un artículo con respecto al precio del otro

artículo se obtienen varias posibilidades de las cuales se destacan dos, a saber: Para artículos sustitutos, la demanda de cada uno aumenta cuando el precio del otro aumenta, luego

∂D1 >0 y ∂p2

∂D2 >0 ∂p1

y para artículos complementarios la demanda de cada uno de ellos disminuye cuando el precio del otro aumenta

∂D1 0 y ∂p2 ∂p1

artículos sustitutos. Ejemplo 68. La función de demanda de un artículo está dada por − 1 − 14

D1 ( p1 , p2 ) = 200p1 3 p2

y la función de demanda de un segundo − 3 − 23

artículo está dada por D2 ( p1 , p2 ) = 400p1 2 p2

determinar si los

artículos son sustitutos complementarios o ninguno de estos.

Funciones de varias variables y sus derivadas 47

Solución. se tiene que

∂D1 −1 −5 = −50p1 3 p2 4 < 0 y ∂p2

∂D2 −5 −1 = −600p1 2 p2 4 < 0 ∂p1

por tanto, los artículos son complementarios. Ejemplo 69. Si la función de producción Q está dada por la función

de producción de Cobb-Douglas

Q (K, L) = AK 1−α Lα donde A y α son constantes positivas y 0 < α < 1. Demostrar que

Q (K, L) ∂Q ( K, L) =α ∂L L Q (K, L) ∂Q ( K, L) = (1 − α ) 2. ∂K K ∂Q (K, L) ∂Q (K, L) 3. L +K = Q (K, L) ∂L ∂K

1.

Solución 1. Derivando parcialmente con respecto a L

∂Q ( K, L) = αAK 1−α Lα−1 ∂L además

Q (K, L) α =α L



AK 1−α Lα L



= αAK 1−α Lα−1

y de esta forma se obtiene el resultado. 2. Se hace en forma similar al resultado anterior 3. De los resultados 1 y 2

    ∂Q Q (K, L) Q (K, L) ∂Q +K =L α + K (1 − α ) L ∂L ∂K L K

= (α + (1 − α)) Q (K, L) = Q (K, L)

lo cual significa que, en una función Cobb-Douglas, al multiplicar a L por su productividad marginal y a K por su productividad marginal y sumar estos resultados se obtiene la productividad.

48 Derivadas de funciones de varias variables

Ejemplo 70. Probar que la función u ( x, y) = e x sin y es una solución 2

2

para la ecuación ∂∂xu2 + ∂∂yu2 = 0 también conocida como ecuación de Laplace2 . Solución. Se tiene que

u x = ex sin y y uy = ex cos y u xx = ex sin y y uyy = −ex sin y luego

u xx + uyy = ex sin y − ex sin y = 0 por tanto, u satisface la ecuación de Laplace. Sea f ( x, y) una función con derivadas parciales de segundo orden continuas. Si f (tx, ty) = tn f ( x, y) para toda t entonces la función es homogénea de grado n Ejemplo 71. Dada la función f ( x, y) = 2x2 + xy + 3y2 verificar que

es homogénea y además satisface la ecuación

x

∂f ∂f +y = 2 f ( x, y) ∂x ∂y

Solución. La función es homogénea,

f (tx, ty) = 2 ( tx)2 + (tx) (ty) + 3 (ty) 2
= t2 2x2 + xy + 3y2

= t2 f ( x, y)

luego es homogénea de grado 2. Ahora

∂f = 4x + y y ∂x 2

∂f = x + 6y ∂y

Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan

un papel importante en problemas de conducción de calor, el flujo de fluidos y el potencial eléctrico.

Funciones de varias variables y sus derivadas 49

multiplicando por x y por y y sumando

x

∂f ∂f +y = x (4x + y) + y ( x + 6y) ∂x ∂y

= 2xy + 4x2 + 6y2 = 2 xy + 2x2 + 3y2 = 2 f ( x, y)




Ejemplo 72. Verificar que f ( x, y) = 2x2 + xy + 3y2 satisface

x2

∂2 f ∂2 f ∂2 f + 2xy + y2 2 = (2) (2 − 1) f ( x, y) 2 ∂x ∂x∂y ∂y

Solución

∂2 f = 4; ∂x2

∂2 f =1 y ∂x∂y

∂2 f =6 ∂y2

luego

x2 (4) + 2xy ( 1) + y2 (6) = 2 xy + 2x2 + 3y2




= (2) (2 − 1) f ( x, y)

Ejemplo 73. Verificar que la ecuación homeogénea dada anterior-

mente satisface la ecuación f x (tx, ty) = t2−1 f x ( x, y) Solución. Se tiene que

f x (tx, ty) = 4 ( tx) + (ty) = t (4x + y) = t2−1 f x ( x, y) Ejercicios 9. 1. El costo semanal en dólares por fabricar x bicicletas y y triciclos está dado por C ( x, y) = 20 000 + 60x + 20y + 50

√

xy (a) ¿Cuál es

el costo marginal de una bicicleta? (b) ¿el de un triciclo? ¿Cómo se comportan estos costos marginales a medida que aumenta x y y? (c) Determinar el costo promedio para la función de costo anterior. Encontrar el costo promedio marginal de una bicicleta y el de un triciclo a un nivel de producción de 5 bicicletas y 5 triciclos. Interpretar los resultados.

50 Derivadas de funciones de varias variables

2. Se estima que la producción semanal de una planta está dada por

Q ( x, y) = 120x + 200y + x2 y − 3x2 − 2y2 unidades, donde x es el número de trabajadores calificados y y es el número de trabajadores no calificados, que se emplean en la planta. En la actualidad, la fuerza laboral está formada por 20 trabajadores calificados y 50 no calificados. Utilizar el análisis marginal para estimar el cambio en la producción semanal que resultará de la adición de un trabajador calificado más, si el número de trabajadores no calificados no cambia. Solución: Q x (20, 50) = 2 000 y ∆Q = 2 047

3. La utilidad diaria por la venta de dos marcas de jugo es

P ( x, y) = (70 − 5x + 4y) ( x − 30) + (80 + 7x − 6y) (y − 40) pesos, donde x es el precio por lata de la primera marca y y es el precio por lata de la segunda. Actualmente, la primera marca se vende en

$50 por lata y la segunda en $52 por lata. Utilizar el análisis marginal para estimar el cambio en la utilidad diaria que resulta si se sube en un peso por lata el precio de la segunda marca, pero se mantiene sin cambio el precio de la primera marca. Solución: dx = 0 y dy = 1 ∂P ∂y = 11x − 12y + 200; dP (50, 52) = 126

4. Una fábrica trata de decidirse entre dos programas de tipografía alternativos; se estima que si se compran x copias del primer programa y y del segundo, la productividad diaria de la empresa será

U ( x, y) = 6x0.8 y0.2 + x donde U ( x, y) se expresa en páginas compuestas por día. ∂U (10,5) ∂U (10,5) y e interpretar los resultados (b) ¿Qué ∂x ∂y Ux (10,5) relación U (10,5) acerca de la utilidad de estos productos? y

(a) Calcular dica la

in-

Solución: (a) Ux (10, 5) = 5.18 Uy (10, 5) = 2.09; U (10,5)

(b) Ux (10,5) = 2.48 es la relación de la utilidad de una copia más del y primer programa comparada con una copia más del segundo, así con

Funciones de varias variables y sus derivadas 51

10 copias del primer programa y 5 del segundo, la empresa puede esperar un aumento de productividad de 2.48 veces mayor si compra una copia más del primer programa, que si compra una del segundo. 5. Verificar que la función u = √

1 x 2 + y 2 + z2

es una solución de la ecuación

de Laplace en tres dimensiones

3.3 Valores máximos y mínimos Definici�n 7. Una función de dos variables tiene un máximo local en ( a, b) si f ( x, y) ≤ f ( a, b) para todos los puntos ( x, y) en algún disco con centro ( a, b) . El número f ( a, b) se llama valor máximo local. Si

f ( x, y) ≥ f ( a, b) para todo par ( x, y) en un disco, entonces f ( a, b) es

el mínimo local.

Teorema 2. Si f tiene un extremo local en ( a, b) y las derivadas par-

ciales de primer orden de f existen en ese punto, entonces f x ( a, b) =

0 y f y ( a, b) = 0 Ejemplo 74. Sea f ( x, y) = x2 + y2 − 2x − 6y + 14, entonces

f x ( x, y) = 2x − 2 y

f y ( x, y) = 2y − 6

y estas derivadas son iguales a cero cuando x = 1 y y = 3, así que el único punto crítico es (1, 3). Al completar cuadrados se tiene que

f ( x, y) = 4 + ( x − 1)2 + (y − 3)2 y así f ( x, y) ≥ 4 para todos los valores de x y de y, por tanto f (1, 3) = 4

es un mínimo local. La gráfica se muestra a continuación. 8

6

60 4

40 2

20 0

0 -4 5 -2

-2

0 0 2

-4 -4

4

Figure 24

-2

0

2

4

52 Derivadas de funciones de varias variables

Ejemplo 75. Cálcular los valores extremos de f ( x, y) = y2 − x2 Solución. Como f x = −2x y f y = 2y, el único punto crítico es (0, 0) . Para los puntos sobre el eje x, si y = 0, entonces f ( x, y) = − x2 < 0 y para los puntos sobre del eje y, se tiene que f ( x, y) = y2 > 0, entonces

todo disco con centro en (0, 0) contiene puntos donde f toma valores positivos y puntos donde toma valores negativos, por tanto f (0, 0) = 0 no puede ser un valor extremo y así f no tiene valores extremos. La gráfica de la función se realizó en el ejemplo 18. Teorema 3. Si las segundas derivadas parciales de f son continuas

en un disco con centro en ( a, b) y si f x ( a, b) = 0 y f y ( a, b) = 0 si  2 además D = D ( a, b) = f xx ( a, b) f yy ( a, b) − f xy ( a, b) se tiene que 1. Si D > 0 y f xx ( a, b) > 0, entonces f ( a, b) es un mínimo local.

2. Si D > 0 y f xx ( a, b) < 0, entonces f ( a, b) es un máximo local. 3. Si D < 0, entonces f ( a, b) no es un extremo local.

Observación 1. En el tercer caso el punto ( a, b) se llama punto silla de f 2. Si D = 0, la prueba no proporciona ninguna información así 3. D se puede escribir como un determinante

f f
2 xx xy D= = f xx f yy − f xy f yx f yy

Ejemplo 76. Dada f ( x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1, calcular el valor ex-

tremo local.

Solución. Para calcular los puntos críticos

f x = 4x3 − 4y y

f y = 4y3 − 4x

igualando las derivadas a cero se obtiene el sistema x3 − y = 0 y

y3 − x = 0, entonces

0 = x 9 − x = x ( x − 1) ( x + 1) x 2 + 1




x4 + 1



Funciones de varias variables y sus derivadas 53

y se obtienen tres raíces reales: x = 0, 1, −1. Los tres puntos críticos son (0, 0) , (1, 1) y (−1, −1) . Las segundas derivadas parciales son

f xx = 12x2 , y así, D = f xx f yy − f xy


2

f xy = −4 y

f yy = 12y2

= 144x2 y2 − 16

Ahora D (0, 0) = −16 < 0, la función no tiene valores extremos en

(0, 0) (es un punto silla);

D (1, 1) = 128 > 0 y

f xx (1, 1) = 12 > 0

luego f (1, 1) = −1 es un mínimo local y

D (−1, −1) = 12 > 0

f xx (−1, −1) = 12 > 0,

y

de modo que f (−1, −1) = −1 también es un mínimo local. 4

2 0 -2 -4 80 000 60 000 40 000 20 000 0 -5 0 5

Figure 25

A continuación se enuncia el teorema del valor extremo para una función de dos variables independientes. Teorema 4. Si f ( x, y) es continua en un conjunto cerrado y acotado

D en R2 , entonces f tiene un valor máximo absoluto f ( x1 , y1 ) y un valor mínimo absoluto f ( x2 , y2 ) en algunos puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) en D.
Ejemplo 77. Dada la función f ( x, y) = ln x2 + y2 − xy determinar

los puntos críticos y clasificarlos como máximos, mínimos o puntos silla.

54 Derivadas de funciones de varias variables

Solución.

Para hallar los puntos críticos se igualan las primeras

derivadas parciales a cero,

2x −y = 0 + y2 2y −x=0 x 2 + y2

(6)

x2

multiplicando (6) por x y (7) por y y restando

(7) 2x2 −2y2 x 2 + y2

=

2( x 2 − y2 ) x 2 + y2

= 0,

y de esta forma se obtienen infinitos puntos críticos, a saber

x2 = y2 6= 0 ahora
x2 + y2 (2) − 2x (2x) ∂2 f ( x, y) = ∂x2 ( x 2 + y2 ) 2
x2 + y2 (2) − 2y (2y) ∂2 f ( x, y) = ∂y2 ( x 2 + y2 ) 2

−4xy ∂2 f ( x, y) = −1 ∂y∂x ( x 2 + y2 ) 2 luego


2 D ( x, y) = f xx ( x, y) f yy ( x, y) − f xy ( x, y) ! !

x2 + y2 (2) − 2y ( 2y) x2 + y2 (2) − 2x (2x) = ( x 2 + y2 ) 2 ( x 2 + y2 ) 2 !2 −4xy − −1 ( x 2 + y2 ) 2 !2 8x2 y2 − 4y4 − 4x4 4xy + x4 + y4 + 2x2 y2 = − ( x 2 + y2 ) 2 ( x 2 + y2 ) 4

=

(−4) (y − x)2 ( x + y)2 − 4xy + x4 + y4 + 2x2 y2 ( x 2 + y2 ) 4

Para dos puntos críticos en particular (1, 1) y (−1, −1)

D (1, 1) = −4 y D (−1, −1) = −4


2

Funciones de varias variables y sus derivadas 55

y así f (1, 1) y f (−1, −1) son puntos silla. En general, para x2 = y2 = m 6= 0

4m2 + 4m4 D (m, m) = − 16m8


2

0

= 1175 > 0 y

f xx



27 5 , 10 2

644 558 47 , 47



= −70 < 0




. El propietario debe vender a $13.702 el primer producto, y a $11.872 el segundo, para

por tanto, hay un máximo relativo en generar la máxima utilidad posible.

Ejemplo 85. Un fabricante tiene $90 000 para invertir en desarrollo

y promoción de un nuevo producto. Se estima que si se invierten

x miles de dólares en desarrollo y y miles en promoción, las ventas serán aproximadamente 1

2

f ( x, y) = 180x 3 y 3 unidades. ¿Cuánto dinero debería asignar el fabricante a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar las ventas? Solución. Se debe maximizar la función 1

2

f ( x, y) = 180x 3 y 3

62 Derivadas de funciones de varias variables

sujeta a la restricción x + y = 90, utilizando multiplicadores de Lagrange 2

2

120x y

− 13

60x− 3 y 3 = λ 1 3

(27)

=λ

(28)

x + y = 90

(29)

igualando (27) y (28) y simplificando

y = 2x

(30)

y reemplazando (30) en (29) ae obtiene que x = 30 y y = 60, por tanto, para maximizar las ventas el fabricante debe asignar $30 000 en desarrollo y $60 000 en promoción. Ejemplo 86. Empleando L unidades de mano de obra y K unidades

de capital una empresa puede elaborar P unidades de su producto 2

1

con P ( L, K ) = 50L 3 K 3 Le cuesta a la empresa $100 por cada unidad de mano de obra y $300 por cada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de $45 000 para propósitos de producción. 1. Determinar las unidades de mano de obra y de capital que la empresa debería utilizar con objeto de maximizar su producción. 2. Demostrar que en este nivel máximo de producción la razón de los costos marginales de mano de obra y capital es igual a la razón de sus costos unitarios. 3. Probar que si se dispone de $1 adicionales para fines de producción en este nivel máximo de producción, la empresa puede producir aproximadamente λ unidades extra de su producto, λ puede interpretarse como la productividad marginal del capital. Solución 2

1

1. La función a maximizar es P ( L, K ) = 50L 3 K 3 sujeta a la restricción

100L + 300K = 45 000 utilizando multiplicadores de Lagrange, se

Funciones de varias variables y sus derivadas 63

obtiene el sistema

100 1 − 1 K 3 L 3 = 100λ 3 50 −2 2 K 3 L 3 = 300λ 3 100L + 300K = 45 000

(31) (32) (33)

despejando λ de (31) y (32) e igualando

1 2 −2 1 1 −1 K3 L 3 = L3 K 3 3 18 y despejendo

L = 6K

(34)

reemplazando (34) en (33) se tiene 100 (6K ) + 300K = 45 000, luego

K = 50 y L = 300. La empresa maximiza su producción si emplea 300 unidades de mano de obra y 50 de capital. 2. Del sistema de ecuaciones se tiene que

Productividad marinal de la mano de obra Poductividad marinal del capital

=

100λ 1 PL = = PK 300λ 3

y de los datos

1 Costo unitario de la mano de obra 100 = = Costo unitario del capital 300 3 así que en el nivel de producción máximo, la razón de las productividades marginales de mano de obra y capital es igual a la razón de las unidades el costo de la mano de obra y de capital. 3. Utilizando incrementos

∆P = P (300 + ∆L, 50 + ∆K ) − P (300, 50) o utilizando diferencial total

dP =

∂P ∂P dL + dK ∂L ∂K

64 Derivadas de funciones de varias variables

se obtiene que con un dólar extra disponible para producción esta incrementará ∆P ≈ dx ≈ 0.1835 el cual es el mismo valor de

λ = 0.1835 que se obtiene del sistema de ecuaciones. En otras palabras, λ representa la productividad marginal del dinero.

Ejercicios 11. 1

2

1. Optimizar la función f ( x, y) = 180x 3 y 3 sujeta a la restricción

x + y = 90

Solución: f (30, 60) es un máximo

2. Optimizar la función f ( x, y) = x3 − xy + y2 + 3 sujeta a la condición

que los puntos ( x, y) satisfagan la ecuación de la elipse 2x2 + 2y2 = 1. Ejercicios 12. 1. Un fabricante tiene $90 000 para invertir en desarrollo y promoción de un nuevo producto. Se estima que si se invierten x miles de dólares en desarrollo y y miles en promoción, las ventas serán aproximada1

2

mente f ( x, y) = 90x 3 y 3 unidades. ¿Cuánto dinero debería asignar el fabricante a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar las ventas? Solución: Para maximizar las ventas el fabricante debe asignar $30 000 en desarrollo y $60 000 en promoción. 2. La única tienda de abarrotes de una pequeña comunidad rural vende dos marcas de jugo congelado de manzana: una marca local se obtiene a un costo de 30 centavos por lata y una bien conocida marca nacional se obtiene a un costo de 40 centavos por lata. El abarrotero estima que si la marca local se vende a x centavos por lata, entonces todos los días se venderán aproximadamente 70 − 5x + 4y latas de la marca local y 80 + 6x − 7y latas de la marca nacional. ¿Qué precio

debe aplicar el abarrotero a cada marca para maximizar la utilidad por la venta del jugo? Solución: f ( x, y) = −5x2 + 10xy − 20x − 7y2 + 240y − 5 300 es la función de utilidad y (53, 55) es un máximo relativo.

Funciones de varias variables y sus derivadas 65

3. Una caja rectangular sin tapa, debe hacerse con 108cm2 de cartulina. Determinar el volumen máximo de dicha caja. Solución: Si x, y y z son la longitud, el ancho y la altura respectivamente, x = y = 6, y z = 3 y el volumen máximo de dicha caja es

V = 108cm3 .