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• Sophie Flores

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Fracciones parciales

• Este método no solo es útil para integraciones, si no es ampliamente usado en ecuaciones diferenciales, transformadas de Laplace, de Fourier, etc.. • El método consiste en proponer una fracción en términos una suma de otras fracciones mas sencillas. • Existen varios casos que analizar, pero solo se abordaran los mas importantes.

 ¿Cuándo se puede ocupar el método de Fracciones Parciales?

P( x) Q( x)

• Se debe de tener un cociente dos polinomios P(x) y Q(x), es decir, • Se exige que grado de P(x) debe ser menor que el de Q(x). • Recordemos que el grado de un polinomio lo determina su potencia mas alta.

 ¿Qué se hace si el grado de P(x) es mayor o igual que el de Q(x)? • En este caso, se procede a realizar la división correspondiente Q( x) • El residuo de dicha división cumple con los requisitos de Fracciones Parciales.

P( x) 1

 Uso del Método de Fracciones Parciales  Caso 1 (Factores lineales diferentes) • Si Q(x) puede escribirse en la forma entonces se propone

Q( x)  ( x  a)( x  b)( x  c)...

P( x) A B C     ..... Q( x) x  a x  b x  c

• Finalmente se determinan las constantes A,B,C,…, por comparación de los polinomios y resolviendo las ecuaciones simultaneas que se obtienen.

 Ejemplo C1

P( x) 3x 2  2 x  8 3x 2  2 x  8 A B C  3     2 Q ( x) x  x  6 x x( x  3)( x  2) x x  3 x  2

3 x 2  2 x  8 A( x  3)( x  2)  Bx( x  2)  Cx( x  3)  3 2 x  x  6x x( x  3)( x  2) Resolviendo se tiene que: A  4 / 3, B  29 /15, C  12 / 5

3x  2 x  8 3 / 4 29 /15 12 / 5    3 2 x  x  6x x x3 x2 2

2

 Ejercicios

7x 1 2 3 1    ( x  1)( x  2)( x  3) x  1 x  2 x  3

x 1 1/ 3 3 / 2   2 x  x  2 x  2 x 1  Caso 2 (Factores lineales repetidos) • Si Q(x) tiene algún factor con la forma

( x  d ) r1  ( x  d )( x  d )...( x  d ) r1

entonces el desarrollo en fracciones parciales se modifica solo para el correspondiente a ese termino proponiendo

Rr R3 R1 R2 P( x) A 1      .....   ..... 2 3 r1 Q( x) x  a x  d  x  d   x  d  x d • Finalmente se determinan las constantes A,B,C,…,R1,R2,R3… por comparación de los polinomios y resolviendo las ecuaciones simultaneas que se obtienen.

3

 Ejemplo C2

R1 R2 P( x) x2  9x  2 A     2 Q( x) ( x  1) ( x  3) x  3 x  1  x  12

A( x  1) 2  R1 ( x  3)( x  1)  R2 ( x  3) x2  9 x  2  2 ( x  1) ( x  3) x( x  1) 2 Resolviendo se tiene que:

A  1, R1  2, R1  3

x2  9 x  2 1 2 3    2 ( x  1) ( x  3) x  3 x  1  x  12  Ejercicios

3x  3 x2  2 x  4

8 x 2  4 x  12 x ( x  4) 2

4

 Caso 3 (Factores cuadráticos) • Si Q(x) tiene algún factor que no pueda ser reducido a factores lineales, en principio m dicho factor puede ser escrito en la forma  ( x   ) 2   2 





y entonces la descomposición en fracciones parciales se propone

A3 x  B3 Am x  Bm A1 x  B1 A2 x  B2    .. .. . m 2 ( x   ) 2   ( x   ) 2    2 ( x   ) 2    3 ( x   )        • Finalmente se determinan las constantes desconocidas por comparación de los polinomios y resolviendo las ecuaciones simultaneas que se obtienen.

 Ejemplo C3

P( x) 2 x 2  10 x 2 x 2  10 x Ax  B C  2    2 2 Q( x) ( x  2 x  5)( x  1) (( x  1)  4)( x  1) ( x  1)  4 x  1

2 x  10 x  2 ( x  1)  4  ( x  1) 2

( Ax  B )( x  1)  C ( x  1) 2  4  ( x  1) 2  4  ( x  1)

Resolviendo se tiene que: A  3, B  5, C  1

P( x) x3  2 x  5  Q( x) ( x 2  2) 2

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