FRACCIONES PARCIALES

Caso I (Factores Lineales Distintos) En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales d

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Caso I (Factores Lineales Distintos) En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos.

Q(x)=(a 1 x+b 1 )(a 2 x+b 2 )(a 3 x+b 3 )...(a n x+b n ) a y b son constantes, proponer:

P(x) Q(x) =A 1 a 1 x+b 1 +A 2 a 2 x+b 2 +…+A n a n x+b n (1) Encontrar A 1

,A 2 ,A n

Ejemplo Caso I Sea f(x)=1 x 2 +x−6 Primero factorizamos el denominador nos quedaría f(x)=1 (x+3)(x−2) Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribir

1 (x+3)(x−2) =A x+3 +B x−2

Caso II (Factores Lineales Repetidos) Suponga que el primer factor lineal (a 1 x+b 1 ) se repite r veces; es decir, (a 1 aparece en la factorización de Q(x) . Por lo tanto en lugar del término simple

x+b 1 ) r

A 1 a 1 x+b 1 en (1), se usaría

A 1 a 1 x+b 1 +A 2 (a 1 x+b 1 ) 2 +…+A r (a 1 x+b 1 ) r (2)

Ejemplo caso II Si tenemos

f(x)=2x+1 (x+1) 3 (x−1)(x−2) en el denominador Q(x)=(x+1) 3 (x−1)(x−2) podemos ver que tenemos que tenemos los factores lineales (x−3) 3 , x−1 y x−2

 

Para (x−1) y (x−2) usamos el caso I entonces escribimos A x−1 +B x−2 Para (x+1) 3 usamos el caso II entonces escribimos C x+1 +D (x+1) 2 +E (x+1)

3

Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos,

2x+1 (x+1) 3 (x−1)(x−2) =A x−1 +B x−2 +C x+1 +D (x+1) 2 +E (x+1) 3

Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles) Si Q(x) tiene un factor de la forma ax 2 +bx+c , donde b 2 −4ac