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• Armando Reyes

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MATEMÁTICAS ESPECIALES. ITM Página # 1 de 6

Docente: Martha Guzmán.

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES Cualquier fracción propia P(x) / Q(x), escrita en su mínima expresión se puede descomponer en una suma de FRACCIONES PARCIALES de la siguiente forma:

CASO A): Si Q(x) tiene un factor lineal no repetido de la forma ( ax + b ), entonces la descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), contiene un término de la forma: . A . , donde A es una constante a determinar. ( ax + b )

EJEMPLO:

.

5x -1 (x+2)

.

=

. A . ; donde A es la constante a determinar. ( x + 2)

CASO B): Si Q(x) tiene un factor lineal que se repite k veces, de P(x) / Q(x), contiene términos de la forma:

. A1 . ( ax + b )1

+

. A2 . ( ax + b )2

. A3 . ( ax + b )3

+

EJEMPLO: . 6x2 - 14x - 27. = . A1 . + .

A2

determinar.

( x - 3)3

+

de la forma ( ax + b ), entonces la descomposición en fracciones parciales

( x - 3 )1

………….. + . Ak . ( ax + b )k . + .

( x - 3 )2

A3

. ;

Donde A1 , A2 y A3 son constantes a

( x - 3 )3

CASO C): Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite: PROCEDIMIENTO 1) : Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite, entonces la descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), contiene un término de la forma:

. Ax + B . ; ax2 + bx + c EJEMPLO:

Donde A y B son las constantes a determinar.

. x2 + 1. = . Ax + B . x2+ x + 1 x2+ x + 1

; Donde A y B son las constantes a determinar.

PROCEDIMIENTO 2) : Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite, entonces la descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), puede realizarse después de reducir la expresión ( ax2 + bx + c ) ya no en los reales, sino en los números complejos: ( ax2+ bx + c ) = ( x + e + j f ) * ( x + e – j f ) Y entonces la descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), tiene dos términos de la forma: . A . (x+e+jf )

EJEMPLO:

*

+

.

. A . ( x+e–j f )

x2 + 1 . = . x2 x+x+1 (x+e+jf 2

Donde A y A* ( Conjugado de A) ,

CASO D):

+

1

.

) ( x+e–j f )

= .

A

(x+e+jf )

son las constantes a determinar.

.

+ .

A*

.

( x+e–j f )

MATEMÁTICAS ESPECIALES. ITM Página # 2 de 6

Docente: Martha Guzmán.

Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax 2+ bx + c ) irreductible en los reales que se repite kveces, descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), contiene términos de la forma:

. A1 x + B1 . + . A2 x + B2 . ( ax2 + bx + c )1 ( ax2 + bx + c )2 Donde A1,

. A3 x + B3 . ( ax2 + bx + c )3

+

B1, A2, B2, A3, B3, Ak, Bk,

EJEMPLO: determinar.

. x2 - x + 1.

= . A1x + B1 .

(x2 + 2x + 2)2

(x2 + 2x + 2)1

+

entonces la

………. + . Ak x + Bk . ( ax2 + bx + c )k

son las constantes a determinar.

+ . A2x + B2 .

;

Donde

A1, B1, A2, B2 son las constantes a

(x2 + 2x + 2)2

CASO E) COMBINACIÓN DE CASOS: Si Q(x) tiene factores de tal forma que se presente cualquier combinación de los casos anteriores, entonces por cada casose presentará una descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), según se dijo anteriormente. EJEMPLOS:

1) .

5x - 1 . (x+2) (x–3)

2)

.

=

. A . + ( x + 2)

.

B . ; (x–3)

6 x2 - 14x – 27

. = . A . + .

( x + 8 ) ( x - 5 )3

(x+8)

B

donde A y B son las constantes a determinar.

. + . C

( x - 5 )1

. + .

( x - 5 )2

D

.

( x - 5 )3

Donde A, B, C, D son las constantes a determinar.

3)

.

3 x2

-

6x

–

2

. = . A . +

. B .

(x-4)

(x+1)

( x - 4 ) ( x + 1 ) ( x2 + x + 1 )

+

. Cx + D

.

( x2 + x + 1 )

Donde A, B, C, D son las constantes a determinar.

4) .

15x3 +

4x2 + x –

2 . = . A . + .

( x + 12 ) ( x - 5 ) ( x2 + x +1 )2

( x + 12 )

B

(x-5)

.+ . Cx + D . + . Ex + F ( x2 + x + 1 ) 1

.

( x2 + x + 1 )2

Donde A, B, C, D, E, F son las constantes a determinar

MÉTODO DE HEAVISIDE Es un método que permite calcular las constantes de los desarrollos en fracciones parciales para fracciones racionales propias P(x) / Q(x).

PROCEDIMIENTO: 1) Factorizar el denominador

Q(x). de la fracción racional propia P(x) / Q(x). 2) Identificar el caso o combinación de casos, al que corresponden los factores del denominador. 3) Escribir el desarrollo en fracciones parciales para la fracción P(x) / Q(x). 4) Buscar el común denominador para el lado derecho de la expresión. 5) Cancelar denominador del lado izquierdo, con denominador del lado derecho. 6) Simplificar el lado derecho de la expresión de tal forma que su estructura se parezca a la expresión del lado izquierdo del igual. 7) Comparar lado derecho con lado izquierdo del igual. Y establecer condiciones (léase ecuaciones) para las constantes de las FRACCIONES PARCIALES, de tal forma que se cumpla idénticamente la igualdad. 8) Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier método que usted conozca. 9) Reemplace los valores de las constantes en el desarrollo en fracciones parciales original.

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EJEMPLO #1: I(s) = .

1)

Docente: Martha Guzmán.

Sea una función de la variable frecuencia compleja S:

2S+8 . S2 + 3S +2

Cuál es el desarrollo en fracciones parciales de I (s) ?

Factorizar el denominador Q(x). de la fracción racional propia P(x) / Q(x).

S2+ 3S +2 = ( s + 1 ) ( s + 2 ) I(s) = .

2S+8 S2+ 3S +2

.

=

.

2S + 8 . (s+1) (s+2)

2)

Identificar el caso o combinación de casos, al que corresponden los factores del denominador.

3)

Escribir el desarrollo en fracciones parciales para la fracción P(x) / Q(x).

Se trata de un doble caso A).

. 2S+8 . (s+1) (s+2) 4)

. B . (s+2)

Donde A y B son las constantes a determinar.

=

. A ( s + 2 ) + B( s + 1 ) . (s+1)* (s+2)

=

A( s + 2 ) + B( s + 1 )

Simplificar el lado derecho de la expresión de tal forma que su estructura se parezca a la expresión del lado izquierdo del igual.

2S+8 2 S+ 8 7)

+

Cancelar denominador del lado izquierdo, con denominador del lado derecho.

2S+8 6)

. A . (s + 1 )

Buscar el común denominador para el lado derecho de la expresión.

. 2S+8 . (s+1) (s+2) 5)

=

= As + 2A + Bs + B = ( A + B ) S + ( 2A + B )

Comparar lado derecho con lado izquierdo del igual. Y establecer condiciones (léase ecuaciones) para las constantes de las FRACCIONES PARCIALES, de tal forma que se cumpla idénticamente la igualdad.

2 S+ 8

=

( A + B ) S + ( 2A + B )

Las condiciones para que se cumpla esta igualdad son: 2 = (A + B) Ecuación # 1. 8 = ( 2A + B ) Ecuación # 2. 8)

Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier método que usted conozca.

A= 6 B=-4 9)

Reemplace los valores de las constantes en el desarrollo en fracciones parciales original.

. 2S+8 . (s+1) (s+2)

=

. A . (s + 1 )

+

. B . (s+2)

. 2S+8 . (s+1) (s+2)

=

. 6 . (s + 1 )

+

.(- 4 ) . (s+2)

. 2S+8 . (s+1) (s+2)

=

. 6 . (s + 1 )

-

.

4 . (s+2)

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Docente: Martha Guzmán.

Finalmente es possible decir que: I(s) = .

2S+8 S2+ 3S +2

EJEMPLO #2: Q(s) = .

1)

.

=

. 4 . (s+2)

Sea una función de la variable frecuencia compleja S:

S+3 . S2+ 2S + 1

Cuál es el desarrollo en fracciones parciales de Q (s) ?

Factorizar el denominador Q(x). de la fracción racional propia P(x) / Q(x).

S2+ 2S + 1 Q(s) = . 2)

-

. 6 . (s + 1 )

= (s+1) (s+1) = (s+1)2

S+3 . S2+ 2S + 1

=

.

S+3 . (s+1)2

Identificar el caso o combinación de casos, al que corresponden los factores del denominador.

Los factores del denominador corresponden al caso B).

3)

Escribir el desarrollo en fracciones parciales para la fracción P(x) / Q(x).

. 4)

S+3 . (s+1)2

.

B . (s+1)2

.

A(s+1) + B (s+1)2

.

A( s + 1 ) + B

Simplificar el lado derecho de la expresión de tal forma que su estructura se parezca a la expresión del lado izquierdo del igual.

= =

As + A + B As + ( A + B )

Comparar lado derecho con lado izquierdo del igual. Y establecer condiciones (léase ecuaciones) para las constantes de las FRACCIONES PARCIALES, de tal forma que se cumpla idénticamente la igualdad.

1 3

8)

=

=

S+3 S+3 7)

+

Cancelar denominador del lado izquierdo, con denominador del lado derecho.

S+3 6)

= . A . (s+1)1

Buscar el común denominador para el lado derecho de la expresión.

. 5)

S+3 . (s+1)2

= A = ( A+B)

Ecuación # 1. Ecuación # 2.

Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier método que usted conozca.

A=1 B=2 9)

Reemplace los valores de las constantes en el desarrollo en fracciones parciales original.

Q(s) = .

S+3 . (s+1)2

= . A . (s+1)1

+

.

B . (s+1)2

Q(s) = .

S+3 . (s+1)2

= . 1 . (s+1)1

+

.

2 . (s+1)2

MATEMÁTICAS ESPECIALES. ITM Página # 5 de 6

EJEMPLO #3: V(s) = .

1)

Docente: Martha Guzmán.

Sea una función de la variable frecuencia compleja S:

1 . S2 + 2S + 5

Cuál es el desarrollo en fracciones parciales de V(s) ?

Factorizar el denominador Q(x). de la fracción racional propia P(x) / Q(x).

S2+ 2S + 5 = ( s + 1 – j 2 ) ( s + 1 + j 2 ) V(s) = . 2)

1 . S2+ 2S + 5

= . 1 . ( s + 1 – j 2) ( s + 1 + j 2 )

Identificar el caso o combinación de casos, al que corresponden los factores del denominador.

Los factores del denominador corresponden al caso C).

3)

Escribir el desarrollo en fracciones parciales para la fracción P(x) / Q(x).

. 1 . ( s + 1 – j 2) ( s + 1 + j 2) 4)

=

. A* . ( s + 1 + j 2)

. A ( s + 1 + j 2 ) + A* ( s + 1 – j 2 ) . ( s + 1 – j 2) ( s + 1 + j 2)

=

A ( s + 1 + j 2) + A* ( s + 1 – j 2)

= = =

A ( s + 1 + j 2) + A* ( s + 1 – j 2) AS + A + j2A + A*S + A* - j2A* ( A + A*) S + ( A + A* ) + j2A - j2A*

Comparar lado derecho con lado izquierdo del igual. Y establecer condiciones (léase ecuaciones) para las constantes de las FRACCIONES PARCIALES, de tal forma que se cumpla idénticamente la igualdad.

0 = ( A + A* ) 1 = ( A + A* ) + j2A - j2A* 8)

+

Simplificar el lado derecho de la expresión de tal forma que su estructura se parezca a la expresión del lado izquierdo del igual.

1 1 1 7)

A . ( s + 1 – j 2)

Cancelar denominador del lado izquierdo, con denominador del lado derecho.

1 6)

.

Buscar el común denominador para el lado derecho de la expresión.

. 1 . ( s + 1 – j 2) ( s + 1 + j 2) 5)

=

Ecuación # 1 Ecuación # 2

Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier método que usted conozca.

1 = ( A + A* ) + j2A - j2A* 1 = 0 + j2A - j2A* 1 = j2A - j2A* Considere que:

- j2A* = + j 2 A 1 = 1 = 1 = 1 = A j4 -j = A 4

- j 0.25 = A

Entonces: j2A - j2A* j2A + j 2 A j4A

MATEMÁTICAS ESPECIALES. ITM Página # 6 de 6

Docente: Martha Guzmán.

Entonces: + j 0.25 9)

= A*

Reemplace los valores de las constantes en el desarrollo en fracciones parciales original.

V(s) =

. 1 . ( s + 1 – j 2) ( s + 1 + j 2)

=

V(s) =

. 1 . ( s + 1 – j 2) ( s + 1 + j 2)

=

. A . ( s + 1 – j 2) . – j 0.25 . ( s + 1 – j 2)

+

. A* . ( s + 1 + j 2) +

. + j 0.25 ( s+1+j2)

.