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• Juan Felipe Muñoz Fernandez

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FRACCIONES PARCIALES Introducción a las fracciones parciales

Sabemos que por adición algebraica, la siguiente operación de suma de fracciones da el resultado indicado.

1 3 1( x + 1) + 3( x − 2) + = x − 2 x +1 ( x − 2)( x + 1) x + 1 + 3x − 6 = 2 x + x − 2x − 2 4x − 5 = 2 x −x−2

(ii) el numerador debe ser de al menos un grado menor que el denominador. En el ejemplo anterior, (4 x − 5) es de grado 1, ya que la mayor potencia de x es x1 y ( x 2 − x − 2) es de grado 2.

Cuando el grado del numerador es igual o mayor al grado del denominador, el numerador debe ser dividido hasta que se obtenga un numerador de menor grado que el denominador.

El proceso inverso de moverse desde 4x − 5 1 3 hacia + es 2 x − 2 x +1 x −x−2 conocido como solución en fracciones parciales.

Para resolver una expresión algebraica en fracciones parciales debe tenerse en cuenta lo siguiente.

Existen básicamente tres tipos de fracciones parciales (ver tabla 1), donde f(x) se asume que es de menor grado que el respectivo denominador y donde A, B y C son constantes a ser determinadas. La última expresión ax 2 + bx + c es una expresión cuadrática que no debe factorizarse obteniendo indeterminaciones o números complejos.

(i) el denominador debe poder factorizarse. En el ejemplo anterior, x 2 − x − 2 se puede factorizar como ( x − 2)( x + 1) , y Tabla 1 Tipo

El denominador contiene

1

Factores lineales

2

Factores lineales repetidos

3

Factores cuadráticos

Expresión

Forma de las fracciones parciales

f ( x) ( x + a )( x − b)( x + c) f ( x) ( x + a) 3 f ( x) 2 (ax + bx + c)( x + d )

A B C + + ( x + a ) ( x + b) ( x + c ) A B C + + 2 ( x + a) ( x + a ) ( x + a) 3 Ax + B C + 2 (ax + bx + c) ( x + d )

Problemas con factores lineales Ejercicio 1. Resolver la siguiente expresión en fracciones parciales. 11 − 3 x 2 x + 2x − 3 El denominador se puede factorizar como ( x − 1)( x + 3) y el numerador es de un grado menos que el denominador, por lo tanto la expresión puede resolverse en fracciones parciales. 11 − 3 x A B = + ( x − 1)( x + 3) ( x − 1) ( x + 3) Por adición algebraica, tenemos. 11 − 3 x A( x + 3) + B ( x − 1) = ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) Debido a que los denominadores son exactamente igual en ambos lados de la igualdad, por lo tanto, sus numeradores también lo son. 11 − 3 x = A( x + 3) + B ( x − 1) Para determinar los valores de A y B, se eligen valores de x de tal manera que los términos en A ó en B se vuelvan cero. Si x = 1, entonces

Si x = -3, entonces 11 − 3(−3) = A(−3 + 3) + B (−3 − 1) 20 = B (−4) 20 = −5 −4 B = −5 B=

Asi,

11 − 3 x A B = + ( x − 1)( x + 3) ( x − 1) ( x + 3) 11 − 3 x 2 −5 = + ( x − 1)( x + 3) ( x − 1) ( x + 3) 11 − 3 x 2 5 = − ( x − 1)( x + 3) ( x − 1) ( x + 3)

Ejemplo 2. Resolver la siguiente expresión en fracciones parciales. x2 +1 x 2 − 3x + 2 El denominador es del mismo grado que el numerador, por lo tanto hay que efectuar la división.

x 2 + 0 x + 1 x 2 − 3x + 2 − x 2 + 3x − 2 1 3x − 1

11 − 3(1) = A(1 + 3) + B ( x − 1) 11 − 3 = A(4) + B (0) 8 = 4A 8 =A 4 A=2

Por lo tanto, x2 +1 3x − 1 = 1+ 2 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 3x − 1 = 1+ ( x − 1)( x − 2)

Tomemos la parte correspondiente a 3x − 1 y resolvámosla en ( x − 1)( x − 2) fracciones parciales.

La expresión completa queda de la siguiente manera.

x2 +1 2 5 = 1− + 2 ( x − 1) ( x − 2) x − 3x + 2

3x − 1 A B = + ( x − 1)( x − 2) ( x − 1) ( x − 2) Por suma algebraica tenemos, 3x − 1 A B = + ( x − 1)( x − 2) ( x − 1) ( x − 2) 3x − 1 A( x − 2) + B ( x − 1) = ( x − 1)( x − 2) ( x − 1)( x − 2) Igualando los numeradores tenemos, 3 x − 1 = A( x − 2) + B ( x − 1) Si x = 1, tenemos, 3(1) − 1 = A(1 − 2) + B (1 − 1) 2 = −A A = −2 Si x = 2, tenemos, 3(2) − 1 = A(2 − 2) + B (2 − 1) 5= B B=5 Por lo tanto, 3x − 1 A B = + ( x − 1)( x − 2) ( x − 1) ( x − 2) 3x − 1 2 5 =− + ( x − 1)( x − 2) ( x − 1) ( x − 2)

Problemas repetidos

con

factores

lineales

Ejemplo 3. Resolver la siguiente expresión en fracciones parciales. 2x + 3 ( x − 2) 2 El denominador contiene el factor lineal repetido ( x − 2) 2 . 2x + 3 A B = + 2 ( x − 2) ( x − 2) 2 ( x − 2) Común denominador ( x − 2) 2 . 2x + 3 A( x − 2) + B = 2 ( x − 2) ( x − 2) 2 Igualando los numeradores. 2 x + 3 = A( x − 2) + B Si x = 2, entonces 2(2) + 3 = A(2 − 2) + B 7=B Por comparación de término vamos hallar el valor de A. Ya que una identidad es verdadera para todos los valores no conocidos, los

coeficientes de los términos similares pueden ser igualados. 2 x + 3 = A( x − 2) + B 2 x + 3 = Ax − 2 A + B Términos con x: 2= A

Términos sin x: 3 = −2 A + B

A( x − 1) 2 + B ( x + 3)( x − 1) 5 x 2 − 2 x − 19 + C ( x + 3) = ( x + 3)( x − 1) 2 ( x + 3)( x − 1) 2

Igualando los numeradores tenemos, 5 x 2 − 2 x − 19 = A( x − 1) 2 + B ( x + 3)( x − 1) + C ( x + 3)

Si x = -3, tenemos, 5(−3) 2 − 2(−3) − 19 = A(−3 − 1) 2 + B (−3 + 3)(−3 − 1) + C (−3 + 3)

Pero sabemos que B = 7, por lo tanto, 3 = −2 A + 7 3−7 =A −2 A=2 Por lo tanto, 2x + 3 2 7 = + 2 ( x − 2) ( x − 2) 2 ( x − 2)

Ejemplo 4. Resolver en fracciones parciales la siguiente expresión. 5 x 2 − 2 x − 19 ( x + 3)( x − 1) 2

32 = 16 A A=2

Si x = 1, tenemos, 5(1) 2 − 2(1) − 19 = A(1 − 1) 2 + B(1 + 3)(1 − 1) + C (1 + 3) − 16 = 4C C = −4

Encontremos el valor de comparación de términos.

B,

por

5 x 2 − 2 x − 19 = A( x 2 − 2 x + 1) + B ( x 2 + 2 x − 3) + C ( x + 3) 5 x 2 − 2 x − 19 = Ax 2 − 2 Ax + A + Bx 2 + 2 Bx − 3B + Cx + 3C

Términos con x2:

El denominador es una combinación de un factor lineal y de un factor lineal repetido.

Pero sabemos que A = 2, por lo tanto,

5 x 2 − 2 x − 19 A B C = + + 2 ( x + 3) ( x − 1) ( x − 1) 2 ( x + 3)( x − 1)

5= 2+B B=3

Común denominador ( x + 3)( x − 1) 2

Términos con x:

5 = A+ B

− 2 = −2 A + 2 B + C

Sabemos que A = 2 y C = -4, por lo tanto,

3x 2 + 16 x + 15 = A( x + 3) 2 + B( x + 3) + C 3x 2 + 16 x + 15 = A( x 2 + 6 x + 9) + Bx + 3B + C

− 2 = − 2( 2) + 2 B + ( − 4)

3x 2 + 16 x + 15 = Ax 2 + 6 Ax + 9 A + Bx + 3B + C

− 2 = −4 + 2 B − 4

Términos con x2:

−2+8 =B=3 2

3= A

La expresión completa, en fracciones parciales queda de la siguiente manera.

Términos con x: 16 = 6 A + B

5 x 2 − 2 x − 19 2 3 4 = + − 2 ( x + 3) ( x − 1) ( x − 1) 2 ( x + 3)( x − 1)

Sabemos que A = 3, entonces, 16 = 6(3) + B

Ejemplo 5. Resolver la siguiente expresión en fracciones parciales.

3 x 2 + 16 x + 15 ( x + 3)3 3 x 2 + 16 x + 15 A B C = + + 3 2 ( x + 3) ( x + 3) ( x + 3) ( x + 3) 3

16 − 18 = B −2= B Para verificar, revisemos los términos sin x: 15 = 9 A + 3B + C Sabemos que A = 3, B = -2 y C = -6, entonces,

Común denominador ( x + 3) 3 , entonces, 2

2

3x + 16 x + 15 A( x + 3) + B ( x + 3) + C = ( x + 3) 3 ( x + 3) 3

Igualando los numeradores, nos queda,

15 = 9(3) + 3(−2) + (−6) 15 = 27 − 6 − 6 15 = 15 La expresión completa en fracciones parciales queda de la siguiente manera.

3 x 2 + 16 x + 15 = A( x + 3) 2 + B ( x + 3) + C Si, x = -3, tenemos,

3x 2 + 16 x + 15 3 2 6 = − − 3 2 ( x + 3) ( x + 3) ( x + 3) ( x + 3) 3

3(−3) 2 + 16(−3) + 15 = A( −3 + 3) 2 + B(−3 + 3) + C − 6 = A(0) 2 + B(0) 2 + C C = −6

Por comparación de términos encontremos el valor de A y B.

Problemas con factores cuadráticos

Sabemos que C = 5, por lo tanto,

Ejemplo 6. Resolver la siguiente expresión en fracciones parciales.

7 = A+5 A=2

Términos con x: 2

7 x + 5 x + 13 ( x 2 + 2)( x + 1)

5= A+ B

El denominador es una combinación del factor cuadrático ( x 2 + 2) y el factor lineal ( x + 1) .

Sabemos que A = 2, por o tanto,

7 x 2 + 5 x + 13 Ax + B C = 2 + 2 ( x + 2)( x + 1) ( x + 2) ( x + 1)

Para comprobar estos valores, revisemos los términos sin x:

Común denominador ( x 2 + 2)( x + 1)

13 = B + 2C

7 x 2 + 5 x + 13 ( Ax + B )( x + 1) + C ( x 2 + 2) = ( x 2 + 2)( x + 1) ( x 2 + 2)( x + 1)

5=2+ B B=3

Sabemos que B = 3 y C = 5, por lo tanto, 13 = (3) + 2(5)

Igualando los numeradores, obtenemos,

13 = 3 + 10 13 = 13

7 x 2 + 5 x + 13 = ( Ax + B )( x + 1) + C ( x 2 + 2) La expresión completa en fracciones parciales queda de la siguiente manera.

Si x = -1, tenemos, 7(−1) 2 + 5(−1) + 13 = [ A(−1) + B ](−1 + 1) + C (−12 + 2)

7 x 2 + 5 x + 13 2x + 3 5 = 2 + 2 ( x + 2)( x + 1) ( x + 2) ( x + 1)

15 = (− A + B)(0) + C (3) 15 = 3C

Ejemplo 7. Resolver la siguiente expresión en fracciones parciales.

15 C = =5 3

Por comparación de términos hallemos el valor de B y C. 7 x 2 + 5 x + 13 = ( Ax + B)( x + 1) + C ( x 2 + 2) 2

2

2

7 x + 5 x + 13 = Ax + Ax + Bx + B + Cx + 2C

Términos con x2: 7= A+C

3 + 6x + 4x 2 − 2x3 x 2 ( x 2 + 3) Los términos como x2 pueden ser expresados como (x + 0)2, por lo que aquí estamos ante un factor lineal repetido.

3 + 6 x + 4 x 2 − 2 x 3 A B Cx + D = + 2 + 2 x x x 2 ( x 2 + 3) ( x + 3) Común entonces,

denominador

x 2 ( x 2 + 3) ,

Ax( x 2 + 3) + B ( x 2 + 3) 3 + 6 x + 4 x 2 − 2 x 3 + (Cx + D) x 2 = x 2 ( x 2 + 3) x 2 ( x 2 + 3) Igualando los numeradores, tenemos,

3 + 6 x + 4 x 2 − 2 x 3 = Ax( x 2 + 3) + B( x 2 + 3) + x 2 (Cx + D) Resolvamos los productos indicados. 3 + 6 x + 4 x 2 − 2 x 3 = Ax 3 + 3 Ax + Bx 2 + 3B + Cx 3 + Dx 2

6 = 3A A=2

Para comprobar, igualemos los términos independientes (términos sin x). 3 = 3B

Sabemos que B =1, por lo tanto, 3 = 3(1) 3=3

Usemos la [Ecuación 1] para hallar el valor de C. −2= A+C

Sabemos que A = 2, por lo tanto, −2=2+C −2−2=C

Si x = 0, tenemos,

C = −4

3 + 6(0) + 4(0) 2 − 2(0) 3 = A(0) 3 + 3 A(0) + B(0) 2 + 3B + C (0) 3 + D (0) 2 3 = 3B B =1

Por comparación de términos hallemos a A, C y D. Términos con x3: −2= A+C

Términos con x:

La expresión completa en factores parciales queda expresada de la siguiente manera. 3 + 6x + 4x 2 − 2x3 2 1 3 − 4x = + 2 + 2 2 2 x x x ( x + 3) ( x + 3)

BIBLIOGRAFÍA [ Ecuación 1]

Términos con x2:

BIRD, John. ENGINEERING MATHEMATICS. Newnes. Fourth Edition. 2003. Pág: 51 - 56.

4=B+D

Sabemos que B = 1, por lo tanto, 4 = (1) + D ⇒ D = 3

__________ Notas preparadas por Juan Felipe Muñoz Fernández (http://www.juanfelipe.net).

EJERCICIOS DE FRACCIONES PARCIALES PROPUESTOS (Las respuestas se indican entre corchetes)

12 1. 2 x −9

 2  ( x-3) 

4( x − 4) 2. 2 x − 2x − 3

 5  ( x + 1) 

2

3.

4.

5.

6.

x − 3x + 6 x( x − 2)( x − 1)

 −  ( x + 3)  2

10.

 −  ( x − 3)  2

2 3  x + ( x − 2) 

−

  ( x − 1)  4

11.

3(2 x 2 − 8 x − 1) ( x + 4)( x + 1)(2 x − 1)

 7  ( x + 4)  x 2 + 9x + 8 x2 + x − 6 x 2 − x − 14 x 2 − 2x − 3

−

3

−

( x + 1)

  2x − 1   x − 2) 

8.

+

2 x

−

  ( x + 3)  1

 2 3  ( x − 5) − ( x + 2) 

4

+

( x + 2)

2

  

 1 2−x   ( x − 4) + 2  ( x + 3)  

2 3   1 − ( x − 3) + ( x + 1)   

1  x2 

18 + 21x − x 2 ( x − 5)( x + 2) 2

6x − 5 ( x − 4)( x 2 + 3)

1 5   3 x − 2 + ( x − 2 ) − ( x + 2 )   

x2 + 7x + 3 9. 2 x ( x + 3)



13.

6

 4  7  ( x + 1) − 2 ( x + 1)  

( x − 2)

3

 2x + 3 1  −  2   ( x + 7 ) ( x − 2) 

3 x 3 − 2 x 2 − 16 x + 20 ( x − 2)( x + 2)

4x − 3 ( x + 1) 2



4

+

x 2 − x − 13 ( x 2 + 7)( x − 2)

14. 7.

 5 10  ( x − 2) − 2 ( x − 2) 

12.

2

2  1 + ( x + 3) + 

5 x 2 − 30 x + 44 ( x − 2) 3

15.

15 + 5 x + 5 x 2 − 4 x 3 x 2 ( x 2 + 5) 1 x 

+

3 2 − 5x  +  2 2 x ( x + 5) 

x 3 + 4 x 2 + 20 x − 7 ( x − 1) 2 ( x 2 + 8)  3  ( x − 1) 

2

+

( x − 1)

2

+

1 − 2x   2 ( x + 8) 

39 2 s + 42 s − 40 2 L{θ } = s ( s − 2)( s 2 − 6 s + 10) 16. 4s 3 −

2 s − 

1 2( s − 2 )

  − 6 s + 10) 

5s − 3 + 2( s

2