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CAPITULO 8

FRACCIONES PARCIALES

OBJETIVO PARTICULAR: El alumno descompondrá expresiones racionales en sumas de expresiones más sencillas.

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más sencillas, su utilidad es común en cursos más avanzados de matemáticas. f ( x) se puede escribir como una suma de g ( x) expresiones racionales F1 + F2 +...+ Fn, si el grado de f(x) es menor que el de g(x)

Cualquier expresión racional

Hay cuatro casos de descomposición en fracciones parciales: Caso 1. En el cual cada denominador es lineal. Caso 2. Con factor lineal repetido. Caso 3. Con un factor cuadrático irreducible. Caso 4. Con factor cuadrático repetido.

Procedimiento para la descomposición en fracciones parciales Paso 1: Si el grado de f(x) es mayor que el de g(x), utilizar la división larga para bajar el grado de la función del numerador. Paso 2: Factorizar el denominador g(x) para obtener un producto de factores lineales, de la forma (px+q), o factores cuadráticos irreductibles, ( ax 2 + bx + c ), y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de n la forma ( px + q ) m , o ( ax 2 + bx + c ) con m y n enteros positivos. Paso 3: Si el denominador es lineal de la forma parciales con factor lineal repetido m veces. Am A1 A2 + + ... + 2 px + q ( px + q ) ( px + q ) m

( px + q ) m con m ≥ 1 , m fracciones

Paso 4: Si el denominador es cuadrático de la forma fracciones parciales con factor cuadrático repetido n veces.

( ax

2

+ bx + c

)

n

con n ≥ 1, n

Am x + Bm A1 x + B1 A2 x + B2 + + ... + 2 2 ax + bx + c ( ax 2 + bx + c ) ( ax 2 + bx + c ) m

Paso 5. Obtener los valores de A1, A2, etc.

1

2

Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales

2x 2 − 3 x + 6 x3 − x2 − 6x

Paso 1. Se verifica que el numerador tenga grado menor que el denominador. Paso 2. Se factoriza el denominador

x 3 − x 2 − 6 x = x( x 2 − x − 6 ) = x( x − 3 )( x + 2) Paso 3: Se coloca cada factor obtenido, de la siguiente forma

2x 2 − 3 x + 6 A B C = + + 3 2 x − x − 6x x x − 3 x + 2 Se obtiene el mínimo común denominador, se hacen simplificaciones

2 x 2 − 3 x + 6 = A( x − 3 )( x + 2) + B( x )( x + 2) + C ( x )( x − 3 )

: Se eliminan los paréntesis realizando las operaciones con los factores

(

)

(

)

(

2x 2 − 3 x + 6 = A x 2 − x − 6 + B x 2 + 2x + C x 2 − 3x

)

Se obtienen las ecuaciones identificando términos

2 x 2 − 3 x + 6 = ( Ax 2 − Ax − 6 A) + ( Bx 2 + 2 Bx ) + (Cx 2 − 3Cx )

Se multiplica las variables desconocidas

2 x 2 − 3 x + 6 = Ax 2 − Ax − 6 A + Bx 2 + 2 Bx + Cx 2 − 3Cx

Se eliminan los paréntesis

2 x 2 − 3 x + 6 = Ax 2 + Bx 2 + Cx 2 − Ax + 2 Bx − 3Cx − 6 A

Se ordenan los términos

2 x 2 − 3 x + 6 = x 2 ( A + B + C ) + x ( − A + 2 B − 3C ) − 6 A

Resultan tres ecuaciones de la igualdad A +1B +1C = 2 − A + 2 B − 3C = −3 6 = −6 A

Se factoriza

Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3

Con la tercera ecuación se obtiene el valor de A

6 −6

6 = −6 A

=A

A = −1

Se sustituye los valores de A= −1 en las ecuaciones 1 y 2

A

+B

+C

=2

− A + 2 B − 3C = −3

⇒

( −1)

+ B + C =2

− ( −1) + 2 B − 3C = −3

⇒

B+ C = 3 2 B − 3C = −4

2

3 Se resuelvo el sistema de dos ecuaciones para obtener los valores de B y C Multiplicamos por −2 la 1ª. ecuación

−2 B −2 C = −6 2 B −3C = −4

− 5C = −10

C=2

Se sustituye los valores de A= −1 y C = 2 en cualquiera de las ecuaciones 1 o 2 para obtener B utilizamos la 1ª. ecuación

( − 1) + B + ( 2) = 2 B=1

Se sustituyen los valores de A B y C en la expresión obtenida en el paso 3.

4 x 2 + 13 x − 9 A B C 1 1 2 = + + =− + + 3 2 x x + 3 x −1 x + 2x − 3 x x x + 3 x − 1

Un procedimiento alternativo de solución más sencillo, que solamente se puede usar cuando los términos son lineales y no repetidos. 2x 2 − 3 x + 6 x3 − x2 − 6x Se obtiene el mínimo común denominador, se hacen simplificaciones

2 x 2 − 3 x + 6 = A( x − 3 )( x + 2) + B( x )( x + 2) + C ( x )( x − 3 ) Se igualan a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial

( x − 3) = 0

( x + 2) = 0

x =3

x = −2

( x) = 0 x =0

Primero sustituimos el valor de x = 3

2 x 2 − 3 x + 6 = A( x − 3 )( x + 2) + B( x )( x + 2) + C ( x )( x − 3 ) 2( 3 ) − 3( 3 ) + 6 = A( 3 − 3 )( 3 + 2) + B( 3 )( 3 + 2) + C ( 3 )( 3 − 3 ) 2

18 − 9 + 6 = A( 0 )( 5 ) + B ( 3 )( 5 ) + C ( 3 )( 0 )

15 = 0 A + 15 B + 0C

15 = 15B ∴B=1 luego sustituimos el valor de x = − 2

2 x 2 − 3 x + 6 = A( x − 3 )( x + 2) + B( x )( x + 2) + C ( x )( x − 3 ) 2( − 2) − 3( − 2) + 6 = A( − 2 − 3 )( − 2 + 2) + B( − 2)( − 2 + 2) + C ( − 2)( − 2 − 3 ) 2

3

4 8 + 6 + 6 = A( −5)(0) 20 = 10C

+ B (−2)(0)

+ C ( −2)(−5)

∴C = 2 Y por último sustituimos el valor de x = 0

2 x 2 − 3 x + 6 = A( x − 3 )( x + 2) + B( x )( x + 2) + C ( x )( x − 3 )

2( 0 ) − 3( 0 ) + 6 = A( 0 − 3 )( 0 + 2) + B ( 0 )( 0 + 2) + C ( 0 )( 0 − 3 ) 6 = A( − 3 )( 2) 2

∴A = −1

Solución 4 x 2 + 13 x − 9 A B C 1 1 2 = + + =− + + 3 2 x x + 3 x −1 x + 2x − 3 x x x + 3 x − 1 EJERCICIOS 1)

8 x −1 ( x − 2 )( x + 3)

2 x´+6 x 2 − 4x 3x − 8 7) ( x + 1) ( x 2 − 5 x + 6)

4)

2)

x −9 ( x − 5 )( x + 3 )

3)

x−4 x − x − 12

5)

x2 − 5x + 2 ( x + 5 )( x + 1)( x − 2)

6)

x 2 + 8x + 5 x( x + 2)( x − 5 )

8)

4 x 2 − 5 x − 15 x 3 − 4 x 2 − 5x

9)

2

x2 − x + 5 x 3 − 2x 2 − 3 x

Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido. Ejemplo:

x2 + 5x + 6 2 x( x + 2)

Se observa que en este ejercicio hay un término lineal repetido que es ( x + 2) 2 Entonces descomponemos la expresión equivalente de la siguiente manera: A B C + + x x + 2 ( x + 2) 2 Si el término repetido estuviera elevado a la cuarta potencia ( x + 2) 4 lo expresaríamos así A B C D E + + + + x x + 2 ( x + 2 ) 2 ( x + 2) 3 ( x + 2 ) 4 volvamos el ejemplo propuesto... x2 + 5x + 6 2 x( x + 2)

(1)

4

5

Proponemos la primera expresión fraccionaria con el denominador el término lineal x, luego escribimos la segunda con el denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos la tercera con el denominador el término repetido elevado al cuadrado x2 + 5x + 6 A B C = + + 2 x x + 2 ( x + 2) 2 x ( x + 2)

(2)

Como ya se indicó anteriormente, tenemos un término repetido, por lo tanto, ya no podemos usar la forma alternativa sencilla de solución, por esta razón utilizaremos el sistema de ecuaciones. Multiplicamos por el mínimo común denominador la expresión (2)

x 2 + 5 x + 6 = A( x + 2) + B( x )( x + 2) + C ( x ) 2

Desarrollamos las expresiones de los paréntesis

(

)

(

)

x 2 + 5 x + 6 = A x 2 + 4 x + 4 + B x 2 + 2x + C( x)

x + 5 x + 6 = ( Ax + 4 Ax + 4 A) + ( Bx + 2 Bx ) + ( Cx )

Se opera con los coeficientes desconocidos

x + 5 x + 6 = Ax + 4 Ax + 4 A + Bx + 2 Bx + Cx

Eliminamos los paréntesis

2

2

2

2

2

2

x + 5 x + 6 = Ax + Bx + 4 Ax + 2 Bx + Cx + 4 A 2

2

2

Ordenamos términos

x 2 + 5 x + 6 = x 2 ( A + B ) + x( 4 A + 2B + C ) + 4 A

Se realiza factorización

(1) (2) (3)

A+B =1 4 A + 2B + C = 5 4A =6

De la ecuación (3) obtenemos

Se forman las 3 ecuaciones

A = 3/2

Sustituimos el valor de A= 3/2 en la ecuación (1)

3 + B =1 2

⇒

B = 1−

3 2

⇒

B=

2 3 − 2 2

⇒

B=−1/2

Sustituimos el valor de A= 3/2 y B=−1/2 en la ecuación (2) 4 A + 2B + C = 5

3   1 4  + 2 −  + C = 5 2    2 6 −1+ C = 5

C=0

Solución x 2 + 5x + 6 3 1 = − 2 2 x 2( x + 2) x( x + 2)

5

6 EJERCICIOS x −2 1) 2 x − 2x + 1

(

4)

2x 2 − 1 x 3 + 2x 2 x2 + 5 5) ( 2 x 2 + 3 x − 2) x−9 8) ( x − 5)( x + 3) ( x 3 + 2 x 2 )

)

2)

x−4 2 x + 10 x + 25 8x −1

7)

( x − 2)( x + 1) 2

3)

x2 − 5x − 5 3x3 − 5x2

x 2 − 2x 6) ( x − 1) 2 ( x + 1) 2 x −4 9) 2 x − x − 12 ( x − 4 )

(

)

Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor cuadrático irreducible. 8 x 3 − 2 x 2 + 10 x + 7 2x 3 − x 2 + 2x − 1 En este ejercicio el grado del numerador y denominador son iguales por lo que se tiene que realizar una división larga.

4 2x − x + 2x − 1 3

8 x 3 − 2 x 2 + 10 x + 7 − 8x3 + 4x2 − 8x + 4 2 x 2 + 2 x + 11

2

8 x 3 − 2 x 2 + 10 x + 7 2 x 2 + 2 x + 11 = 4 + 2x 3 − x 2 + 2x − 1 2x 3 − x 2 + 2x − 1 Se factoriza el denominador:

(

)

2 x 3 − x 2 + 2 x − 1 = x 2 ( 2 x − 1) + ( 2 x − 1) = x 2 + 1 ( 2 x − 1)

(x

)

+ 1 es un factor cuadrático irreducible por lo que las expresiones fraccionarias se expresan de la siguiente manera: 2

2 x 2 + 2 x + 11 Ax + B C = 2 + 3 2 2x − x + 2x − 1 x + 1 2x − 1 Multiplicamos a ambos extremos de la igualdad por el mcd

2 x 2 + 2 x + 11 = ( Ax + B )( 2 x − 1) + C ( x 2 + 1)

Se hacen las operaciones de los paréntesis

2 x 2 + 2 x + 11 = 2 Ax 2 − Ax + 2 Bx − B + Cx 2 + C

Se eliminan los paréntesis

2 x + 2 x + 11 = 2 Ax + Cx − Ax + 2 Bx − B + C

Se ordenan términos

2

2

2

2 x 2 + 2 x + 11 = x 2 ( 2 A + C ) + x( − A + 2 B ) + ( − B + C )

(1) (2) (3)

Se factoriza

6

7 2 A + 0 + C =1

Se forman las 3 ecuaciones:

− A +2B + 0 = 2 0 − B + C =11

Se resuelve por el método que se prefiera, por reducción, igualación, sustitución, continuaremos usando el método de Gauss. +2

+0

1

+1

−1

+2

0

+2

0

−1

1

+11

+2 +0

+0 +4 −1

1 +1 1 +6 1 +11

+2 +0 +0

+0 +4 0

1 +1 1 +6 5 50

2 R2 − R1 = R2 2 R2 − R1 = R2

4 R3 − R2 = R3

Del tercer renglón tenemos que

5C = 50 C = 10

Sustituimos el valor de C =10 en la ecuación

(3)

− B + C = 11 − B = 11 −10

B = −1 Sustituimos el valor de B =−1 en la ecuación − A + 2B = 2 − A = 2 − 2B − A = 2 − 2(−1) −A =4

(2)

A = −4 SOLUCIÓN 8 x 3 − 2 x 2 + 10 x + 7 2 x 2 + 2 x + 11 4 x + 1 10 = 4 + = 4− 2 + 3 2 3 2 2x − x + 2x − 1 2x − x + 2x − 1 x + 1 2x − 1

7

8

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