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Facultad de informática y Ciencias Aplicadas Escuela de Ciencias Aplicadas

Matemáticas 1 Catedrático: René Avilés Tema: Fracciones Parciales Presentado por: Noé Guerrero Carrera: Ingeniería en Sistemas y Computación San Salvador, El Salvador, Centroamérica

Fracciones parciales Fracciones Parciales Concepto......................................................................................... 5 Caso 1 Factores lineales distintos. ................................................................................. 6 Ejemplo caso 1 .................................................................................................................................... 6 Caso 2 Factores Lineales Repetidos. ............................................................................. 8 Ejemplo Caso 2 .................................................................................................................................... 8 Caso 3 Factores Cuadráticos Distintos ....................................................................... 10 Ejemplo caso 3 .................................................................................................................................. 10 Caso 4 Factores Cuadráticos repetidos ...................................................................... 13 Ejemplo caso 4 .................................................................................................................................. 13

Introducción

Se le conoce como fracciones parciales aquella de la forma

en donde F(x) es

un polinomio de un grado menor al de G(x). También consisten en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. La investigación de las fracciones parciales no ayuda a que comprendamos mejor cada uno de los casos relacionados a ella, Las fracciones parciales es un tema no muy amplio pero de mucha importancia ya que nos enseña a convertir suma o división de fracciones, en fracciones parciales utilizando métodos de sustitución para encontrar el valor ya sea de A, B, C etc. Cada paso o caso nos explica de una manera ordenada como resolverse, también se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

Objetivos

Conocer la definición de fracciones parciales y su resolución con distintos casos para operar dichas fracciones.

Aprender cada caso de las fracciones parciales para su aplicación en la materia.

Fracciones Parciales.

Definición 1: Una fracción parcial es aquella de la forma

en donde F(x) es un

polinomio de un grado menor al de G(x). Definición 2: Las fracciones parciales consisten en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo diferencial. El requisito más importante es el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el de el numerador. Definición 3: Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples. Considerando la siguiente suma de fracciones:

En esta fracción se analizará el proceso inverso: dada una fracción, descomponer en una suma de fracciones es decir:

Hay cuatro casos los cuales son:

1- El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos. 2- El denominador q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten. 3- El denominador q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite. 4- El denominador q(x) contiene un factor irreductible repetido.

Caso 1 Factores lineales distintos. Para cada factor lineal (no repetido) de la forma ax+b que aparezca en el denominador le corresponderá a la fracción:

A= Constante que se deberá

determinar.

También se podría decir donde ningún par de factor es idéntico. En este caso, existen constantes Tales que:

Ejemplo caso 1: Descomponer en fracción parcial la siguiente fracción:

Solución: Tenemos que el denominador puede descomponerse en factores simples:

Luego la descomposición en fracciones parciales es:

Luego para encontrar sacamos Mínimo Común Múltiplo (MCM) de esta expresión Que en este caso es tendremos como resultado

y al dividirlo por ambos términos

Y al multiplicarlo nos quedara de esta forma:

Desarrollando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Ahora será más fácil encontrar el valor de A

Por lo que la fracción original nos quedara de esta manera:

Caso 2 Factores Lineales Repetidos.

El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite, es decir si Q(x) tiene un factor cuadrático no repetido de la forma , en donde, , entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma:

Donde Ay B son constantes.

Ejemplo Caso 2: Descomponer en fracciones parciales:

Tenemos que:

Luego descomponemos esta integral en fracciones parciales comenzamos por escribir el integrando con su denominador factorizado se resolverá por agrupación de términos

Observamos la igualdad de dos fracciones con los mismos denominadores, entonces podríamos eliminarlos

Luego se agruparan los términos de la derecha

1) 2) 3)

Para resolver este sistema de ecuaciones usaremos el método de sustitución

4)

5)

Al sustituir tendremos:

Entonces al sustituir B

Ahora al final la expresión nos quedara de la siguiente manera

El valor de v no se pone ya que vale 0 Caso 3 Factores Cuadráticos Distintos Si Q(x) tiene un factor lineal repetido n veces de la forma , entonces la descomposición en fracciones parciales contiene n términos de la forma:

Donde

, son constantes.

Ejemplo caso 3: Descomponer en fracciones parciales

Solución: La descomposición en fracciones parciales es:

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por el denominador común.

Para poder operar observamos que la fracción posee distintos denominadores pero al efectuar la fracción observamos que su denominador común será:

Del resultado anterior se obtuvo:

Ahora agrupamos términos en el lado derecho:

Luego aplicamos factor común pero en este caso quedara a la derecha:

En el lado izquierdo la expresión sigue siendo la misma, ahora confrontamos los coeficientes de ambas expresiones:

Al confrontar los coeficientes obtuvimos tres ecuaciones que conforman (lo que se llama) un sistema de ecuaciones de tres por tres (3*3), tres ecuaciones con tres incógnitas, para resolver este sistema de ecuaciones, podemos recurrir a los métodos de sustitución, igualación y eliminación. A continuación se resolverá por el método de sustitución donde despejaremos la ecuación 1 y 2.

Al sustituir la expresión 4 en 3 tendremos

Ahora que sabemos que

sustituiremos la primera ecuación para encontrar A

Ahora que ya sabemos que A=3 y B=2 sustituimos nuevamente para encontrar el Valor de C

Luego la fracción nos quedara de la siguiente manera.

También podíamos hacerlo de la siguiente manera

Ahora encontramos el valor de B

Ahora encontramos C

Y vemos que al final nos quedo de la misma manera entonces la fracción nos quedara

Caso 4 Factores Cuadráticos repetidos

El denominador Q(n) contiene un factor irreductible repetido, si Q(x) tiene un factor cuadrático repetido n veces de la forma , entonces la descomposición en fracciones parciales contiene que n términos de la forma

Ejemplo caso 4: Descomponer en fracciones parciales

Solución: Así se descompondrá esta fracción parcial tenemos que

Sacaremos factor común para resolver la fracción

Luego multiplicaremos los resultados

Luego se agrupan los términos semejantes

Como el denominador es igual en ambas fracciones se elimina y nos queda de la siguiente manera

Si ya se sabe cuánto vale A y cuánto vale C entonces solo nos queda sustituir valores

Ahora solo nos queda por encontrar cuánto vale D

Ahora que ya sabemos cuánto vale cada fracción nos disponemos a sustituir.

Conclusión

En conclusión se dio a conocer el concepto de las fracciones parciales, también los distintos casos que posee, cada caso lleva un ejemplo explicado para comprender mejor dicho tema Ahora cundo hablamos de fracciones parciales sabemos que son aquellas que consisten en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Pero para cada caso se sabe que será diferente método para resolver dichas fracciones.