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• Liliana Oliveros

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Fracciones Parciales M.C. Jorge Vicente Cob´a Pech 2015

1.

Fracciones parciales Sean p (x) y q (x) dos polinomios del mismo grado, digamos p (x)

= a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn

g (x)

= b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bn xn

se dice que el polinomio p (x) es igual al polinomio q (x), lo cual se escribe p (x) = q (x) , si ai = bi , para i = 0, 1, ..., n a) Determine los valores de a y b para que se cumpla la igualdad x2 + (2a + b) x + 3a − b = x2 + 5x − 1 b) Determine los valores de a y b para que se cumpla la igualdad a b 2x + 1 = + (x − 1) (x − 2) x−1 x−2 (Sugerencia: multiplique ambos miembros por (x − 1) (x − 2)) c) Determine los valores de a y b para que se cumpla la igualdad 3x2 + 2x + 1 a bx + c = + x3 − 1 x − 1 x2 + x + 1
Sugerencia: multiplique ambos miembros por x3 − 1 d) Determine los valores de a y b para que se cumpla la igualdad x3 + x2 + x + 1 a b cx + d = + + x4 − 1 x − 1 x + 1 x2 + 1
Sugerencia: multiplique ambos miembros por x4 − 1 Example 1 Factores lineales distintos 5x + 1 A B C = + + (x − 1) (x + 1) (x + 2) x−1 x+1 x+2 entonces 5x + 1 ≡ A (x + 1) (x + 2) + B (x − 1) (x + 2) + C (x − 1) (x + 1) de donde A = 1, B = 2 y C = −3 5x + 1 1 2 −3 = + + (x − 1) (x + 1) (x + 2) x−1 x+1 x+2

1

Example 2 Factores lineales repetidos 5x2 + 4x + 2 2

=

A B C + + x − 4 x + 3 (x + 3)2

5x2 + 4x + 2

=

A (x + 3) + B (x + 3) (x − 4) + C (x − 4)

(x − 4) (x + 3)

2

de donde A = 2, B = 3, C = −5 Exercise 3 En cada uno delos ejercicios 1- 20, descomponer la fracci´ on dada en sus fracciones parciales simples. 1.

3x+6 (x−2)(x+4)

2.

x−9 x2 −9

3.

3x2 −5x−52 (x+2)(x−3)(x+5)

4.

−2x2 +14x+18 (x−3)(2x2 −x−1)

5.

x3 +2x2 −1 x2 +x−6

6.

3x−1 (x+1)2

7.

9x2 +16x2 +3x−10 x3 (x+5)

8.

3x3 +10x2 −5x (x−1)2 (x+1)2

9.

2x3 +3x2 −15x−8 (x+2)(x3 −3x+2)

10.

2x4 −4x2 −x+2 (x2 −x)2

11.

x5 +4x4 −15x3 −14x2 +x+24 (x−2)2 (x+1)3

12.

7x (2x+1)(x−3)

13.

9x+7 x2 +2x−3

14.

16−10x2 (x2 −1)(x2 −4)

15.

2x2 +x+9 x3 −2x2 −5x+6

16.

x3 +11x2 +37x+31 x3 +6x2 +5x−12

17.

x2 +3x−2 x2 (2x−1)

18.

2x3 +7x2 +15x+8 x(x+2)3

19.

3x3 +4x2 −21x−103 (x−3)(x3 +5x2 −8x−48)

20.

4x4 −3x2 +6x−3 (x−1)(x2 −1)2

1.1.

Factores cuadr´ aticos distintos

Example 4 Descomponer en sus fracciones parciales simples 3x3 − x2 + 4x (x2 + 1) (x2 − x + 1)

=

3x3 − x2 + 4x

=

Ax + B Cx + D + 2 x2 + 1 x −x+1

(Ax + B) x2 − x + 1 + (Cx + D) x2 + 1

luego tenemos que A = 1, B = −1, C = 2, D = 1. 2

1.2.

Factores cuadr´ aticos repetidos

Example 5 Descomponer en sus fracciones parciales simples 4x4 + 13x2 − 4x + 14 (x −

1) (x2

4

+ 2)

2

2

4x + 13x − 4x + 14

= =

A Bx + C Dx + E + 2 + 2 x−1 x +2 (x2 + 2)

2 A x2 + 2 + (Bx + c) (x − 1) x2 + 2 + (Dx + E) (x − 1)

entonces resolviendo el sistema de ecuaciones con cualquier m´etodo tenemos que A = 3, B = 1, C = 1, D = 0, E = −4 Exercise 6 En cada uno de los ejercicios 1-20 descomponer la fracci´ on dada en sus fracciones parciales simples. 1.

3x2 −4x+5 (x−1)(x2 +1)

2.

5x2 +8x+5 x3 +3x2 +3x+2

3.

2x3 −4x2 +4x−4 (x2 +1)(x2 +2)

4.

3x3 +x2 +2x−2 (x+1)(x2 +1)

5.

2x2 +x+3 x4 +5x2 +6

6.

−10x2 −24x−48 (x+2)(x−3)(x2 +x+2)

7.

4x3 +3x2 +18x−5 (x+1)(x3 +2x−3)

8.

3x3 −9x2 +8x−10 (x−3)(x3 −2x2 −x−6)

9.

2x4 +4x3 +4x2 +x−6 x4 +x3 +3x2

10.

x3 +2x2 +3x (x2 +x+1)2

11.

x5 +7x3 −x2 +9x+x−12 (x2 +3)(x2 +x+2)

12.

2x5 +4x3 −3x2 +3x−1 (x3 +1)3

13.

5x5 −13x4 +19x3 −22x2 +11x−4 (x3 −x2 +x)2

14.

7x4 −11x3 +12x2 −14x+27 (x−3)2 (x2 +2)2

15.

2x5 +9x3 +3x2 +5x+4 x6 +2x3 +1

16.

−4x5 +7x4 −4x3 +10x2 +7 x8 −2x4 +1

17.

5x6 −5x5 +6x4 −8x3 +5x2 +3x+3 (x−1)(x6 −2x3 +1)

18.

2x7 −7x6 +10x5 −16x4 +18x3 −16x2 +11x−4 (x2 +1)2 (x2 −x+1)2

19.

2x9 +x8 +13x7 +10x6 +29x5 +24x4 +29x3 +18x2 +15x+3 (x2 +3)(x2 +1)3

20.

x6 +4x5 +11x4 +16x3 +21x2 +12x+8 (x2 +2)(x2 +x+2)2

3