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• Luis Gustavo Beltran Fernandez

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Ejercicio para el foro 2. Resolver los siguientes ejercicios por análisis combinatorio: 1.-Una madre tiene 3 hijos, ¿de cuántas maneras distintas, nombrándolos uno por uno, puede llamarlos a cenar? 1) 1,2,3 2)2,1,3 3)3,2,1 4)3,1,2 5)1,3,2 6)2,3,1

respuesta: 6 Maneras distintas

2.- ¿Cuántas “palabras”, no necesariamente pronunciables pueden formarse con las letras de la palabra “vestido” (no pueden repetirse las letras, ni pueden omitirse)? La palabra tiene 7 letras todas diferentes P7= 7 ¡= 7*6*5*4*3*2*1 = 5040 palabras 3.- ¿Cuántas de estas “palabras” obtenidas en el ejercicio anterior empiezan con la letra V y terminan en O? P5! = 5*4*3*2*1 = 120 palabras. 4.- Un club tiene 13 miembros de los cuales 6 son hombres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros (presidente, vicepresidente y vocal) pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente tiene que ser hombre? Combinación: es la manera de tomar de un conjunto de n elementos k de ellos, donde el orden de selección no es relevante. La ecuación que cuenta la cantidad de combinaciones es: Combinación (n,k) = n!/((n-k)!*k!) Si k = 1 Comb(n,1) = n Si hay 6 hombres entonces hay 7 mujeres De las 7 mujeres tomo 1 (la presidente), de los 6 hombres tomo 1 (el vicepresidente) y de los 11 restantes tomo, el total es: 7*6*11 = 462 5.- ¿De cuántas formas se puede acomodar y viajar 5 personas de un grupo de 6, en un auto de 5 asientos si sólo 2 de ellas saben manejar? Variaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4. 𝑛

𝑚!

4

6!

6∗5∗4∗3∗2

v𝑚 = (𝑚−𝑛)!= v6 = (6−4)!=

2

= 360

este resultado es cuando conduce una de las dos personas que saben manejar, pero como hay que contar con que también maneje la otra, hay que duplicarlo. 360 × 2 = 720 maneras.

6.- Con 4 banderas de diferentes colores se deben mandar un mensaje de un barco a otro. ¿cuántos mensajes diferentes se pueden enviar si no es obligatorio utilizar todas las banderas? Tenemos 4 banderas de diferentes colores, y podemos enviar distintos mensajes haciendo uso de 1,2, o 4 banderas en distinto orden. La cantidad de mensajes que se pueden formar con las banderas es igual a el valor factorial de la cantidad de banderas, según la ley de las permutaciones: De modo que la cantidad de banderas que se pueden formar es de: 4! = 24 mensajes distintos. 7.- ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una banca de seis asientos, cuatro personas? P = 6! = 4x3x2x1 = 24 maneras 8.- Se tiene una mesa redonda en la cual se pueden sentar 5 mujeres y 5 hombres. ¿De cuántas maneras lo podrán hacer con la condición de que no queden juntos dos hombres? Entonces, el número de posibilidades se obtiene de las permutaciones entre mujeres y entre hombres: 5! × 4! = 2880 maneras 9.- Un examen consta de 12 preguntas de las cuales el estudiante debe contestar diez. Si de las 6 primeras preguntas deben contestar por lo menos 5, ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante? Comb(6,5)*Comb(6,5) = 6!/(6-5)!*5!* 6!/(6-5)!*5! = 6*6 = 36 Comb(6,4) = 6!/((6-4)!*4!) = 6!/2!*4! = 6*5/2 = 15 36+15=51 posibilidades 10.- . Una persona tiene 6 chaquetas y 10 pantalones. ¿De cuántas formas distintas puede combinar estas prendas? C10,6 = 10! / (10-6)! 6!

C10,6 = 10! / 4! * 6!

C10,6 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 / 4 * 3 * 2 * 1 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 C10,6 = 10 * 9 * 8 * 7 /4 * 3 * 2 * 1

C10,6=210 maneras de combinar prendas.