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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS

MODELADO MATEMÁTICO Y CONTROL PARA LEVITACIÓN MAGNÉTICA Alma Azucena Arjón Puente Elva Nahivy Mandujano García

Tesis de Licenciatura presentada a la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica de acuerdo a los requerimientos de la Universidad para obtener el título de

INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

Directores de tesis: M. en C. Miguel Eduardo González Elías e Ing. Alejandro Chacón Ruiz

UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Zacatecas, Zac., 24 de agosto de 2007

APROBACIÓN DE TEMA DE TESIS DE LICENCIATURA

Alma Azucena Arjón Puente Elva Nahivy Mandujano García PRESENTES De acuerdo a sus solicitudes de tema de Tesis de Licenciatura del Programa de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, con fecha 25 de Mayo de 2007, se acuerda asignarles el tema titulado: MODELADO MATEMÁTICO Y CONTROL PARA LEVITACIÓN MAGNÉTICA Se nombran revisores de Tesis a los profesores M. en C. Miguel Eduardo González Elías e Ing. Alejandro Chacón Ruiz, notificándoles a ustedes que dispone de un plazo máximo de seis meses, a partir de la presente fecha, para la conclusión del documento final debidamente revisado.

Atentamente Zacatecas, Zac., 27 de Mayo de 2007

Ing. José Antonio Álvarez Pérez Director de la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica

AUTORIZACIÓN DE IMPRESIÓN DE TESIS DE LICENCIATURA

Alma Azucena Arjón Puente Elva Nahivy Mandujano García PRESENTES La Dirección de la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica les notifica a ustedes que la Comisión Revisora de su documento de Tesis de Licenciatura, integrada por los profesores M. en C. Miguel Eduardo González Elías e Ing. Alejandro Chacón Ruiz, ha concluido la revisión del mismo y ha dado la aprobación para su respectiva presentación.

Por lo anterior, se les autoriza a ustedes la impresión definitiva de su documento de Tesis para la respectiva defensa en el Examen Profesional, a presentarse el 24 de agosto de 2007

Atentamente Zacatecas, Zac., 16 de Agosto de 2007

Ing. José Antonio Álvarez Pérez Director de la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica

APROBACIÓN DE EXAMEN PROFESIONAL

Se aprueba por unanimidad el Examen Profesional de Alma Azucena Arjón Puente y Elva Nahivy Mandujano García presentado el 24 de agosto de 2007 para obtener el título de:

INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

Jurado: Presidente: M. en C. Miguel Eduardo González Elías

Primer vocal:

Ing. Alejandro Chacón Ruiz

Segundo vocal: M. en I. Claudia Reyes Rivas

Tercer vocal: M. en I. Aurelio Beltrán Telles

Cuarto vocal: M. en C. Victor Hernández Ávila

RESUMEN

La levitación magnética es un tema que ha ganado importancia en los últimos años, gracias a las múltiples aplicaciones que se le pueden dar, como por ejemplo, el tren de levitación magnética, o maglev, es un tren suspendido en el aire por encima de una vía, entre 10 [cm] y 15 [cm], siendo propulsado hacia adelante por medio de las fuerzas magnéticas (atractivas y repulsivas). La ausencia de contacto físico entre el carril y el tren hace que la única fricción sea la del aire, por lo que se pueden conseguir muy altas velocidades con un consumo de energía razonable. Otro ejemplo es el almacenamiento de energía mediante los volantes de inercia, ya que permite hacer girar indefinidamente una rueda superconductora inmersa en un campo magnético de manera que almacene la energía mecánica. Este tipo de dispositivo se estudia para la aplicación en trenes o de aerogeneradores (Cedex). Así mismo la levitación también se aplica en medicina cardiovascular con un sistema de asistencia ventricular, compuesto por un ventrículo de asistencia centrífugo y un motor, que proporciona soporte temporal en caso de insuficiencia cardiaca o de fallo ventricular. Es por ello que en este proyecto se ha propuesto desarrollar un control para este tipo de sistema, basándose en investigaciones realizadas anteriormente, en donde el objetivo principal es regular la posición de una bola de metal en levitación. En una primera instancia es necesario obtener el modelo matemático que describa el comportamiento del sistema de levitación, y para ello se ha construido un electroimán y en base a éste obtener los parámetros necesarios para la obtención del modelo. Posteriormente se diseña un sistema de control automático que permita regular la posición del objeto a levitar, utilizando

v diferentes tipos de controladores. Finalmente se procede a validar el esquema de control propuesto, simulando el comportamiento del sistema de control en VisSim. El método de linealización que se utiliza es el de Linealización Exacta por Retroalimentación, el cual consiste en transformar el sistema no lineal original en un modelo equivalente, pero con un comportamiento lineal sobre un punto de operación. Después de haber realizado éste proyecto, se ha llegado a la conclusión de que el tema de Levitación Magnética es un campo muy amplio a estudiar dentro del área del Control Automático, ya que las características no lineales que presenta son un ejemplo clave que describe los sistemas de la vida real. También se ha comprobado que este tipo de sistemas no lineales puede ser controlado utilizando adecuadamente las herramientas adquiridas con los conocimientos de Control Automático. El modelado matemático realizado en este proyecto así como el sistema control propuesto, puede ser utilizado como material didáctico y servirá como plataforma de desarrollo para futuras aplicaciones, tales como la implementación física del sistema para desarrollar un equipo didáctico para laboratorio.

vi

Contenido General Pag. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Lista de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Lista de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii 1

2

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

. . . . .

2 2 4 4 5

Levitación Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1 2.2 2.3 2.4

2.5

3

Descripción del proyecto . Antecedentes . . . . . . . Justificación . . . . . . . . Objetivos . . . . . . . . . Descripción del documento

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Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Electroimán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Características principales . . . . . . . . . . . Generación de un campo magnético con electroimanes Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Tren de levitación magnética MAGLEV . . . . 2.4.2 Aerogeneradores . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Levitrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posibles aplicaciones futuras . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Lanzadera espacial de levitación magnética . .

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6 7 8 9 11 11 12 14 15 15

Modelado Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1 3.2 3.3 3.4

Descripción física del sistema . . . . . . . . . . Circuito eléctrico del sistema . . . . . . . . . . . Modelado matemático del sistema magnético . . Representación en espacio de estados del sistema

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17 18 19 23

vii

Pag. 4

Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1 4.2

5

Diseño del Sistema de Control para el Levitador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.1

5.2

6

Linealización por realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.1 Linealización entrada-salida por realimentación . . . . . . . . . . . . . 25 Aplicación de la linealización entrada-salida al sistema de levitación magnética 29

Diseño de controladores para respuesta sobreamortiguada 5.1.1 Control por cancelación de polos . . . . . . . . . 5.1.2 Control con lugar geométrico de raíces . . . . . 5.1.3 Control en espacio de estados . . . . . . . . . . Diseño de controladores para respuesta subamortiguada . 5.2.1 Control por cancelación de polos con PI . . . . . 5.2.2 Control con lugar geométrico de raíces . . . . . 5.2.3 Control en espacio de estados . . . . . . . . . .

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35 36 37 39 41 43 43 46

Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.1 6.2 6.3 6.4

Respuestas obtenidas para sistema sobreamortiguado . . . . Respuestas obtenidas para sistema subamortiguado . . . . . Respuesta de la planta a movimientos senoidales . . . . . . Representación animada del sistema de levitación magnética

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50 53 57 58

Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Apéndices Apéndice A:

Programación con bloques en VisSim . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

viii

Lista de figuras Figura

Pag.

1.1

Diagrama esquemático del sistema de levitación magnética. . . . . . . . . . . . .

2

2.1

Suspensión electrodinámica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Componentes de un electroimán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3

Electroimán tipo herradura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4

Electroimán al vació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.5

Electroimán circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.6

Electroimán de núcleo fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7

Electroimán conductor recto (únicamente cable). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.8

MLX01 Prototipo japonés que alcanzó los 550 [km/h]. . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.9

Aerogeneradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.10 Levitrón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.11 Lanzadera espacial de levitación magnética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1

Sistema de suspension magnética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2

Circuito eléctrico del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3

Fuerza magnética creada por el campo magnético

3.4

Representación gráfica de los valores medidos y estimados.

4.1

Respuesta subamortiguada del sistema linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2

Respuesta sobreamortiguada del sistema linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . 34

. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . . . . 23

ix

Figura

Pag.

5.1

Respuesta sobreamortiguada de la planta linealizada. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2

Ubicación de los Polos y los Ceros de la planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3

Ubicación de los Polos y los Ceros del Sistema en lazo cerrado. . . . . . . . . . . 39

5.4

Respuesta subamortiguada de la planta linealizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.5

Ubicación de los Polos y Ceros de la planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.6

Ubicación de los Polos y Ceros del Sistema en lazo cerrado. . . . . . . . . . . . . 45

6.1

Respuesta del control PI para la planta sobreamortiguada ideal. . . . . . . . . . . . 50

6.2

Respuesta del control PI para la planta sobreamortiguada real. . . . . . . . . . . . 51

6.3

Respuesta del control PI para la planta sobreamortiguada ideal. . . . . . . . . . . . 51

6.4

Respuesta del control PI para la planta sobreamortiguada ideal. . . . . . . . . . . . 52

6.5

Respuesta del control en espacio de estados para el sistema sobreamortiguado ideal. 52

6.6

Respuesta del control en espacio de estados para el sistema sobreamortiguado real.

6.7

Respuesta del control PID por cancelación de polos para el sistema subamortiguado ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.8

Respuesta del control PID por cancelación de polos para el sistema subamortiguado real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.9

Respuesta del control PID por prueba y error para el sistema subamortiguado real.

53

54

6.10 Respuesta del LGR con red de adelanto y controlador PID para el sistema subamortiguado ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.11 Respuesta del LGR con red de adelanto y controlador PID para el sistema subamortiguado real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.12 Respuesta utilizando control en espacio de estados para un sistema subamortiguado ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.13 Respuesta utilizando control en espacio de estados para un sistema subamortiguado real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

x

Figura

Pag.

6.14 Respuesta utilizando cancelación de polos para un comportamiento senoidal de la planta sobreamortiguada real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.15 Animación del sistema de levitación magnética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 A.1

Programa final control PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.2

Programación del bloque de voltaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A.3

Programación del bloque de modelo del levitador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

xi

Lista de tablas Tabla

Pag.

3.1

Valores medidos y estimados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1

Valores de las ganancias para respuesta Submortiguada . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2

Valores de las ganancias para respuesta sobreamortiguada . . . . . . . . . . . . . 34

xii

Nomenclatura f (x)

Función f respecto a x de un campo vectorial

g(x)

Función g respecto a x de un campo vectorial

i(t)

Corriente que circula por el electroimán

v(t)

Voltaje aplicado al electroimán

y(t)

Distancia entre el electroimán y la bola

Y (s)

Transformada de Laplace de la salida de la planta

V (s)

Transformada de Laplace de la entrada de la planta

dB

Variación del Campo Magnético en función de N

L

Inductancia

R

Resistencia del electroimán

m

Masa de la bola

µr

Permeabilidad magnética del núcleo del electroimán

r

Radio del solenoide

B

Campo Magnético del electroimán

N

Número de vueltas del electroimán

xiii x

Distancia entre un punto cualquiera y alguna de las vueltas del solenoide

Lf

Derivada Lie del campo vectorial f

Lg

Derivada Lie del campo vectorial g

yf

Valor final que alcanza la salida de la planta

Vcte

Voltaje aplicado a la planta

Mp

Máximo sobrepaso de la planta

tb

Tiempo cuando la salida de la planta alcanza 0.632 veces el valor final

ts

Tiempo de asentamiento

tp

Tiempo pico

Td

Tiempo de derivación

Ti

Tiempo de integración

ζ

Coeficiente de amortiguamiento

ωn

Frecuencia natural

ωd

Frecuencia natural no amortiguada

σ

Parte real de la planta

K

Ganancia del controlador

Kc

Ganancia del compensador

Kp

Ganancia del proporcional

Ki

Ganancia Integral

Ke

Ganancia que relaciona el valor final de la planta con el valor aplicado

xiv Kv

Ganancia derivativa

z

Cero del compensador

p

Polo del compensador

x

Vector de estado

A

Matriz de estado

B

Matriz de entrada

C

Matriz de salida

D

Matriz de trasmisión directa

I

Matriz identidad

h

Campo escalar

u

Entrada escalar

y

Salida Escalar

ytb

Equivale a 0.632 veces el valor final de la planta

µ0

Permeabilidad magnética del vacío

g

Aceleración gravitacional

m

Metros

cm

Centímetros

mm

Milímetros

V

Volts

A

Amperes

xv Ω

Ohms

Hz

Hertz

seg

Segundos

H

Henrios

rpm

Revoluciones por Minuto

Capítulo 1

Introducción La levitación magnética es un tema que ha ganado importancia en los últimos años, gracias a las multiples aplicaciones que se le pueden dar, como por ejemplo, el tren de levitación magnética, o MAGLEV, es un tren suspendido en el aire por encima de una vía, entre 10 [mm] y 15 [cm], siendo propulsado hacia adelante por medio de las fuerzas magnéticas (atractivas y repulsivas). La ausencia de contacto físico entre el carril y el tren hace que la única fricción sea la del aire, por lo que se pueden conseguir muy altas velocidades con un consumo de energía razonable [1]. Otro ejemplo es el almacenamiento de energía mediante los volantes de inercia, ya que permite hacer girar indefinidamente una rueda superconductora inmersa en un campo magnético de manera que almacene la energía mecánica. Este tipo de dispositivo se estudia para la aplicación en trenes o de aerogeneradores (Cedex). Así mismo la levitación también se aplica en medicina cardiovascular con un sistema de asistencia ventricular, compuesto por un ventrículo de asistencia centrífugo y un motor, que proporciona soporte temporal en caso de insuficiencia cardiaca o de fallo ventricular [2]. Es por ello que en este proyecto se ha propuesto desarrollar un control para este tipo de sistema, basándose en investigaciones encontradas en la literatura [3], [4], en donde el objetivo principal es regular la posición de una esfera de metal en levitación.

1.1 Descripción del proyecto En este proyecto se pretende diseñar el control para un sistema de levitación magnética, donde se desea controlar la corriente de un electroimán la cual determina la posición a la que se eleva una bola de metal. El esquema general del sistema se representa en la figura 1.1.

.._ fuente de luz

sensor optico

-+

L

bola de material ferromaqnetice

Figura 1.1 Diagrama esquemático del sistema de levitación magnética.

En una primera instancia es necesario obtener el modelo matemático que describa el comportamiento del sistema de levitación, y para ello se construyó un electroimán para en base a éste calcular los parámetros necesarios para la obtención del modelo. Posteriormente se diseña un sistema de control automático que permita regular la posición del objeto a levitar, utilizando diferentes tipos de controladores, y finalmente se procede a validar el esquema de control propuesto, simulando el comportamiento del sistema de control en VisSim ECD (Embedded Controls Developer).

1.2

Antecedentes

La levitación magnética es un tema que se ha venido estudiando desde hace varios años, esto debido a que el hombre siempre ha buscado la forma de oponerse a la Ley de la Gravedad. Concluido que la levitación es un fenómeno que puede llevarse a cabo en ciertas condiciones especiales.

3 Además, se ha buscado que la levitación de un cuerpo tenga un movimiento deseado, por lo que se han diseñado diversos sistemas de control para conseguirlo. El control automático surgió para poder lograr que un sistema o proceso pueda mejorar su desempeño dinámico y que las variables de interés alcancen los valores deseados. En Japon y Alemania es donde más se ha estudiado éste tema, y se han logrado mantener varios cuerpos en levitación, el máximo logro que se ha tenido es el tren de levitación magnética. En los 90’s, en la Universidad de la Republica de Uruguay, se realizó un tipo de control automático para la levitación magnética, utilizando un sensor óptico, en donde se dieron cuenta que la planta a controlar es fuertemente no lineal por lo que es necesario la aplicación de herramientas de diseño más avanzadas. En 1994, investigadores de la Escuela Militar de Ingenieros, México, D.F. [7]; realizaron un sistema de levitación magnética controlado con Lógica Difusa y Control Clásico, para utilizarlo como herramienta de laboratorio, en donde se comprobó que el Control de Lógica Difusa arrojó mejores resultados que el Control Clásico. Cabe señalar que el sensor utilizado para detectar la posición de la esfera es un LVDT (Linear Differential Variable Transformer), ya que este funciona variando el voltaje de la salida con respecto al desplazamiento de su núcleo. En 1997, en el departamento de Ingeniería en Electrónica, de la Universidad College, Galway, Ireland [8]; diseñaron un Sistema de Levitación Magnética, basándose principalmente en el diseño del núcleo del electroimán, el cual es tipo E, como el que se usa para el diseño de transformadores, y en base a sus dimensiones se diseñó el control, sin restar importancia a la inductancia y a los diferentes parámetros involucrados para el diseño del control de Compensadores. En el 2004, investigadores del Centro de Investigación de Robótica, Electrónica y Automatización de Amiens, Francia [3]; desarrollaron un Sistema de Control de Levitación Magnética, basándose en el Principio Fundamental de la Dinámica, utilizando el método experimental para la obtención de la ecuación que describe el comportamiento de la Fuerza magnética respecto al voltaje aplicado.

4

1.3

Justificación

Se ha realizado este proyecto con la finalidad de mejorar uno de los métodos más prácticos encontrados en la literatura [3]. Además se pretende proponer un sistema con un control automático que sirva como herramienta de apoyo para el Laboratorio de Robótica, PLC y Automatización de la Universidad Autónoma de Zacatecas. Se optó por desarrollar este proyecto debido a las características no lineales de la planta, ya que la mayoría de las plantas a controlar son lineales, y un laboratorio de Control, debe incluir plantas no lineales, para probar los diferentes tipos de controladores, y que los alumnos se familiaricen más con las plantas no lineales, ya que en el mundo real las plantas a controlar no son perfectamente lineales. Ya que la levitación magnética ha ido evolucionando desde los primeros estudios que se realizaron sobre ésta desde el año de 1986 [9], hasta la actualidad, pues estos estudios han sido la base para el desarrollo de la implementación en avances tecnológicos como lo son el tren de levitación magnética, aerogeneradores, giroscopios, sin mencionar que es un sistema ejemplar para utilizarse como equipo didáctico en las universidades debido a sus características no lineales.

1.4

Objetivos

El objetivo principal de la tesis es realizar un control para el Sistema de Levitación Magnética utilizando las herramientas modernas como el software de programación VisSim ECD, para manipular el objeto en Levitación de la forma más conveniente de acuerdo a las condiciones deseadas. Los objetivos generales de la tesis se describen a continuación • Mejorar el sistema de control para levitación magnética propuesto en [3]. • Diseño de un sistema didáctico para el Laboratorio de Robótica, PLC y Automatización. • Modelar Matemáticamente el sistema de levitación magnética.

5 • Diseñar un sistema de control que permita realizar la levitación magnética para diversos tipos de comportamiento. • Diseño de un sistema de control de levitación simulado en tiempo real en el entorno de VisSim ECD.

1.5

Descripción del documento

En este apartado se presenta una breve descripción de los capítulos contenidos en este documento de tesis. Capítulo 1. Se hace una descripción de los antecedentes, justificación y objetivos, e introducción sobre el tema en general, dando a conocer los trabajos realizados anteriormente por otros investigadores. Capítulo 2. Se definen los conceptos básicos sobre un sistema de levitación magnética, iniciando por la definición de un electroimán y el campo generado por este mismo. Además se describe el sistema de levitación y sus aplicaciones mas comunes. Capítulo 3. Se hace el desarrollo necesario para la obtención del modelo matemático de un sistema de levitación magnética. Capítulo 4. Se presenta el proceso de linealización del modelo matemático por Realimentación. Capítulo 5. Se diseña el control adecuado para la planta a controlar, utilizando diferentes técnicas. Capítulo 6. Se presentan los resultados obtenidos del proyecto, así como las simulaciones para distintos tipos de comportamiento. Conclusiones.

Capítulo 2

Levitación Magnética 2.1

Introducción

La levitación es, sin lugar a dudas, un fenómeno que siempre ha cautivado la imaginación del ser humano. Hoy en día, se conocen unos cuantos mecanismos físicos que permiten sostener un objeto flotando sin contacto mecánico alguno con el suelo. No obstante, cuando se pretende explorar este atractivo fenómeno a sistemas de interés científico o tecnológico, aparecen serias dificultades. En particular, las aplicaciones basadas en efectos dinámicos (un colchón de aire, por ejemplo) requieren un ingente aporte de energía, y las que tratan de evitar este problema mediante la estática (como las basadas en imanes que se repelen) son altamente inestables. Una mínima perturbación sobre el objeto levitante lo expulsa irreversiblemente de su posición de equilibrio. Existen dos métodos para obtener la levitación magnética: suspensión electromagnética y suspensión electrodinámica. Suspensión Electromagnética. Se ha probado que la levitación no puede ser estable bajo magnetismo estático; hay varias maneras de resolver este problema, el uso de materiales diamagnéticos es uno. Las sustancias diamagnéticas rechazan el campo magnético; este efecto se puede utilizar para crear la levitación de objetos ligeros. Particularmente las sustancias superconductores son diamagnéticos perfectos, permitiendo la elevación de objetos más pesados.

7 Suspensión Electrodinámica. En este método se usan campos electrodinámicos. En donde las cargas producen magnetismo y los imanes móviles producen electricidad; Esto se debe a que ambos fenómenos se han unificado bajo concepto del campo electromagnético. Diversos tipos de conductores y/o de imanes móviles se pueden utilizar para generar el empuje vertical estable necesitado para la levitación, figura 2.1.

Figura 2.1 Suspensión electrodinámica.

En resumen, se le llama Levitación Magnética al fenómeno de suspender un objeto por medio de un campo magnético generado por uno o más electroimanes.

2.2

Electroimán

Tal como su nombre lo indica, un electroimán es un imán que funciona gracias a la electricidad. Se compone de un material ferromagnético denominado núcleo, alrededor del cual se ubica un cable conductor de forma espiral llamado solenoide. En la figura 2.2 se muestran los componentes de un electroimán. En 1820, el físico danés Hans Christian Oersted descubrió que la corriente eléctrica que circulaba por un conducto atraía la aguja de una brújula colocada en sus proximidades. Había hallado el vínculo entre electricidad y magnetismo. Uno de los muchos científicos intrigados por el descubrimiento de Oersted fue el inglés William Sturgeon, quien descubrió que, al atravesar la corriente un conductor enrollado sobre una barra de hierro en forma de herradura, se formaba lo que denominó un electroimán, capaz de levantar veinte veces su propio peso [11].

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Figura 2.2 Componentes de un electroimán.

Su ventaja sobre los imanes naturales está principalmente en proporcionar un campo magnético más intenso y de duración indefinida. Además, al poder controlarse la señal de corriente eléctrica aplicada, es posible adaptar el campo producido de acuerdo a las necesidades del caso.

2.2.1

Características principales

El funcionamiento del electroimán se fundamenta en la ley de Ampere, de acuerdo a la cual, si se hace circular corriente eléctrica por un conductor, se creará un campo magnético a su alrededor. En el caso del electroimán, el campo generado fluirá por el núcleo ferromagnético (circuito magnético) en una misma dirección, e inducirá a las partículas del núcleo a alinearse en esta dirección, obteniéndose un imán. En su construcción suele utilizarse hierro como núcleo, y un conductor de cobre recubierto por material aislante, como barniz o plástico. La fuerza que ejerza el electroimán sobre algún objeto está directamente relacionada con la corriente que circule por el conductor, además del número de vueltas del mismo. Además también influye el material del cual está compuesto el núcleo del electroimán los materiales mas usuales son el acero dulce, y la ferrita debido a cuentan con buenas propiedades magnéticas. Existen diferentes tipos de electroimanes dependiendo de la forma del núcleo, en las figuras 2.3, 2.4, 2.5 y 2.6 se muestran algunos casos.

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Figura 2.3 Electroimán tipo herradura.

Figura 2.4 Electroimán al vació.

Figura 2.5 Electroimán circular.

2.3

Generación de un campo magnético con electroimanes

Se sabe que una corriente eléctrica es capaz de crear un campo magnético, si la corriente que circula por un conductor recto (figura 2.7), las líneas de fuerza que forman son circunferencias concéntricas al conductor, cuyos planos son perpendiculares al campo magnético producido, de esta manera no tiene polaridad, es decir que no hay una región donde pueda

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Figura 2.6 Electroimán de núcleo fijo.

considerarse que salen las líneas de fuerza (polo norte) y otra región de donde las líneas entran (polo sur).

Figura 2.7 Electroimán conductor recto (únicamente cable).

Cuando las corrientes se aplican a un alambre en forma circular o bien en nuestro caso a un solenoide compuesto por varias espiras, las líneas de fuerza del campo magnético producido tiene la misma geometría que las líneas de fuerza del campo magnético alrededor de un imán de barra. Entonces, en una espira o un solenoide con corriente se forman polos magnéticos en ambos lados. Por fuera del solenoide las líneas magnéticas van del polo norte al polo sur, y viceversa, como se muestra en la figura 2.4 . Si dentro del solenoide se coloca un núcleo ferromagnético por la influencia del campo magnético el núcleo se magnetiza aumentando grandemente la intensidad del campo magnético. Un dispositivo como éste recibe el nombre de electroimán, siendo capaz de ejercer fuerzas sobre otros electroimanes, imanes, u objetos compuestos de hierro. Estas fuerzas solo ejercen cuando el embobinado del electroimán es recorrido por una corriente eléctrica y siendo

11 esta es variable fuerza que ejerce también. Cuando la corriente desaparece también la fuerza magnética. Después de conocer las características del electroimán, se puede plantear el sistema de levitación magnética con electroimanes como lo ilustra la figura 1.1.

2.4

Aplicaciones

La levitación magnética ha dado origen a muchas aplicaciones, a continuación se hace una breve descripción de algunas aplicaciones

2.4.1

Tren de levitación magnética MAGLEV

Antes de nada conviene hacerse a la idea de qué es un tren de levitación magnética o en su forma abreviada MAGLEV. Un MAGLEV es un vehículo que utiliza las ondas magnéticas para suspenderse por encima del suelo e impulsarse a lo largo de un carril-guía. Los MAGLEV en el futuro, se podrían convertir en una alternativas al transporte actual ya que se llegado ya a una velocidad de 300 [mph] (más de 500 [km/h]) con un prototipo y necesitaría solamente un 40% del combustible usado por un automóvil por pasajero y milla. Este menor consumo es consecuencia de la reducción del rozamiento al ir el MAGLEV literalmente suspendido sobre el suelo; esto es, sin tocarlo. Un MAGLEV es más confortable que un coche, a avión o tren debido a sus precisos sistemas de amortiguación. En detrimento el MAGLEV requiere su propio carril y no puede ser usado en vías normales. Estos rieles se podrían poner al lado o incluso en medio de los actuales carriles. En los últimos años se ha visto que la gente rehúsa abandonar el uso del automóvil para viajes de menos de 100 [millas] (160.9 [km]), mientras que los aviones son más eficientes en viajes de más de 500 ó 600 [millas]. Por lo tanto los viajes que quedan entre estas distancias son los que serán cubiertos por los trenes de alta velocidad o por los trenes de levitación magnética. Sustituyendo los vuelos cortos entre partes de un mismo país (ineficientes) por estos trenes se conseguiría reducir la congestión que sufren las autopistas y ayudaría a evitar la saturación en aeropuertos, aparte de crear puestos de trabajo en una amplia gama de industrias.

12 La tecnología utilizada por los MAGLEV es americana y fue creada a mediados de los años 70’s y desarrollada por alemanes y japoneses. Estos últimos han construido pequeñas líneas maglev, la primera en 1960 y la segunda en 1996. La primera tuvo como finalidad verificar la teoría básica de MAGLEV y la segunda estudiar temas más avanzados para hacer pruebas de alta velocidad con el MLX01 con el que se consiguió una velocidad de 550 [km/h] en 1998, el cual se muestra en la figura 2.8.

Figura 2.8 MLX01 Prototipo japonés que alcanzó los 550 [km/h].

El precio de las líneas maglev es actualmente 30 millones la milla lo que queda muy lejos de los aproximadamente 10 millones que cuesta una línea de alta velocidad normal. Sin embargo se espera que en un futuro este precio baje e incluso llegue a hacerse comparable al de las líneas normales [1].

2.4.2

Aerogeneradores

Diseñadores chinos revelaron, durante la Exposición Asia Energía Eólica 2006 [14], el primer aerogenerador que funciona con levitación magnética permanente. El dispositivo, llamado generador MAGLEV, ha sido anunciado como un logro rupturista en la evolución mundial de la tecnología de energía eólica (figura 2.9). El generador fue desarrollado por el Instituto de Investigación Energético de Guangzhou, bajo supervisión de la Academia China de Ciencias. Se espera que el generador MAGLEV eleve la capacidad de generación energética en un 20% por encima de los aerogeneradores tradicionales [2].

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Figura 2.9 Aerogeneradores.

Según el jefe científico responsable de la tecnología, el generador puede reducir drásticamente la carestía operativa de las granjas eólicas; casi hasta en un 50%. Según él, esto haría descender el coste del [kVa/h] de energía eólica por debajo de los 5 centavos de dólar USA. El jefe de Zhongke Energy afirmó durante la exposición que el MAGLEV es capaz de utilizar vientos con velocidades iniciales tan bajas como 1.5 metros por segundo, y su velocidad de corte inferior (la velocidad mínima a la que empieza a generarse energía) es de apenas 3 [m/s]. El Worldwatch Institute, citando a la agencia de prensa Xinhua Noticias, afirma que la nueva tecnología podría potencialmente llenar el vacío energético en aquellas localizaciones que no cuentan con conexión a la red eléctrica al aprovechar los recursos eólicos de baja velocidad que previamente eran no aprovechables. Con un número cada vez mayor de inversores, chinos e internacionales, uniéndose al floreciente mercado mundial de la energía eólica, se espera que esta tecnología cree nuevas oportunidades en áreas del globo donde los vientos son bajos, tales como regiones montañosas, islas, observatorios y estaciones repetidoras de televisión. Además, el generador MAGLEV será capaz de proveer iluminación artificial a lo largo de la red de carreteras, aprovechando así las corrientes creadas por los vehículos a medida que pasan.

14

2.4.3

Levitrón

El levitrón puede hacer más trucos que un hurón: realmente levita en el aire, desafiando a la gravedad. El juguete funciona sin pilas y puede mantener levitando la peonza (trompo, peón o piuca es es un juguete de madera, de forma cónica y terminado en una punta metálica) entre 5 y 7 minutos. El secreto es una combinación de imanes en la base, que empujan hacia arriba otro imán de la misma polaridad situado en la base de la peonza. Está demostrado que no existe ninguna configuración de imanes que pueda producir un efecto de repulsión antigravedad estable en materiales y condiciones normales (Teorema de Earnshaw) pero el juguete solventa ese problema concentrando la repulsión en un punto concreto a poca altura, y esto es lo importante: dejando que el efecto giroscópico de la peonza haga el resto. La peonza simplemente intenta mantenerse fija en ese punto, como en las demostraciones de giroscopios moviéndose sobra la punta de una pequeña torre que sirve como base que se pueden ver en otros vídeos. Manejar el levitrón no es fácil: tiene que estar muy bien nivelado, hay que hacer rotar la peonza a una velocidad bastante precisa (entre 20 y 30 [rpm]) y hay que ajustar el peso con cuidado mediante unos pequeños accesorios de calibración. Pero, cuando se consigue, garantiza horas de diversión, asombro y charla, tanto por el hecho de que funcione sin pilas como por la magia de la aparente anti-gravitación. Modelos de levitrón funcionando en el vacío, o que contrarrestan el rozamieto ambiental con pequeños chorros de aire o impulsos magnéticos pueden permanecer girando varios días sin problema, figura 2.10, [2].

Figura 2.10 Levitrón.

15

2.5

Posibles aplicaciones futuras

Una de las tantas posibles aplicaciones futuras es la que se muestra en la siguiente sección.

2.5.1

Lanzadera espacial de levitación magnética

La NASA está estudiando la utilización de tecnología MAGLEV para crear un sistema que asista en el despegue de una nave espacial, figura 2.11 [15].

Figura 2.11 Lanzadera espacial de levitación magnética.

Una pista operacional tendría unos 2400 [m] de longitud y sería capaz de acelerar al vehículo a unos 1000 [km/h] en 9.5 segundos, el que luego debería cambiar a motores a bordo para completar la salida al espacio. La parte más costosa de una misión a una órbita terrestre baja son los primeros segundos, el despegue. La mayor parte de este gasto se debe al peso de la nave espacial, y como un vehículo MAGLEV utiliza electricidad para acelerarse, el peso de la nave espacial al momento del despegue podría ser de hasta un 20% menos que en un cohete normal. Además este sistema es reutilizable, ya que la pista que se usa para acelerar al vehículo se queda en el suelo. Otros beneficios son que la electricidad no contamina y es mucho más barata. Cada lanzamiento realizado utilizando tecnología MAGLEV (con vehículos a escala real) consumiría cerca de $75 (setenta y cinco dólares) de electricidad en el mercado actual. Un sistema MAGLEV de este tipo sería no necesaria (idealmente) ningún tipo de mantenimiento, ya que no hay partes

16 móvibles y no existe contacto entre el vehículo y la pista. Tanto es así que se espera que un sistema MAGLEV funcione durante 30 años. Se espera que en las proximas decadas un sistema MAGLEV sea utilizado para mandar al espacio pequeños satélites de comunicación por sólo unos miles de dólares por libra. Dentro de 20 años esta tecnología sería utilizada para poner vehículos mucho más grandes en órbita por sólo cientos de dólares por libra, un gran contraste con el valor actual de $10 000 (diez mil dólares) por libra. Pruebas con naves a escala se realizan en la actualidad en la NASA.

Capítulo 1

Modelado Matemático En esta sección de hace el desarrollo matemático necesario, para encontrar la ecuación que describa el comportamiento del sistema.

1.1 Descripción física del sistema En la figura 3.1 se muestra el esquema de un sistema de levitación magnética, en el que una bola de metal se suspende mediante la fuerza magnética producida por el campo magnético del electroimán, por el cual fluye una corriente controlada por realimentación a través de una medición óptica de la posición de la bola.

i(t)

R,L

8~y(t) ! mg Figura 1.1 Sistema de suspension magnética.

donde y(t) es la distancia entre el electroimán y la bola, v(t) es el voltaje de alimentación del electroimán, i(t) es la corriente que circula por el electroimán, R es la resistencia del

electroimán, L es la inductancia del electroimán, m es la masa de la bola y g es la aceleración gravitacional. En este proyecto el modelado matemático del sistema está basado en la ecuación del Segundo Principio de Newton, según la literatura. Utilizando el principio fundamental de Dinámica, la ecuación del movimiento de la bola esta dada por la ecuación . m

d2 y(t) = mg − F (t) dt2

donde F (t) es la Fuerza magnética del control.

(1.1)

1.2 Circuito eléctrico del sistema El circuito que representa el sistema se muestra en la figura 3.2:

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I Campo l maqnettco \

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Resistencia de la bobina

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