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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFECIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

CURSO:

CONTROL DIGITAL

PROFESOR:

CUCHO MENDOZA ZENON ANDRES

TEMA:

LABORATORIO FINAL #2

INTEGRANTES: NOMBRE Y APELLIDO NOTA JUAN GONZALES PEÑA

(P1)

JIM PAREDES LESCANO

(P2)

MICHEL PEREZ CAMARGO

(P3)

PREGUNTA 1 Para el sistema de control digital mostrado en la figura, construya el L.G.R, determine el valor máximo de K que asegure la estabilidad de sistema y determine las coordenadas del punto en donde el lugar geométrico de las raíces corta al círculo unitario. Asuma que el periodo de muestreo es T=0.4 y que

𝒂) 𝑮𝑷 (𝑺) =

𝟏 𝑺(𝑺 + 𝟎. 𝟓)

 SOLUCION ANALITICA Obtener la función de transferencia de pulso del sistema

1 𝐻𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )ℑ{ 2 } 𝑆 (𝑆 + 0.5) Utilizando tablas se encuentra que:

a=1 y T=0.4s. Resulta, después de simplificar:

𝐻𝐺(𝑧) =

0.074923 𝑧 + 0.070092 𝑧^2 − 1.8187 𝑧 + 0.81873

La ecuación característica del sistema es: 1+ HG(z)=0 es decir: 1 + 𝐻𝐺(𝑧) = 1 + 𝑘.

0.074923 𝑧 + 0.070092 =0 𝑧^2 − 1.8187 𝑧 + 0.81873

Regla 1: Polos de HG(z): P=2 ubicados en z=0.999 y z=0.818 Ceros de HG(z): Z=1 ubicado en z=-0.935

𝐶. 𝐺 =

(0.999 + 0.818) − (−0.935) = 2.752 2

𝐾=−

𝑧^2 − 1.8187 𝑧 + 0.81873 0.074923 𝑧 + 0.070092 𝒅𝑲 =𝟎 𝒅𝒛

0.0749*z^2 - 1.0*(0.0749*z + 0.0701)*(2.0*z - 1.82) - 0.136*z + 0.0613=0 Resolviendo para z se obtiene: z=-2.778 y z=0.907. Como los polos adyacentes son z=0.999 y z=0.818

1 + 𝑘.

0.074923 𝑧 + 0.070092 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑧 = 𝑗𝑣 𝑧^2 − 1.8187 𝑧 + 0.81873

Igualando parte real y parte imaginaria a cero se obtiene:

0.070092𝐾 + 0.81873 − 𝑣 2 = 0 0.074923𝐾𝑗𝑣 − 1.8187𝑗𝑣 = 0

𝑲 = 𝟐𝟒. 𝟐𝟔𝟔

𝑣 = ±1.587

El valor de la ganancia crítica se obtiene haciendo |𝐾𝐻𝐺(𝑧)| = 1. De la figura anterior se deduce que z=0.828+0.534j para |𝐾𝐻𝐺(𝑧)| = 1  SOLUCION EN MATLAB

k > 24.29

PREGUNTA 2. Considere el sistema de control dado en el problema anterior, con K=1. a) Trace, para cada caso, el diagrama de Bode del sistema y analice su estabilidad relativa a partir del margen de ganancia y del margen de fase. 𝟎. 𝟓𝒔 𝑮(𝒔) = (𝒔 + 𝟏)(𝒔 + 𝟎. 𝟓)  SOLUCION ANALITICA La función de transferencia de pulso para el sistema se obtiene uzando la transformada z

Para obtener el diagrama de Bode se transforma 𝐻𝐺(𝑍) en 𝐻𝐺(𝑊) utilizando la transformación bilineal.

Es decir: 𝑯𝑮(𝑾) =

𝟏 + 𝟎. 𝟒𝑾 𝟎. 𝟏𝟒𝟖𝟒𝟏 (𝟏 − 𝟎. 𝟒𝑾) − 𝟎. 𝟏𝟒𝟖𝟒𝟏 𝟏 + 𝟎. 𝟒𝑾 𝟐 𝟏 + 𝟎. 𝟒𝑾 (𝟏 − 𝟎. 𝟒𝑾) − 𝟏. 𝟒𝟖𝟗𝟏 (𝟏 − 𝟎. 𝟒𝑾) + 𝟎. 𝟓𝟒𝟖𝟖𝟏

Ahora se reemplaza 𝑊 por 𝐽𝑉 en la expresión correspondiente a 𝐻𝐺(𝑊) y se obtiene:

−𝟎. 𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖𝒘𝟐 + 𝟎. 𝟏𝟏𝟖𝟕𝟐 𝑯𝑮(𝒋𝒗) = 𝟎. 𝟒𝟖𝟔𝒘𝟐 + 𝟎. 𝟑𝟔𝟏𝒘𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟓𝟗𝟕

𝑯𝑮(𝑾) =

−𝟎. 𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖𝒋𝒗𝟐 + 𝟎. 𝟏𝟏𝟖𝟕𝟐 𝟎. 𝟒𝟖𝟔𝒋𝒗𝟐 + 𝟎. 𝟑𝟔𝟏𝒋𝒗 + 𝟎. 𝟎𝟓𝟗𝟕

El margen de ganancia se calcula con la ecuación dada siendo 𝑣𝜋 la frecuencia a la cual el ángulo de fase es igual a -180

𝑯𝑮(𝑾) =

(𝟐. 𝟓𝟎𝟎𝟒−𝒋𝒗𝟐 )𝟎. 𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖 (𝟎. 𝟐𝟓𝟖𝟗 + 𝟎. 𝟔𝟗𝟕𝟏𝒋𝒗)𝟐

𝟎. 𝟐𝟓𝟐 + 𝒗𝟐 /𝑯𝑮(𝑾)/ = 𝟎. 𝟎𝟔𝟖𝟏𝟏√ 𝟎. 𝟏𝟑𝟕𝟖 + 𝒗𝟐

Resolviendo la ecuación anterior se obtiene: v𝜋=1.41 𝟎. 𝟐𝟓𝟐 + 𝟏. 𝟒𝟏𝟐 𝑯𝑮(𝑾) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟖𝟏𝟏√ = 𝟎. 𝟑𝟏𝟐𝟐 𝟎. 𝟏𝟑𝟕𝟖 + 𝟏. 𝟒𝟏𝟐

𝑀𝐺 = 20𝑙𝑜𝑔

1 = 10.11𝑑𝑏 0.31225

El margen de fase se calcula con la ecuación dada, siendo 𝑣𝑐 la frecuencia a la cual la magnitud de la función de transferencia senoidal es igual a uno.

𝟎. 𝟐𝟓𝟐 + 𝒗𝒄𝟐 𝑯𝑮(𝑾) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟖𝟏𝟏√ =𝟏 𝟎. 𝟏𝟑𝟕𝟖 + 𝒗𝒄𝟐

𝑽𝒄 = 𝟎. 𝟑𝟓 𝜽𝒄 = −𝟑𝑡𝑎𝑛−𝟏 (

0.35 0.35 ) − 𝑡𝑎𝑛−𝟏 ( ) = −𝟖𝟒. 𝟐 𝟐. 𝟓 0.19

∅ = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟖𝟒. 𝟐 ∅ = 𝟗𝟓. 𝟖  SOLUCION EN MATLAB n=[0 0.5 0]; d=[1 1.5 0.5]; [a,b,c,d]=tf2ss(n,d); % Obtención de variables de estado [ad,bd,cd,dd]=c2dt(a,b,c,0.8,0.8); % Discretiza sistemas con retardo [nd1,dd1]=ss2tf(ad,bd,cd,dd); % Función de transferecia de pulso printsys(nd1,dd1,'z'); pause w=0.01:0.05:3; [mag,fase,w]=dbode(nd1,dd1,0.8,w); imargin(mag,fase,w)

b) Si el sistema es estable, determine el valor de que suministre un margen de ganancia de 10 db.

De las ecuaciones:

𝑀𝐺𝐾 = 𝑀𝐺 − 20𝑙𝑜𝑔𝐾 En donde 𝑀𝐺𝐾 es el margen de ganancia para el valor específico de K y MG es el margen de ganancia con K=1. Por lo tanto: 10 = 10.58 − 20𝑙𝑜𝑔𝐾 𝑲 = 𝟏. 𝟎𝟔 𝟎. 𝟐𝟓𝟐 + 𝒗𝒄𝟐 𝑯𝑮(𝑾) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟏. 𝟎𝟔√ 𝟎. 𝟏𝟑𝟕𝟖 + 𝒗𝒄𝟐 𝒗𝒄 = 𝟎. 𝟕𝟓 El ángulo de fase para esta frecuencia es: 0.75 0.75 𝜽𝒄 = −𝟑𝑡𝑎𝑛−𝟏 ( ) − 𝑡𝑎𝑛−𝟏 ( ) = −𝟏𝟐𝟓. 𝟔 𝟐. 𝟓 0.19 Entonces: ∅ = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟏𝟐𝟓. 𝟔 ∅ = 𝟓𝟒. 𝟒

c) Determine, para cada caso, el valor crítico de para estabilidad del sistema.

|𝑘.

0.14841𝑧 − 0.14841 𝑧2 − 1.4891𝑧 + 0.54881

|𝑘.

| = 𝟏 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑍 = 0.01 + 1.02𝑗

0.14841(𝑧 − 1) 𝑧2 − 1.4891𝑧 + 0.54881

𝒌 = 𝟏𝟔. 𝟑𝟗

|=𝟏

PREGUNTA 3. Considere el sistema de la figura 4.33 con periodos de muestreo T=1s y T=2s. a) Con K=1 trace el diagrama de Bode correspondiente para cada caso y determinar el margen de ganancia y el margen de fase. Cuál es el valor crítico de K en cada caso? Que conclusiones puede sacar con estos resultados? para estabilidad del sistema.

b) Calcule el valor de K para el cual el margen de ganancia es igual a 10 db, cual es el margen de fase con ese valor de K ? c) El valor de K para el cual el margen de fase es de 45°. Cuál es el margen de ganancia en este caso? d)Si K =0.5 cuales son el margen de ganancia y el margen de fase del sistema?

SOLUCION EN MATLAB

a) PARA T = 1 seg.

PARA T=2S

b) n=[0 0 1.44 0.15992]; d=[1 -1 4.54e-05 0]; [nd,dd]=c2dm(n,d,1,'zoh');

% Discretizar la planta continua

nc=[0 0 4]; dc=[1 5 0];

% Entrar el controlador discreto

[ns,ds]=series(nc,dc,nd,dd); % Mult. planta discreta por el controlador [nw,dw]=cloop(ns,ds,-1); printsys(nw,dw,'z') en lazo cerrado

% Función de transferencia de lazo cerrado % Mostrar función de transferencia de pulso

pause k=0:10; r=ones(1,10); y=filter(nw,dw,r); c=y'

% Evaluar la respuesta del sistema