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Fase 2 - Simular y desarrollar analíticamente el sistema completo – (Consolidado)

Presentado por: Francisco Javier Chávez Flórez Código: 1080262056 Grupo: 299007_10 Curso: Procesamiento Analógico De Señales Tutora: Paola Andrea Mateus

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería -ECBTI Agosto 2018

Introducción

El detector es un elemento de un circuito de medición que normalmente sirve como demodulador o extractor de información, el cual en este caso se comporta como un filtro pasa banda que permitirá solo el paso ciertas frecuencias que permitirán analizar las vibraciones presentes en la  estructura al aplicar la señal f(t). Por ende, La utilidad esencial de la transformación de Laplace reside en su propiedad de convertir ecuaciones diferenciales lineales (en la variable tiempo t) en ecuaciones algebraicas (en la variable compleja s) El modelo básico de un sistema describe matemáticamente la influencia de una señal u(t) sobre otra señal de salida y(t), relacionadas mediante una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, de orden n. El presente documento gira entorno a los detectores y el conocimiento de su empleo para extraer o filtrar los valores que caracterizan la señal.

Actividades a desarrollar Paso a seguir, procederemos a determinar analíticamente: 

Las transformadas de Fourier de f(t), a(t)



La señal de salida del detector,



Dibujar sus espectros,



Determinar la serie de Fourier correspondiente a la señal a(t).



Determinar la potencia promedio de la señal de salida del detector y de f(t).

Iniciamos determinando la señal analítica del detector

Donde y (t) es la salida del filtro y x (t ) es la señal de entrada. a ( t )=0.0005 cos ( 166 πt ) +0.00025 sin ( 249 πt ) +0.00005 sin ( 8300 πt ) +v ( t ) y left (t right ) +66000y' left (t right ) +1040000000y(t)=70000x'(t)+70000000x(t Analizando la siguiente grafica podemos observar y deducir:::

Que la señal a (t) que entrega el acelerómetro viene con ruido eléctrico representado con v (t), en la etapa siguiente la señal es amplificada por un valor de 10.000 veces incluyendo el ruido eléctrico, en el bloque siguiente el acondicionador de señal se encarga de eliminar el ruido y optimizar los valores de la señal para entregarla al detector quien actúa como un filtro y será el encargado de entregar la señal que será medida para representar la vibración. Recordemos que el valor de a(t) es: a ( t )=0.0005 cos ( 166 πt ) +0.00025 sin ( 249 πt ) +0.00005 sin ( 8300 πt ) +v (t) Que equivale a la Señal de salida del acelerómetro. Una vez pasa la etapa del preamplificador se obtiene a_2 (t) que valdría:

a 2( t )=5 cos ( 166 πt ) +2.5 sin ( 249 πt )+ 0.5 sin ( 8300 πt )+10.000 v (t) La cual corresponde a La Señal de salida del preamplificador. Como se puede deducir la señal a(t) incluyendo el ruido eléctrico que porta ha sido amplificada 10.000 veces. Luego el acondicionador se encarga de eliminar el ruido eléctrico que como se observa equivale a 10.000v (t): a 3( t )=5 cos ( 166 πt ) +2.5 sin ( 249 πt )+ 0.5 sin ( 8300 πt ), que equivale a la Señal de salida del acondicionador. Al emplear octave en línea, podemos obtener una gráfica de Frecuencias Vs Potencia para observa la señal a3(t) descompuesta sus frecuencias. Para ello hacemos uso del siguiente código (script), que dentro de los comandos usa una transformada rápida de Fourier (fft):

Script octave en line: %serie temporal n=2^12; dt =0.0012; t= (0:n-1)*dt; %vector de tiempos x=5*sin (521.5*t)-2.5*cos (782.25*t)-0.5*cos (26075.2*t);

%amplitud-fase vs. frecuencias g=fft(x) Power=abs (g).^2; dw=2*pi/(n*dt); w= (0:n-1)*dw; %vector de frecuencias angulares

plot (w,power) xlabel('\omega') ylabel (‘P (\omega)') title ('Espectro de potencia')

Se muestra la siguiente grafica que corresponde al espectro en frecuencias de a_3 (t):

Podemos observar las frecuencias en las que se descompone la señal a_3(t) y la magnitud de la potencia de cada una de ellas. Bajo esta condición, la salida del detector quien se comporta como un filtro pasa banda con la siguiente representación matemática: y left (t right ) +66000y' left (t right ) +1040000000y(t)=70000x'(t)+70000000x(t Sera igual a la señal de entrada a3 (t) por la función de transferencia del detector. Para hallar la función de transferencia usamos la Transformada de LAPLACE, donde al convertir la ecuación diferencial que representa el comportamiento del detector a una función de transferencia las condiciones iníciales son “0”.

A continuación procedemos a desarrollar los cálculos para obtener la función de transferencia, realizando el Análisis para obtener la respuesta al impulso del detector, para ello; partimos de la ecuación diferencial que representa el comportamiento del detector: y left (t right ) +66000y' left (t right ) +1040000000y(t)=70000x'(t)+70000000x(t Dónde: y(t) es la salida del filtro y x(t) es la entrada del filtro Calculamos la transformada de Fourier para hallar la función de transferencia del detector partiendo de: Y ( w)(( j〖 w)〗2+ jw 66000+1040000000)= X (w)( jw 70000+70000000) Y ( w)/( X (w))=(( jw 70000+70000000))/((( j〖 w)〗2+ jw 66000+1040000000))=H ( w) H (w)=(( jw 70000+70000000))/((( j〖 w)〗2+ jw 66000+ 1040000000)) Ahora debemos definir la señal de entrada al detector para analizar cuál será su respuesta a salida: a_3(t) =5 cos⁡(166πt)+2.5 sin⁡(249πt)+0.5 sin⁡(8300πt) Como a cada término se le encuentra la respuesta en estado permanente. Para cada uno la notación es: x 1(t)=5 cos (166 πt ) x 2(t)=2.5 sin(249 πt ) x 3 (t)=0.5 sin (8300 πt ) Conociendo lo anterior, de cada término tomamos la frecuencia para analizar la respuesta que tendrá el detector, de la siguiente forma: De ; X 1(t)=5 cos ⁡(166 πt ) ω=8300 π y se obtiene el siguiente calculo: H 1 (w)=( j70000(166 π )+ 70000000)/((( j 〖 w)〗2 + jw 66000+1040000000)) H 1 (w)=( j70000(166 π )+ 70000000)/(((−1)(166 π )2+ j(166 π) 66000+1040000000))

¿(70000000+ j36505306,63)/((−271966,81)+ j34419289,11+ 1040000000)¿ H 1 (w)=(70000000+ j36505306,63)/((1039728033,19+ j34419289,11))

H 1 (w)=0.0684+ j0.0328 ¿ H 〗1 ( w)∨¿ 0.07585 , θ=25,62 y (t)=0.0005(0.07585) cos(166 π +25,65) y (t)=0.000037925 cos ⁡( 166 π +25,65) De ; X 2(t)=0.00025cos ⁡(249 πt ) ω=249 π y se obtiene el siguiente calculo: H 2 (w)=( j70000(249 π )+ 70000000)/(((−1)(249 π )2+ j(249 π )66000+1040000000)) H 2 (w)=( j54757959,95+70000000)/(((−611925,34 )+ j 51628933,67+1040000000))

H 2 (w)=(70000000+ j54757959,95)/((1039388074+ j 51628933,67)) H 2 (w)=0.0698+ j 0.0492

¿ H 〗2( w)∨¿ 0.0854 , θ=35.18 y (t)=0.00025(0.0854) sen(249 πt +35,18) y (t)=0.000002135 sen ⁡(249 πt +35,18) De ; x 3(t )=−0.0005 cos ⁡(8300 πt) ω=8300 π y se obtiene el siguiente calculo: H 3 (w)=( j70000( 8300 π )+70000000)/(((−1)( 8300 π )2 + j(8300 π )66000+1040000000)) H 3 (w)=(70000000+ j1825265331,73)/((−679917047.19+ j 1720964455.63+ 1040000000))

H 3 (w)=(70000000+ j1825265331.73)/((360082952.81+ j1720964455.63)) H 3 (w)=1.0243+ j 0.1736

H 〗3(w)=1.039 , θ=9,62° y (t)=0.00005(1.039) sen(8300 πt +9.26) y (t)=0.00005195 sen ⁡(8300 πt+9.62)

Por último, sumamos las respuestas de salida de cada etapa y así obtenemos la respuesta de la señal del filtro. y_ep

(t)=0.000037925

cos⁡(166πt+25,65)+0.000002135

sen⁡(249πt+35,18)+0.00005195sen⁡(8300πt+9.62) Con los valores obtenidos procedemos a calcular: 〖 H 1(w)+ H 2 (w)+ H 〗3(w)=1.1625+0.2556 i H (w)=1.19 ,θ=12,4

Ahora realicemos el análisis con la Transformada de Laplace, para ello, en primer lugar se reemplazan los números por letras para simplificar las operaciones: y (t)+a*y'(t)+b*y(t)=c*x'(t)+d*x(t Donde, a=66.000 b=1.040 .000.000 c=70.000 d=70.000.000 Ahora bien, si aplicamos Laplace podríamos obtener la función de transferencia del detector, expresada asi: s2∗Y (s)+ a∗s∗Y ( s )+ b∗Y ( s )=c∗s∗X ( s ) +d∗X (s) Ahora procedemos a factorizar:

Y ( s)( s¿¿ 2+a∗s+b)= X ( s ) (c∗s+ d)¿ Tenemos que despejar Y(s)/X(s) que es el equivalente a la función de transferencia: Y (s ) (c∗s+ d) = X ( s ) ( s ¿¿ 2+ a∗s+ b)¿ Al darle los valores de las letra tenemos: Y (s ) (70.000∗s +70.000.000) = X ( s ) ( s ¿¿ 2+ 66.000∗s+1.040 .000 .000)¿ Finalmente tenemos la función de transferencia del detector: Y (s ) 70.000∗(s+ 1.000) = X ( s ) ( s ¿¿ 2+ 66.000∗s+1.040 .000 .000)¿

Con ayuda de la plataforma octave en línea (https://octave-online.net/) podemos hallar el diagrama de bode de la función de transferencia del detector:

Según la gráfica podemos determinar que es un filtro pasabanda según se muestra en relación con los datos que se han calculado dada la ecuación y la señal que dejaría pasar es la siguiente, según nos indica la gráfica dada por el simulador.

Señal de salida: y ( t ) =0.00005195 sen ⁡(8300 πt +9.62)

Continuamos con los espectros de las señales, para lo cual tenemos los valores El espectro de f(t): f (t)=10 sin (166 πt ) El Espectro de a(t): a (t)=0.0005 cos (166 πt )+ 0.00025 sin(249 πt )+ 0.00005sin (8300 πt )+ v (t) El Espectro de y(t):

y (t)=(207e-26000 t−137e-40000 t)∗(70000+5 cos(166 πt)+2,5 sin(249 πt)+0,5 sin(8300 πt)70000 x ' +7000 Observación: Esta es una señal que solo aparece en el inicio; cuando (t = 0), luego va a desaparecer, fijémonos cuando se calculó la ecuación y(t), esta señal depende del tiempo y cae cuando (t ≠ 0). La única señal de salida es de estado permanente y es la que se representa con: Espectro de la señal de salida en estado permanente yep.

y e (t)=379,45 ×10−3 sin(166 πt+25,65 0)−213,5 ×10−3 cos (249 πt + 35,20)−519,5× 10−3 sin(8300 πt + 9, En estado permanente, la de mayor amplitud, es la que pasa por el filtro detector. Se demostró con el diagrama de bode (filtro). Paso siguiente es continuar con la Serie de Fourier señal a (t) para ello tenemos en cuenta que: 𝑎(t)=0,0005 cos(166 πt)+0,00025 sin(249 πt )+0,00005 sin(8300 πt)+ v(t) a (t)=a0+ Σ [akCos(2 πkf 0 t)+bkSin(2 πkf 0 t)]∞ k =1 Para hallar los coeficientes de la serie usamos las siguientes fórmulas:

Dando como resultado los siguientes valores:

Ahora bien, la potencia promedio es: P=1 T ∫ ∨(t)∨2 t 0 dt ó P=f ∫ ∨x( t)∨2 t 0 dt Y la potencia promedio y(t) es y ep 3(t )=−519,5 ×10−3 sin(8300 πt +9,26 0) Por tal motivo, la señal de salida es la salida en estado permanente. Ahora, procedemos a reemplazar en la formula siguiente:

P=83 ∫ ∨−519,5 × 10−3 sin(8300 πt + 9,260)∨2 t 0 dt P=−2,589× 10−6 sin(2,818−52150,4 t)+ 0,135 t+823 Por otro lado la Potencia promedio f (t). Partimos de que La señal f (t) es: (t)=10 sin(166 πt) Reemplazando en la fórmula (t)=10 sin(166 πt )P=4150−12,5 sin(332 πt ) π Ahora emplearemos octave en línea para generar el diagrama de bode de la función de transferencia del detector:

Al analizar el diagrama de bode encontramos que la señal con una frecuencia de 0 radianes por segundo cuenta con una magnitud negativa de -62 dbs manteniéndose estable durante la primera década y 3 partes de la segunda década.

Luego a los 100 radianes por segundo la señal tiene una ganancia o amplificación de 18 dbs constantes cada década hasta la frecuencia de 300.000 radianes x segundo y después empieza a ser atenuada a la misma razón de cambio de década.

En cuanto a la fase se puede evidenciar que la señal de salida es una señal sinusoidal que arranca desde 0° a una frecuencia de 0 radianes y va aumentado con la frecuencia hasta llegar al pico máximo a los 90 grados y después se atenúa hasta llegar a cero y de ahí hasta – 90 grados.

Análogamente a la situación de los sistemas para tiempo continuo, la respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo discreto está determinada por la salida del sistema cuando es excitado con una señal de entrada sinusoidal.

Conclusiones. En el transcurso y realización de la presente actividad se detectaron conceptos claves importantes para la apropiación de conocimientos, de entre los cuales destacamos:



La Modulación es el proceso de transformar información de su forma original a una forma más adecuada para la transmisión.



La Demodulación es el proceso inverso (es decir, la onda modulada se convierte nuevamente a su forma original).



La modulación se realiza en el transmisor en un circuito llamado modulador, y la demodulación se realiza en el receptor en un circuito llamado demodulador o detector.



Las características más importantes para cualquier tipo de detector son: sensibilidad espectral, la respuesta a la longitud de onda, la ganancia, e tiempo de respuesta.



La funcionalidad del detector es que sirven como dispositivo para controlar los problemas de funcionamiento en las máquinas debido a las vibraciones que se presentan.



El detector, también funciona como un dispositivo de alerta que mide las variables convirtiéndolas para ser transmitidas a los demás elementos y representadas de manera veraz siendo una base para la resolución temprana de alguna falla que se presente.

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Recuperado

ANEXO 1: DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA La medición y análisis de vibraciones es utilizado, en conjunto con otras técnicas, en todo tipo de industrias como técnica de diagnóstico de fallas y evaluación de la integridad de máquinas y estructuras. En el caso de los equipos rotatorios (motores) la ventaja que presenta el análisis vibratorio respecto a otras técnicas como tintas penetrantes, radiografía, ultrasonido, etc., es que la evaluación se realiza con la máquina funcionando, evitando con ello la pérdida de producción que genera una detención. Un instrumento de medida de la vibración está compuesto por las siguientes etapas:

Figura 1. Etapas de un sistema de análisis de vibraciones El objetivo del análisis de vibraciones es poder extraer el máximo de información relevante que ella posee. Para esto existen diferentes técnicas de análisis tanto en el dominio tiempo como en el dominio frecuencia, las cuales tienen sus propias ventajas para algunas aplicaciones en particular. Por otra parte uno de los problemas más serios en las máquinas y estructuras es el riesgo de una falla catastrófica debido a la generación de grietas en ellas. A pesar de que las máquinas y estructuras son cuidadosamente diseñadas y minuciosamente inspeccionadas, tanto antes de su puesta en servicio como periódicamente durante su vida operativa, hay antecedentes en la literatura del colapso de plantas debido a ejes y estructuras agrietadas. La Figura 2 muestra una viga simplemente apoyada, la cual tiene una grieta transversal de profundidad de un 40% del ancho de ella. La figura 3 muestra el comportamiento vibratorio de esta viga agrietada cuando se le aplica una fuerza transversal senoidal f(t) con frecuencia f = 83 (Hz), y amplitud 10 Newtons. El preamplificador tiene una ganancia de 10000, además, se puede decir que una expresión matemática que aproxima el comportamiento de la aceleración de la barra es:

a ( t )=0.0005 cos ( 166 πt ) +0.00025 sin ( 249 πt ) +0.00005 sin ( 8300 πt ) +v (t) Donde v( t) se considera ruido de la medida. El acondicionador de señal permite eliminar el ruido. Considere también que el detector es un filtro pasa banda cuyo comportamiento esta expresado por la siguiente ecuación diferencial:

y left (t right ) +66000 y' left (t right ) +1040000000 y(t)=70000 x'(t)+70000000 x(t Donde y (t) es la salida del filtro y x (t ) es la señal de entrada.