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SISTEMAS DINAMICOS CÓDIGO: 243005A_363

ETAPA 3 - IDENTIFICAR MODELOS DE SISTEMAS DINÁMICOS MEDIANTE MATLAB. ENTREGADO POR:

OSCAR BERNAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA NOV 24 - 2019

OBJETIVOS

Identificar los modelos matemáticos de un sistema dinámico mediante el uso de software de Matlab

Aplicar el análisis de sistemas dinámicos en función de trasferencia teniendo en cuenta para ellos las variables de entrada y salida

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin

de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. A continuación se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada la corriente aplicada 𝑖𝑖(𝑡) y como variable de salida el voltaje en el condensador 𝑒𝑜(𝑡) = 𝑉𝑐(𝑡):

El condensador posee una capacitancia 𝐶=3 F (Faradio). La resistencia es no lineal por lo que su corriente 𝑖(𝑡) depende de la raíz cuadrada del voltaje, esto es: 𝑖𝑅 (𝑡) = √𝑒𝑜 (𝑡) 𝑅

, donde 𝑅 = 0.4 √𝑉/𝐴 (√Voltios/Amperios ). Usted y sus compañeros de grupo son designados para encontrar el modelo

matemático más preciso posible. Para encontrarlo se ha dividido el problema en cuatro etapas: En la Etapa 1 se deberá encontrar el modelo matemático en el dominio del tiempo y analizar la controlabilidad y la observabilidad del proceso. En la Etapa 2 se deberá encontrar el modelo matemático en el dominio de la frecuencia y analizar el error en estado estacionario y la estabilidad del proceso (etapa ya desarrollada).

En la Etapa 3 se deberá encontrar el modelo matemático empleando técnicas de identificación. Se deben realizar 6 tareas prácticas. Prácticas: 1.

A partir de las mediciones de entrada y salida del sistema realizadas

cada 0.01 segundos, durante 100 segundos, utilice la herramienta ident incorporada en MATLAB® para realizar el procesamiento requerido a las señales. 2.

Determine el orden del modelo y encuentre el modelo ARX del

sistema. 3.

Determine el orden del modelo y encuentre el modelo ARMAX del

sistema. 4.

Determine el orden del modelo y encuentre el modelo Output-Error

del sistema. 5.

Determine el orden del modelo y encuentre el modelo Box-Jenkins

del sistema. 6.

Utilice MATLAB® para simular los cuatro sistemas identificados y

grafique la salida de los mismos cuando se aplica una entrada constante (𝑡)=𝐼𝑖=5 A, durante los primeros 2 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario, esto es, la corriente de entrada cambia de 5 A a 6 A durante 3 segundos más. De manera que la simulación dura 5 segundos.

Fase 1 - Análisis, lluvia de ideas y listado de conceptos. Análisis: En la presente etapa se requiere ejecutar diferentes prácticas a través del software Matlab, con el fin de encontrar el modelo matemático del sistema a través de los diferentes métodos o técnicas de identificación estudiadas. Adicionalmente se comparan los resultados del modelo de cada técnica con la salida del sistema real, con el fin de seleccionar el más exacto. Lluvia de ideas:



Uso y manejo adecuado del software Matlab y profundización en su

toolbox ident. 

Utilización de correcta de las variables de entrada y salida brindadas.



Generación de los modelos ARX, ARMAX, Output- Error y Box

Jenkins. 

Simulación de los modelos obtenidos en Simulink y seleccionar el

que arroje el resultado parecido a la salida real 

Manejo del software de Matlab, revisión de manual y funciones del



Presentación del diagrama simplificado del equipo industrial



Identificación de variables de entrada y salida del sistema



Conocimientos de las funciones que desempeñan cada uno de los

mismo

elementos presentes en el diagrama 

Conocimiento de datos frente a la resistencia y capacitancia



Manejo de fórmulas para apoyar el modelo matemático industrial



Indagación y conocimiento de modelos matemáticos de dominio del

tiempo

Listado de conceptos conocidos 

Modelo matemático: es uno de los tipos de modelos científicos que

emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables de las operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. 

Sistema de control: es un conjunto de dispositivos encargados de

administrar, ordenar, dirigir o regular el comportamiento de otro sistema, con el fin de reducir las probabilidades de fallo y obtener los resultados deseados. Por lo general, se usan sistemas de control industrial en procesos de producción industriales1 para controlar equipos o máquinas.



Diagrama de bloques: es una representación gráfica de las

funciones que lleva a cabo cada componente. En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema, mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida

Modelo armax: Es un modelo en sistemas el cual posee una desventaja principal la cual es la falta de libertad en la descripción del término de perturbación, sin embargo, es posible incorporar mayor flexibilidad al modelado al agregar un término conocido como media en movimiento del ruido blanco. Éste modelo es una herramienta estándar en control y econometría tanto para el diseño de un control como para la descripción de un sistema. (Kunusch, 2003)

Modelo Box-Jenkins: Dicha estructura es aplicada a modelos autorregresivos de media móvil (ARMA) o a los modelos autorregresivos integrados de media móvil (ARIMA), ya que en ellos se puede encontrar el mejor ajuste de una serie temporal de valores, con el objetivo de que los pronósticos sean lo más acertado posible.



Modelo output: En ciertas ocasiones se añade a la matriz

otras filas que representan el "valor añadido" que tiene en cuenta otros inputs no-industriales a la producción, como puede ser el trabajo. La estructura matemática de un sistema Input-Output es la de un sistema de ecuaciones lineales de incógnitas y ecuaciones.



Modelo Arx: Modelo auto regresivo con variable exógena

(de sus siglas en inglés autoregressive with exogenous input), no es más

que una extensión del modelo AR donde su característica es que el filtro 1/A(q) es común a ambos.



Análisis de correlación: La correlación estadística constituye una

técnica estadística que nos indica si dos variables están relacionadas o no. 

Por ejemplo, considera que las variables son el ingreso

familiar y el gasto familiar. Se sabe que los aumentos de ingresos y gastos disminuyen juntos. Por lo tanto, están relacionados en el sentido de que el cambio en cualquier variable estará acompañado por un cambio en la otra variable.



Función de covarianza: En probabilidad y estadística, la

covarianza es un valor que indica el grado de variación conjunta de dos variables aleatorias respecto a sus medias. Es el dato básico para determinar si existe una dependencia entre ambas variables y además es el dato necesario para estimar otros parámetros básicos, como el coeficiente de correlación lineal o la recta de regresión.



Ruido blanco: El ruido blanco o sonido blanco es una señal

aleatoria (proceso estocástico) que se caracteriza por el hecho de que sus valores de señal en dos tiempos diferentes no guardan correlación estadística. Como consecuencia de ello, su densidad espectral de potencia (PSD, siglas en inglés de power spectral density) es una constante, es decir, su gráfica es plana. Esto significa que la señal contiene todas las frecuencias y todas ellas muestran la misma potencia. Igual fenómeno ocurre con la luz blanca, de allí la denominación.



Perturbaciones: Las perturbaciones en una transmisión de

señales analógicas o digitales es inevitable, pues existen una serie de

factores que afectan a la calidad de las señales transmitidas por lo que nunca serán iguales a las señales recibidas. 

En las señales digitales esto limita la velocidad de

transmisión pues estas perturbaciones en una línea de transmisión producen el incremento en la taza de errores de bits, y en una señal analógica esta línea de transmisión introduce variaciones de amplitud y frecuencia lo que degrada la calidad de la señal.



Análisis de Fourier: El análisis de Fourier surgió a partir

del intento de este matemático francés por hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como LaGrange, Laplace, etc.

Listado de conceptos desconocidos: 

Modelo Arx:

Equivale a introducir a la salida “limpia” una perturbación que es un ruido blanco “e” previamente filtrado por 1/A(z):



Modelo OE (output- error):

Es decir, que a la salida “limpia” se le suma una perturbación que es directamente un ruido blanco “e”. Este modelo representa bien la presencia de un ruido de medida independiente en el sensor.



Modelo ARMAX:

Es decir, que a la salida “limpia” se le suma una perturbación que es un ruido blanco e previamente filtrado por C(z)/A(z).



Modelo Box-Jenkins:

Es decir, que a la salida “limpia” se le suma una perturbación que es un ruido blanco e previamente filtrado por C(z)/D(z).

Fase 2 - Propuesta metodológica y obtención de información. 

Leer y analizar detalladamente la guía de actividades para definir

cada uno de los pasos a seguir, en busca de la solución al problema planteado en esta fase 3.



Empleando técnicas de identificación se buscará expresar el modelo

matemático del sistema, y luego por medio de un diagrama de bloques se podrá determinar el mejor diseño.



Se debe tener en claro que el eje central de la actividad es encontrar

el modelo matemático, y con ello se deben realizar 6 tareas prácticas.



Se dan a conocer las diferentes propuestas metodológicas con el

objetivo de obtener la información clara y precisa de la actividad.



Se realiza la simulación en el software recomendado (Matlab).



Se consolida el trabajo y se presentan las observaciones por cada

integrante.



La metodología empleada en esta etapa es la comparación de los

resultados obtenidos en cada uno de los modelos, mediante el análisis de las gráficas y así seleccionar el mejor modelo del sistema 

De acuerdo con lo anterior, para la correcta selección, es necesario

leer y analizar los contenidos de las temáticas de la etapa, realizar las prácticas o simulaciones descritas en la guía de actividades en el software de modelamiento matemático Matlab y finalmente presentar los resultados y observaciones de las actividades realizadas y los criterios de selección del modelo más parecido a la salida real.

Fase 3 - Diseño y ejecución del plan de acción. 1.

Comportamiento real del sistema

Función de transferencia: Se utilizó 3 polos y 2 ceros.

Salida del modelo:

2.

Modelo ARX:

Función de transferencia: Se utilizó 3 polos y 2 ceros.

Salida del modelo:

Respuesta al escalón:

3.

Modelo ARMAX:

Función de transferencia: Se utilizó 3 polos y 2 ceros.

Salida del modelo:

Respuesta al escalón:

4.

Modelo Output-Error:

Función de transferencia: Se utilizó 3 polos y 2 ceros.

Salida del modelo:

Respuesta al escalón:

5.

Modelo Box-Jenkins:

Función de transferencia: Se utilizó 3 polos y 2 ceros.

Salida del modelo:

Respuesta al escalón:

6.

Utilice MATLAB® para simular los cuatro sistemas identificados y

grafique la salida de los mismos cuando se aplica una entrada constante (𝑡)=𝐼𝑖=5 A, durante los primeros 2 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario, esto es, la corriente de entrada cambia de 5 A a 6 A durante 3 segundos más. De manera que la simulación dura 5 segundos. Simulación modelo ARX:

Simulación modelo ARMAX:

Simulación modelo Output-Error:

Simulación modelo Box Jenkins:

BIBLIOGRAFÍA 

Martínez Bueno, Ángel. Identificación experimental de sistemas.

2011. Recuperado de: https://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/18965/1/Identificacion%20experimental %20de%20sistemas.pdf 

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http://juan-amaya-academia.blogspot.com.co/p/sistemas-dinamicos.html



Amaya Diaz, J. (2016). Identificación de sistemas. Obtenido de

http://hdl.handle.net/10596/10872 

Diaz, A. (2016). Sistemas Dinámicos. Obtenido de

http://hdl.handle.net/10596/10806 

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