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ETAPA 1 - MODELAR EL SISTEMA DINÁMICO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

Presentado al tutor: Adriana Del Pilar Noguera

Presentado por Deivi Jose Maria Ortiz COD:

Grupo:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA INGENIERIA ELECTRONICA 05/MAYO/2019

INTRODUCCION La ingeniería de control está inmersa en diversos campos, por eso es de suma importancia el control automático en la actividad tecnológica mundial, particularmente en el campo de la industria. Por lo tanto, es imprescindible el uso de una herramienta tan importante como las matemáticas para los aspectos teóricos en la aplicabilidad de estos conceptos, aportando la solución a los distintos problemas que aparecen en el contexto de los sistemas dinámicos. En esta unidad comprenderemos los inicios de la modelación de estos sistemas, así como su simulación mediante los softwares especializados. Se desarrolla la actividad, basado en los términos técnicos que se investigan en las bibliografías recomendadas, con el fin de poder aplicarlos a resolución de los distintos problemas planteados en la actividad.

LISTADO DE CONCEPTOS Variables de estado: Las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico. Si se necesitan al menos n variables x1, x2... xn para describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada para t>=t0 y se especifica el estado inicial t=t0 el estado futuro del sistema se determina por completo), tales n variables son un conjunto de variables de estado. Circuito serie: Se dice que un circuito está en serie cuando la corriente circula por un mismo camino desde un punto de inicio, hasta un punto de llegada circulando a través de varios elementos. Circuito paralelo: en los circuitos en paralelo la corriente circula por tantos caminos como elementos posea el circuito. Los elementos o componentes están unidos entre sí por sus dos terminales y es en ese punto donde la corriente se divide o se vuelve a unir para llegar a la fuente de alimentación como una única corriente. Nodos: Son los puntos dentro de un circuito donde se unen dos a más elementos. En el análisis por nodos las incógnitas son las tensiones. Se escogerá un nodo de referencia y se le asignará tensión absoluta cero.

Ecuaciones diferenciales: es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía, y la biología. Ley de Ohm:La intensidad de corriente que atraviesa un circuito es directamente proporcional al voltaje o tensión del mismo e inversamente proporcional a la resistencia que presenta.

Donde I es la intensidad que se mide en amperios (A), V el voltaje que se mide en voltios (V); y R la resistencia que se mide en ohmios (Ω).

Potencia eléctrica: Es el ritmo, con la cual la energía eléctrica es transferida por un circuito eléctrico. La unidad de medida en el vatio o watt(w) Donde P es la potencia que se mide en vatios(W) ,I es la intensidad que se mide en amperios (A), V el voltaje que se mide en voltios (V); y R la resistencia que se mide en ohmios (Ω). Rama: Es conformada por un conjunto de componentes por los que circula una misma corriente al no existir divisiones entre estos la diferencia de potencial entre los extremos de una rama serán igual a la suma de diferencia de potencial de las uniones que la conforman Nudo: Es el punto donde se unen varias ramas Malla: Es el conjunto de ramas que forma un contorno cerrado. Las leyes de Kirchhoff Describe el comportamiento del voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos. La ley de corrientes de Kirchhoff Denotada por la sigla “LCK” describe cómo se comportan las corrientes presentes en un nodo de un circuito eléctrico. La cual manifiesta que, En cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen.

De forma equivalente, la suma algebraica de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero. Ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) La ley de voltajes de Kirchhoff denotada por su sigla “LVK” describe cómo se comporta el voltaje en un lazo cerrado o malla, por lo tanto, con esta ley es posible determinar las caídas de voltaje de cada elemento que compone a la malla que se esté analizando. Proclamado que en un lazo cerrado, la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total administrada. De forma equivalente, la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico en un lazo es igual a cero.” Sistema dinámico: Es un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo. Los sistemas físicos en situación no estacionaria son ejemplos de sistemas dinámicos. Matlab: Es un sistema de cómputo numérico que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio. Circuitos mixtos: Un circuito mixto es una combinación de varios elementos conectados tanto en paralelo como en serie. Controlabilidad: La controlabilidad tiene que ver con la posibilidad de llevar al sistema de cualquier estado inicial al cualquier estado final en tiempo finito, no importando que trayectoria se ´ siga, o que entrada se use. Observabilidad: El concepto de observabilidad es dual al de controlabilidad, e investiga la posibilidad de estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la salida.

ANEXO 1 – PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su

modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. Sistemas Eléctricos

A continuación, se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada el voltaje de alimentación 𝑉(𝑡) y como variable de salida el voltaje en la bobina L 𝑉𝐿 .

EDWIN CAMILO PEREZ 1. Circuito mixto RLC

3.3 Determinar las matrices de controlabilidad y observabilidad del sistema linealizado.

Matriz de controlabilidad del sistema linealizado

Rango=2

det (cm) ≠ 0

--------> el sistema es controlable

matriz de

observabilidad del sistema linealizado

Rango=2

det (cm) ≠ 0

--------> el sistema es observable

Utilice MATLAB® para simular el diagrama de bloques y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante 𝑉(𝑡) = 5 𝑉 durante los primeros 5 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario durante 5 segundos más, de manera que la simulación dura 10 segundos.

2. Circuito mixto RLC

𝑅1 = 2 Ω 𝐿 =2𝐻 𝐶 =3𝐹 𝑅2 = 1 Ω 𝑅 =2Ω

El primer paso es identificar y enumerar las mallas y nodos que tiene nuestro circuito (3 mallas y 2 nodo)

Solución:  Lo primero que haremos ahora es establecer las variables de estado.

𝑣𝐶 (𝑡) = 𝑋1 (𝑡) 𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑋2 (𝑡)  Ahora analizaremos la malla 1 𝑣𝑡 = 𝑣𝑙 + 𝑣𝑟  Ahora analizaremos la malla 2 𝑣𝑟 + 𝑣𝑙 = 𝑣𝑟1 + 𝑣𝑟2 𝑣𝑙 = 𝑣𝑟1 + 𝑣𝑐  Ahora analizaremos la malla 3 𝑣𝑟2 = 𝑣𝑐  Ahora analizaremos el nodo A 𝐼𝑡 = 𝐼𝑙 1 + 𝐼𝑟1 Dado que 𝐼 𝑙1 = 𝐼 𝑟  Ahora analizaremos el nodo B 𝐼 𝑟1 = 𝐼 𝑟2 + 𝐼𝑐 𝐼𝑐 = 𝑐

𝑑𝑣𝐶 𝑑𝑡

Reemplazamos 𝐼𝑐 = 3

Entonces tenemos que: 𝑑𝑖𝑙

𝑣𝑙1 = 𝐼1 𝑑𝑡 = 2 𝐼𝑟2 = 𝐼𝑟2 =

𝑑𝑣𝐶 𝑑𝑡

𝑉𝑅2 𝑅2 𝑉𝐶 𝑅2

=

𝐼𝑟2 = 𝑉𝐶

𝑉𝐶 1

= 𝑉𝐶

𝑑𝑣𝐶 𝑑𝑡

Como en la ecuación el voltaje en el condensador esta en términos de la integral, se procede a eliminar la integral con su función contraria aplicando derivada en los dos términos de la ecuación: 1 𝑑𝑣𝐶 𝑑 (3 ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡) 1 = = 𝑖𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 3 𝑑𝑣𝐶 1 = 𝑖𝐶 𝐸𝑐. 1 𝑑𝑡 3  Ahora analizaremos la malla 1 aplicando la LVK: 𝑣𝑅1 + 𝑣𝑅 − 𝑣𝑡 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑅1 + 𝑣𝑅 = 𝑣𝑡 Como R y C están en paralelo el voltaje es el mismo para ambos: 𝑣𝑅 = 𝑣𝐶 𝑣𝑅1 + 𝑣𝐶 = 𝑣𝑡

𝐸𝑐. 2

 A continuación analizaremos la malla 3 donde tenemos C y L 𝑣𝐿 = 𝑣𝐶 Entonces: 𝑣𝐿 = 𝐿

3

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 =3 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑖𝐿 = 𝑣𝐶 𝑑𝑡

𝐸𝑐. 3

 Como pudimos notar en la ecuación 2 correspondiente a la malla 1 no conocemos el valor de 𝑣𝑅1

y tenemos que convertirla en función de las

variables de estado por lo tanto:



Analizaremos el Nodo A 𝑖𝑅1 = 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 + 𝑖𝐿

Reemplazando los valores de 𝑖𝑅 y 𝑖𝐶 𝑖𝑅1 = 2𝑉𝑐 3 + 3 

𝑑𝑣𝐶 + 𝑖𝐿 𝑑𝑡

Reemplazando 𝑖𝑅1 se halla el equivalente para 𝑣𝑅1 aplicando la ley de OHM 𝑣𝑅1 = 𝑅1 ∗ 𝑖𝑅1 Reemplazando valores: 𝑑𝑣𝐶 + 𝑖𝐿 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝐶 = 4𝑉𝑐 3 + 6 + 2𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝑣𝑅1 = 2 ∗ (2𝑉𝑐 3 + 3 𝑣𝑅1 

Reemplazando 𝑣𝑅1 en la ecuación 2 tenemos: 𝑣𝑅1 + 𝑣𝐶 = 𝑣𝑡

4𝑉𝑐 3 + 6 Al despejar

𝑑𝑣𝐶 𝑑𝑡

𝑑𝑣𝐶 + 2𝑖𝐿 + 𝑣𝐶 = 𝑣𝑡 𝑑𝑡

se obtiene:

6

𝑑𝑣𝐶 = 𝑣𝑡 − 4𝑉𝑐 3 − 2𝑖𝐿 − 𝑣𝐶 𝑑𝑡

𝑑𝑣𝐶 1 2 1 1 = 𝑣𝑡 − 𝑉𝑐 3 − 𝑖𝐿 − 𝑣𝐶 . 𝐸𝑐. 4 𝑑𝑡 6 3 3 6 

Procedemos hallar

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

despejando en la ecuación 3: 𝑑𝑖𝐿 = 𝑣𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿 1 = 𝑣𝐶 𝐸𝑐. 5 𝑑𝑡 3 3

Las EDO no lineales son: 𝑑𝑣𝐶 1 2 1 1 = 𝑣𝑡 − 𝑉𝑐 3 − 𝑖𝐿 − 𝑣𝐶 . 𝐸𝑐. 4 𝑑𝑡 6 3 3 6 𝑑𝑖𝐿 1 = 𝑣𝐶 𝐸𝑐. 5 𝑑𝑡 3

𝑦 = 𝑣𝐿 = 3

𝑑𝑖𝐿 = 𝑣𝐶 𝑑𝑡

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑦 = 𝑣𝐶 𝐸𝑐. 6

Las EDO lineales son: 𝑑𝑣𝐶 𝑑𝑡

1

1

1

= 6 𝑣𝑡 − 3 𝑖𝐿 − 6 𝑣𝐶 . 𝐸𝑐. 7 𝑑𝑖𝐿 1 = 𝑣𝐶 𝐸𝑐. 8 𝑑𝑡 3 𝑦 = 𝑣𝐶 𝐸𝑐. 9

VARIABLES DE ESTADO SL 𝑣𝐶 (𝑡) = 𝑋1 (𝑡)

𝑉𝑐′ (𝑡) =

𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑋2 (𝑡)

𝑖𝐿′ (𝑡) =

𝑑𝑣𝑐 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑋1 (𝑡)

= 𝑋2 (𝑡)

𝑑𝑣𝑐 (𝑡) −1 −1 1 𝑣𝐶 (𝑡) 𝑑𝑡 6 3 [ ]=[ ][ ] + [6] [𝑉(𝑡)] 1 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑖𝐿 ( 𝑡 ) 0 0 3 𝑑𝑡 A B [𝑦] = [1

0] [ C

𝑣𝐶 (𝑡) ] 𝑖𝐿 (𝑡)

3.3 Determinar las matrices de controlabilidad y observabilidad del sistema linealizado.

En la imagen se puede observar que la Observabilidad y la controlabilidad tienen el mismo valor (2), lo que indica que el sistema es controlable y observable.

4.1 Generar el diagrama de bloques que representa el modelo matemático del sistema.

SEÑALES EN EL OSCILOSCOPIO

NATHALIA RAMIREZ 5- Circuito mixto RLC número

𝑅1 = 1Ω 𝑅2 = 1Ω 𝑅3 = 2Ω 𝐿 = 2𝐻 𝐶 = 2𝐹

𝑖𝑅 =

3 3 𝑉𝑐 2

Solución 

Nombramos variables.

𝑉𝑐 (𝑡) = 𝑋1 (𝑡) 𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑋2 (𝑡) 

Sacamos las Mallas del circuito.

Malla 1

La resistencia R y el condensador C están en paralelo entonces: 𝑉𝑐 = 𝑉𝑅 Donde 1

𝑉𝑐 = 𝑐 ∫ 𝑖𝑐𝑑𝑡 Reemplazamos el valor de C 1

𝑉𝑐 = 2 ∫ 𝑖𝑐𝑑𝑡 Derivamos para quitar la integral 𝑑𝑉𝑐 1 = 𝑖𝑐 𝑑𝑡 2 Malla 2

𝑉𝑐 + 𝑉𝑅1 + 𝑉𝑅2 − 𝑉(𝑡) = 0 𝑉(𝑡) = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑅1 + 𝑉𝑅2 R2 está en paralelo con L y R3 𝑉𝑅3 = 𝑖𝑅3 ∗ 𝑅3 = 𝑖𝑅3 ∗ 2Ω = 2𝑖𝑅3 𝑉𝑐 + 𝑉𝐿 + 2𝑖𝑅3 = 𝑉(𝑡) 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑉𝐿 = 𝐿 =2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿 𝑉𝑐 + 2 + 2𝑖𝑅3 = 𝑉(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿 2 = 𝑉(𝑡) − 𝑉𝑐 − 2𝑖𝑅3 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿 𝑉(𝑡) 𝑉𝑐 2𝑖𝑅3 = − − 𝑑𝑡 2 2 2 Malla 3

𝑉𝑅2 = 𝑖𝑅2 ∗ 𝑅2 = 𝑖𝑅2 ∗ 1Ω = 𝑖𝑅2 𝑉𝑅3 = 𝑖𝑅3 ∗ 𝑅3 = 𝑖𝑅3 ∗ 2Ω = 2𝑖𝑅3 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑉𝐿 = 𝐿 =2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐿 + 𝑉𝑅3 = 𝑉𝑅2 𝑉𝐿 = 𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅3 𝑉𝐿 = 𝑖𝑅2 −2𝑖𝑅3

Para determinar el valor de ic se utiliza la ecuación de corrientes de nodo 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 = 𝑖𝑅2 + 𝑖𝑅3 Pero 𝑖𝑅3 = 𝑖𝐿 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 = 𝑖𝑅2 + 𝑖𝐿 Reemplazamos 3 3 𝑑𝑖𝐿 𝑉𝑐 + 𝑖𝐶 = 2 + 2𝑖𝑅3 + 𝑖𝐿 2 𝑑𝑡 Despejamos 𝑖𝐶 𝑖𝐶 = 2

𝑑𝑖𝐿 3 + 2𝑖𝑅3 + 𝑖𝐿 − 𝑉𝑐 3 𝑑𝑡 2

Tenemos el equivalente de 𝑖𝐶 , entonces lo reemplazamos 𝑑𝑉𝐶 1 1 𝑑𝑖𝐿 3 = 𝑖𝐶 = (2 + 2𝑖𝑅3 + 𝑖𝐿 − 𝑉𝑐 3 ) 𝑑𝑡 2 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑖𝐿 Ya tenemos el equivalente de 𝑑 , entonces lo reemplazamos. 𝑡

𝑑𝑉𝐶 1 1 𝑉(𝑡) 𝑉𝑐 2𝑖𝑅3 3 = 𝑖𝐶 = (2 ( − − ) + 2𝑖𝑅3 + 𝑖𝐿 − 𝑉𝑐 3 ) 𝑑𝑡 2 2 2 2 2 2 Resolvemos matemáticamente 𝑑𝑉𝐶 1 1 2𝑉(𝑡) 2𝑉𝑐 4𝑖𝑅3 3 = 𝑖𝐶 = ( − − ) + 2𝑖𝑅3 + 𝑖𝐿 − 𝑉𝑐 3 𝑑𝑡 2 2 2 2 2 2 𝑑𝑉𝐶 1 1 3 = 𝑖𝐶 = (𝑉(𝑡) − 𝑉𝐶 − 2𝑖𝑅3 + 2𝑖𝑅3 + 𝑖𝐿 − 𝑉𝑐 3 ) 𝑑𝑡 2 2 2 𝑑𝑉𝐶 𝑉(𝑡) 𝑉𝐶 𝑖𝐿 3 3 = − + − 𝑉𝑐 𝑑𝑡 2 2 2 4 3.1 Hallar el modelo matemático del sistema dinámico mediante una ecuación diferencial. Ecuaciones diferenciales del sistema

𝒅𝑽𝑪 𝑽(𝒕) 𝑽𝑪 𝒊𝑳 𝟑 𝟑 = − + − 𝑽𝒄 1 𝒅𝒕 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝒅𝒊𝑳 𝑽(𝒕) 𝑽𝑪 𝟐𝒊𝑹𝟑 = − − 𝒅𝒕 𝟐 𝟐 𝟐

2

Ecuación de salida 𝑦 = 𝑉𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑉(𝑡) 𝑉𝐶 2𝑖𝑅3 =2 =2 − − 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 2 2 =

2𝑉(𝑡) 2𝑉𝐶 4𝑖𝑅3 − − 2 2 2

𝒚 = 𝑽(𝒕) − 𝑽𝑪 − 𝟐𝒊𝑹𝟑

3.2 Representar el modelo matemático en el espacio de estados mediante variables de estados. Variable de estados 𝑑𝑉𝐶 (𝑡) −1 3 1 1 − 𝑉𝐶 2 4 2] [𝑉𝐶 (𝑡)] + [ 2 ] [𝑉(𝑡)] [ 𝑑𝑡 ] = [ 2 1 1 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑖𝐿 (𝑡) − 0 2 2 𝑑𝑡

[𝑦] = [−1 0] [

𝑉𝐶 (𝑡) ] 𝑖𝐿 (𝑡)

Ecuación de Estados 𝑋̇ = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑈 −1 3 1 1 − 𝑉𝐶 2 4 2] 𝑋 + [ 2 ] 𝑈 𝑋̇ = [ 2 1 1 − 0 2 2

[𝑦] = [−1 0]𝑋

𝑦 = 𝐶𝑋 Ahora vamos a linealizar la ecuación

Ya que la ecuación diferencial 1 tiene un elemento que la hace no lineal. −3 𝑉3 4 𝐶 Hallamos la derivada del elemento y se evalúa en 𝑉𝐶 = 0 −3 𝑑 ( 4 𝑉𝐶 3 ) −9 (0)2 = 0 = 𝑑𝑡 4 Ahora tenemos las ecuaciones linealizadas 𝒅𝑽𝑪 𝑽(𝒕) 𝑽𝑪 𝒊𝑳 = − + 𝒅𝒕 𝟐 𝟐 𝟐

1

𝒅𝒊𝑳 𝑽(𝒕) 𝑽𝑪 𝟐𝒊𝑹𝟑 = − − 2 𝒅𝒕 𝟐 𝟐 𝟐 Variable de estados-ecuaciones linealizadas 𝑑𝑉𝐶 (𝑡) −1 1 1 𝑉 (𝑡) [ 𝑑𝑡 ] = [ 2 2] [ 𝐶 ] + [ 2 ] [𝑉(𝑡)] −1 1 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑖𝐿 (𝑡) 0 2 2 𝑑𝑡

[𝑦] = [−1 0] [

𝑉𝐶 (𝑡) ] 𝑖𝐿 (𝑡)

Ecuación linealizada de Estados 𝑋̇ = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑈 −1 1 1 𝑋̇ = [ 2 2] 𝑋 + [ 2 ] 𝑈 −1 1 0 2 2 𝑦 = 𝐶𝑋

[𝑦] = [−1 0]𝑋

3.3 Determinar las matrices de controlabilidad y observabilidad del sistema linealizado.

En la imagen se puede observar la controlabilidad = 2 y la Observabilidad = 2, esto nos dice que el sistema es controlable y observable. 4.1 Generar el diagrama de bloques que representa el modelo matemático del sistema.

LINK DE VIDEOS

NATHALIA RAMIREZ https://youtu.be/SRemUwG3cJA JHON CARLOS FRANCO DEL CASTILLO https://youtu.be/By4gL_nV20U

CONCLUSIONES

Con el análisis de los sistemas, sus aplicaciones matemáticas se logró el entendimiento sobre la representación matemática en el tiempo del sistema, la cual nos prepara para la solución indicada en la etapa 1 del curso. El software utilizado permite hacer las variaciones rápidas pertinentes en las variables involucradas en un sistema físico que se representa a través de modelos matemáticos. Desarrollar un circuito desde sus variables de estado permite que veamos el análisis de los circuitos no como elementos estacionarios y que no fluctúan con el tiempo, pero como sistemas dinámicos que tienen un comportamiento particular, que como se evidencio, se puede representar matemáticamente con la tensión en el capacitor y la corriente en el inductor. Se aprendió a modelar un sistema dinámico de un circuito mixto RLC con dominio en el tiempo. Se realizaron lo diversos cálculos matemáticos para hallar las ecuaciones diferenciales ordinarias no líneas y lineales. Se comprobó mediante el software de Matlab las determinantes de las variables de estado verificando que los cálculos matemáticos son correctos determinando la observabilidad y controlabilidad del sistema.

BIBLIOGRAFIA

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