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Ejemplo Factorizar

FACTORIZACIÓN

P(x,y) = a2x-ax2-2a2y+2axy+x3-2x2y

(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab Multiplicación

Solución:

FACTOR PRIMO: Un polinomio es irreductible sobre un determinado campo numérico sino admite ser expresado como la multiplicación de dos o más factores sobre el mismo campo. P( x )  x 4  1 P( x )  ( x

x

P( x )  ( x  2y )(a 2  ax  x 2 )

#fp = 2 #D = (2)(2) = 4 POR IDENTIDAD

Ejemplo

P( x ) 

a2x-ax2+2axy-2a2y+x3-2x2y = a2(x-2y)-ax(x-2y)+x2(x-2y) = (x-2y)(a2-ax+x2)

2

 1)( x

2

Ejemplo P(x) = x3+x2-x-1

 1)



 1 x  1x  1 fp fp fp

2

Solución: P = x2 (x+1) – (x+1) P = (x2-1)(x+1) P = (x+1)(x-1)(x+1) P = (X+1)2(x-1)

Tiene 3 factores primos en R # DIVISORES O FACTORES a

b

Ejemplo P(x) = x3+y3+6xy-8

c

P  x .y .z ...

#D=(a+1)(b+1)(c+1) …

Solución: P(x) = (x+y)3 – 23 P(x) = (x+y+2) [(x+y)2+2(x+y)+22] P(x) = (x+y+2)(x2+y2+2xy+2x+2y+4)

Ejemplo P( x )  ( x

4

 1)( x

2

 1)

xЄR

Solución: 2

ASPA SIMPLE 2

2

P(x) = (x +1)(x -1)(x -1) P(x) = (x2+1)(x+1)2(x-1)2 #fp = 3 #D = (1+1)(2+1)(2+1) #D = 18 FACTOR COMÚN AGRUPACIONES CONVENIENTES

Ax2n+Bxnym+Cy

Ejm. 1

O

Factorizar 3x2+10x+8 = 0 Solución:

3x

4

=

x

2

=

Ejm. 1 P(x) = x3-7x+6

4x 6x 10x

1

Luego (3x+4)(x+2) //

x=1

Ejemplo

x=2

1 1 x=-3

4x4+15x2y2-54y4 = 24x2y2 x2 4x2

-7

6

1

1

-6

1

-6

0

2

6

3

0

+- 6 + - 3 +- 2 +- 1

-3 1

6y2 = 24x2y2

0

0

Rpta. (x-1)(x-2)(x+3) Ejm. 2 Q(x) = 4x5-29x3-24x2+7x+6

-9y2 = -9x2y2 15x2y2

(x2+6y2)(4x2-9y2) (x2+6y2)(2x+3y)(2x-3y)

1 3 1 3  1, 2, 3, 6   PCR      1, 2, 3, 6, , , ,  2 2 4 4  12 4  

ASPA DOBLE 4 0 -29 -24 7 6

Ax2n+Bxnyn+Cy2m+Dxn+Eym+F Ejm. 1 Factorizar

x=-1 x=-2

-4

4

4 -4 -25

1

6 0

-8 24

2

-6

3

0

4 -12 -1 x=3

P = 6x2+13xy+6y2+7x+8y+2

x=

3x

2y

2x

2

3y

1

1 2

x= - 1 2

25 -1 -6

12

0

-3

4 0

-1

0

2

1

4 2

0

-2 4 0

Luego (x+1)(x+2)(x-3)(2x-1)(2x+1)

(3x+2y+2)(2x+3y+1) Ejm.2 Q = 6x2-5xy-25y2-23xz-5yz+20z2 3x

-5y

-4z

2x

-5y

-5z

Q = (3x+5y-4z)(2x-5y-5z) DIVISORES BINÓMICOS

CAMBIO DE VARIABLE Consiste en transformar, mediante un cambio de variable un problema operativo en otro más simplificado. Ejm.1 Factorizar P=(18c+7b+6a)(a+3c+3b)+3b2 Solución: Sea: x = a+3c+3b P = x [6x-11b]+3b2

P = 6x2-11bx+3b2 P = (3x-b)(2x-3b) P = (3a+9c+8b)(2a+6c+3b) Ejm. 2 Factorizar (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-8 Solución: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-8

(x2+5x+4)(x2+5x+6)-8 m = x2+5x (m+4)(m+6)-8 m2+10m+24-8 m2+10m+16 (m+8)(m+2) (x2+5x+8)(x2+5x+2) // QUITA Y PON Consiste en sumar y restar para que sea factorizable

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Dados dos o más polinomios no constantes llamaremos MCD al factor común de menor grado. Ejm. 1 Hallar MCD (P,Q) P = (2x+7)4(x-1)2(3x-1) Q = (2x-1)5(3x-1)2(x-1)2 Solución MCD (P,Q) = (3x-1)(x-1)2 Ejm. 2 Hallar: AN+BM Si x2-x-6 es el MCD de los polinomios: P(x) = 2x4-3x3+x2+Ax+B Q(x) = 3x4-7x3+Mx+N Solución: por definición 2x 4  3 x 3  x 2  Ax  B x2  x  6 ; es exacta 1

Ejm. 1 P = x4+x2+1

1

Ejm. 2 Factorizar: X4+6x2+25

2

1

2

12

2

2

2 2 6  x   10  x

(x2+5)2-4x2 (x2+5)2-(2x)2 (x2+2x+5)(x2-2x+5) MCD Y MCM

-1

A B

-1

-6 12 72

12

0 0

A = -6 B = -72 Luego: 3 x 4  7 x 3  Mx  N x2  x  6 1

Solución: Sumando y Restando: 10x2 2 2

-3

6

Solución Sumando y restando: x2 P = (x2)2 + 2x2+1-x2 P = (x+1)2 – (x)2 P = (x2+x+1)(x2-x+1)

x  10 x  5

2

3

1 6 3

-7

0

3

18

-4

M N

-4

-24 14 84

.14

0 0

M=10 N=-84  AN + BM = ( - 6)( - 84 ) + ( - 72)(10 ) = - 216

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

Dados o más polinomios, el mcm es el polinomio múltiplo de mayor grado.

Ejm. 2

Ejm. 1 P = (2x-1)(4x+3)3(x-1)2 Q = (3x+1)(x-1)(4x+3)2 MCM = (x-1)2(4x+3)3(2x-1)(3x+1)

Solución

1 + 2 - x2 x A=

1 ; B = 2 - x2 x 2

 1 C =   - 2 - x2 = x Luego

Ejm. 2 El MCM de dos polinomios P(x) y Q(x) es: x3-x2-4x+4; y su MCD es: x2+x-2 Hallar el # de factores primos de: P(x) Q(x). Solución

(

)

x 4 - 2x 2 + 1 x 2 - 1 = x2 x

1 + 2 - x2 = x

1 1 +x x x + 2

1 + 2 - x2 = x

x 2 - x2 + 2 2x

( x + y)  2 ( x )( y) =

1 x

 x2 - 1  -   x  2

x  y;x > y

Fórmula P(x) Q(x)=MCD (P,Q) MCM (P,Q) Usando la propiedad: P(x) Q(x) = (x3-x2-4x+4)(x2+x-2) P(x) Q(x) = (x2-4)(x-1)(x+2)(x-1) P(x) Q(x) = (x+2)2(x-1)2(x-2) # fp = 3 RADICACIÓN Transformación simple de un Radical doble en simple A B =

A +C A-C  2 2

C = A2 - B

Ejm. 1 11+ 6 2  11+ 72

Ejm. 3 10 + 84

Solución: 10 + 84 = 10 + 2 21 (7 + 2 )+ 2 7.3 = 7 + 3

Ejm. 4 17 - 12 2

Solución 17 - 2 72 = = 9 -

(9 + 8 ) - 2 9.8

8 =3-2 2

Ejm. 5 x 2

2x - 4

Solución

C = 112 - 72 = 7

x - 2 2x - 4 1 = x - 2 2 (x - 2 ) 2 2 1 1 ( 2= 2 + x - 2 - 2 2 (x - 2 ) = 2 2

Luego:

=1-

Solución: A = 11 B = 72

11+ 7 11 - 7 11+ 72 = + =3+ 2 2 2 11+ 72 = 3 + 2

x-2 =12

x-2

)

x -1 2

x + y + z + 2 xy + 2 xz + 2 yz = x + y + z

Ejm. 6

Solución 24 24( 3 x + 2 - 3 x - 2 ) = 3x + 2 + 3x - 2 ( 3x + 2)2( 3x - 2)2

16 + 80 + 112 + 140

Solución: 16 + 2 20 + 2 28 + 2 35 =

(5 + 4 + 7 )+ 2

=

5.4 + 2 4.7 + 2 5.7

= 5+ 4+ 7

=

24( 3 x + 2 - 3 x - 2 ) 4

= 6( 3 x + 2 - 3 x - 2 )

A B =x+ y

3

24( 3 x + 2 - 3 x - 2 ) 3x + 2 - 3x + 2

4 x 3 - 33 A 2 - Bx - A = 0 y = x 2 - 3 A 2 - B

PROBLEMAS PROPUESTOS

Ejm. 7 3

FACTORIZACIÓN

- 7 + 50

Solución: A = -7 B = 50

1. Indicar un factor de: ( x  2)2 ( x  1)( x  3)  5 x( x  4)  27

* 4 x 3 - 33 (- 7 ) - 50 x - (- 7 )= 0 2

4 x + 3 x + 7 = 0  x = -1 3

2 a) x  4 x  1

* y = x 2 - 3 (- 7 ) - 50  y = x 2 + 1 2

y =2

b)

x 2  4x  3

 3 - 7 + 50 = - 1 + 2

2 c) x  4 x

RACIONALIZACIÓN

2 d) x  4 x  1

e) N

1 n

m

a

=

Nn an - m a

2. Indicar un factor al factorizar: ( x  1) 4  ( x  1) 2  6

Ejemplo 1 10 33

a)

10

x 2  2x  3

2 b) x  x  1

Solución

2 c) x  1

1010 310 - 3 1010 3 7 = = 10 3 3 3 3 10

2

x 2  4x  3

N = f ( x)  g(x)

2 d) x  x  1

f(x) 

(

) ( 2

f (x) -

Ejm.

2 e) x  x  1

g( x)

)

g(x)

2

3. Factorizar ( x  5 )( x  4)( x  3)( x  2)  60

24 3x + 2 + 3x - 2

a)

( x 2  2x  20 )( x 2  2 x  3)

b) c) d) e)

cuando: x = a + b , y = a - b

( x 2  2 x  20 )( x  3)( x  1) ( x 2  2 x  20 )( x  3 )( x  1) ( x 2  2x  20 )( x 2  x  3) (x

2

 x  20 )( x

2

 x  3)

4. Señalar la suma de los factores de:

a)

18ab 2

b)

c)

16ab 3

d) 16ab

e)

18a 3 b

3

20a b

8. Indicar el primos:

número

de

factores

a(c  b ) 2  b(c  a ) 2  c(a  b) 2  8abc

x 7  x 3  8x 4  8

a) 2(a  b  c )

a) 2 c) 4 e) 5

b) ab c) 2a  b  c d) 2(ab  ac  bc ) e)

2(a 2  b 2  c 2 )

5. Factorizar

4 9. Factorizar: 4 x  1

a)

ab(a  b )  bc (b  c )  ac(c  a)

b) c)

a) (a  b)(b  c )(c  a) b) (b  a)(b  c )(a  c ) c) (a  b)(b  c )(c  a) d) (a  b)(b  c )(c  a )

d) e)

a

a)

a2  a  1

b)

a2  1

c)

a2  2

d)

a

2

6

1

 a 1

2

e) a  2 7. Hallar el valor de: x 4  2x 3 y  2xy 3  y 4 ;

( 2x 2  2x  1)( 2x 2  x  1) ( 2x 2  2x  1)( 2x 2  2 x  1) ( 2x 2  2 x  1)(2x 2  2 x  1) (2x 2  2 x  1)(2x 2  x  1) (2x

2

 x  1)( 2 x

2

 x  1)

10.Factorizar: a 2c 2  acd  abc  bd

e) (a  b)(b  c )(a  c ) 6. Indicar un factor al factorizar

b) 8 d) 7

a) (ac  d)(ac  b ) b) (ab  c )(ab  d) c) (a  b)(c  d) d) (a  b)(ad  a) e) (a  d)(b  a ) 11. Señale un factor de: ( 2a  b) 2 ( 4a 2  b 2  8ab )  (a 2  b 2 ) 2

a)

a  2b

b)

a  3b

c)

3a  2b

d)

2a  3b

e) a  2b 12.Cuánto vale A+B si el trinomio: 3 Ax 4  42x 2 y 2  By 4

es

un

trinomio cuadrado perfecto: a) c) e)

35 52 73

b) 46 d) 63

13.Factorizar y señalar el coeficiente 2 de x en uno de los factores:

2x 5  x 4  x 3  2x 2  x  1

a) c) e)

2 4 -1

b) 3 d) 7

14.Indicar la suma de los términos independientes de los factores, al factorizar: x 3  6 x 2  11x  6

a) c) e) 15.

6 7 4

b) 5 d) 8

A  (ab  1) 2  (a  b) 2 B  (a 2  1)(b 2  1)

Calcular: A/B a) c) e)

1 3 5

b) 2 d) 4

16.Reducir: x 4  y 4  7x 2 y 2 x 2  3 xy  y 2

a) b)

x

2

 2xy

2

y

2

x 2  2 xy  y 2

x 2  3 xy  y 2

c)

2

d) x  3 xy  y 17.Efectuar: x

2

2

2

 18 x  115 5( x  7)  4( x  7)  12  x  23 5 x  29

a)

2x  3

b)

c)

2x  7

d)

e)

2x  4

2x  5

x7

18.Indicar un factor de: x3  3 x 2  3 x  2;

a)

x2 2

b)

 x  1 d)

c)

x

e)

x2  x  1

al factorizarlo

x  2 x2  x  1

19.Efectuar: ( x 2  y 2 )(a  b)  (b  c )( y 2  x 2 ) ( x  y )(a  c )

a) c) e)

x+y 1 a+b+x

b) x – y d) 0

20.Factorizar indicando la suma de sus factores primos x 4  3 x 3  7 x 2  27 x  18

a) c) e)

3x – 4 4x – 1 0

b) 4x + 1 d) 4x – 3

21.Indicar cuantos factores lineales 5 3 2 admiten: n  4n  n  4

a) c)

1 3

b) 2 d) 4

e)

5 4

2 2

4

22.Al factorizar: x  5 x y  50 y , se obtienen factores de la forma: (x

a) c) e)

2

(x

4

b) c)

a)

 ay

2

)( x

2

–5 5 -8

2

 by ). Hallar

a+b

b) 20 d) 15

d)

 b )( x

2

 b)

(x

4

 b )( x

2

 b)

(x

4

 b)( x

4

 b)

(x

4

 1)( x

4

 b)

4

4

e) ( x  1)( x  b) 27.La suma de los factores de primer grado de: P  x 3  2y 3  3 xy 2

23.Si: A  ( x  1)  ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  2)( x  3) B  x 2  6x  9

Hallar A/B a) c) e)

1 x+1 2

a) (a  3b  2)

Indicar el término independiente de uno de sus factores: b) 2 d) 4 7

3 5 2

b) 4 d) 6

26.Factorizar: x8  b2

b) (a  3b  2) c) ( 2a  b  5 ) d) ( 2a  b  5 ) e) (a  b ) 29.Factorizar: (a

4

3

25.Al factorizar: x  27 x  x  27; se obtiene “m” factores de primer grado y “n” factores de segundo grado. Hallar m+n a) c) e)

b) 3y d) 3(x + y)

2a 2  7ab  3b 2  13b  a  10

12a 2 c 2  (a  b  c )(a  b  c )  (a  b  c )(b  c  a)

1 3 5

3x x+4 y

28.Indicar un factor de:

b) x + 2 d) x + 3

24.Al factorizar:

a) c) e)

a) c) e)

es:

a) b) c) d) e)

2

 b)

2

a

2

 2b  b

2

(a 2  2b)(a 2  1) (a 2  2b)(a 2  1) (a 2  b )(a 2  2) (a

2

(a

2

 b )(a

2

 2)

2

 1)

 b )(a

30.Efectuar: (a  b )(a  c )  (b  d)(c  d) abc d a) c)

a+d a+b

b) a – b d) 1

e)

a-d

 a(a  c )  b(c  b)  1   a ( a  c )  b ( a  b ) ( 1  c)  

31.Indicar el producto de los términos independientes de los factores primos:

a) c)

( x  2)( x  3 )( x  6 )( x  1)  20

a) 10 b) –10 c) –16 d) 8 e) -8 32.Los factores primos x 4  5x 2  6

suman:

a)

2x 2  5

b)

2x 2  1

c)

3x 2  1

d)

3x 2  1

2x

e)

2

e) de:

4

(5 x

  1   1  x    1     2 x  1    x x

a)

1

b) x

c) e)

x–1 -1

d)

x 2n  1

c)

xn  2

e)

x 2n  4

4n 1

 5x

2n 1

n b) x  1 d) x  1

x 4  x 3  8x  8

es:

1 a) c) e)

x

b)

x 2  4x  3

4

e) x  2x

2

FRACCIONES MCM Y MCD 1. Reducir:

; con a  1

b) 2 d) –a

4. Efectuar:

1 1

a) c) e)

1 x2

-x

5. Efectuar:

1

.

1 1

2 c) x  4 x  4 2 d) x  4 x  4

a 1 a

a 0 1 2

 4x  3

a)

1

1

),  n  Z

34.La suma de los factores primos de:

4

x2

3. Simplificar:

 10b

a)

b) a – b d) 0

2. Simplificar:

33.Indicar un factor de: 6n 1

1 a+b a b

1 x

1

1 2

b) x d) 0

1 x

2 a3 2a  8

x

a2 M 1 a) c) e)

1 a+1 0

1

2

a  3a a) c) e)

b) a – 1 d) a

6. Simplificar:

a)

c) 1 e) 0 7. Simplificar:

b)

x 1 x 1

d)

1 x

a) c) e)

2

1 1 n n+1

 1)(n

4

n

2

 1)

a) c) e)

xa xb

1

9. Simplificar:

a

 3a  2

a)

a 2

c)

5 1 a

3

 a

2

b)

1



3 2aa

2

2 a 5

d)

1 a

2

e) 11. Para que valor de “x”, la expresión M es nula: M

d) n – 1

a) c) e)

  x 2  (a  b )x  ab    x 2  (a  c )x  ac  

xc xb

b) 0 d) 2x

1 2

b) 0

1 x x

8. Efectuar:     

2

x x

3 1 a

(n 6  1)(n  1) (n

1 x

1 –1 –2x

2

x 1

x

10.Efectuar:

2

x 1 x 1 x 1 4x    2 2 2 x  2 2x  2 x  1 1 x

x 1 x 1

x

1

1 x



 x2  b2   x 2  c 2 

b)

xb xc

d)

xb xa

2

9



45 –8 47

5 2x  3 x  2 3 x 2  11x  6

b) 8 d) –45

12.Reducir:      x x 1   1    x 1   x  ( x  1)2 x  1   1 x x 1  

a) c) e)

x 1 x -x

13.Hallar “A”, si:

b) 1 d) –1

    

5x  7 2x

a) d)

2



 5x  2

1 4

A B  2x  1 x  2

b) 2 e) 5

18.Efectuar:  1  x 1  x  3  x     1  x  1  x  4 x  4  x    

c) 3 a) d)

14.Hallar: a + b + c, si la fracción:

1 0

b) 2 e) 4

c) 3

 (c  3)x  819.:Simplificar: 1 x  10 1 2   2x  3 x  4 2 2 x  4 2x  8 x  2 es independiente de “x” f 

(a  1)x

3

16 19

b) 18 e) 17

a) d)

 (b  2)x

2

c) 15 a)

1 2x

b)

1 x2

d)

1 x2

15.Hallar el valor de: x  2a 2a  x 4ab   2 2b  x x  2b x  4b 2

E

x

Para:

ab ab

a)

1 a b d) 16.Efectuar

e)

4

x x

a)

1

c)

x

e)

2

1 x 1

3

3

(1  ax )

c) –1

a) c) e)

 x 1

1

d)

0 1–a –1

x

a)

n

1

x



x

2n

n

1

1



c) e)

x

n

2

1 1 x

n

d)

b) 1 d) a – 1

a 1 a 1 E a(a  1) 1 a 1 1

 x

n

1

b) 0

x 2n  1

2

2

a

1

3n

 ( x  a)

21.Efectuar:

x2  1

17.Efectuar: x

2

1  ax  a  x a  1 , x  1 con:

b) x – 1

x+1

0

20.Simplificar:

b) 0 b e) a x

c)

x 2n  2

a) d)

a3

–1

b) 2 e) 1

c) 0,5

22.Si:

1

2x 

Calcular:

a  b

b a

P

a) c) e)



4 3

2

x

1 x

x

1 x 2

d)

e)

26.Reducir:

b a

( x 2  x )2  18( x 2  x )  72

S

b) –x 1 d) x

1 –x

(x

a) c) e)

23.Simplificar:

2

1

d)

1  6

c) –6

e) –1

e)

24.Efectuar: 2

ab  ab      2   2      S 2ab

a) d)

1 1 4

b) 2

c)

2

1 2

 3 6  3 6  ....... 6 

b) 2

6  .......

c) 3

d) 1

xy ( x  a)( y  b ) ( x  b)( y  b   ab a(a  b) b(b  a)

a  b a  4b a 2  3b 2   a  b a  3b a 2  9b 2 2 Hallar: A  2B B

6 7

b) 5 e) 4

c) 8

29.Reducir: P

x

2

x

2

x

3

x

3

b)

 5 x  6)

28.Si:

a) d)

e) 4

1 1 x 25.Si: Calcular:

1

4 1 2

A

x

a)

a)

2

b) 2 d) x – 3

6 

1 6

b)

 7 x  12)( x

1 x–2 x+4

 3  2  3 x  3 x  2  x  4 27.Calcular:  x  3x  2   3    x  3 x 2  4 x 3  3 x 2  4  6 x  3 6   

a)

3 4

2 3

c)

3 2

a) c) e)

7 x 3  57 x 2  57 x  7

1 x+1 x–2

30.Efectuar:

7 x 2  50 x  7

b) x – 1 d) x

1

 1 1  1  1  2 1   1  ...1   1      5 6 7 1999       

a) d)

10 8

b) 30 e) 20

c) 40

a) d)

E  3 26 

1 4

  

675  3 26 

b) 2 e) 5

3.

a) c) e)

2

5

a)

c) 3

12 

Transformar: a)

6 

c)

7 2

3

11  2

30 

b)

6

d)

5

7

72

4 42

a) d)

 2  1 .2 

2

2

c)

e) 8

x2  4 2

x

 x2  4  x  2  x 4

x



4

x

a)

4

b) 2

c)

1

d)

x2  4 4

x2  4

2

x 1 e) 9. Transformar:

7 1

b)

5 2

P  2

x  3 14 

a)

x

3 

2

5 

13  2

12



6

e) 0

x 

x2  1 

4

x 1 

2.

2.

2

2.

b) 64 e)

10

2

3

c)

10.Reducir: 4

2.

b) 1 2

d)

b) 144 d) 81

2

256

 3  1 

10

5. Reducir: 2.

 2  1 

3

169 196 100

    

c) 12

b) 3

 x   x  

48

d)

4  3 14 

a) c) e)

 3  1 

d)

0

e) 2  4. Hallar “x”

b) 10 e) 22

8. Simplificar:

82

6

8 20

675

2. Calcular:

2

P  4 x 3  2x 2  8 x  7

7. Efectuar:

1. Calcular:

T 

Si:

3 1 2

x

Calcular:

RADICACIÓN

a) d)

6.

2  

2.

x 

x2  1

2

2

  

c) 8

a) d)

1 2

b) e) x

2

c)

42

11. Transformar a radicales simples: 17 E4  18 4

dando uno de los términos:

a)

3 2

c) e)

8 x 2  24 x  9  4( 2x  3 )



2 2



4

b)

3

d)

2

a) d)

18 

a)

13.

1

8 

5

18

3

a)

5

3 

e)

5 1

20

Si: n 

2

3

d)

5

 7  

a) d)

21

21

20

Calcular:

1 21

1   21

21 11

 

21 

c)

1 2

b) 2 e) 20

2  ....  2

c) 12

2  2

e)

450  4

20 18

c) 3 5

 320   3 

b) 10 e) 24

4 3 5 5 2  a b . ab  

 

4  2

b) 2

c) 12

a)

   20 a19 b13  

a

b) b b d) 1 e) a 20.Racionalizar:

2

b)

c)

3 1

d)

e)

3 

2

21.Racionalizar:

3 1

2

2

xy 

a) d) 16.

112  80

1 3

Calcular:

2 

b) 4 e) 2 a

2

3

 b , si :

ab

2

15.Efectuar:  2  1  

c)

x

3

ab 

a)

180  5

19.Reducir:



n n

14.Hallar: 2  2

1

d) 4 18.Calcular:

b) 0

c)

a) d)

10 



3

b) 8 e) 16

 3 3     1  1  5  1 5         2 2     5         

12.Calcular: 10 2

10 14

x

17.Calcular:

3

T 

x a b

x 2  3x

88  52

 2   

xy

22.Racionalizar: 2

3 1 3 1

c) 0 23.Racionalizar:

a b

800  10

29.Efectuar:

3 5 

3 

2

1

M  5



6 

5 

1

4 6

3

24.Racionalizar: 1 3 

a) 3 1

1

d) 0 30.Efectuar:

25.Efectuar:

a)

8

3

c)

8

3

e)

82

5 1

128

b)

4

d)

82

2 3

a)

1



5

d)

2

a) d)

 3  1  3  1 

4 10

1

    

 3  1  3  1 

b) 6 e) 0

1

1 5 2

b)



5 3 5 3

5

c)

e) 0

1. Hallar la suma de los posibles valores de “n”  99   99   2    x  15   2 x     

c) 8 a) d)

27.Calcular: 2

P

3

BINOMIO DE NEWTON

26.Calcular:     

-1



c) 3

2

e)

5 1

14 18 

b) 2

3 1

1



2 1

1



3 

2

16 12

b) 18 e) 14

c) 13

2. Hallar el término 7 de: 15

a)

0

b)

c)

2

e)

3

2

 2   y x  

2 2

d)

3

a) b) c)

28.Efectuar:   M     

a) d)

1

   1   x y   1   2y     x  y2 x y    

x y

b) 2 x y

c)

1 2

    

d) e)

x

5000 x18 y 6 5000 x16 y 20 5000 x18 y 6 5000 x16 y 8

3. Hallar el cuarto término de: 1 1  3 3 (x y )11

y

e)

5000 x18 y 8

a)

 165 x 8 / 3 y 1

15

5

b) c) d)

 20   20    4  S  4  0   1    

 156 x 3 y  2 1 1 3  156 x y 6

 158 x 8 / 3 y 2  158 x 8 / 3 y 2

e) 4. Hallar “n”

5. Un

5 2

  2  y  2x  

del

16 17

desarrollo

n

b) 15 e) 18

c) 14

n   5     0,6 n   6  

10 15

b) 11 e) 14

d)

8. Efectuar:

b) 2 1 e) 4

22 d) 2

,

Hallar “x” a) d)

60 65

b) 70 e) 85

c) 80

10.Efectuar:  20   20   20   20   20        ...     0   1  2   3   20           

c) e)

220

b)

221

 2 20

d)

210

cero

11. Hallar el término independiente de c) 12 “a” y “b” en:

  7   7  7 3      4      3   3   4     

1 1 2

de

a)

7. Calcular:

a)

18

2

 m  1   x  n  1 2    m  1  x 2  n   

x 2 y15

6. Hallar “n”

a) d)

20 20

c) 3

presenta entonces “n” vale: a) d)

c)

b)

24

b) 4 e) 1

término

2

 20   4  20   

e) 2 9. Si: m – n = 2

n  n  1  n  2     4    27 3  3   3       

a) d)

20

a)

 20    ....  4  2   

c) 3

a) d)

460 475

 3 4 b  2a  2   b 4a 6 

b) 480 e) 495

    

c) 496

12.Hallar a + b, si el décimo término del desarrollo de:

 c a  x  x  

x18

a) d)

11 10

13.Efectuar:

b) 12 e) 14

c) 13

h

es

a)116  30   30   30  30   S  11   2 1   3 1   ...  31 d) 31  0   1  2         30  a)

2

2

31

b)

31

31

1 31

c)

desarrollo de:  x  2 , para que los términos de lugares 10 y 11 tengan igual coeficiente. n

30

d)

1 30

30

e) 14.El

término

desarrollo de: Hallar “n” 15 5

independiente  3   x 2  x  

b) 10 e) 20

del

c) 25

y el tercero es ¿Cuál es el primero? x2

d)

2x 2

16.El

b) x e)

60 x 8

c)

x3

4x 4

desarrollo

 m 10  p 1 p  20  y  x y x   

de: mp

posee un solo término central cuya parte literal es: 33 29

x 60 y 600

b) 44 e) 12

Hallar: m+p c) 38

17.Hallar el número de términos que

deben tomarse de 1  x  para que la suma de coeficientes sea 463. 2

b) 12 e) 16

c) 13

 2x     3  44    3  x    2  

es 10.

64 x 12

a)

a) 14 d) 15 19.Hallar “x”

n

15.El séptimo término del desarrollo de la sexta potencia de un binomio es

a) d)

c) 30

18.Hallar el número de términos en el

1

2

1 30

2

a) d)

2

b) 18 e) 20

a) 6 d) 12 20.En

b) 8 e) 15 el

c) 10

desarrollo

 4  n 1  2 2  4 n  4 

    

de:

6

Hallar “n” para que el tercer décimo sea 240. a)

1

d)

4

b) 2 1 2 e)

c) 3

21.Los dos últimos términos del desarrollo de la quinta potencia de   10 y  x 5 

  un binomio son en desorden. ¿Cuánto suma los coeficientes de los términos del binomio?

a) d)

4 16

b) 32 e) 1

c) 8

22.En

n

–

ésimo

término

10

 5  2kx  y   

de: 5 10

8064 x y

es:

Hallar: 2k + n a) 4 d) 8

b) 5 e) 9

c) 6

14 23.Hallar el coeficiente de x en el 13

desarrollo: a) c) e)

 2   2x  2  x  

–41 184 –20 184 –42 164

b) –20 180 d) –41 084

24.En el desarrollo de: x, y  R ,

central es:

el

51 42

primer

126 x 250 y116

n

a) d)

    y  x  

b) 40 e) 43

n

con

término . Calcular:

c) 39