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• Alan Cordoba

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FACTORIZACION

(2x – 3y + z) (a - b) 

Es transformar un polinomio en el producto indicado de factores primos.

Factorizar: a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2

En la multiplicación algebraica se tiene. Agrupando en forma conveniente.

(x + 3) (x2 – 3x + 9)  x3 + 27

a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2) Factores Product El problema que nos planteamos ahora es, dado el polinomio producto debemos hallar los factores que lo originan. Si conseguimos los factores habremos factorizado el polinomio.

Sacando el factor común: (x2 + y2) (a2 + b2) 

Así: x3 + 27  (x + 3)(x2 – 3x + 9) CRITERIOS PARA FACTORIZAR Existen diversos criterios para polinomios entre ellos tenemos:

Factorizar: ax + by + cz + bx + cy + az + cx + ay + bz Agrupando de 3 en 3. x(a + b + c) + y(b + c + a) + z(c + a + b)

factorizar

FACTOR COMÚN Y AGRUPACIÓN Se aplica en polinomios donde todos sus términos tienen una o mas variables y/o constantes comunes. En caso de no haber algún factor común, se agrupara convenientemente tratando de que aparezca algún factor común.

Sacando el factor común:

1.

(a + b + c) (x + y + z) 2.

CRITERIO DE LAS IDENTIDADES Consiste en aplicar los productos notables en forma inversa. a)

Ejemplo:

Trinomio Cuadrado Perfecto (x ± y)2  x2 ± 2xy + y2

 Factorizar: 5x10y5 – 10x7y8 – 25x11y9 7 5

3

3

4 4

= 5x y (x – 2y – 5x y )

x

y

2(x)(y) = 2xy Factorizar:

 Factorizar: (a + b + c)m2 + (a + b + c)n2 + (a + b + c)p2

x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2

= (a + b + c)(m2 + n2 + p2)

x



Factorizar: (2x – 3y + z)a + (3y – 2x - z)b Cambiando de signo a los términos del segundo paréntesis: (2x – 3y + z)a – (2x – 3y + z)b Encontramos factor común.



3y

2(x) (3y) = 6xy Factorizar: 4x2n – 12x4y4 + 9y2n = (2x4 – 3yn)2 2xn

3yn

2(2xn) (3yn) = 12x4yn

b)

Diferencia de Cuadrados

3.

(x + y) (x - y) = x2 – y2 

Factorizar: x4 - 1

CRITERIO DEL ASPA SIMPLE Se aplica para factorizar polinomios de la forma: P(x) = Ax2n + Bx4 + C

Solución:

P(x, y) = Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Dando la forma de diferencia de

{m; n}  ℕ

cuadrados.

Ejemplo:

(x2)2 – 12 = (x2 + 1)(x2 - 1)



Podemos seguir descomponiendo.

Factorizar: P(x) = x2 + 8x + 15

x4 – 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x - 4) 

ó

x

Factorizar: (ax – 3b)2 – (bx – 3a)2



5

x



3

5x 3x 8x

Por diferencia de cuadrados. Luego: (ax – 3b + bx – 3a) (ax – 3b – bx + 3a)

Se toman los factores en forma Agrupando en forma conveniente.

horizontal.

(x(a + b) – 3(a + b)) (x(a - b) + 3(a - b))

P(x) = (x + 5)(x + 3)

Tomamos el factor común. (a + b)(x - 3) . (a - b)(x + 3) c)



P(x) = 10x2 - 13x – 3

Suma y Diferencia de Cubos (x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3

Descomponiendo los extremos.

(x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3 

Factorizar:

10x2 - 13x – 3

Factorizar: 64a6 – b6 5x

Por diferencia de cuadrados.

2x

(8a3 + b3) (8a3 – b3) Ahora

factorizamos

por

suma

y

b2)

-3



2x -15x -13x

Luego: P(x) = (5x + 1) (2x - 3)

diferencia de cubos. (2a + b)(4a2 – 2ab + b2)(2a - b)(4a2 + 2ab +



1

1.

Factorizar: F(x; y) = x2y2 + x2y + xy2 + xy El número de factores primos es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 2. Factorizar: F(x; y) = x3y2 + x2y + x2y3 + xy2 El factor primo de 2do grado es: a) xy + 1 b) xy + y2 c) x2 + y2 d) x2 – y2 e) x2 + xy 3. Factorizar: F(x; y) = x4y – x2y3 – x3y2 + xy4 El número de factores primos binomios es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Factorizar e indicar un factor primo: Q(x, y) = x3 + 2x2y + 4xy2 + 8y3 a) x + y b) x – y c) x + 2y 2 2 d) x – 2y e) x + y 5. Factorizar: P(a; b; c) = a2 – abc – ac – ab + b2c + bc Indicar el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Factorizar: P(a; b; c) = ab2 + ac2 + bc2 + a2b + a2c + b2c + 3abc Indicando un factor primo. a) a2 + b2 + c2 b) a – b – c c) a + b + c d) a3 + b3 + c3 e) a + b 7. Factorizar: F(x) = (x2 + 2)2 – (2x - 1)2 El factor que más se repite es: a) x + 1 b) x – 1 c) x + 2 d) x – 2 e) x - 3 8. Factorizar: F(x; y) = (x2 – y2)2 – (y2 – z2)2 Un factor primo es: a) x + y b) x – y c) x + z 2 d) x + y e) y - z 9. Factorizar: F(x) = (x + 1)4 – (x - 1)4 La suma de coeficientes del factor primo cuadrático es: a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -1 10. Factorizar: F(x) = x3 + x2 – 9x - 9 Indicando un factor primo. a) x – 1 b) x – 2 c) x - 3

d) x + 5 e) x + 7 11. Factorizar: P(x, y) = x2 – y2 + 6y - 9 Indicando el factor primo de mayor suma de coeficientes. a) x + y – 3 b) x – y + 3 c) x + y + 2 d) x + 2y – 1 e) 3x + y + 2 12. Factorizar: (a3 + b3 + c3)3 – a3 – b3 – c3 Indicando el número de factores primos. a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

13. Factorizar: F(x) = (x + 1)4 – 5(x + 1)2 + 4 E indicar el término independiente de un factor primo. a) 1

b) 2

d) -2

e) -3

c) 4

14. Factorizar: Q(x) = (x2 + 5)2 + 13x(x2 + 5) + 42x2 Indique la suma de coeficientes de un factor primo. a) 5

b) 6

c) 2

d) 4

e) Hay 2 respuestas

PRACTICA 2 1.

Factorizar: P(x; y)  x5y4 + x5y2 + x3y4 + x3y2 e indicar un factor primo.

2.

a) x + y

b) x2 + y2

d) xy + 1

e) y2 + 1

c) x + 1

Indicar un factor primo al factorizar la suma de los factores primos de: P(a; x)  abx2 + aby2 + xya2 + xyb2 a) a + y b) b + x c) x + y d) a – b e) b – x 3. Factorizar:

F(x)  (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 2) – (x - 1) e indicar la suma de sus factores primos. a) 2x – 4 b) 3x – 5 c) 3x - 6 d) 2x – 3 e) 3x - 4 4. Señale un factor primo de: M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b2 a) a + 2 b) b – 2 c) a + b - 4 d) a + b + 2 e) a - b 5. Factorizar: P(x; y) = y2 – x2 + 6x - 9 e indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes. a) x + y – 3 b) x – y + 3 c) y + x + 3 d) x + y – 3 e) 3 – x + y 6. Factorizar: P(x) = x2 + 2(a + b)x + a2 + 2ab + b2 Indicando la suma de coeficientes de un factor primo.

7.

a) 3

b) a + b + 1

d) a + b

e) 1

c) 2

Factorizar: P(x) = x2 – (ac - b)x - abc

F(a; b) = (a + b + 2)2 + 11a + 11b + 40 a) a + b + 5 b) a + b + 8 c) a + b + 9 d) a + b – 7 e) a + b + 4 11. Indicar un factor primo de: G(x) = x3 + 4x2 – 19x + 14 a) x + 1 b) x – 2 c) x - 7 d) x – 4 e) x + 14 12. Factorizar: P(x) = a2x – ax2 – 2a2y + 2axy + x3 – 2x2y Indicando un término del factor primo cuadrático. a) -2y b) x c) xy 2 d) –ax e) y 13. ¿Cuántos factores primos resultan en? P(x; y) = x9y – x3y7 a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

14. Indicar el número de factores primos en: P(x) = (3x2 – 4x)2 – 19(3x2 – 4x) + 60 a) 2

b) 3

d) 5

e) 8

8.

b) x + b

d) x – b

e) x - a

H(x) = x4 – 13x2 + 36

Hallar el valor de a – b

e indicar el valor numérico de uno de sus factores primos para x = 3; y = 2. b) 16

d) 18

e) A  D

Toma la forma (ax + b), donde: a + b = -2

c) x + a

Factorizar: F(x; y) = 12x2 + 6y2 + 17xy

a) 13

c) 4

15. Si un factor primo de:

e indicar un factor primo. a) x – ac

c) 4

c) 20

9. Factorizar: P(x) = 9x2 – 18x + 8 Q(x) = 12x2 + x - 6 e indicar la suma de sus factores primos no comunes. a) 6x – 4 b) 7x + 1 c) 13x - 5 d) 7x – 1 e) 6x + 1 10. Indicar un factor primo en:

a) 2 d) -2

b) 1 e) 0

c) 4