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FACTORIZACION Definición: la factorización es un proceso de transformaciones sucesivas de una expresión algebraica racional entera (polinomios) en una multiplicación de dos a mas factores primos racionales y enteros dentro de un cierto campo de numeración. Por ejemplo:

Factorización 𝑥 2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

Multiplicación Observación.a) Diremos que un polinomio está bien definido sobre un campo numérico, cuando los coeficientes de dicho polinomio pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo. Se consideran campo, al conjunto de los números racionales Q, al conjunto de los números R y al conjunto de los números complejos C. b) Cualquier expresión podemos transformarla en un producto, pero no siempre se le puede factorizar. Ejemplo: 𝑥 − 𝑦 = (√𝑥)2 − (√𝑦)2 = (√𝑥 + √𝑦)(√𝑥 − √𝑦) Diferencia de Cuadrados 2

no es factorización por tener radicales las variables.

2𝑎2 − 3𝑏 = (√2𝑎 + √3𝑏)(√2𝑎 − √3𝑏) Se ha factorizado porque los radicales Afecta a los coeficientes mas no a las variables.

c) La factorización es un proceso contrario a la multiplicación, su operación no está sujeta a reglas, sino por el contrario, depende de la practica la cual nos permite darle a las expresiones formas de productos notables conocidos.

d) La factorización o descomposición de factores de una expresión se realiza solo para polinomios, es decir que es una operación limitada, en cuanto se refiere al número de factores obtenidos. POLINOMIO IRREDUCTIBLE: Un polinomio es irreductible sobre un campo numérico si no acepta transformación o multiplicación indicada de dos o más polinomios no constante sobre el mismo conjunto numérico. Observación: Todo polinomio lineal de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 es irreductible en cualquier campo numérico. FACTOR PRIMO Es un polinomio primo de una factorización en el campo de los números racionales y se puede identificar mediante el criterio siguiente. - Debe ser un polinomio de coeficientes racionales. - Será divisible entre sí mismo y la unidad. - Un factor primo siempre contiene al menos una variable. - Si en la factorización aparecen más de un factor primo se identifican porque aparecen multiplicando. Ejemplo: en 𝑃(𝑥) = 7(𝑥 − 5)3 (𝑥 2 + 5𝑥 + 2) sus factores en Q son 𝑥 − 5, 𝑥 2 + 5𝑥 + 2, pero (𝑥 − 5)3 no es primo puesto que es divisible por 𝑥 − 5 es decir (𝑥 − 5)3 = (𝑥 − 5)(𝑥 − 5)(𝑥 − 5)

CONTEO DE FACTORES PRIMOS: Se calcula contando el número de factores bases, o sea los factores que se encuentran como base de una potencia y que contengan a la variable.

Ejemplo: 

CRITERIOS DE FACTORIZACION

𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1) 2 (𝑥 2 + 3)3 (𝑥 − 2) 4 ,

el número de

factores primos es 3.



𝑃(𝑥) = 43 (𝑥 − 7)(𝑥 2 + 4)2 , el número de factores

primos es 2.

NÚMEROS DE FACTORES TOTALES: consideremos al polinomio “P” que en forma factorizada se descompone así 𝑃 = 𝑎𝛼 𝑏 𝛽 𝑐 𝛾 , donde a, b, c ya no admiten factorización y a estos se les puede llamar factores primos. # 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = (𝛼 + 1)(𝛽 + 1)(𝛾 + 1)

Ejemplo: consideremos el polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 2 + 𝑦 2 que al factorizar se tiene: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 (𝑥 + 𝑦), donde sus factores primos son: (𝑦), (𝑥 + 𝑦); donde sus factores totales son: (𝑦), (𝑦 2 ), (𝑥 + 𝑦), (𝑦(𝑥 + 𝑦)), (𝑦 2 (𝑥 + 𝑦)), (1) de donde. #𝑑𝑒𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = (2 + 1)(1 + 1) = (3)(2) = 6

Luego 𝑃(𝑥, 𝑦) tiene 6 factores o divisores y tiene 2 factores primos. NÚMEROS DE FACTORES ALGEBRAICOS: Un polinomio factorizado presenta una cantidad determinada de factores algebraicos, o sea expresiones que lo dividen en forma exacta en la cual no se considera a ninguna constante.

Criterio del factor común: Este criterio consiste en observar si toda expresión tiene uno o más factores comunes que pueden ser monomios o polinomios. Criterio de aspa simple 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 2𝑛 + 𝑏𝑥 𝑛 + 𝑐 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 2𝑛 + 𝑏𝑥 𝑛 𝑦 𝑚 + 𝑐𝑦 2𝑚 Criterio de aspa doble 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑥 2𝑛 + 𝐵𝑥 𝑛 𝑦 𝑚 + 𝐶𝑦 2𝑚 + 𝐷𝑥 𝑛 + 𝐸𝑦 𝑚 + 𝐹

1° 2° 3° 4° 5° 6° Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma general, y en el caso que falta uno o más casos términos estos se completaran con ceros. Se aplica el aspa simple a:  Los términos 1° 2° y 3°  Los términos 3° 5° y 6°  Los términos 1° 4° y 6° 𝐴𝑥 2𝑛 + 𝐵𝑥 𝑛 𝑦 𝑚 + 𝐶𝑦 2𝑚 + 𝐷𝑥 𝑛 + 𝐸𝑦 𝑚 + 𝐹

𝑎1 𝑥𝑛 𝑎2 𝑥𝑛

𝑐1 𝑦𝑚 𝑐2 𝑦𝑚

𝐹1 𝐹2

Criterio de aspa doble especial 𝑃(𝑥) = 𝐴𝑥 4𝑛 + 𝐵𝑥 3𝑛 + 𝐶𝑥 2𝑛 + 𝐷𝑥 𝑛 + 𝐸

Sea 𝑃 = 𝑎𝛼 𝑏𝛽 𝑐 𝛾 , donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son primos entre sí. # 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑜𝑠 = (𝛼 + 1)(𝛽 + 1)(𝛾 + 1) − 1

Ejemplo: En 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 3 #𝑑𝑒𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 = 3

(𝑥), (𝑦), (𝑧)

#𝑑𝑒𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = (3 + 1)(2 + 1)(3 + 1) = 48 # 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑜𝑠 = (3 + 1)(2 + 1)(3 + 1) − 1

 Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma general, y en el caso que falta uno o más casos términos estos se completaran con ceros.  Se descompone adecuadamente los extremos, mediante un aspa simple, aproximándose al término central.

𝐴𝑥 4𝑛 + 𝐵𝑥 3𝑛 + 𝐶𝑥 2𝑛 + 𝐷𝑥 𝑛 + 𝐸

Criterio de cambio de variable

𝐴1 𝑥2𝑛

𝐶1 𝑥𝑛

𝐸1

𝐴2 𝑥2𝑛

𝐶2 𝑥𝑛

𝐸2

El método de cambio de variable consiste en ubicar expresiones iguales directa o indirectamente mediante ciertas transformaciones, para luego hacer un cambio un cambio de variable adecuado que permita transformar una expresión aparentemente complicada en otra expresión sencilla.

 Lo que falta se descompone en la parte central buscando aspa simple en ambos lados.  Se toman los factores en forma horizontal. Criterio de las identidades Se utilizaran las siguientes:     

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )

Criterio de los divisores binómicos o evaluación binómica Utilizaremos este método para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado y que admitan factores de primer grado de la forma general (𝑎𝑥 ± 𝑏). Este método se basa en el criterio de la divisibilidad de polinomios y por lo tanto se usa el criterio del teorema del resto en forma inversa, es decir: si 𝑃(𝑥) es divisible entre 𝑥 − 𝑎, entonces 𝑅 = 𝑝(𝑎) = 0, de donde: 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑄(𝑥). Todos los divisores de 𝑃(𝑥) se obtienen por la regla de ruffini. 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 Posibles 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 Ceros =± 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 Racional 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 es

Criterio de reducción a diferencia de cuadrados (Quita y Pon) Este criterio consiste en sumar y restar una expresión de modo tal que haciendo ciertas reducciones logres formar un trinomio cuadrado perfecto y como consecuencia de esta situación se forme una diferencia de cuadrados. Ejercicios Propuestos 1. Al factorizar 𝑥 2 + 5𝑥 − 66, la suma de los factores es: a) 𝑥 + 11 c) 2𝑥 − 5 e) 2𝑥 + 17 b) 2𝑥 + 5 d) 2𝑥 − 17 2. Al factorizar 𝑥 4 + 𝑥 2 + 1 , la suma de los coeficientes de uno de los factores es: a) -4 b) -2 c) 1 d) 2 e) 4 3. Uno de los factores del polinomio 𝑥 𝑛+2 + 𝑥 𝑛 + 𝑥 3 + 𝑥 − 𝑥 2 − 1 es: a) 𝑥 𝑛 + 𝑥 + 1 c) 𝑥 𝑛 − 𝑥 + 1 e) 𝑥 𝑛 + 1 b) 𝑥 𝑛 + 𝑥 − 1 d) 𝑥 𝑛 − 𝑥 − 1 4. Dado el polinomio 𝑃(𝑥) = 135𝑥 3 + 3𝑥 2 − 11𝑥 + 1, hallar el mayor coeficiente principal de uno de los factores irreductibles en 𝑃(𝑥). a) 10

b) 27

c) 5

d) 3

e) 9

5. Al factorizar 𝑃(𝑥, 𝑦) = 135𝑥 3 + 28𝑦 3 + 3𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦) Indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. a) 10

b) 6

c) 5

d) 3

e) 9

6. Factorizar (𝑎 − 𝑏)2 (𝑐 − 𝑑)2 + 2𝑎𝑏(𝑐 − 𝑑)2 + 2𝑐𝑑(𝑎 + 𝑏)2

c) 𝑎2 − 𝑏 2 d) 𝑐 2 − 𝑑 2

e) 𝑑 2 + 𝑏 2

7. Indicar el número de factores irreductibles de 𝑃(𝑥) = 𝑥 6 + 1,en el campo de los R. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 8. Factorizar en 𝑅(𝑥); 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 1, e indicar la suma de los coeficientes de sus factores primos monicos. a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 9. Hallar la suma de los coeficientes del factor primo del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 + (1 + 𝑥 2 )(1 + 𝑥)2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7 10. Hallar la suma de los factores primos monicos de 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 − 6)(𝑥 − 1) − (𝑥 2 − 31𝑥 + 30)

a) 6𝑥 − 5 b) 4𝑥 − 7

c) 4𝑥 − 8 d) 3𝑥 + 1

e) 5𝑥 − 3

b) 2

c) 3

13. Hallar la suma de coeficientes del factor con mayor termino independiente de 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)(2𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) − 4

b) 8

c) 16

d) 20

e) 24

14. Si 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 1 se factoriza, entonces la suma de los coeficientes de sus factores es: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 15. Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de: 𝑥 2 + 7𝑥 + 10 + 4𝑥𝑦 + 4𝑦 2 + 14𝑦 En 𝑄(𝑥). a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 16. Un factor del polinomio: (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)(𝑧 + 𝑤) es:

a) 𝑥 + 𝑤 b) 𝑥 − 𝑧

c) 𝑦 − 𝑤 d) 𝑤 − 𝑧

e) 𝑥 − 𝑤

17. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo cuadrático en 𝑅(𝑥), si 𝑃(𝑥) = (1 + 𝑥 2 )(1 − 𝑥 2 )2 + (𝑥 − 𝑥 2 )2 a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

18. Factorizar 𝑃(𝑥) = (𝑥 2 + 𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1) + 7𝑥 2 − 385

11. Hallar el número de factores irreductibles de 𝑃(𝑥) = 6𝑥 4 + 5𝑥 3 − 14𝑥 2 + 𝑥 + 2 a) 1

a) 7𝑥 2 + 5𝑥 2 c) 7𝑥 2 + 3𝑥 2 e) 5𝑥 2 − 7𝑥 2 b) 8𝑥 2 − 5𝑥 2 d) 15𝑥 2 − 9𝑥 2

a) 4

Indicar uno de sus factores primos. a) 𝑎2 + 𝑏 2 b) 𝑎2 + 𝑐 2

12. Al factorizar 15𝑥 4 − 29𝑥 2 𝑦 2 − 14𝑦 4 , hallar la suma de los factores primos.

d) 4

e) 5

En 𝑄(𝑥), e indicar la suma de sus factores primos lineales. a) 2𝑥 b) 4𝑥

c) 6𝑥 d) 7𝑥

e) 8𝑥

19. Señale el factor primo de mayor grado que posee 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 2𝑥 − 4 a) 𝑥 + 2 c) 𝑥 2 + 4 e) 𝑥 2 + 1 b) 𝑥 2 + 2 d) 𝑥 2 + 5 20. Cuantos factores lineales tiene la expresión siguiente: 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦(𝑥 − 𝑦) − 𝑥𝑧(𝑥 − 𝑧) − 𝑦𝑧(𝑦 − 𝑧)

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

21. Señale el factor primo de menor suma de coeficientes en 2

2 2

𝑃(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 ) − 4𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦) a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 7𝑥𝑦 b) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦

2

c) 𝑥 2 + 𝑦 2 e) 𝑥 2 − 𝑦 2 d) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 5𝑥

22. Hallar la suma de los factores primos de 𝑃 (𝑥 ) = 𝑥 4 − 2(𝑎 2 + 𝑏 2 ) 𝑥 2 + (𝑎 2 − 𝑏 2 )2

a) 2𝑥 b) 4𝑥

c) 6𝑥 d) 𝑥

e) 5𝑥

26. Hallar la suma de los factores primos de 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 (𝑦 − 𝑧) + 𝑦 2 (𝑧 − 𝑥) − 𝑧 2 (𝑥 − 𝑦) a) 𝑥 + 𝑦 b) 𝑥 + 𝑧

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

24. Indicar la cantidad de los factores lineales de 𝑃(𝑥) = 12𝑥 5 + 8𝑥 4 − 45𝑥 3 − 45𝑥 2 + 8𝑥 + 12

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

25.Después de factorizar señale un factor primo de 𝑃(𝑥) = 𝑥 7 + 𝑥 6 + 𝑥 5 + 𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1

a) 𝑥 5 + 1 b) 𝑥 3 + 1

c) 𝑥 6 + 1 d) 𝑥 7 + 1

e) 𝑥 2 + 1

e) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

27. Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑏𝑥 2 + (𝑎2 + 𝑏 2 )𝑥 + 𝑎𝑏 a) 𝑎 + 𝑏 b) 𝑎 − 𝑏

c) 𝑎𝑏 d) 2𝑎 + 𝑏

e) 𝑎 + 2𝑏

28. Factorizar el polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = 6𝑥 2 + 15𝑥𝑦 + 9𝑦 2 + 10𝑥 + 12𝑦 + 4

E indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos. a) 6 b) 4 c) 2 d) 9 e) 12 29. Sea el polinomio 𝑃(𝑥) = 18𝑥 4 + 15𝑥 3 + 36𝑥 2 + 16𝑥 + 5 Se obtiene un factor de la forma: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 > 𝑐. Calcular 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 a) 5

23. Indicar la cantidad de factores lineales de 𝑃(𝑥) = 𝑥 6 𝑎2 − 𝑎2 + 𝑥 6 𝑎 − 𝑎

c) 2𝑥 − 2𝑧 d) 𝑥 − 𝑦

b) 8

c) 10

d) 11

e) 9

30. Hallar la suma de factores primos del polinomio 𝑃(𝑥) = 4𝑥 4 + 13𝑥 3 − 15𝑥 2 − 50𝑥 − 22 a) 5𝑥 2 − 𝑥 + 9 b) 5𝑥 2 + 𝑥 − 9 c) 3𝑥 2 − 𝑥 + 9

d) 3𝑥 2 + 𝑥 + 9 e) 3𝑥 2 + 𝑥 − 9

31. Si 𝑃(𝑥) = 2𝑥 4 + 3𝑥 3 + 3𝑥 2 − 𝑥 + 6 Hallar la suma de los coeficientes del factor irreductible no monico. a) 7

b) 11

c) 13

d) 15

e) 17

32.Hallar el factor primo cuadrático de mayor termino independiente 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 11𝑥 2 − 14𝑥 + 10 a) 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 b) 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 c) 𝑥 2 − 4𝑥 − 2

d) 𝑥 2 − 2𝑥 + 2 e) 𝑥 2 + 4𝑥 + 2

38. Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 6 + 𝑥 3 𝑦 − 6𝑦 2 + 23𝑦 − 6𝑥 3 − 20

a) 𝑥 3 + 𝑦 − 5 b) 𝑥 3 − 3𝑦 + 4 c) 𝑥 3 + 2𝑦 + 5

d) 𝑥 3 − 4𝑦 + 1 e) 𝑥 3 + 2𝑦 − 5

39. Al factorizar la expresión

33. Hallar la suma de los factores primos del polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = 10𝑥 2 − 17𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 5𝑥 − 𝑦 a) 7𝑥 − 4𝑦 + 1 b) 5𝑥 − 𝑦 c) 2𝑥 − 3𝑦 + 1

d) 5𝑥 + 3𝑦 e) 3𝑥 + 5𝑦 + 2

𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 7)(𝑥 − 6) + 16

a) 𝑥 2 − 3𝑥 − 1 d) 𝑥 2 − 5𝑥 + 2 b) (𝑥 2 − 5𝑥 − 10)2 e) (𝑥 2 − 4𝑥 − 8)2 c) (𝑥 2 + 7𝑥 − 1) (𝑥 2 − 7𝑥 + 1) 40. Uno de los factores primos de 𝑃(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 − 1

34. El coeficiente de un término lineal de uno de los factores primos de: 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 5𝑥 + 2 es: a) 4 b) -4 c) -1 d) 1 e) -3 35. Hallar la suma de los factores primos de: 𝑥(𝑥2 + 𝑥𝑦 − 1) − 𝑦(𝑦2 + 𝑥𝑦 − 1) a) 3(𝑥 + 𝑦) b) 3𝑥 + 𝑦 c) 3𝑥 − 𝑦

d) 𝑥 + 3𝑦 + 1 e) 𝑥 + 2𝑦 + 6

36. Factorice 𝑃(𝑥) = (𝑎2 + 2𝑎𝑏)𝑥 2 + 𝑏(𝑎 − 4𝑏)𝑥 + (𝑏 − 𝑎)(𝑎 − 2𝑏)

E indique uno de sus factores primos. a) 𝑎𝑥 + 𝑎 − 2𝑏

c) 𝑎𝑥 + 1

b) 𝑎𝑥 + 𝑎

d) 𝑎𝑥 − 1

d) 𝑥 2 + 5𝑥 + 1 e) 𝑥 2 − 2𝑥 + 2 f) 𝑥 2 − 𝑥 + 1

d) 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 e) 𝑥 2 + 𝑥 + 1

41. La suma de los factores primos de: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 8𝑥 2 − 6𝑥𝑦 − 9𝑦 2 + 10𝑥 + 21𝑦 − 12

a) 6𝑥 + 1 b) 6𝑦 + 1

c) 6𝑥 − 1 e) 6𝑦 − 1 d) 6𝑥 + 3𝑦 − 1

42. La suma de los factores primos del polinomio: 𝑃(𝑥) = 𝑥𝑦 2 − 28𝑥 2 + 7𝑦 2 − 4𝑥 3 , es: a) 2𝑦 + 7 c) 𝑥 + 2𝑦 + 7 e) 𝑥 + 𝑦 b) 2𝑥 + 𝑦 + 7 d) 2𝑦 + 𝑥 + 7

e) 𝑎𝑥 − 2𝑏 43. Uno de los factores primos del polinomio: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 6𝑥 2 − 11𝑥𝑦 + 4𝑦 2 − 8𝑥 + 14𝑦 − 8

37. Hallar la suma de los coeficientes de los factores primos del polinomio: 𝑃(𝑥) = 𝑥 12 − 6𝑥 8 + 5𝑥 4 + 2𝑥 6 − 6𝑥 2 + 1

a) 4

b) -4

c) -2

d) 3

e) -3

es: a) 𝑥 − 4𝑦 − 2 b) 3𝑥 − 4𝑦 + 2 c) 𝑥 + 𝑦 + 4

d) 3𝑥 + 4𝑦 − 2 e) 2𝑥 + 𝑦 + 4

44. La suma de los factores primos del polinomio: 𝑃(𝑥) = 2𝑥 4 + 𝑥 3 − 16𝑥 2 + 8𝑥 − 1, es: a) 3𝑥 2 + 2𝑥 + 1 d) 3𝑥 2 − 2𝑥 b) 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1 e) 3𝑥 2 + 2𝑥 c) 3𝑥 2 − 2𝑥 − 1 45. El número de factores primos del polinomio:

b) 2

c) 3

d) 4

𝑃(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 − 𝑥)2 − 18(𝑥 2 − 𝑥)2 + 72 es:

a) 4𝑥 b) 4𝑥 − 2

c) 𝑥 − 2 d) 2𝑥 + 2

e) 𝑥 + 2

51. La suma de los términos independientes de los factores primos del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 6 + 4𝑥 5 + 5𝑥 4 + 4𝑥 3 + 5𝑥 2 + 4𝑥 + 4

𝑃(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 1,

es: a) 1

50. La suma de los factores primos lineales del polinomio:

Es: a) 3

b) 4

c) 5

d) 2

e) 6

e) 6

46. La suma de los términos independientes de los factores primos del polinomio: 𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 + 5𝑥 2 + 10𝑥 + 4 , es: a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) -5 47. Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = 15 + 21𝑥 + 28𝑥𝑦 − 9𝑦 2 + 8𝑦 , la suma de los términos lineales respecto a “x” de los factores primos es: a) 4 c) 7𝑥 e) 5𝑥 b) 4𝑥 d) 7 48. Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥) = 3𝑥 3 − 16𝑥 2 + 14𝑥 − 3 El factor primo de mayor término independiente es: a) 𝑥 2 + 5𝑥 + 3 d) 𝑥 2 + 5𝑥 − 3 b) 𝑥 2 − 5𝑥 + 3 e) 𝑥 2 − 5𝑥 − 3 c) 3𝑥 + 1

52. Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥 5 − 5𝑥 4 + 5𝑥 3 − 8𝑥 2 + 2𝑥 + 4 La suma de los términos independientes de los factores irreductibles es: a) 2 b) -2 c) 3 d) 0 e) -2 53. Si 𝑃(𝑥) = 3𝑥 4 + 5𝑥 3 − 25𝑥 2 − 20𝑥 + 42 Se transforma en un producto indicado, uno de sus factores primos, es: a) 𝑥 2 + 𝑥 − 6 d) 𝑥 2 + 𝑥 + 7 b) 3𝑥 2 − 2𝑥 + 6 e) 3𝑥 2 + 2𝑥 − 14 c) 𝑥 2 + 𝑥 − 7 54. Dado el polinomio 𝑃(𝑥) = 6𝑥 4 + 47𝑥 3 + 32𝑥 2 − 23𝑥 − 14, Al transformarlo en producto indicado la suma de sus factores primos es: a) 4𝑥 − 5 c) 7𝑥 + 2 e) 6𝑥 2 + 2 b) 7𝑥 + 7 d) 5𝑥 2 − 4 55. Al factorizar el polinomio:

49. La suma de coeficientes de los términos cuadráticos de los factores primos del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 6 + 4𝑥 5 − 21𝑥 4 + 5𝑥 3 + 15𝑥 2 + 6

a) 1

b) 2

c) 5

d) 4

e) 7

𝑃(𝑥, 𝑦) = 10𝑥 2 + 11𝑥𝑦 − 6𝑦 2 − 𝑥 − 11𝑦 − 3

la suma de sus factores primos es: a) 5𝑥 + 𝑦 − 3 d) 7𝑥 + 3𝑦 + 4 b) 7𝑥 + 𝑦 − 2 e) 7𝑥 + 2𝑦 − 1 c) 5𝑥 − 4𝑦 + 1

56. La suma de los factores primos del polinomio 𝑃(𝑥) = 12𝑥 3 − 84𝑥 − 72 , es: a) 3𝑥 + 9 c) 3𝑥 + 6 e) 𝑥 + 6 b) 3𝑥 + 4 d) 3𝑥 + 5 57. La suma de los factores primos del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 11𝑥 + 30, es: a) 3𝑥 + 10 c) 3𝑥 − 10 e) 3𝑥 − 3 b) 3𝑥 + 4 d) 3𝑥 − 4 58. La suma de los factores primos lineales del polinomio 𝑃(𝑥) = 12𝑥 3 + 16𝑥 2 − 7𝑥 − 6, es: a) 7𝑥 − 2 c) 2𝑥 + 7 e) 5𝑥 + 2 b) 2𝑥 − 7 d) 7𝑥 + 2 59. Uno de los factores primos del polinomio: 𝑃(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 + 3)2 + 7𝑥 + 7𝑦 + 31, es:

a) 𝑥 + 𝑦 + 9 b) 𝑥 + 𝑦 − 3 c) 2𝑥 + 𝑦 + 1

d) 𝑥 + 2𝑦 + 5 e) 𝑥 + 𝑦 + 8

60. La suma de los factores primos del polinomio: 𝑚5 − 4𝑚4 − 𝑚3 + 16𝑚2 + 12𝑚, es: a) 4𝑚 − 5 c) 𝑚 − 3 e) 5𝑚 + 2 b) 5𝑚 + 4 d) 5𝑚 − 4 61. Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 8 − 25𝑥 4 + 70𝑥 2 − 49 la suma de los coeficientes de uno de los factores primos, es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 62. Al factorizar el polinomio: 𝑃(𝑥) = 4𝑥 5 + 8𝑥 4 − 25𝑥 3 − 20𝑥 2 + 51𝑥 − 18

dos de los factores primos tienes la forma 𝑎𝑥 − 𝑏 , con 𝑎 ≠ 1 . El producto de los

términos independientes de factores es: a) 6 b) -6 c) 3 d) -9

dichos e) 3

63. La de los termino independientes de los factores del polinomio 𝑃(𝑥) = 30𝑥 3 − 89𝑥 2 + 56𝑥 + 15 es: a) -7 b) -8 c) -9 d) -1 e) -4 64. Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = 28𝑥𝑦 − 44𝑦 2 + 35𝑥 − 23𝑦 + 40

la suma de los coeficientes de uno de los factores es: a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 65. Si el efectuar la operación en el polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 2 + 𝑦 2 )(𝑥 3 − 𝑦 3 )(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )(𝑥 4 − 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 4 ) + 𝑦 12

Resulta 𝑥 𝑎 entonces, el valor de 𝑎 − 2 , es: a) 12 b) 8 c) 4 d) 10 e) 6 66.