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at eU P

N iv e

M iv ee n

at eU P

P at eU

N

M

Definici´on 45 (Polinomios primos).

iv ee n

Ejemplo 82. El polinomio x5 − x4 + x3 − x2 no es primo pues es igual a x2 (x3 − x2 + x − 1) siendo estos u´ ltimos de grado 2 y de grado 3, respectivamente.

P

at eU

N

Ejemplo 83. El polinomio x2 − 4x + 4 no es primo pues se escribe como (x − 2)(x − 2), es decir, como el producto de dos polinomios de grado 1.

M

Ejemplo 84. El polinomio ax + b con a 6= 0 es primo pues es de grado 1 y no puede escribirse como el producto de dos polinomio de grado menor. As´ı, en general, podemos decir que todo polinomio de grado 1 es primo. √ √ Ejemplo 85. El polinomio x2 − 2 es primo en Q[x], pues x2 − 2 = (x + 2)(x − 2) donde los dos u´ ltimos polinomios son de grado 1 y no pertenecen a Q[x]. Observaci´on. De la definici´on se sigue que ning´un polinomio constante es primo.

P

P

62

U

iv ee n

M at eU

Haciendo analog´ıa con los enteros, buscamos expresar cualquier polinomio en Z[x] como el producto de polinomios primos, este proceso es conocido como Factorizaci´on. En esta clase, usaremos los productos notables y estudiaremos primero, el factor com´un que fue usado en el Ejemplo 82 y luego, el m´etodo del aspa simple, usado en el Ejemplo 83; y de los divisores bin´omicos, para factorizar un polinomio.

N

M

at eU

P

Un polinomio p(x) ∈ Q[x] no constante se dice primo o irreductible en Q[x] cuando no es el producto de dos polinomios en Q[x] de grado menor.

N

Recordemos que un n´umero primo en N es aquel que solo es divisible por el uno y el mismo n´umero, por ejemplo 2, 3, 5, 7. En N, sabemos que todo n´umero positivo se puede escribir como el producto de n´umeros primos, por ejemplo, 24 = 23 × 3, donde los n´umeros primos usados son 2 y 3. En esta clase, introduciremos el concepto de polinomios primos.

N

M

Factorizaci´on de polinomios

n

n

10

N

at e

M

n Clase

at eU P

N iv e

at e

M

n

iv ee n

at eU P

Ejemplo 86. Para factorizar el polinomio p(x) = x2 n3 − 2xr, identificamos el factor com´un “x” y su menor exponente “1”. Luego; se tiene,

N

M

El m´etodo del factor com´un consiste en aplicar el sentido inverso la propiedad distributiva de la multiplicaci´on respecto a la adici´on.

x2 n3 − 2xr = x(n3 x − 2r).

N

donde A, B, C son constantes enteras. El procedimiento es como sigue:

P

Ax2 + Bx + C

at eU

n

M

El m´etodo del aspa simple se aplica a polinomios de la siguiente forma:

1. Se expresan A y C, como el producto de 2 n´umeros enteros, es decir A = a1 a2 y C = c1 c2 y se colocan e´ stos factores debajo de sus respectivos t´erminos.

a2

N

M

A x2 + Bx + |{z} C |{z} a1 c1

iv ee n

at eU

P

2. Los factores obtenidos, deben ser tales que si realizamos el producto cruzado y luego sumamos los resultados parciales, obtenemos B. Es decir a1 c2 + a2 c1 = B.

c2

Luego: Ax2 + Bx + C = (a1 x + c1 )(a2 x + c2 ).

3m

de donde deducimos que p(x) = (5x + 7m)(2x + 3m).

iv ee n

M at eU

P

P

Ejemplo 88. El polinomio p(x) = x3 + 3x2 + 2x factorizando por factor com´un se obtiene que p(x) = x(x2 + 3x + 2), luego factorizando por aspa simple se deduce que p(x) = x(x + 1)(x + 2).

P

63

U

N

Observaci´on. De manera similar podemos definir a los polinomios primos sobre R[x]. As´ı, por ejemplo el polinomio x2 − 2 √ del Ejemplo 85 tambi´en pertenece a R[x], pero no es primo en R[x], √ 2 pues x − 2 = (x + 2)(x − 2), es decir se expresa como el producto de dos polinomios en R[x] de grado 1.

N

2

M

n

N

2 10 x2 + 29xm + 21m |{z} | {z } 5 7m

at eU

M

Ejemplo 87. Para factorizar el polinomio p(x) = 10x2 + 29xm + 21m2 . Realizando el procedimiento obtenemos:

N

M

p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0

iv ee n

at eU P

Como hemos visto, todos los polinomios de grado uno son primos y los polinomios de grado 2 si son factorizables por aspa simple no son primos, caso contrario son primos. A continuaci´on presentamos el m´etodo de divisores bin´omicos, que nos permite factorizar cualquier polinomio de grado mayor de 1. Para ello, consideremos el polinomio p(x) ∈ Z[x] definido por:

Paso 1. Dividir los divisores del t´ermino independiente a0 con los divisores del coeficiente principal an y considerar tanto positivos como negativos de dicha operaci´on.

P at eU

p(x) = q(x)(x − r)

N

M

Paso 2. Evaluar el polinomio en los n´umeros encontrados en el paso anterior hasta que el polinomio se anule. Si encontramos que p(r) = 0, entonces dividimos p(x) entre x − r obteniendo

n

Luego repetimos los pasos 1 y 2 para el polinomio q(x). Si no encontramos ning´un n´umero del paso 1 que anule el polinomio, entonces el polinomio es primo en Z[x].

M

Ejemplo 89. Factoricemos el polinomio x3 − 8x2 + 9x + 18,

iv ee n

±(1, 2, 3, 6, 9)

2. Al evaluar el polinomio en −1 encontramos que p(−1) = 0. Luego, dividimos el polinomio entre x + 1, obteniendo que

P

x3 − 8x2 + 9x + 18 = (x + 1)(x2 − 9x + 18),

at eU

N

finalmente, la parte cuadr´atica se puede factorizar por aspa simple, por lo tanto lo factorizamos y obtenemos que x3 − 8x2 + 9x + 18 = (x + 1)(x − 3)(x − 6)

Ejemplo 90. El polinomio x3 + 2,

iv ee n

2. Ning´un n´umero anterior anula el polinomio por lo cual concluimos que x3 + 2 es primo en Z[x].

P

64

U

N

Observaci´on. El m´etodo de los divisores bin´omicos es justificado por el Teorema del Resto y por el Teorema de Cardano, que afirma que producto de los n´umeros que anulan el polinomio es igual al cociente entre el t´ermino independiente y el coeficiente principal, salvo signo.

N

±(1, 2)

M

1. Nuestro t´ermino independiente es 2 y sus divisores son 1, 2 el coeficiente principal es 1. Luego el cociente de ellos, considerando signos es:

P

M

at eU

P

1. Nuestro t´ermino independiente es 18 y sus divisores son 1, 2, 3, 6, 9; el coficiente principal es 1. Luego, el cociente de ellos, considerando signos es:

N

Veamos un par de ejemplos que ilustren el m´etodo de los divisores bin´omicos.

M at eU

n

at eU P

N iv e

at e

M

n

M´etodo de los divisores bin´omicos

b) x3 + x2 − x − 1

at eU P

M

a) 2x2 + 4x + 2

c) 2x2 − 4

iv ee n

2. Denotemos por P [x] al conjunto de polinomios primos con coeficientes enteros. Justifique por qu´e son falsas las siguientes proposiciones:

N

1. Identifique que polinomios son primos en Q[x]

a) ∀p(x), q(x) ∈ P [x], [ p(x) + q(x) ∈ P [x] ].

at eU

P

3. Sean a ∈ Q y p(x) ∈ Q[x] con grad(p) ≥ 2. Pruebe que si x − a es un factor de p(x) entonces p(x) no es primo.

N

4. Factorice los siguientes polinomios por el m´etodo de los divisores bin´omicos: 25x6 − 10x4 + x2

x6 − x4 − 4x2 + 4

8x2 − 2x + 3

x5 − 2x4 + x3 − x + 3

(3x − 5)2 − (x − 15)2

6x4 − 5x3 − 5x2 + 5x − 1

N

M

M

b) ∀p(x), q(x) ∈ Z[x], [ grad(p) > grad(q) → p(x) + q(x) ∈ Z[x] ].

n

iv ee n

p(x) = acx3 + abx2 + bx(cx + b)

p(x) = ab(x2 + c2 ) + xc(a2 + b2 )

1. Identifique qu´e polinomios son primos en Q[x] a) x3 + 8

b) x2 − 2x − 3

at eU

Ejercicios Adicionales

N

10.2.

P

6. Sea b ∈ Z tal que x + 3 es un factor del polinomio x3 + bx + 6. Determine si es primo el otro factor de dicho polinomio.

c) x2 − 10

d) x3

x2 + 1

x2 + 3

x2 − 2x + 2

iv ee n

x2 + x + 1

N

M

2. Demuestre que los siguientes polinomios son primos en Z[x]:

P

U

65

P

3. Al factorizar el polinomio x4 − x3 + 2x2 − x − 1 resulta (x + m)p (xn + 2x + 1). Determine el valor de m + n + p.

N

M

at eU

P

5. Sean a, b, c ∈ Z. Factorice los siguientes polinomios:

M at eU

n

Ejercicios para la clase

at eU P

N iv e

at e

M

n

10.1.

at eU P

N

d(x) = x2 + 2ax + a2 + 3.

5. Sea p(x) ∈ Q[x] con grad(p) = 2 o´ 3. Pruebe que si p(x) no es primo entonces existe a ∈ Q tal que p(a) = 0.

x4 − 5x2 + 4

2x3 + 3x − 5 x3 + x2 + x + 1

3x2 + 13x − 2, 200

x5 + 4x4 − 10x2 − x + 6

6x3 + 47x2 + 91x

x4 − 2x3 + 2x2 − 7x + 6

7. Sean a, b, c ∈ Z. Factorice los siguientes polinomios:

P

p(x) = 15x4 − 11x2 b + 2b2

p(x) = x5 c5 − 16xc9 p(x) = x3 + 28a3 + 3xa(x + a)

iv ee n

at eU

p(x) = 4x4 + 15x2 a2 − 54a4

N

p(x) = (x + a)3 (x − a)3 − (x6 − a6 )

M

p(x) = x2 + x + a − a2

8. Justifique por qu´e son falsas las siguientes proposiciones:

Lecturas recomendadas

at eU

10.3.

N

b) Todos los polinomios de grado 2 en R[x] no son primos en R[x].

P

a) Todos los polinomios de grado 2 en Q[x] son primos en Q[x].

M

Factorizaci´on, cap´ıtulo 0 de Matem´aticas para Administraci´on y Econom´ıa, Haeussler, Paul y Wood, Pearson Prentice Hall.

P

66

U

iv ee n N

M at eU

´ Factorizaci´on de polinomios, Cap´ıtulo 7 de Algebra, Tomo I, Colecci´on Lumbreras.

N

´ Fundamentos de Algebra, Cap´ıtulo 2 de Fundamentos de Matem´aticas Apuntes de estudio 81, 2015, J. Cotrina, Universidad del Pac´ıfico.

P

M

at eU

x5 − x4 − 13x3 + 13x2 + 36x − 36

N

M

x3 − x + 6

x4 + x3 + x2 + x + 1

P

2x2 − 6 − x

x3 − x2 − x + 1

iv ee n

6. Factorice los siguientes polinomios:

n

n

entre

M

D(x) = (x + a)4 + 2(x2 + a2 + 2xa) − 3

at eU P

N iv e

at e

M

n

4. Sea a ∈ N. Factorice el cociente de dividir