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4.4.2 Extremos absolutos El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en la teoría de extremos de una función; aunque tiene una fácil interpretación geométrica, exige para su demostración elementos de cálculo avanzado que están mas allá del alcance de esta guía. TEOREMA 2 (TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS) Toda función contínua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto). El estudiante puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica de una función que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b]. Cada intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teorema, siempre se cumple. Observación: El teorema garantiza la existencia de extremos absolutos para una función contínua en un intervalo cerrado, pero no dice cómo determinarlos. Sin embargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultáneamente extremo relativo, se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo. Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente: 1. Se determinan los puntos críticos donde

'

f (x)

2. Se calcula

c1, c2, c3, ...,cn

(resolviendo

f '(x) = 0 ,

o

no existe).

f (a )

y

f (b ) .

{ f ( a ), f ( b ), f ( c 1 ), f ( c 2 ),..., = mín { f ( a ), f ( b ), f ( c 1 ), f ( c 2 ),...,

3. Máximo absoluto de f = máx Mínimo absoluto de f

f ( c n )}

f ( c n )}

Ejemplo 1.

Determine, si existen los extremos absolutos f ( x) = x 4 − 8 x 2 + 16 en el intervalo [− 3,2] Solución:

(máx. y mín.)

de la función:

Como f es contínua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está garantizada por el teorema 2. Para determinarlos, se aplica la regla práctica dada en la observación del mismo teorema. Considere los puntos críticos por medio de la derivada. f ' ( x) = 4 x 3 − 16 x = 0 ⇔ 4 x( x − 2)( x + 2) = 0 4 x( x 2 − 4) = 0 ⇒ x = 0; x = 2; x = −2 son los únicos puntos críticos. Los extremos absolutos se f (−3), f (2), f (0) y f (−2) .

escogen

entre

los

siguientes

valores:

f (−3) = (−3) 4 − 8(−3) 2 + 16 = 81 − 72 + 16 = 25 f (2) = 2 4 − 8.2 2 + 16 = 16 − 32 + 16 = 0 f (0) = 0 4 − 8.0 2 + 16 = 16 f (−2) = (−2) 4 − 8(−2) 2 + 16 = 16 − 32 + 16 = 0 Máximo absoluto de f en Mínimo absoluto de f en

[− 3,2] [− 3,2]

es f (−3) = 25 es f (−2) = f (2) = 0

Ejemplo 2.

Determine, si existen los extremos absolutos de la función: intervalo [− 5,4]

f ( x) = 1 − ( x − 3) 2 / 3

en el

Solución:

La continuidad de f en el intervalo absolutos de f en dicho intervalo.

[− 5,4],

garantiza la existencia de extremos

Se debe determinar primero los puntos críticos por medio de la derivada.

f ' ( x) =

2 3( x − 3)1 / 3

El único punto crítico de f es x = 3, donde la derivada no existe. (Note que no tiene solución). Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores: f (−5);

f (4)

y

f (3)

f ' ( x) = 0

f (−5) = 1 − (−5 − 3) 2 / 3 = 1 − (−8) 2 / 3 = −3 f (4) = 1 − (4 − 3) 2 / 3 = 1 − 1 = 0 f (3) = 1 − (3 − 3) 2 / 3 = 1 − 0 = 1 Máximo absoluto de f en Mínimo absoluto de f en

[− 5,4] [− 5,4]

es f (3) = 1 es f (−5) = −3

Ejemplo 3.

Considere la función f definida por:

3x − 4 si − 3 ≤ x < 1 f (x) =  2 x − 2 si 1 ≤ x ≤ 3 Determine los extremos absolutos de f en el intervalo

[− 3,3] .

Solución:

(verifique). Por el La función es contínua en todos los puntos del intervalo [− 3,3] teorema 2, f (x) posee máximo y mínimo absoluto en el intervalo considerado. Para determinarlos, se consideran primero los puntos críticos de f:

 3 si − 3 < x < 1 f ' (x) =  2x si 1 < x < 3 Puesto que f − (1) = 3 y es un punto crítico de f. '

f +' (1) = 2 , la derivada no existe en x = 1 y por lo tanto éste

De otro lado, la derivada no se anula en ningún punto del intervalo. En consecuencia, el único punto crítico es x = 1. Los extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valores: f (1);

f (−3)

y

f (3)

f (1) = 12 − 2 = −1 f (−3) = 3(−3) − 4 = −13 f (3) = 3 2 − 2 = 7 Máximo absoluto de f en

[− 3,3]

es

f (3) = 7

Mínimo absoluto de f en

[− 3,3]

es

f (−3) = −13