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• Juan Carlos Tarazona Contreras

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Escuela de Ciencias Exactas e Ingenier´ıa Programas de Ingenier´ıa Modelaci´ on Matem´ atica Segundo semestre 2020

M´ aximos, M´ınimos y Puntos de Silla !Punto m´ aximo

!Punto m´ınimo

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Material recopilado, dise˜ nado y/o editado por Bibiana Pati˜ no y Jhon Alex Alvarez.

!Punto de silla

An´ alisis a partir de curvas !Punto m´ aximo

Material recopilado, dise˜ nado y/o editado por Bibiana Pati˜ no y Jhon Alex Alvarez.

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!Punto m´ınimo

!Punto de silla

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Material recopilado, dise˜ nado y/o editado por Bibiana Pati˜ no y Jhon Alex Alvarez.

!Ejemplo: Se quiere hallar y clasificar los extremos relativos de la funci´on: f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x + y 3 − 15y Para esto, se seguir´ an tres pasos: I. Puntos de equilibrio.

√ √ (2, 1), (−2, −1), (0, 5), (0, − 5)

En Geogebra se hallan con ayuda del comando: Resuelve[Lista de ecuaciones, Lista de variables] que se encuentra en vista CAS. II. Aplicar criterio de la segunda derivada. El Hessiano es H(x, y) = 36x2 + 36xy − 36y 2 y • H(2, 1) = 180 y fxx (2, 1) = 12 • H(−2, −1) = 180 y fxx (−2, −1) = −12 √ • H(0, 5) = −180 √ • H(0, − 5) = −180 III. Concluir con el criterio de la segunda derivada. En los dos primeros puntos f tiene un m´ımimo y m´aximo respectivamente, los siguientes dos se clasifican como puntos de silla. A continuaci´ on se presentan los pasos dados en Geogebra y las curvas de nivel de la funci´on confirmando las conclusiones que se obtuvieron con el criterio de la segunda derivada.

 Ejercicios 1. Calcule los valores m´ aximos, m´ınimos relativos y puntos sillas de la funci´on dada, y graf´ıquela. (a) f (x, y) = 9 − 2x + 4y − x2 − 4y 2 Material recopilado, dise˜ nado y/o editado por Bibiana Pati˜ no y Jhon Alex Alvarez.

4

(b) f (x, y) = (1 + xy)(x + y) (c) f (x, y) = e4y−x

2

−y 2

(d) f (x, y) = x3 − 12xy + 8y 3 (e) f (x, y) = ex cos(y) p p √ (f) f (x, y) = cos(x2 + y 2 ), considere s´ olo los puntos cr´ıticos (0, 0), ( π2 , π2 ), (0, π) 2. Utilice una gr´ afica, curvas de nivel o ambas para estimar los valores m´aximo y m´ınimo relativos y el punto o los puntos sillas de la funci´ on. (a) f (x, y) = x2 + y 2 + x−2 y−2 (b) g(x, y) = sen(x) + sen(y) + sen(x + y) 3. La cantidad de calor que se desprende de una reacci´on qu´ımica al interactuar x mol´eculas de un compuesto con y m´ oleculas de otro se modela por la funci´on. Q(x, y) = −5x2 − 8y 2 − 2xy + 42x + 102y Hallar x, y para la cantidad de calor sea m´axima. 4. Los tipos sangu´ıneos son gen´eticamente determinados por los tres alelos A, B y O (alelo es cualquiera de las posibles formas de mutaci´ on de un gen). Una persona cuyo tipo sangu´ıneo es AA, BB u OO es homocig´ otica. Una persona cuyo tipo sangu´ıneo es AB, AO o BO es heterocig´otica. La ley Hardy-Weinberg establece que la proporci´ on P de individuos heterocig´ oticos en cualquier poblaci´on dada es: P (p, q, r) = 2pq + 2pr + 2qr Donde p representa el porcentaje de alelos A en la poblaci´on, q representa el porcentaje de alelos B en la poblaci´ on y r el porcenteje de alelos O en la poblaci´on. Utilizar el hecho de que p + q + r = 1 para mostrar 2 que la proporci´ on m´ axima de individuos heterocig´oticos en cualquier poblaci´on es . 3 5. Una empresa fabrica velas en dos lugares. El costo de producci´on de x unidades en el lugar 1 es: C1 = 0.02x2 + 4x + 500 Y el costo de producci´ on de y unidades en el lugar 2 es: C2 = 0.05y 2 + 4y + 275 Las velas se venden a $15 por unidad. Hallar la cantidad que debe producirse en cada lugar para aumentar al m´ aximo el beneficio. P = 15(x + y) − C1 − C2 6. Suponga que fx0 (a, b) = 0 y fy0 (a, b) = 0 y que las segundas derivadas son continuas. Dada la siguiente informaci´ on determine en cada caso si es posible establecer qu´e tipo de extremo relativo es f (a, b). 00 00 00 (a) fxx (a, b) = 12, fxy (a, b) = 0, fyy (a, b) = −6 00 00 00 (b) fxx (a, b) = 8, fxy (a, b) = −2, fyy (a, b) = 4 00 00 00 (c) fxx (a, b) = 4, fxy (a, b) = 6, fyy (a, b) = 9 00 00 00 (a, b) = 4, fyy (a, b) = −2 (d) fxx (a, b) = −2, fxy

7. Utilice las curvas de nivel para localizar los puntos cr´ıticos de la funci´on. Clasifique el punto en m´ aximo, m´ınimo o punto de silla seg´ un considere explicando el razonamiento utilizado. 5

Material recopilado, dise˜ nado y/o editado por Bibiana Pati˜ no y Jhon Alex Alvarez.

(a)

(b)

Material recopilado, dise˜ nado y/o editado por Bibiana Pati˜ no y Jhon Alex Alvarez.

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