EXTREMOS CONDICIONADOS
VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE 2 O MÁS VARIABLES Los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como v
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VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE 2 O MÁS VARIABLES Los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como valores extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayores y menor en el conjunto, cuando existen.
Sea f: D Rn R una función definida en el conjunto abierto D. Definicion 1.- Se dice que una f presenta un maximo absoluto en el punto (a,b) (a,b) es maximo si: f(x,y) ≤ f(a,b) ∀ (a,b) ∈ D Definicion 2.- Se dice que una f presenta un minimo absoluto en el punto (a,b) (a,b) es maximo si: f(x,y) ≥ f(a,b) ∀ (a,b) ∈ D
Condiciones Necesarias Si Z= f(x,y) alcansa un extremo en el punto P (a,b) entonses sus derivadas parciales de primer orden son iguales a cero
fx(a,b) = 0
∧
fy(a,b) = 0
PRUEBA DE SEGUNDA DERIVADA PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Si f(x, y) está una función de dos variables, y (a, b) es un punto crítico de f. (Esto es, fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.) Suponga también que existen y son iguales las derivadas del segundo orden, de modo que, por teoremas de cálculo, fxy es igual a fyx. Sea H el determinante de su matriz hessiana entonces:
H(a,b) =
fxx(a, b) fxy(a, b)
H1= fxx(a, b)
fyx(a, b) fyy(a, b)
H2= fxx(a, b) fyy(a, b) -
[fxy(a, b)]2
Posibles casos donde la matriz hessiana H1
H2
1° caso H =
+
^
+
f tiene un mínimo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) > 0,
2° caso H =
+
^
-
f tiene un máximo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) < 0,
3° caso H = (0 ^ -) ^
-
f tiene un punto de silla relativo a (a, b) si H ≤ 0 y fxx(a,b) < 0,
4° caso H =
0
la prueba no dice nada, entonces necesitamos analizar la gráfica para buscar más información.
EJEMPLOS 1. Sea f(x, y) = x2 - (y-1)2 2 variables.
Hallar los máximos, mínimos o punto de silla de esta función de
Entonces para encontrar los puntos críticos, resolvemos el sistema fx(x,y) = 2x = 0
fy(x, y) = -2(y-1) = 0
2x = 0
-2(y-1) = 0
X=0
y–1=0 Y=1
La primera ecuación produce x = 0, y la segunda da y = 1. Entonces, el único punto crítico es (0, 1). Como el dominio de fes el plano cartesiano entero, entonces el punto (0, 1) es interior, y entonces es un candidato a ser un extremo relativo o punto de silla.
Para comprobar las derivadas segundas, resolvemos de la siguiente manera: fxx(x, y) = 2 fyy(x, y) = -2 fxy(x, y) = fyx(x, y) = 0 Después calcule H = fxx(0, 1)fyy(0, 1) -[fxy(0, 1)]2 = (2)(-2) -02 =- 4 Como H es negativo, tenemos un punto de silla a (0, 1). Aquí está la gráfica de f que muestra su ubicación.
2.- Calcular el maximo, minimo y el punto de silla de esta funcion de varias variables. F(x,y,z) = 2x2 + 3y2 + z2 + 2z Entonces encontremos los puntos críticos, resolvemos el sistema fx (x,y) = 4x = 0
x=0
fy (x,y) = 6y = 0
y=0
fz (x,y) = 2z + 2 = 0 2 z = -2 z = -1 Puntos Criticos P1(0,0,-1) Para comprobar las derivadas segundas, resolvemos de la siguiente manera: F xx(x, y, z) = 4 F yy(x, y, z) = 6
F xy(x, y, z) = 0 F xz(x, y, z) = 0
F zz(x, y, z) = 2
F yz(x, y, z) = 0
Fxx(x,y,z) Fxy(x,y,z) Fxz(x,y,z) H=
Fxy(x,y,z) Fyy(x,y,z) Fyz(x,y,z)
Fxz(x,y,z) Fyz(x,y,z) Fzz(x,y,z)
4 H (0,0,1) =
0 0
0 6 0
0 0 2
H1 = 4 H2 = 24 H3 = 48
4
0
0
0
6
0
0
0
2
+ + +
en el punto (o,o,1) tiene un minimo valor.
EXTREMOS CONDICIONADOS. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Cierto tipo de problemas e extremos consiste en encontrar los valores máximos y mínimos de una función cuyas variables están sometidas a ciertas condiciones de dependencia; estos reciben el nombre de problemas de máximos y mínimos condicionados. Def.1 Sean Se llama extreme condicionado de f sujeto a la restricción g = 0 al que se alcanza condicionado por la ecuación de ligadura g(x,y) = 0. Se denota: ( (
)
(
o
)
(
) )
El matemático Francés J. L. Lagrange ideo un procedimiento para el problema de determinar máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a condiciones de enlace o restricciones. Este método se conoce como Método de Multiplicadores de Lagrange. Def. 2 Criterio para establecer extremos con una restricción en función de dos variables Sean dos funciones continuas y con derivadas parciales también continuas. f será la función objetivo que queremos optimizar y g la función que determina la ecuación de ligadura. Se define la función de Lagrange como: ( ) λ se conoce como multiplicador de Lagrange
(
)
(
)
Podemos buscar los puntos críticos de la función de Lagrange. Es decir, los puntos que verifiquen (
)
(
(
)
(
)
(
))
(
(
)
Por tanto, estos puntos se obtienen como las soluciones del sistema (
)
(
)
(
)
Suponga que se obtiene el punto crítico (
(
)
(
)
(
)
(
)
) en la Función Langragiana.
)
Defínase el Hessiano, como la matriz: [
]
[
] (
)
Entonces: 1. Si | | 2. Si | |
entonces en ( entonces en (
) la función f tiene un MÁXIMO. ) ka función f tiene un MÍNIMO.
Ejemplo 1. Calcular los extremos relativos de la función (
)
sobre la elipse
En notación matemática, el problema que se nos plantea es: y s
Para resolver el ejemplo siguiendo la teoría anterior, definiremos ( primer lugar, tenemos que considerar la función de Lagrange (
)
(
)
(
)
)
(
. En
)
y hallar sus puntos críticos. Estos puntos críticos son la solución del sistema de ecuaciones: (
)
(
)
(
)
Con un cálculo estándar podemos comprobar que las soluciones del sistema anterior son (
)
(
√
√ √
)y(
)
(
√ √
√
).
Hallamos el Hessiano [ Ahora clasifiquemos los puntos críticos:
]
[
]
( )
√
Para (
√
√
( )
) tenemos
(
√
√ √
( ) √
)
[ (√ ) Entonces, como | | que (
√
√
)
( ) (
√
√
√ √
√
) ( )
√
Para (
√
(
√
[ ( Entonces, como | | se dice que ( Por tanto en (
√
√
√
( √
)
√
)
√
) ( ) ( ) √
√
se dice
) ( ) ( √
)
√ √
(
√
)
( ) √
)
( ) ]
√
√
)]
es un máximo.
) tenemos
√
√
(
√
(
√
(
√ √
√
√
)
( ) (
√
) (
√
)
√
es un mínimo.
) se alcanza un máximo relativo condicionado y en (
√
√
) un mínimo
relativo condicionado.
Def. 3 Criterio para establecer extremos con una restricción en función de tres variables Sean dos funciones continuas y con derivadas parciales también continuas. f será la función objetivo que queremos optimizar y g la función que determina la ecuación de ligadura. Se define la función de Lagrange como: ( ) ( λ se conoce como multiplicador de Lagrange
)
(
)
Podemos buscar los puntos críticos de la función de Lagrange. Es decir, los puntos que verifiquen (
)
(
(
)
(
)
(
)
(
))
Por tanto, estos puntos se obtienen como las soluciones del sistema (
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
(
(
)
)
) en la Función Langragiana.
[ [
)
(
Suponga que se obtiene el punto crítico ( Defínase el Hessiano, como:
Sean
)
](
)
]y
Entonces: 1. Si | 2. Si |
| |
| |
| |
entonces en ( entonces en (
) la función f tiene un MÁXIMO. ) la función f tiene un MÍNIMO.
Ejemplo 2. Encuentre los extremos de (
)
sujeta a que
En notación matemática, el problema que se nos plantea es: y
s
Para resolver el ejemplo siguiendo la teoría anterior, definiremos ( lugar, tenemos que considerar la función de Lagrange (
)
(
)
(
)
)
(
. En primer )
y hallar sus puntos críticos. Estos puntos críticos son la solución del sistema de ecuaciones: (
)
(
)
(
)
(
)
Con un cálculo estándar podemos comprobar que la única solución al sistema anterior es (
)
(
)
Hallamos el Hessiano
[ [ De aquí tenemos
]( [
Los determinantes serían | tiene un mínimo.
] (
)
)
]
|
y|
|
| |
por tanto en (
) la función
Ejercicios 1. Hallar los extremos relativos condicionados de la función dada en cada uno de los casos, sujeta a las restricciones dadas. ) a. ( con restricción R. ( b.
(
) )
con restricción
R. (3,3,3) 2. ¿Cuál es el máximo volumen de una caja si la suma de sus longitudes de las aristas es a? R.