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• Carol Cabezas

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´ C ALCULO V ECTORIAL P ROBLEMAS Fecha:19 de Agosto de 2020 1. Determinar los m´aximos locales, m´ınimos locales y puntos de silla de las siguientes funciones i. Hallar los ii. f ( x, y) = x3 + y3 − 3x2 − 3y2 − 9x iii. f ( x, y) = 2x4 + y2 − x2 − 2y iv. f ( x, y) = x2 + y2 +

1 x 2 + y2

v. f ( x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1 vi. Obtenga el punto cr´ıtico de f ( x, y) = xy + 2x − ln( x2 y), en el primer cuadrante abierto (x > 0, y > 0) y demuestre que f asume un m´ınimo en ese punto. 2. Planos tangentes y recta normal ´ i. Considere la funcion f ( x, y) =

( x2

4xy + 1)(y2 + 1)

´ del Hallar un conjunto de ecuaciones param´etricas para la recta normal y una ecuacion plano tangente a la superficie en P0 = (1, 1, 1) ii. Verifique que el paraboloide 3x2 + 2y2 − 2z = 1, y la esfera x2 + y2 + z2 − 4y − 2z + 2 = 0, se cortan formando a´ ngulo recto en P0 = (1, 1, 2). ´ z = x2 + y2 en el punto iii. Verifique que el plano tangente al paraboloide con ecuacion ´ ( a, b, c) intersecta al plano xy en la recta con ecuacion 2ax + 2by = a2 + b2 . z x2 y2 ´ del plano tangente al paraboloide el´ıptico = 2 + 2 en el iv. Verifique que la ecuacion c a b 2xx0 2yy0 z + z0 punto ( x0 , y0 , z0 ) se puede escribir como 2 + 2 = . a b c