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11.7-4. Reflujo total, reflujo mínimo, número de etapas. La siguiente alimentación de 1 OO mol/h en el punto de ebullición y a 405.3 kPa de presión se alimenta auna torre fraccionadora: n-butano (XA = 0.40), n-pentano (xs = 0.25), n-hexano (XC = 0.20) y n-heptano (xo = 0.15). Esta alimentación se destila de manera que el 95% del n-pentano se recupera en el destilado y el 95% del n-hexano se recupera en el residuo. Calcule lo siguiente. a) Las moles por hora y la composición del destilado y el residuo. b) Las temperaturas de la parte superior y del fondo de la torre. , c) Las etapas mínimas para el reflujo total y la distribución de otros componentes (componentes traza) en el destilado y en el residuo, es decir, los moles y las fracciones molares. [También corrija las composiciones y moles del inciso (a) para las trazas.] d) La razón de reflujo mínimo utilizando el método de Underwood. e) El número de etapas teóricas a una razón de reflujo de operación de 1.3 veces el mínimo, utilizando la correlación de Erbar-Maddox. f) La ubicación del plato de alimentación usando el métodod de Kirkbride. Respuesta: a) D = 64.75 mol/h, XAo = 0.6178, XBD = 0.3668, XCD = 0.0154, XDD = 0; W = 35.25 moh’h, x,.,x? = 0, xBW = 0.0355, xcw = 0.5390, XoW = 0.4255; b) arriba 66 “C; abajo 134 “C; JI, = 7.14 etapas; composiciones de las trazas, XAW' 1.2 X lOA, XDD= 4.0 X 10e5; d) R, = 0.504; Cap. Il Procesos de separación vapor-liquido 111 e) N = 16.8 etapas; f) N, = 9.1 etapas, NS = 7.7 etapas, alimentación en 9.1 etapas desde la parte superior.

D, XA,XB,XC,XD

F=100MOLES XA,XB,XC,XD

B,XA,XB,XC,XD

Paso 1 calcular la temperatura de ebullición Primero se supone una temperatura de 65 “C y los valores de K se obtienen de la figura ll .7-2. Empleando el componente C (n-hexano) como componente base, se calculan los siguientes valores Se hace una tabla intento 1 Componentes A B C D

Xi .40 .25 .20 .15

Ki 1.68 0.63 .245 .093

Ki/Kc= αi 6.8571 2.5714 1 0.3796

αiXi 2.74284 0.643 0.20 0.05694

Con este valor de KC volvemos a la gráfica y vemos que corta la línea de n-Hexano y da una temperatura de 69 repetimos el procedimiento hasta que nos arroje la temperatura real que es de 70 C. Paso 2. Se hacen balances de materia siendo el n-Pentano la fase lijera y el n-hexano la fase pesada 𝑭 = 𝑫 + 𝑩 Para el componente B 𝑿𝒃𝒇 ∗ 𝑭 = 𝑿𝒃𝒅 ∗ 𝑫 + 𝑿𝒃𝒃 ∗ 𝑩𝟎. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝑿𝒃𝒅 ∗ 𝑫 + 𝑿𝒃𝒃 ∗ 𝑩 = 𝟐𝟓𝒎𝒐𝒍𝒆𝒔 Como 95% de b está en el destilado  𝟎. 𝟗𝟓 ∗ 𝟐𝟓 = 𝑿𝒃𝒅 ∗ 𝑫 = 𝟐𝟑. 𝟕𝟓 𝒎𝒐𝒍𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑿𝒃𝒃 ∗ 𝑩 = 𝟏. 𝟐𝟓 𝒎𝒐𝒍𝒆𝒔 Para el componente C 𝑿𝒄𝒇 ∗ 𝑭 = 𝑿𝒄𝒅 ∗ 𝑫 + 𝑿𝒄𝒃 ∗ 𝑩𝟎. 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝑿𝒄𝒅 ∗ 𝑫 + 𝑿𝒄𝒃 ∗ 𝑩 = 𝟐𝟎𝒎𝒐𝒍𝒆𝒔 Como el 95% está en el fondo 𝟎. 𝟗𝟓 ∗ 𝟐𝟎 = 𝑿𝒄𝒃 ∗ 𝑩 = 𝟏𝟗 𝒎𝒐𝒍𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑿𝒄𝒅 ∗ 𝑫 = 𝟏 𝒎𝒐𝒍 Los moles de A en el destilado son  𝑿𝒂𝒇 ∗ 𝑭 = 𝑿𝒂𝒅 ∗ 𝑫 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟎. 𝟒𝟎 = 𝟒𝟎 𝒎𝒐𝒍𝒆𝒔 Los moles de D en el fondo son 𝑿𝒅𝒇 ∗ 𝑭 = 𝑿𝒅𝒃 ∗ 𝑩 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟎. 𝟏𝟓 = 𝟏𝟓 𝒎𝒐𝒍𝒆𝒔 Estos valores se tabulan y son: Componente A B(fase ligera) C(fase pesada) D Total

ALIMENTACION (MOL),XF 40 .40 25 .25 20 .20 15 .15 100 1.00

DESTILADO(MOL),XD

FONDO(MOL);XB

40 23.75 1 0 64.75

0 1.25 19 15 35.25

.6178 .3668 .0154 0 1.00

0 0.0355 0.539 0.4255 1.00

Parte b Para determinar el la temperatura en la parte superior Se asume una temperatura de 67 grados centígrados para comenzar con las iteraciones con la grafica y se obtiene

Componentes

XiD

Ki(67°)

Ki/Kc= αi

Xi/αi

𝑦𝑖

A

.6178

1.75

6.73

0.0918

Xi/αi ∑ Xi/αi 0.3615

B C

.3668 .0154

0.65 .26

2.5 1

0.14672 0.0154

0.5778 0.0607

D

0

.10

0.3846

0

0

=

El valor calculado de Kc es 0.2627, que corresponde casi a 67°C, que es la temperatura final del punto de rocío. Para determinar la temperatura en el fondo se asume una temperatura de 135°C y se comienza con el proceso iterativo Componentes

XiB

Ki(135°)

Xi*αi

Ki/Kc= αi

𝑦𝑖 =

A B C D

0 .0355 .539 0.4255

5.0 2.35 1.15 .61

4.3478 2.0434 1 0.5304

0 0.0725 0.539 0.2256

Xi ∗ αi ∑ Xi ∗ αi

0 0.08660 0.6439 0.2695

Para una segunda iteración arroja un Kc de 1.44 que es cercano al valor de 132°C PARA LA PARTE C Hay que tomar Los valores de 𝛼 apropiados de la fase ligera L (n-pentano) para usar en la ecuación 𝛼 𝑙𝑖𝑔𝑒𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚 = √𝛼𝑙𝑖𝑔𝑒𝑟𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜 ∗ 𝛼𝑙𝑖𝑔𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝛼𝑙𝑖𝑔𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜 = 2.5 𝛼𝑙𝑖𝑔𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 = 2.0434 𝛼 𝑙𝑖𝑔𝑒𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚 = √2.5 ∗ 2.0434 = 2.26 𝑋𝑙𝑑 𝑋𝑝𝑏 𝑙𝑜𝑔 [( ∗ 𝑋𝑝𝑑) ( 𝑋𝑙𝑏 )] 𝑁𝑚 = log(𝛼𝑙𝑝𝑟𝑜𝑚)

0.3668 0.539 𝑙𝑜𝑔 [( ) ∗ (0.0355)] 0.0154 𝑁𝑚 = = 7.22 ≅ 7 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑠 log(2.26)

La distribución o composición de los otros componentes se puede calcular usando la siguiente ecuación PARA EL COMPONENTE A EN EL DESTILADO 𝜶𝒂𝒑𝒓𝒐𝒎 = √𝛼𝐴𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖 ∗ 𝛼𝐴𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 = √𝟒. 𝟑𝟒𝟕𝟖 ∗ 𝟔. 𝟕𝟑 = 𝟓. 𝟒𝟎𝟗𝟑 Luego con la siguiente ecuación 𝑋𝑎𝑑 ∗ 𝐷 𝑋𝑝𝑑 ∗ 𝐷 0.0154 ∗ 64.75 = (𝛼𝐴𝑝𝑟𝑜𝑚)𝑁𝑚 ∗ = 5.40937.22 ∗ = 10310.77 𝑋𝑎𝑏 ∗ 𝐵 𝑋𝑝𝑏 ∗ 𝐵 0.539 ∗ 35.25

DEL BALANCE DE MATERIALES SE TIENE QUE 𝑋𝑎𝑓 ∗ 𝐹 = 40 = 𝑋𝑎𝑑 ∗ 𝐷 + 𝑋𝑎𝑏 ∗ 𝐵 Como 𝑋𝑎𝑑 ∗ 𝐷 = 10310.77𝑋𝑎𝑑 ∗ 𝐵 𝑋𝑎𝑑 ∗ 𝐵 = 0.0038 por lo tanto 𝑋𝑎𝑑 ∗ 𝐷 = 39.99 MOL PARA LA DISTRIBUCION DEL COMPONENTE D

𝜶𝑫𝒑𝒓𝒐𝒎 = √𝛼𝐷𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖 ∗ 𝛼𝐷𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 = √. 𝟐𝟐𝟓𝟔 ∗. 𝟑𝟖𝟒𝟔 = 𝟎. 𝟐𝟗𝟒𝟓 𝑋𝑑𝑏 ∗ 𝐷 𝑋𝑝𝑑 ∗ 𝐷 0.0154 ∗ 64.75 = (𝛼𝐷𝑝𝑟𝑜𝑚)𝑁𝑚 ∗ =. 29457.22 ∗ = 7.70 ∗ 10−6 𝑋𝑑𝑏 ∗ 𝐵 𝑋𝑝𝑏 ∗ 𝐵 . 539 ∗ 35.25 Del balance de materiales se tiene 𝑋𝑑𝑓 ∗ 𝐹 = 15 = 𝑋𝑑𝑑 ∗ 𝐷 + 𝑋𝑑𝑏 ∗ 𝐵 COMO 𝑋𝑑𝑏 ∗ 𝐷 = 7.70 ∗ 10−6 ∗ 𝑋𝑑𝑏 ∗ 𝐵  𝑋𝑑𝑏 ∗ 𝐵 = 14.99 y 𝑋𝑑𝑏 ∗ 𝐷 = 0.01 Con esto se sacan las nuevas fracciones de los componentes en el tope y fondo que seria

Componente A B C D total

Destilado 39.99 23.75 1 0.005 64.75

Xd 0.6176 .3668 0.0154 0.0002 1

Fondo 0.01 1.25 19 14.99 35.25

Xb 0.0003 0.0355 .539 .4252 1

Parte d. para esta parte hay que buscar una temperatura promedio que es (𝑇𝑠 + 𝑇𝑏)/2 𝑇𝑠 + 𝑇𝑏 67 + 132 = = 99.5 2 2 Se buscan los valores de k de la gráfica y se tiene lo siguiente

Componente A B fase liviana C fase pesada D

Xf .40 .20 .25 .15

Xd .6176 .3668 .0154 0.0002

Xb .0003 .0355 .539 .4252

K(99.5°C) 3.12 1.38 .60 .28

𝛼(99.5°𝐶) 5.20 2.30 1 .467

Las DOS ECUACIONES QUE USAREMOS SON 1−𝑞 =∑

𝛼∗𝑋𝑓 𝛼−𝜃

𝑅𝑚 + 1 = ∑

y

𝛼∗𝑋𝑑 𝛼−𝜃

Al sustituir en la ecuación con q = 1 para la alimentación en el punto de ebullición 1−1=0=

5.20 ∗ .40 2.30 ∗ .20 1 ∗ .25 467 ∗ .15 + + +. 5.20 − 𝜃 2.30 − 𝜃 1−𝜃 . 467 − 𝜃

Hay que aclarar que 1 ≤ 𝜃 ≤ 2.3 se realiza un proceso iterativo hasta que la sumatoria se aproxime lo que mas pueda a 0, después de esto 𝜃 = 1.2096 Con este 𝜃 = 1.2096 se procede a utilizar la siguiente ecuación 𝑅𝑚 + 1 = ∑ 𝑅𝑚 + 1 =

𝛼 ∗ 𝑋𝑑 𝛼−𝜃

. 6176 ∗ 5.20 . 3368 ∗ 2.30 0.0154 ∗ 1 0.0002 ∗ .467 + + + 5.20 − 1.2096 2.30 − 1.2096 1.0 − 1.2096 . 467 − 1.2096

Al resolver queda que 𝑅𝑚 = 0.395 Parte e) para esta parte s necesaria esta grafica

Y la siguiente ecuacion

𝑁𝑒

𝑋𝑝𝑓

𝐵

𝑋𝑙𝑏 2

𝑙𝑜𝑔 𝑁𝑠 = 0.206 ∗ 𝑙𝑜𝑔 [( 𝑋𝑙𝑓 ) ∗ 𝐷 ∗ (𝑋𝑝𝑑) ] 𝑅

𝑅𝑚

Ahora resolviendo 𝑅+1 Y 𝑅𝑚+1 para entrar a la grafica entonces R=1.5Rm=0.5925 𝑅 𝑅+1

.5925

𝑅𝑚

.395

= .5925+1 = .372 Y 𝑅𝑚+1 = .395+1 = .2832

Con estos valores entramos a la gráfica y tenemos que

𝑁𝑚 𝑁

= .49 

7.22 𝑁

7.22

= 0.49 𝑁 = 0.49 =

14.73 ≅ 15 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑟𝑒 Para saber el plato de alimentación resolvemos la siguiente ecuación 𝑙𝑜𝑔

𝑁𝑒 𝑁𝑠

= 0.206 ∗ 𝑙𝑜𝑔 [(

0.0750 𝑁𝑒

Por lo tanto 𝑁𝑠 = 1.885

𝑋𝑝𝑓 𝐵 )∗ 𝑋𝑙𝑓 𝐷

𝑋𝑙𝑏 2 ) ] 𝑋𝑝𝑑

∗(

 𝑙𝑜𝑔

𝑁𝑒 𝑁𝑠

.20 .25

= 0.206 ∗ 𝑙𝑜𝑔 [( ) ∗

35.25 0.0355 2 ∗( ) ] 64.75 0.0154

=

Y 𝑁𝑒 + 𝑁𝑠 = 𝑁 = 1.885𝑁𝑆 + 𝑁𝑠 = 15 𝑁𝑠 = 6.85 ≅ 7 𝑁𝑒 = 8 lo que quiere decir que el plato de alimentación se encuentra a 8 platos de la parte alta.

PARTE DE LA EXPO

4.5. Métodos de Newton Globales o de Corrección Simultánea (SC) Son métodos más generales, capaces de resolver todos los problemas de separaciones multicomponentes en etapa múltiple. Están basados en la resolución conjunta de todas las ecuaciones MESH o de una combinación de las mismas por técnicas de corrección simultánea. En general, resultan más convenientes que los anteriores ya que en sistemas altamente no ideales, donde los valores de las relaciones de equilibrio -especialmente los valores de los coeficientes de actividad y de las entalpías- dependen fuertemente de la composición, no resulta demasiado adecuado calcular las composiciones a partir de valores de constantes de equilibrio y de entalpías procedentes de la iteración anterior. Estos métodos son los más sensibles a la calidad de las estimaciones iniciales, pero también son más poderosos a la hora de tratar mezclas no ideales, de forma que en ocasiones se requiere aplicar primero otro método riguroso (BP o SR) para encontrar aproximaciones a la solución final que sirvan como estimaciones iniciales para el método SC. Para el desarrollo de una técnica SC que utilice el método de Newton-Raphson deben seleccionarse y ordenarse las variables desconocidas y las correspondientes funciones (ecuaciones MESH) que las contienen. Goldstein y Stanfield señalaron que cuando el número de componentes es elevado y hay pocas etapas resulta conveniente agrupar las ecuaciones por tipos, mientras que cuando hay muchas etapas pero pocos componentes es más eficaz agruparlas por la localización de las etapas. Esta última posibilidad, que es la que se desarrolla a continuación, ha sido descrita por Naphtali y Sandholm. Otros métodos SC, como el de Goldstein-Stanfiel, el de Ishii-Otto o el algoritmo“almost-band” de Gallum y Holland difieren del de Naphtali-Sandholm en la elección de las funciones y variables independientes a la hora de aplicar el método de Newton-Raphson. En vez de resolver simultáneamente las N(2c + 3) ecuaciones MESH (C ecuaciones M, c ecuaciones E, 1 ecuación H y 2 ecuaciones S para cada etapa), éstas se combinan para eliminar 2N variables, reduciendo el problema a la resolución simultánea de N(2c + 1) ecuaciones. Para ello se expresan las ecuaciones en términos de caudales de componente en vez de fracciones molares o másicas. Para ello se multiplica en primer lugar (2.30) por Vj y Lj, respectivamente, para dar:

METODO INSIDE-OUT Los métodos descritos previamente utilizan las temperaturas, caudales y composiciones como soluciones principales, que se utilizan para generar los valores de las constantes de equilibrio y de las entalpías a partir de correlaciones complejas. Esto se traduce en un cálculo iterativo en el que cada vez, los valores de ambas variables resultan eliminados y sustituidos por sus nuevos valores cada vez que cambian las variables MESH. El concepto dentrofuera (inside-out) invierte este proceso: se utilizan las correlaciones complejas para el cálculo de las relaciones de equilibrio y de las entalpías para generar parámetros correspondientes a modelos más sencillos, de forma que estos parámetros son característicos para una etapa del cálculo, y constituyen las variables para un bucle exterior. El bucle interior contiene la resolución del sistema de ecuaciones MESH y consiste en alguna variante de los métodos BP, SR o Newton 2N. Es decir, en el bucle interior las Kij y las Hj y hj se calculan mediante modelos aproximados en los que sólo se contempla la dependencia de la temperatura y manteniéndose constantes los parámetros de estos modelos. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones MESH en el bucle interior, se recalculan los valores de los parámetros de los modelos aproximados del bucle interior, repitiéndose el proceso hasta obtener parámetros concordantes en dos iteraciones sucesivas del bucle exterior A continuación se muestra un esquema de cómo se va incorporando el cálculo de las propiedades en cada iteración en cada tipo de método:

Otra diferencia de los métodos incide-out con respecto a BP, SR o SC es la elección de las variables de iteración, que para BP y SR son x, y, T, L y V, para SC son l, v, T y para incide-out son , en el bucle externo, los parámetros para los modelos aproximados, y en el interno están más relacionadas con los factores de deserción, S = KV/L. Aunque inicialmente el método sólo era aplicable a la separación de mezclas de hidrocarburos, pronto se desarrollaron extensiones y, en la actualidad, hay incluso simuladores que permiten su aplicación a sistemas reactivos.