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• Ulises Macedo

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UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

MONOGRAFIA:

ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS RECTANGULARES:

INTEGRANTES:

CORDOVA SANGAMA, CARLOS ALBERTO

DOCENTE:

MANUEL GARCÍA RAMÍREZ

CACATACHI- PERÚ

2013

RESISTENCIA DE MATERIALES ING. MANUEL ANGEL RAMIREZ GARCIA

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DEDICATORIA La presente monografía está dedicada a los estudiantes de Ingeniería civil y a nuestros pilares de motivación que son; nuestros padres, hermanos y amigos en la búsqueda del

conocimiento y deseos de

superación a seguir

investigando, contribuyendo de esta manera a la sociedad al desarrollo de ella misma. Y a nuestro Docente, que nos brindan su conocimiento y experiencia; fundamental para nuestra formación profesional.

EL INTEGRANTE

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AGRADECIMIENTO Mi agradecimiento va dirigido a todas las personas que confían en mí , en especial a nuestros padres que nos dan su ayuda incondicional, a nuestros docentes que nos brindan los conocimientos necesarios para seguir forjándonos como profesionales, y a nuestros compañeros que comparten nuestras mismas metas: las de ser unos grandes ingenieros civiles.

EL INTEGRANTE

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ÍNDICE DEDICATORIA………………….………………………………….…………... II AGRADECIMIENTO…………………………………………..….…………… III INTRODUCCIÓN………….…………………………………………………….V

CAPITULO I

1. FLEXIÓN PURA Y FLEXIÓN NO UNIFORME……………………………………………………………………….…6 1.01. CURVATURA DE UNA VIGA…………………………………..……7 1.02. CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA LA CURVATURA………….….9 1.03.DEFORMACIONES

UNITARIAS

LONGITUDINALES

EN

VIGAS…..............................................................................10 1.04. ESFUERZOS NORMALES EN VIGAS………………..…….…….14 1.05.ESFUERZOS

MÁXIMOS

EN

UNA

SECCIÓN

TRANSVERSAL……………………………………………………….17

CAPITULO II 2. ESFUERZOS

MÁXIMOS

EN

UNA

SECCIÓN

TRANSVERSAL…………………………………………………………....26 2.01. ESFUERZOS

CORTANTES

VERTICAL

Y

HORIZONTAL…..……………………………………………….…..26 2.02. OBTENCIÓN

DE

LA

FORMULA

DEL

ESFUERZO

CORTANTE………….………………………………………………28 2.03. DISTRIBUCIÓN DE LOS ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGARECTANGULAR…...........……..……………………….…..29 2.04. EFECTOS

DE

LAS

DEFORMACIONES

CORTANTES……………………………………………….……….30

CAPITULO III CONCLUSION………………….…………………………………………31

CAPITULO IV REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS…………………..…….……...........32

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INTRODUCCIÓN Hasta este momento se supone que ya ustedes saben cómo las cargas que actúan sobre una viga generan acciones internas (o resultantes de esfuerzos) en forma de fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Aquí nosotros queremos estudiar los esfuerzos y deformaciones relacionados con esas fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Si conocemos los esfuerzos y las deformaciones, podremos analizar y diseñar vigas sometidas a diversas condiciones de carga. Las cargas que actúan sobre una viga ocasionan que éstas se flexionen, con lo que sus ejes se deforman en una curva. Como ejemplo pongamos una viga en cantiléver sometido a una carga P en su extremo libre. (Ver foto y dibujo ilustrativo). El eje recto en un inicio se flexiona y adopta una forma curva, que es llamada curva de deflexión de la viga. Para facilitarnos el trabajo es conveniente construir un sistema de ejes de coordenadas donde el origen este localizado en un punto apropiado sobre el eje longitudinal de la viga.

Para este caso, colocamos el origen en el apoyo fijo. Suponemos que las vigas consideradas en esta parte de nuestros estudios son simétricas respecto al plano xy, lo que significa que el eje de las y es un eje de simetría de la sección transversal; además, todas las cargas deben de actuar en el plano xy.

En consecuencia, las deflexiones por flexión ocurren en este mismo plano, conocido como plano de flexión. De esta forma podemos decir que la curva de cortantes, lo que significa que el momento flexionante cambia al movernos a lo largo del eje de la viga. También podemos tener una combinación de un tramo de una viga sometida a flexión pura y otro tramo a flexión no uniforme.

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FLEXIÓN PURA Y FLEXIÓN NO UNIFORME.

Cuando analizamos una viga es muy común que debamos distinguir entre una viga sometida a flexión pura y flexión no uniforme. Una viga sometida a flexión pura es una viga bajo un momento flexionante constante; por tanto, ocurre solo en regiones de una viga donde la fuerza cortante es cero. (Recuerde que la derivada del momento no da el cortante y si la flexión es constante entonces el cortante es cero V = dM/dx =0

Como ejemplo de una flexión pura, consideremos una viga simple AB cargada con dos pares M1 que tienen la misma magnitud, pero que actúan en direcciones opuestas. Estas cargas producen un momento flexionante constante M= M1, a todo lo largo de la viga, como se observa en el diagrama de momento flexionante. Note que la fuerza cortante V es cero para todas las secciones transversales de la viga.

Por el contrario, la flexión no uniforme se refiere a flexión en presencia de fuerzas cortantes, lo que significa que el momento flexionante cambia al movernos a loo largo del eje de la viga. También podemos tener una combinación de un tramo de una viga sometida a flexión pura y otro tramo a flexión no uniforme. Si tenemos una viga cargada de forma simétrica (ver figura).

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Vemos que es un ejemplo de una viga que está parcialmente en flexión pura y parcialmente en flexión no uniforme, como se muestra en los diagramas de fuerza Cortante y momento flexionante.

La región central está en flexión pura porque la fuerza cortante es cero y el momento flexionante es constante.

CURVATURA DE UNA VIGA Cuando aplicamos diferentes cargas a una viga, el eje longitudinal adopta la forma de una curva, como ya vimos. Las deformaciones unitarias y los esfuerzos resultantes en la viga se relacionan directamente con la curvatura de la curva de flexión.

Veamos gráficamente el concepto de curvatura. Consideremos de nuevo un voladizo sometido a una carga P que actúa en el extremo libre de la viga. La curva de deflexión de esta viga se muestra en la parte inferior.

Para fines de análisis, identifiquemos dos puntos m1 y m2 sobre la curva de deflexión. El punto m1 se selecciona a una distancia arbitraria x del eje y el punto m2 se localiza a una pequeña distancia ds subsiguiente a lo largo de la curva. En cada uno de estos puntos dibujamos una línea perpendicular a la tangente a la curva de deflexión; es decir, perpendicular a la curva misma. Estas líneas normales se cortan en el punto O', que es el centro de curvatura de la curva de

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La distancia m1 O' de la curva al centro de curvatura se llama radio de curvatura ρ y la curvatura κ que se define como el reciproco del radio de la curvatura.

La curvatura mide cuan agudamente esta doblada una viga. Si la carga sobre la viga es pequeña, esta permanecerá casi recta, y el radio de curvatura será muy grande y la curvatura muy pequeña. Si la carga se incrementa, la flexión aumentara, el radio de curvatura será más pequeño y la curvatura será menor. De la geometría del triangulo O'm1m2, obtenemos ρ dθ = ds En donde dθ (medido en radianes) es el ángulo infinitesimal entre las normales y ds es la distancia infinitesimal a lo largo de la curva entre los puntos m1 y m2. Si combinamos amabas ecuaciones tenemos que:

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Esta ecuación para la curvatura se obtiene se encuentra en cualquier libro de cálculo básico y es válida para cualquier curva. Recuerden que “Si la curvatura es constante a todo lo largo de la longitud de la curva, el radio de curvatura también será constante y la curva será el arco de un circulo.

Si la viga es prismática y el material es homogéneo, la curvatura variara solo con el momento flexionante. En consecuencia, una viga en flexión pura tendrá curvatura constante y una viga en flexión no uniforme, curvatura variable.

CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA LA CURVATURA La convención de signos para la curvatura dependerá de la orientación de los ejes de coordenados. Pero en general trabajamos los signos de acuerdo al siguiente gráfico.

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DEFORMACIONES UNITARIAS LONGITUDINALES EN VIGAS.

Las deformaciones unitarias longitudinales en una viga se encuentran analizando la curvatura de la viga y Consideremos

las deformaciones asociadas.

AB de una viga en flexión pura sometida a momentos

flexionantes positivos M. La viga tiene inicialmente un eje longitudinal recto (el eje x en la figura) y que su sección transversal es simétrica respecto al eje y.

Debido a la acción de los momentos flexionantes, la viga se flexiona en el plano xy (plano de flexión) y su eje longitudinal adopta la forma de la curva circular (curva ss). La viga se flexiona con la concavidad hacia arriba, que es una curvatura positiva. Si analizamos las secciones transversales de la viga, como las secciones mn y pq, estas permanecen planas y normales al eje longitudinal.

POSTULADO DE BERNOULLI- NAVIER La simetría de la viga y su carga significa que todos los elementos de la viga deben deformarse de manera idéntica, lo que solo es posible si las secciones transversales permanecen planas durante la flexión.

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Este postulado es válido para vigas de cualquier material, sea elástico o inelástico, lineal o no lineal. Por supuesto, las propiedades del material, así como sus dimensiones deben de ser simétricas respecto al plano de flexión.

Debido a las deformaciones por flexión que mostramos en la figura, las secciones transversales mn y pq giran respecto de si mismas sobre ejes perpendiculares al plano xy. Las líneas longitudinales sobre la parte inferior de la viga se alargan, mientras que la de la parte superior se acortan. Así la parte inferior de la viga esta en tensión y la superior en compresión. En algún lugar en la frontera de la parte superior con la inferior existe una superficie en que las líneas longitudinales no cambian de longitud. Esta línea ss se llama superficie neutra de la viga.

Su intersección con cualquier plano transversal se llama eje neutro de la sección transversal. El resto de las líneas longitudinales entre los dos planos se alargan o s acortan con lo que se generan las deformaciones normales εx; y viene dado por la formula.

Ejemplo 1 Una viga de acero AB simplemente apoyada de longitud L =8.0 pies y altura h = 6.0 pulg., es flexionada por pares Mo que le dan la forma de arco circular con una Deflexión δ hacia abajo en el centro del claro. La deformación unitaria normal longitudinal (alargamiento) sobre la superficie inferior es e 0.00125, y la distancia desde la superficie inferior de la viga hasta la superficie neutra es de 3.0 pulg. Determine el radio de curvatura ρ, la curvatura κ y la deflexión δ de la viga. Nota: Esta viga tiene una deflexión relativamente grande, por ser grande su longitud en comparación con su altura (L/h=16), y también porque la

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deformación unitaria de 0.00125 es grande (más o menos igual a la longitud de fluencia del acero). Datos: L = 8 pies h = 6 pulg. εx = 0.00125 y = 3 pulg.

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ESFUERZOS NORMALES EN VIGAS Hemos visto que los elementos longitudinales de una viga están sometidos solo a tensión o a compresión, esto nos permite a nosotros entonces utilizar la curva de esfuerzo-deformación unitaria del material para poder determinar los esfuerzos a partir de las deformaciones unitarias. Los esfuerzos actúan sobre toda la sección transversal de la viga y varían en intensidad dependiendo de la forma del diagrama esfuerzo-deformación unitario y de las dimensiones de la sección transversal. Ya que vamos a trabajar en la dirección longitudinal (x-x), es mejor utilizar el símbolo σx para nombrar estos esfuerzos. La relación esfuerzo-deformación unitaria que se encuentra con más frecuencia es la ecuación para un material elástico (Ley de Hooke). σ = Eε En general, podemos resumir que la resultante de los esfuerzos normales consiste en dos resultantes de esfuerzo:

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1. una fuerza que actúa en la dirección X 2. un par de flexión que actúa alrededor del eje z. Sin embargo recordemos que la fuerza axial es cero cuando una viga esta sometida a flexión pura.

LOCALIZACIÓN DEL EJE NEUTRO Si queremos obtener la primera ecuación de estática, debemos considerar un elemento de área dA de acuerdo a la sección transversal de la figura anexa. El elemento esta localizado a una distancia y del eje neutro, por lo que la ecuación σx = -Eκy da el esfuerzo ζx que actúa sobre el elemento. La fuerza que actúa sobre el elemento es igual a ζxdA. Como no hay fuerza resultante en acción sobre la sección transversal, la integral de ζxdA sobre el área A de toda la sección transversal debe de ser nula; entonces la primera ecuación de estática es:

Tanto la curvatura κ como el modulo de elasticidad E son constantes diferentes de cero en cualquier sección transversal de una viga flexionada, así que bien se pueden eliminar de la ecuación y obtenemos:

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Esta ecuación nos indica que el momento estático del área de la sección transversal, evaluado con respecto a su eje z, es cero. En otras palabras, el eje z debe pasar por el centroide de la sección transversal. Y, puesto que z es entonces el eje neutro podemos llegar a la siguiente conclusión: RELACIÓN Momento – Curvatura. La segunda ley de la estática nos dice que la resultante de momento de los esfuerzos normales ζx que actúan sobre la sección transversal es igual al momento flexionante M. Una demostración de donde sale la siguiente formula está muy bien descrita en su libro, en la pagina 311. Lo más importante es saber que para expresar la curvatura en términos del momento flexionante en una viga la fórmula es:

Esta fórmula es conocida como la ECUACIÓN MOMENTO CURVATURA. Esta ecuación nos dice que la curvatura es directamente proporcional al momento flexionante M e inversamente proporcional a la cantidad EI, llamada rigidez de flexión de la viga.

FORMULA DE LA FLEXIÓN.

Ya hemos localizado el eje neutro y tenemos la relación momento curvatura, entonces podemos determinar los esfuerzos en términos del momento

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flexionante. Sustituyendo la expresión para la curvatura en la expresión para el esfuerzo ζx, obtenemos:

Esta ecuación llamada formula de la flexión, muestra que los esfuerzos son directamente proporcionales al momento flexionante M e inversamente proporcionales al momento de inercia I de la sección transversal. Además los esfuerzos varían en sentido lineal con la distancia y desde el eje neutro, como señalamos. El eje neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal cuando el material obedece la Ley de Hooke y no existen fuerzas axiales actuando sobre la sección transversal. Antes. Los esfuerzos calculados con la formula de la flexión se les llama esfuerzos de flexión o esfuerzos flexionantes.

ESFUERZOS MÁXIMOS EN UNA SECCIÓN TRANSVERSAL.

Los esfuerzos de flexión máximos de tensión y de comprensión que actúan en Cualquier sección transversal dad ocurren en puntos localizados a la mayor distancia del eje neutro. Llamemos c1 y c2 las distancias desde el eje neutro a los

elementos

extremos

en

las

direcciones

positivas

y

negativas,

respectivamente. Los esfuerzos normales máximos correspondientes ζ1 y ζ2 son:

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En donde:

Las cantidades S1 y S2 se conocen como módulos de sección del área de la sección transversal. Los módulos de sección tienen dimensiones longitudinales a la tercera potencia (mm3 o pulg.3).

FORMAS DOBLEMENTE SIMÉTRICAS. Si la sección transversal de una viga es simétrica con respecto al eje z y al eje y (sección transversal doblemente simétrica), entonces c1 = c2 = c y los esfuerzos de tensión y compresión son numéricamente iguales.

En donde

Es el único módulo de sección transversal.

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Sección Transversal Rectangular.

Sección Transversal Circular.

Ejemplo 2 Un alambre de acero de alta resistencia de diámetro d se dobla alrededor de un tambor cilíndrico de radio Ro. Determine el momento flexionante M y el esfuerzo deflexión máximo ζmax en el alambre, considerando que d = 4 mm y Ro = 0.50 m. (el alambre tiene un modulo de elasticidad E = 200 GPa y limite proporcional ζp1 = 1,200 Mpa). Datos: d = 4 mm Ro = 0.50 m E = 200 Gpa ζp1 = 1,200 Mpa

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Radio de Curvatura: El radio de curvatura del alambre doblado es la distancia desde el centro del tambor hasta ρ = Ro + d/2 500 + (4/2) = 502 mm Momento Flexionante El momento flexionante en el alambre puede encontrarse a partir de la relación momento-curvatura: EI 2EI EI

2EI

M = ------- = -----------Ρ

2Ro + d

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Ejemplo 3 Una viga simple AB de claro L = 22 pies (ver figura) sustenta una carga uniforme de intensidad q=1.5 klb/pie y una carga concentrada P=12 klb. La carga uniforme incluye el peso de la viga. La carga concentrada actúa en un punto situado a 9.0 pies del extremo izquierdo de la viga. La viga esta hecha de madera laminada pegada y tiene una sección transversal con ancho b = 8,75 pulg. Y altura h = 27 pulg. Determine los esfuerzos máximos de tensión y compresión de la viga debido a flexión. Datos: L = 22 pies b = 8.75 pulg. h = 27 pulg. q= 1.5 klb/pie P = 12 klb

Solución: Lo primero es calcular las reacciones en los apoyos A y B, con ΣFy = 0 y ΣM = 0. Los resultados son RA = 23.59 klb y RB = 21.41 klg. Mmax = 151.6 klb-pie Calculo del módulo de sección = S = bh2/6 = 1/6 (8.75) (27)2 = 1063pulg3 (151.6 klb-pie) (12pulg/pie)

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ζc = ζ1 = - Mmax/S = -1710 ln/pulg2

DISEÑO DE VIGAS PARA ESFUERZOS DE FLEXIÓN. Cuando un ingeniero va a diseñar una viga requiere la consideración de muchos factores, entre ellos el tipo de estructura que se va a construir (avión, automóvil, edificio (escuela, hospital, etc.), carretera, etc.), los materiales a usarse, las cargas que se van a soportar, el daño ecológico que podemos producir y los costos. Sin embargo desde el punto de vista de la mecánica de materiales y la resistencia de los materiales la tarea se reduce a seleccionar una forma y tamaño de vigas tales que los esfuerzos reales en esta no excedan los esfuerzos permisibles del material. Al diseñar una viga para resistir los esfuerzos de flexión, por lo general se inicia calculando el módulo de sección requerido; por ejemplo (el mas sencillo) si nuestra viga tiene una sección transversal doblemente simétrica y los esfuerzos permisibles son los mismos en tensión y en compresión, podemos calcular el modulo requerido dividiendo el momento flexionante máximo entre el esfuerzo permisible en flexión del material. Mmax S = -----------ζperm

VIGAS DE PERFILES Y TAMAÑOS ESTANDARIZADOS

Las dimensiones y propiedades de muchos tipos de vigas aparecen en los manuales de ingeniería; por ejemplo, los perfiles y tamaños de vigas de acero estructural están estandarizados por el American Institute of Steel Construcción (AISC), quienes publican un manual que da sus diferentes propiedades (peso por pie, área, altura, espesor del alma, ancho y espesor promedio del patín (si

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es el caso), y en los ejes X-X y Y-Y, momento de inercia, modulo de sección y radio de giro). Al final de este capítulo hemos anexado algunas tablas (abreviadas) que nos permitirán resolver los ejercicios (en unidades inglesas, por el uso de la madera aquí en dominicana). Los perfiles de acero estructural reciben designaciones como W30 x 211. Esto significa que el perfil tiene una forma de W (llamado también perfil de patín ancho), con un peralte nominal de 30 pulgadas y un peso de 211 lb por pie de longitud. Lados y el espesor. Por ejemplo un perfil ∟8 x 6 x 1 denota un angular con lados desiguales, uno de 8 pulg., el otro de 6 pulg. de longitud y con un espesor de 1 pulg.

Eficiencia Relativa de Diferentes Formas de Vigas

Uno de los objetivos al diseñar una viga es usar un material con eficiencia, dentro de las restricciones que nos impone el diseño o la función, la apariencia y los costos de fabricación, entre muchas otras cosas. Desde el punto de vista de la resistencia, la eficiencia en flexión depende principalmente de la forma de la sección transversal. En particular la viga más eficiente es aquella en que el material se localiza tan lejos como sea práctico del eje neutro. Cuanto más lejos este una cantidad dada de material del eje neutro, mayor resulta el modulo de sección y cuanto mayor es el modulo de sección, mayor es el momento de flexión que puede resistirse (para un esfuerzo permisible dado).

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Ejemplo 4 Una viga de madera simplemente apoyada con claro L = 12 pies, sustenta una carga uniforme q = 420 lb/pie. El esfuerzo permisible de flexión es de 1,800 lb/pulg2, la madera pesa 35 lb/pie3 y la viga esta soportada en sentido lateral contra pandeo lateral y volteo. Seleccione el tamaño adecuado para la viga utilizando la tabla en el apéndice F.

Datos: q = 420 lb/pie L = 12 pie ζperm = 1800 pie/pulg2 Densidad γ = 35 lb/pie3 Solución:

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CAPITULO II ESFUERZOS MÁXIMOS EN UNA SECCIÓN TRANSVERSAL.

Cuando una viga está sometida a flexión pura, las únicas resultantes de esfuerzo son los momentos flexionantes y los únicos esfuerzos son los esfuerzos normales que actúan sobre las secciones transversales. Sin embargo, la mayoría de las cargas están sometidas a cargas que producen tanto momentos flexionantes como fuerzas cortantes (flexión no uniforme). En estos casos se desarrollan esfuerzos normales y cortantes en la viga. Los esfuerzos normales se calculan con la fórmula de la flexión, siempre que la viga está construida con un material elástico lineal. Los esfuerzos cortantes será lo que analizaremos de aquí en adelante.

ESFUERZOS CORTANTES VERTICAL Y HORIZONTAL.

Consideremos una viga de sección transversal rectangular (ancho b y peralte h) sometida a una fuerza cortante positiva V. Hipótesis para los esfuerzos por cortante 1. Es razonable suponer que los esfuerzos cortantes η que actúen sobre la sección transversal son paralelos a la fuerza cortante; es decir, paralelos a los lados verticales de la sección transversal.

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2. También cabe suponer que los esfuerzos cortantes están uniformemente distribuidos a través del ancho de la viga, aunque ellos pueden variar según el peralte. Si tenemos en cuenta las dos hipótesis anteriores podemos determinar la intensidad del esfuerzo cortante en cualquier punto sobre la sección transversal. Para fines de hacer el análisis, volvamos a aislar un pequeño elemento mn de la viga (figura a) cortando entre dos secciones transversales adyacentes y entre dos planos horizontales. Tome dos vigas rectangulares idénticas sobre apoyos simples y cargan con una fuerza P (ver figura). Si la fricción entre ambas vigas es pequeña, se flexionaran en forma independiente

Cada viga estará en compresión arriba de su propio eje neutro y en tensión debajo de este; por la tanto la superficie inferior de la viga superior se deslizara con respecto a la superficie superior de la viga inferior.

OBTENCIÓN DE LA FORMULA DEL ESFUERZO CORTANTE

Visto todo lo anterior podemos hacer el análisis para obtener los esfuerzos cortantes η en una viga rectangular. Sin embargo, en vez de evaluar los esfuerzos cortantes verticales que actúan sobre una sección transversal es

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más fácil evaluar los esfuerzos cortantes horizontales que actúan entre capas de la viga. Por supuesto, los esfuerzos cortantes verticales tienen la misma magnitud que los esfuerzos cortantes horizontales.

DISTRIBUCIÓN DE LOS

ESFUERZOS CORTANTES EN

UNA VIGA RECTANGULAR

Determinemos ahora la distribución de los esfuerzos cortantes en una viga de sección transversal rectangular. El momento estático Q de la parte sombreada del área de la sección transversal se obtiene multiplicando el área por la distancia de su propio centroide al eje neutro:

Sustituyendo la expresión para Q en la fórmula del cortante, obtenemos:

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El valor máximo del esfuerzo cortante ocurre en el eje neutro (y1 = 0) donde el momento estático Q tiene su valor máximo. Sustituyendo y1 = o en la ecuación anterior tenemos:

En donde A = bh es el área de la sección transversal. Así, el esfuerzo cortante máximo en una viga de sección transversal rectangular es 50% mayor que el esfuerzo cortante promedio V/A.

EFECTOS DE LAS DEFORMACIONES CORTANTES Puesto que el esfuerzo cortante η varia parabólicamente sobre el peralte de una viga rectangular, podemos deducir que la deformación unitaria cortante γ = η / G varia de igual forma.

Como resultado de esas deformaciones unitarias cortante, las secciones transversales de la viga, que eran superficies planas en un inicio, resultan alabeadas. Esta deformación se muestra en la figura anexa, en que las secciones transversales mn y pq planas al principio se han vuelto superficies curvas m1n1 y p1q1, en que la deformación unitaria cortante máxima se presenta en la superficie neutra.

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CAPITULO IV REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

BEER, Ferdinand y JOHNSTON E. R.. Mecánica de Materiales. Colombia: McGRAWHILL, 1993. 2ª edición. [2] FAIRES, V. M.. Diseño de Elementos de Máquinas. México: Editorial Limusa, 1995. 4ª Reimpresión.

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