• Author / Uploaded
• eduardo cueva

• Categories
• Esfuerzo cortante
• Doblar
• Ingeniería de productos químicos
• Mecánica de Medios Continuos
• Física y matemáticas

Citation preview

10

ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS RECTAS

INTRODUCCION Se trata de los elementos estructurales denominados vigas, cuyas cargas se aplican en forma perpendicular al eje longitudinal de la misma; cuando se analiza una viga dentro de ella encontramos fueras internas dichas fuerzas son: -

La fuerza axial La fuerza cortante y Momento flector

Ejemplo:

Figura Nº 01, Fuerza cortante y Momento flector de vigas

En los esfuerzos originados en una viga por la fuerza cortante se utilizará un enfoque indirecto. Se supone una distribución de esfuerzos causada por la flexión, la cual junto con los requisitos del equilibrio, resuelve el problema de los esfuerzos cortantes. Primero

es

necesario

establecer

que

la

fuerza

cortante

está

ligada

inseparablemente a un cambio en el momento flexionante en secciones contiguas de una viga. Por tanto, si existe una fuerza cortante y momento flexionante a la 1

vez en una sección transversal; se demostrará que un momento flexionante diferente existirá en una sección adyacente, aunque la fuerza de corte pueda permanecer constante. Para entender de manera cómo funciona el esfuerzo cortante en vigas, conviene examinar un ejemplo. Se considera varias tablas colocadas una encima de otra, como se ve en la (figura 10.1a y 10.1b). Si dichas tablas trabajan como una viga y no están unidas entre sí, se producirán deslizamientos en sus superficies de contacto. Este deslizamiento de tablas se puede evitar cuando se efectúa La unión de estas tablas con clavos, pernos o pegamentos, que hace que funcionen como un solo elemento de viga que significa que el esfuerzo cortante es absorbido por estos elementos de unión.

Figura Nº 02 Tablones no unidos entre si

LIMITACIONES -

Se tratara de esfuerzos de vigas rectas con disposición en planta, el estudio o análisis de los esfuerzos cortantes en vigas curvas queda fuera del alcance de esta.

-

Se tratara las vigas de sección transversal simétrica y se supondrá que las fuerzas aplicadas actúan perpendicularmente al eje de simetría y al eje longitudinal de la viga.

-

Los esfuerzos cortantes son válidas para viga de material elástico y lineal con deflexiones pequeñas. 2

-

El Modulo de elasticidad en tracción es igual al módulo de elasticidad en comprensión

-

La fórmula de esfuerzo cortante no es aplicable en secciones triangulares o semicirculares para su mejor aplicación debemos tener en cuenta:

1- Los bordes de la sección deben ser paralelos al eje y 2- Los esfuerzos cortantes deben ser uniformes en el ancho de la sección transversal. RELACION ENTRE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE FLUJO CORTANTE Considerar una viga constituida por varias tablas continuas, cuya sección transversal se muestra en la figura Nº 03 a, la viga es de sección rectangular, pero dicha limitación no es necesario. Para hacer que esta viga actué como un elemento integral, se supondrá que las tablas están unidas a intervalos por pernos o clavos verticales. Un elemento de esta viga aislado por dos secciones paralelas, las cuales son perpendiculares al eje de la viga se ve en la figura Nº 03-b. Si el elemento en dicha figura se somete a un momento flexionante  MA en el extremo A , y a uno  MB en el extremo B , se producen esfuerzos por flexión que varían linealmente a partir de sus respectivos ejes neutros, y en un punto a una distancia “y” del eje neutro son MBy / I

en el extremo B y MAy / I

en el

extremo A . Del elemento de viga figura Nº b se aísla la tabla superior, como se indica en la figura Nº 03 c, las fibras de esta tabla más próximas al eje neutro están localizadas por las distintas y1 Luego como el producto de esfuerzos por área es igual a una fuerza, se podrán determinar las fuerzas que se ejercen perpendicularmente a los extremos A y B de esta tabla. En el extremo B las " " fuerzas que actúa en un área infinitesimal dA a una distancia y del eje neutro es

 MBy / I dA . La fuerza total sobre el área 3

"

fghj" A fghj , es la suma (o integral) de

las fuerzas elementales sobre dicha área. Designado por FB la fuerza total que se ejerce normalmente al área

"

fghj" y recordando que, en una sección transversal,

MB e " I " son constantes, se obtiene la siguiente relación:

Figura Nº 03 (extraído del goole.com)



FB 

areafghj



M BY M dA  B I I



ydA  

areafghj

MB Q I

1

Donde

 Q   ydA  A fghj y

2

Donde:

Q = Primer momento ó momento estático del área " fghj" respecto al eje neutro. 

Por definición y es la distancia desde el eje neutro hasta el centroide del área "

A fghj , en la figura Nº 03 se ilustran maneras de determinar “ Q ” .

4

Figura Nº 04 Significado de los términos para calcular Q

La ecuación 2 proporciona un medio conveniente para calcular la fuerza longitudinal que actúa en dirección normal a cualquier parte seleccionada del área transversal. En seguida se considera el extremo “A” del elemento figura Nº.03. Se puede expresar entonces la fuerza total normal al área "abde " como.

FA  

MA I



abde

ydA  

M AQ I

3

Donde el significado de Q es el mismo que la ecuación .2, puesto que para vigas "

prismáticas un área como la

fghj" es igual a la "abde " . Por lo tanto se presentan

los siguientes casos: -

Si los momentos en A y B fueran iguales, por lo tanto, se deducirá que

FA  FB y el perno que aparece en la figura realizara la función de mantener unidas las tablas, y no sería necesario resistir ninguna fuerza cortante. -

Si los momentos en A y B , M A no es igual a M B . Que es siempre el caso cuando hay fuerzas cortantes en secciones sucesivas, FA tampoco es igual a FB . Se desarrolla más efecto de empuje (o de tracción) en un extremo de una “tabla” que en el otro, puesto que en la sección actúan diferentes esfuerzos normales desde los dos lados. En consecuencia, si

M A  M B , el equilibrio de las fuerzas horizontales en la figura Nº 03 d se puede obtener solo si se desarrolla una fuerza resistente horizontal R en el

5

perno. Si

Mb

> M A , entonces FB  FA  R tiende a cortar al perno por el

plano de la tabla "e dfg " . Si se fuera a determinar la fuerza cortante que actúa a través del perno al nivel "km " , figura Nº 03 a, las dos tablas superiores se deben considerar como un solo elemento. Si M A  M B y la longitud del elemento de viga es solo dx , los momentos flexionante de las secciones consecutivas cambian en una infinitesimal. De modo que si el momento flexionante en A es M A , el momento de flexión en B es

M B  M A  dM así mismo, en la misma distancia dx las fuerzas longitudinales FA y

FB difieren en una fuerza infinitesimal dF , es decir, FB  FA  dF ,

Sustituyendo estas relaciones en la expresión para anteriormente, en la que las áreas " fghj" y

FB

y

FA

hallada

" abde" se consideran iguales, se

obtiene una expresión para la fuerza diferencial longitudinal dF en (empuje o en tracción):

 M  dM  M dF  FB  F A   A Q   A I    I

dM  Q Q  I 

4

En vez de trabajar con una fuerza dF que se desarrolla en una distancia dx , es más significativo obtener una fuerza similar por unidad de longitud de viga. Esta cantidad se obtiene dividiendo dF entre dx . Físicamente, esta cantidad representa la diferencia entre FB y FA para un elemento de viga de longitud unitaria. La cantidad dF / dx se designara por q y recibe el nombre de flujo de cortante (o flujo cortante), y sus unidades serán, por ejemplo, Kgf/m o N/m. Luego, recordando que dM / dx  V se obtiene la siguiente expresión para el flujo cortante en vigas:

6

dF dM q  dx dx I

VA



ydA 

area fghj

q



fghj y

I



VQ I

VQ I

5

Dónde:

I  Es el momento de inercia de toda el área transversal con respecto al eje neutro. V  Fuerza cortante Q   ydA, Momento estático.

q = flujo de cortante o flujo cortante. La ecuación Nº .5 es muy útil para determinar la interconexión necesaria entre dos elementos de un mismo material o diferente material que componen una viga, son los denominados estructuras mixtas.

Figura Nº 05 Secciones mixtas

Se ilustra por medio de un ejemplo numérico

Problema Se trata de construir un poste con la unión de dos tablones largos forman una viga de sección “T”, como se indica en la figura,; si esta viga trasmite una fuerza de 7

corte vertical constante de 150 kgf encuentre el espaciamiento necesario de los clavos que fijan dos tablones para hacer que la viga trabaje como si fuera una sola pieza. Suponer que la fuerza cortante permisible por el clavo es de 70kgf.

DATOS Cortante = 150kg-f Fuerza cortante permisible = 70kg-f Se trata de determinar el flujo cortante q 

y

VQ I

25 * 50 * 75 * 2  125 * 50 * 250  87.50mm 2 * 75 * 50  50 * 250 

Hallando Q   ydA  y A

I x x

75  503 50  2503  2  266,666,666.70mm 4 3 3

I x  x  I 0  Ad 2 , I 0  I x  x  Ad 2

I 0  266,666,666.67  2  50  75  50  250  87.5 2 I 0  113,541,666.70mm 4  113.54  106 m 4 

Q  y A  87.50  50 / 2   50  200  625x 10  6 m 3

q

150  625x 10 6  825.70kgf / m 113.54x 10  6

8

Se transmitirá un flujo de cortante de 825.70 kgf/m de un tablón a otro tablón por cada metro lineal de viga y a lo largo de la viga. Si cada clavo resiste 70kgf, le corresponde una distancia de,

d

70kgf  0.085m, a lo largo de la viga. Por lo tanto los clavos deben 825.70kgf / m

espaciarse a 8.5 cm. FORMULA DEL ESFUERZO CORTANTE PARA VIGAS Esta fórmula se puede obtener modificando la del flujo de cortante.

Figura Nº 06 Esfuerzos cortantes en una viga

En una viga maciza la fuerza resistente dF se puede desarrollar solo en el plano de la sección longitudinal paralela al eje de la viga. Por consiguiente, suponiendo que el esfuerzo cortante  esta uniformemente distribuido a través de la sección de anchura t , el esfuerzo de corte en el plano longitudinal se puede obtener dividiendo dF entre el área t dx . Esto da el esfuerzo cortante horizontal  . Sin embargo,

tratándose

de

un

elemento

infinitesimal,

esfuerzos

cortantes

numéricamente iguales actúan en los planos mutuamente perpendiculares, como se observa en la figura Nº 05b. De modo que la misma relación da simultáneamente el esfuerzo cortante longitudinal y el esfuerzo de corte en el plano de la sección vertical desde la sección longitudinal

9



dF dM A y   dxt dx It Esta ecuación se puede simplificar, puesto que según la ecuación

dM  V , y por dx

la ecuación q  VQ / I . Por tanto. 

VA Y VQ q t   It It t

6

La ecuación .6 es la importante formula que sirve para evaluar los esfuerzos cortantes en una viga.

V  Es la fuerza cortante total en una sección, I  Es el momento de inercia de toda el área transversal con respecto al eje neutro, Tanto V como I son constantes en una sección a través de una viga.

Q  Es el momento estático con respecto al eje neutro del área parcial de la sección transversal a un lado de la sección longitudinal con unidad m 3, pie3, pulg3 etc. 

y  Es la distancia desde el eje neutro de la viga hasta el centroide del área parcial

A fghj  Finalmente,

t  Es la anchura de la sección longitudinal que generalmente es igual al espesor o ancho del elemento. El esfuerzo cortante en secciones longitudinales a través de la viga toma valores distintos, pues los de Q y t difieren para dichas secciones.

Aplicaciones Calcular el esfuerzo cortante en una viga de sección transversal rectangular maciza.

10

Figura Nº 06 Esfuerzos cortantes en una viga rectangular



VQ V  It Ib

V t I



ydA 

fghd

V h/2 Vb h / 2 byd  yd y y Ib y1 Ib y1

2   y2  V  h  2     Y1    2 I  2   2  y1  h/2

Nota: En una viga de sección rectangular tanto el esfuerzo cortante horizontal como vertical, varían parabólicamente y el valor del esfuerzo máximo del esfuerzo cortante se produce cuando y1  0

y1  0

 max

V h2    2I 4

 max 

Vh 2 3 V     1 2  A 8  bh 3 12

3V 3   medio 2b  h 2

 medio 

V A

ESFUERZO CORTANTE EN VIGA DE SECCION TRANSVERSAL CIRCULAR. Cuando una viga tiene una sección transversal circular, aunque no hay una manera simple de encontrar los esfuerzos cortantes que actúan sobre la sección transversal, podemos determinar con facilidad en el eje neutro (donde los esfuerzos son máximos) mediante hipótesis razonables sobre la distribución de los esfuerzos.

11

Supongamos que los esfuerzos actúan en paralelo al eje “y” y que tienen intensidad constante a través del ancho de la viga del punto p al punto q . Como estas hipótesis son las mismas que las usadas para obtener la formula  

VQ , It

podemos utilizar la fórmula del cortante en el cálculo de los esfuerzos en el eje neutro.

Figura Nº 06 Esfuerzos cortantes en una viga circular

 r2 Q    2

Q  Ay

t  2r

 max

I

 4r  2r 3   3  3 

 r4 4

2r 3 VQ 3  4V  4    4 It 3A 3 r 2r 4 V

Esta ecuación hace ver que el esfuerzo cortante máximo en una viga circular es igual a 4/3 veces el esfuerzo cortante promedio V / A . Si una viga tiene una sección transversal circular hueca podemos suponer de nuevo con una exactitud razonable que los esfuerzos cortantes en el eje neutro son paralelos al eje “y” y que están uniformemente distribuidos en la sección. 12

Figura Nº 06 Esfuerzos cortantes en una viga circular hueca



VQ It

I

 4

r

 r14

4 2



4r  r 2 2r 3 2 3   r2  r13 3 2 3 3





Q y A



  2r2  r1  ,    r22  r12  Donde r1 y r2 son los radios interno y extremo de la sección transversal y tenemos el esfuerzo cortante máximo.

 max

V





2 3 r2  r13 3





4V r23  r13 VQ     4 It 3 r24  r14 r2  r1  5 r2  r1 2r2  r1  4

 max 

 max 

 max 









 r

4V r2  r1 r22  r2 r1  r12



3 r  r 2 2

2 1



2 2

4V r22  r2 r1  r12



3 r  r



2 2

2 1

r

2 2



3A r  r

2 1

r



2



2 1

4V r22  r2 r1  r12 2 2

r

r

2 1





,

,





 r1 



2 2 Pero A   r2  r1

si r1  0

Problema 13



 max 

4V 3A

Una viga de madera tal como se muestra en la figura está cargada con una fuerza

P si a = 0.50m y la tensión máxima admisible en flexión es 140Kg/cm2 y la tensión cortante horizontal de 8 Kg/cm2. Determinar el mayor valor que puede tener la carga 

 max 

140

M M 6M 650P    2  1 2 bh S bh 2 bh 6

Kgf 300P 300P   2 2 cm bh 10  152

P  1,050Kgf

Tmax 

3 Vmax 3P   2 A 2  10  15

8Kgf 3 P   2 2 10  15 cm   800Kgf

El máximo valor que puede tener estos dos valores es 800. kg. Por lo tanto la tensión cortante determina la carga admisible máxima.

Problema Una viga metálica, L  4 pies está cargada como se muestra en la figura la carga incluida su peso es de 180 lb/plg, la sección de la viga es rectangular, ¿determinar los esfuerzos normal  c y  c en un punto c y localizado a 1.0 plg. Debajo de la parte superior de la viga y a 10 plg, del soporte derecho.

14

4320 24 4320 14 Vc  2,520lb  x x 14 24  2,520  4320  Mc    10  34,200lb  p lg 2  

I

bh 3 1   1.0 p lg 4.0 3  5.33 p lg 4 12 12

1) Esfuerzo Normal en el Punto C MY 34,200  1.0 p lg   6,416.51lb / p lg 2 I 5.33 p lg 2) Esfuerzo cortante en el punto c

c  





c 

VQ It

c 

2520lb  1.5 p lg 3  709.19lb / p lg 2 4 5.33 p lg  1.0 p lg

Q Y A

Y  1.5 p lg

A  1.0 p lg 1 p lg  1 p lg 2

Q  1 p lg 2  1.5 p lg  1.5 p lg 3

Problema Considerar la viga en voladizo sometida a la carga aislada de 5000 kg, tal como se muestra en la figura. La sección es de forma de T invertida. Hallar el esfuerzo cortante a 4cm de la cara superior.

15

1.- Hallado el centro de gravedad. 

Y

I

 YdA  4  6  2  4  14  7  4  6  2  4.69cm A

4  6  4  14  4  6

1 1 1 6  4 3   4  14 3   6  4 3  3914.67cm 4 3 3 3

3914.67cm 4  I c  6  4  2  14  4  4.692 VQ  Q   VdA fghj Ib

I c  1627.10cm 4

La tensión constante a 4cm de la cara superior de la viga Q  4  4  7.31  116.96cm 3



5000 116.96  89.85Kg / cm 2 1627.104

Bibliografía Hibbeler, R. (1998). Mecanica de Materiales. Mexico: Pretince - Hall Hispanoamericana.

16

Mott, R. L. (1996). Resistencia de Materiales Aplicada. Mexico: Pearson Educacion. Vable, M. (2002). Mecanica de Materiales. Mexico: Oxford University Press.

17