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• Renzo Alain

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El concepto de Derivada Historia de la derivada Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:  

El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge) El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

Siglo XVII Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.

Newton y Leibniz A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por

sus

predecesores

los

que

hoy

llamamos

«derivadas»

e

«integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas

(reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo). Isaac Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo. Gottfried Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: Cálculo diferencial y Cálculo integral, así como los símbolos de derivada

y el símbolo de la integral ∫.

Conceptos y Aplicaciones El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados

en

el

concepto

las matemáticas previas,

como

de límite, el

Álgebra,

el

cual

separa

la Trigonometría o

la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es

necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de

, se considera la derivada como la

pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto

. Se puede

aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia

entre

los

dos

puntos

que

determinan

una

recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad. Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación. Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

Definiciones de derivada Esquema que muestra los

En

terminología

incrementos de la función

la diferenciación manifiesta

clásica, el

coeficiente en que una cantidad en x y en y. cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad . En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc. En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En

nuestro

la gráfica de coeficiente

caso, la del

observando derecha,

que

el

hablamos

vendría representado en el punto de la función por el resultado de la división

representada

relación

,

que

como

por

la

puede

comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto

de la función. Esto es fácil de entender puesto que

el triángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto

, por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura

proporcional el resultado de

es siempre el mismo. Esta noción

constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

Definición como cociente de diferencias La derivada de una función

es la pendiente geométrica de la recta

tangente del gráfico de

. Sin el concepto que se va a definir, no

en

es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente:

. La idea es aproximar la línea tangente con

múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las

Recta secante entre f(x)

líneas secantes próximas, se elige un

y f(x+h).

número

relativamente

representa

un

pequeño en

pequeño.

cambio

relativamente

, el cual puede ser positivo

o negativo. La pendiente de la recta que pasa

por

los

dos

y

puntos

es:

,

Expresión

denominada «cociente de Newton». La derivada de

en

es entonces el límite del valor del cociente

diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

. Si la derivada de

existe en todos los puntos

, se puede definir la

derivada de

como la función cuyo valor en cada punto

derivada de

en

. Puesto que sustituir

es la

por 0 produce una división

por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la

del denominador. Y eso es posible

fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

Continuidad y Diferenciabilidad Una condición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivable en un punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una función continua es aquella en la cual pequeños incrementos en los

elementos del dominio de la variable dependiente produce pequeños incrementos en el valor de dicha función, de manera que . Haciendo estos incrementos cada vez más pequeños, las variaciones se hacen más pequeñas; cuando estos se aproximan a cero, en el límite, , con lo que se obtiene, f(x)=y. Para un punto particular a, quiere decir que

, y si este último

límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con ,

es

continua

en

el

punto a. Como consecuencia lógica, toda función derivable en el intervalo abierto I, es continua en I.

Condición no recíproca La

función valor

La relación no funciona a la inversa: el

absoluto no tiene derivada

que

una

función

sea

continua

no

en el punto (0,0).

garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean iguales pero las derivadas laterales no; en este

caso

concreto,

la

función

presenta un punto anguloso en dicho punto. Un

ejemplo:

recurrente

en

la

literatura

usual,

puede

ser

función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto Dicha función se expresa:

la .

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan:

Cuando

vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes.

Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo. De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable. Sin embargo, la función y=x|x|es diferenciable para todo x. Hállese su función derivada. En otros términos, que una función sea continua es una condición necesaria para que dicha función sea diferenciable. (Ver "Análisis matemático" de Apóstol.)

Derivada de una función Considerando

la función f definida

en

el intervalo abierto I y

un

punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto se define como sigue:

, si este límite existe, de lo contrario,

,

la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática. Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto

de

cálculo

infinitesimal.

También

puede

definirse

alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera: La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado más con

la

velocidad

instantánea

del

movimiento

uniformemente

acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva. No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado. Ejemplo: Sea la función cuadrática f(x)= x2 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta función para todo punto x ∈ R , puesto que es continua en todos los puntos de su dominio , mediante el límite de su cociente de diferencias de Newton. Así,

Notación Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una función, se escribe la derivada de la función varios modos.

Notación de Newton

respecto al valor

en

La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

, y así sucesivamente. Se lee «punto

» o «

punto». Actualmente está en desuso en

Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable. Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas que involucran la variable tiempo, como variable independiente; tales como velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se emplea para las primeras y segundas derivadas.

Notación de Leibniz Otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de , se escribe:

También puede encontrarse como de

( o

de

) con respecto a

,

o

. Se lee «derivada

». Esta notación tiene la ventaja de

sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales. Con esta notación, se puede escribir la derivada de

en el punto

de dos modos diferentes:

Si

, se puede escribir la derivada como , Las derivadas

sucesivas

se

expresan como

enésima

derivada de

o ,para la

o de

respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

La cual se puede escribir como

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la

cadena,

porque

los

términos

«d»

parecen

cancelarse

simbólicamente:

En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan. Ciertamente, Leibnitz (sí) consideró la derivada dy/dx como el cociente de dos «infinitésimos» dy y dx, llamados «diferenciales». Estos infinitésimos no eran números sino cantidades más pequeños que cualquier número positivo.

Notación de Lagrange

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de

en el punto , se

escribe: para la primera derivada, para la segunda derivada, para la tercera derivada, para la enésima derivada (

). (También se pueden usar

números romanos). Se lee «efe prima de equis» para la primera derivada, «efe dos prima de equis» para la segunda derivada, etc. Para la función derivada de en

, se escribe

de

en

. De modo parecido, para la segunda derivada

, se escribe

, y así sucesivamente.

Notación de Euler o «

sub

(Notaciones de Euler y Jacobi, respectivamente) se lee de »,

y

los

símbolos

D

y

∂

deben

entenderse

como operadores diferenciales.

Cálculo de la derivada La derivada de una función, en principio, puede ser calculada de la definición, mediante el cociente de diferencias, y después calcular su límite. En la práctica, únicamente las derivadas de unas pocas funciones son conocidas, las derivadas de otras funciones son fáciles de calcular utilizando reglas para obtener derivadas de funciones más complicadas de otras más simples.

Derivadas de funciones elementales

La mayor parte de los cálculos de derivadas requieren tomar eventualmente la derivada de algunas funciones comunes. La siguiente lista incompleta proporciona algunas de las más frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas. 

Derivada de potencias: si donde r es cualquier número real, entonces donde quiera que esta función sea definida.

Por

ejemplo,

si

, entonces

la función derivada es definida sólo para números positivos x, no para x = 0. Cuando r = 0, esta regla implica que f′(x) es cero para x ≠ 0, lo que la convierte en la regla de la constante (expuesta abajo).



Funciones exponenciales y logarítmicas:



funciones trigonométricas:



Funciones trigonométricas inversas:

Reglas prácticas de derivación En muchos casos, el cálculo de límites complicados mediante la aplicación directa del cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicación de reglas de diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son las siguientes:



Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces



Regla de la suma: para toda función f y g y todo número real

y

. 

Regla del producto: para toda función f y g. Por extensión, esto significa

que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante

ejemplo,

multiplicada

por

la

derivada

de

la

función.

Por



Regla del cociente:

para toda función f y g para todos aquellos valores tales que g≠0. 

Regla de la cadena:

Si

, siendo g derivable en x, y h derivable en g(x),

entonces

Ejemplo de cálculo La derivada de , es

Aquí, el segundo término se calculó usando la regla de la cadena y el tercero usando la regla del producto. La derivadas conocidas de funciones elementales x2, x4, sin(x), ln(x) y exp(x) = ex, así como la constante 7, también fueron usadas.