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• Miguel Hernández

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Derivada riable con la derivada parcial y el diferencial.

y

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′ (x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.[1]

y= f(x)

a

b

c

x

1 Historia de la derivada

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton En matemática, la derivada de una función es una me- y Gottfried Leibniz). dida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de función matemática, según cambie el valor de su variable tipo geométrico que le dieron origen: independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de • El problema de la tangente a una curva (Apolonio cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando de Perge) el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor • El Teorema de los extremos: máximos y mínimos de la derivada de una cierta función en un punto dado. (Pierre de Fermat) La derivada de la función en el punto marcado es equivalente a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

1.1 Siglo XVII Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.

A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros Entonces el valor de la derivada de una función en un darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez 1.2 Newton y Leibniz la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, generalizarse para el caso de funciones de más de una va- métodos usados por sus predecesores los que hoy llama1

2

2

mos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

DEFINICIONES DE DERIVADA

cal, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para Las funciones que son diferenciables (derivables si se hael cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo bla en una sola variable), son aproximables linealmente. para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, 2 Definiciones de derivada que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo. Gottfried Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y dy cálculo integral, así como los símbolos de derivada dx y el símbolo de la integral ∫.

1.3

Conceptos y aplicaciones

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x . En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc. En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo. En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto P de la función por el resultado de la división redy , que como puede compropresentada por la relación dx barse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto P de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto P , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de dy dx es siempre el mismo.

Esta noción constituye la aproximación más veloz a la Algunas funciones no tienen derivada en todos o en al- derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de guno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene la recta tangente es tanto por la derecha como por la izderivada en los puntos en que se tiene una tangente verti- quierda de manera simultánea.

2.2

2.1

Continuidad y diferenciabilidad

3

Definición como cociente de diferencias

f(x+h) secant

Inclinación de la secante de la curva y=f(x).

f(x)

x

x+h h

Recta secante entre f(x) y f(x+h).

La derivada de una función f es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de f en x . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: (x, f (x)) . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número h relativamente pequeño. h representa un cambio relativamente pequeño en x , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos (x, f (x)) y (x + h, f (x + h)) es:

Q(h) =

f (x + h) − f (x) h

Puesto que sustituir h por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la h del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

2.2 Continuidad y diferenciabilidad Una condición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivable en un punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una función continua es aquella en la cual pequeños incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente produce pequeños incrementos en el valor de dicha función, de manera que

f (x + ∆x) = y + ∆y Haciendo estos incrementos cada vez más pequeños, las variaciones se hacen más pequeñas; cuando estos se aproximan a cero, en el límite,

lim f (x + ∆x) − y = 0

∆x→0

con lo que se obtiene, f(x)=y. Para un punto particular a, quiere decir que limx→a f (x)=f (a) , y si este último límite La derivada de f en x es entonces el límite del valor del existe significa en consecuencia por un teorema de límites cociente diferencial, conforme las líneas secantes se apro- (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con ximan a la línea tangente: expresión denominada «cociente de Newton».[2]

f ′ (x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) h

lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = f (a)

x→a+

x→a−

x→a

Si la derivada de f existe en todos los puntos x , se puede es continua en el punto a. Como consecuencia lógica, toda definir la derivada de f como la función cuyo valor en función derivable en el intervalo abierto I, es continua en cada punto x es la derivada de f en x . I.

4

3

4

y = |x|

3

2

1

−3

−2

−1

0

1

2

3

La función valor absoluto no tiene derivada en el punto (0,0).

2.2.1

Condición no recíproca

NOTACIÓN

si este límite existe, de lo contrario, f ′ , la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática. Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal. También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que f (x) − f (a) los límites laterales sean iguales pero las derivadas latera- f ′ (a) = lim x→a x−a les no; en este caso concreto, la función presenta un punto La cual representa un acercamiento de la pendiente de la anguloso en dicho punto. secante a la pendiente de la tangente ya sea por la dereUn ejemplo — recurrente en la literatura usual — puede cha o por la izquierda según el signo de a . El aspecto de ser la función valor absoluto (también llamada módulo) este límite está relacionado más con la velocidad instanen el punto (0, 0) . Dicha función se expresa: tánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva. { −x, si x < 0 No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la deabs(x) = |x| = x, si x ≥ 0 rivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo rePara valores infinitamente cercanos a 0, por ambas rasultado. mas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan: 2.4 Ejemplo {

Sea la función cuadrática f(x)= x2 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada abs (x) = |x| = de esta función para todo punto x ∈ R — puesto que es Cuando x vale 0, las derivadas laterales dan resultados continua en todos los puntos de su dominio —, mediante diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a el límite de su cociente de diferencias de Newton. Así, pesar de que sea continuo. ′

′

−1, si x < 0 1, si x > 0

De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable. Sin embargo, la función y=x|x| es diferenciable para todo x. Hállese su función derivada. En otros términos, que una función sea continua es una condición necesaria para que dicha función sea diferenciable. (Ver “Análisis matemático” de Apóstol.)

f ′ (x)

= = = = =

2.3

Derivada de una función

Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto a se define como sigue:

f ′ (a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a) h

=

f (x + h) − f (x) h (x + h)2 − x2 lim h→0 h x2 + 2xh + h2 − x2 lim h→0 h 2xh + h2 lim h→0 h lim (2x + h) lim

h→0

h→0

2x

3 Notación Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una función, se escribe la derivada de la función f respecto al valor x en varios modos.

3.3

3.1

Notación de Lagrange

5

Notación de Newton

para la enésima derivada de f o de y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la La notación de Newton para la diferenciación respecto tercera derivada es al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función: ( d(f (x)) ) d( dx ) d dx x˙ =

dx = x′ (t) dt

dx la cual se puede escribir como

x ¨ = x′′ (t) y así sucesivamente. Se lee «punto x » o « x punto». Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.

(

d dx

)3 (f (x)) =

d3 (dx)

3

(f (x)) .

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, Esta notación de Newton se usa principalmente en mecá- porque los términos «d» parecen cancelarse simbólicanica, normalmente para derivadas que involucran la va- mente: riable tiempo, como variable independiente; tales como velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se emplea para las dy = dy · du . dx du dx primeras y segundas derivadas. En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no pueden cancelarse literalmente, por3.2 Notación de Leibniz que por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En Otra notación común para la diferenciación es debida a análisis no estándar, no obstante, se puede ver como núLeibniz. Para la función derivada de f , se escribe: meros infinitesimales que se cancelan. Ciertamente, Leibnitz (sí) consideró la derivada dy/dx como el cociente de dos «infinitésimos» dy y dx, llamados «diferenciales». Estos infinitésimos no eran números sino cantidades más pequeños que cualquier número positivo.[3]

d (f (x)) . dx

dy df d , dx ó dx f (x) . Se También puede encontrarse como dx lee «derivada de y ( f ó f de x ) con respecto a x ». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente 3.3 Notación de Lagrange de diferenciales. La notación más simple para diferenciación, en uso acCon esta notación, se puede escribir la derivada de f en tual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas el punto a de dos modos diferentes: de f en el punto a , se escribe:

) ( d (f (x)) d (f (x)) (a). = dx dx x=a Si y = f (x) , se puede escribir la derivada como

f ′ (a) para la primera derivada, f ′′ (a) para la segunda derivada, f ′′′ (a) para la tercera derivada, f (n) (a) para la enésima derivada ( n > 3 ). (También se pueden usar números romanos).

dy dx Las derivadas sucesivas se expresan como dn (f (x)) dxn

o

dn y dxn

Se lee «efe prima de equis» para la primera derivada, «efe dos prima de equis» para la segunda derivada, etc. Para la función derivada de f en x , se escribe f ′ (x) . De modo parecido, para la segunda derivada de f en x , se escribe f ′′ (x) , y así sucesivamente.

6

4 CÁLCULO DE LA DERIVADA

3.4

Notación de Euler Dx f o ∂x f (Notaciones de Euler y Jacobi, respectivamente)

se lee « d sub x de f », y los símbolos D y ∂ deben entenderse como operadores diferenciales.

• funciones trigonométricas: d sin(x) = cos(x). dx d cos(x) = − sin(x). dx d 1 tan(x) = sec2 (x) = = 1 + tan2 (x). dx cos2 (x)

4

Cálculo de la derivada

La derivada de una función, en principio, puede ser calculada de la definición, mediante el cociente de diferencias, y después calcular su límite. En la práctica, únicamente las derivadas de unas pocas funciones son conocidas, las derivadas de otras funciones son fáciles de calcular utilizando reglas para obtener derivadas de funciones más complicadas de otras más simples.

4.1

Derivadas de funciones elementales

La mayor parte de los cálculos de derivadas requieren tomar eventualmente la derivada de algunas funciones comunes. La siguiente lista incompleta proporciona algunas de las más frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas. • Derivada de potencias: si

• Funciones trigonométricas inversas: d 1 arcsin(x) = √ . dx 1 − x2 1 d arccos(x) = − √ . dx 1 − x2 d 1 arctan(x) = . dx 1 + x2

4.2 Reglas prácticas de derivación En muchos casos, el cálculo de límites complicados mediante la aplicación directa del cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicación de reglas de diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son las siguientes: • Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces

r

f (x) = x , donde r es cualquier número real, entonces

f ′ = 0. • Regla de la suma:

′

f (x) = rx

r−1

,

donde quiera que esta función sea definida. Por ejemplo, si f (x) = x1/4 , entonces

(αf + βg)′ = αf ′ + βg ′ para toda función f y g y todo número real α y β . • Regla del producto:

f ′ (x) = (1/4)x−3/4 , y la función derivada es definida sólo para números positivos x, no para x = 0. Cuando r = 0, esta regla implica que f′(x) es cero para x ≠ 0, lo que la convierte en la regla de la constante (expuesta abajo). • Funciones exponenciales y logarítmicas: d x e = ex . dx d x a = ln(a)ax . dx d 1 ln(x) = , x > 0. dx x d 1 loga (x) = . dx x ln(a)

(f g)′ = f ′ g + f g ′ para toda función f y g. Por extensión, esto significa que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la d πr2 = 2πr. función. Por ejemplo, dr • Regla del cociente: ( )′

′

′

g = f g−f para toda función f y g para g2 todos aquellos valores tales que g ≠ 0. f g

• Regla de la cadena: Si f (x) = h(g(x)) , siendo g derivable en x, y h derivable en g(x), entonces[4] f ′ (x) = h′ (g(x)) · g ′ (x).

7

4.3

Ejemplo de cálculo

La derivada de

• Función holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funciones de variables complejas. • En análisis funcional:

• Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden superior a orden r, r no necesita ser necesariamente un número entero es como sucede en las derivadas convencionales. • Derivada funcional, que se aplica a funcio( 2) x nales cuyos argumentos son funciones de un d x d (ln x) d (e ) cos(x2 ) − ex − ln x + 0 espacio vectorial de dimensión no finita. f ′ (x) = 4x(4−1) + dx dx dx • Derivada en el sentido de las distribucio1 x 3 2 x = 4x + 2x cos(x ) − e − ln(x)e . nes, extiende el concepto de derivada a funx ciones generalizadas o distribuciones, así pueAquí, el segundo término se calculó usando la regla de la de definirse la derivada de una función disconcadena y el tercero usando la regla del producto. La deritinua como una distribución. vadas conocidas de funciones elementales x2 , x4 , sin(x), • En geometría diferencial: ln(x) y exp(x) = ex , así como la constante 7, también fueron usadas. • La Derivación un concepto de geometría dif (x) = x4 + sin(x2 ) − ln(x)ex + 7

ferencial.

5

Diferenciabilidad

Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciable en todos los puntos del intervalo. Si una función es diferenciable en un punto x , la función es continua en ese punto. Sin embargo, una función continua en x , puede no ser diferenciable en dicho punto (punto crítico). En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco. La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.

6

Generalizaciones del concepto de derivada

El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras: • Para funciones de varias variables: • Derivada parcial, que se aplica a funciones reales de varias variables. • Derivada direccional, extiende el concepto de derivada parcial. • En análisis complejo:

• En teoría de la probabilidad y teoría de la medida: • Derivada de Malliavin derivada de un proceso estocástico o variable aleatoria que cambia con el tiempo. • Derivada de Radon-Nikodym usada en teoría de la medida. • Diferenciabilidad: • Diferenciablidad, otra generalización posible para funciones de varias variables cuando existen derivadas continuas en todas direcciones es el de: • Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales según cualquiera de las variables (El argumento de una función de varias variables pertenece a un espacio del tipo Rn de dimensión n finita). • La Diferenciación en el sentido de Fréchet generaliza el concepto de función diferenciable a espacios de Banach de dimensión infinita.

7 Véase también • Reglas de derivación • Tabla de derivadas • Derivación de funciones trigonométricas • Criterio de la derivada de mayor orden • Derivación numérica • Integral

8

8

8

Referencias

[1] Bartle, Robert G,; Sherbert, Donald, R.: Introducción al Análisis matemartico de una VariableISBN 968-18-17257 [2] Serge Lang: “Introducción al análisis matemático”, pág. 55, ISBN 0-201-62907-0 [3] Lee, Karel de: Calculus, Editorial Universitaria de Buenos Aires, pág. 61, 1972 [4] Serge Lang: “Introducción al análisis matemático” pág.56

8.1

Bibliografía

• Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: OneVariable Calculus with an Introduction to Linear Algebra 1 (2ª edición). Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1. • Spivak, Michael (1994). Calculus (3ª edición). Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-89-8. • Stewart, James (2002). Calculus (5ª edición). Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39339-7.

8.2 •

Enlaces externos Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre derivada. Commons

Wikilibros •

Wikilibros alberga un libro o manual sobre cálculo diferencial.

Wikilibros •

Wikilibros alberga un libro o manual sobre cálculo de derivadas.

• Web de Derivadas en español • Calculadora de Derivadas • Weisstein, Eric W. «Derivative». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Derivative» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104

REFERENCIAS

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9

Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

9.1

Texto

• Derivada Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada?oldid=86314298 Colaboradores: Pino, Joseaperez, Sabbut, Robbot, Ef sacco, Angus, Rumpelstiltskin, Rosarino, Tano4595, Beagle~eswiki, Ecemaml, Jcb, Soulreaper, Petronas, Airunp, Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae, RobotQuistnix, BOT-Superzerocool, YurikBot, Mortadelo2005, Lorenzo Braschi, GermanX, Equi, JAGT, Txo, Lt. CiberShark, Götz, Chlewbot, Tomatejc, J.R.Menzinger, Siabef, Kn, BOTpolicia, Rdaneel, CEM-bot, Pello~eswiki, JMCC1, Xexito, Marianov, Retama, Rubendario2000, Davius, Antur, Carlos riveros v, Ggenellina, Fsd141, Mancontr, Jmcalderon, Bot que revierte, Escarbot, Will vm, Botones, Isha, Egaida, Bernard, JAnDbot, Kved, Hosg, Muro de Aguas, TXiKiBoT, Humberto, Pólux, VolkovBot, Sejomagno, Technopat, C'est moi, Belgrano, Matdrodes, DJ Nietzsche, BlackBeast, Muro Bot, Souyirojico, Erik Jack, SieBot, Ctrl Z, Loveless, Cobalttempest, Drinibot, Yuyuik, BOTarate, OboeCrack, Tirithel, XalD, Jarisleif, Dnu72, Drakens1024, Jackbauer6, Farisori, Quijav, Eduardosalg, Veon, Deltasubk, Antionio, Leonpolanco, Charly genio, Botito777, Petruss, Juan Mayordomo, Raulshc, Açipni-Lovrij, Osado, Divalino, Camilo, UA31, AVBOT, Elliniká, Merlucin~eswiki, J053 M4NU3L, Chzelada, Monesruizsantiago, MarcoAurelio, Diegusjaimes, Joelcuervo, Fernando H, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, Amirobot, Ramon00, LyingB, Daniel Feipeler, ArthurBot, Usuwiki, SuperBraulio13, Ortisa, Xqbot, Jkbw, Jesfervid, Jngutier, JViejo, Kismalac, Igna, Botarel, Sergostg, Zulucho, BOTirithel, Gusbelluwiki, Camilo-andres 1010, Jerowiki, Born2bgratis, PatruBOT, Dinamik-bot, Euclides, Rcamacho, Lobishomen, Thiridaz, Ignaciojimenez89, Dark Bane, Proferichardperez, Foundling, Miss Manzana, EmausBot, HRoestBot, Juankyii, Grillitus, Larry2323, Gomezroman, MercurioMT, Emiduronte, Cheko0708, Albertojuanse, Joemin68, Feriza1990, CocuBot, Ariadacapo, MerlIwBot, Aciz, KLBot2, Julio grillo, MetroBot, Ulloadamy, Acratta, Derivadade5, Integral12, Jhonjervis, Basiliowiki, Creosota, Chocokrispis, Helmy oved, Frizzsoad, Jpdiaz90, Morojosa, Addbot, Balles2601, JFrancoH9, DavosMat, Gonzalo.carrascoc, AgusLantero, JacobRodrigues, Ingfercho, Diamorenoci, Jarould, Niwpe, Juanseecheverry, Lectorina, Aliaeg22 y Anónimos: 403

9.2

Imágenes

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