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Derivadas parciales de Ing. Petrolera

Carrera

PRACTICO Nº 2 DERIVADAS DE FUNCINES DE VARIABLE MULTIPLES I. DETERMINE LAS SIGUIENTES DERIVADAS PARCIALES POR DEFINICION: 1.

f ( x ; y )=2 x2 + xy 2−3 x−5

2.

f ( x ; y )=√ 2 x− y

3.

x (¿− y) f (x ; y )=ln ¿

7.

5.

∂ z ∂z y ∂x ∂ y

y +¿ y 3 e x 2 z=f ( x ; y )=x ln ¿  x z  f ( x; y )  arctan    y



hallar

6

8.

z  f ( x; y )  1  arctan  x 2  y 2 

9.

w=f ( x ; y ; z )=e xyz + xsen ( y )

10.

z=f ( x ; y )=tan

( xy )−3 xln ( 1− y )

x y2 ( ) z=f x ; y = 11. x2 y 3 +1 Docente: Ing . Isaac Checa Alizares Calculo II (MAT – 102)

en el P(-2;-1)

∂ z ∂z y ∂x ∂ y

en el P(0;1) en el P( π ;1)

∂w ∂w ∂w ; y ∂x ∂y ∂z

hallar

z=ln ⁡( x−4 y)e x +2 x

en el P(0,1)

∂ z ∂z y ∂x ∂ y

hallar

z=ln ( x 4 − y 4 ) −sen ( x ) +cos ⁡( x )

en el P(1;2)

∂ z ∂z y ∂x ∂ y

hallar

x y x y



∂ z ∂z y ∂x ∂ y

hallar

hallar

hallar hallar

hallar

en el P(2;0;1)

∂ z ∂z y ∂x ∂ y

2

7.

4x 3 x− y 2

x− y f ( x ; y )=sen ¿ )

x2  y2

w  f ( x, y , z )  x 2  y 3  z 4 6.

f ( x ; y )=

hallar

z  f ( x; y )  4.

5.

6.

1.

3.

f ( x ; y )=e x +3 y

II. DETERMINE LAS PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

z  f ( x; y ) 

2.

4.

∂ z ∂z y ∂x ∂ y ∂w ∂w ∂w ; y ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ; ∂x ∂y hallar

∂ z ∂z y ∂x ∂ y

Derivadas parciales de Ing. Petrolera 12.

w=f ( x ; y ; z )=(3 x+ y 2 ) e2 +z

x

∂w ∂w ∂w ; y ∂x ∂y ∂z

2

hallar

z=x 3+ y 3

13. si

demostrar que

∂z ∂z +y =3 z ∂x ∂y

14. si

z=(x + y )ln

15. si

z=√ x 2+ y 2

16.

Carrera

y x

demostrar que demostrar que

w=f ( x ; y ; z )=x 2 y+ y 2 z + z 2 x

si

x

x

∂z ∂z +y =z ∂x ∂y

∂z ∂z +y =z ∂x ∂y demostrar que

∂ z ∂z ∂z + + =( x+ y+ z )2 ∂x ∂ y ∂z

√

z= xy+ arctan

17. si

( yx )

x2 + y 2 si z= 18. x+ y x

19.

( ∂∂ xz )+ z y ( ∂∂ zy )=xy

∂z ∂z +y =z ∂x ∂y

( yx )

demostrar que

∂z ∂z +y =4 z ∂x ∂y n

z=

20. si

x

zx

demostrar que

si z=x 2 y 2 arcsen x

demostrar que

n

Ax + By 2 2 Cx + Dy

demostrar que

∂z ∂z +y =(n−2) z ∂x ∂y w=ln (x + y + z )

21. si

ln

demostrar que

∂w ∂w dw + ln + ln =−3 w ∂x ∂y dz 2

22. si

z=f ( x y )

x

( ∂∂ xz )=2 y ( ∂∂ zy )

Docente: Ing . Isaac Checa Alizares Calculo II (MAT – 102)

demostrar que

Derivadas parciales de Ing. Petrolera

Carrera

23. La ley de los gases ideales puede escribirse como P.V = n.R.T, donde n es el numero de moles del gas, V el volumen, T la temperatura absoluta, P la presión y R una constante.

∂ P ∂V ∂T =−1 ∂V ∂ T ∂ P

Demostrar que:

24. La resistencia total R producida por tres conductores con resistencia R 1, R2 y R3 conectadas en un circuito paralelo esta dado por la formula

1 1 1 1 = + + R R1 R2 R 3

hallar

∂R ∂ R1 25. En un estudio de la penetración del frio se encontró que la temperatura T en el tiempo “t” (medido en días) a una profundidad “x” (medida en pies) puede describirse

T ( x ; t )=T o +T e−λx sen( ωt−λx)

mediante la función. constante.

∂T ∂T y ∂x ∂t

8. a). Determine

donde

ω=

2π 365

y

λ

¿Cuál es su significado físico?

9. b). Demostrar que T satisface la ecuación de calor

T t =k T xx

para una cierta

constante 10. c). Si

λ=0.2,T o=0 y T =10

utilice la computadora para graficar.

11. III. DETERMINE LAS SIGUIENTES DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR: 12. 3.1. Determine las segundas derivadas parciales 13.

1.

z=f ( x ; y )=sen ( x+ y ) +cos ⁡( x − y)

14.

2.

z=f ( x ; y )=cos (5 x+2 y )

15.

3.

z=f ( x ; y )=( x2 +2 y )2

16.

4.

z=sen

17.

5.

z=e x ln ( xy )+ cox (2+ √ x)

3

3.2

x+y ( x− y)

Verifique que el teorema de Clairaut se cumple es decir: Z xy=Zyx 5

4

2

3

2

1.

z=x y −3 x y +2 x

2.

z=se n2 ( x ) cos ( y )

3.

z=x y z

4.

z=cos ( x 2 y ) + x 3 y +e xy 2

2

3

4

5. 3.3. Determine las derivadas parciales indicadas: 1.

es una

z=ln ⁡( x 2+ 2 y )

Docente: Ing . Isaac Checa Alizares Calculo II (MAT – 102)

hallar Z xxx ;Zyxy ; Zyyx

Derivadas parciales de Ing. Petrolera

Carrera 4

x

2. si

z ¿ xe cos y

3. si

x−2 y ¿ ( x+ 2 y ) +¿ ln¿ z=cos ¿

4. si

z= x

2

demostrar que

demostrar que

xy x− y

4

4

4

∂ z ∂ z ∂ z +2 2 2 + y 4 =0 4 ∂x ∂x ∂y ∂y

∂2 z ∂ 2 z − 2 =0 2 ∂x ∂y

demostrar

que

2 ∂2 z ∂2 z 2 ∂ z + 2 xy + y =O ∂x ∂ y ∂ x2 ∂ y2

5. si

z=xf ( x+ y )+ yg ( x + y )

6. si

z=xf ( x 2 + y 2)

7. si

−1 −x ( 2 ) ( kt ) C ( x ; t )=t e

demostrar que

Z xx−2 Z xy +Z yy =0 ∂2 z ∂2 z = ∂x ∂ y ∂ y ∂ x

demostrar que 2

verifique que esta función satisface la ecuación de difusión

2

k ∂ C ∂C = 4 ∂ x2 ∂ t 8. La energía cinética de un cuerpo con masa “m” y velocidad “v” es

demostrar que

1 K= m v 2 2

∂ K ∂2 K =K ∂ m ∂ v2

3.3 Verifique si cada una de las siguientes funciones es una solución de la ecuación de Laplace, es decir:

∂2 z ∂2 z + =0 ∂ x2 ∂ y2

1.

z=e−x cosy−e− y cosx

2.

y−b ¿ ¿ ¿2 ( x−a)2 +¿ √¿ z=ln¿

3.

z=e y senx

4.

z=arc tg

5.

z=ln √ x 2+ y 2

( xy )

3.4 Verifique si cada una de las siguientes funciones es una solución de la ecuación de Laplace, es decir 1.

∂2 w ∂2 w ∂2 w + + =0 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z2

z=√ ( x−a ) + ( y−b ) + ( z−c ) 2

2

2

Docente: Ing . Isaac Checa Alizares Calculo II (MAT – 102)

Derivadas parciales de Ing. Petrolera

Carrera

z=sen ( ax ) cos ( by ) e (− √a +b 2

2.

w=

3.

2.

)(z )

donde a y b son costantes

1 √ x + y 2 + z2 2

3.5 Verifique si cada una de las siguientes funciones es una solución de la ecuación de onda es

∂2 z 2 ∂2 z =a =0 ∂t 2 ∂ x2

( )

decir: 1.

z=( x−at )6 + ( x+ at )6

2.

z=sen ( x−at )+ ln ( x+ at )

3.

z=sen ( kx ) sen ( akt )

4.

z=( x−at )4 +cos ( x + at )

z=¿ ln(nx+nat)(bx-bat) t z= 2 2 2 a t −x

5. 6.

z=f ( x +at ) + g( x−at )

7.

∂z ∂x

8. IV. DERIVADAS PARCIALES IMPLICITAS: Hallar

∂z ∂y

y

de las siguientes

funciones: 1.

xy + yz−xz=0

2.

xyz=cos ( x+ y+ z)

3.

x 2+ y 2 −z2 =2 x ( y + z )

7.

y ze

x

2

x+ y

2 3

3

2

4.

xy z + x y z=x+ y+ z

5.

xe y + yz + ze x =0

6.

−sin ( xyz )=0 7.

si

2

2

2

x y +sen ( xyz ) + z =8

demostrar

que

∂z ∂z −y =0 ∂x ∂y

9. si

a, b y c son los lados de un triangulo, y A, B y C son los ángulos opuestos.

Determine

∂A ∂ A ∂A , y ∂a ∂ b ∂ c

mediante la derivación implícita de la ley de cosenos.

10. La ecuación de Van der Waals de los gases reales establece que la presión P, el volumen V y la temperatura T están relacionados de forma que se verifica:

(

P+

a ( V −b ) =RT V2

)

donde (a, b y R son constantes positivas). Determinar

∂ P ∂2 P y ∂V ∂ V 2 8. V. APLICACIONES DE LAS DERIVDAS PARCIALES: 5.1.

Función homogénea y teorema de Euler: 9. Para cada una de las siguientes funciones indicar si es homogénea, el grado y demostrar el teorema de Euler. 10. 1)

2

f ( x ; y )=3 x + 4 xy +15 y

2

Docente: Ing . Isaac Checa Alizares Calculo II (MAT – 102)

2)

x

f ( x ; y )=3 e +3 e

y

Derivadas parciales de Ing. Petrolera

5.2.

Carrera

3)

f ( x ; y )=xy−ln a

4)

f ( x ; y )=

xy

5)

x2 +2 y 2 2 x 2− y 2

f ( x ; y )=

xy 2 2 2x +y

6) Función de producción lineal homogénea 7) 1) Dada la función de producción determinar el grado de homogeneidad y la naturaleza de los rendimientos a escala

3

2

f ( x ; y )=3 x +5 x y + y

3

8) 2) Dada la función de producción determinar el grado de homogeneidad y la naturaleza de los rendimientos a escala

f ( x ; y )=

3 25 6 + + x 2 xy y 2

3) La función de producción de Cobb – Douglas para la economía en conjunto esta dada por:

Z =f ( x ; y ) =a x b y c

2n la que “Z” es el producto total “x” es la

cantidad de trabajo, “y” es la cantidad de capital, “a, b y c” son constantes se supone frecuentemente

b+ c=1 . ¿Es una funcion homogenea y de que

grado? 4) Suponer que la producción Q está dada por la función de producción de Cobb – Douglas

5.3.

Q ( K ; L )= A K a L1−a , donde A y a son constantes positivas y 0 < a