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2. Marco Teórico 2.1

Definición de Matlab

MATLAB es un sistema interactivo cuyo elemento básico de almacenamiento de información es la matriz, que tiene una característica fundamental y es que no necesita dimensionamiento. Esto permite resolver problemas de computación técnica (especialmente los que tienen esquema matricial y vectorial) en una fracción de tiempo similar al que se gastaría cuando se escribe un programa en un lenguaje no interactivo como C. MATLAB se ha desarrollado sobre un periodo de años con entradas provenientes de muchos usuarios, en los entornos universitarios es la herramienta instructiva estándar para cursos avanzados e introductorios en matemáticas, ingeniería y ciencia. En la industria MATLAB es la herramienta escogida para investigación de alta productividad, desarrollo y análisis. Longitud de Arco es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal; también llamada rectificación de una curva. A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

2.2

Definición de Derivada

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

2.2.1 Historia de la derivada Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen: El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge) El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat) En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial. A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

2.2.2 Conceptos y aplicaciones de una derivada El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «anti derivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

2.2.3 Derivada en un punto La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Ejemplos Calcular la derivada de la función f(x) = 3x2en el punto x = 2.

2.2.4 Interpretación de la derivada Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. mt = f'(a) Ejemplos Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1. Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que: f'(a) = 1. Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

2.2.5

Fórmulas de derivadas inmediatas

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de función afín

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivada de suma

Derivada de de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Derivada de un logaritmo neperiano

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada del arcocosecante la función potencial -exponencial

Regla de la cadena

Fórmula de derivada implícita

2.3

Matlab y las Derivadas.

2.3.1 Definición En este aprendizaje mediante el uso de derivadas aplicadas en Matlab y sus formas de programación se utilizaran los términos básicos y las fórmulas de derivadas y mostraremos como utilizar los conceptos de derivadas y aplicarlas en este software, aplicando las tendencias de aprendizaje tecnológico de la nueva era, y ya comprendido todo esto aplicarlas y utilizarlas en el segundo “C” de la Facultad de Ciencias Informáticas de la Universidad técnica de Manabí.

2.4 Hipótesis 2.4.1 

2.4.2   

General El uso de las derivas en Matlab influye significativamente en el proceso de aprendizaje en los estudiantes de Calculo Diferencial de la Facultad de Ciencias Informáticas de la Universidad Técnica de Manabí en el periodo abril 2012 – septiembre 2012. Específicas El uso de Matlab en los estudiantes de Calculo Diferencial es deficiente. El nivel de conocimiento en los estudiantes acerca de las derivadas es medio El conocimiento en los estudiantes de realizar derivadas en Matlab es deficiente.