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• Casanova Esperanza

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Concepto de derivadas. Concepto Físico: Velocidad instantánea. Para llegar a comprender la esencia del movimiento, era necesario llegar a la idea física de la velocidad instantánea. Denotemos por s al desplazamiento, podemos considerar que s depende del tiempo, luego:

, el desplazamiento es una función del tiempo. Esta función determina la posición de un móvil en un instante t. Ahora veamos cómo encontrar la velocidad en un instante o la velocidad instantánea en

Podemos decir que el camino recorrido estará dado por estará dada por:

, luego la velocidad promedio

̅ “Si observamos el dibujo y recordamos lo visto en geometría, podemos decir que esto correspondería a la pendiente de la recta que une esos dos puntos de la gráfica.” Ahora para obtener la velocidad instantánea es necesario hacer el intervalo de tiempo muy pequeño, tan pequeño como queramos. En otras palabras:

Este límite corresponde a la derivada de una función en el punto a, y nos dice la rapidez con que varía la función. Newton en 1665 llega a este resultado desde un problema físico y lo relaciona a una formulación geométrica. Este límite v corresponde a trazar una recta tangente en un punto específico de la curva.

Concepto Geométrico: Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto, se empleará el concepto de límite a fin de definir la pendiente de la recta tangente en el punto para luego determinar la ecuación de esta recta por medio de la pendiente y el punto. Consideremos ahora una función f continua en un punto a, definiremos la pendiente de la recta tangente en el punto . Sea un intervalo abierto que contiene a , en el cual está definida la función , y sea un punto de la gráfica distinto de P, y b también está en . Si unimos P con Q siempre obtendremos una recta secante a la curva.

En el dibujo 2 se ve la recta secante para varios valores de b. En el dibujo 3 se muestra una recta secante particular, donde Q está a la derecha de P.

La diferencia de las abscisas (coordenadas x) de Q y P se denota por (se lee delta x) de modo que: , siendo este valor positivo o negativo dependiendo del lado en que se encuentre el punto Q del P. Considerando la recta secante PQ de la figura 3, su pendiente estará determinada por:

Ahora, considerando que

, podemos decir que

, tendremos que:

Ahora consideraremos que P es un punto fijo y el punto Q se mueve sobre la curva acercándose a P, en otras palabras diríamos que Q tiende o se aproxima a P, lo que equivaldría a decir que tiende a 0.

Observemos que es el mismo límite que tuvimos para el ejemplo de velocidad.

Definición de recta tangente a la gráfica de una función. Sea

un función continua en

. La recta tangente a la gráfica en el punto

La recta que pasa por P y tiene pendiente

es:

, dada por:

, si este límite existe.

(1) (2) La recta x = a, si: , es

y

, es

La primera función muestra una recta con pendiente positiva, la segunda tiene recta tangente de la forma x= a, y la tercera función tiene rectas tangentes para x = 1 (-1), con pendientes igual a cero.

Derivada de una función: Definición:  La derivada de una función es aquella función dominio de la función está dado por.

, tal que su valor en un número

del

, si es que existe. 

Si

es un número particular del dominio entonces

Notación:

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Ejercicios resueltos: Leithold desde pag 102 – 107, propuestos 107 en adelante. Stewart, Cálculo en una Variable Trascendentes y Tempranas 4ta edición. Pag 85 – 89, 147- 155, 156-162. Calculo diferencial e integral Canals, Espinoza, Meda, Perez, Ulín (http://canek.uam.mx/?secc=2) Pag 237- 263 Links de ejercicios resueltos y propuestos. http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/CalculoDiferencial.htm#Derivada http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/interpretacion_geometrica.htm http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/aplicaciones_a_la_fisica.htm http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/aplicaciones_a_la_geometria.htm

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http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node2.html http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node3.html http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/derivadafuncion/html/node4.htmlhttp://www.dervor.com/derivadas/derivada.h tml http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivadas_apli caciones_optimizacion/pag1.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivadas_apli caciones_optimizacion/pag2.htm http://www.dervor.com/derivadas/interpretacion_derivada.html http://www.dervor.com/derivadas/derivadas_funciones.html