Ejercicos Capitulo 5 Teoria Electromagnetica
( ) ( ) 5.1 Dada la densidad de corriente : a) Encontrar la corriente total que cruza el plano en la dirección de en la
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- Wilmer J Poma G
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( ) ( ) 5.1 Dada la densidad de corriente : a) Encontrar la corriente total que cruza el plano en la dirección de en la región b) Encontrar la corriente total que abandona la región integrando sobre la superficie del cubo. c) Repetir el inciso b) utilizando el teorema de la divergencia. Solución: a) Como tenemos en la dirección
y en el plano ∫
(
*∫ ∫
)
+| [
]
(
)
b) La corriente a través de las superficies superior e inferior no existirá, ya que J no tiene ningún componente z. También no habrá corriente a través del plano ya que solo en ∫
)|
(
(
*∫ ∫
∫
)
)|
(
| |
∫ ∫
*
|
|
[
∫
(
)|
∫ ∫
(
)
|
+
(
) + ]
( )
c) Utilizando el teorema de la divergencia tenemos:
(
)
(
(
)(
)
(
) )
( )
(
5.2 una cierta densidad de corriente esta dada por
) ⁄
. Encontrar la
corriente total que pasa a través de las superficies: a) b) c)
en la dirección en la dirección Cilindro cerrado definido por
. . en la dirección saliente.
a.- z=0 , (
) ⁄
.
) ⁄ ∫
∫
∫
Como z=0 entonces ∫
( )
∫
∫
∫
∫
( (
) )
.
b.- z=1, (
) ⁄
.
) ⁄
.
∫
∫
∫
Como z=1 entonces ∫
∫
∫
∫
∫
( )
(
)
(
)
c.- Cilindro cerrado definido por
en la dirección saliente. ∫ ∫
(
)
∫ ∫
∫
(
)
∫
*
+|
3. Sea
(
a) Encontrar la corriente total q fluye a través de la porsion
)
de la superficie esférica r=0.8 , limitada por b) Encontrar el valor promedio de J en el área en cuestión ( ∫ ∫
)
(
(
)]
) (
(
)
[ (
)
(
∫ ∫
) )
[ (
)] ( ∫
(
∫
)
( (
(
)
) )
)
( (
))]
b) primero encontramos el área en cuestión que va a ser ∫ ∫
(
∫ (
)(
)
)
5.4. Suponer que un rayo electrónico uniforme de sección circular de radio de 0.2 mm lo genera un cátodo en x=0 y lo recibe un ánodo en x=20 cm. La velocidad de electrones varía en función a x en la forma , dado x en metros. Si la densidad de corriente en el ánodo es de , encontrar la densidad volumétrica de carga y la densidad de corriente como función de x Se tiene que en términos de la densidad corriente en función de x:
Por tanto expresándolo en función ya que es una constante se lo puede expresar de la siguiente manera:
Para la otra parte que es la densidad volumétrica
5.5 Sea
(
tenemos que:
√ . a) Encontrar la corriente total que cruza el plano
)
en la dirección para . b) Calcular . c) Encontrar la corriente saliente que cruza a la superficie cerrada definida por . d) demostrar que J y la superficie definida en el inciso c) satisfacen el teorema de divergencia. SOLUCION:
∫
a) Como se toma la dirección
se suprime el resto de coordenadas. ∫
∫
( (
b)
)
)|
)
( (
(
(
)
)
)
( ( )
(
(
)
)
(
)
)
c)
∫
Para cada lado ∫
∫
( ∫
∫
∫
∫
)(
)
(
)
(
)
∫
∫
(
)
(
)(
)
( )
d) si consideramos que la divergencia del apartado b) es 0 y la integral de volumen de la sección c) también es 0 podemos observar que el teorema de divergencia (La divergencia de un vector de tipo de flujo A es el límite de la cantidad de flujo por unidad de volumen que sale de una pequeña superficie cerrada cuando el volumen tiende a cero) se cumple ya que son iguales.
6. La densidad de corriente en una cierta región es de aproximadamente J=(0.1/r)exp(106t)arA/m2 en coordenadas esféricas. a) En 1us. ¿Qué cantidad de corriente atraviesa la superficie r=5.?
(
)(
)
(
)(
)
b) Repetir lo anterior para r=6
c) Utilizar la ecuación de continuidad para encontrar medida que
(
) suponiendo que
(
)(
a
)
∫ ∫ Ahora
como
( )
( )
( )
( )
, así f(r)=0, entonces la respuesta es (
)
a) Encontrar una expresión para la densidad de carga.
5.7) Suponiendo que no hay transformación de masa a energía y viceversa, se puede escribir una ecuación de continuidad para la masa. a) Si se utiliza la ecuación de continuidad para la carga como en nuestro modelo, ¿qué cantidades corresponden a J y a . b) Dado un cubo de 1cm de lado, algunos datos empíricos demuestran que las velocidades a las que la masa abandona las caras son 10.25, -9.85, 1.75, -2.00, -4.05 y 4.45 mg/s. Si se supone que el cubo es un elemento de volumen incremental, determínese un valor aproximado de la rapidez de cambio de la densidad en su centro. DESARROLLO a) La ecuación de continuidad para la corriente es:
Por lo tanto la ecuación correspondiente para la ecuación de continuidad para la masa sería:
Sabemos que:
Se sabe que cada valor de las expresiones sería en kilogramos dado que se trata de la masa:
Remplazando en la ecuación se tendría: =
Densidad de flujo de masa. Densidad de masa.
b) Tenemos la ecuación de la continuidad para la masa como sigue ∫(
)
∫
(
)
∮
Las velocidades de masa que abandonan la superficie del cubo son las siguientes: ∮
10.25 -9.85 + 1.75 -2.00 -4.05 + 4.45= 0.55 mg/s
Dado que cada lado del cubo es de 1cm, su volumen (v) será igual a 1 c centro de cubo es:
, la masa que sale del
1000000 c g/
s
5.8) La conductividad del carbón es de .a) ¿Qué forma y tamaño de una muestra de carbón tiene una conductancia de ?b) ¿Cuál es la conductancia si todas las dimensiones de la muestra encontrada en el inciso a) se redujeran a la mitad? En la figura 5.3 nos dicen
que la resistencia es igual a
; donde
es
conductividad, L es longitud y S es el área de la sección transversal. Sabemos que la conductancia (G), es el inverso de la resistencia; por lo tanto
Para obtener una conductancia (G) igual a la conductividad ( ), tanto el área como la longitud tendrían que ser iguales, es decir con A=L tendríamos Esto se puede dar en una lámina cuadrada de dimensiones , el area es entonces Área
Otro caso es un bloque de sección transversal cuadrada que tiene una longitud y el área de la sección transversal es √ √ .
(
(
)( (
)(√
√ )
)
) , el área es
b) Si las dimensiones de las muestras (longitud y área de sección transversal) se redujeran a la mitad, la conductancia también se reduce a la mitad y se lo demuestra con la misma fórmula de conductancia
Para el caso de la lámina cuadrada tendríamos
Área
entonces
; por lo tanto (
)( (
)
)
Por lo tanto si las dimensiones se reducen a la mitad, la conductancia también se reduce a la mitad.
EJERCICIO 9 a) Utilizando los datos tabulados en el apéndice C , calcular en diámetro que se requiere para que un alambre de nicromo de 2m de longitud disipe una potencia promedio de 450W cuando se le aplique un voltaje de 120Vrms a 60Hz. b) Calcular el valor rms de la densidad de corriente en el alambre. SOLUCIÓN:
a) (
)
(
)
√
√
b)
5.10 Un alambre solido con una conductividad y un radio tiene una cubierta exterior de un material que tiene conductividad , su radio interior es a y su radio exterior es b. demostrar que la relación de las densidades de corriente de los dos materiales es independiente de a y b De la ecuación 8 del CAP 6 tenemos que
Por lo que tendremos que
Lo que muestra que son independientes de la dimensión de sus radios.
Ejercicio 11: Dos superficies cilíndricas conductoras de longitud están ubicados en y La corriente total que fluye radialmente hacia fuera a través del medio entre los dos cilindros es de 3A de cd. a) Encontrar el voltaje y la resistencia entre los ⁄ cilindros y E en la región entre los cilindros si un material que tiene una está presente en b) Demostrar que integrando la potencia disipada por unidad de volumen a través de todo el volumen se obtiene la potencia disipada total. Solución: ⁄
y
a) ∫
( )|
⁄ ⁄
∫ b) ∫ ∫
∫
(
)
∫ ∫ ∫ ∫
(
)
(
)
12.-) Dos placas conductoras idénticas que tienen un área A se ubican en
y
.
La región entre las placas está llena de un material cuya conductividad ( ) depende de z, donde es una constante. Un voltaje se aplica a la placa ; en , la placa esta a cero potencial. Encontrar en términos de los parámetros dados; a) la resistencia del material; b) la corriente total que fluye a través de las placas; c) la intensidad del campo eléctrico E dentro del material. a) Para el análisis, se inicia con la resistencia diferencial de una lámina fina del material de espesor , que es.
De modo que ∫ ∫ | ∫
(
) (
∫ b) utilizando la ley de ohm
c) para encontrar el campo eléctrico primero encontramos la densidad e carga
)
Por lo tanto ( )
5.13 Un tubo cilíndrico hueco con una sección rectangular mide externamente 0.5 pulgada por 1 pulgada y un grosor de pared de 0.05 pulgadas. Suponer que el material ⁄ . Por el tubo fluye una corriente de 200 A de cd. es latón y tiene una a) ¿Qué caída de voltaje se presenta en un metro de tubo? b) encontrar la caída de voltaje si el interior del tubo se llena con material conductor cuyo valor de ⁄ . a) Transformamos las medidas del tubo:
1 pulgada = 2.54 cm = 0.0254 m 0.5 pulgada = 1.27 cm = 0.0127 m 0.05 pulgada = 0.127 cm = 0.4 pulgada = 1.016 cm = 0.01016 m
(
) (
(
) ) (
( )
( )
(
(
) )
) ( (
) (
b) Transformamos las medidas del tubo:
m
0.9 pulgadas = 2.286 cm = 0.02286 m 0.4 pulgadas = 0.01016 m
(
) )
)
(
) (
(
)
) (
)
La resistencia de los dos materiales en paralelo: ‖
( (
) ( ) ( (
) )
) (
)
5.14 una placa conductora rectangular está ubicada en el plano xy y ocupa la región 0