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• Giancarlo Delfin Motalvo

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Campo Magnético

1

EI movimiento de cargas a una velocidad constante produce a su vez un campo magnético estático (o magnetostático). Así, un campo magnetostático es producto de un flujo constante de corriente (o corriente directa).

Son dos las principales leyes que rigen a los campos magnetostáticos:

1. Ley de Biot-Savart

Ley de Coulomb

2. Ley de Ampere

Ley de Gauss

Ley de Biot-Savart La ley de Biot-Savart establece que la intensidad diferencial de campo magnético dH producida en un punto P por el elemento diferencial de corriente I dl, es proporcional al producto de I dl y el sen del ángulo a entre el elemento y la linea que une a P con el elemento e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia R entre P y el elemento.

dH = o

Idlsenα R2

kIdlsenα dH = R2

donde k es la constante de proporcionalidad k=1/4π

dH = 3

Idlsenα 4π R 2

de la definición del producto cruz:

    Idl × aˆ R Idl × R dH = = 2 4π R 4π R 3 la dirección de dH puede determinarse con la regla de la mano derecha, si el pulgar apunta en la dirección de la corriente, los dedos rodearán el alambre en la dirección de dH

La dirección de la intensidad del campo magnetico H (o de la corriente I) suele presentarse mediante un punto o una cruz dentro de un pequeño círculo, dependiendo si aquella sigue un curso hacia fuera o hacia dentro de la pagina. 4

Así como existen diferentes configuraciones de carga, también existen diferentes distribuciones de corriente:

corriente de línea

  Idl × aˆ R H=∫ 2 4 π R L

corriente superficial

  KdS × aˆ R H=∫ 2 4 π R S

corriente volumétrica

  Jdv × aˆ R H=∫ 2 4 π R v

Se define K como la densidad de corriente superficial (en amperes/metro) y J como la densidad de corriente volumétrica (en amperes/metro cuadrado) 5

Ejemplo. Una espira circular ubicada en x2 + y2 = 9, z = 0 porta una corriente directa de 10 A a lo largo de aϕ. Determine H en (0, 0, 4) La intensidad de campo magnético dH en el punto P(0,0,h) debida al elemento de corriente I dl esta dada por la ley de Biot-Savart:

   Idl × R dH = 4π R 3 donde:

  dl × R =

aˆ ρ

aˆφ

ρdφ 0 −ρ 0

aˆ z 0 h

 dl = ρdφ aˆφ  R = (0, 0, h) − (x, y, 0)

= − ρaˆ ρ + haˆ z = ρhdφ aˆ ρ + ρ 2 dφ aˆ z 6

Por lo tanto:

 dH =

I 4π ⎡⎣ ρ 2 + h 2 ⎤⎦

2 ˆ a ( ρ hd φ + ρ dφ aˆ z ) ρ 3/2

 dH = dH ρ aˆ ρ + dH z aˆ z Por simetría, las contribuciones a lo largo de aρ resultan ser cero.

Entonces: 2π  H = ∫ dH z aˆ z = ∫ 0

I ρ 2 dφ aˆ z 4π ⎡⎣ ρ + h ⎤⎦

 10(3)2 aˆ z H (0, 0, 4) = 3/2 2 [ 9 + 16 ]

2

2

3/2

=

I ρ 2 2π aˆ z 4π ⎡⎣ ρ + h ⎤⎦ 2

2

3/2

=

I ρ 2 aˆ z 2 ⎡⎣ ρ + h ⎤⎦

 H (0, 0, 4) = 0.36 aˆ z A / m

2

2

3/2

Ley de Ampere La ley de Ampere establece que la intensidad del campo magnético H alrededor de una trayectoria cerrada es igual a la corriente neta encerrada Ienc por esa trayectoria.

Tercera ec. de Maxwell Ley de Ampere en forma integral

  ∫ H ⋅ dl = I enc

Aplicando el teorema de Stokes al lado izquierdo de la ecuación:

I enc

    = ∫ H ⋅ dl = ∫ (∇ × H ) ⋅ dS

Pero:

S

Por lo tanto:

  ∇×H = J

I enc

  = ∫ J ⋅ dS S

Ley de Ampere en forma diferencial 8

Corriente de línea infinita Considérese una corriente filamentosa I de longitud infinita a lo largo del eje , Para determinar H en un punto de observación P: Por P pasa una trayectoria cerrada, a la que aplicaremos la ley de Ampere y recibe el nombre de trayectoria amperiana (análogo al de superficie gaussiana).

I = ∫ H φ aˆ φ ⋅ρ dφ = H φ ∫ ρ dφ

= H φ ⋅ 2πρ  I aˆφ H= 2πρ

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Lámina infinita de corriente Considérese una lamina infinita de corriente en el plano z = 0. Presenta una densidad de corriente uniforme K = Kyay A/m La aplicación de la ley de Ampere a la trayectoria rectangular cerrada (trayectoria amperiana) resulta en:

  ∫ H ⋅ dl = I enc = K yb

La evaluación de la integral de línea de H a lo largo de la trayectoria cerrada da como resultado: 3 4 1 ⎞     ⎛2 ∫ H ⋅ dl = ⎜⎝ ∫1 + ∫2 + ∫3 + ∫4 ⎟⎠ H ⋅ dl

 ⎧⎪ H 0 aˆ x H=⎨ ⎪⎩ −H 0 aˆ x

z>0

= 0 ( −a ) + ( −H 0 ) ( −b ) + 0 ( a ) + H 0 ( b )

z0 z