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• Abel Zermeño Muñoz

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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Introducción

Lograr el conocimiento de una proposición significa comprender los varios pasos en que se articula, los elementos sobre los cuales se basa, sus nexos lógicos, los límites de cada uno de ellos y la naturaleza de las dificultades sucesivamente halladas. Esto significa prever el resultado al que conduce y determinar las posibilidades de su validez. La física se ocupa de estudiar, junto con otras ciencias naturales, las propiedades objetivas de los cuerpos materiales. Estudia cuerpos de extremadas y variadas dimensiones, formas y características constitutivas. Dimensiones del orden 10-15 m hasta 109 m, o aún mayores como en el caso de la astrofísica, y masas que oscilan entre 10 -31 Kg y hasta más de 1030 Kg. El primer objetivo de la física es descubrir las fuerzas de interacciones internas y externas que existen en los cuerpos materiales, para lograr describir fenómenos naturales y llegar finalmente a nuestro mundo asequible a la expresión. La física moderna establece cuatro tipos básicos de interacciones: • Interacciones gravitatorias • Interacciones débiles • Interacciones electromagnéticas, e • Interacciones fuertes. La Teoría de los Campos Unificados o de la Gran Unificación trata de establecer en el espacio-tiempo una base común para estos cuatro tipos de interacciones, de acuerdo a sus características constitutivas esenciales. Ya se han unificado tres de esas cuatro fuerzas: las electromagnéticas, las nucleares débiles y las nucleares fuertes. Debido a la teoría de la dualidad onda-partícula, podemos pensar que la fuerza entre dos o más objetos es causada por la producción e intercambio de esas partículas: fotones para las fuerzas electromagnéticas, bosones para las fuerzas nucleares débiles, gluones para las fuerzas nucleares fuertes y gravitones para la fuerza de gravedad. Actualmente se cree que los gravitones tienen un tránsito en su spin similar al de los fotones, si ésa es la situación, esto uniría la fuerza de gravedad a la otras tres fuerzas, ya unificadas, completando de esta manera la gran unificación. El estudio y comprensión de un fenómeno físico usualmente se inicia mediante la observación de sus manifestaciones y características. Basándose en esto, se establece una hipótesis de acuerdo a la naturaleza del fenómeno. Las hipótesis pueden ser desde una simple generalización hasta una elaborada cadena de causas y efectos que indican la conexión entre los eventos que tipifican al fenómeno. La posibilidad de construir una hipótesis descansa sobre la suposición de que existe algún orden en la naturaleza. El deseo de poder describir un fenómeno en términos de conceptos conocidos nos ha conducido al uso de modelos y analogías que gobiernan nuestros ensayos experimentales. Debemos utilizar esos modelos como medios para facilitar el entendimiento fenomenológico, y mantener las representaciones matemáticas como la conceptualización de lo que se quiere describir. 1

Los avances de la física moderna como la teoría de la relatividad y el principio de indeterminación de Heisenberg; la nueva ciencia de los fenómenos complejos y del caos muestran que hay una dinámica intrínseca del universo que tiene una lógica más general. Se trata de una sistematización amplia y en muchos casos casi contraria y ajena a los paradigmas clásicos. Lo que sucede, es que es una sistematización todavía incompleta y probablemente insuficiente. Pero será cada vez menos débil, porque recibirá una atención progresiva, y responderá a la demanda existente por modelos y esquemas más globales y alternativos. La teoría electromagnética estudia las fuerzas responsables de la estabilidad eléctrica en las estructuras atómicas, en los complejos moleculares que integran los cuerpos, y la acción recíproca entre la radiación electromagnética y la materia. El primer paso para la solución de problemas en electromagnetismo debe ser el establecimiento de las leyes de interacción eléctrica y la ley de conservación de las fuentes que dan origen al campo electromagnético. La gran mayoría de los métodos clásicos de observación, estudio y medición aplicados en la práctica son demasiados ordinarios para que con su contribución sea posible descubrir la existencia de las fuentes individuales de la electricidad. Las cargas eléctricas mínimas determinables con estos métodos, contienen en sí cientos de millones de partículas elementales, separadas por distancias infinitamente pequeñas. No obstante, para el estudio macroscópico de los fenómenos eléctricos admisibles por observación directa, podemos basarnos en leyes y razonamientos generales, sin tener que considerar la estructura atómica de las fuentes de la electricidad. Podemos utilizar las propiedades de los medios continuos, suponiendo que las “cargas eléctricas” llenan completamente, de un modo continuo las partes cargadas de los cuerpos materiales. Simplificando de este modo nuestro problema, definimos las densidades esenciales de cargas eléctricas entre límites conocidos, y, además bastante amplios. Semejantes consideraciones son completamente aceptables y hasta aplicables a los cuerpos reales de estructura no homogénea, mediante la utilización de las condiciones en las fronteras y el estudio de los medios estratificados. Mediante la formulación de las ecuaciones de Maxwell podemos hacer un examen del comportamiento macroscópico o global del campo electromagnético. También podemos observar que estas leyes, utilizadas bajo estas consideraciones aproximadas, se derivan de las leyes de la Teoría Cuántica de la electricidad. En los marcos de las concepciones clásicas era imposible explicar mecanismos tales como el de la superconductividad, de manera que esto es uno de los triunfos de la teoría cuántica. La esencia del problema es que aunque entre los electrones actúan las fuerzas de repulsión coulombiana, sin embargo, en los cuerpos sólidos surgen a la par de ésta, también, fuerzas de atracción entre los electrones, debidas a que los electrones pueden intercambiar cuantos de oscilaciones elásticas del cuerpo. Esta atracción da lugar a la formación cerca de la superficie energética de Fermi, de pares de electrones ligados. Estos pares forman lo que se conoce como bosones, que tienen propiedades de súper fluidez. Como los electrones poseen carga, la superfluidez de los pares equivale a una superconductividad.

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Es de hacer notar que las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz, y por lo tanto, perfectamente válidas en electrodinámica relativista. También, podemos señalar que si hacemos la constante de Planck igual a cero (h = 0), los resultados de la electrodinámica cuántica son coincidentes con los de la electrodinámica clásica. De igual manera podemos hacer uso de los vectores de estado, el ket y el bra del espacio de Hilbert, ya que, como matrices hermitianas hacen posible su utilización para representar los campos electromagnéticos, que, evidentemente, están regidos por las ecuaciones de Maxwell. La primera ley de interacción entre partículas eléctricamente cargadas fue establecida sobre bases experimentales por Charles Coulomb en 1785. Ya para el año 1767 Joseph Priestley realizaba experimentos sobre este tipo de interacción basado en los hallazgos de Benjamín Franklin. Durante el siglo diecinueve hubo gran actividad en el desarrollo del estudio del electromagnetismo. Podemos observar las contribuciones de Biot y Savart, de Andrè M. Ampère, de Pierre Laplace, de Michael Faraday y de Carl F. Gauss, para culminar en 1873 con la formulación matemática completa del electromagnetismo contenida en las ecuaciones de Maxwell. Hecho éste que estableció la naturaleza ondulatoria del campo electromagnético y su propagación a una velocidad finita que depende de las características constitutivas del medio en el cual se propaga. Esto fue finalmente confirmado experimentalmente por los trabajos de Heinrich Hertz en 1887. Si el sistema de las ecuaciones de Maxwell es cierto y realmente completo, de él debe deducirse unívocamente todo el comportamiento del campo electromagnético, o sea, tanto las leyes que gobiernan el comportamiento de los fenómenos eléctricos ya estudiados, como los no todavía conocidos. Por consiguiente el sistema fundamental es, en realidad, la formulación matemática de los postulados de la electrodinámica clásica. El electromagnetismo, como se puede inferir de los planteamientos hechos anteriormente en esta introducción, trata de una serie de conocimientos, que acumulados a lo largo de los años, ha podido reunir conceptos fundamentales para constituir un núcleo de gran utilidad práctica para el estudio y entendimiento de los fenómenos eléctricos. Los campos electromagnéticos son, con toda su calidad de abstracción, perfectamente representables mediante imágenes (líneas de campos). También en el terreno atómico podemos no apelar a imagen nueva alguna, no habitual, sino proceder con las normales: las imágenes de las partículas y las de las ondas. Desde luego, son imágenes auxiliares. Son apariencias de impresiones sensoriales tras las cuales está el fenómeno, que se quiere representar y que queda en las sombras. Estos apuntes fueron concebidos para servir de material de apoyo docente en la enseñanza de los principios fundamentales de la Teoría Electromagnética para estudiantes de ingeniería eléctrica, que hayan completado sus estudios de física, incluyendo electricidad y magnetismo, de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y cálculo vectorial. Su contenido comprende los siguientes temas: ∗ Representación matemática y características del campo electromagnético. ∗ Medios materiales y sus propiedades electromagnéticas: 3

∗ ∗ ∗ ∗

Polarización eléctrica y polarización magnética. Conducción eléctrica. Inducción electromagnética. Energía y fuerza en el campo electromagnético. Transmisión y propagación de ondas electromagnéticas planas. Radiación electromagnética. Fuentes elementales.

El problema se centra en el estudio de las características estacionarias, casi-estacionarias y dinámicas del campo electromagnético, buscando una integración de conocimientos sobre la base de leyes fundamentales y utilizando las posibilidades que nos brindan las propiedades de los campos vectoriales. Como ya se ha venido mencionando a lo largo de esta introducción, la teoría electromagnética presenta ciertas complejidades para el ingeniero electricista. Los conceptos básicos, en contraste con lo que sucede en la mecánica cuántica, son lo suficientemente simples como para que cualquiera pueda entenderlos, pero al mismo tiempo, las dificultades matemáticas asociadas con la obtención de soluciones y su correcta interpretación, representan un desafío que requiere, en muchos casos, un alto nivel y gran habilidad en el manejo de las matemáticas. Conocemos las ecuaciones que gobiernan los procesos e interacciones electromagnéticas, pero no podemos resolverlas en forma general. Introducimos simplificaciones y confiamos en nuestra intuición para interpretar los resultados obtenidos. Durante el siglo diecinueve, una heroica época para el desarrollo científico, la fe en la simplicidad de las leyes naturales era una convicción firme. En el siglo veinte, los científicos son más escépticos, pero aquellos dedicados al estudio del electromagnetismo todavía mantienen su creencia en la simplicidad. Como van a notar a lo largo de estos apuntes, siempre hemos preferido un argumento físico, a una larga y complicada derivación matemática. Sin embargo, debemos advertir, que creemos que la simplicidad no siempre conduce a la verdad, y que debemos buscarla pero también desconfiar de ella. Esto no quiere decir que nuestras soluciones sean incorrectas, sino que seguramente son demasiado particulares y restringidas. Las complejas y fecundas relaciones que existen entre la matemática y la Teoría Electromagnética no pueden encerrarse en un esquema único predeterminado; no quedan en modo alguno disminuidas ni por la generalidad siempre creciente de las teorías modernas ni por el carácter aparentemente artificioso de las entidades que estudian. El motor que empuja al conocimiento matemático contemporáneo hacia las concepciones cada vez más audaces y menos intuitivas no pretende aislarlo de la realidad, sino hacerle capaz de captar mejor las razones ocultas de las leyes fundamentales. Maxwell consiguió con su sistema de ecuaciones un éxito que debemos incluir entre los mayores y más maravillosos logros, ya que lo alcanzó mediante la reflexión pura acerca de los secretos del electromagnetismo que una generación posterior, apoyada en una infatigable y sagaz experimentación, pudo comprobar. Es conveniente mencionar que los métodos numéricos son de gran importancia en la obtención de soluciones, y que el computador como herramienta de trabajo puede llegar a ser un substituto del ensayo experimental. Pero, para que esto sea cierto y valedero, debemos hacer uso de aproximaciones analíticas rigurosas y de algoritmos adecuados. Por último, debemos reconocer que muchas teorías pueden ser relativamente más profundas que la teoría electromagnética, pero ninguna de ellas puede explicar una gama tan 4

amplia y variada de fenómenos. Sólo deben respetarse con todo rigor las reglas establecidas. El operar con las ecuaciones representativas del campo electromagnético consiste en llevar las cosas, ordenadas en el espacio y el tiempo, a una nueva configuración. Debemos añadir, en justificación a estas notas, que si bien la teoría electromagnética es una asignatura de carácter universal, y de común enseñanza en todas las Escuelas de Ingeniería Eléctrica, cada unidad docente debe tener su propia fisonomía y formas académicas que le caractericen y le permitan generar pruebas convincentes para su indispensable existencia y desarrollo. También, esta recopilación de ideas y conceptos que conforman estos apuntes, lleva por meta redimirlos de la dispersión que puede llegar hasta el olvido, y que sirvan de orientación a futuras generaciones acerca de los principios que se han desarrollado en el dictado de los fundamentos de esta asignatura, en el transcurso de muchos años, al transitar todas las facetas de su difusión académica.

Caracas, Diciembre de 1999.

Apariencia de la realidad

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Imagen representativa

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MODELOS MATEMÁTICOS PARA LA REPRESENTACIÓN DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO Resultaría admirable poder iniciar directamente el estudio de los fenómenos electromagnéticos sin la necesidad del manejo de ciertos fundamentos matemáticos. Desdichadamente, esto representaría una tarea altamente laboriosa. Las matemáticas constituyen un sistema ideal para el manejo y entendimiento del mundo físico. Son una fuente de abstracciones y modelos que nos permiten descifrar la causa y esencia de los fenómenos naturales.

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El objetivo principal es utilizar los modelos matemáticos que nos permitan obtener e interpretar, mediante las ecuaciones de Maxwell y Lorentz, soluciones para el campo electromagnético, regidas unívocamente por las condiciones físicas existentes en los diferentes elementos materiales que ocupan un espacio-tiempo determinado. Haciendo uso de operadores vectoriales relacionados con aspectos físicos fundamentales podemos obtener modelos analítico-vectoriales que describan adecuadamente las características asociadas con el fenómeno estudiado. Podemos todo interés el aquí el único representativos

obtener una imagen intuitiva del fenómeno físico, pero debemos aprender con lenguaje matemático antes de poder utilizarlo con plena libertad, así también camino para desembarazarse de la opresión de las fórmulas y modelos los fenómenos que queremos estudiar.

El campo electromagnético es equivalente a la presencia simultánea e independiente de un campo electrostático y de un campo magnetostático cuando las cargas eléctricas están en reposo y las corrientes son invariables en el espacio-tiempo. Pero cuando existen variaciones espacio-temporales, la independencia de estos dos campos se destruye, se producen fenómenos que implican interacciones entre E y H que ahora son variables. Ya que los cambios ocurren en el espacio y en el tiempo, los modelos matemáticos representativos deben poder reflejar estas condiciones. Debemos observar, además, el hecho de que el campo electromagnético representa una entidad no-material que tiene presencia en el espacio libre. Sin embargo, su realidad queda demostrada por los importantes efectos que ejerce sobre las cargas eléctricas que constituyen una propiedad coesencial de la materia. El campo electromagnético es un conjunto de vectores para cada punto del espacio. Estos vectores cambian continuamente sus magnitudes y direcciones a medida que el tiempo transcurre. Sin embargo, tal complejidad no es difícil de manejar matemáticamente. Pero cuando tratamos de comprender algo no-material, como lo es el campo electromagnético, la visualización puede crear obstáculos innecesarios a la comprensión. No obstante, las cantidades del campo mantienen su completa significación y mensurabilidad, y las ecuaciones de Maxwell más la ley de fuerza de Lorentz están entre las más claras y útiles leyes de la física moderna. En nuestra excursión a través del campo electromagnético no seguiremos razonamientos laboriosos ni seguiremos senderos difíciles. A pesar de ello, podremos disfrutar del placer de un hermoso panorama de un universo, múltiplemente configurado de imágenes representativas de modelos perfeccionados de la electrofísica. Hoy, casi un siglo después de la aparición del primer escrito de Einstein sobre la Electrodinámica de los cuerpos en movimiento, pueden hacerse asequibles las ideas fundamentales de la teoría de la relatividad como prosecución consecuente de las de Newton. El recurso de las ecuaciones, que tanto valor tienen en la búsqueda de la solución de un problema físico, por su automatismo, la economía de esfuerzo intelectual y el grado de generalización que con ellas se consigue, puede, a veces, perjudicar la claridad de las explicaciones; ya que el desarrollo de los cálculos viene generalmente determinado por consideraciones de orden matemático.

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Por otra parte, la claridad de una explicación exige a la vez un máximo de simplicidad y un estrecho contacto con las realidades concretas, y ello impone un examen de los casos particulares significativos y una selección y simplificación convenientes de las experiencias. Mientras resulte posible ilustrar las ideas mediante imágenes cuidadosamente escogidas, o con esquemas apropiados, nada justifica una complacencia en generalidades abstractas o en detalles técnicos. Pero, debemos evitar la tentación de aceptar como dado e inmediato el fruto de varios siglos de observación, de experimentación y de invención científica. Al plantearnos unas nociones aparentemente sencillas, se descubre que ninguna de ellas es realmente simple. Felizmente se descubre, después de cierta reflexión, que la mayoría de dificultades desaparecen cuando se sitúa correctamente cada noción en la estructura intelectual, muy coherente, de la que forma parte.

1.1. Fuentes del Campo Electromagnético

Para lograr establecer una formulación sistemática de un modelo electrodinámico, que sirva como fundamento físico-matemático de la teoría electromagnética, es conveniente considerar a la “carga eléctrica” como una característica básica y con un concepto no expresable, ni derivable en términos de otros parámetros físicos. La carga eléctrica constituye uno de los parámetros en función de los cuales podemos definir la materia, (Q, M, L y T). Entendemos por materia a todo aquello que en la naturaleza es dotado de masa ponderal y de inercia, y que no puede ser creado ni destruido. Bajo esta consideración, un cuerpo material representa la integración de un conjunto de partículas que ocupan una región en el espacio temporal en el vacío. Siendo así la carga eléctrica una característica esencial de las partículas constitutivas de la materia. En consecuencia, el problema primordial de la electrodinámica consiste en encontrar un modelo matemático que incluya el efecto de ese fabuloso número de partículas cargadas de electricidad, que constituyen los cuerpos materiales. Modelos a partir de los cuales las cantidades asociadas con las observaciones y mediciones de fenómenos eléctricos puedan ser adecuadamente determinadas. Lo ideal sería que dichos modelos fueran razonablemente simples y transparentes en su estructura matemática, y permitieran alcanzar un buen grado de exactitud en las predicciones que con ellos se pudieran obtener. En estos modelos debemos incluir la naturaleza de la carga eléctrica, bien sea positiva o negativa, al igual que la cantidad de carga que debe ser asociada con una unidad en particular: electrones, protones, núcleos atómicos, etc. Por consiguiente, para asegurar la aproximación deseada, es necesario construir un modelo que incluya ciertas funciones continuas representativas de las densidades de cargas esenciales o equivalentes, que puedan ser relacionadas con la estructura de los materiales. Para lograr una definición macroscópica de la densidad de carga eléctrica podemos proceder de la siguiente forma:

 n ∑q j ρ( R ) = lím  j =1 ∆V →0  ∆ V  

     

(1.1a)

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(

n

ρ( R ) = ∑q jδ R − R j j=1

)

(1.1b)

donde, ρ(R) es la densidad volumétrica de carga eléctrica y δ(R - Rj), representa la función de distribución conocida como la Delta de Dirac, la cual tiene las siguientes características:

δ( R − R j

)=

 0, R ≠ R j   ∞ ,R = Rj

Por consiguiente,

∫ δ( R − R

j

 0, cuando R j no pertenece a V )dV =   1, cuando R j sí pertenece a V

De esa forma obtenemos, y podemos justificar que,

(

n

)

∫ ρ( R )dV = ∑q j ∫ δ R − R j dV

V

j=1

V

n

∫ ρ( R )dV = lím∑q j = ∆Q V →ξ

j=1

(1.1c)

donde

ξes un volumen

imperceptible que puede albergar materia.

De cuerdo con la electrodinámica clásica el concepto de carga puntual nos llevaría a establecer que el electrón o cualquiera otra partícula elemental tendría una energía propia infinita y, por consiguiente una masa infinita. El hecho de que este resultado sea un absurdo físico demuestra que la electrodinámica clásica nos aplicable a condiciones microscópicas, es decir, cuando se pasa a distancias suficientemente pequeñas o imperceptibles. Se nos plantea la pregunta, ¿ de cuál orden son estas distancias ? A esto se puede responder teniendo en cuenta que para la energía electromagnética propia del electrón habría que obtener un valor del orden 9

de la energía de reposo mc2 . Por otra parte, si consideramos que el electrón tiene ciertas dimensiones re, su energía potencial propia sería del orden e2/re. De acuerdo con la condición que impone que estas dos magnitudes sean iguales e 2/re ≈ mc2 , hallamos el llamado “radio del electrón”. No obstante, debe tenerse en cuenta que en realidad los límites de aplicación de la electrodinámica clásica se encuentran bastante más altos a causa de los efectos cuánticos ,que se hacen más sensibles a distancias del orden h/mc, donde h es la constante de Planck. Debemos hacer notar que ∆Q en la expresión (1.1c) es representativa de una carga equivalente a la carga que observamos en la expresión operacional de la Ley de Coulomb, y la cual constituye la causa natural de las características estacionarias del campo electromagnético. De esta forma, podemos decir que la densidad esencial de la carga eléctrica definida por la expresión (1.1a) representa la fuente de interacción electromagnética en condiciones estacionarias, también conocido como el campo electrostático. La ley de Coulomb, a pesar de estar basada en resultados experimentales, es un verdadero postulado. El problema reside en cuán diminutas deben ser las cargas para ser consideradas cargas puntuales. En la práctica un cuerpo cargado eléctricamente no puede tener volumen cero, y si así fuera las mediciones experimentales nunca pudiesen alcanzar una exactitud lo suficientemente grande (¿infinita?), como para poder probar que la fuerza de Coulomb es proporcional al inverso de la distancia al cuadrado en lugar de ser proporcional al inverso de la distancia elevada al 1.999999. Coulomb nunca pudo haber obtenido una exactitud de ese orden al realizar sus ensayos. Por lo tanto, debemos considerar la Ley de Coulomb como una ley natural, descubierta por su mentor y basada sobre mediciones experimentales de limitada exactitud.

Inducción de cargas eléctricas Ahora debemos incluir en nuestro modelo el parámetro representativo del movimiento causa del efecto electrodinámico de las partículas eléctricamente cargadas. Esto lo hacemos mediante la definición de la fuente electrodinámica, ρ(R)v, donde v representa el promedio estadístico de las velocidades de desplazamiento de las cargas eléctricas. n

ρ( R ) v = ∑ j=1

qj ∆V

v

(1.1d)

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 ∆Q ∆l   ∆V ∆t  

Obsérvese que, ρ( R ) v = ∆Vlím ,∆t →0 

Donde, ∆Q = ∆S = ∆l = ∆t =

(1.1e)

carga neta encerrada en el recinto de volumen ∆V. área atravesada por la carga ∆Q. desplazamiento de la carga ∆Q. intervalo de tiempo durante el cual ocurre el desplazamiento de la carga ∆Q.

Considerando que ∆S.∆l = ∆V, por lo tanto, podemos escribir: ρ(R)v = J,

(1.1f)

Donde J representa la densidad volumétrica de corriente (A/m2). Al observar las expresiones resultantes de nuestro análisis, (1.1d) y (1.1e), como consecuencia del postulado de conservación de la carga, debe existir una relación determinante entre ellas. Por lo tanto, se puede concluir que para un recinto de volumen ∆V, la variación temporal de la densidad esencial de carga dentro de una región debe ser igual al flujo neto de la densidad volumétrica de corriente que atraviesa su superficie. Es decir, ∂ ∂t

[∫ρ(R )dV ] =−∫∫J ⋅ dS

(1.1g)

Si ρ(R) y J son funciones continuas en la región considerada, ∂ρ  J ⋅ dS  = − lím ∫∫ ∆V →0 ∂t ∆V   

Este límite es igual a la divergencia de J, representada también por la forma ∇.J = div J, lo cual nos permite escribir,

∇⋅J +

∂ρ = 0, ∂t

(1.1h)

Este resultado se conoce generalmente como la Ecuación de Continuidad, que representa el principio de conservación de la carga eléctrica, expresado en función de las densidades esenciales, ρ y J, incluidas en nuestro modelo. En el estudio macroscópico de fenómenos eléctricos, debemos recordar que físicamente una carga puntual, puede en realidad contener en sí un número extraordinariamente grande de 11

electrones y de protones individuales. Así, por ejemplo, si surgiera la necesidad de determinar la fuerza de interacción eléctrica entre dos estrellas tendríamos el derecho a considerarlas cargas puntuales, a pesar de sus enormes dimensiones, ya que para la distancia colosal que existe entre ellas, sus dimensiones y formas no deben influir sustancialmente sobre la fuerza de interacción.

1.2 Ecuaciones descriptivas del Campo Electromagnético Desde un punto de vista matemático, el espacio consiste en una región indefinida a la cual, mediante un sistema de coordenadas, se le asignan números (ordenadas) a cada punto para relacionarlos con una localización determinada. En ciertas regiones bien definidas por esas coordenadas, los campos electromagnéticos, asociados con densidades esenciales de cargas, pueden ser detectados físicamente por la interacción de las fuerzas ponderomotrices que actúan sobre cargas eléctricas ubicadas en diferentes puntos de esas regiones. La estructura del campo la especificamos por medio de dos vectores fundamentales: E, que representa la intensidad del campo eléctrico, y B que representa la inducción o densidad del flujo magnético. Con la formulación matemática de estos vectores se define completamente el campo electromagnético. Pero esta definición implica una caracterización numérica y experimental de constantes fundamentales, y de sus adecuadas dimensiones. Estas constantes son: la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética del espacio libre, (ε0) y (µ0) respectivamente. En el modelo maxwelliano, el espacio y el tiempo representan formas del mundo real y la carga eléctrica su substancia. Una cantidad de carga eléctrica determinada ocupa un lugar específico en el espacio en un momento definido del tiempo.

1.2.1 Ley de Lorentz F j = q j [ E + v × ( µ0 H ) ]; v ⋅ v