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Universidad San Carlos de Guatemala Facultad de ingeniería Teoría electromagnética 1 ING. Marvin Hernández Vacaciones Junio 2016

Resumen Primer Parcial

Roberto Enrique Marticorena Barrientos 201404240 Sección N

Introducción El electromagnetismo es una rama de la física que estudia y unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos en una sola teoría, cuyos fundamentos fueron sentados por Michael Faraday y formulados por primera vez de modo completo por James Clerk Maxwell. La formulación consiste en cuatro ecuaciones diferenciales vectoriales que relacionan el campo eléctrico, el campo magnético y sus respectivas fuentes materiales (corriente eléctrica,polarización eléctrica y polarización magnética), conocidas como ecuaciones de Maxwell. El electromagnetismo es una teoría de campos; es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan enmagnitudes físicas vectoriales o tensoriales dependientes de la posición en el espacio y del tiempo. El electromagnetismo describe los fenómenos físicos macroscópicos en los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, usando para ello campos eléctricos y magnéticos y sus efectos sobre las sustancias sólidas, líquidas y gaseosas. Por ser una teoría macroscópica, es decir, aplicable sólo a un número muy grande de partículas y a distancias grandes respecto de las dimensiones de éstas, el electromagnetismo no describe los fenómenos atómicos y moleculares, para los que es necesario usar la mecánica cuántica.

Análisis Vectorial El análisis vectorial es un campo de las matemáticas que imparten mucho mejor los matemáticos que los ingenieros. Sin embargo, muchos estudiantes de ingeniería del penúltimo y último años no han tenido el tiempo (o quizás la inclinación) de tomar un curso de análisis vectorial, aunque es probable que varios de los conceptos elementales de vectores y sus operaciones les hayan sido presentados en los cursos de cálculo. Estos conceptos fundamentales y sus operaciones se explican en este capítulo, y el tiempo que se les dedique dependerá de las bases precedentes. Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial: 

Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.

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Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.

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Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.



Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

Coordenadas cilindricas:

Coordenadas esfericas:

Fuerza de Coulomb En electrostática, las cargas eléctricas (fuentes) están en reposo y todas las cantidades relacionadas con ellas no cambian en el tiempo. Tampoco hay campos magnéticos asociados; en consecuencia, sólo se estudiará una situación relativamente sencilla del electromagnetismo: los campos eléctricos estáticos. Aunque la electrostática es una parte relativamente sencilla en el esquema global del electromagnetismo, su dominio es esencial para la comprensión de modelos electromagnéticos más complicados. Adicionalmente, la explicación de muchos fenómenos naturales y los principios de algunas aplicaciones industriales están basados en la electrostática. El estudio comienza reconociendo que la carga eléctrica existe. Experimentos cualitativos sugieren la existencia de dos clases de cargas, positivas y negativas, y que un objeto cargado es creado por la separación de cargas: • Un átomo es eléctricamente neutro; tiene el mismo número de protones (cargas positivas) y electrones (cargas negativas).

• Los objetos se cargan añadiendo o removiendo electrones; es decir, un objeto macroscópico se carga cuando tiene más carga de un signo que de otro. Ley de Conservación de la Carga Eléctrica. La cantidad neta de carga eléctrica producida en cualquier proceso es igual a cero. Si una región u objeto adquiere una carga positiva, por ejemplo, entonces se encontrará una carga igual de carga negativa en regiones u objetos vecinos. Usando notación vectorial, la ley de Coulomb puede formularse como:

Intensidad de campo electrico Si ahora se considera una carga fija en su posición y se mueve una carga lentamente a su alrededor, se observa que en todas partes existe una fuerza sobre esta segunda carga; en otras palabras, la segunda carga pone de manifiesto la existencia de un campo de fuerzas. Esta segunda carga de prueba se identifica como Qp. La fuerza que actúa sobre ella la da la ley de Coulomb como:

donde Q1 representa la carga fija. Escribiendo esta relación como una fuerza por unidad de carga, se obtiene:

Esta relación describe un campo vectorial que se conoce como la intensidad de campo eléctrico y se denota por E. Lo importante de esta definición está en el hecho de que E puede considerarse como producido por la carga Q1 independiente de la presencia o ausencia de la carga de prueba Qp. Una definición más precisa de la intensidad de campo eléctrico la da la relación:

Distribucion de carga y flujo electrico Hasta ahora se han considerado fuerzas y campos eléctricos producidos por cargas puntuales, que, en esencia, son cargas que ocupan un espacio físico muy pequeño. Además de estar concentrada en pequeños objetos (cargas puntuales), también es posible considerar una región del espacio ocupada por un gran número de cargas separadas por distancias muy pequeñas y con una distribución más o menos continua. En este caso, para facilitar una descripción matemática, se puede reemplazar esta distribución de partículas por una densidad de carga de volumen continua. Eso sólo se puede hacer si no se está interesado en las pequeñas irregularidades en el campo conforme nos movemos entre un electrón y otro. De modo que la carga total en el interior de un volumen finito se obtiene por integración en todo el volumen; es decir:

El campo eléctrico producido por una distribución continua de carga puede obtenerse integrando (sumando) la contribución de cada elemento diferencial de carga (considerado como una carga puntual) en la distribución. Con referencia a la Fig. 2.9, allí se muestra una distribución de carga de volumen cuya densidad ρv (C/m3) es una función de las coordenadas. Puesto que un elemento diferencial de carga se comporta como una carga puntual, la contribución de la carga ρvdv en un elemento de volumen dv en el punto P del campo es:

Ya se definieron ecuaciones vectoriales para la intensidad de campo eléctrico producido por varias configuraciones de cargas diferentes, y no fue tan sencillo interpretar la magnitud y la dirección del campo a partir de las ecuaciones obtenidas, aun cuando los casos resueltos forman parte de la clase menos complicada. Nuevas distribuciones conducen a expresiones más complejas para los campos y son más difíciles de visualizar partiendo de las ecuaciones. No obstante, si se conociese cuál imagen dibujar, se podría comprender mejor lo que representan las ecuaciones. Considérese el campo en torno a una línea de carga:

El flujo debido al campo eléctrico E puede calcularse si se usa la definición general de flujo dada por la relación:

Por definición, el flujo eléctrico Φe se origina en cargas positivas y termina en cargas negativas. En la ausencia de estas últimas, las líneas de flujo terminan en infinito (por convención).

Ley de Gauss La generalización de los experimentos de Faraday con cargas eléctricas conduce al siguiente enunciado, conocido como la ley de Gauss, la cual da una relación entre las cargas y la densidad del campo eléctrico y que constituye una de las leyes fundamentales del electromagnetismo. Esta ley es de gran importancia para entender campos vectoriales y, en particular, los campos eléctricos. En cierta forma, esta ley es mucho más poderosa que la ley de Coulomb y proporciona un método muy poderoso para la solución de problemas electrostáticos de naturaleza simétrica. El flujo eléctrico total que atraviesa cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie. Considérese una distribución de carga rodeada por una superficie cerrada que tiene cualquier forma. Si la carga total es Q, entonces Q culombios de flujo eléctrico pasarán a través de la superficie que cubre a Q. En cada punto de la superficie, la densidad de flujo eléctrico D tendrá algún valor que, en general, variará en magnitud y dirección. La integración se calcula para la superficie cerrada S que encierra al volumen, y que se conoce como una superficie gaussiana.

Considérese ahora la ley de Gauss como herramienta para determinar la densidad de flujo eléctrico D cuando se conoce la distribución de carga. El procedimiento involucra determinar primero si existe simetría. La premisa esencial de un argumento de simetría es que el campo establecido por alguna fuente debe exhibir las mismas simetrías

exhibidas por la misma fuente. Si, por ejemplo, la fuente es invariante a la rotación en torno a algún eje, el campo resultante debe ser invariante a la misma transformación. De manera que cualquier simetría de la fuente constituye una restricción para el campo. Si estas simetrías son lo suficientemente extensas, el campo estará suficientemente restringido y la ley de Gauss es adecuada para determinar aquellas propiedades del campo que no son completamente fijadas por las simetrías. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

Bibliografia  https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial  http://200.35.84.131/portal/bases/marc/texto/018706Libro.pdf