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• Belen Toledo

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2. Un cilindro conductor infinitamente largo de radio a tiene una densidad de carga superficial 𝜌𝑠. El cilindro está rodeado por un medio dieléctrico con 𝜀𝑟 = 4 y no contiene cargas libres. Si el componente tangencial del campo eléctrico en la región 𝑟 ≥ 𝑎 está dado por 𝐸𝑡 = −𝜑𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 / 𝑟 2 calcule 𝜌𝑠.

𝐸2 = 𝑟𝐸𝑟 − 𝜑

1 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟2

La densidad de carga superficial está relacionada con Er. Para encontrar Er, utilizamos la ley de Gauss: 1 𝜕 1𝜕 1 (𝑟𝐸𝑟) + 𝜑 (− 2 𝑐𝑜𝑠𝜑) = 0 𝑟 𝜕𝑟 𝑟𝜕 𝑟 𝜕 𝜕 1 1 (𝑟𝐸𝑟) = 𝜑 (− 2 𝑐𝑜𝑠𝜑) = − 2 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝜕𝑟 𝜕 𝑟 𝑟 Integramos ambos lados con respecto a r: ∫

𝜕 (𝑟𝐸𝑟)𝑑𝑟 = −𝑠𝑒𝑛𝜑 ∫ 1 𝑑𝑟 𝜕𝑟 𝑟2 1 𝑟𝐸𝑟 = 𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝑟

1 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑟2 1 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝐸2 = 𝑟 𝑟2 𝐸𝑟 =

𝑛2 · (𝐷1 − 𝐷2) = 𝜌𝑠

Lo tanto, n2 = r. Y D1 = 0 porque el cilindro es un conductor: 𝜌𝑠 = −𝑟 · 𝐷2|𝑟 = 𝑎 = −𝑟 · 𝜀2𝐸2|𝑟 = 𝑎 = −𝑟 · 𝜀𝑟𝜀0 [𝑟 =−

1 𝑠𝑒𝑛𝜑] ∣ 𝑟 = 𝑎 𝑟2

4𝜀0 𝑠𝑒𝑛𝜑 (𝐶/𝑚2 ) 𝑎2

4. Una delgada hoja conductora infinitamente larga a lo largo del espacio 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑤 y − ∞ ≤ 𝑦 ≤ ∞ conducen una corriente con densidad de corriente superficial uniforme 𝐽𝑠 = 𝑦5 (𝐴 / 𝑚). Obtenga una expresión para el campo magnético en el punto 𝑃 = (0,0, 𝑧) en coordenadas cartesianas. 𝑅 = −𝑥𝑥 + 𝑧𝑧. 𝐻 =

𝐵 𝐼 0=𝜑 𝜋𝑟 µ 2

Reemplazamos I con Ix = Js dx, reemplazando r con R = (x 2 + z 2) 1/2, y asignando. La ley de Biot-Savart, la dirección de H se rige por l × R, donde l es la dirección del flujo de corriente. Por lo tanto, la dirección del campo es: 𝑙×𝑅 𝑦 × (− 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧) 𝑥𝑧 + 𝑧𝑥 = = 1 |𝑙 × 𝑅| | 𝑦 × (−𝑥𝑥 + 𝑧𝑧)| 𝑥2 + 𝑧22 𝑑𝐻 =

(𝑥𝑧 + 𝑧𝑥)𝐽𝑠 𝑑𝑥 Ix = 2π R 2π(𝑥 2 + 𝑧 2 )

𝑥𝑧 + 𝑧𝑥 1 𝑧22

𝑥2 +

Por lo tanto, el campo dH debido a la corriente I x es: 𝑤

𝐻(0,0, 𝑧) = ∫ (𝑥𝑧 + 𝑧𝑥) 𝑥=0

=

=

2π

2π(𝑥2 + 𝑧2 )

𝑤

𝐽𝑠

∫ (𝑥𝑧 + 𝑧𝑥)

2π

𝑥=0 𝑤

( 𝑥𝑧 ∫ 𝑥=0

𝑑𝑥 (𝑥2 + 𝑧2 )

𝑑𝑥 (𝑥2 + 𝑧2 ) 𝑤

+𝑧 ∫ 𝑥=0

𝑥𝑑𝑥 (𝑥2 + 𝑧2 )

)

𝐽𝑠

1 𝑥 1 𝑤 𝑤 ( 𝑥𝑧 ( 𝑡𝑎𝑛−1 ( )) 𝐼𝑥=0 + 𝑧 ( ln(𝑥2 + 𝑧2 ))𝐼𝑥=0 ) 2π 𝑧 𝑧 2

=

=

𝐽𝑠

𝐽𝑠𝑑𝑥

5

𝑤 1 ( 𝑥2 (𝑡𝑎𝑛−1 ( )) + 𝑧 ( )(ln(𝑤2 + 𝑧2 ) − ln(0 + 𝑧2 )) 2π 𝑧 2 =

5 2π

( 𝑥2π 𝑡𝑎𝑛

−1

𝑤 1 (𝑤2 + 𝑧2 ) ) 𝐴/𝑚 ( ) + 𝑧 ln 𝑧 2 𝑧2